BAB 2 PROGRAM STOKASTIK - Chapter II (103.3Kb)

Gratis

0
0
23
1 year ago
Preview
Full text

BAB 2 PROGRAM STOKASTIK

  2. 1. Model Dasar Program Stokastik Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokastik.

  Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam peneli- tian ini.

  2. 1.1. Model Antisipatif

  Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak tergan- tung pada pengamatan masa datang. Perencanaan yang baik harus memperhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.

  Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misal- nya, tingkat keandalan dengan 0 < ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam

  α α

  bentuk

  

P { w |f j (x, w) = 0, j = 1, 2, ... , n } ≥

α m

  Disini x adalah vektor peubah keputusan m dimensi dan f :

  j × → , j = ℜ Ω ℜ

  1 n adalah himpunan semua kejadian acak. Fungsi objektif juga dapat bertipe , . . . , n, Ω

  m keandalan seperti P {w| f (x, w) ≤ }, dimana f : × → dan konstanta.

  γ ℜ Ω ℜ γ Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.

  2. 1.2. Model Adaptif

  Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. Andaikan A adalah koleksi dari semua informasi relevan yang terse- dia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai min E

  [ f (x(w), w)|A] (2.1) kendala E

  [ f j (x(w), w)|A] = 0, j = 1, 2, . . . , n

  x (w) ∈ X, hampir pasti

  Pemetaan x : → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur. Per-

  Ω

  soalan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program deterministik berikut : min E [ f (x, .)|A](w)

  (2.2) kendala E [ f (x, .)|A](w) = 0, j = 1, 2, . . . , n

  j x (w) ∈ X Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali.

  Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif sedangkan un- tuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

  2. 1.3. Model Recourse

  Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang akan menen- tukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tetapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekursif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang harga saham (antisipasi), sekali- gus juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai min f (x) + E[Q(x, w)] kendala Ax = b

  M

x

  ℜ

  • dengan x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q

  , dari program (x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang

  Ω

  tak linier: min (y, w)

  ξ

  kendala W (w)y = h(w) − T (w)x

  

M

  

1

y

  ℜ

  • +

    dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vek- tor acak tahap pertama, (y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan

  ξ {T (w), W (w), h(w)|w ∈ } adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Ω

  Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu meru- pakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk per- soalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vector sumber daya tahap kedua.

  Secara umum model recourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai

  • {
  • Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen se- hingga mudah diselesaikan.

  vektor acak yang bervariasi pada himpunan

  ξ

  ∀i merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas. Namun, problema tidak ”well defined” karena pengertian “min” dan juga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum menge- tahui realisasi dari ˜

  ℜ

  →

  i (x, ·) : Ξ

  yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu AF, peluang P(A) diketahui. Selanjut- nya, diandaikan bahwa fungsi g

  Ξ

  , dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A

  Ξ

  . Lebih tepat lagi, diandaikan bahwa keluarga ( f amily) F dari “kejadian”, yaitu himpunan bagian dari

  ℜ k

  ⊂

  Ξ

  ξ

  min f (x) + E " min

  (2.3) dengan ˜

  ,           

  

n

  i (x, ˜ ξ ) ≤ 0, i = 1, . . . , m, xX

  ) kendala g

  ξ

  Pandang model program stokastik linier berikut (Kall and Wallace, 1994) min g (x, ˜

  2. 2. Formulasi Deterministik Ekivalen

  M

  x ∈ ℜ

  (y, w)|T (w)x +W (w)y = h(w)} # kendala Ax = b

  ξ

  M1

  y ∈ ℜ

  . Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk

  2. 2.1. Proses Formulasi

  Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse, un- tuk problema dilakukan dengan cara berikut. Definisikan    jika g

  i (x, ξ ) ≤ 0,

  • g (x, ) =

  ξ i

    g (x, ) selainnya .

  i ξ

  • Kendala ke i dari dilanggar jika dan hanya jika g

  (x, ) > 0 untuk suatu keputusan

  ξ i

x dan realisasi dari ˜ . Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse

  ξ ξ

  atau aktivitas tahap-kedua y , ( dipilih) sehingga

  i ( ξ ), setelah mengamati realisasi ξ ξ mengantisipasi pelanggaran kendala – jika ada – dengan memenuhi g (x, ) − y ( ) ≤ 0. i ξ i ξ

  Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau penalti q per

  i

  unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah ( )

  m

  • Q (x, ) = min q y ( )|y ( ) ≥ g (x, ), i = 1, · · · , m . (2.4)

  ξ i i ξ i ξ ξ i

  ∑ y i

  =1

  Yang menghasilkan biaya total –tahap pertama dan biaya recourse

  f (x, ) = g (x, ) + Q(x, ). (2.5) ξ ξ ξ

  Selain dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan

  n ¯

  suatu vektor recourse y ( ) ∈ Y ⊂ , (Y himpunan polyhedral, seperti {y |y ≥ 0}),

  ξ ℜ

  suatu sembarang pasti (fixed) W matrix m × ¯n ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya

  n ¯ q ∈ , menghasilkan untuk fungsi recourse

  ℜ T

  • Q (x, ) = min q y |Wy g (x, ), y Y (2.6)

  ξ ξ y

T

  • dengan g (x, ) = g (x, ), · · · , g (x, ) .

  ξ ξ ξ m

  1

  • perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka g (x, ) > 0 berarti bahwa terda-

  ξ i

  pat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Dengan mengandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema misalnya dapat di- interpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan de- ngan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W. Jika dipilih W=I, m × m identitas matriks,

  Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefinisikan fungsi recourse terhadap misalnya, Q (x, ) dapat dipilih sebagai

  ξ n ¯

  • Q (x, ) = min q (y)|H (y) ≥ g (x, ), i = 1, · · · , m; y Y ⊂ ,

  

ξ i ξ ℜ

i n ¯ n ¯

  dengan q : dan H : diandaikan diketahui.

  ℜ → ℜ i ℜ → ℜ

  Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ek- spektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup memandang for- mulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse n o min E ˜ f (x, ˜ ) = min E ˜ g (x, ˜ ) + Q(x, ˜ ) . (2.7)

  ξ ξ ξ ξ ξ xX xX

  Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil di tahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K+1 keputusan sekuensial x , x , · · · , x (x

  1 K τ n ¯

  τ

  ), yang harus diambil pada tahap = 0, 1, · · · , K. Kata “tahap” dapat, tapi tidak

  ℜ τ perlu, diartikan sebagai “periode waktu”.

  Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari deterministik, yaitu,

  

g (x, ) = g (x). Pada tahap ( ≥ 1) diketahui realisasi , · · · , dari vektor acak

ξ τ τ ξ 1 ξ

  τ

  ˜ , · · · , ˜ dan keputusan sebelumnya x , · · · , x , harus diputuskan terhadap x se-

  ξ 1 ξ −1 τ τ τ

  hingga kendala (dengan fungsi kendala g )

  

g (x , · · · , x , , · · · , ≤ 0)

ξ

1 ξ

  τ τ τ

  dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat x , yang di-

  τ

  dasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan men- gandaikan fungsi biaya q (x ), pada tahap ≥ 1 diperolah fungsi recourse

  

τ

τ τ

  Q = (x , x , . . . , x , , . . . , ) = min {q (x )|g (x , x , . . . , x , , . . . , ) ≤ 0} , 1 −1 ξ 1 ξ 1 −1 ξ 1 ξ

  τ τ τ τ τ τ τ τ x

  τ

  yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆ x pada waktu tergantung pada

  τ τ

  keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap , yaitu,

  τ

x ˆ = ˆx (x , · · · , x , , · · · , ), ≥ 1

  ξ 1 ξ τ τ τ τ −1 τ

  . Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap-ganda

  K

f (x , , · · · , ) = g (x ) + E Q (x , ˆx , · · · , ˆx , , · · · , )

  ξ 1 ξ K ˜ 1 −1 ξ 1 ξ τ τ τ

  1 ,··· ,˜

∑ ξ ξ τ

  =1 τ

  menghasilkan deterministik ekivalen untuk problema program stokastik tahap ganda dengan recourse "

  #

  K

  min g (x ) + E Q (x , ˆx , · · · , ˆx , ˜ , · · · , ˜ )

  ˜ 1 ξ 1 ξ τ τ −1 τ

  1 ,··· ,˜ ∑ ξ ξ τ x

  ∈X =1 τ

  merupakan generalisasi langsung dari program stokastik dua-tahap dengan recourse

  2. 3. Pohon Skenario

  Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun dike- tahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang dise- but skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan ke- mungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorgan- isasikan ke dalam struktur pohon.

  Gambar memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap.

