Model regresi poisson bivariat untuk memprediksi peringkat klub sepak bola - USD Repository

Gratis

0
0
131
7 months ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT UNTUK MEMPREDIKSI PERINGKAT KLUB SEPAK BOLA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Arga Sari Ardhi Rahayu NIM : 103114002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014 i

(2) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI SKRIPSI MODEL REGRESI POISSON BTVARIAT I]NTUK MEMPREDIKSI PERINGKAT KLUB SEPAK BOLA ryq \I s. ff a l/y: %"frs h -hR' tr p *& $ LT\
(3) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI SKRIPSI MODEL REGRESI POISSON BTVARIAT T]NTT]K MEMPREDIKSI PERINGKAT KLUB SEPAK BOLA Dipersiapkandan ditulis oleh : Arga SariArdhi Rahayu NM :103114002 Telahdipertahankandi depanPanitiaPenguji padatanggat,lSAgustus2014 'WgffitelahhQghi syarat ry*" mr .s hN,,B Ketua andaTangan Sekretaris Anggota ** 18Agustus 2014 FakultasSainsdan Teknologi UniversitasSanataDharma S.Si.,M.Sc.) ill

(4) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini sebagai bukti kasih setia Tuhan Yesus dalam hidupku. Segala perkara dapat kutanggung di dalam Dia yang memberi kekuatan kepadaku. ( Filipi 4: 13 ) ….KAKI yang akan berjalan lebih jauh dari biasanya, TANGAN yang akan berbuat lebih banyak dari biasanya, MATA yang akan menatap lebih lama dari biasanya, LEHER yang akan lebih sering melihat ke atas, lapisan TEKAD yang 1000 kali lebih keras dari baja, HATI yang akan bekerja lebih keras dari biasanya, serta MULUT yang akan selalu berdoa….. ( 5 cm ) Karya ini aku persembahkan untuk : Orang-orang terkasih: bapak, ibu, Milano, dan Tian Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2010 Orang-orang terbaik: sahabat-sahabat sepelayanan GKJ Wonosari iv

(5) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI PERNYATAAN KEASLIAN KARYA bahwa skripsi yang saya tulis ini Sayamenyatakandengansesungguhnya tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan layaknyakarya ilmiah. dalamkutipan ataudaftarpustaka,sebagaimana Yogyakarta,4 Agustus2014 Penulis Arga Sari Ardhi Rahayu

(6) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRAK Arga Sari Ardhi Rahayu. 2014. Model Regresi Poisson Bivariat untuk Memprediksi Peringkat Klub Sepak Bola. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah aplikasi model regresi Poisson bivariat dalam sepak bola. Hasil pertandingan sepak bola tidak mudah untuk diketahui secara pasti, sehingga membuat para penggemar sepak bola lebih sering hanya menebak-nebak tim mana yang akan menang dan berada di peringkat teratas. Namun, dalam proses memprediksi peringkat dapat digunakan model regresi Poisson bivariat, sebagai berikut : untuk i = 1,2,…,n dimana i adalah banyaknya percobaan atau pertandingan, menyatakan banyaknya gol yang dicetak sebagai tim tuan rumah, menyatakan banyaknya kemasukan gol yang dialami sebagai klub tamu, menyatakan banyaknya gol yang dicetak sebagai klub tamu, menyatakan banyaknya kemasukan gol yang dialami sebagai klub tuan rumah, dan dan menyatakan total poin sebagai klub tuan rumah dan klub tamu, menyatakan rata-rata, merupakan parameter konstan, dan merupakan parameter home effect ( HE ). Untuk menduga parameter regresi, digunakan metode kemungkinan maksimum dan diselesaikan dengan metode Newton. Persamaan parameter yang diselesaikan menggunakan metode Newton, yaitu di mana t = 0,1,2,…; j = 1,2; merupakan matriks Hessian. merupakan vektor gradien dan Peringkat klub sepak bola didapat dengan memprediksi model regresi yang hasilnya berupa total poin, selanjutnya total poin diperingkat sesuai dengan nilainya.. vi

(7) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRACT Arga Sari Ardhi Rahayu. 2014. Bivariate Poisson Regression Model for Predicting Football Club Rating. A Thesis. Mathematics Study Program, Departement of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta. The topic that is covered in this thesis is the application of bivariate Poisson regression models in football. It is not easy to know the result of a football match; therefore, it makes the football fans only guess which club will win and be on the top rank. However, the process can be used to predict ratings bivariate Poisson regression model, as follows: for i = 1,2,…,n where i is the number of trials or the matches, of goals scored by the home club, guest, is the number is a number of experienced club conceded is a number of goals scored by the guest club, is a number of goals conceded experienced by the home club, and is the total point of the and is a mean, is a constant parameter, and home and the guest club, is the home effect parameter ( HE ). The regression parameters is estimated by using the maximum likelihood method and it would be solved by Newton’s method. The equation parameters that were solved by using Newton’s method: where t = 0,1,2,…; j = 1,2; Hessian matrix. is a gradient vector, and is a The football clubs rank was obtained by predicting the regression model in form of total point; then, it was ranked in accordance with the score. vii

(8) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika. 2. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi dan pembimbing akademik yang telah meluangkan banyak waktu dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran. 3. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis. 4. Kedua orang tua, Bapak Sukardi dan Ibu Tri Rahayu, yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi. 5. Milano Yuda Pramuktya (adik) dan Kristian Wijanarko yang selalu memberikan canda tawa, semangat, dan doa. 6. Astri, Celly, Ayu, Tika, Ratri, Yohan, Pandu, Roy, Marsel, Yosi, Dini, Agnes, Sari, dan Leni, terima kasih untuk canda tawa, kebersamaan, dan semangat yang selalu diberikan pada penulis. viii

(9) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7. Teman-teman sepelayanan GKJ Wonosari yang senantiasa memberikan doa dan semangatnya. 8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca. Yogyakarta, 4 Agustus 2014 Penulis ix

(10) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertandatangandi bawah ini, sayamahasiswaUniversitasSanataDharma Nama : Arga Sari Ardhi Rahayu NIM : 103114002 Demi pengembanganilmu pengetahuan,saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas SanataDharma, Karya Ilmiah sayayang berjudul : Model RegresiPoissonBivariat untuk Memprediksi Peringkat KIub SepakBola besertaperangkat-perangkatyang diperlukan (bila ada). Dengan demikian, saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma dan hak untuk menyimpan, mengalihkandalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk pangkalandata, mendistribusikansecaraterbatas,dan mempublikasikaruryadi internet atau media lain untuk kepentingan akademis tartpa perlu minta ijin dari saya maupun memberi royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pemyataanini sayabuat sebenarrTya. Dibuat di Yogyakarta Padatanggal: 4 Agustus2014 Yang menyatakan Rahayu)

(11) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL.................................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................ ii HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................... v ABSTRAK ................................................................................................. vi ABSTRACT ............................................................................................... vii KATA PENGANTAR ............................................................................... viii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ....... x DAFTAR ISI .............................................................................................. xi DAFTAR TABEL ...................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................. xv BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................... 1 B. Rumusan Masalah .......................................................................... 7 C. Batasan Masalah ............................................................................. 7 D. Tujuan Penulisan ............................................................................ 7 E. Metode Penulisan ........................................................................... 8 F. Manfaat Penulisan .......................................................................... 8 G. Sistematika Penulisan ..................................................................... 8 BAB II DASAR TEORI PROBABILISTAS DAN REGRESI ................. 10 A. Variabel Random ............................................................................ 10 xi

(12) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI B. Distribusi Probabilitas Bersama ..................................................... 13 C. Distribusi Poisson ........................................................................... 18 D. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation) ..................................................................................... 20 E. Analisis Regresi.............................................................................. 22 1. Model Regresi Linear .............................................................. 23 2. Penduga Parameter Regresi ...................................................... 25 F. Model Regresi Poisson ................................................................... 27 1. Penduga Parameter Regresi Poisson ....................................... 29 G. Metode Newton .............................................................................. 33 BAB III MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT ................................ 49 A. Model Regresi Poisson Bivariat ..................................................... 49 B. Penduga Parameter Regresi Poisson Bivariat ................................ 50 BAB IV APLIKASI MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT UNTUK MEMPREDIKSI PERINGKAT KLUB SEPAK BOLA ............ 61 A. Home Effect .................................................................................... 68 B. Aplikasi Model Regresi Poisson Bivariat untuk Memprediksi Peringkat Klub Sepak Bola ............................................................ 69 BAB V PENUTUP ..................................................................................... 89 A. Kesimpulan..................................................................................... 89 B. Saran ............................................................................................... 91 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 92 xii

(13) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.2 Iterasi Contoh Penerapan Penduga Parameter Regresi Poisson Bivariat ...................................................................................... 58 Tabel 3.3 Iterasi Contoh Penerapan Penduga Parameter Regresi Poisson Bivariat ...................................................................................... 59 Tabel 4.1 Contoh Data Hasil Pertandingan Sepak Bola ............................ 68 Tabel 4.2 Data Hasil Pertandingan Sepak Bola di Liga Inggris Musim Pertama Tahun 2012/2013 ......................................................... 72 Tabel 4.3 Data Hasil Pertandingan Sepak Bola di Liga Inggris Tahun 2013/2014 .................................................................................. 72 Tabel 4.4 Data Hasil Pertandingan Sepak Bola di Liga Inggris Musim Pertama Tahun 2013/2014 ......................................................... 73 Tabel 4.8 Data Prediksi Hasil Pertandingan Musim Terakhir Tahun 2012/2013 .................................................................................. 77 Tabel 4.9 Data Nyata Hasil Pertandingan Musim Terakhir tahun 2012/2013 ................................................................................. 77 Tabel 4.13 Data Prediksi Hasil Pertandingan Akhir Kompetisi Tahun 2013/2014 ................................................................................. 82 Tabel 4.14 Data Nyata Hasil Pertandingan Akhir Kompetisi Tahun 2013/2014 ................................................................................. xiii 82

(14) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tabel 4.17 Data Prediksi Hasil Pertandingan Musim Terakhir Tahun 2013/2014 .................................................................................. 86 Tabel 4.18 Data Nyata Hasil Pertandingan Musim Terakhir Tahun 2013/2014 .................................................................................. xiv 87

(15) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ....................... 93 Lampiran 2 Tabel 3.1 Contoh Data ........................................................ 98 Lampiran 3 Uji Distribusi Poisson Tabel 3.1 Menggunakan SPSS ....... 99 Lampiran 4 Program Matlab untuk Menduga Parameter Regresi Poisson Bivariat Tabel 3.1 .................................................. Lampiran 5 Uji Distribusi Poisson Tabel 4.2, Tabel 4.3, dan Tabel 4.4 Menggunakan SPSS ........................................................... Lampiran 6 100 102 Program Matlab untuk Menduga Parameter Regresi Poisson Bivariat Data Hasil Pertandingan Sepak Bola di Liga Inggris ........................................................................ Lampiran 7 104 Tabel 4.5 dan Tabel 4.6 Iterasi Data Hasil Pertandingan Sepak Bola untuk Menduga Parameter Regresi Poisson Bivariat ............................................................................... Lampiran 8 Tabel 4.7 Data Hasil Pertandingan Sepak Bola Musim Terakhir Tahun 2012/2013 ................................................. Lampiran 9 106 108 Tabel 4.10 dan Tabel 4.11 Iterasi Data Hasil Pertandingan Sepak Bola untuk Menduga Parameter Regresi Poisson Bivariat ............................................................................... 109 Lampiran 10 Tabel 4.12 Data Hasil Pertandingan Sepak Bola Musim Terakhir Tahun 2013/2014 ................................................. xv 113

(16) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 11 Tabel 4.15 dan Tabel 4.16 Iterasi Data Hasil Pertandingan Sepak Bola untuk Menduga Parameter Regresi Poisson Bivariat ............................................................................... xvi 114

(17) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sepak bola merupakan olah raga yang sangat populer di dunia, karena permainan sepak bola mudah dilakukan dan peraturan permainannya cukup sederhana dibandingkan dengan olah raga lainnya. Karena sangat populer dan diminati banyak orang, maka dibentuklah organisasi sepak bola dunia bernama Federation of International Football Association ( FIFA ) yang beranggotakan negara-negara di seluruh dunia. FIFA berhak membuat peraturan-peraturan yang harus dipatuhi oleh negara anggota FIFA agar pertandingan sepak bola dapat berjalan dengan tertib. Salah satu kesepakatan yang dibuat FIFA adalah dalam menentukan poin saat menang, kalah, dan seri. Jika menang akan mendapat 3 poin, seri mendapat 1 poin, dan kalah mendapat 0 poin. FIFA juga membuat kesepakatan tentang pertandingan kandang dan tandang dalam sebuah kompetisi, misalnya dalam Liga Inggris juga menggunakan sistem kandang dan tandang. Tiap negara mempunyai divisi yang berbeda-beda, karena jumlah klub yang dimiliki tiap negara tidaklah sama. Divisi adalah tingkatan dalam pertandingan sepak bola. Setiap klub di tiap divisi berusaha untuk meningkatkan kualitas permainan agar mampu mencapai divisi tertinggi, misalnya dalam Liga Inggris, merupakan liga paling atas di negara Inggris. Tiap klub yang berada di bawah liga utama di suatu negara, akan berlomba-lomba untuk mencapai peringkat teratas di liga tersebut agar di musim kompetisi berikutnya dapat dipromosikan ke dalam liga utama. Sebagai contoh, dalam Liga Inggris, klub-klub yang berada di bawah 1

(18) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2 liga utama berlomba-lomba untuk mencapai peringkat tiga terbaik, agar dapat dipromosikan ke liga utama untuk menggantikan klub-klub yang terdegradasi. Ini berarti tidak semua klub dapat masuk dalam liga utama, hanya klub yang memiliki peringkat tinggi yang dapat bertanding di liga utama. Saat ini, cara memeringkat klub sepak bola hanya didasarkan pada jumlah poin yang didapat dari klub-klub yang bertanding. Jika suatu klub menang dalam suatu kompetisi, maka klub tersebut akan mendapat poin 3, jika kalah akan mendapat poin 0, dan jika seri akan mendapat poin 1. Dari poin tersebut biasanya dibuat peringkat agar dapat diketahui posisi klub tersebut dibanding dengan klubklub lainnya. Kata “peringkat” menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) berarti tingkat, pangkat, sedangkan “pemeringkatan” berasal dari kata “peringkat” yang mendapat imbuhan pe-an yang berarti proses memeringkat. Secara umum, pemeringkatan dapat digunakan untuk mengetahui juara dalam suatu kompetisi dan mengukur kualitas klub yang bersangkutan, selain itu klub yang mendapat peringkat terbaik juga akan memperoleh keuntungan finansial. Dalam permainan sepak bola, pemeringkatan memiliki manfaat yang cukup besar. Misalnya, jika sebuah klub mengikuti kompetisi di divisi utama dan dapat berada di peringkat teratas, maka klub tersebut berhak untuk mengikuti kompetisi yang lebih besar dari kompetisi sebelumnya, sehingga rating klub tersebut akan naik. Dari manfaat tersebut, tidak heran jika memprediksi peringkat dalam permainan sepak bola itu penting bagi suatu klub. Jika suatu klub memiliki target

(19) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3 untuk dapat masuk dalam liga yang lebih besar, namun peringkat yang dimiliki tidak memungkinkan klub tersebut untuk mengambil bagian dalam liga tersebut, maka klub tersebut dapat mengubah strategi atau mengambil tindakan lain agar klub tersebut dapat meraih poin yang ditargetkan sehingga peringkat klub itu dapat naik. Adapun salah satu contoh konkrit yang berkaitan dengan pemeringkatan adalah sebagai berikut, di pertandingan Liga Inggris musim 2012/2013 ada 20 klub yang berada di divisi utama. Klub POS P W D L GF GA GD 1 Manchester United 38 28 5 5 86 43 43 2 Manchester City 38 23 9 6 66 34 32 3 Chelsea 38 22 9 7 75 39 36 4 Arsenal 38 21 10 7 72 37 35 5 Tottenham Hotspur 38 21 9 8 66 46 20 6 Everton 38 16 15 7 55 40 15 7 Liverpool 38 16 13 9 71 43 28 8 West Bromwich 38 14 7 17 53 57 -4 9 Swansea City 38 11 13 14 47 51 -4 10 West Ham United 38 12 10 16 45 53 -8 11 Norwich City 38 10 14 14 41 58 -17 12 Fulham 38 11 10 17 50 60 -10 13 Stoke City 38 9 15 14 34 45 -11 14 Southampton 38 9 14 15 49 60 -11 15 Aston Villa 38 10 11 17 47 69 -22 16 Newcastle United 38 11 8 19 45 68 -23 17 Sunderland 38 9 12 17 41 54 -13 18 Wigan Athletic 38 9 9 20 47 73 -26 19 Reading 38 6 10 22 43 73 -30 20 Queens Park Rangers 38 4 13 21 30 60 -30 sumber : http://www.premierleague.com/en-gb/matchday/league-table.html?season=2012- PTS 89 78 75 73 72 63 61 49 46 46 44 43 42 41 41 41 39 36 28 25 2013&month=MAY&timelineView=date&toDate=1368918000000&tableView=CURRENT_STANDINGS Keterangan:  POS: peringkat  P : jumlah pertandingan  W : menang  GF : jumlah gol yang dicetak  GA : jumlah kemasukan gol  GD : selisih GF dengan GA

(20) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI  D  L : seri : kalah 4  PTS: total poin Wigan, Reading dan QPR adalah tiga klub terbawah di divisi utama, maka tiga klub paling bawah itu akan terdegradasi. Dan tiga klub yang berada di bawah liga utama inggris, seperti Cardiff, Hullcity, dan Crystal Palace akan dipromosikan ke divisi utama Liga Inggris. Hasil dari pertandingan sepak bola sampai saat ini belum dapat diketahui secara pasti, sehingga para penggemar sepak bola lebih sering hanya menebaknebak klub mana yang akan menang di antara kedua klub yang bertanding. Secara umum, ada dua cara memeringkat, yaitu memeringkat secara intuitif dan memeringkat menggunakan data. Memeringkat secara intuitif adalah menetapkan peringkat yang diperoleh dari feeling, menebak-nebak, atau bahkan berdasarkan keegoisan masing-masing orang yang menjadi penggemar dari klub yang akan bertanding dalam memprediksi hasil pertandingan di suatu kompetisi. Sedangkan memeringkat dengan data adalah menetapkan peringkat yang diperoleh dengan memprediksi hasil pertandingan sebelumnya. Memprediksi hasil pertandingan sepak bola cukup sulit, karena perlu menentukan nilai kemungkinan yang tepat, untuk itu diperlukan suatu model matematika untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Dalam memodelkan permasalahan tersebut diperlukan pengamatan hasil pertandingan. Saat mengamati hasil pertandingan suatu klub, banyaknya gol yang didapat oleh klub tersebut tidak tergantung dengan gol yang telah diraih di pertandingan sebelumnya. Semakin lama jangka waktu yang tersisa dalam suatu

(21) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5 pertandingan, maka peluang klub tersebut untuk mencetak gol semakin besar. Mempertimbangkan hal-hal tersebut maka data yang didapat dari hasil pertandingan memiliki ciri yang sama dengan ciri-ciri percobaan Poisson. Percobaan Poisson adalah percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak Y, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu. Adapun ciri-ciri percobaan Poisson, yaitu 1. Kejadian satu peristiwa dengan peristiwa lain pada selang waktu tertentu adalah independen. Dalam pertandingan sepak bola, poin yang didapat dalam interval 15-21 dalam total poin tidak tergantung pada poin dalam interval 0 – 3 dalam total poin. 2. Suatu peristiwa dapat terjadi secara acak dan pada selang waktu tertentu. Dalam suatu kompetisi sepak bola, kemungkinan terjadinya menang ( 3 poin ), kalah ( 0 poin ), atau seri ( 1 poin ) hanya pada interval 0-57 dalam total poin ( 19 kali pertandingan ) dan belum dapat diprediksi kapan kemungkinan itu terjadi. 3. Peluang kejadian suatu peristiwa sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat peristiwa terjadi. Dalam sepak bola, peluang terjadinya menang ( 3 poin ), kalah ( 0 poin ), atau seri ( 1 poin ) pada selang 0-36 dalam total poin lebih besar dari selang 48-57 dalam total poin. Karena kemiripan sifat hasil pertandingan sepak bola dengan sifat percobaan Poisson, maka proses memeringkat dapat didekati dengan distribusi Poisson yang berbasis pada percobaan Poisson.

(22) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 6 Distribusi Poisson menjadi salah satu alat untuk memprediksi hasil dalam suatu pertandingan sepak bola. Distribusi tersebut digunakan untuk mengetahui peluang suatu kejadian acak pada selang waktu tertentu. Peluang banyaknya gol yang akan diciptakan oleh masing-masing klub dapat ditentukan menggunakan distribusi Poisson. Selain itu, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memprediksi peringkat klub dalam suatu pertandingan. Namun, dalam skripsi ini hanya akan dibahas tentang distribusi Poisson untuk memprediksi peringkat klub sepak bola. Distribusi Poisson diklasifikasikan menjadi dua, yaitu distribusi Poisson univariat dan distribusi Poisson multivariat. Pengklasifikasian ini didasarkan pada banyaknya variabel tak bebas yang digunakan. Dalam memodelkan hasil pertandingan, akan digunakan dua variabel tak bebas, yaitu Y1 yang menyatakan total poin sebagai klub tuan rumah dan Y2 menyatakan total poin sebagai klub tamu, sehingga distribusi Poisson yang digunakan adalah distribusi Poisson bivariat. Proses untuk mendapatkan peringkat klub sepak bola didapat dari membuat model regresi Poisson. Model regresi adalah model hubungan antara variabel yang mengikuti suatu distribusi tertentu. Sedangkan model regresi Poisson adalah model regresi yang variabel tak bebasnya mengikuti distribusi Poisson. Dengan asumsi variabel tak bebas dalam konteks sepak bola ini mengikuti distribusi Poisson bivariat, maka untuk memprediksi peringkat menggunakan model regresi Poisson bivariat. Peringkat klub sepak bola dapat diprediksi dengan menghitung total poin tiap klub dari pertandingan yang telah dilakukan, misalnya pertandingan dalam

(23) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7 satu musim dan dituangkan dalam bentuk tabel, kemudian digunakan model regresi Poisson bivariat untuk menyelesaikannya. A. Rumusan Masalah Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu : 1. Apa yang dimaksud dengan regresi Poisson bivariat ? 2. Bagaimana memprediksi peringkat klub sepak bola menggunakan model regresi Poisson bivariat ? B. Batasan Masalah 1. Dalam skripsi ini, penulis akan membahas model regresi Poisson bivariat. 2. Dasar – dasar teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan model regresi Poisson bivariat. 3. Dalam skripsi ini hanya akan dibahas tentang distribusi Poisson untuk memprediksi peringkat klub sepak bola. 4. Data yang digunakan adalah data pertandingan sepak bola di Liga Inggris. C. Tujuan Penulisan Tujuan yang akan dicapai dalam tulisan ini adalah 1. Memahami model regresi Poisson bivariat dan cara mendapatkan parameter-parameternya. 2. Memperoleh model regresi Poisson bivariat untuk memprediksi peringkat klub sepak bola.

