Contoh untuk Algoritma Simpleks Dakota’s Problem

Gratis

0
0
33
11 months ago
Preview
Full text

  Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012

  

Contoh untuk Algoritma Simpleks

Dakota’s Problem 

  Perusahaan furniture Dakota

memproduksi bangku, meja dan kursi.

   Untuk setiap jenis furniture dibutuhkan bahan baku kayu dan 2 jenis waktu pengerjaan: fnishing & carpentry

   Bahan baku dan waktu pengerjaan terbatas

   Ingin ditentukan jumlah produksi setiap furniture yang memaksimumkan keuntungan

Dakota’s Problem dalam Tabel

  0.5

  1 x x x

  2

  3

  :# kursi produksi :# meja produksi :# bangku produksi

  Peubah Keputusan?

  30 20  

  60

  8 Proft

  Sumber daya Bangku Meja Kursi Ketersedia an Kayu (m2)

  8

  2

  20 Carpentry (jam)

  1.5

  2

  4

  48 Finishing (jam)

  1

  6

  1.5

LP untuk Dakota’s Problem

  

3

  4 (Kayu)

  48

  6 . 8 .

  20

  30 60 max

  3

  2

  1

  2

  1

  1

  3

  2

  1

  3

  

2

  1      

        x x x x x x x x x t s x x x z

  2

  Sumber daya Bangku

  X1 Meja

  1.5

  

X2

Kursi

  X3 Ketersedia an Kayu (m2)

  8

  

6

  1

  48 Finishing (jam)

  4

  

2

  20 Carpentry (jam)

  2 (Finishing hour)

  2

  

1.5

  0.5

  8 Proft($)

  60

  

30

20   (Carpentry hour)

  8 5 . 5 .

  1

  20 5 . Algoritma Simpleks Mula i

  Tentukan BFS: BV & NBV

  Lakukan iterasi untuk Td

  BFS menentukan k optimal? BFS: BV & NBV yang baru

  Ya Selesa i Langkah 1 Algoritma Simpleks 

Rubah ke bentuk Standar

  8 5 . 5 .

  3

  2

  1    x x x

  Kendala fnishing

  20 5 .

  1

  2

  4

  2

  3

  2

  1     s x x x

  1

  2

  2

  3

  2

  1    x x x

  Kendala carpentry

  8 5 . 5 .

  1

  2

  3

  3

  2

  1     s x x x

  4

  , , (Carpentry hour) 8 5 . 5 .

  1

  48

  2 (Finishing hour)

  20 5 .

  1

  2

  4 (Kayu)

  48

  6 . 8 .

  20

  30 60 max

  3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1         

        x x x x x x x x x x x x t s x x x z

  Digunakan slack variabel karena semua kendala ≤

  6

  20 5 .

  8

  

3

  2

  1    x x x

  Kendala kayu

  48

  6

  8

  1

  3

  2

  1     s x x x

  1

  

Langkah 1 Algoritma Simpleks

Bentuk Standar LP

  1

            

s s s x x x

s x x x s x x x s x x x t s x x x z

  1

  3

  

2

  1

  3

  2

  

1

    

  Baris 0 Baris 1 Baris 2 Baris 3

  

2

   Modifkasi baris 0 menjadi:

  20

  30

  6

  3

  2

  1     x x x z

  Semua peubah di

  1

  3

  2 20 5 .

  3

  1

  2

  4

  48

  6 . 8 .

  20

  30 60 max

  2

  

, , , , ,

8 5 . 5 .

  1

  3

  2

  1

  3

  3

  2

  1

  2

  

Langkah 1 Algoritma Simpleks

max z

60 x 30 x 20 x    

  1

  2

  3 

  Bentuk Tableau s . t . 8 x 6 x x s

  48    

  1

  2

  3

  1 4 x 2 x 1 . 5 x s

  20    

  1

  2

  3

  2 2 x 1 . 5 x . 5 x s

  8    

  1

  2

  3

  3 x , x , x , s , s , s

  

  1

  2

  3

  1

  2

  3

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 1 -60 -30 -20 Baris

  1

  8

  6

  1

  1

  48 Baris

  2 4 2 1.5

  1

  20 Baris

  3 2 1.5 0.5

  1

  8 Bentuk Kanonik: bernilai 1 pada variabel

  

Langkah 2 Algoritma Simpleks

Tentukan BFS (BV dan NBV).

BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang berbentuk kanonik

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris z=0 1 -60 -30 -20 s1=4

  Baris 8 1  0

  8

  6

  1

  1 48 s2=2 Baris 2  0

  4

  2

  1.5

  1

  20 s3=8 Baris

  s , s , s x , x , x BV NBV

  1

  2

  3 

  1

  2

3   

  3  0

  2

  1.5

  0.5

  1

  8 BFS : x x x , s

  48 , s 20 , s

  8

     

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  

Langkah 3 Algoritma Simpleks

  60

  Satu unit penambahan x

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 1 -60 -30 -20

   Dapat dilihat dari koefsien baris 0.

  1        x x x z

  2

  3

  60

  30

  20

  30

  

Apakah BFS tersebut sudah optimal?

8 , 20 ,

  20

  BFS s s s x x x      

  1

     

  2

  3

  1

  2

  3

  : 48 ,

  1 , menaikkan z sebesar $ 60 Langkah 3 Algoritma Simpleks 

  Interpretasi koefsien baris 0 ◦

  Bagi NBV

  Variabel dengan Koefsien -c: satu unit penambahan variabel tsb menaikkan Z sebesar c.

   Variabel dengan koefsien +c: satu unit penambahan variabel tsb menurunkan Z sebesar c.

  ◦ Variabel dengan koefsien 0: BV

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 1 -60 -30 -20

  • Semua koefsien bagi NBV adalah < 0
  • Ada beberapa kemungkinan menaikkan nilai Z dengan menaikkan nilai peubah keputusan:

Langkah 3 Algoritma Simpleks

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 1 -60 -30 -20

  Produksi satu unit x1 (Bangku) akan menaikkan Z (proft) sebesar 60 ($)

  Produksi satu unit x2 (Meja) akan menaikkan Z (proft) sebesar 30 ($) Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (proft) sebesar 20 ($)

  Pilih Entering Variable: Peubah NBV x

  Langkah 4 Algoritma Simpleks 

  48

  3

  2

  1 , , x x x

  NBV

  48

  8

  1

  1   s x

  Baris 1 6 agar

  8

  1

  1 , , s s s

  1     x s

  20

  4

  2

  1   s x

  Baris 2 5 agar

  4

  20

  1

  2     x s

  BV   

  2

  Menentukan peubah BV yang mana yang akan digantikan oleh x1 

  1

  Dengan melakukan Ratio Test, agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 1 -60 -30 -20 Baris 1  0

  8

  6

  1

  1

  48 Baris 2  0

  4

  2

  1.5

  20 Baris 3  0

  3

  2

  1.5

  0.5

  1

  8 BV z=0 s1=4

  8 s2=2 s3=8

  8 , 20 ,

  48 , : 3 2 1 3 2 1

       

  s s s BFS x x x  

  Peubah selainn

  

Langkah 4 Algoritma Simpleks

  Semua syarat: x 6 , x 5 , x

  4   

  1

  1

  1 

  Terpenuhi pada: di baris 3 x

  4 

  1 

  Ratio Test: agar pergantian peubah tetap berada di dalam

wilayah feasibel, dipilih peubah dengan nilai ratio test

terkecil

    z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris z=0 1 -60 -30 -20 s1=4

  Baris 8 1  0

  8

  6

  1

  1 48 s2=2 Baris

  

  2  0

  4

  2

  1.5

  1

  20 s3=8

  Pada BFS berikutnya x1 adalah peubah NBV yang akan Langkah 4 Algoritma Simpleks 

  Elementary Row Operation (Operasi

baris elementer): operasi antar baris

untuk menentukan bentuk kanonik yang baru (BV & NBV yang baru)

   Di dalam bentuk kanonik baru: s , x , x s , s , x NBV

  BV

  3

  2

  3   

  1

  2 1 

  1

  1

  

Operasi Baris Elementer

s , x , x s , s , x

  NBV BV  

  3

  2 3  

  1

  2 1  Pada Iterasi berikutnya ingin diperoleh Tableau sbb:

    z

X1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  Baris Baris

  1

  1 Baris

  2

  1 Baris

  3

  1

  

Operasi Baris Elementer

Tablea u 0 

Initial Tableau (Tableau 0):

  8

  0.5

  Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 3 didahulukan (pivot row)

  

  Baris

  3 Baris

  3 ) 1 (

  2 ) (

    Tablea u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  8 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

  1

  1.5

  6

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0

  20 Baris 3  0

  1

  1.5

  2

  4

  48 Baris 2  0

  1

  1

  2 Operasi Baris Elementer Tablea u 0 

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0

  1.5

  1 15 -5 30 240

  Baris 0

  ) 1 ( ( 60 ) ) 3 *

  Initial Tableau (Tableau 0):

    Tablea u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  8 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

  1

  0.5

  2

  8

  20 Baris 3  0

  1

  1.5

  2

  4

  48 Baris 2  0

  1

  1

  6

ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row)

Baris 1 ( Baris Baris  

  Operasi Baris Elementer Initial Tableau (Tableau 0):