  

Gambar 2.1: Pohon Skenario

  Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak.

  Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh K , untuk t = 1, . . . . . . T . Buhul di setiap tahap dapat

  t

  dilabel secara berurutan dengan k untuk semua t. Notasi D

  t = 1,. . . ,K t t (k) menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k, sedangkan notasi D (l.k) menyatakan

  t

  turunan langsung dalam waktu t dari buhul k yang terdiri dari l buhul. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar D (2.1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul

  3

  1 (paling kiri) yang terdiri 2 buhul dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam

  k

  tahap T, andaikan P merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk

  t k

  t = T − 1, . . . , l, p diberikan oleh

  t k l

  p = p dengan p = 1

  l l t ∑ ∈D t t

  • 1 +1 +1

  Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan dimana banyak mengandung faktor acak.

  Ilustrasi Dasar

  Perhatikan persoalan program linier (PL). yang formulasinya dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai

  T

  min c x kendala Ax = b

  x0

  Dalam model ini nilai parameter c, A dan b tertentu (deterministik). Artinya bahwa nilai-nilai ini tidak mengandung ketidakpastian. Misalnya harga suatu peubah untuk be- berapa waktu mendatang dapat diperoleh tidak bergantung pada faktor-faktor ekonomi. Hal ini biasanya secara realita tidak tepat. Selalu saja ada pengaruh ketidakpastian. Apalagi pada kondisi dunia pada dekade ini yang dikarakterisasi oleh ketidakpastian tinggi.

  Untuk perkembangan ke bentuk/model ketidakpastian perhatikan ilustrasi berikut:

  

Contoh 1 Petani A memiliki sebidang tanah. Ia ingin menamam padi, jagung dan

  kacang. Yang ingin ia tentukan adalah berapa luas tanah tersebut untuk padi, jagung dan kacang (Birge dan Loveaux, 1997) Andaikan data untuk pengolahan tanaman tersebut seperti tabel berikut:

  

Tabel 2.1: Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang

  Padi Jagung Kacang Hasil rata-rata (T/are)

  2.5

  3

  2.0 Biaya tanaman (Rp/are) 150 230 250 Harga jual (Rp/T) 170 150 30 = 6000T

  10 > 6000T

  Persyaratan minimum (T) 200 240 Harga beli (Rp/T) 238 210 Luas tanah total 500 are Dalam contoh ini simbol T menyatakan satuan berat dalam ton.

  Peubah keputusan

  x 1 = luas tanah (are) untuk padi

  = luas tanah (are) untuk jagung

  x

  2 x = luas tanah (are) untuk kacang

  3 w = berat (ton) padi terjual

  1 w = berat (ton) jagung terjual

  2 w = berat (ton) kacang terjual pada harga yang diinginkan

  3 w = berat (ton) kacang terjual di bawah harga yang diinginkan

  4 y = berat (ton) padi yang dibeli

  1 y = berat (ton) jagung yang dibeli

  2

  Problema ini dapat diformulasikan ke dalam model PL (deterministik) min 150x

  1 + 230x 2 + 260x 3 + 238y 1 + 210y 2 − 170w 1 − 150w 2 − 36w 3 − 10w

  4

  kendala x

  1 + x 2 + x 3 ≤ 500

  2 .5x

  1 + y 1 − w 1 ≥ 200

  3x + yw ≥ 240

  2

  2

  2 w + w ≤ 20x

  3

  4

  3 w ≤ 6000

  3 x , x , x ≥ 0

  1

  2

  3 w , w , w , w , y , y ≥ 0

  1

  2

  3

  4

  1

2 Hasil optimalnya adalah

  

Tabel 2.2: Hasil optimal dari data tabel

  Padi Jagung Kacang Pemakaian tanah (are) 120 80 300 Hasil (T) 300 240 6000

  • Penjualan (T) 100 6000
  • Pembelian (T) Total keuntungan 118600 Hasil demikian ini pada dasarnya telah memenuhi keinginan sang petani.