(24) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 8 D. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi buku – buku pendukung dan jurnal ilmiah yang berkaitan dengan model regresi Poisson bivariat untuk memprediksi peringkat hasil sepak bola. Data diolah menggunakan software Matlab dan SPSS. E. Manfaat Penulisan Manfaat penulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang regresi Poisson bivariat, membahas dasar-dasar teori yang terkain, dapat menentukan parameter-parameter dari model regresi Poisson bivariat, serta dapat memprediksi peringkat klub sepak bola menggunakan model regresi Poisson bivariat. F. Sistematika Penulisan BAB I : PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II : DASAR TEORI PROBABILITAS DAN REGRESI Bab ini menjelaskan tentang variabel random dan distribusi probabilitas, distribusi probabilitas bersama, distribusi Poisson, metode kemungkinan maksimum (MLE), analisis regresi, model regresi Poisson, metode Newton.

(25) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 9 BAB III : MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT Bab ini menjelaskan tentang model regresi Poisson bivariat, pendugaan parameter regresi Poisson bivariat. BAB IV : APLIKASI MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT UNTUK MEMPREDIKSI PERINGKAT KLUB SEPAK BOLA Bab ini menjelaskan tentang home effect, aplikasi model regresi Poisson bivariat untuk memprediksi peringkat klub sepak bola. BAB V : PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran.

(26) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB II DASAR TEORI PROBABILITAS DAN REGRESI A. Variabel Random Teorema 2.1 Untuk setiap fungsi distribusi probabilitas diskret p(x) , harus memenuhi : 1. p ( xi )  0 2.  p( x )  1 xi , untuk setiap xi i dengan i =1,2,… Bukti : 1. Sifat p( x)  0 berasal dari fakta bahwa nilai fungsi probabilitas diskret yang harus tidak negatif. 2. Nilai x1 , x2 ,... menggambarkan semua kemungkinan nilai X, kejadian X  x1 X  x2 ... merupakan partisi lengkap dari ruang sampel, sehingga  p ( x )   P( X  x )  1 xi i xi i ∎ Definisi 2.1 Misal X adalah variabel random diskret dengan fungsi probabilitas p(x) . Maka nilai harapan dari X , E (X ) , didefinisikan sebagai berikut : E ( X )   xp ( x) x 10

(27) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 11 Definisi 2.2 Misal X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas f (x) , maka nilai harapan dari X , E (X ) , didefinisikan sebagai berikut :  E( X )   xf ( x)dx  Teorema 2.2 Jika X variabel random dan c adalah konstanta, maka E (cX )  cE ( X ). Bukti : Pembuktian untuk variabel random diskret. n E (cX ) =  cxp ( x) i 1 n = c  xp ( x) i 1 = cE (X ) Pembuktian untuk variabel random kontinu.  E (cX ) =  cxf ( x)dx    = c xf ( x)dx  = cE (X ) ∎ Definisi 2.3 Andaikan X variabel random dan g (x) adalah fungsi dari variabel random X , nilai harapan dari fungsi variabel random X yang dinotasikan dengan Eg  X  didefinisikan sebagai berikut :

(28) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI (i) 12 Eg  X    g ( x) p( x) , jika X diskret dengan fungsi probabilitas x p(x) dan nilai sigmanya konvergen absolut. (ii) Eg  X     g ( x) f ( x)dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas  f (x) dan nilai integralnya ada. Teorema 2.3 Jika X dan Y variabel random yang independen dan g (x) dan h( y) adalah fungsi, maka Eg  X hY   Eg  X EhY  Bukti : Pembuktian untuk variabel random diskret Eg  X hY  =  g ( x)h( y) p( x, y) x, y =  g ( x ) p ( x )  h( y ) p ( y ) x y = Eg  X EhY  Pembuktian untuk variabel random kontinu Eg  X hY  =     g ( x)h( y) f ( x, y)dxdy     =   g ( x)h( y) f ( x) f ( y)dxdy  

(29) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI =     13  g ( x) f ( x)dx  h( y) f ( y)dy = Eg  X EhY  ∎ Definisi 2.4 Bila X adalah variabel random dengan nilai harapan E (X ) , variansi dari variabel random X didefinisikan sebagai nilai harapan dari ( X  E ( X )) 2 . Sehingga Var ( X )  E[ X  E ( X )]2 Definisi 2.5 Misal X adalah variabel random diskret dengan fungsi probabilitas p(x) dan nilai harapan E (X ) , maka Var ( X )   ( x  E ( X )) 2 p( x) x Definisi 2.6 Misal X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas f (x) dan nilai harapan E (X ) , maka  Var ( X )   ( x  E ( X )) 2 f ( x)dx  A. Distribusi Probabilitas Bersama Di banyak aplikasi akan ditemukan lebih dari satu variabel random, misalnya X 1 , X 2 ,..., X k . Secara matematis variabel-variabel tersebut dapat

(30) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dianggap sebagai komponen dari sebuah vektor 14 k-dimensi, X   X 1 , X 2 ,..., X k  ,yang mempunyai nilai x  x1 , x2 ,..., xk  . Definisi 2.7 Distribusi probabilitas bersama dari variabel random diskret berdimensi k , X   X 1 , X 2 ,..., X k  didefinisikan sebagai p( x1 , x2 ,..., xk )  P( X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X k  xk ) untuk semua kemungkinan nilai x  x1 , x2 ,..., xk  dari X . Definisi 2.8 Misal X   X 1 , X 2 ,..., X k  variabel random dengan fungsi probabilitas bersama p( x1 , x2 ,..., xk ) dan distribusi marginal p1 ( x1 ), p2 ( x2 ),..., pk ( xk ) . Variabel random dikatakan independen jika dan hanya jika p( x1 , x2 ,..., xk )  p1 ( x1 ) p2 ( x2 )... pk ( xk ) Definisi 2.9 Jika pasangan variabel random diskret  X 1 , X 2  mempunyai fungsi probabilitas bersama px1 , x2  , maka fungsi probabilitas marginal dari X 1 dan X 2 adalah p1 x1    px1 , x2  dan p 2 x2    px1 , x2  x2 x1

(31) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 15 Definisi 2.10 Jika X 1 , X 2 ,..., X k adalah variabel random yang berdistribusi bersama, maka fungsi distribusi probabilitas bersama dari X 1 , X 2 ,..., X k adalah F ( x1 , x2 ,..., xk )  P( X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X k  xk ) Definisi 2.11 Nilai vektor variabel random berdimensi k, X=  X 1 , X 2 ,..., X k  dikatakan kontinu jika ada fungsi f x1 , x2 ,..., xk  , yang disebut fungsi densitas bersama dari X, sedemikian sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan xk x2 x1   F x1 , x2 ,..., xk    ...   f x , x ,..., x dx dx ...dx 1 2 k 1 2 k untuk semua x  x1 , x2 ,..., xk . Akibat dari definisi di atas, fungsi densitas bersama dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif melalui diferensiasi, yaitu : f x1 , x2 ,..., xk   k F x1 , x2 ,..., xk  x1x2 ...xk Definisi 2.12 Jika pasangan variabel random kontinu  X 1 , X 2  mempunyai fungsi densitas bersama f x1 , x2  , maka fungsi probabilitas marginal dari X 1 dan X 2 adalah

(32) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI f1 x1     f x1 , x 2 dx 2 dan f 2 x2    16   f x , x dx 1 2 1  Definisi 2.13 Jika pasangan variabel random kontinu  X 1 , X 2  mempunyai fungsi probabilitas bersama px1 , x2  , maka fungsi probabilitas marginal dari X 1 dan X 2 adalah p1 x1    px1 , x2  dan p 2 x2    px1 , x2  x2 x1 Definisi 2.14 Andaikan X 1 dan X 2 variabel random diskret dengan fungsi probabilitas bersama p( x1 , x2 ) dan fungsi probabilitas marginal p1 ( x1 ) dan p2 ( x2 ) secara berturutturut : (i) Fungsi probabilitas bersyarat dari X 1 dengan diketahui X 2  x2 adalah sebagai berikut p( x1 | x2 )  p( x1 , x 2 ) p2 ( x2 ) dengan p2 ( x2 )  0 (ii) Fungsi probabilitas bersyarat dari X 2 dengan diketahui X 1  x1 adalah sebagai berikut p( x 2 | x1 )  dengan p1 ( x1 )  0 p( x1 , x 2 ) p1 ( x1 )

(33) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 17 Definisi 2.15 Andaikan X 1 dan X 2 variabel random diskret dengan fungsi probabilitas bersama p( x1 , x2 ) dan fungsi probabilitas marginal p1 ( x1 ) dan p2 ( x2 ) secara berturutturut : (i) Fungsi probabilitas bersyarat dari X 1 dengan diketahui X 2  x2 adalah sebagai berikut px1 , x 2  p 2 x2  , p 2 x2   0 p( x1 | x2 )  0 ,selainnya (ii) Fungsi probabilitas bersyarat dari X 2 dengan diketahui X 1  x1 adalah sebagai berikut px1 , x 2  p1 x1  , p1 x1   0 p( x2 | x1 )  0 ,selainnya Definisi 2.16 Andaikan variabel random X dan Y berdistribusi bersama, nilai harapan bersyarat dari Y jika diketahui X  x dinotasikan dengan E (Y | x) didefinisikan sebagai berikut (i) E (Y | X )  y yp ( y | x) , jika X dan Y diskret dengan fungsi probabilitas bersyarat p( y | x).

(34) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 18  E (Y | X )  (ii)  yf ( y | x)dy , jika X dan Y kontinu dengan fungsi densitas  bersyarat f ( y | x). B. Distribusi Poisson Percobaan Poisson adalah percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu variabel random Y, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Selang waktu tertentu dapat berupa semenit, sehari, seminggu, sebulan, setahun, dan seterusnya. Sedangkan daerah tertentu dapat berupa satu meter, satu meter kubik, dan lainlain. Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut : 1. Kejadian satu peristiwa dengan peristiwa lain pada selang waktu tertentu adalah independen. 2. Suatu peristiwa dapat terjadi secara acak dan pada selang waktu tertentu. 3. Peluang kejadian suatu peristiwa sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat peristiwa terjadi. Definisi 2.17 Variabel random diskret Y dikatakan berdistribusi probabilitas Poisson jika dan hanya jika p( y )  y y! e  , y  0,1,2,... dengan   0

(35) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 19 Variabel Y yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut variabel random Poisson. Teorema 2.4 Jika Y adalah variabel berdistribusi Poisson dengan parameter  , maka   E(Y )   dan  2  V (Y )   Bukti : (i) Bukti untuk nilai harapan Dari definisi nilai harapan, E (Y ) =  yp ( y) y  = y  y e  y! y 0  y e   =  ( y  1)! y 0 =   y 1 ( y 1) e   ( y  1)! dimisalkan z = y-1, maka  z e  z 0 z! =  Ingat bahwa p( z )  z e  z!  random Poisson dan  p( z )  1 , sehingga z 0 = .1 = adalah fungsi probabilitas untuk variabel

(36) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 20 (ii) Bukti untuk variansi Dari definisi variansi, Var (Y )    y  E (Y ) p(Y ) 2 y atau Var (Y )  E (Y 2 )  E (Y ) 2   dengan E (Y 2 )  E Y 2  Y  E (Y )  EY (Y  1)  E (Y ) , sehingga EY (Y  1)  =  y 0 y ( y  1)e    y = y! e    y  2 2 y  2 ( y  2)!   e   y 2 y  2 ( y  2)!  = 2  misalkan x  y  2 , maka : e  x 2 =  (1) = 2 x! x 0  = 2  E (Y 2 )  2   sehingga diperoleh Var (Y ) = E (Y 2 )  E (Y ) = 2    2 2 = ∎ C. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation) Metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) adalah metode yang digunakan untuk menentukan penduga yang memaksimumkan fungsi kemungkinan. Ide dasar dari metode ini adalah mencari nilai parameter yang berkorespondensi dengan kemungkinan (likelihood) yang paling besar dari

(37) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 21 suatu data yang terobservasi sebagai suatu penduga dari parameter yang tak diketahui. Definisi 2.18 Andaikan X 1 , X 2 ,..., X n adalah variabel random kontinu dan  adalah sebuah vektor parameter dari X 1 , X 2 ,..., X n . Fungsi densitas gabungan dari X 1 , X 2 ,..., X n dapat ditulis sebagai hasil kali dari fungsi densitas bersyarat sebagai berikut : n f ( x1 , x2 ,..., xn |  )   f ( xi |  ) i 1 Definisi 2.19 Bila X 1 , X 2 ,..., X n adalah variabel random yang memiliki fungsi densitas bersama f ( x1 , x2 ,..., xn |  ) . Bila diketahui nilai terobservasi X i  xi , dimana i  1,2,..., n merupakan kemungkinan dari  sebagai suatu fungsi dari x1 , x2 ,..., xn didefinisikan n L( )  f ( x1 , x2 ,..., xn |  )   f xi |   i 1 Definisi 2.20 Logaritma dari fungsi kemungkinan (likelihood function), yang disebut kemungkinan log (log-likelihood) didefinisikan sebagai berikut n ln L( | x1 , x2 ,..., xn ) = ln  f ( xi |  ) i 1 n =  ln f ( x i 1 i |)

(38) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 22  Penduga maksimum likelihood  didapat dari turunan pertama fungsi log likelihood kemudian menyamakan turunan pertama tersebut ke nol.  ln L 0  D. Analisis Regresi Analisis regresi merupakan analisis untuk menjelaskan tentang hubungan antara dua variabel atau lebih. Dalam analisis regresi, dikenal dua jenis variabel, yaitu : 1) Variabel dependent ( variabel tak bebas ), yaitu variabel yang dipengaruhi oleh variabel lainnya. Variabel dependent biasanya dinotasikan dengan Y. 2) Variabel independent ( variabel bebas ), yaitu variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lainnya. Variabel independent biasanya dinotasikan dengan X. Analisis regresi bertujuan menganalisis hubungan antara Y dan X. Dalam analisis regresi linear, ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi. Asumsi dalam analisis regresi linear adalah sebagai berikut : 1. Model regresi harus linear dalam parameter. 2. Nilai X tetap disetiap percobaan, dengan kata lain nilainya bersifat nonstochastic. 3. Nilai  i yang diharapkan adalah nol dan secara simbolik dinyatakan dengan E  i | X i   0 .

(39) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 23 4. Variansi dari  i adalah sama atau bersifat homoskedastisitas, dan secara simbolik dinyatakan dengan var  i | X i    2 . 5. Tidak ada autokorelasi antara  i dan  j pada setiap nilai X i dan X j . Secara simbolik dinyatakan dengan cov  i ,  j | X i , X j   E i | X i  j | X j   0 . 6. Tidak ada korelasi antara  i dan X i . 7. Banyaknya observasi n harus lebih besar daripada banyaknya parameter yang diduga. 8. Variabel X harus bervariasi. 9. Model regresi ditetapkan dengan tepat. 10. Tidak ada multikolinearitas sempurna antar variabel bebas. 1. Model Regresi Linear Definisi 2.21 Model regresi linear k-variabel yang meliputi variabel tak bebas Y dan k variabel bebas X 2 , X 3 ,..., X k dapat ditulis sebagai berikut Yi  1   2 X 2i   3 X 3i  ...   k X ki   i di mana : Yi = variabel tak bebas 1 = intersep j = koefisien regresi dari variabel bebas ke-j (2.1)

(40) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI X ji = nilai variabel bebas ke-j pada pengamatan ke-i i = galat (error) i = 1,2,3,…,n j = 2,3,…,k n = ukuran populasi 24 Persamaan dalam Definisi 2.21 ,dapat dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi Y1  1 X 21 Y  1 X 22  2           Yn  1 X 2 n X 31  X k1   1    1  X 32  X k 2    2   2                X 3n  X kn    k   n  Matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut y = Xβ + ε dengan : y = vektor kolom dari variabel tak bebas berordo n  1 X = matriks dari variabel bebas berordo n  k  β = vektor kolom dari parameter berordo k  1 ε = vektor kolom dari galat berordo n  1 Berikut ini ada beberapa asumsi model regresi linear dalam notasi matriks, yaitu : a. Nilai harapan dari vektor galat ε adalah nol, sehingga E(ε) = 0, di mana ε dan 0 adalah vektor kolom , 0 merupakan vektor nol.

(41) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 25 b. Vektor galat ε tidak berkorelasi dengan vektor galat ε’, tetapi memiliki variansi yang sama.  1    2 E(ε ε’) = E   1  2   n      n  Secara ringkas dapat dinyatakan dengan E(ε ε’) = σ2I, di mana ε’ adalah transpose dari vektor kolom ε dan I adalah matriks identitas berordo n  n . c. Matriks X berordo n  k . terdiri dari bilangan - bilangan tetap ( tak stokastik ). d. Matriks X mempunyai derajat kolom sama dengan k ( = banyaknya kolom dalam X ), dan k lebih kecil dari n. e. Vektor galat ε memiliki distribusi normal multivariat ε ~ N(0,σ2I). 2. Pendugaan Parameter Regresi Parameter β dalam model regresi dapat diduga dengan salah satu metode pendugaan yaitu metode penduga kemungkinan maksimum (Maximun Likelihood Estimation). Misalkan dari persamaan model regresi pada persamaan (2.1), Yi berdistribusi normal, dan karena asumsi bahwa galat 𝛆 berdistribisi normal, ε ~ N(0,σ2I), dengan E(ε)=0, rata-rata E(Y) =μ=Xβ, dan var(𝛆)=σ2 ,sehingga fungsi probabilitas gabungan dari Y1,Y2,…,Yn dapat ditulis

(42) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI    n f Y1 , Y2 ,..., Yn |  ,  2   f Yi |  ,  2 26  i 1  1  Yi    2  bila diketahui f Yi   exp      merupakan fungsi densitas  2     2   1 dari variabel yang berdistribusi normal, sehingga fungsi probabilitas gabungannya menjadi    n f Y1 , Y2 ,..., Yn |  ,  2   f Yi |  ,  2  i 1  1  1  Yi    2    L(β) =   2 exp   2       i 1     n = 1   n 2 1  exp   2  2 n  Y i i 1 2     bila diketahui μ = Xβ, maka = 1 𝜎 2𝜋 𝑛 exp − 1 2𝜎 2 𝑛 𝑖=1 𝒀 − 𝑿𝜷 2 Untuk mendapatkan penduga kemungkinan maksimum dari β, digunakan fungsi log-likelihood sebagai berikut : ln L(β) karena diperoleh 1 = ln 𝑛 𝑖=1 𝒀 − 𝑿𝜷 1 = 𝑙𝑛 𝜎 2𝜋 𝑛 = 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 𝑛 𝜎 2𝜋 2 = 𝑛 𝑒𝑥𝑝 − 𝑛 2 𝑖=1 𝜀𝑖 𝑒𝑥𝑝 − 𝑛 2 − 1 2𝜎 2 𝑒𝑥𝑝 − = − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 2 1 2𝜎 2 1 1 2𝜎 2 𝑛 𝑖=1 𝒀 − 𝑿𝜷 = 𝜀 ′ 𝜀 = 𝒀 − 𝑿𝜷 ′ 𝒀 − 𝑿𝜷 ,sehingga 𝒀 − 𝑿𝜷 ′ 𝒀 − 𝑿𝜷 2𝜎 2 2 𝒀 − 𝑿𝜷 ′ 𝒀 − 𝑿𝜷 𝒀 − 𝑿𝜷 ′ 𝒀 − 𝑿𝜷

(43) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝑛 = − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 1 2 2𝜎 2 𝑛 1 = − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 2 2𝜎 2 𝑛 27 𝒀′ − 𝜷′𝑿′ 𝒀 − 𝑿𝜷 𝒀′ 𝒀 − 𝒀′ 𝑿𝜷 − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 = − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 2𝜎 2 𝒀′ 𝒀 − 𝒀′ 𝑿𝜷 ′ − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 1 2 𝑛 = − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 2 𝑛 = − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 2 1 2𝜎 2 1 2𝜎 2 𝒀′ 𝒀 − 𝜷′𝑿′𝒀 − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 𝒀′ 𝒀 − 2𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 Pendugaan untuk parameter 𝜷 adalah sebagai berikut 𝜕 𝜕 𝜕𝜷 𝑛 𝜕𝜷 ln 𝐿 𝜷 − 𝑙𝑛 2𝜋𝜎 2 − 2 1 2𝜎 2 𝒀′ 𝒀 − 2𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 − 1 2𝜎 2 −2𝑿′ 𝒀 + 2𝜷′𝑿′𝑿 𝑿′ 𝒀 𝜎2 − 𝜷𝑿′ 𝑿 𝜎2 − =0 =0 =0 𝜷𝑿′ 𝑿 𝜎2 =0 =− 𝑿′ 𝒀 𝜎2 𝜷𝑿′ 𝑿 = 𝑿′ 𝒀 𝜷 = 𝑿′𝑿 −1 𝑿′𝒀 E. Model Regresi Poisson Model regresi Poisson merupakan regresi yang menggambarkan hubungan antara variabel tak bebas (Y) dengan variabel bebas (X), dimana variabel tak bebas (Y) bersifat diskret yang bernilai bulat tak negatif dan berdistribusi Poisson. Sehingga dapat disimpulkan bahwa regresi Poisson terbentuk dari distribusi Poisson. Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data

(44) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 28 diskret yang variabel tak bebasnya berdistribusi Poisson, yang memiliki rata-rata (mean) dan variansi sama yaitu   0. Bila diberikan variabel tak bebas Yi berdistribusi Poisson dengan k variabel bebas X 2 , X 3 ,..., X k , persamaan regresi Yi dengan X 2 , X 3 ,..., X k dinyatakan seperti persamaan (2.1), maka nilai harapan bersyarat Yi dengan X2i = x2i , X3i = x3i ,…, Xki = xki sebagai berikut EYi | X 2i  x2i , X 3i  x3i ,..., X ki  xki   E1   2 X 2i  ...   k X ki   i | X 2i  x2i ,..., X ki  xki  = E1 | X 2i  x2i ,..., X ki  xki   E 2 X 2i | X 2i  x2i ,..., X ki  xki   ...  E k X ki | X 2i  x2i ,..., X ki  xki   E i | X 2i  x2i ,..., X ki  xki  menurut Teorema 2.2 dan asumsi regresi linear E ( ℰi | Xi ) = 0 , maka  1   2 E X 2i | X 2i  x2i ,..., X ki  xki   ...   k E X ki | X 2i  x2i ,..., X ki  xki   0  1   2 x2i   3 x3i  ...   k xki Dikarenakan Yi|Xki berdistribusi Poisson, maka nilai rata-ratanya E(Yi|Xki) = 1   2 x2i   3 x3i  ...   k xki = λ harus tak negatif ( dalam interval (0,  )), padahal telah diketahui bahwa nilai regresi 1   2 x2i  3 x3i  ...   k xki tak berhingga (   ,  ). Untuk itu, diperlukan fungsi penghubung ( link function ) g yang dapat membuat  memiliki nilai dalam interval (0,  ), yaitu dengan fungsi penghubung logaritma (logarithmic link), sehingga g ( )  1   2 x2i   3 x3i  ...   k xki g merupakan fungsi logaritma, sehingga model regresi Poisson menjadi ln    1   2 x2i   3 x3i  ...   k xki

(45) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 29 atau dapat juga dinyatakan dengan   exp (x β) Definisi 2.22 Model regresi Poisson dinyatakan dalam bentuk ln   x β di mana  adalah rata-rata yang bergantung pada vektor variabel x dan vektor koefisien β. Model regresi Poisson merupakan regresi non-linear yang termasuk keluarga eksponensial. 1. Penduga Parameter Regresi Poisson Parameter β dalam model regresi Poisson dapat diduga dengan salah satu metode penduga yaitu metode penduga kemungkinan maksimum (Maximun Likelihood Estimation). Fungsi probabilitas bersyarat Y bila diberikan X = x untuk   0 adalah p( y | x;  )  e   y , y  0,1,2,... di mana   exp (xβ), sehingga y! exp(-exp(xβ))(exp(xβ)y) p(y|x) = y! = exp(-exp(xβ))(exp(yxβ)) y! Fungsi probabilitas gabungannya sebagai berikut p(y1,…,yn|x21,…,xki; β)= 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑦𝑖 |𝒙𝑘𝑖 ; 𝜷

(46) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI = L(β) 30 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝑒𝑥𝑝 𝑦 𝑖 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝑛 𝑖=1 𝑦! Untuk mendapatkan penduga kemungkinan maksimum dari β, digunakan fungsi log-likelihood sebagai berikut : 𝑛 𝑖=1 𝑝 ln L(β) = ln 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝑒𝑥𝑝 𝑦 𝑖 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝑛 𝑖=1 𝑦! = ln = ln = = 𝑦𝑖 |𝒙𝑘𝑖 ; 𝜷 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝑛 𝑖=1 −𝑒𝑥𝑝 𝑛 𝑖=1 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝒙𝒌𝒊 𝜷 + + 𝑙𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝑦𝑖 𝒙𝒌𝒊 𝜷 − −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 + 𝑦𝑖 𝒙𝒌𝒊 𝜷 − 𝑙𝑛𝑦𝑖 ! 𝑦𝑖 𝒙𝒌𝒊 𝜷 − 𝑙𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑙𝑛 𝑦𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖 ! (2.2) Memaksimalkan nilai untuk 𝜷 , biasa dinotasikan dengan 𝜷 , dapat ditentukan dari k turunan pertama dari fungsi log-likelihood dan menyama dengankan nol. Misal diberikan persamaan regresi Poisson dengan variabel sebanyak k=2, maka g ( )  1   2 x2 ln    1   2 x2 Sehingga   exp 1   2 x2  Bila diketahui p( y | x;  )  e   y , y  0,1,2,... y! Maka, L   exp  exp 1   2 x2  exp  y1   2 x2  y!