  Tablea

  BV

  u 0 

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs z=0 Baris 0 1 -60 -30 -20 s1=48

  Baris 1  0

  8

  6

  1

  1

  48 s2=20 Baris 2  0

  4

  2

  1.5

  1

  20 s3=8 Baris 3  0

  2

  1.5

  0.5

  1

  8 ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1

  (pivot row) Baris 1 ( 1 * ) Baris 1 ( )

  8 Baris 3 ( 1 )  

  Tablea   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs u 1

  Baris 0

  1

  15

  5 30 240 Baris 1

  • 1 1 -4

  16

  1

  1.5

  Operasi Baris Elementer Tablea u 0 

  0.5

  1.5

  2

  20 Baris 3  0

  1

  2

  4

  48 Baris 2  0

  1

  1

  6

  8

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0

  8 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

ERO untuk baris 2, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row)

Baris 2 Baris Baris  

  Baris 3

  1

  0.75

  0.25

  0.5

  4 Initial Tableau (Tableau 0):

  ) 1 (

( 4 )

3 *

  2 ) 1 (

  Baris 0

  1 15 -5 30 240 Baris 1

  16 Baris 2 -1 0,5 1 -2

  4 BV z=240 s1=16 s2=4 x1=4

    Tablea u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  • 1 1 -4
Tableau hasil iterasi: Tableau 1 Table au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  Baris 2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  Baris Pada tableau 1:

  3

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

  s , s , x s , x , x BV NBV  

  1

  2 1  

  3

  2 3  BFS : x

  4 , x x , s 16 , s 4 , s , z 240       

  1

  2

  3

  1

  2

  3 

  Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal? 

  Lihat koefsien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan?

  Langkah 3 Algoritma Simpleks, Iterasi ke-2 Table au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  s , s , x s , x , x BV

  NBV  

  1

  2 1  

  3

  2 3 

  Produksi satu unit x2 (Meja) akan menurunkan Z (proft) sebesar 15 ($)

  Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (proft) sebesar 5 ($)

   BFS yang ada belum optimal.

Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar

  x

  3 untuk menggantikan salah satu

  

Langkah 4 Algoritma Simpleks,

Iterasi 2 

  Menentukan peubah BV yang mana yang akan digantikan oleh x2 s , s , x BV

  

  

1

  2 1  

  Dengan melakukan Ratio Test, agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel Table au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  Baris 2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  Baris Baris 1

  3

  1 x 0,75 s

  16 0,25 s x 16 0,5 untuk

  4 semua x1=4 x

         

  3

  1

  

1

  3

  3 Pada baris dengan koefsien negatif, tidak Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2 Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  Baris 2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  Baris

  4

  3

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

  Baris 2 agar s x

  8    

  2

  3 .

  5

  4 Baris 3 agar x x

  1

  6    

  1

  3 .

  25 

  Pemenang ratio test (terkecil): di baris 2  x3 akan menggantikan s2 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2 Table au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris Kolo

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  m Baris pivot

  2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  Baris Kolom

  3

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

  

pivot

  Pada BFS berikutnya x3 adalah peubah NBV yang akan menggantikan s2 salah satu dari BV s , x , x BV

  1

  3

  1  

   Dengan EROElementary Row Operation s , x , s NBV

  

  3

  2 2 

  Tableau 2 mempunyai bentuk kanonik baru:

   Tableau 2 z X1 x2 X3 s1 s2 s3 rhs

  Baris 0 Baris 1

  1

  

Operasi Baris Elementer

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  Baris 2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  Baris

  Dengan ERO untuk memperoleh

  Baris

  2 ( 1 )

  3

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

  Baris

  2 ( 2 ) 

  Tableau 2: baris 2 didahulukan .

  5

  (pivot row) Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  Baris 2 -2

  1 2 -4

  8

  

Operasi Baris Elementer

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  Baris 2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  

ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2

Baris (pivot row)

  3

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

  Baris (

  2 ) Baris ( 1 ) .

  5 Baris * 2 ( 2 )  

  Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  Baris 0

  1

  5

  10 10 280 Baris 2 -2

1

2 -4

  8

  

Operasi Baris Elementer

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

  1 15 -5 30 240 z=240

  Baris

  1

  • 1 1 -4

  16 s1=16

  Baris 2 -1 0,5

  1 -2 4 s2=4

  

ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2

Baris (pivot row)

  3

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

  Baris

  1 ( 2 ) Baris 1 ( 1 ) ( 1 ) Baris 2 * ( 2 )   

  Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  Baris 0

  1

  5

  10 10 280 Baris 1 -2 1 2 -8

  24 Baris 2 -2

  