  1. Memanfaatkan luas tanah sesuai dengan kuota tanaman kacangan

  2. Memanfaatkan luas tanah untuk memenuhi persyaratan terhadap padi dan jagung

  3. Tanam padi untuk tanah yang sisa – jual kelebihannya Namun hasil demikian dapat terjadi apabila tidak terjadi hal-hal lain, misalnya

  • 230x
  • 260x
  • 1
  • 210y
  • 1
  • 1

  • w
  • w
  • w

  22

  , y

  12

  y

  ≥ 0

  42

  , w

  32

  , w

  22

  , w

  w

  12

  ≤ 6000

  32

  3 w

  ≤ 20x

  

42

  32

  2 + y 22 − w 22 ≥ 240 w

  3x

  1 + y 12 − w 12 ≥ 200

  2 .5x

  ≥ 0

  , y

  ≥ 0 2x

  32

  , w

  ≥ 0 Skenario 1 Skenario 2 Skenario 3

  33

  , y

  23

  , y

  13

  y

  ≥ 0

  43

  , w

  33

  23

  1 + y 13 − w 13 ≥ 200

  , w

  13

  w

  ≤ 6000

  33

  3 w

  ≤ 16x

  43

  33

  2 + y 23 − w 23 ≥ 240 w

  2 .4x

  31

  21

  , y

  11

  3

  12 + 210y 22 − 170w 12 − 150w 22 − 36w 32 − 10w 42 )

  (238y

  3

  )

  41

  − 10w

  31

  − 36w

  

21

  − 150w

  − 170w

  13 + 210y 23 − 170w 13 − 150w 23 − 36w 33 − 10w 43 ) y i j

  21

  11

  (238y

  3

  3

  2

  1

  Berikut model dengan adanya skenario min 150x

  3. Cuaca buruk: penurunan 20% Masing-masing skenario memiliki peluang yang sama yaitu 1/3.

  2. Cuaca rata-rata: tetap

  1. Cuaca baik: kenaikan 20%

  (238y

  : = peubah y i pada tahap j

  , y

  ≤ 6000

  11

  y

  ≥ 0

  41

  , w

  31

  , w

  21

  , w

  11

  w

  31

  , w i j :

  3 w

  ≤ 24x

  41

  31

  2 + y 21 − w 21 ≥ 240 w

  3 .6x

  1 + y 11 − w 11 ≥ 200

  (II) 3x

  1 , x 2 , x 3 ≥ 0

  x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x

  = peubah w i pada tahap j kendala (I)

  Hasil optimalnya adalah

  • 288
  • 6000 6000
  • s = 2 Hasil Penjualan Pembelian 425 225
  • 240
  • s = 3 Hasil Penjualan Pembelian 340 140
  • 48
  • 192
  • Total Keuntungan 108390

  1

  ξ

  tergantung

  ε

  atau

  ξ ( ε ), sedangkan ε

  tergantung s atau

  ε

  atau

  ε (s),

  sehingga

  ξ

  tergantung pada s atau

  ξ (s), dimana s menyatakan sekenario. s = 1 , 2 , 3.

  Model program stokastik dengan recourse min 150x

  2

  ε 3 (3)) berturut-turut.

  3

  ∑ s =1

  P (s) (238y

  1

  (s) + 210y

  2

  (s) − 170w

  1

  (s) − 150w

  2

  (s) − 36w

  3

  (s) − 10w

  4

  Dalam hal ini

  ε 2 (3),

  (s))

  ξ

  

Tabel 2.3: Hasil optimal data tabel dengan skenario cuaca berbeda

  Padi Jagung Kacang Tahap I Areal (Are) 170 80 250 s = 1 Hasil

  Penjualan Pembelian

  510 310

  48

  5000 5000

  4000 4000

  Selanjutnya pandang vektor acak

  ξ

  = (

  ε 1 ,

  ε 2 ,

  ε 3 ) dibentuk oleh tiga

  hasil dan

  diambil pada tiga tiga nilai berbeda

  ε 1 (3),

  ξ 1 ,

  ξ

  2

  dan

  ξ

  3

  yaitu (

  ε 1 (1),

  ε 2 (1),

  ε 3 (1)), (

  ε 1 (2),

  ε 2 (2),

  ε 3 (2)),

  dan (

  • 230x
  • 260x
  • 3

  • x
  • x
  • y

  2

  1

  (s) − 170w

  2

  (s) + 210y

  1

  ∑

  ← bagian deterministik (tahap I)

  3

  1

  2

  Matriks acak Jadi min 150x

       

  2 .0 2.4 16

  2 .5 3.0 20

  =       3 .0 3.6 24

       

  ε 3 (3)

  ε 2 (3)

  (s) − 150w

  (s) − 36w

  ε 3 (2)

  ≤ 500

  ← kendala deterministik (tahap I)