(47) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI = 31 exp  exp 1   2 x2  exp  y1  y 2 x2  y!  exp  exp 1   2 x2  exp  y1   2 x2  ln L   ln   y!   = lnexp  exp 1   2 x2   lnexp  y1  y 2 x2   lny! =  exp 1   2 x2   y1  y 2 x2  ln y!   ln L   exp 1   2 x2   y1  y 2 x2  ln  y!  0  1 1  exp 1   2 x2   y  0  exp 1   2 x2    y 1   2 x2  ln y  1  ln y   2 x2  di mana  adalah penduga dari  .   ln L   exp 1   2 x2   y1  y 2 x2  ln  y!  0   2  2  x2 exp 1   2 x2   yx 2  0 y  exp 1   2 x2 x2  0  untuk mendapatkan  2 , maka digunakan metode Newton. Misal diberikan persamaan regresi Poisson dengan variabel sebanyak k =3, maka

(48) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 32 g ( )  1   2 x2   3 x3 ln    1   2 x2   3 x3 Sehingga   exp 1   2 x2   3 x3  Bila diketahui p( y | x;  )  e   y , y  0,1,2,... y! Maka, L   = exp  exp 1   2 x2   3 x3  exp  y1   2 x2   3 x3  y! exp  exp 1   2 x2   3 x3  exp  y1  y 2 x2  y 3 x3  y!  exp  exp 1   2 x 2   3 x3  exp  y1  y 2 x 2  y 3 x3  ln L   ln   y!   = lnexp  exp 1   2 x2   3 x3   lnexp  y1  y 2 x2  y 3 x3   lny! =  exp 1   2 x2   3 x3   y1  y 2 x2  y 3 x3  ln  y!  ln L    exp 1   2 x2   3 x3   y  0 1 y  exp 1   2 x2   3 x3   0 (2.3)  ln L    x2 exp 1   2 x2   3 x3   yx 2  0  2 y  exp 1   2 x2   3 x3 x2  0 (2.4)  ln L    x3 exp 1   2 x2   3 x3   yx3  0  3 y  exp 1   2 x2   3 x3 x3  0 (2.5)

(49) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 33 Persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) bila dinyatakan dengan matriks, maka akan menjadi   ln L     1   y  exp 1   2 x 2   3 x3   0   ln L    y  exp    x   x x   0 1 2 2 3 3 2     2     ln L   y  exp 1   2 x 2   3 x3 x3  0     3   Penduga parameter  dari persamaan (2.2) dapat diperoleh dengan  ln L      𝑛 𝑖=1 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 + 𝑦𝑖 𝒙𝒌𝒊 𝜷 − 𝑙𝑛𝑦𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝒙𝒌𝒊 ′ =0 =0 (2.6) Karena persamaan (2.6) tidak linear, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pendekatan yang disebut metode numeris. Salah satu metode numeris yang digunakan adalah metode Newton. F. Metode Newton Metode Newton adalah salah satu metode numeris yang digunakan untuk mencari solusi dari fungsi yang tidak linear. Metode ini didekati dengan deret Taylor, yaitu f x   f x1   f ' x1 x  x1   f ' ' x1 x  x1  f ' ' ' x1 x  x1    ... 2! 3! 2 3

(50) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Bila diketahui f  C 2 a, b. Misal 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 34 adalah aproksimasi untuk p sedemikian hingga 𝑓 ′ 𝑥 ≠ 0 dan |𝑥 − 𝑝| ‘kecil’. Polinomial Taylor berderajat 1 untuk 𝑓 𝑥 di sekitar 𝑥 dinyatakan sebagai berikut 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 𝑓′ 𝑥 + 𝑥−𝑥 2 2 𝑓′′ 𝜉 𝑥 (2.7) di mana 𝜉 𝑥 merupakan variabel yang menyatakan suku sisa dari deret Taylor, karena 𝑓 𝑝 = 0 dan x  p , persamaan (2.7) menjadi 0 = 𝑓 𝑥 + 𝑝 − 𝑥 𝑓′ 𝑥 + 𝑝−𝑥 2 2 𝑓′′ 𝜉 𝑝 Metode Newton sederhana dapat ditentukan dengan asumsi bahwa suku yang memuat (𝑝 − 𝑥)2 diabaikan, sehingga 0 ≈ 𝑓 𝑥 + 𝑝 − 𝑥 𝑓′ 𝑥 (2.8) maka penyelesaian untuk p pada persamaan (2.8) adalah 𝑝≈𝑥− 𝑓 𝑥 𝑓′ 𝑥 bila didekati dengan titik awal p 0 , maka menjadi p n  p n1  f  p n 1  , f '  p n1   0, n  1 f '  p n1  Misalkan diberikan dua persamaan tidak linear yang tidak diketahui dalam variabel x1 dan x 2 . f1 x1 , x2   0 f 2 x1 , x2   0

(51) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 35 Kedua fungsi tersebut dapat diperluas ke dalam deret Taylor di sekitar titik dugaan awal x1 1 dan x 2 1 sebagai berikut misal 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 ),  f1 x1 , x 2   f1 x1 , x 2 1   xf x 1 1 1  x1 1 1  f 2 x1 , x 2   f 2 x1 , x 2 1 1   xf x  x2 1 2   ... (2.9a)  x2 1 2   ... (2.9b) 1 2   fx x 2 1  x1 1 1   xf x 2 2 superscript (1) digunakan untuk menunjukkan banyaknya iterasi pendugaan. Misalkan ruas kiri dari persamaan (2.9a) dan (2.9b) disama dengankan nol dan dipangkas pada turunan kedua pada deret Taylor, sehingga menjadi              x2  x2 1 f f1 1 1 1 1 x1  x1  1 x2  x2   f1 x1 , x2 x2 x1 f f 2 1 1 1 1 x1  x1  2 x2  x2   f 2 x1 , x2 x2 x1 misal h1 1  x1  x1 1 dan h2 1 , maka   (2.10a)   (2.10b) f1 1 f1 1 1 1 h2   f1 x1 , x2 h1  x2 x1 f 2 1 f 2 1 1 1 h2   f 2 x1 , x2 h1  x2 x1 bila dinyatakan dalam bentuk matrik, persamaan (2.10a) dan (2.10b) menjadi  f1  x  1  f 2  x1 sehingga, f1  1  f1 1  x 2   h1      1  f 2  h 1   f2   2   x 2 

(52) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI  f1 1  x  h1  1  1     f  2 h2   x1 36 1 f1  1 x 2   f1    1  f 2  f  2  x 2  kemudian akar persamaan didapat dari rumus  x1n 1   x1n    h1n    n 1    n     n  , n  1  x2   x2  h2  Diberikan fungsi berdimensi n yang dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut 𝑎11 (𝒙) ⋯ 𝑎1𝑛 (𝒙) ⋮ ⋱ ⋮ 𝐴 𝒙 = 𝑎𝑛1 (𝒙) ⋯ 𝑎𝑛𝑛 (𝒙) (2.11) di mana tiap elemen 𝑎𝑖𝑗 (𝒙) adalah suatu fungsi dari ℝ𝑛 ke ℝ. 𝐴(𝒙)diperlukan untuk membangun 𝑮 𝒙 = 𝒙 − 𝐴(𝒙)−1 𝑭(𝒙) memberikan kekonvergenan secara kuadratik untuk penyelesaian dari 𝑭 𝒙 = 𝟎 , dengan asumsi 𝐴(𝒙) tak singular pada titik tetap 𝒑 di 𝑮. Definisi 2.23 Misalkan vektor 𝒙 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ′, norma pada x di ℝ𝑛 adalah 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 1 = 2 = 𝑝 ∞ = 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑥𝑖 2 1/2 𝑝 1/𝑝 = 𝑚𝑎𝑘𝑠1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖

(53) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 37 Definisi 2.24 Misal 𝑝𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen ke p dan himpinan En = p – pn untuk . Jika konstanta positif A ada, dan lim𝑛→∞ sehingga barisan 𝑝−𝑝 𝑛 +1 tersebut = lim𝑛 →∞ 𝑝−𝑝 𝑛 2 dikatakan 𝐸𝑛 +1 𝐸𝑛 2 konvergen =𝐴 ke p dengan derajat kekonvergenan 2 ( konvergen secara kuadratik ) dan A adalah konstanta eror asimtotik. Teorema 2.5 Misalkan 𝒑 adalah penyelesaian dari 𝑮 𝒙 = 𝒙 untuk fungsi 𝑮 = 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝑛 yang memetakan ℝ𝑛 ke ℝ𝑛 . Andaikan 𝛿 > 0 ada dengan (i) (ii) (iii) 𝜕𝑔 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝑇 kontinu di 𝑁𝛿 (𝒑) = 𝒙| 𝒙 − 𝒑 < 𝛿 , untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ; 𝜕 2 𝑔 𝑖 (𝒙) (𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 ) kontinu, dan 2 𝜕 𝑔𝑖 (𝒙) (𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘 ) ≤ 𝑀 untuk suatu konstanta M, saat 𝒙 ∈ 𝑁𝛿 , untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, dan 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 ; 𝜕𝑔 𝑖 (𝒑) 𝜕 𝑥𝑘 = 0, untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑘 = 1,2, … , 𝑛. Maka ada 𝛿 ≤ 𝛿 sedemikian hingga barisan yang dibangkitkan oleh 𝒙(𝑘) = 𝑮(𝒙 𝑘−1 ) konvergen secara kuadratik ke 𝒑 untuk setiap pilihan 𝒙(0) ,dengan syarat 𝒙(0) − 𝒑 < 𝛿. Selain itu 2 ∞ ∞ 𝒙(𝑘) − 𝒑 ≤ 𝑛2𝑀 2 𝒙(𝑘−1) − 𝒑 , untuk setiap 𝑘 ≥ 1

(54) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 38 Bukti : 𝑝1 𝑥 Tanpa mengurangi perumuman bukti, diasumsikan 𝒙 = 𝑦 , 𝒑 = 𝑝 , 𝑮 𝒙 = 2 𝑔1 (𝑥, 𝑦) . 𝑔2 (𝑥, 𝑦) Ambil 0 < w < 1 dan 𝛿 > 0 sedemikian hingga di 𝑁𝛿 (𝒑) berlaku ∇𝒈 𝒙 ∇𝒈 𝒙 = dengan 𝜕 2 𝑔 𝑖 (𝒙) (𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 ) ∇𝒈 𝒙 𝑔 1 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 𝑔 2 (𝑥,𝑦) 𝑔 1 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 𝑔 2 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 kontinu untuk setiap 𝑖 = 1,2 , ∞ ≤ 𝑤 < 1, maka 𝒑𝑛 ∞ 𝑛=0 ∞ 𝑔 1 𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑔 2 𝑌(𝑥, 𝑦) 𝑔 1 𝑋 (𝑥, 𝑦) 𝑔 2 𝑋 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑤, dan 𝑗 = 1,2 , dan 𝑘 = 1,2 . Karena termuat di 𝑁𝛿 (𝒑) dengan n adalah banyaknya barisan. Sehingga, perluasan 𝒈 𝑥, 𝑦 dalam polynomial Taylor untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁𝛿 (𝒑) adalah 𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑔1 𝑝1 , 𝑝2 + 𝑔 1 𝑋 𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑔2 𝑝1 , 𝑝2 + 𝑔 2 𝑋 + 1 2! 1 𝑔1 + 2! 𝑔 2 𝑋𝑋 𝑋𝑋 𝜉 (𝑥 − 𝑝1 )2 + 2𝑔 𝜉 (𝑥 − 𝑝1 )2 + 2𝑔 di mana 𝜉 berada di antara 𝒙 dan 𝒑. 𝑝1 , 𝑝2 𝑥 − 𝑝1 + 𝑔 1 𝑌 𝑝1 , 𝑝2 𝑥 − 𝑝1 + 𝑔 2 𝑌 1 𝑋𝑌 2 𝑋𝑌 𝜉 𝑥 − 𝑝1 𝑦 − 𝑝2 + 𝑔 1 2! +𝑔 𝑔 1 𝑋𝑋 1 𝑌𝑌 𝜉 (𝑥 − 𝑝1 )2 + 2𝑔 𝜉 (𝑦 − 𝑝2 )2 1 𝑋𝑌 1 𝑌𝑌 𝜉 (𝑦 − 𝑝2 )2 𝑝1 , 𝑝2 𝑦 − 𝑝2 𝜉 𝑥 − 𝑝1 𝑦 − 𝑝2 + 𝑔 Bila 𝒈 𝒑 = 𝒑 dan ∇𝒈 𝒑 = 𝟎, maka 𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑝1 + 𝑝1 , 𝑝2 𝑦 − 𝑝2 2 𝑌𝑌 𝜉 𝑥 − 𝑝1 𝜉 (𝑦 − 𝑝2 )2 𝑦 − 𝑝2

(55) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑝2 + (𝑛) misal 𝑥 = 𝑝1 (𝑛 +1) 𝑝1 (𝑛 +1) 𝑝2 1 𝑔 2! +𝑔 2 𝑋𝑋 𝜉 (𝑦 − 𝑝2 )2 2 𝑌𝑌 (𝑛) dan 𝑦 = 𝑝2 (𝑛) (𝑛) = 𝑔1 𝑝1 , 𝑝2 𝑔 1 𝑋𝑌 𝑔 2 𝑋𝑌 𝜉𝑛 (𝑛) 𝜉𝑛 1 1 (𝑛 +1) = 1 (𝑛) 𝑝2 2 − 𝑝1 ) + dan 𝒑, sehingga 2 − 𝑝1 ) + 𝑔 (𝑛) 2 𝑌𝑌 (𝑛) − 𝑝1 𝑝2 − 𝑝2 (𝑛) − 𝑝1 𝑝2 − 𝑝2 𝜉𝑛 𝑝1 2 𝑋𝑌 𝜉𝑛 𝑝1 2 − 𝑝1 ) + 𝑔 (𝑛) 1 𝑋𝑌 𝜉𝑛 (𝑝2 − 𝑝2 )2 ] 2 +2𝑔 𝑝1 (𝑛) 1 𝑌𝑌 − 𝑝2 = 𝑔 2 𝑋𝑋 𝜉𝑛 (𝑝1 2 − 𝑝1 ) + (𝑛) (𝑛) 1 (𝑛) 1 2 − 𝑝1 = 𝑔 1 𝑋𝑋 𝜉𝑛 (𝑝1 2 +2𝑔 𝑦 − 𝑝2 (𝑛) (𝑛) 𝑝2 − 𝑝2 + 𝑔 2 𝑌𝑌 𝜉𝑛 (𝑝2 − 𝑝2 )2 ] (𝑛) 𝑝1 − 𝑝1 1 𝑝2 1 = 𝑝2 + 𝑔 2 𝑋𝑋 𝜉𝑛 (𝑝1 2 dengan 𝜉𝑛 berada di antara 𝒑 (𝑛 +1) 1 2 𝜉 𝑥 − 𝑝1 2 𝑋𝑌 (𝑛) 𝑝2 − 𝑝2 + 𝑔 1 𝑌𝑌 𝜉𝑛 (𝑝(𝑛) − 𝑝2 )2 ] 2 (𝑛) 𝑝1 − 𝑝1 (𝑛) 𝑝1 (𝑛) = 𝑝1 + 𝑔 1 𝑋𝑋 𝜉𝑛 (𝑝1 2 (𝑛 ) = 𝑔2 𝑝1 , 𝑝2 𝜉 (𝑥 − 𝑝1 )2 + 2𝑔 𝜉𝑛 (𝑝2 − 𝑝2 )2 ] (𝑛) (𝑛) bila dinyatakan dalam bentuk matriks, menjadi (𝑛+1) 𝑝1 (𝑛 +1) 𝑝2 − 𝑝1 = 1 2 − 𝑝2 = (𝑛) 𝑝1 1 − 𝑝1 (𝑛) 𝑝1 2 − 𝑝1 (𝑛) 𝑝2 − 𝑝2 (𝑛) 𝑝2 − 𝑝2 (𝑛) − 𝑝2 atau (𝑛+1) 𝑝1 (𝑛+1) 𝑝2 − 𝑝1 − 𝑝2 1 = 2 𝑝1(𝑛) − 𝑝1 𝑝2 𝑔1 𝑔1 𝑔 𝑔 𝑋𝑋 𝑋𝑌 𝜉𝑛 𝜉𝑛 2 𝑋𝑋 2 𝑋𝑌 𝒈𝑋𝑋 𝜉𝑛 𝒈𝑋𝑌 𝜉𝑛 𝜉𝑛 𝜉𝑛 𝑔1 𝑔1 𝑔 𝑔 𝑋𝑌 𝑌𝑌 2 𝑋𝑌 2 𝑌𝑌 𝒈𝑋𝑌 𝜉𝑛 𝒈𝑌𝑌 𝜉𝑛 (𝑛) 𝜉𝑛 𝜉𝑛 𝑝1 𝜉𝑛 (𝑛) 𝑝2 𝜉𝑛 (𝑛) 𝑝1 (𝑛) 𝑝2 − 𝑝1 − 𝑝2 (𝑛) 𝑝1 − 𝑝1 (𝑛) 𝑝2 − 𝑝2 − 𝑝1 − 𝑝2 39

(56) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝒑(𝑛+1) − 𝒑 = ∇𝒈 𝒙 karena 1 𝒑(𝑛) − 𝒑 2 ∞ 𝒈𝑋𝑌 𝜉𝑛 𝒈𝑌𝑌 𝜉𝑛 (𝑛) konvergen ke 𝑝1 , 𝑝2 antara p dan p(n) untuk setiap n sehingga 𝜉𝑛 lim𝑛→∞ 𝒑(𝑛+1) − 𝒑 lim𝑛→∞ 𝒑(𝑛+1) − 𝒑 lim𝑛→∞ lim𝑛→∞ karena ∞ ∞ 𝒑(𝑛 +1) −𝒑 ∞ 2 𝒑(𝑛 ) −𝒑 ∞ 𝒑(𝑛 +1) −𝒑 ∞ 2 𝒑(𝑛 ) −𝒑 ∞ 𝜕 2 𝑔 𝑖 (𝒙) (𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 ) 𝒑(𝑛) − 𝒑 ≤ 𝑘 < 1 di 𝑁𝛿 (𝒑) dengan 𝒈 memetakan 𝑁𝛿 (𝒑) ke dirinya (𝑛 ) sendiri, berarti 𝑝1 𝒈𝑋𝑋 𝜉𝑛 𝒈𝑋𝑌 𝜉𝑛 𝑻 40 = lim 𝑛→∞ 𝒑(𝑛) − 𝒑 1 = lim𝑛→∞ = 2 𝒑(𝑛) − 𝒑 = 1 2 𝒈𝑋𝑋 𝜉 2 𝑻 konvergen ke 𝑝2 , tapi 𝜉𝑛 berada di ∞ 𝑛=0 juga konvergen ke 𝒑, dan 1 𝒑(𝑛) − 𝒑 1 2 2 1 𝒈 2 𝑋𝑋 lim ∞ 𝑛→∞ 𝒈𝑋𝑋 𝜉 + 𝒈𝑋𝑌 𝜉 + 𝒈𝑌𝑌 𝜉 1 2 𝜉 + 𝒈𝑋𝑌 𝜉 + 𝒈𝑌𝑌 𝜉 1 𝒈𝑋𝑋 𝜉 + 𝒈𝑋𝑌 𝜉 + 𝒈𝑌𝑌 𝜉 ∞ 2 + 𝒈𝑋𝑌 𝜉 ∞ + 1 2 𝒈𝑌𝑌 𝜉 ∞ ∞ ∞ ∞ kontinu untuk setiap 𝑖 = 1,2, 𝑗 = 1,2, dan 𝑘 = 1,2 dan terbatas oleh 𝑴 di 𝑁𝛿 (𝒑), maka 𝒑(𝑛 +1) −𝒑 ∞ 2 𝒑(𝑛 ) −𝒑 ∞ 𝒑(𝑛 +1) −𝒑 ∞ 2 𝒑(𝑛 ) −𝒑 ∞ 𝒑(𝑛 +1) − 𝒑 𝒑(𝑛 +1) − 𝒑 ∞ ∞ 1 1 2 2 ≤ 𝑴+𝑴+ 𝑴 ≤ 2𝑴 ≤ 2𝑴 𝒑(𝑛) − 𝒑 ≤ 22 2 𝑴 𝒑(𝑛) − 𝒑 2 ∞ 2 ∞ misal 𝒑(𝑛+1) = 𝒙(𝑘) dan 𝒑(𝑛) = 𝒙(𝑘−1) , maka 𝒙(𝑘) − 𝒑 ∞ ≤ 22 2 𝑴 𝒙(𝑘−1) − 𝒑 2 ∞ ,𝑘 ≥ 1