1

2 -4

  8

Operasi Baris Elementer

  1 15 -5 30 240 z=240

  1

  Baris

  Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

  • 1 1 -4

  Baris 3 Baris Baris  

  8 ERO untuk baris 3, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row)

  2

  1.5

  1 1.25 -0.5

  24 Baris 3

  10 10 280 Baris 1 -2 1 2 -8

  5

  1

  Baris 0

  

1

2 -4

  1 ( 3 ) 2 (

  Baris 2 -2

  Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

  ) 2 ( ) 25 . 2 *

  3

  Baris

  1 -2 4 s2=4

  Baris 2 -1 0,5

  16 s1=16

  1 0,75 0,25 0,5 4 x1=4

Tableau Hasil Iterasi: Tableau 2

  Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1

1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 s , x , x s , x , s

  BV NBV  

  1

  3 1  

  3

  2 2  BFS : x

  2 , x , x 8 , s 24 , s s , z 280       

  1

  2

  3

  1

  2

  3 

  Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal? 

  Lihat koefsien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan

menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan?

  Semua koefsien baris 0 >=0. Tidak mungkin lagi

  Solusi Optimal Dakota’s Problem x :# produksi bangku

  1 x :# produksi meja

  2 x :# produksi kursi

  2 , x , x 8 , s 24 , s s , z 280       

  1

  2

  3

  1

  2

  3 Agar keuntungan maksimum, dan produksi yang sesuai dengan kendala (bahan baku dan jam pengerjaan), harus diproduksi sejumlah 2 buah bangku (x1), 8 buah kursi (x3), tanpa memproduksi meja Langkah-langkah Algoritma Simpleks untuk Masalah Max

  Langkah

  1 Rubah LP ke bentuk standar, tuliskan dalam bentuk tableau. Langkah

  2 Tentukan BFS (BV dan NBV).

  BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang berbentuk kanonik.

  Langkah

  3 Jika semua koefsien baris 0 >=0,

  BFS solusi optimal Selainnya, pilih koefsien paling negatif untuk masuk ke dalam BV

  Langkah

  4 Ratio test (terkecil) untuk

  menentukan peubah BV mana yang Langkah-langkah Algoritma Simpleks untuk Masalah Max Lakukan ERO untuk membentuk

  Langkah

  4

  bentuk kanonik baru, BFS baru (Tableau baru) Kembali ke langkah 3

Dokumen baru

Dokumen yang terkait

31 Transformasi Genetik Nicotiana benthamiana dengan Gen CP untuk Mendapatkan Ketahanan Tanaman terhadap Peanut Stripe Virus (Genetic Transformation of Nicotiana benthamiana With CP Gen to Obtain Plant Resistance Again Peanut Stripe Virus) Nur YASIN
0
0
7
Retraksi gingiva sebelum pencetakan untuk mendapatkan gigitiruan cekat yang ideal Gingiva retraction before impression to get an ideal fixed prostheses restoration
0
0
7
Peran Pemerintah Serta Pemuka Agama dalam Membentuk Perilaku Masyarakat Salatiga untuk Hidup Berdampingan Melalui Tagline “Kota Salatiga Hati Beriman”
0
0
22
Aplikasi Sistem Informasi Geografi untuk Menentukan Daerah Prioritas Rehabilitasi di Cekungan Bandung
0
0
13
Sources, and Water purification), hal ini mengingatkan kita untuk menjaga keseimbangan Agent, Host, dan
0
0
5
Ekspresi pRb untuk Membedakan Neoplasma Tiroid Jinak dan Ganas Dibandingkan dengan Gambaran Hsitopatologi
0
0
5
Aplikasi Metode Whole Chromosome Painting untuk Mendeteksi Aberasi Kromosom pada Tumor Padat
0
0
8
Tampilan p63 Papilloma Sinonasal untuk Memprediksi Transfor- masi Maligna Menjadi Karsinoma Sel Skuamosa
0
0
7
Pengembangan Mikroskop dengan Mikrokontroler dan Cahaya Monokromatis untuk Mendeteksi Parasit Malaria
0
0
8
Potensi Acacia crassicarpa sebagai bahan baku PulP kertas untuk hutan tanaman industri
0
0
12
Menggunakan Meta Analisis untuk Menulis Disertasi
0
0
29
Abstrak: Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan permasalahan yang timbul
0
0
19
Abstrak : PNS dituntut untuk patuh dan taat terhadap peraturan perundang-
0
0
28
Abstrak : Pada era otonomi daerah bagi pemerintahan daerah untuk membangun
0
0
17
SELAMAT DATANG KOMISI APARATUR SIPIL NEGARA Permasalahan, Tantangan dan Harapan untuk Reformasi Birokrasi
0
0
16
Show more