  ≥ 0     

  3

  , x

  2

  , x

  1

  x

  3

  3

  2

  1

  x

  kendala

  Bagian stokastik ( tahap II )

  (s)) | {z }

  4

  (s) − 10w

  ε 1 (3)

  ε 2 (2)

  (s) ≥ 200

  ≥ 0

  1

  (s) − w

  1

  1

  (s)x

  1

  ε

  3

  ε 2 (s)x 2 + y 2 (s) − w 2 (s) ≥ 240 w 3 (s) + w 4 (s) ≤

  , x

  2

  , x

  1

  x

  ≤ 500

  3

  2

  ε 1 (2)

  ε 2 (s)x

  kendala x

  1

  (1)

  3

  ε

  (1)

  2

  ε

  (1)

  ε

  3 w

  , s = 1, 2, 3      

  3

  1

  P (s) =

  (s) = hasil tanaman i pada skenario s

  ε i

  1 (s), y 2 (s), y 3 (s) ≥ 0, w 1 (s), w 2 (s), w 3 (s), w 4 (s) ≥ 0 s = skenario ,

  3 (s) ≤ 6000 y

  1

  • 230x
  • 260x
  • 3

1 P (s) (238y

  • x
  • x

   

  (s)x + y (s) − w (s) ≥ 200 

  ε

  1

  1

  1

  1

       

  (s)x + y (s) − w (s) ≥ 240

  ε

  2

  2

  2 2 

       

  w (s) + w (s) ≤ (s)x

  3 4 ε

  2

  3

  ← kendala stokastik (tahap II)  

  w 3 (s) ≤ 6000

       

  y 1 (s), y 2 (s), y 3 (s) ≥ 0, w 1 (s), w 2 (s), w 3 (s), w 4 (s) ≥ 0

         s

  = 1, 2, 3 Dari bentuk model ini dapat dituliskan fungsi recoursenya adalah

  Q

  (x

  1 , x 2 , x 3 , s) = min 238y 1 (s) + 210y

2 (s) − 170w

1 (s) − 150w 2 (s) − 36w 3 (s) − 10w 4 (s)

  kendala (s)x + y (s) − w (s) ≥ 200

  ε

  1

  1

  1

  1

  (s)x + y (s) − w (s) ≥ 240

  ε

  2

  2

  2

  2 w (s) + w (s) ≤ (s)x

  3 4 ε

  2

  3 w 3 (s) ≤ 6000 y

  1 (s), y 2 (s), y 3 (s) ≥ 0, w 1 (s), w 2 (s), y 3 (s), y 4 (s) ≥ 0

  Jadi nilai ekspektasi dari fungsi recourse

  3 Q (x) = E Q (x, ) = P (s)Q(x , s) ξ i

  ξ ∑ i =1

  Sehingga model recourse berbentuk min 150x + 230x + 260x + E Q (x, )

  1

  2 3 ξ ξ

  kendala x + x + x ≤ 500

  1

  2

  

3

  x , x , x ≥ 0

  1

  2

  3

  atau secara umum model recourse dua tahap dapat ditulis sebagai

  T

  min c x + Q(x) kendala Ax = b

  x0

  secara lebih umum model recourse ini dapat berbentuk min f (x) + E [Q(x, )]

  1 ξ ξ x

  kendala Ax = b

  

x0

  dimana untuk setiap realisasi w dari

  ε Q (x, w) = min f 2 (y, w) y

  kendala W (w)y = h(w) − v(w)x

  y

  ≥ 0 nilai ekspektasi dari nilai objektif tahap kedua merupakan recourse. Pada tahap pertama sebuah keputusan dibuat didasarkan pada data yang tersedia pada saat itu.

  Ditahap kedua, untuk setiap realisasi yang mungkin dari peubah acak , suatu ke-

  ε

  putusan baru diambil yang tergantung pada keputusan tahap satu. Ekspektasi biaya pada kedua tahap dihitung dan keputusan tahap satu dapat direvisi untuk mencapai ke- seimbangan biaya keseluruhan yang lebih baik antara tahap 1 dan 2. Proses demikian ini diulang hingga ekspektasi biaya keseluruhan optimal.

  Peubah ketidakpastian dengan sebaran kontinu

  Di bawah ini diilustrasikan tentang program stokastik linier dengan parameter keti- dakpastian memiliki sebaran kontinu.