(57) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 41 Untuk n variabel, menjadi 𝒙(𝑘) − 𝒑 ∞ ≤ 𝑛2 2 2 𝑴 𝒙(𝑘−1) − 𝒑 ∞ ,𝑘 ≥ 1 ∎ Andaikan 𝐴 𝒙 adalah matriks n x n dari fungsi di ℝ𝑛 ke ℝ pada persamaan (2.11). Diasumsikan 𝐴 𝒙 tak singular mendekati penyelesaian 𝒑 dari 𝑭 𝒙 = 0 −1 dan misalkan 𝑏𝑖𝑗 (𝒙) menyatakan elemen dari 𝐴 𝒙 di baris ke-i dan kolom ke-j. Karena 𝑮 𝒙 = 𝒙 − 𝐴(𝒙)−1 𝑭(𝒙), sehingga 𝑔𝑖 𝒙 = 𝑥𝑖 − 𝜕𝑔 𝑖 𝜕𝑥 𝑘 𝒙 = 1− − 𝑛 𝑗 =1 𝑛 𝑗 =1 𝜕𝑓 𝜕𝑏 𝜕𝑓 𝑗 𝑘 𝑘 𝜕𝑏 𝑖𝑗 𝒙 + 𝜕𝑥 𝑘 Dalam Teorema 2.5 diketahui bahwa 𝑘 𝒙 𝑓𝑗 (𝒙) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑘 𝜕𝑔 𝑖 (𝒑) 1,2, … , 𝑛 dan 𝑘 = 1,2, … , 𝑛. Ini berarti untuk i = k, 0= 1− ketika 𝑘 ≠ 𝑖, 0=− 𝑛 𝑗 =1 𝒙 𝑓𝑗 (𝒙) dan 𝑏𝑖𝑗 (𝒙) 𝜕𝑥 𝑗 𝒙 + 𝜕𝑥 𝑖𝑗 𝒙 𝑓𝑗 (𝒙) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑘 𝑏𝑖𝑗 (𝒙) 𝜕𝑥 𝑛 𝑗 =1 𝑛 𝑗 =1 𝑏𝑖𝑗 𝑛 𝑗 =1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑘 = 0 , untuk setiap 𝑖 = 𝑏𝑖𝑗 (𝒑) 𝜕𝑥 𝑗 𝑓𝑗 (𝒑) , sehingga 𝑘 𝑏𝑖𝑗 (𝒑) 𝜕𝑥 𝑗 𝑓𝑗 (𝒑) = 1 𝑛 𝑗 =1 𝑘 𝜕𝑓 𝑏𝑖𝑗 (𝒑) 𝜕𝑥 𝑗 𝑓𝑗 (𝒑) , sehingga 𝜕𝑓 𝑘 𝑏𝑖𝑗 (𝒑) 𝜕𝑥 𝑗 𝑓𝑗 (𝒑) = 0 𝑘 Matriks 𝐽(𝒙) didefinisikan sebagai berikut (2.12) (2.13)

(58) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝜕𝑓1 𝜕𝑥 1 𝐽 𝒙 = 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑥 1 (𝒙) ⋯ ⋮ ⋱ (𝒙) ⋯ 𝜕𝑓1 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑥 𝑛 42 (𝒙) ⋮ (𝒙) (2.14) dari persamaan (2.12) dan (2.13) menghendaki sehingga 𝐴 𝒑 −1 𝐽 𝒑 = 𝐼, merupakan matriks identitas 𝐴 𝒑 =𝐽 𝒑 . Pilihan yang tepat untuk 𝐴 𝒙 adalah 𝐴 𝒙 = 𝐽 𝒙 karena memenuhi kondisi (iii) dalam Teorema 2.5. Fungsi G didefinisikan sebagai berikut 𝑮 𝒙 =𝒙−𝐽 𝒙 −1 𝑭(𝒙), dan langkah iterasi fungsi berkembang dari pemilihan 𝒙 0 dan membangkitkan untuk 𝑘 ≥ 1, 𝒙(𝑘) = 𝑮 𝒙 𝑘−1 = 𝒙(𝑘−1) − 𝑱 𝒙 𝑘−1 −1 𝑭 𝒙 𝑘−1 𝐽 𝑥 merupakan matriks Jacobi yang memuat turunan parsial dari persamaan tidak linear. Definisi 2.25 Metode Newton untuk sistem persamaan yang tidak linear didefinisikan sebagai berikut 𝒙(𝑘) = 𝑮 𝒙 𝑘−1 untuk 𝑘 ≥ 1 di mana 𝑱(𝒙) −1 = 𝒙(𝑘−1) − 𝑱 𝒙 𝑘−1 ada. −1 𝑭 𝒙 𝑘−1

(59) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Contoh 2.1 Diberikan dua persamaan tak linear sebagai berikut 3x1  x2  0 2 2 3x1 x2  x1  1  0 2 3 Cari akar persamaan di atas! Penyelesaian : Bila diambil titik dugaan awal di sekitar x1 (1)  1 dan x2 (1)  1 , maka  Untuk persamaan pertama  f1 x1 , x 2   f1 x1 , x 2 1 1   xf x  x1 1 1 1 1  f1 1,1    xf x 1 2  x2 1  2       2 2 2 2 3x1  x2 x1  1  3x1  x2 x2  1 x2 x1 bila f1 x1 , x2   0 , maka menjadi  f1 1,1        2 2 2 2 3x1  x2 x1  1  3x1  x2 x2  1 x2 x1  Untuk persamaan kedua  f 2 x1 , x 2   f 2 x1 , x 2 1 1   fx x 2 1 1  f 2 1,1    x1 1   xf x 2 2  x2 1  2      2 3 2 3 3x1 x2  x1  1 x1  1  3x1 x2  x1  1 x2  1 x2 x1 bila f 2 x1 , x2   0 , maka menjadi  f 2 1,1        2 3 2 3 3x1 x2  x1  1 x1  1  3x1 x2  x1  1 x2  1 x2 x1 43

(60) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI misal h11  x1  1 dan h2 1  x2  1 , maka      f1 1,1    1 2 2 1 2 2 3x1  x2 h1  3x1  x2 h2 x2 x1  f 2 1,1    1 2 3 1 2 3 3x1 x2  x1  1 h1  3x1 x2  x1  1 h2 x2 x1     bila dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi     2 2  x 3x1  x 2 1   2 3  3x1 x 2  x1  1  x1  6 x1  3x 2  3x 2 1  2    2 2 3x1  x 2 x 2   2 3x1 x 2 x 2     h 1   f (1,1)    1 1     1  3  f 2 (1,1)  x1  1  h2     2 x2   h11   2  1       6 x1 x 2  h2  1  kemudian substitusikan x1(1) = 1 ke x1 dan x2(1) = 1 ke x2 menjadi 1 6  2  h1   2 0 6   1    1   h2    sehingga,  h11  6  2   2   1        0 6  1  h2  1 6  2  misal   0 6  1  2  J 1 dan F    , maka 1  1 1  6 2 6 2       1 1 J 1    6 18       (6.6)  (0.  2) 0 6 36 0 6  0 1  6  sehingga 44

(61) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 45  h11  1  1    J F h2   1 1   7  7        0.3889 2       6 18       18    18    1 1  0.1667   0 1  1           6  6  6  Akar persamaan dapat diperoleh dari    x1n 1   x1n    h1n    x1n    j x1 ( n )  n 1    n     n     n     ( n )  x2   x 2  h2   x 2   j x1 1   f1( n )  , n  1 (n)   j x2   f 2 ( n )  j x2 (n) atau dapat ditulis, x(n) = x(n-1) – J(x(n-1))F(x(n-1)) sehingga iterasi keduanya,  x12    x11   h11  1  0.3889 0.6111  2     1    1          x 2   x 2  h2  1  0.1667 0.8333  n 1 Proses ini dilakukan berulang sampai x1 dan x2 n 1 konvergen ke suatu nilai. Setelah melakukan 6 kali iterasi ternyata x1 dan x 2 konvergen ke 0,5000 dan 0.8660 , seperti dinyatakan dalam tabel berikut Iterasi 1 2 3 4 5 6 x1 1.0000 0.6111 0.5037 0.4999 0.5000 0.5000 x2 1.0000 0.8333 0.8525 0.8661 0.8660 0.8660 || x ( n)  x ( n1) ||  0.3889 0.1074 0.0136 0.0001 0

(62) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 46 Bila Definisi 2.25 dikaitan dengan model regresi Poisson, maka 𝑭 𝒙 𝑘−1 bila dalam regresi Poisson dinyatakan dengan 𝒈 𝜷𝑡 , dan 𝑱 𝒙 𝑘−1 dengan 𝑯 𝜷𝑡 .   dinyatakan  Persamaan (2.3), (2.4), dan (2.5) dapat dicari  1 ,  2 , dan  3 sebagai berikut y  exp 1   2 x2   3 x3   0  exp 1   2 x2   3 x3    y 1   2 x2   3 x3  ln y  1  ln y   2 x2   3 x3 dikarenakan persamaan (2.4) dan (2.5) tidak linear, maka 𝛽2 dan 𝛽3 dapat diperoleh dengan metode Newton sebagai berikut  y  exp 1   2 x2   3 x3 x 2  g       y  exp 1   2 x2   3 x3 x3   g 1   J     2  g 2   2 g 1   3   g 2   3   x x exp 1   2 x2   3 x3   x2 x3 exp 1   2 x2   3 x3   2 2    x2 x3 exp 1   2 x2   3 x3   x3 x3 exp 1   2 x2   3 x3  J   1  x x exp  1   2 x 2   3 x3   x 2 x3 exp  1   2 x 2   3 x3   2 2    x 2 x3 exp  1   2 x 2   3 x3   x3 x3 exp  1   2 x 2   3 x3  1 maka, (𝑘−1) (𝑘) 𝛽2 (𝑘) 𝛽3 = 𝛽2 (𝑘−1) 𝛽3 − −𝑥2 𝑥2 𝑒𝑥𝑝 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 −𝑥2 𝑥3 𝑒𝑥𝑝 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 −𝑥2 𝑥3 𝑒𝑥𝑝 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 −𝑥3 𝑥3 𝑒𝑥𝑝 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 −1 ∗

(63) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 47 𝑦 − 𝑒𝑥𝑝 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 𝑥2 𝑦 − 𝑒𝑥𝑝 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 𝑥3 dengan k = 1,2,…  Untuk membahas tentang penduga bagi  , yaitu  , diperlukan definisi matriks Hessian sebagai berikut Definisi 2.25 Matriks Hessian merupakan matriks n x n yang berisi turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan f (x) adalah fungsi dengan n variabel yang turunan parsial keduanya ada dan kontinu, maka matriks Hessian dari f adalah  2 f  2  x21   f H  f    x x  2 1  2   f  x x  n 1 2 f x1x 2 2 f x 2  2 f x n x 2 2 2 f   x1x n  2 f   x 2 x n      2 f   2 x n    Secara umum,  dari model regresi Poisson dapat diperoleh dengan metode Newton adalah sebagai berikut 𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − 𝐻 𝛽𝑡 −1 𝑔 𝛽𝑡 dimana 𝑔 menyatakan gradien persamaan (2.6), H adalah matriks Hessian, yaitu matriks turunan kedua dari fungsi log-likelihood, dan 𝛽1 menyatakan nilai awal. Adapun matriks Hessian dinyatakan sebagai berikut

(64) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝐻 𝜷 = = 𝜕 2 𝑙𝑛𝐿 𝜷 𝜕𝜷𝜕𝜷′ 𝜕 𝜕𝜷 =− 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝒙𝒌𝒊 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒌𝒊 𝜷 𝒙𝒌𝒊 𝒙𝒌𝒊 ′ 48 (2.15) Secara umum model regresi Poisson ada dua jenis, yaitu model regresi Poisson univariat dan model regresi Poisson multivariat. Pengklasifikasian ini didasarkan pada banyaknya variabel tak bebas yang digunakan. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai model regresi Poisson bivariat. Untuk menguji distribusi Poisson digunakan uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov yang terdapat pada Lampiran 1.

(65) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT A. Model Regresi Poisson Bivariat Bila diberikan dua variabel tak bebas Y1i dan Y2i berdistribusi Poisson dengan variabel bebas X 11, X 12 ,..., X 1k dan X 21, X 22 ,..., X 2k , maka persamaan regresinya dinyatakan sebagai berikut 1 Y1i   0  x11i 11  x12i 12  ...  x1ki 1k   1i Y2i   0 2   x21i  21  x22i  22  ...  x2ki  2k   2i (3.1a) (3.1b) di mana : i = 1,2,…,n j = 1,2 m = 1,2,…,k Y ji = variabel tak bebas ke-j pengamatan ke-i 0 j = intersep  jm = koefisien regresi dari variabel bebas ke-m variabel tak bebas ke-j x jmi = nilai variabel bebas ke-m pada pengamatan ke-i  ji = galat n = ukuran populasi seperti pada pembahasan regresi Poisson di bab sebelumnya, dikarenakan Y1i | X 1ki dan Y2i | X 2 ki berdistribusi Poisson, maka nilai rata-ratanya E Y1i | X 1ki    0  x11i 11  x12i 12  ...  x1ki 1k  1 dan E Y2i | X 2ki   1 49

(66) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 50 02   x21i  21  x22i  22  ...  x2ki  2k  2 harus tak negatif. Untuk itu diperlukan fungsi penghubung ( link function ) g1 dan g 2 yaitu dengan fungsi penghubung logaritma ( logarithmic link ), sehingga menjadi g1 1    0  x11i 11  x12i 12  ...  x1ki 1k 1 g 2 2    0 2   x21i  21  x22i  22  ...  x2ki  2k g merupakan fungsi logaritma, sehingga model regresi Poisson bivariat menjadi ln 1    0  x11i 11  x12i 12  ...  x1ki 1k 1 ln 2    0 2   x21i  21  x22i  22  ...  x2ki  2k atau dapat juga dinyatakan dengan 𝜆1 = exp (𝒙𝟏 𝜷1 ) 𝜆2 = exp ( 𝒙𝟐 𝜷2 ) Definisi 3.1 Model regresi Poisson bivariat adalah 𝑙𝑛 𝜆1 = 𝒙𝟏 𝜷𝟏 𝑙𝑛 𝜆2 = 𝒙𝟐 𝜷𝟐 di mana  adalah rata-rata yang bergantung pada vektor variabel x dan vektor koefisien β. A. Penduga Model Regresi Poisson Bivariat Parameter β dalam model regresi Poisson bivariat dapat diduga dengan metode penduga kemungkinan maksimum (Maximun Likelihood Estimation).

(67) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 51 Fungsi probabilitas bersyarat Yj bila diberikan Xj = xj untuk  j  0 adalah p( y j | x j ;  j )  e  j j y j y j! , y  0,1,2,... di mana 𝜆𝑗 = 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋 𝜷𝑗 , j=1,2, sehingga 𝑝 𝑦1 |𝑥1 = = 𝑒𝑥𝑝 −exp ⁡𝒙𝟏 𝜷𝟏 𝑦1 ! 𝑒𝑥𝑝 −exp ⁡𝒙𝟏 𝜷𝟏 𝑦1 ! 𝑝 𝑦2 |𝑥2 = = 𝑒𝑥𝑝 −exp ⁡𝒙𝟐 𝜷𝟐 𝑦2 ! 𝑒𝑥𝑝 −exp ⁡𝒙𝟐 𝜷𝟐 𝑦2 ! 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝟏 𝜷𝟏 𝑦 1 𝑒𝑥𝑝 𝑦1 𝒙𝟏 𝜷𝟏 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝟐 𝜷𝟐 𝑦 2 𝑒𝑥𝑝 𝑦2 𝒙𝟐 𝜷𝟐 Fungsi probabilitas gabungannya sebagai berikut p(y11,…,y1n|x111,…,x1ki; β1)= = L(β1) p(y21,…,y2n|x211,…,x2ki; β2)= = L(β2) 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑦1𝑖 |𝒙1𝑘𝑖 ; 𝜷𝟏 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑦2𝑖 |𝒙2𝑘𝑖 ; 𝜷𝟐 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝟏𝒌𝒊 𝜷𝟏 𝑒𝑥𝑝 𝑦 1𝑖 𝒙𝟏𝒌𝒊 𝜷𝟏 𝑛 𝑖=1 𝑦1 ! 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝟐𝒌𝒊 𝜷𝟐 𝑒𝑥𝑝 𝑦 2𝑖 𝒙𝟐𝒌𝒊 𝜷𝟐 𝑛 𝑖=1 𝑦2 ! Untuk mendapatkan penduga kemungkinan maksimum dari β, digunakan fungsi log-likelihood sebagai berikut : ln L(βj) = ln = ln = ln = 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 |𝒙𝑗𝑘𝑖 ; 𝜷𝒋 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝑦 𝑗𝑖 ! −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 𝑛 𝑖=1 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 + 𝑒𝑥𝑝 𝑦 𝑗𝑖 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 + 𝑙𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝑦𝑗𝑖 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 − 𝑙𝑛 𝑦𝑗𝑖 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 − 𝑛 𝑖=1 𝑙𝑛 𝑦𝑗𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 !

(68) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI = 𝑛 𝑖=1 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 + 𝑦𝑗𝑖 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 − 𝑙𝑛𝑦𝑗𝑖 ! 52 (3.2) 𝜷 dari persamaan (3.2) dapat diperoleh dengan metode Newton, sebagai berikut : 1. Tentukan titik awal Misal titik awal untuk 𝜷𝟏 adalah 𝜷𝟏 0 dan 𝜷𝟐 adalah 𝜷𝟐 0 dengan rumus 𝜷𝒋(𝟎) = 𝑿′𝑿 2. Cari 𝒈 𝜷𝒋 𝒈 𝜷𝒋 = = ∂ −𝟏 𝑿′𝒀 dengan j = 1, 2. ln 𝐿 𝜷 ∂β 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ merupakan matriks berordo k x 1 3. Cari matriks Hessian 𝑯 𝜷𝑗 = 𝜕 2 ln 𝐿 𝜷𝑗 𝜕𝜷𝜕𝜷′ 𝜕2 = 𝜕𝜷𝜕𝜷′ 𝑛 𝑖=1 = − 𝑛𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 + 𝑦𝑗𝑖 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 − 𝑙𝑛𝑦𝑗𝑖 ! 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊𝒙𝒋𝒌𝒊′ merupakan matriks berordo k x k, di mana j = 1,2 4. Cari 𝜷 dengan rumus 𝛽𝑗 𝑡+1 = 𝛽𝑗 = 𝛽𝑗 𝑡 𝑡 − 𝐻 𝛽𝑗 − 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 dengan t = 0,1,2,… 𝑡 −1 𝑔 𝛽𝑗 𝑡 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ −1 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′

(69) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 53 proses ini dilakukan terus menerus sampai terjadi kekonvergenan pada suatu titik. Misal diberikan persamaan regresi sebagai berikut, 1 Y1   0  x1111  x12 12 Y2   0 2  (3.3a)  x21 21  x22  22 (3.3b) maka model regresi Poisson bivariat dari persamaan (3.3a) dan (3.3b) menjadi, + x11 β11 + x12 β12 𝑙𝑛 𝜆1 = β(1) 0 (3.4a) + x21 β21 + x22 β22 𝑙𝑛 𝜆2 = β(2) 0 (3.4b) fungsi log-likelihood dari persamaan (3.4a) dan (3.4b) menjadi, (1) (1) ln 𝐿 𝛽1 = −𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 + 𝑦1 𝛽0 + 𝑦1 𝑥11 𝛽11 + 𝑦1 𝑥12 𝛽12 − 𝑙𝑛 𝑦1 ! (2) (2) ln 𝐿 𝛽2 = −𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 + 𝑦2 𝛽0 + 𝑦2 𝑥21 𝛽21 + 𝑦2 𝑥22 𝛽22 − sehingga, 𝑙𝑛 𝑦2 ! (1) 𝑔 𝛽1 = 𝜕𝑙𝑛𝐿 𝛽 1 𝜕𝛽 −𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 + 𝑦1 (1) = 𝑦1 − 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (1) 𝑦1 − 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (2) 𝑔 𝛽2 = 𝜕𝑙𝑛𝐿 𝛽 1 𝜕𝛽 0 𝑥11 = 0 0 𝑥12 −𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 + 𝑦2 (2) = 𝑦2 − 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 (2) 𝑦2 − 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 0 𝑥21 = 0 0 𝑥22 (3.5a) (3.5b) penduga bagi 𝜷𝟎 yaitu 𝜷𝟎 dari persamaan (3.5a) dan (3.5b) dapat diperoleh sebagai berikut :

(70) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 54 (1)  −𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 + 𝑦1 = 0 (1) 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 = 𝑦1 (1) β0 + x11 β11 + x12 β12 = lny1 (1) β0 = lny1 − x11 β11 − x12 β12 (2)  −𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 + 𝑦2 = 0 (2) 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 = 𝑦2 (2) β0 + x21 β21 + x22 β22 = lny2 (2) β0 = lny2 − x21 β21 − x22 β22 matriks Hessian untuk menduga 𝛽1𝑚 dan 𝛽2𝑚 , dengan m = 1,2 dari persamaan (3.5a) dan (3.5b) adalah (1) − 𝑥11 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 𝐻 𝛽1 = (1) −𝑥11 𝑥12 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (2) − 𝑥21 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 𝐻 𝛽2 = (2) −𝑥21 𝑥22 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 sehingga, (1) 𝐻 𝛽1 −1 = − 𝑥11 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (1) −𝑥11 𝑥12 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (2) 𝐻 𝛽2 −1 = − 𝑥21 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 (2) −𝑥21 𝑥22 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 maka 𝛽1𝑚 dan 𝛽2𝑚 dapat diduga dengan 𝛽11(𝑡+1) 𝛽12(𝑡+1) 𝛽21(𝑡+1) 𝛽22(𝑡+1) = = 𝛽11(𝑡) 𝛽12(𝑡) 𝛽21(𝑡) 𝛽22(𝑡) − 𝐻 𝛽1 − 𝐻 𝛽2 −1 −1 (1) −𝑥11 𝑥12 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (1) − 𝑥12 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (2) −𝑥21 𝑥22 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 (2) − 𝑥22 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 (1) −𝑥11 𝑥12 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 −1 (1) − 𝑥12 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x11 β11 + x12 β12 (2) −𝑥21 𝑥22 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 −1 (2) − 𝑥22 2 𝑒𝑥𝑝 β0 + x21 β21 + x22 β22 𝑦1 − 𝑒𝑥𝑝 β(1) + x11 β11 + x12 β12 𝑥11 0 𝑦1 − 𝑒𝑥𝑝 β(1) + x11 β11 + x12 β12 𝑥12 0 𝑦2 − 𝑒𝑥𝑝 β(2) + x21 β21 + x22 β22 𝑥21 0 + x21 β21 + x22 β22 𝑥22 𝑦2 − 𝑒𝑥𝑝 β(2) 0

(71) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 55 dengan t = 0,1,2,…, 𝛽1𝑚 (0) dan 𝛽2𝑚(0) merupakan titik awal. Proses ini dilakukan sampai terjadi kekonvergenan di suatu titik. Contoh 3.1 Pada Tabel 3.1 ( Lampiran 2 ), (sumber : Rieska Indah Astuti:2008) diberikan data yang diambil dari 35 responden yang menyatakan dua pilihan tempat yang sering dikunjungi responden untuk memulihkan kesehatan beserta faktor – faktor yang mempengaruhi keputusan seseorang. Misalkan 𝑌1𝑖 adalah variabel tak bebas yang menyatakan banyaknya kunjungan ke dokter praktik pribadi dalam 6 bulan terakhir, 𝑋1𝑖,2 = 𝑋2𝑖,2 adalah variabel bebas yang menyatakan usia responden ( dalam tahun ), 𝑋1𝑖,3 = 𝑋2𝑖,3 adalah variabel bebas yang menyatakan pendapatan per bulan responden ( dalam rupiah ), 𝑋1𝑖,3 adalah variabel bebas dengan dua buah kategori yang menyatakan jenis kelamin ( pria = 0, wanita = 1 ). Dimisalkan 𝑌2𝑖 adalah variabel tak bebas yang menyatakan banyaknya kunjungan ke rumah sakit dalam 6 bulan terakhir, 𝑋2𝑖,4 adalah variabel bebas dengan dua buah kategori yang menyatakan status kepemilikan asuransi kesehatan ( tidak memiliki asuransi kesehatan = 0, memiliki asuransi kesehatan = 1 ), dan 𝑋2𝑖,5 adalah variabel bebas dengan dua buah kategori yang menyatakan apakah responden mempunyai pekerjaan tetap atau tidak ( tidak memiliki pekerjaan tetap = 0, memiliki pekerjaan tetap = 1 ). Penelitian ini bertujuan untuk menentukan model regresi Poisson, sehingga model tersebut dapat digunakan untuk meramalkan nilai-nilai penduga Y dari variabel bebas yang diberikan.

(72) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 56 Penyelesaian : Sebelum menentukan parameter regresi Poisson, maka perlu melakukan pengujian apakah 𝑌𝑗𝑖 dengan j = 1,2 berdistribusi Poisson atau tidak. Langkah - langkahnya sebagai berikut:  Akan diuji hipotesis : H0 H1 : Data 𝑌𝑗𝑖 berdistribusi Poisson : Data 𝑌𝑗𝑖 tidak berdistribusi Poisson  Tingkat signifikasi: 𝛂 = 0.05  Keputusan : Bila Sig. > 𝛂, maka H0 diterima, sebaliknya, bila Sig. < 𝛂, maka H0 ditolak. Dengan menggunakan SPSS ( Lampiran 3 ), didapat hasil sebagai berikut :  Untuk data 𝑌1𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.999 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌1𝑖 berdistribusi Poisson.  Untuk data 𝑌2𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.840 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌2𝑖 berdistribusi Poisson. Karena 𝑌1𝑖 diberikan 𝑋1𝑖,2 = 𝑥1𝑖,2 , 𝑋1𝑖,3 = 𝑥1𝑖,3 , 𝑋1𝑖,4 = 𝑥1𝑖,4 dan 𝑌2𝑖 diberikan 𝑋2𝑖,2 = 𝑥2𝑖,2 , 𝑋2𝑖,3 = 𝑥2𝑖,3 , 𝑋2𝑖,4 = 𝑥2𝑖,4 , 𝑋2𝑖,5 = 𝑥2𝑖,5 merupakan data count yang mengikuti distribusi Poisson, maka untuk menyelesaikan permasalahan di atas digunakan analisis regresi Poisson, sebagai berikut :

(73) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 57 Langkah 1 Menentukan parameter regresi Poisson sebagai berikut : a. Menggunakan perhitungan dari MATLAB didapat nilai untuk vektor 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) adalah 𝜷1𝑖(0) −1.9950 = 0.0422 0.0003 1.4526 𝜷2𝑖(0) 1.5376 0.0023 = −0.0003 2.7493 −0.0781 b. Membentuk vektor gradien g sebagai berikut 𝒈𝑗 = 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 c. Membentuk matriks Hessian 𝑯𝑗 = − 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊𝒙𝒋𝒌𝒊′ d. Memasukkan nilai dari 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) ke vektor gradien g dan matriks Hessian H, sehingga diperoleh 𝒈1 𝒈2 dan 0 0 −2.0000 × 102 4 = −1.1500 × 106 −1.1679 × 10 −2.0000 × 102 −6.0000 × 102 −3.3300 × 104 = −1.3528 × 106 −3.0000 × 102 −3.0000 × 102

(74) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝑯1 0 = 0 0 −1.4000 × 106 0 𝑯2 0 58 −1.4000 × 106 −6.5000 × 107 −8.5853 × 109 2.0000 × 105 0 −7.0000 × 105 −6.5000 × 107 0 0 0 − 1.2000 × 106 0 = 0 0 −1.6000 × 106 0 0 0 −2.1000 × 106 −7.2700 × 107 0 0 −1.6000 × 106 0 0 −7.2700 × 107 0 0 −5.0633 × 109 − 1.5000 × 106 − 1.1000 × 106 − 1.5000 × 106 0 0 − 1.1000 × 106 0 0 e. Dilakukan iterasi dari persamaan berikut 𝜷𝑗 (𝑡) = 𝜷𝑗 (𝑡−1) − 𝑯𝑗 (𝑡−1) −1 dengan t = 0,1,2,… dan j =1,2 𝒈𝑗 (𝑡−1) Jika belum menghasilkan yang konvergen, maka iterasi diulang kembali ke poin e. Berikut ini akan diberikan hasil penyelesaian menggunakan program Matlab. Tabel 3.2 Iterasi 𝛽11 𝛽12 𝛽13 𝛽14 𝜷1 𝑡 − 𝜷1 1 -2.3277 0.0374 0.0003 1.3013 2 -2.0926 0.0297 0.0002 1.0502 0.3441 3 -1.5777 0.0225 0.0002 0.8198 0.5642 4 -1.3443 0.0200 0.0002 0.7380 0.2473 5 -1.3210 0.0198 0.0001 0.7307 0.0244 6 -1.3208 0.0198 0.0001 0.7307 0.0002 7 -1.3208 0.0198 0.0001 0.7307 0.0000 0.3655 𝑡−1 Pada Tabel 3.2, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-7 dengan nilai 𝛽11 = −1.3208, 𝛽12 = 0.0198, 𝛽13 = 0.0001, dan 𝛽14 = 0.7307.

(75) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tabel 3.3 Iterasi 𝛽21 𝛽22 𝛽23 𝛽24 𝛽25 𝜷2 𝑡 − 𝜷2 59 𝑡−1 1 0.8314 0.0014 -0.0003 2.5662 -0.1015 2 0.4177 -0.0007 -0.0002 2.2454 -0.1425 0.5251 3 0.2841 -0.0038 -0.0002 1.9217 -0.1747 0.3517 4 0.2607 -0.0060 -0.0001 1.7912 -0.1657 0.1329 5 0.2588 -0.0064 -0.0001 1.7767 -0.1575 0.0168 6 0.2588 -0.0064 -0.0001 1.7765 -0.1572 0.0004 7 0.2588 -0.0064 0.0001 1.7765 -0.1572 0.0000 0.7300 Pada Tabel 3.3, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-7 dengan nilai 𝛽21 = 0.2588, 𝛽22 = −0.0064 , 𝛽23 = 0.0001 , 𝛽24 = 1.7765 ,dan 𝛽25 = −0.1572. Langkah 2 Membangun persamaan regresi Poisson dari nilai-nilai penduga parameter yang di dapat. Jadi persamaan regresi Poisson dari Contoh 3.1 adalah 𝑌1 = 𝑒 −1.3208 𝑒 0.0198𝑋12 𝑒 0.0001 𝑋13 𝑒 0.7307 𝑋14 dan 𝑌2 = 𝑒 0.2588 𝑒 −0.0064 𝑋22 𝑒 −0.0001 𝑋23 𝑒1.7765 𝑋24 𝑒 −0.1572 𝑋25 Misal diberikan data 𝑋12 = 𝑋22 = 73, 𝑋13 = 𝑋23 = 1673, 𝑋14 = 0, 𝑋24 = 1, 𝑋25 =1 dari responden A, maka 𝑌1 dan 𝑌2 diperoleh sebagai berikut 𝑌1 = 𝑒 −1.3208 𝑒 0.0198(73) 𝑒 0.0001 (1673 ) 𝑒 0.7307 (0)

(76) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 60 = (0,2669)(4,2435)(1,1821)(1) = 1,3390 ≈ 1 Berarti responden A dalam 6 bulan terakhir melakukan 1 kali kunjungan ke dokter praktik pribadi. 𝑌2 = 𝑒 0.2588 𝑒 −0.0064 (73) 𝑒 −0.0001 (1673 ) 𝑒 1.7765 (1) 𝑒 −0.1572 (1) = (1,2954)(0,6268)(0,8459)(5.9091)(0.8545) = 3,4681≈ 4 Berarti responden A dalam 6 bulan terakhir melakukan 4 kali kunjungan ke rumah sakit.

(77) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV APLIKASI MODEL REGRESI POISSON BIVARIAT UNTUK MEMPREDIKSI PERINGKAT KLUB SEPAK BOLA Hasil dari suatu pertandingan sepak bola adalah skor. Skor yang diperoleh oleh suatu klub dapat dijadikan sarana untuk menentukan peringkat klub yang bersangkutan. Dalam sepak bola, ada dua kesepakatan yang dibuat oleh FIFA, antara lain 1. Sistem poin 2. Sistem kandang-tandang. Sebelum membahas tentang sistem poin dan sistem kandang-tandang, berikut ini akan dijabarkan tentang istilah-istilah yang berkaitan dengan dua hal tersebut, yaitu 1. Skor Skor adalah banyaknya gol yang dibuat oleh suatu klub. Misalkan, hasil suatu pertandingan antara klub A melawan klub B adalah 2-1, maka skor klub A adalah 2 dan skor klub B adalah 1. 2. Poin Poin adalah nilai yang didapat oleh suatu klub. Penjelasan lebih lanjut akan dibahas dalam sistem poin. 3. Poin kandang Poin kandang adalah banyaknya poin yang didapat suatu klub ketika bermain di wilayahnya sendiri ( sebagai klub tuan rumah ). 61

(78) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 62 1. Poin tandang Poin tandang adalah banyaknya poin yang didapat suatu klub ketika bermain di wilayah lawan ( sebagai klub tamu ). 2. Total poin Total poin adalah poin kandang ditambah dengan poin tandang untuk semua pertandingan. Misalkan poin kandang klub A adalah 15 poin dari 4 pertandingan kandang melawan klub B, C, dan D dan poin tandang klub A adalah 8 poin dari 4 pertandingan tandang, maka total poin klub A adalah 23 poin. Dalam sistem poin, bila skor suatu klub lebih unggul dari klub lawan, maka klub tersebut akan mendapat poin 3, bila kalah dari klub lawan akan mendapat poin 0, dan bila skor kedua klub seri maka mendapat poin 1. Misalnya, hasil suatu pertandingan antara klub A melawan klub B adalah 2-1, maka poin klub A adalah 3 dan poin klub B adalah 0. Selain menggunakan sistem poin, ada juga kesepakatan mengenai sistem tandang dan kandang atau suatu klub bermain di wilayah sendiri ( sebagai klub tuan rumah ) dan bermain di wilayah lawan ( sebagai klub tamu ). Dalam sistem kandang dan tandang, ada istilah poin kandang dan tandang. Seperti yang telah didefinisikan sebelumnya bahwa poin kandang merupakan poin saat klub sebagai tuan rumah dan poin tandang adalah poin saat klub sebagai tamu. Sebagai contoh, untuk poin kandang, misalkan dalam 3 kali pertandingan sebagai tuan rumah, klub A mengalami kemenangan dua kali dan seri satu kali, dengan menggunakan sistem poin ( menang mendapat 3 poin, kalah mendapat 0 poin, dan

(79) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 63 seri mendapat 1 poin ), maka poin kandang untuk klub A = ( 2 x 3 ) + ( 1 x 1 ) = 7 poin. Sedangkan untuk poin tandang, misalkan dalam 4 kali pertandingan sebagai tamu, klub A mengalami kemenangan dua kali, kalah satu kali, dan seri satu kali, dengan menggunakan sistem poin maka poin tandang untuk klub A = ( 2 x 3 ) + ( 1 x 0 ) + ( 1 x 1 ) = 7 poin. Selain itu, ada juga poin menang di kandang, adalah poin yang didapat dari banyaknya pertandingan dengan suatu klub, misal klub A, keluar sebagai pemenang ketika bermain di kandang dikalikan dengan poin menang. Misalkan, klub A saat bermain di kandang memenangkan 4 pertandingan, maka poin kemenangan di kandang klub A= 4 x 3 = 12 poin. Sistem poin dan tandang-kandang ini dapat digunakan untuk memprediksi peringkat klub sepak bola secara manual. Musim kompetisi dalam Liga Inggris dimulai pada pertengahan tahun yaitu bulan Agustus hingga bulan Mei tahun berikutnya, misalnya pertandingan pada bulan Agustus 2013 hingga Mei 2014, maka dilambangkan dengan musim 2013/2014. Peringkat adalah posisi suatu klub terhadap klub yang lain dalam suatu tahun kompetisi. Dengan adanya peringkat, dapat diketahui apakah suatu klub masih memiliki kesempatan untuk mengikuti kompetisi yang lebih besar, misalnya dalam Liga Inggris, klub yang berada di peringkat empat teratas berhak untuk masuk ke Liga Champions, sedangkan klub yang berada di peringkat tiga terbawah akan terdegradasi, dan klub yang berada di bawah liga utama Inggris ( yang berada di peringkat tiga teratas ) akan dipromosikan ke liga utama. Selain itu, peringkat dapat digunakan untuk memotivasi klub agar lebih meningkatkan

(80) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 64 kualitas permainan dan strategi sehingga dapat mempertahankan peringkat yang telah diperoleh atau meningkatkan peringkatnya. Ini berarti peranan peringkat sangat penting dalam permainan sepak bola. Bila data hasil pertandingan hanya diketahui banyaknya gol yang didapat, gol kemasukan dari suatu klub dan poin menang di kandang, tentu akan sulit untuk mendapatkan total poin klub tersebut, karena tidak dapat ditentukan berapa kali klub tersebut kalah atau seri dengan klub lain, akibatnya akan sulit juga dalam menentukan peringkat klub yang bersangkutan. Oleh karena itu, total poin yang didapat suatu klub saat bermain sebagai klub tuan rumah maupun klub tamu diprediksi dengan memproses poin menang di kandang, banyaknya gol yang didapat dan gol kemasukan klub tersebut dengan menggunakan model regresi Poisson bivariat yang kemudian dapat digunakan untuk memprediksi peringkat. Sebelumnya Dimitris Karlis dan Ioannis Ntzoufras (2002) pernah melakukan penelitian tentang memprediksi peringkat klub sepak bola dalam Liga Champions pada musim 2000/2001 dengan menggunakan model regresi Poisson bivariat, dengan hasil sebagai berikut Klub 1 Anderlecht 2 Arsenal 3 B.Munich 4 Barcelona 5 Besiktas … … 28 Sparta 29 Spartak 30 Sporting 31 Sturm 32 Valencia Parameter lain Intersep Att 0.30 -0.01 0.09 0.36 -0.69 … -0.75 -0.04 -0.82 0.22 0.20 -0.39 Def 0.40 -0.26 -1.13 0.37 0.78 … 0.45 -0.26 0.58 0.58 -0.68

(81) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Home Lamda 3 Keterangan : 65 0.79 0.24 Att = banyaknya gol yang dicetak Def = banyaknya kemasukan tabel di atas merupakan hasil menduga parameter Att dan Def yang kemudian oleh Dimitris Karlis dan Ioannis Ntzoufras digunakan untuk memprediksi peringkat klub sepak bola. Proses memprediksi peringkat dapat dinyatakan dalam diagram sebagai berikut : Kandang Skor Tandang Att Def HE Att Def . . . . . . Mengurutkan total poin keseluruhan dari nilai yang besar ke kecil . . . . . . . . . Total poin keseluruhan Model Regresi Poisson Bivariat Total poin kandang 𝑌1 dan Total poin tandang 𝑌2 Peringkat ( Diagram 4.1 ) Keterangan : Att = banyaknya gol yang dicetak Def = banyaknya kemasukan HE = poin kemenangan di kandang.

(82) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 66 Diagram 4.1 menunjukkan proses memprediksi peringkat untuk dua klub, sebagai contoh : Skor klub A melawan klub B dengan klub A sebagai tuan rumah adalah 2-1 dan skor klub A melawan klub B dengan klub A sebagai tamu adalah 0-1, maka bila disajikan dalam bentuk bagan menjadi Tim A Kandang Tandang Tim B Kandang Tandang Att Def HE Att Def Att Def HE Att Def 2 1 3 0 1 1 0 3 1 2 kemudian total poin kandang dan tandang untuk klub A dan B diprediksi menggunakan model regresi Poisson bivariat, sehingga didapat total poin keseluruhan. Total poin keseluruhan dari kedua klub diurutkan nilainya dari yang besar ke kecil, klub yang memiliki nilai total poin keseluruhan yang lebih tinggi dari klub lain adalah klub yang menduduki peringkat pertama. Bila terdapat total poin keseluruhan yang sama, maka pemeringkatan dilakukan dengan melihat selisih gol dari klub yang memiliki total poin keseluruhan. Klub yang memiliki selisih gol yang paling banyak akan menduduki peringkat atas. Bila Diagram 4.1 digunakan untuk memprediksi peringkat untuk lebih dari dua klub, misalnya diketahui data dari 20 klub

(83) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tim Att 41 47 33 45 41 34 29 33 25 28 32 23 21 28 26 26 20 13 23 24 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T Kandang Def 16 23 16 19 15 22 18 17 20 26 25 28 22 30 24 39 19 28 33 31 67 Tandang Att Deff 34 23 25 14 38 27 41 24 25 19 11 31 37 28 22 23 16 38 19 25 21 32 24 41 13 23 22 30 23 26 21 34 21 35 17 32 20 40 21 37 HE 36 33 27 48 42 27 33 36 24 18 27 15 21 21 18 12 15 6 12 27 dengan menggunakan model regresi Poisson bivariat, maka prediksi peringkat untuk 20 klub adalah Peringkat Tim 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D E A B G H C K J F I N M O L T Q P S R Att 45 41 41 47 29 33 33 32 28 34 25 28 21 26 23 24 20 26 23 13 Kandang Def 19 15 16 23 18 17 16 25 26 22 20 30 22 24 28 31 19 39 33 28 HE 48 42 36 33 33 48 27 27 18 27 24 21 21 18 15 27 15 12 12 6 Tandang Att Deff 41 24 25 19 34 23 25 14 37 28 22 23 38 27 21 32 19 25 11 31 16 38 22 30 13 23 23 26 24 41 21 37 21 35 21 34 20 40 17 32

(84) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 68 Jadi, proses dalam Diagram 4.1 dapat digunakan untuk memprediksi peringkat lebih dari dua klub. Dalam membuat model untuk memprediksi peringkat akan digunakan variabel home effect ( HE ). Data yang digunakan untuk membuat model adalah data permainan sepak bola di Liga Inggris. A. Home Effect ( HE ) Home effect ( HE ) merupakan faktor pendukung ketika suatu klub bermain di wilayahnya sendiri. Home effect dapat disebut juga poin menang di kandang. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, poin menang di kandang adalah banyaknya pertandingan dengan suatu klub menang ketika bermain di kandang dikalikan dengan poin menang. Dalam Liga Inggris yang terdiri dari 20 klub, tiap klub hanya dapat memperoleh poin kemenangan maksimal 57 poin (19 pertandingan dikali poin menang). Sebagai contoh diberikan hasil poin di kandang dari pertandingan di Liga Inggris musim 2009/2010, sebagai berikut Tabel 4.1 Klub Poin menang di kandang Total Poin Klub Poin menang di kandang Total Poin Chelsea 51 86 Aston Villa 24 64 Man United 48 85 Birmingham 24 50 Arsenal 45 75 Burnley 21 30 Tottenham 42 70 Stoke 21 47 Liverpool 39 63 West Ham 21 35 Man City 36 67 Bolton 18 39 Everton 33 61 Hull 18 30 Fulham 33 46 Wigan 18 36

(85) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 69 Blackburn 30 50 Portsmouth 15 19 Sunderland 27 44 Wolves 15 38 Misalkan dari Tabel 4.1 terlihat bahwa Fulham memiliki poin 33 dari 46 total poin keseluruhan, atau Sunderland memiliki poin 27 dari 44 total poin keseluruhan. Dari kedua klub tersebut, terlihat bahwa total poin sebagian besar didapat dari poin kemenangan di kandang. Ini berarti ada faktor pendukung ketika bermain di kandang ( home effect ) dalam pertandingan di Liga Inggris, sehingga home effect dibutuhkan dalam membangun model, untuk memprediksi peringkat klub sepak bola. B. Aplikasi Model Regresi Poisson Bivariat untuk Memprediksi Peringkat Seperti yang telah dibahas di Bab III, model regresi Poisson bivariat dinyatakan sebagai berikut : ln 1    0  x11i 11  x12i 12  ...  x1ki 1k 1 ln 2    0 2   x21i  21  x22i  22  ...  x2ki  2k Model tersebut bila diaplikasikan untuk memprediksi peringkat klub sepak bola, sebagai berikut : ln 1  dinyatakan dengan 𝑙𝑜𝑔 𝜆1𝑖 ,  0 dinyatakan dengan 𝜇1 , x11i 11 dinyatakan 1 dengan 𝑕𝑜𝑚𝑒, x12i 12 dinyatakan dengan 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 , x13i 13 dinyatakan dengan 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 , ln 2  dinyatakan dengan 𝑙𝑜𝑔 𝜆2𝑖 ,  0 2  dinyatakan dengan 𝜇2 , x21i  21 dinyatakan dengan 𝑎𝑡𝑡𝑔 𝑖 , dan x22i  22 dinyatakan dengan 𝑑𝑒𝑓𝑕 𝑖 ,

(86) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 70 sehingga model regresi Poisson untuk memprediksi peringkat klub sepak bola dinyatakan sebagai berikut : 𝑌1𝑖 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆1𝑖 𝑌2𝑖 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆2𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝜆1𝑖 = 𝜇1 + 𝑕𝑜𝑚𝑒 + 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 + 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝜆2𝑖 = 𝜇2 + 𝑎𝑡𝑡𝑔 𝑖 + 𝑑𝑒𝑓𝑕 𝑖 untuk i = 1,2,…,n dimana i adalah banyaknya percobaan atau pertandingan, 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 menyatakan banyaknya gol yang dicetak sebagai klub tuan rumah, 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 menyatakan banyaknya kemasukan gol yang dialami sebagai klub tamu, 𝑎𝑡𝑡𝑔 𝑖 menyatakan banyaknya gol yang dicetak sebagai klub tamu, 𝑑𝑒𝑓𝑕 𝑖 menyatakan banyaknya kemasukan gol yang dialami sebagai klub tuan rumah, 𝑌1𝑖 dan 𝑌2𝑖 menyatakan total poin sebagai klub tuan rumah dan klub tamu, 𝜆1𝑖 dan 𝜆2𝑖 menyatakan rata-rata, 𝜇 merupakan parameter konstan, dan 𝑕𝑜𝑚𝑒 merupakan parameter home effect ( HE ). Dalam model pertama, unsur yang digunakan untuk memprediksi 𝑌1𝑖 adalah home, 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 , dan 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 . Ini dikarenakan, sebagian total poin yang didapat oleh suatu klub dari kemenangan di kandang, sehingga digunakan variabel home. Dimisalkan klub X bertanding kandang dan tandang, variabel 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 yang berarti banyaknya gol yang dicetak oleh klub X sebagai klub tuan rumah, ini bisa diartikan sebagai kemampuan menyerang ( agresivitas ) klub X saat bermain sebagai tuan rumah. Semakin baik kemampuan menyerangnya, maka akan semakin banyak gol yang dapat dicetak. Sedangkan variabel 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 yang berarti banyaknya kemasukan gol yang dialami klub X sebagai klub tamu, ini bisa