  

Tabel 2.4: Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang dengan sebaran kontinu

  Padi Jagung Kacang Hasil (T/are)

  1

  2

  3 ε ε ε

  Biaya Tanam (Rp/are) 150 230 280 Harga Jual (Rp/T) 170 150 30 ≤ 6000T 10 > 6000T Kebutuhan Minimum (T) 200 240 Harga Beli (Rp/T) 238 210 Luas tanah yang tersedia 500 are

  1. , , realisasi hasil vektor acak tersebar bebas

  ε 1 ε 2 ε 3 ε

  2. ℓ ≤ ≤ u , i = 1, 2, 3 bersebaran bebas, ℓ adalah batas bawah, dan u adalah

  

i ε i i i i

batas atas.

     1 /(u − ℓ ) ℓ ≤ t u

  

i i i i

  Kepadatan P (t) =

  ε

   

  t ∈ [ℓ / , u ] i i

  Formulasi Program Stokastik min 150x

  1 + 230x 2 + 260x 3 ← bagian deterministik (tahap I)

  • E (238y

  1 + 280y

2 − 170w

1 − 150w 2 − 36w 3 − 10w 4 ) ε 1 , ε 2 , ε

  3

  | {z }

  Bagian stokastik (tahap II)

  Kendala

    

  x + x + x ≤ 500

  1

  2

3 I

  ← kendala deterministik (tahap I)   x , x , x ≥ 0

  1

  2

  3

     x + yw ≥ 200

  ε

  1

  1

  1

  1

       

  x + yw ≥ 240

   ε

  2

  2

  2

  2

       

  w + wx

  3 4 ε

  3

3 II ← kendala stokastik (tahap II)

    w ≤ 6000

  3

       

  y , y , y ≥ 0, w , w , w , w ≥ 0

  

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  4

       

  x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0

  Dekomposisi program stokastik

  min 150x + 230x + 260x +E (238y − 170w ) + E (210y − 150w ) + E (−36w − 10w )

  1

  2

  3

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  3

  3

  4 ε ε ε

  Kendala: 

 Padi Jagung Kacang

x + x + x ≤ 500

  1

  2

3 I

         x

  , x , x ≥ 0

  1

  2

  3       y y y 

      w x

  • w ≤ ε

  3

  4

  3

  3  

     x x

  ε + yw ≥ 200 ε + yw ≥ 240

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2 (II.1) (II.2) (II.3) w

  3 ≤ 6000   

y ≥ 0, w ≥ 0 y ≥ 0, w ≥ 0 

  1

  1

  2

  2    w , w ≥ 0

  3

  4

  dengan y dan w hanya tergantung pada keputusan x dan hasil acak (padi), y dan

  1

  1 1 ε

  1

  2 w 2 hanya tergantung pada keputusan x 2 dan hasil acak 2 (padi), dan y 3 dan w 3 hanya

  ε

  tergantung pada keputusan x dan hasil acak (padi)

  3

  3 ε

  • y
  • y

  1

  ) = max[

  ε

  1 x

  1

  − 200, 0],

  Q

  1

  (x

  ,

  ε

  ε

  1

  ) = −238 min[

  ε

  1 x

  1

  − 200, 0] − 170 max[

  ε

  1 x

  1

  (

  − 200, 0] Jagung

  Bentuk eksplisit fungsi recourse Padi

  )) Kendala w

  3 ( ε

  3 ) + w 4 ( ε

  

3 ) ≤

ε

  3 x

  3 Kacang w 3 (

  ε 3 ) ≤ 6000 w

  3 ( ε

  3 ) ≥ 0

  y

  1

  1

  (

  ε

  1

  ) = − min[

  ε

  1 x

  1

  − 200, 0], w

  1

  y 2 ( ε

  ε

  ,

  ) = max[

  ε

  3 x

  3

  − 6000, 0]

  Q

  3

  (x

  3

  ε

  ε

  3

  ) = −36 min[6000,

  

ε

  

3

x

  3

  ] − 10 max[

  ε

  3 x

  3

  3

  (

  2 ) = − min[ ε

  Kacang

  2 x 2 − 240, 0], w 1 ( ε

  1 ) = max[ ε

  2 x 2 − 240, 0] Q

  2 (x 2 , ε

  2 ) = −210 min[ ε

  2 x

  2 − 240, 0] − 150 max[ ε

  2 x

  2 − 240, 0]

  w

  