(87) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 71 diartikan sebagai kemampuan bertahan klub X saat bermain sebagai klub tamu. Bila kemampuan bertahan klub X baik, maka klub tersebut akan sedikit kemasukan gol. Ketiga faktor ini yang digunakan untuk memprediksi total poin sebagai klub tuan rumah. Dalam model kedua, unsur yang digunakan untuk memprediksi 𝑌2𝑖 adalah 𝑎𝑡𝑡𝑔𝑖 dan 𝑑𝑒𝑓𝑕 𝑖 . Variabel 𝑎𝑡𝑡𝑔 𝑖 yang berarti banyaknya gol yang dicetak oleh klub X sebagai klub tamu, ini bisa diartikan sebagai kemampuan menyerang klub X saat bermain sebagai klub tamu. Semakin baik kemampuan menyerangnya, maka akan semakin banyak gol yang dapat dicetak. Sedangkan variabel 𝑑𝑒𝑓𝑕𝑖 yang berarti banyaknya kemasukan gol yang dialami klub X saat bermain sebagai klub tuan rumah, ini bisa diartikan sebagai kemampuan bertahan klub X sebagai tuan rumah. Bila kemampuan bertahan klub X baik, maka klub tersebut akan sedikit kemasukan gol. Ketiga faktor ini yang digunakan untuk memprediksi total poin sebagai klub tamu. Total poin sebagai klub tuan rumah dan total poin sebagai klub tamu kemudian dijumlahkan dan diurutkan dari total poin keseluruhan yang bernilai besar ke kecil, lalu dibuat peringkat. Pada bagian berikut diberikan contoh - contoh penerapan model regresi Poisson bivariat untuk memprediksi peringkat. 1. Penduga model dengan data pertandingan Liga Inggris tahun 2012/2013 musim pertama (bulan Agustus-Desember) untuk memprediksi peringkat akhir tahun 2012/2013, dengan data sebagai berikut :

(88) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 72 Tabel 4.2 Klub Man United Man City Chelsea Tottenham Arsenal Everton West Bromwich Stoke City Liverpool Swansea City Norwich City West Ham Sunderland Fulham Newcastle Wigan Aston Villa Southampton Reading Queens Park HE 𝑋1𝑖,2 27 21 15 15 15 15 21 15 12 9 15 12 9 12 15 6 6 9 6 3 Atthi 𝑋1𝑖,3 28 22 22 14 25 17 16 14 14 17 13 17 11 17 12 13 8 14 15 8 Defhi 𝑋2𝑖,3 13 9 7 10 13 12 7 7 10 15 13 12 12 14 12 18 15 13 19 19 Attgi 𝑋2𝑖,2 22 16 17 22 14 16 12 7 17 12 10 5 10 13 14 9 7 12 7 8 Defgi 𝑋1𝑖,4 15 10 11 16 8 13 18 10 16 9 19 11 14 22 25 17 24 24 18 17 Y1i Y2i 27 23 18 18 17 19 22 20 15 14 17 15 12 14 16 9 10 12 11 7 22 19 20 18 16 14 11 9 13 14 8 8 10 7 4 9 8 5 2 3 2. Penduga model dengan data pertandingan Liga Inggris tahun 2013/2014 selama satu musim penuh, untuk memprediksi peringkat akhir kompetisi, yang kemudian dibandingkan dengan peringkat sesungguhnya untuk memverifikasi model. Data yang digunakan untuk membuat model disajikan sebagai berikut : Tabel 4.3 Klub Man City Liverpool Chelsea Arsenal Everton Tottenham Man United Southampton Stoke City Newcastle HE 𝑋1𝑖,2 51 48 45 39 39 33 27 24 30 24 Atthi 𝑋1𝑖,3 63 53 43 36 38 30 29 32 27 23 Defhi 𝑋2𝑖,3 13 18 11 11 19 23 21 23 17 28 Attgi 𝑋2𝑖,2 39 48 28 32 23 25 35 22 18 20 Defgi 𝑋1𝑖,4 24 32 16 30 20 28 22 23 35 31 Y1i Y2i 52 49 48 44 42 36 30 30 36 27 34 35 34 35 30 33 34 26 14 22

(89) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Crystal Palace Swansea City West Ham Sunderland Aston Villa Hull City West Bromwich Norwich Fulham Cardiff City 24 18 21 15 18 21 12 18 15 15 18 33 25 21 22 20 24 17 24 20 23 26 26 27 29 21 27 18 38 35 15 21 15 20 17 18 19 11 16 12 25 28 25 33 32 32 32 44 47 39 27 23 24 18 21 25 21 24 18 20 73 18 19 16 20 17 12 15 9 14 10 3. Penduga model dengan data pertandingan Liga Inggris tahun 2013/2014 musim pertama ( bulan Agustus-Desember ) untuk memprediksi peringkat akhir tahun 2013/2014, dengan data sebagai berikut : Tabel 4.4 Klub Arsenal Man City Chelsea Everton Liverpool Man United Tottenham Newcastle Southampton Hull City Swansea City Stoke City Aston Villa Norwich City West Bromwich Cardiff City Crystal Palace Fulham West Ham Sunderland HE 𝑋1𝑖,2 18 30 27 18 24 12 12 15 12 15 6 12 6 9 6 9 9 9 6 6 Atthi 𝑋1𝑖,3 16 38 22 19 25 11 11 17 16 15 16 10 7 10 11 10 7 11 12 10 Defhi 𝑋2𝑖,3 6 6 8 9 6 8 13 10 9 6 14 6 14 11 12 15 13 17 16 16 Attgi 𝑋2𝑖,2 21 16 13 12 19 21 11 12 10 7 8 8 11 6 11 5 5 8 6 5 Defgi 𝑋1𝑖,4 12 15 11 9 17 14 11 14 11 17 11 23 11 21 15 15 15 24 12 16 Y1i Y2i 20 30 28 21 24 14 15 18 15 18 10 16 8 12 9 12 10 7 9 7 22 11 12 16 12 20 19 15 12 5 11 5 12 7 9 6 6 9 6 7

(90) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 74 Penyelesaian : 1. Sebelum menentukan parameter regresi Poisson, maka perlu melakukan pengujian apakah 𝑌𝑗𝑖 dengan j = 1,2 berdistribusi Poisson atau tidak. Langkah - langkahnya sebagai berikut:  Uji hipotesis : H0 : Data 𝑌𝑗𝑖 berdistribusi Poisson H1 : Data 𝑌𝑗𝑖 tidak berdistribusi Poisson  Tingkat signifikasi: 𝛂 = 0.05  Keputusan : Bila Sig. > 𝛂, maka H0 diterima, sebaliknya, bila Sig. < 𝛂, maka H0 ditolak. Dengan menggunakan SPSS ( Lampiran 5 ), didapat hasil sebagai berikut :  Untuk data 𝑌1𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.995 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌1𝑖 berdistribusi Poisson.  Untuk data 𝑌2𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.625 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌2𝑖 berdistribusi Poisson. Langkah 1 Langkah selanjutnya setelah melakukan uji hipotesis adalah menentukan 𝜷 dengan metode Newton. Namun, perlu ditetapkan nilai awal 𝜷0 agar iterasi metode Newton dapat dijalankan, 𝜷0 dapat diperoleh dengan 𝑿′𝑿 −𝟏 𝑿′𝒀. Rumus ini merupakan rumus mencari peduga dengan menggunakan metode

(91) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 75 Maximum Likelihood Estimation ketika galatnya diasumsikan berdistribusi normal. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk mendapatkan 𝜷 dengan menggunakan software MATLAB. a. Menggunakan perhitungan dari MATLAB didapat nilai untuk vektor 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) adalah 𝜷1𝑖(0) 8.3019 = 0.8522 −0.0768 −0.1437 𝜷2𝑖(0) = b. Membentuk vektor gradien g sebagai berikut 𝑛 𝑖=1 𝒈𝑗 = 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 c. Membentuk matriks Hessian 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝑯𝑗 = − 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊𝒙𝒋𝒌𝒊′ 6.3585 0.7955 −0.4242 ( Persamaan 2.6 ) (Persamaan 2.15) d. Memasukkan nilai dari 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) ke vektor gradien g dan matriks Hessian H, sehingga diperoleh 𝒈1 𝒈2 0 0 −5.5100 × 1011 13 = −1.4777 × 1013 −1.5297 × 10 −8.2270 × 1012 −4.5870 × 108 = −9.9089 × 109 −4.7974 × 109 dan 𝑯1 0 = −5.5000 × 1011 −1.4780 × 1013 −1.5300 × 1013 − 8.2300 × 1012 −1.4780 × 1013 −3.9693 × 1014 −4.1106 × 1014 − 2.2088 × 1014 −1.5300 × 1013 −4.1106 × 1014 −4.2587 × 1014 − 2.2854 × 1014 −8.2300 × 1012 − 2.2088 × 1014 − 2.2854 × 1014 − 1.2316 × 1014

(92) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝑯2 0 −4.6000 × 108 = −9.9100 × 109 −4.8000 × 109 −9.9100 × 109 −2.1495 × 1011 −1.0405 × 1011 76 −4.8000 × 109 −1.0405 × 1011 −5.1130 × 1010 e. Dilakukan iterasi dari persamaan berikut 𝜷𝑗 (𝑡) = 𝜷𝑗 (𝑡−1) − 𝑯𝑗 (𝑡−1) dengan t = 0,1,2,… dan j =1,2 −1 𝒈𝑗 (𝑡−1) Jika belum menghasilkan yang konvergen, maka iterasi diulang kembali ke poin e. Hasil iterasi menggunakan program Matlab disajikan dalam Tabel 4.5 dan Tabel 4.6 ( Lampiran 7 ). Pada Tabel 4.5, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-27 dengan nilai 𝛽11 = 2.3878, 𝛽12 = 0.0537, 𝛽13 = −0.0097 dan 𝛽14 = −0.0133. Pada Tabel 4.6, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-20 dengan nilai 𝛽21 =2.0917, 𝛽22 = 0.0673, dan 𝛽23 = −0.0497. Langkah 2 Membangun persamaan regresi Poisson dari nilai-nilai penduga parameter yang di dapat. Jadi persamaan regresi Poisson dari Tabel 4.2 adalah 𝑌1 = 𝑒 2.3878 𝑒 0.0537 𝑋12 𝑒 −0.0097𝑋13 𝑒 −0.0133 𝑋14 (4.1a) dan 𝑌2 = 𝑒 2.0917 𝑒 0.0673 𝑋22 𝑒 −0.0497𝑋23 (4.1b)

(93) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 77 persamaan (4.1a) dan (4.1b) kemudian digunakan untuk memprediksi hasil pertandingan musim terakhir tahun 2012/2013 dengan data dalam Tabel 4.7 ( Lampiran 8 ). Berikut diberikan data prediksi hasil pertandingan musim terakhir tahun 2012/2013. Tabel 4.8 Peringkat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Klub Man United Man City Chelsea Tottenham Liverpool Everton Arsenal West Bromwich Newcastle West Ham Norwich City Southampton Stoke City Sunderland Fulham Swansea City Aston Villa Reading Wigan Queens Park HE X1i,2 48 42 36 33 27 36 33 27 27 27 24 18 21 15 21 18 15 12 12 6 Atthi X1i,3 45 41 41 29 33 33 47 32 24 34 25 26 21 20 28 28 23 23 26 13 Defhi X2i,3 19 15 16 18 16 17 23 25 31 22 20 24 22 19 30 26 28 33 39 28 Attgi X2i,2 41 25 34 37 38 22 25 21 21 11 16 23 13 21 22 19 24 20 21 17 Defgi X1i,4 24 19 23 28 27 23 14 32 37 31 38 26 23 35 30 25 41 40 34 32 Y1i Y2i 67.3 54.2 37.2 33.3 23.5 40.2 33.7 22.2 22.5 22.1 18.7 15.7 20.2 12.6 17.2 15.6 11.3 9.75 10.3 8.66 49.70 20.70 36.00 39.90 47.20 15.30 13.90 9.61 7.13 5.69 8.80 11.60 6.51 12.90 8.01 7.99 10.10 6.04 4.79 6.32 Y Total 117.10 74.88 73.28 73.25 70.71 55.54 47.60 31.84 29.61 27.79 27.50 27.29 26.71 25.55 25.21 23.64 21.43 15.78 15.05 14.98 Berikut diberikan data nyata hasil pertandingan musim terakhir tahun 2012/2013. Tabel 4.9 Peringkat 1 2 3 4 Klub Man United Man City Chelsea Arsenal HE X1i,2 48 42 36 33 Atthi X1i,3 45 41 41 47 Defhi X2i,3 19 15 16 23 Attgi X2i,2 41 25 34 25 Defgi X1i,4 24 19 23 14 Y1i Y2i 48 45 41 38 41 33 34 35 Y Total 89 78 75 73

(94) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tottenham Everton Liverpool West Bromwich Swansea City West Ham Norwich City Fulham Stoke City Southampton Aston Villa Newcastle Sunderland Wigan Reading Queens Park 33 36 27 27 18 27 24 21 21 18 15 27 15 12 12 6 29 33 33 32 28 34 25 28 21 26 23 24 20 26 23 13 18 17 16 25 26 22 20 30 22 24 28 31 19 39 33 28 37 22 38 21 19 11 16 22 13 23 24 21 21 21 20 17 28 23 27 32 25 31 38 30 23 26 41 37 35 34 40 32 38 42 33 31 26 33 31 24 28 25 20 28 23 18 20 14 34 21 28 18 20 13 13 19 14 16 21 13 16 18 8 11 78 72 63 61 49 46 46 44 43 42 41 41 41 39 36 28 25 Dari hasil yang diprediksi bila dibandingkan dengan hasil nyata terlihat bahwa hasil prediksi peringkat untuk Man United, Man City, Chelsea, Everton, West Bromwich, West Ham, Norwich City, Stoke City, dan Queens Park tepat. Sedangkan, klub Tottenham diprediksi berada diperingkat empat akan tetapi hasil akhirnya berada diperingkat lima, klub Liverpool diprediksi berada diperingkat lima akan tetapi hasil akhirnya berada diperingkat tujuh, begitu juga dengan klubklub lain. Adanya ketidaktepatan hasil prediksi dengan hasil sebenarnya dikarenakan beberapa faktor, antara lain banyak klub melakukan transfer pemain saat musim akhir, adanya perubahan strategi pada permainan, adanya peningkatan kualitas pemain, dan lain-lain. Faktor-faktor tersebut yang menyebabkan klubklub yang memiliki kualitas yang lebih baik mengungguli klub yang lain.

(95) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 79 2. Sebelum menentukan parameter regresi Poisson, maka perlu melakukan pengujian apakah 𝑌𝑗𝑖 dengan j = 1,2 berdistribusi Poisson atau tidak. Langkah - langkahnya sebagai berikut:  Uji hipotesis : H0 : Data 𝑌𝑗𝑖 berdistribusi Poisson H1 : Data 𝑌𝑗𝑖 tidak berdistribusi Poisson  Tingkat signifikasi: 𝛂 = 0.05  Keputusan : Bila Sig. > 𝛂, maka H0 diterima, sebaliknya, bila Sig. < 𝛂, maka H0 ditolak. Dengan menggunakan SPSS ( Lampiran 5 ), didapat hasil sebagai berikut :  Untuk data 𝑌1𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.092 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌1𝑖 berdistribusi Poisson.  Untuk data 𝑌2𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.087 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌2𝑖 berdistribusi Poisson. Langkah 1 Langkah selanjutnya setelah melakukan uji hipotesis adalah menentukan 𝜷 dengan metode Newton. Seperti yang telah disebutkan pada nomor 1, perlu ditetapkan nilai awal 𝜷0 agar iterasi metode Newton dapat dijalankan. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk mendapatkan 𝜷 dengan menggunakan software MATLAB.

(96) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 80 a. Menggunakan perhitungan dari MATLAB didapat nilai untuk vektor 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) adalah 𝜷1𝑖(0) 6.4321 = 0.9103 0.0024 −0.0065 𝜷2𝑖(0) 10.2840 = 0.7536 −0.2220 b. Membentuk vektor gradien g sebagai berikut 𝑛 𝑖=1 𝒈𝑗 = 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 c. Membentuk matriks Hessian 𝑯𝑗 = − 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊𝒙𝒋𝒌𝒊′ ( Persamaan 2.6 ) (Persamaan 2.15) d. Memasukkan nilai dari 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) ke vektor gradien g dan matriks Hessian H, sehingga diperoleh 𝒈1 𝒈2 0 0 −2.5300 × 1022 24 = −4.8439 × 1024 −4.8439 × 10 −2.3285 × 1024 −2.7600 × 1018 = −1.3239 × 1020 −4.9630 × 1019 dan 𝑯1 𝑯2 0 = −1.0000 × 1023 −4.8400 × 1024 −5.9400 × 1024 − 2.3300 × 1024 −4.8400 × 1024 −2.4615 × 1026 −3.0222 × 1026 − 1.1819 × 1026 −5.9400 × 1024 −3.0222 × 1026 −3.7132 × 1026 − 1.4484 × 1026 −2.3300 × 1024 − 1.1819 × 1026 − 1.4484 × 1026 − 5.7220 × 1026 0 −2.8000 × 1018 = −1.3240 × 1020 −4.9600 × 1019 −1.3240 × 1020 −6.3515 × 1021 −2.3812 × 1021 e. Dilakukan iterasi dari persamaan berikut −4.9600 × 1019 −2.3812 × 1021 −8.9280 × 1020

(97) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 𝜷𝑗 (𝑡) = 𝜷𝑗 (𝑡−1) − 𝑯𝑗 (𝑡−1) dengan t = 0,1,2,… dan j =1,2 −1 81 𝒈𝑗 (𝑡−1) Jika belum menghasilkan yang konvergen, maka iterasi diulang kembali ke poin e. Hasil iterasi menggunakan program Matlab disajikan dalam Tabel 4.10 dan Tabel 4.11 ( Lampiran 9 ). Pada Tabel 4.10, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-53 dengan nilai 𝛽11 = 2.7465, 𝛽12 = 0.0318, 𝛽13 = −0.0055, dan 𝛽14 = -0.0022. Pada Tabel 4.11, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-42 dengan nilai 𝛽21 = 2.7465, 𝛽22 = 0.0271, dan 𝛽23 = −0.0136. Langkah 2 Membangun persamaan regresi Poisson dari nilai-nilai penduga parameter yang didapat. Jadi persamaan regresi Poisson dari Tabel 4.3 adalah 𝑌1 = 𝑒 2.7465 𝑒 0.0318 𝑋12 𝑒 −0.0055 𝑋13 𝑒 −0.0022 𝑋14 (4.2a) dan 𝑌2 = 𝑒 2.7465 𝑒 0.0271 𝑋22 𝑒 −0.0136 𝑋23 (4.2b) persamaan (4.2a) dan (4.2b) kemudian digunakan untuk memprediksi peringkat di akhir kompetisi musim 2013/2014 dengan data dalam Tabel 4.12 ( Lampiran 10 ). Berikut diberikan data prediksi hasil pertandingan musim terakhir tahun 2013/2014.