4

  3

  (

  ξ

  3

  ) = min[6000,

  ε

  3 x

  3

  ], w

  3

  (

  Fungsi Recourse

  (

  ≥ 200 Padi

  y

  1

  (

  ε

  1

  ) ≥ 0, w

  1

  ε

  − w

  1

  ) ≥ 0

  Q

  2

  (x

  2

  ,

  ε

  2

  1

  1

  2

  (

  Q

  1

  (x

  1

  ,

  ε

  1

  ) = min 238y

  1

  

ε

  1

  

1

  ) − 170w

  1

  (

  ε

  1

  ) Kendala

  ε

  1 x

  ) = min 210y

  (

  4

  (x

  2

  ) ≥ 0, w

  2

  (

  ε

  2

  ) ≥ 0

  Q

  3

  3

  (

  ,

  ε

  3

  ) = min(−36w

  

3

  (

  ε

  3

  ) − 10w

  ε

  2

  

ε

  2

  

2

  ) − 150w

  2

  (

  ε

  2

  ) Jagung Kendala

  ε

  2 x

  2

  y

  (

  ε

  2

  ) − w

  2

  (

  ε

  2

  ) ≥ 240

  − 6000, 0]

  • 230x
  • 260x
  • E

1 Q

1 Q

  • x

  1 x

  ) = −238 R

  1

  (tx

  1

  1 200 /x

  u

  (t)dt − 170 R

  1

  ε

  − 200)P

  1

  (tx

  1

  1 ℓ

  u

  1

  1

  (x

  ≤ 200 ≤ u

  1 x

  1

  ,

  Q

  1

  1

  ε

  ) = E

  ε

  1

  (x

  1

  − 200)P

  ,

  1

  ε

  (tx

  1 ) = 170(x 1 , ε

  1 − 200), Q

  1 (x 1 ) = E ε

  1 Q 1 (x 1 , ε 1 ) = −170 R u

  1 ℓ

  1

  1 − 200)P ε

  : Q

  1

  (t)dt = 34000 − 170x

  1

  ¯

  ε

  1 Dengan cara yang sama diperoleh

  1 (x 1 , ε

  1

  (t)dt = −170(¯

  2

  ε

  1 x

  1 − 200) + 34

  (200 − ℓ

  1 x

  1 )

  (u

  1 x

  

1

  − ℓ

  1

  )x

  1 Kasus 3. Apabila200

  ≤ ℓ

  , i = 1, 2, 3 Kasus 2. Apabila ℓ

  )/2 dalam nilai ekspektasi dari

  ε i

  3

  2

  ) + E

  ε

  3 Q

  3

  (x

  ,

  ,

  ε

  3

  ) kendala

  x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500

  Perhitungan nilai ekspektasi untuk fungsi recourse Padi: Hasil

  ε 1 bersebaran uniform

  ε

  2

  (t) =     

  (x

  Jadi formulasi recourse min 150x

  1

  2

  3

  ε

  1

  1

  (x

  ,

  ε

  1

  ) + E

  ε

  2 Q

  

2

  P εε

  1 /(u i − ℓ i ) ℓ it u i

  1

  1

  (tx

  1

  − 200)P

  ε

  1

  (t)dt = 7600 − 238x

  ¯

  1 ℓ

  ε

  1

  dengan ¯

  ε

  1

  = (u

  1

  1

  u

  t / ∈ [ℓ i

  1

  , u

  i

  ] Kasus 1. Apabila u

  1 , x 1 ≤ 200, Q 1 (x 1 , ε 1 ) = −238[x 1 , ε 1 − 200], Q

  1

  (x

  ) = E

  ) = −238 R

  ε

  1

  (x

  1

  ,

  ε

  1

1 Q

  ) = (150.230.260) diperlihatkan sebagai berikut

  ℓ

  ε

  ¯

  3

  −156000 − 10x

  3

  3 x

  ≤ 240 ≤ u

  3

  3 x

  3

  6000 ≤ ℓ

  )x

  3

  − ℓ

  

3

  (u

  2

  − 6000)

  

3

  3

x

  (u

  3

  3 x

  ε

  tung pada vector keputusan x. Penyelesaian persoalan global optimum dengan menggu- nakan syarat Karush-Kuhn-Tucker sebagai syarat perlu dan cukup. Dengan mengambil

  3

  ,c

  2

  ,c

  1

  sebagai koefisien tujuan tahap pertama komoditi ke - i (mak- sudnya padi, jagung dan kacang). Dalam hal (c

  i

  sebagai multiplier dan c

  λ

  i (x i ) konveks, kontinu, dapat diturunkan (differentiable) yang hanya tergan-

  3 Jadi dapat dituliskan formulasi global dari program stokastik sebagai persoalan opti-

  ≥ 0 Fungsi Q

  3

  , x

  2

  , x

  1

  1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x

  kendala x

  1 + 230x 2 + 260x 3 +Q 1 (x 1 ) + Q 2 (x 2 ) + Q 3 (x 3 )

  misasi konveks min 150x

  3

  ¯

  Untuk Jagung

  ≤ 240 −150(x

  2

  − ℓ

  2

  (u

  2

  2 x 2 )

  (240 − ℓ

  2 − 240) + 30

  2 ξ

  2

  2

  2 x

  2 u

  ε

  ¯

  2

  ) =              50400 − 210x

  2

  (x

  2

  Q

  )x

  ℓ

  3

  3

  ≤ 6000 −36x

  3

  3 x

  

3

u

  ε

  ¯

  3

  −36x

  ) =             

  (x

  2 x 2 ≤ 240 ≤ u 2 x

  3

  2 Untuk Kacang Q

  2 x

  240 ≤ ℓ

  2

  ε

  ¯

  2

  36000 − 150x

  2

  • 13
Syarat Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

  ∂

  • x c Q (x ) + = 0

  i i i i λ x

  ∂ i

  • c Q (x ) + ≥ 0

  i i i λ x i

  ∂

  (x + x + x − 500) = 0

  λ

  1

  2

  

3

x + x + x ≤ 500

  1

  

2

  3 x , x , x ≥ 0, ≥ 0

  1

  2 3 λ

  Perhitungan derivatif Padi

    

  −238¯

  1 u 1 x 1 ≤ 200 ε

    

  2

   ℓ 40000

  ∂

  1 Q 1 (x 1 ) = x x

  −34 − 5¯ ε

  1 − ℓ

  1 1 ≤ 200 ≤ u

  1

  1 x

  ∂ 1 u 1 − ℓ

1 (u

1 − ℓ 1 )x

  1

        36000 ¯ 200 x

  − 150x

  2 ε 2 ≤ ℓ

  1

  1 Jagung

    

  u x

  −210¯ ε

  2

  2 2 ≤ 240

    

  2

   ℓ 57600

  ∂

  2 Q 2 (x 2 ) = −30 − 5¯ − ℓ x ≤ 240 ≤ u x

ε

  

2

  2

  2

  2

  2 x u

  ∂ 2  2 − ℓ

2 (u

2 − ℓ 2 )x

  2

      

  −150¯ 240 ≤ ℓ x

  ε

  2

  2

  2 Kacang

     −36¯

  3 u 3 x 3 ≤ 6000 ε

    

  2

  6

   13u 468

  ∂ .10

  3

  x x 3 (x 3 ) = −36¯

3 − ℓ

  • Q

  3 3 ≤ 6000 ≤ u

  3

  3 ε

  2 x 3 u 3 − ℓ

  3 ∂  (u 3 − ℓ 3 )x

  3

      

  −10¯ 6000 ≤ ℓ x

  ε

  

2

  3

  3 Andaikan bahwa ℓ = 2, 0, u = 3, 0, ¯ = 2, 5

  1 1 ε

  1

  ℓ = 2, 4, u = 3, 6, ¯ = 3, 0

  2 2 ε

  2

  ℓ = 16, u = 24, ¯ = 20

  3

3 ε

  3 Dengan memakai teknik enumerasi dapat ditentukan bahwa penyelesaian optimal

  harus memenuhi 200

  

x ≥ 100, ≤ x ≤ 100, 250 ≤ x ≤ 375

  1

  2

  3

3 Dengan menggunakan syarat KKT, diperoleh sistem persamaan

  −275 + = 0

  λ

  6

  1 , 44(10 ) −76 − = 0

  • 2

  λ

  

x

  

2

  7

  5 , 85(10 ) 476 = 0 + −

  λ

  

2

x

  

3

x + x + x = 500

  1

  2

  3 Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier homogen di atas diperoleh nilai optimal ∗ ∗ ∗ ∗

  = 275, x = 135, 83, x = 85.07, x = 279, 10

  λ

  1

  2

  3

Dokumen baru