(98) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 82 Tabel 4.13 Peringkat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Klub Liverpool Man City Chelsea Arsenal Everton Man United Tottenham Stoke City Southampton Newcastle Crystal Palace Hull City West Ham Swansea City Aston Villa Sunderland Norwich West Bromwich Fulham Cardiff City HE X1i,2 48 51 45 39 39 27 33 30 24 24 24 21 21 18 18 15 18 12 15 15 Atthi X1i,3 53 63 43 36 38 29 30 27 32 23 18 20 25 33 22 21 17 24 24 20 Defhi X2i,3 18 13 11 11 19 21 23 17 23 28 23 21 26 26 29 27 18 27 38 35 Attgi X2i,2 48 39 28 32 23 35 25 18 22 20 15 18 15 21 17 20 11 19 16 12 Defgi X1i,4 32 24 16 30 20 22 28 35 23 31 25 32 25 28 32 33 44 32 47 39 Y1i Y2i 49.9 52.9 49.7 41.4 41.8 29.9 35.5 32.3 26.7 27.5 28.7 25.4 25.1 21.7 22.8 20.8 22.8 18.6 19.8 20.6 44.8 37.6 28.7 31.9 22.5 30.2 22.4 20.1 20.7 18.3 17.1 19.1 16.4 19.3 16.7 18.6 16.4 18.1 14.3 13.4 Y Total 94.8 90.5 78.4 73.3 64.3 60.1 57.9 52.4 47.4 45.8 45.8 44.5 41.5 41 39.5 39.4 39.3 36.7 34.2 34.1 Berikut diberikan data nyata hasil pertandingan musim terakhir tahun 2013/2014. Tabel 4.14 Peringkat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Klub Man City Liverpool Chelsea Arsenal Everton Tottenham Man United Southampton Stoke City Newcastle Crystal Palace Swansea City West Ham Sunderland Aston Villa Hull City West Bromwich Norwich City HE X1i,2 51 48 45 39 39 33 27 24 30 24 24 18 21 15 18 21 12 18 Atthi X1i,3 63 53 43 36 38 30 29 32 27 23 18 33 25 21 22 20 24 17 Defhi X2i,3 13 18 11 11 19 23 21 23 17 28 23 26 26 27 29 21 27 18 Attgi X2i,2 39 48 28 32 23 25 35 22 18 20 15 21 15 20 17 18 19 11 Defgi X1i,4 24 32 16 30 20 28 22 23 35 31 25 28 25 33 32 32 32 44 Y1i Y2i 52 49 48 44 42 36 30 30 36 27 27 23 24 18 21 25 21 24 34 35 34 35 30 33 34 26 14 22 18 19 16 20 17 12 15 9 Y Total 86 84 82 79 72 69 64 56 50 49 45 42 40 38 38 37 36 33

(99) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 19 20 Fulham Cardiff City 15 15 24 20 38 35 16 21 47 39 18 20 14 10 83 32 30 Dari hasil yang diprediksi bila dibandingkan dengan hasil nyata terlihat bahwa klub Man City, Liverpool, Chelsea, dan Arsenal diprediksi berada diperingkat empat besar, dan prediksi itu hampir sama dengan hasil nyata, walaupun dalam prediksi peringkat Liverpool lebih tinggi daripada Man City, sedangkan dalam hasil nyata Man City mengungguli Liverpool. Pada klub-klub lain, ada yang prediksi peringkatnya tepat, namun ada juga yang tidak tepat, karena dengan bergesernya peringkat klub yang satu akan mempengaruhi peringkat klub yang lain. 3. Sebelum menentukan parameter regresi Poisson, maka perlu melakukan pengujian apakah 𝑌𝑗𝑖 dengan j = 1,2 berdistribusi Poisson atau tidak. Langkah - langkahnya sebagai berikut:  Uji hipotesis : H0 : Data 𝑌𝑗𝑖 berdistribusi Poisson H1 : Data 𝑌𝑗𝑖 tidak berdistribusi Poisson  Tingkat signifikasi: 𝛂 = 0.05  Keputusan : Bila Sig. > 𝛂, maka H0 diterima, sebaliknya, bila Sig. < 𝛂, maka H0 ditolak. Dengan menggunakan SPSS ( Lampiran 5 ), didapat hasil sebagai berikut :

(100) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 84  Untuk data 𝑌1𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.205 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌1𝑖 berdistribusi Poisson.  Untuk data 𝑌2𝑖 Asymp. Sig. (2-tailed) = 0.324 > 0.05, maka H0 diterima, berarti data 𝑌2𝑖 berdistribusi Poisson. Langkah 1 Langkah selanjutnya setelah melakukan uji hipotesis adalah menentukan 𝜷 dengan metode Newton. Seperti yang telah disebutkan pada nomor 1, perlu ditetapkan nilai awal 𝜷0 agar iterasi metode Newton dapat dijalankan. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk mendapatkan 𝜷 dengan menggunakan software MATLAB. a. Menggunakan perhitungan dari MATLAB didapat nilai untuk vektor 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) adalah 𝜷1𝑖(0) 5.3184 = 0.9348 −0.0226 −0.1384 𝜷2𝑖(0) = −4.4055 1.0058 0.4365 b. Membentuk vektor gradien g sebagai berikut 𝒈𝑗 = 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 c. Membentuk matriks Hessian 𝑯𝑗 = − 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊𝒙𝒋𝒌𝒊′ ( Persamaan 2.6 ) (Persamaan 2.15)

(101) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 85 d. Memasukkan nilai dari 𝜷1𝑖(0) dan 𝜷2𝑖(0) ke vektor gradien g dan matriks Hessian H, sehingga diperoleh 𝒈1 𝒈2 0 0 −1.8900 × 1013 14 = −5.5913 × 1014 −6.7769 × 10 −2.7368 × 1014 −8.8400 × 108 = −1.8479 × 1010 −6.5080 × 109 dan 𝑯1 𝑯2 0 = −1.9000 × 1013 −5.5900 × 1014 −6.7800 × 1014 − 2.74 × 1014 14 16 −5.5900 × 10 −1.6564 × 10 −2.0158 × 1016 − 8.1220 × 1015 14 16 −6.7800 × 10 −2.0158 × 10 −2.4816 × 1016 − 9.9500 × 1015 14 15 −2.7400 × 10 − 8.1220 × 10 − 9.9500 × 1015 − 3.9980 × 1015 0 −8.8000 × 108 = −1.8480 × 1010 −6.5100 × 109 −1.8480 × 1010 −3.8652 × 1011 −1.3607 × 1011 −6.5100 × 109 −1.3607 × 1011 −4.8720 × 1010 e. Dilakukan iterasi dari persamaan berikut 𝜷𝑗 (𝑡) = 𝜷𝑗 (𝑡−1) − 𝑯𝑗 (𝑡−1) dengan t = 0,1,2,… dan j =1,2 −1 𝒈𝑗 (𝑡−1) Jika belum menghasilkan yang konvergen, maka iterasi diulang kembali ke poin e. Hasil iterasi menggunakan program Matlab disajikan dalam Tabel 4.15 dan Tabel 4.16 ( Lampiran 11 ). Pada Tabel 4.15, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-31 dengan nilai 𝛽11 = 2.1318, 𝛽12 = 0.0609, 𝛽13 = −0.0101, dan 𝛽14 = −0.0091.

(102) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 86 Pada Tabel 4.16, konvergensi terjadi pada saat iterasi ke-21 dengan nilai 𝛽21 = 0.9297, 𝛽22 = 0.0859, dan 𝛽23 = 0.0456. Langkah 2 Membangun persamaan regresi Poisson dari nilai-nilai penduga parameter yang di dapat. Jadi persamaan regresi Poisson dari Tabel 4.4 adalah 𝑌1 = 𝑒 2.1318 𝑒 0.0609𝑋12 𝑒 −0.0101 𝑋13 𝑒 −0.0091𝑋14 (4.2a) dan 𝑌2 = 𝑒 0.9297 𝑒 0.0859𝑋22 𝑒 0.0456 𝑋23 (4.2b) persamaan (4.2a) dan (4.2b) kemudian digunakan untuk memprediksi hasil pertandingan musim terakhir tahun 2013/2014 dengan data dalam Tabel 4.12 ( Lampiran 10 ). Berikut diberikan data prediksi hasil pertandingan musim terakhir tahun 2013/2014. Tabel 4.17 Peringkat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Klub Liverpool Man City Man United Chelsea Arsenal Tottenham Everton Cardiff City Newcastle Southampton Fulham Swansea City Sunderland HE X1i,2 48 51 27 45 39 33 39 15 24 24 15 18 15 Atthi X1i,3 53 63 29 43 36 30 38 20 23 32 24 33 21 Defhi X2i,3 18 13 21 11 11 23 19 35 28 23 38 26 27 Attgi X2i,2 48 39 35 28 32 25 23 21 20 22 16 21 20 Defgi X1i,4 32 24 22 16 30 28 20 39 31 23 47 28 33 Y1i Y2i 68.6 80.1 26.7 73.1 48 36 51.5 12 21.7 21.3 10.8 14 12.6 356 131 133 46.4 65.4 61.9 43.5 75.9 50.6 47.9 56.7 50.4 48.4 Y Total 424.2 210.7 160.1 119.5 113.3 97.94 94.93 87.96 72.36 69.21 67.4 64.37 60.96

(103) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 14 15 16 17 18 19 20 Aston Villa Stoke City West Bromwich Crystal Palace Hull City West Ham Norwich City 18 30 12 24 21 21 18 22 27 24 18 20 25 17 29 17 27 23 21 26 18 17 18 19 15 18 15 11 32 35 32 25 32 25 44 15.1 29 10.3 24.1 18.5 18.7 14.2 41 25.8 44.4 26.2 31 30.1 14.8 87 56.05 54.83 54.66 50.38 49.48 48.82 29.05 Berikut diberikan data nyata hasil pertandingan musim terakhir tahun 2013/2014. Tabel 4.18 Peringkat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Klub Man City Liverpool Chelsea Arsenal Everton Tottenham Man United Southampton Stoke City Newcastle Crystal Palace Swansea City West Ham Sunderland Aston Villa Hull City West Bromwich Norwich City Fulham Cardiff City HE X1i,2 51 48 45 39 39 33 27 24 30 24 24 18 21 15 18 21 12 18 15 15 Atthi X1i,3 63 53 43 36 38 30 29 32 27 23 18 33 25 21 22 20 24 17 24 20 Defhi X2i,3 13 18 11 11 19 23 21 23 17 28 23 26 26 27 29 21 27 18 38 35 Attgi X2i,2 39 48 28 32 23 25 35 22 18 20 15 21 15 20 17 18 19 11 16 21 Defgi X1i,4 24 32 16 30 20 28 22 23 35 31 25 28 25 33 32 32 32 44 47 39 Y1i Y2i 52 49 48 44 42 36 30 30 36 27 27 23 24 18 21 25 21 24 18 20 34 35 34 35 30 33 34 26 14 22 18 19 16 20 17 12 15 9 14 10 Y Total 86 84 82 79 72 69 64 56 50 49 45 42 40 38 38 37 36 33 32 30 Dari hasil yang diprediksi bila dibandingkan dengan hasil nyata terlihat bahwa hanya prediksi untuk klub Tottenham dan Swansea City yang tepat, sedangkan klub yang lain kurang tepat, misalnya klub Man United diprediksi berada diperingkat tiga akan tetapi pada hasil akhir berada diperingkat tujuh, ini dikarenakan pada tengah musim klub Man United melakukan pergantian pelatih, sehingga dapat mempengaruhi kualitas permainan klub tersebut.

(104) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 88 Seperti yang telah dijelaskan pada contoh 1, ketidaktepatan dalam prediksi peringkat dari klub-klub lain disebabkan banyak klub melakukan transfer pemain saat musim akhir, adanya perubahan strategi pada permainan, adanya peningkatan kualitas pemain, adanya pemain andalan yang cedera, dan lain-lain, sehingga menyebabkan klub-klub yang memiliki kualitas lebih baik mengungguli klub yang lain. Dari ketiga contoh di atas, terlihat bahwa bila model yang dibuat dari data setengah musim, maka akan menghasilkan prediksi kasar, karena dalam setengah musim klub-klub banyak yang melakukan jual-beli pemain, pergantian pelatih, dan strategi-strategi lain. Misalnya, klub Man United, saat tengah musim klub tersebut melakukan pergantian pelatih, namun pergantian pelatih tersebut membuat kualitas permainan Man United menjadi kurang baik, sehingga membuat Man United berada diperingkat ketujuh pada akhir kompetisi, padahal dari hasil prediksi klub Man United menduduki posisi empat besar.

(105) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN Hasil dari pertandingan sepak bola sulit untuk diketahui secara pasti, sehingga membuat para penggemar sepak bola lebih sering hanya menebak-nebak klub mana yang akan menang ketika menyaksikan pertandingan sepak bola. Namun, dengan distribusi Poisson bivariat, dapat diprediksi peringkat suatu klub sepak bola. Dalam proses memprediksi peringkat klub sepak bola, digunakan model regresi Poisson bivariat, sebagai berikut 𝑙𝑜𝑔 𝜆1𝑖 = 𝜇1 + 𝑕𝑜𝑚𝑒 + 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 + 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝜆2𝑖 = 𝜇2 + 𝑎𝑡𝑡𝑔 𝑖 + 𝑑𝑒𝑓𝑕 𝑖 untuk i = 1,2,…,n dimana i adalah banyaknya percobaan atau pertandingan, 𝑎𝑡𝑡𝑕 𝑖 menyatakan banyaknya gol yang dicetak sebagai klub tuan rumah, 𝑑𝑒𝑓𝑔 𝑖 menyatakan banyaknya kemasukan gol yang dialami sebagai klub tamu, 𝑎𝑡𝑡𝑔 𝑖 menyatakan banyaknya gol yang dicetak sebagai klub tamu, 𝑑𝑒𝑓𝑕 𝑖 menyatakan banyaknya kemasukan gol yang dialami sebagai klub tuan rumah, 𝑌1𝑖 dan 𝑌2𝑖 menyatakan total poin sebagai klub tuan rumah dan klub tamu, 𝜆1𝑖 dan 𝜆2𝑖 menyatakan rata-rata, 𝜇 merupakan parameter konstan, dan 𝑕𝑜𝑚𝑒 merupakan parameter home effect ( HE ). 89

(106) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 90 Materi yang digunakan untuk menduga parameter regresi Poisson bivariat adalah metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation). Dikarenakan persamaan dari fungsi kemungkinan maksimum tidak dapat diperoleh secara analitik, maka diperlukan pendekatan numeris yang disebut metode numeris. Salah satu metode numeris yang digunakan adalah metode Newton. Adapun langkah – langkah untuk mendapatkan penduga parameter regresi menggunakan metode Newton, adalah a. Tentukan titik awal Misal titik awal untuk 𝜷𝟏 adalah 𝜷𝟏 0 dan 𝜷𝟐 adalah 𝜷𝟐 0 dengan rumus 𝜷𝒋(𝟎) = 𝑿′𝑿 b. Cari 𝒈 𝜷𝒋 𝒈 𝜷𝒋 = = ∂ ∂β −𝟏 𝑿′𝒀 dengan j = 1, 2. ln 𝐿 𝜷 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 merupakan matriks berordo k x 1 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ c. Cari matriks Hessian 𝑯 𝜷𝑗 = 𝜕 2 ln 𝐿 𝜷𝑗 𝜕𝜷𝜕𝜷′ 𝜕2 = 𝜕𝜷𝜕𝜷′ 𝑛 𝑖=1 = − 𝑛𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 −𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 + 𝑦𝑗𝑖 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 − 𝑙𝑛𝑦𝑗𝑖 ! 𝒙𝒋𝒌𝒊𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊𝒙𝒋𝒌𝒊′ merupakan matriks berordo k x k, di mana j = 1,2

(107) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI d. Cari 𝜷 dengan rumus 𝜷𝑗 𝑡+1 = 𝜷𝑗 = 𝜷𝑗 𝑡 𝑡 − 𝑯 𝜷𝑗 − 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝑡 −1 𝒈 𝜷𝑗 𝑡 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ dengan t = 0,1,2,… dan j = 1,2. −1 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 𝒙𝒋𝒌𝒊 𝜷𝒋 91 𝒙𝒋𝒌𝒊 ′ proses ini dilakukan terus menerus sampai terjadi kekonvergenan pada suatu titik. Setelah mendapatkan parameter, langkah selanjutnya adalah membangun persamaan regresi Poisson bivariat dari nilai–nilai penduga parameter yang didapat. Kemudian, untuk mendapatkan prediksi peringkat, bila diketahui 𝑋12 , 𝑋13 , 𝑋14 , 𝑋22 , dan 𝑋23 , maka 𝑿𝟏 dan 𝑿𝟐 dioperasikan menggunakan persamaan regresi yang telah dibangun dan didapatkan 𝑌1 dan 𝑌2 . Selanjutnya, 𝑌1 dan 𝑌2 dijumlahkan dan diurutkan dari jumlah terbesar ke terkecil. Klub yang mempunyai jumlah 𝑌 terbesar adalah klub yang menduduki peringkat pertama. Semakin kecil jumlah 𝑌, peringkat klub semakin bawah. A. SARAN 1. Hasil pertandingan sepak bola dalam tulisan ini hanya diprediksi menggunakan distribusi Poisson bivariat. Proses memprediksi tersebut dapat dikembangkan menggunakan distribusi lain, misalnya distribusi binomial negatif. 2. Dalam tulisan ini hanya memprediksi peringkat klub, sehingga masih dapat dikembangkan lagi dengan memprediksi skor.

(108) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR PUSTAKA Astuti, Rieska Indah. 2008. Penaksiran Parameter Model Regresi Poisson Tampak tak Berhubungan . Skripsi. Jakarta: FMIPA UI. Bain, Lee J. and Max Engelhardf. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2nd edition. California: Duxbury Press. Burden, R.L and J. Douglas Faires. 1993. Numerical Analysis. 5th edition. Boston: PWS Publishing Company. Gujarati, Damodar. 1999. Ekonometrika Dasar. Jakarta: Erlangga. Karlis, Dimitris. 2002. Multivariate Poisson Model. Limburg : Athens University of Economics. Karlis, D. and Ntzoufras, I. 2003. “Analysis of Sports Data by using Bivariate Poisson Models”. The Statistician, 52: 381-393. Karlis, Dimitris and Ioannis Ntzoufras. 2005. “Bivariate Poisson and Diagonal Inflated Bivariate Poisson Regression Model in R”. Journal of Statistical Software, volume 14. Koncherlakota S, Koncherlakota K. 1992. Bivariate Discrete Distributions. New York: Marcel Dekker. Mendenhall, W, Scheaffer, R.L, and Wackerly, D.D. 2008. Mathematical Statistics with Applications. 7th edition. USA: Duxbury. Rice, John A. 2007. Mathematical Statistics and Data Analysis. 3rd edition. USA: Duxbury. Siegel, Sidney and N. John Castellan, Jr. 1988. Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences. 2nd edition. Singapore: McGraw-Hill, Inc. Walpole, R.E. 1995. Pengantar Statistika. Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia. Winkelmann, Rainer. 1997. Econometric Analysis of Count Data. New York: Springer. 92

(109) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 93 Lampiran 1 Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov Dalam skripsi ini akan digunakan suatu pengujian sebuah sampel data untuk mengetahui apakah sampel tersebut berdistribusi Poisson. Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk menguji suatu sampel data berdistribusi tertentu. Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov adalah suatu uji goodness of fit ( keserasian ), artinya, yang diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara sebaran dari serangkaian nilai sampel yang diobservasi dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Dalam uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov ini, pengujian dilakukan pada dua buah fungsi sebaran kumulatif, yaitu sebaran kumulatif yang dihipotesiskan dan sebaran kumulatif yang diamati. Misal diambil sebuah sampel acak dari suatu fungsi sebaran 𝐹 𝑋 yang belum diketahui, akan dipastikan apakah dapat disimpulkan bahwa 𝐹 𝑋 = 𝐹0 𝑋 untuk semua x, dengan 𝐹0 𝑋 adalah fungsi sebaran kumulatif yang dihipotesiskan. Dimisalkan 𝑆𝑁 𝑋 adalah fungsi sebaran kumulatif dari suatu sampel acak yang diamati dengan N pengamatan, dengan X adalah sembarang nilai yang mungkin, sehingga 𝑆𝑁 𝑋 = 𝑘 𝑁 dengan k adalah jumlah pengamatan yang sama atau kurang dari X. Dalam uji ini diharapkan bahwa untuk setiap harga X, 𝑆𝑁 (𝑋) mendekati 𝐹0 𝑋 , artinya, di bawah H0 diharapkan selisih antara 𝑆𝑁 (𝑋) mendekati 𝐹0 𝑋 adalah kecil, serta berada dalam batas-batas kesalahan acak. Uji Kolmogorov-

(110) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 94 Smirnov memusatkan perhatian pada penyimpangan (deviasi) terbesar. Nilai 𝐹0 𝑋 − 𝑆𝑁 (𝑋) terbesar dinamakan deviasi maksimum dan dinyatakan dengan 𝐷 = 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝐹0 𝑋 − 𝑆𝑁 (𝑋) Signifikasi suatu nilai D tertentu 𝐷𝛼 bergantung pada jumlah pengamatan (N). Langkah untuk perhitungan uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov : 1. Menentukan hipotesis H0 = Data berdistribusi Poisson. H1 = Data bukan berdistribusi Poisson. 2. Menetapkan tingkat signifikasi α yang digunakan. 3. Menghitung 𝐹0 (𝑋) dan 𝑆𝑁 (𝑋) dari nilai-nilai data yang diamati. 4. Menghitung 𝐹0 𝑋 − 𝑆𝑁 (𝑋) dari setiap nilai yang diamati. 5. Mencari nilai D. 6. Lihat Tabel 𝑫𝜶 . 7. Jika 𝐷 > 𝐷𝛼 maka H0 ditolak dan H1 diterima, sedangkan jika 𝐷 ≤ 𝐷𝛼 maka H0 diterima dan H1 ditolak. Contoh : Uji Distribusi Poisson Menggunakan Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov Tabel 3.1 𝑆𝑁 (𝑌) = 𝜎= 𝑘 𝑁 𝑛 𝑌𝑖2 − 𝑛 𝑛 −1 𝑌𝑖 2 𝜇= 𝑍= 𝑌𝑖 𝑛 𝑌𝑖 −𝜇 𝜎

(111) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 95  Untuk Y1 𝜇= Y1 𝑌𝑖 𝑛 57 = 35 = 1.6 , Frek K 0 9 9 1 10 2 𝑛 𝜎= SN(Y1) 𝑌𝑖2 − 𝑛 𝑛 −1 𝑌𝑖 2 = 35 167 −57 2 35 34 = 1.48 Z F0(Y1) B C 0.3 -1.08 0.1401 -0.1599 0.1401 19 0.5 -0.41 0.3409 -0.1591 0.0409 8 27 0.8 0.27 0.6084 -0.1916 0.1084 3 3 30 0.85 0.95 0.8289 -0.0211 0.0289 4 3 33 0.9 1.62 0.9474 0.0474 0.0974 5 3 35 1 2.30 0.9893 -0.0107 0.0893 di mana: B = 𝐹0 𝑌1 − 𝑆𝑁 𝑌1 C = 𝐹0 𝑌1 − 𝑆𝑁 𝑌1 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚𝑛𝑦𝑎 D- = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝐹0 𝑌1 − 𝑆𝑁 𝑌1 = 0.1916 D+ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝐹0 𝑌1 − 𝑆𝑁 𝑌1 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚𝑛𝑦𝑎 = 0.1401 D = maks ( D-,D+ ) = 0.1916     Hipotesis H0 = Data berdistribusi Poisson H1 = Data tidak berdistribusi Poisson Tingkat signifikasi = 𝛼 = 0.05 𝐷𝛼 = 𝐷0.05 = 0.230 Keputusan : D = 0.1916 < 0.230 , maka H0 diterima, berarti data berdistribusi Poisson.

(112) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 96  Untuk Y2 𝜇= 𝑌𝑖 𝑛 73 = 35 = 2.09, 𝑛 𝜎= 𝑌𝑖2 − 𝑛 𝑛 −1 𝑌𝑖 2 = 35 249 −73 2 35 34 = 1.69 Y2 Frek K SN(Y2) Z F0(Y2) B C 0 8 8 0.2 -1.24 0.1075 -0.0925 0.1075 1 7 15 0.4 -0.64 0.2611 -0.1389 0.0611 2 6 21 0.6 -0.05 0.4801 -0.1199 0.0801 3 6 27 0.8 -0.54 0.7054 -0.0946 0.1054 4 4 31 0.9 1.13 0.8708 -0.0292 0.0708 5 4 35 1 1.72 0.9573 -0.0427 0.0573 di mana: B = 𝐹0 𝑌2 − 𝑆𝑁 𝑌2 C = 𝐹0 𝑌2 − 𝑆𝑁 𝑌2 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚𝑛𝑦𝑎 D- = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝐹0 𝑌2 − 𝑆𝑁 𝑌2 = 0.1389 D+ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝐹0 𝑌2 − 𝑆𝑁 𝑌2 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚𝑛𝑦𝑎 = 0.1074 D = maks ( D-,D+ ) = 0.1389     Hipotesis H0 = Data berdistribusi Poisson H1 = Data tidak berdistribusi Poisson Tingkat signifikasi = 𝛼 = 0.05 𝐷𝛼 = 𝐷0.05 = 0.230 Keputusan : D = 0.1389 < 0.230 , maka H0 diterima, berarti data berdistribusi Poisson.

(113) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Ukuran Sampel (N) Tabel 𝑫𝜶 Tingkat Signifikasi untuk D = Mkasimum [ F0(X) Sn(X) ] .20 .15 .10 .05 .01 1 .900 .925 .950 .975 .995 2 .684 .726 .776 .842 .929 3 .565 .597 .642 .708 .828 4 .494 .525 .564 .624 .733 5 .446 .474 .510 .565 .669 6 .410 .436 .470 .521 .618 7 .381 .405 .438 .486 .577 8 .358 .381 .411 .457 .543 9 .339 .360 .388 .432 .514 10 .322 .342 .368 .410 .490 11 .307 .326 .352 .391 .468 12 .295 .313 .338 .375 .450 13 .284 .302 .325 .361 .433 14 .274 .292 .314 .349 .418 15 .266 .283 .304 .338 .404 16 .258 .274 .295 .328 .392 17 .250 .266 .286 .318 .381 18 .244 .259 .278 .309 .371 19 .237 .252 .272 .301 .363 20 .231 .246 .264 .294 .356 25 .210 .220 .240 .270 .320 30 .190 .200 .220 .240 .290 35 .180 .190 .210 .230 .270 OVER 35 1.07 N 1.14 N 1.22 N 1.36 N 1.63 N 97

(114) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 98 Lampiran 2 Tabel 3.1 Responden Usia Pendapatan per bulan Gender Kepemilikan Asuransi Status pekerjaan Ke Dokter Pribadi Ke RS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 66 54 63 62 51 37 49 34 20 59 18 26 24 31 42 45 36 22 55 19 25 39 64 34 28 41 25 56 48 35 69 39 41 58 67 817 2905 1024 756 3478 3225 2630 4751 3613 956 872 4519 3110 2554 3809 5872 2223 1209 4276 1560 2895 2463 812 2721 3773 4589 3556 4460 8735 5914 2609 4378 6623 3080 1654 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 1 5 1 3 3 2 3 3 2 2 2 1 1 1 5 0 0 0 0 1 2 0 2 0 0 1 0

(115) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 99 Lampiran 3 Uji Distribusi Poisson Menggunakan SPSS Tabel 3.1 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test kunjungan_ke_dokte kunjungan_ke_ruma r_pribadi N h_sakit 35 35 1.6286 2.0857 Poisson Parametera Mean Most Extreme Differences Absolute .061 .104 Positive .061 .104 Negative -.060 -.070 Kolmogorov-Smirnov Z .360 .617 Asymp. Sig. (2-tailed) .999 .840 a. Test distribution is Poisson.

(116) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 100 Lampiran 4 clc clear %variabel tak bebas I syms b1 b2 b3 b4 x12=input('masukkan matriks x12= ') x13=input('masukkan matriks x13= ') x14=input('masukkan matriks x14= ') X1=[ones(35,1) x12' x13' x14'] y1=input('masukkan matriks y1= ') Y1=y1' B10=inv(X1'*X1)*(X1'*Y1) B1=[b1;b2;b3;b4]; f1=0 for i=1:35 r=-exp(X1(i,:)*B1)+Y1(i,:)*X1(i,:)*B1-log(factorial(Y1(i,:))); f1=f1+r end f1 G11=diff(f1,b1); G12=diff(f1,b2); G13=diff(f1,b3); G14=diff(f1,b4); G1n=[G11' G12' G13' G14']; H1n=[diff(G11,b1) diff(G11,b2) diff(G11,b3) diff(G11,b4);diff(G12,b1) diff(G12,b2) diff(G12,b3) diff(G12,b4);diff(G13,b1) diff(G13,b2) diff(G13,b3) diff(G13,b4);diff(G14,b1) diff(G14,b2) diff(G14,b3) diff(G14,b4)]; G10=subs(G1n,{b1 b2 b3 b4},[B10]) H10=subs(H1n,{b1 b2 b3 b4},[B10]) iter1=0; TOL1=0.00001; Beta1=B10; Selisih1=1; disp([10 B10']) while Selisih1 >= TOL1 G=subs(G1n,{b1,b2,b3,b4},[Beta1]); H=subs(H1n,{b1,b2,b3,b4},[Beta1]); c=inv(H)*G'; Blama1=Beta1; iter1=iter1+1 Beta1=Blama1-c; Selisih1=norm(Beta1-Blama1); disp([iter1' Beta1' Selisih1']) end %Variabel tak bebas II syms a1 a2 a3 a4 a5 x24=input('masukkan matriks X24= ') x25=input('masukkan matriks X25= ') X2=[ones(35,1) x12' x13' x24' x25'] y2=input('masukkan matriks y2= ') Y2=y2' B20=inv(X2'*X2)*(X2'*Y2) B2=[a1;a2;a3;a4;a5];

(117) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 101 f2=0 for j=1:35 p=-exp(X2(j,:)*B2)+Y2(j,:)*X2(j,:)*B2-log(factorial(Y2(j,:))); f2=f2+p end f2 G21=diff(f2,a1); G22=diff(f2,a2); G23=diff(f2,a3); G24=diff(f2,a4); G25=diff(f2,a5); G2n=[G21' G22' G23' G24' G25']; H2n=[diff(G21,a1) diff(G21,a2) diff(G21,a3) diff(G21,a4) diff(G21,a5);diff(G22,a1) diff(G22,a2) diff(G22,a3) diff(G22,a4) diff(G22,a5);diff(G23,a1) diff(G23,a2) diff(G23,a3) diff(G23,a4) diff(G23,a5);diff(G24,a1) diff(G24,a2) diff(G24,a3) diff(G24,a4) diff(G24,a5);diff(G25,a1) diff(G25,a2) diff(G25,a3) diff(G25,a4) diff(G25,a5)]; G20=subs(G2n,{a1 a2 a3 a4 a5},[B20]) H10=subs(H2n,{a1 a2 a3 a4 a5},[B20]) iter2=0; TOL2=0.00001; Beta2=B20; Selisih2=1 disp([110 B20']) while Selisih2 >= TOL2 g=subs(G2n,{a1,a2,a3,a4,a5},[Beta2]); h=subs(H2n,{a1,a2,a3,a4,a5},[Beta2]); k=inv(h)*g' Blama2=Beta2; iter2=iter2+1 Beta2=Blama2-k; Selisih2=norm(Beta2-Blama2); disp([iter2' Beta2' Selisih2']) end

(118) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 5 Uji Distribusi Poisson Menggunakan SPSS a. Untuk Tabel 4.2 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Y1 N Y2 20 20 15.8000 11.0000 Poisson Parametera Mean Most Extreme Differences Absolute .093 .168 Positive .093 .168 Negative -.069 -.168 Kolmogorov-Smirnov Z .417 .751 Asymp. Sig. (2-tailed) .995 .625 a. Test distribution is Poisson. b. Untuk Tabel 4.3 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Y1 N Poisson Parameter a Most Extreme Differences Y2 20 20 30.7500 22.3500 Absolute .278 .280 Positive .278 .248 Negative -.219 -.280 1.241 1.252 .092 .087 Mean Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. 102

(119) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI c. Untuk Tabel 4.4 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Y1 N Y2 20 20 15.1500 11.1000 Poisson Parametera Mean Most Extreme Differences Absolute .239 .213 Positive .239 .213 Negative -.128 -.131 1.067 .953 .205 .324 Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. 103

(120) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 104 Lampiran 6 clc clear %variabel tak bebas I syms b1 b2 b3 b4 x12=input('masukkan matriks x12= ') x13=input('masukkan matriks x13= ') x14=input('masukkan matriks x14= ') X1=[ones(20,1) x12' x13' x14'] y1=input('masukkan matriks y1= ') Y1=y1' B10=inv(X1'*X1)*(X1'*Y1) B1=[b1;b2;b3;b4]; f1=0 for i=1:20 r=-exp(X1(i,:)*B1)+Y1(i,:)*X1(i,:)*B1-log(factorial(Y1(i,:))); f1=f1+r end f1 G11=diff(f1,b1); G12=diff(f1,b2); G13=diff(f1,b3); G14=diff(f1,b4); G1n=[G11' G12' G13' G14']; H1n=[diff(G11,b1) diff(G11,b2) diff(G11,b3) diff(G11,b4);diff(G12,b1) diff(G12,b2) diff(G12,b3) diff(G12,b4);diff(G13,b1) diff(G13,b2) diff(G13,b3) diff(G13,b4);diff(G14,b1) diff(G14,b2) diff(G14,b3) diff(G14,b4)]; G10=subs(G1n,{b1 b2 b3 b4},[B10]) H10=subs(H1n,{b1 b2 b3 b4},[B10]) iter1=0; TOL1=0.00001; Beta1=B10; Selisih1=0.75; disp([10 B10']) while Selisih1 >= TOL1 G=subs(G1n,{b1,b2,b3,b4},[Beta1]); H=subs(H1n,{b1,b2,b3,b4},[Beta1]); c=inv(H)*G'; Blama1=Beta1; iter1=iter1+1 Beta1=Blama1-c; Selisih1=norm(Beta1-Blama1); disp([iter1' Beta1' Selisih1']) end %Variabel tak bebas II syms a1 a2 a3 x22=input('masukkan matriks X22= ') x23=input('masukkan matriks X23= ') X2=[ones(20,1) x22' x23'] y2=input('masukkan matriks y2= ') Y2=y2' B20=inv(X2'*X2)*(X2'*Y2) B2=[a1;a2;a3]; f2=0

(121) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 105 for j=1:20 p=-exp(X2(j,:)*B2)+Y2(j,:)*X2(j,:)*B2-log(factorial(Y2(j,:))); f2=f2+p end f2 G21=diff(f2,a1); G22=diff(f2,a2); G23=diff(f2,a3); G2n=[G21' G22' G23']; H2n=[diff(G21,a1) diff(G21,a2) diff(G21,a3);diff(G22,a1) diff(G22,a2) diff(G22,a3);diff(G23,a1) diff(G23,a2) diff(G23,a3)]; G20=subs(G2n,{a1 a2 a3},[B20]) H20=subs(H2n,{a1 a2 a3},[B20]) iter2=0; TOL2=0.00001; Beta2=B20; Selisih2=1 disp([110 B20']) while Selisih2 >= TOL2 g=subs(G2n,{a1,a2,a3},[Beta2]); h=subs(H2n,{a1,a2,a3},[Beta2]); k=inv(h)*g' Blama2=Beta2; iter2=iter2+1 Beta2=Blama2-k; Selisih2=norm(Beta2-Blama2); disp([iter2' Beta2' Selisih2']) end

(122) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 7 a. Tabel 4.5 Iterasi 𝛽11 𝛽12 𝛽13 𝛽14 𝜷1 𝑡 − 𝜷1 1 7.3019 0.8522 -0.0768 -0.1437 2 6.3019 0.8522 -0.0768 -0.1437 1.0000 3 5.3019 0.8522 -0.0768 -0.1437 1.0000 4 4.3019 0.8522 -0.0768 -0.1437 1.0000 5 3.3019 0.8522 -0.0768 -0.1437 1.0000 6 2.3020 0.8522 -0.0768 -0.1437 0.9999 7 1.3020 0.8521 -0.0767 -0.1437 0.9998 8 0.3028 0.8519 -0.0766 -0.1436 0.9994 9 -0.6957 0.8513 -0.0763 -0.1433 0.9985 10 -1.6916 0.8498 -0.0753 -0.1426 0.9959 11 -2.6805 0.8457 -0.0728 -0.1406 0.9889 12 -3.6510 0.8349 -0.0662 -0.1355 0.9706 13 -4.5761 0.8073 -0.0494 -0.1223 0.9258 14 -5.4052 0.7442 -0.0109 -0.0918 0.8329 15 -6.0957 0.6289 0.0589 -0.0352 0.7058 16 -6.7034 0.4822 0.1457 0.0406 0.6357 17 -7.2669 0.3465 0.2203 0.1165 0.5893 18 -7.4560 0.2443 0.2629 0.1667 0.2248 19 -6.6240 0.1774 0.2597 0.1706 0.8347 20 -4.6802 0.1371 0.2116 0.1359 1.9451 21 -2.3989 0.1098 0.1454 0.0885 2.2829 22 -0.3363 0.0864 0.0820 0.0447 2.0641 23 1.2701 0.0673 0.0298 0.0105 1.6078 24 2.1543 0.0565 -0.0010 -0.0083 0.8849 25 2.3756 0.0538 -0.0093 -0.0130 0.2216 26 2.3878 0.0537 -0.0097 -0.0133 0.0122 27 2.3878 0.0537 -0.0097 -0.0133 0.0000 1.0000 𝑡−1 106

(123) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI b. Tabel 4.6 Iterasi 𝛽21 𝛽22 𝛽23 𝜷2 𝑡 − 𝜷2 𝑡−1 1 5.3585 0.7955 -0.4242 2 4.3586 0.7955 -0.4242 0.9999 3 3.3589 0.7955 -0.4242 0.9997 4 2.3597 0.7955 -0.4242 0.9992 5 1.3617 0.7953 -0.4241 0.9979 6 0.3671 0.7950 -0.4239 0.9944 7 -0.6175 0.7940 -0.4234 0.9848 8 -1.5763 0.7915 -0.4220 0.9588 9 -2.4657 0.7845 -0.4181 0.8894 10 -3.1740 0.7662 -0.4077 0.7086 11 -3.4433 0.7197 -0.3807 0.2747 12 -2.8400 0.6145 -0.3155 0.6159 13 -1.2861 0.4349 -0.1888 1.5693 14 -0.1221 0.2707 -0.0599 1.1826 15 0.5333 0.1795 -0.0237 0.6627 16 1.4576 0.1085 -0.0340 0.9270 17 2.0023 0.0735 -0.0475 0.5460 18 2.0895 0.0675 -0.0497 0.0874 19 2.0917 0.0673 -0.0497 0.0022 20 2.0917 0.0673 -0.0497 0.0000 1.0000 107

(124) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 8 Tabel 4.7 Klub Arsenal Aston Villa Chelsea Everton Fulham Liverpool Man City Man United Newcastle Norwich City Queens Park Reading Southampton Stoke City Sunderland Swansea City Tottenham West Bromwich West Ham Wigan HE X1i,2 33 15 36 36 21 27 42 48 27 24 6 12 18 21 15 18 33 27 27 12 Atthi X1i,3 47 23 41 33 28 33 41 45 24 25 13 23 26 21 20 28 29 32 34 26 Defhi X2i,3 23 28 16 17 30 16 15 19 31 20 28 33 24 22 19 26 18 25 22 39 Attgi X2i,2 25 24 34 22 22 38 25 41 21 16 17 20 23 13 21 19 37 21 11 21 Defgi X1i,4 14 41 23 23 30 27 19 24 37 38 32 40 26 23 35 25 28 32 31 34 108

(125) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 9 a. Tabel 4.10 Iterasi 𝛽11 𝛽12 𝛽13 𝛽14 𝜷1 𝑡 − 𝜷1 1 5.4321 0.9103 0.0024 -0.0065 2 4.4321 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 3 3.4321 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 4 2.4321 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 5 1.4321 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 6 0.4321 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 7 -0.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 8 -1.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 9 -2.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 10 -3.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 11 -4.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 12 -5.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 13 -6.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 14 -7.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 15 -8.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 16 -9.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 17 -10.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 18 -11.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 19 -12.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 20 -13.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 21 -14.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 22 -15.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 23 -16.5679 0.9103 0.0024 -0.0065 1.0000 24 -17.5679 0.9102 0.0024 -0.0065 1.0000 25 -18.5678 0.9102 0.0024 -0.0065 0.9999 26 -19.5675 0.9102 0.0024 -0.0065 0.9997 27 -20.5667 0.9102 0.0024 -0.0065 0.9992 28 -21.5645 0.9101 0.0024 -0.0065 0.9978 29 -22.5585 0.9100 0.0025 -0.0065 0.9940 1.0000 𝑡−1 109

(126) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 30 -23.5423 0.9095 0.0026 -0.0065 0.9838 31 -24.4985 0.9081 0.0030 -0.0065 0.9561 32 -25.3799 0.9044 0.0041 -0.0065 0.8814 33 -26.0626 0.8945 0.0071 -0.0064 0.6828 34 -26.2358 0.8687 0.0149 -0.0064 0.1753 35 -25.2228 0.8058 0.0338 -0.0064 1.0152 36 -22.0397 0.6752 0.0731 -0.0062 3.1860 37 -16.5548 0.4722 0.1344 -0.0059 5.4890 38 -10.3170 0.2440 0.2037 -0.0048 6.2424 39 -5.2428 0.0489 0.2644 -0.0025 5.0782 40 -4.4241 -0.0092 0.2822 -0.0016 0.8210 41 -3.7035 -0.0585 0.2951 -0.0024 0.7224 42 -2.9130 -0.0943 0.2977 -0.0077 0.7914 43 -1.7719 -0.1127 0.2832 -0.0199 1.1414 44 -0.4079 -0.1096 0.2476 -0.0322 1.3645 45 0.6201 -0.0870 0.1958 -0.0296 1.0295 46 1.1840 -0.0517 0.1357 -0.0140 0.5684 47 1.6291 -0.0156 0.0785 -0.0021 0.4504 48 2.1211 0.0125 0.0320 0.0014 0.4950 49 2.5502 0.0275 0.0040 -0.0004 0.4303 50 2.7282 0.0315 -0.0047 -0.0020 0.1782 51 2.7463 0.0318 -0.0055 -0.0021 0.0182 52 2.7465 0.0318 -0.0055 -0.0022 0.0001 53 2.7465 0.0318 -0.0055 -0.0022 0.0000 b. Tabel 4.11 Iterasi 𝛽21 𝛽22 𝛽23 𝜷2 𝑡 − 𝜷2 𝑡−1 1 9.2840 0.7536 -0.2220 2 8.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 3 7.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 4 6.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 5 5.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 1.0000 110

(127) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 6 4.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 7 3.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 8 2.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 9 1.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 10 0.2840 0.7536 -0.2220 1.0000 11 -0.7160 0.7536 -0.2220 1.0000 12 -1.7160 0.7536 -0.2220 1.0000 13 -2.7160 0.7536 -0.2220 1.0000 14 -3.7160 0.7536 -0.2220 1.0000 15 -4.7160 0.7535 -0.2220 1.0000 16 -5.7159 0.7535 -0.2220 1.0000 17 -6.7159 0.7535 -0.2220 0.9999 18 -7.7157 0.7535 -0.2220 0.9998 19 -8.7153 0.7535 -0.2219 0.9995 20 -9.7140 0.7534 -0.2218 0.9988 21 -10.7107 0.7532 -0.2214 0.9967 22 -11.7017 0.7526 -0.2204 0.9910 23 -12.6774 0.7511 -0.2175 0.9757 24 -13.6133 0.7469 -0.2101 0.9359 25 -14.4513 0.7365 -0.1914 0.8383 26 -15.0856 0.7131 -0.1491 0.6361 27 -15.4321 0.6713 -0.0740 0.3570 28 -15.5882 0.6181 0.0209 0.1902 29 -15.6770 0.5633 0.1165 0.1415 30 -15.6479 0.5083 0.2059 0.1090 31 -15.2902 0.4533 0.2772 0.3689 32 -13.8544 0.3974 0.2908 1.4370 33 -10.6724 0.3301 0.2375 3.1832 34 -7.2450 0.2610 0.1750 3.4286 35 -4.2650 0.1987 0.1188 2.9812 36 -1.7493 0.1429 0.0705 2.5168 37 0.2947 0.0941 0.0314 2.0449 38 1.7755 0.0555 0.0037 1.4816 111

(128) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 39 2.5471 0.0333 -0.0102 0.7720 40 2.7358 0.0274 -0.0134 0.1889 41 2.7464 0.0271 -0.0136 0.0107 42 2.7465 0.0271 -0.0136 0.0000 112

(129) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 10 Tabel 4.12 Klub Arsenal Aston Villa Cardiff City Chelsea Crystal Palace Everton Fulham Hull City Liverpool Man City Man United Newcastle Norwich City Southampton Stoke City Sunderland Swansea City Tottenham West Bromwich West Ham HE X1i,2 39 18 15 45 24 39 15 21 48 51 27 24 18 24 30 15 18 33 12 21 Atthi X1i,3 36 22 20 43 18 38 24 20 53 63 29 23 17 32 27 21 33 30 24 25 Defhi X2i,3 11 29 35 11 23 19 38 21 18 13 21 28 18 23 17 27 26 23 27 26 Attgi X2i,2 32 17 21 28 15 23 16 18 48 39 35 20 11 22 18 20 21 25 19 15 Defgi X1i,4 30 32 39 16 25 20 47 32 32 34 22 31 44 23 35 33 28 28 32 25 113

(130) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 11 a. Tabel 4.15 Iterasi 𝛽11 𝛽12 𝛽13 𝛽14 𝜷1 𝑡 − 𝜷1 1 4.3184 0.9348 -0.0226 -0.1384 2 3.3184 0.9348 -0.0226 -0.1384 1.0000 3 2.3184 0.9348 -0.0226 -0.1384 1.0000 4 1.3184 0.9348 -0.0226 -0.1384 1.0000 5 0.3184 0.9348 -0.0226 -0.1384 1.0000 6 -0.6815 0.9348 -0.0226 -0.1384 0.9999 7 -1.6812 0.9348 -0.0226 -0.1384 0.9998 8 -2.6806 0.9348 -0.0226 -0.1384 0.9993 9 -3.6787 0.9347 -0.0226 -0.1385 0.9982 10 -4.6737 0.9345 -0.0225 -0.1386 0.9950 11 -5.6601 0.9340 -0.0224 -0.1389 0.9864 12 -6.6233 0.9326 -0.0219 -0.1398 0.9632 13 -7.5244 0.9289 -0.0206 -0.1422 0.9012 14 -8.2642 0.9190 -0.0171 -0.1486 0.7399 15 -8.6145 0.8944 -0.0086 -0.1643 0.3516 16 -8.1874 0.8402 0.0101 -0.1984 0.4323 17 -6.7715 0.7478 0.0413 -0.2539 1.4203 18 -4.8836 0.6352 0.0768 -0.3109 1.8925 19 -3.0804 0.5196 0.0162 -0.3412 1.8075 20 -1.5156 0.4017 0.1239 -0.3212 1.5695 21 -0.2878 0.2849 0.1292 -0.2497 1.2354 22 0.4816 0.1813 0.1288 -0.1599 0.7815 23 0.7096 0.1021 0.1258 -0.0759 0.2556 24 0.6979 0.0483 0.1183 -0.0153 0.0822 25 0.9128 0.0235 0.0973 0.0082 0.2186 26 1.4120 0.0360 0.0560 0.0051 0.5009 27 1.8778 0.0489 0.0144 -0.0038 0.4681 28 2.0942 0.0590 -0.0064 -0.0083 0.2177 29 2.1309 0.0608 -0.0101 -0.0091 0.0369 1.0000 𝑡−1 114

(131) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 30 2.1318 0.0609 -0.0101 -0.0091 0.0009 31 2.1318 0.0609 -0.0101 -0.0091 0.0000 b. Tabel 4.16 Iterasi 𝛽21 𝛽22 𝛽23 𝜷2 𝑡 − 𝜷2 𝑡−1 1 -5.4053 1.0058 0.4366 2 -6.4050 1.0058 0.4366 0.9996 3 -7.4040 1.0057 0.4366 0.9990 4 -8.4014 1.0056 0.4366 0.9974 5 -9.3944 1.0053 0.4366 0.9930 6 -10.3754 1.0043 0.4368 0.9810 7 -11.3239 1.0017 0.4373 0.9486 8 -12.1864 0.9947 0.4385 0.8625 9 -12.8294 0.9765 0.4416 0.6433 10 -12.9724 0.9329 0.4492 0.1496 11 -12.2866 0.8474 0.4635 0.6912 12 -11.0278 0.7355 0.4747 1.2638 13 -9.4944 0.6223 0.4529 1.5378 14 -6.9607 0.4835 0.3687 2.5389 15 -3.4030 0.3177 0.2232 3.5645 16 -0.5296 0.1803 0.0993 2.8793 17 0.6240 0.1106 0.0541 1.1566 18 0.9032 0.0884 0.0462 0.2803 19 0.9294 0.0860 0.0456 0.0263 20 0.9297 0.0859 0.0456 0.0003 21 0.9297 0.0859 0.0456 0.0000 0.9999 115

(132)

Dokumen baru