MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL

Gratis

0
0
108
9 months ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL Makalah Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Maria Etik Damayanti NIM: 093114005 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014 i

(2) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MAKALAH MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL Oleh: Maria Etik Damayanti NIM: 093114005 Telah disetujui oleh: Pembimbing Hartono, Ph.D . Tanggal 18 Juli 2014 ii

(3) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Makalah Model Pertumbuhan Populasi Tunggal Dipersiapkan dan ditulis oleh: Maria Etik Damayanti NIM: 093114005 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 24 Juli 2014 dan dinyatakan telah memenuhi syarat Susunan Panitia penguji Nama Lengkap TandaTangan Ketua Lusia Krismiyati Budiasih, M.Si. Sekretaris Sudi Mungkasi, Ph.D. Anggota Hartono, Ph.D. Yogyakarta, 24 Juli 2014 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas sanata Dharma Dekan, (P.H. Prima Rosa,S.Si.,M.Sc) iii

(4) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dan Bunda Maria dalam hidupku. “Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur.” (Filipi 4:6) Karya ini aku persembahkan untuk: Orang-orang terkasih: Bapak, Ibu, Fiyan Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009 Orang-orang terbaik: mas Diko dan keluarganya Orang-orang termanis: sahabat-sahabat kos Banana iv

(5) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 18 Juli 2014 Penulis Maria Etik Damayanti v

(6) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Maria Etik Damayanti Nomor Mahasiswa : 093114005 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul : MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-ngalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 28 Agustus 2014 Yang menyatakan ( Maria Etik Damayanti ) vi

(7) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRAK Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah model pertumbuhan kontinu. Model ini bertujuan mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan pada suatu populasi (disebut model pendugaan). Pertama-tama akan dimodelkan dengan pertumbuhan eksponensial. Kemudian akan diperluas dengan menggunakan pertumbuhan logistik. Pada pertumbuhan logistik, memasukkan batas untuk populasinya sehingga tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Maka, jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Dalam makalah ini, model pertumbuhan populasi yang dibahas hanya dibatasi untuk model pertumbuhan populasi tunggal. Dalam penerapannya terdapat tiga model pertumbuhan yang akan dibahas, yaitu model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model pertumbuhan terbatas dengan pemanenan. Model pertumbuhan eksponensial dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun). Model pertumbuhan logistik dikembangkan dengan memperhatikan parameter daya dukung yang bergantung pada waktu. Selanjutnya akan dikaji model pemanenan dengan menentukan fungsi panen yang seimbang. Persamaan model ini dianalisis untuk mengetahui kestabilan sistem. vii

(8) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRACT Topics covered in this paper is a continuous model of population growth. This model aims to predict the state in a population (called the prediction model). First we will describe the exponential growth model. Then it is expanded to a logistic growth model. In logistic growth model, we put a limit to the population so it will not grow infinitely. Thus, the amount of the population will always be limited to a certain value. In this paper, the population growth model discussed is only limited to a single. In practice there are three models of population growth that will be discussed, namely the model of exponential growth, logistic growth model and limited growth model with harvesting. The Exponential growth model produce a solution in the form of monotone functions (up or down). The Logistic growth model was developed by taking into account the carrying capacity parameters that depend on time. Furthermore, the model will be assessed by determining the balance of the crop harvesting function. Then, the model equations are analyzed to determine the stability of the system. viii

(9) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu menyertai dan membimbing penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan makalah ini dengan lancar. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan terima kasih kepada: 1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika atas dukungannya. 2. Hartono, Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah sabar dalam membimbing, memberi pengetahuan dan memberi saran-saran kepada penulis selama penulisan makalah ini. 3. Romo, Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan ini. 4. Kedua orang tuaku dan adikku yang senantiasa selalu memberikan doa dan dukungan. 5. Teman-teman Matematika 2009: Yohana, Idut, Ochie, Jojo, Sekar, Erlika, Dimas dan Doweek, terima kasih untuk kebersamaan selama proses kuliah, saling berbagi dalam suka maupun dalam duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis. Kalian hebat. 6. Mas diko yang selalu memberikan semangat dan sebagai tempat curahan hati. 7. Romo-romo Sarikat Jesus Kolsani: Romo Bayu, Romo Tomy dan Romo Marko yang selalu memberikan menyelesaikan penulisan makalah ini. ix keteguhan hati dalam proses

(10) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 8. Teman-teman Flater Sarikat Jesus Kolsani: Flater Tama, Flater Heri, Flater Suryadi, Flater Dimas, Flater Eko yang selalu memberikan dukungan beserta doa-doanya. 9. Teman-teman kos Banana: Rosa, Yustin, Rina, Deta, Yani, Nanik dan mbak Icot yang selalu menjadi tempat curahan hati dalam proses penulisan makalah ini 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang terlibat dalam proses penulisan makalah ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan makalah ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik demi penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat berguna bagi para pembaca. Yogyakarta, 18 Juli 2014 Penulis x

(11) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………… i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………………….. ii HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………….. iii HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………..…………………….…… iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….……. v ABSTRAK ………………………………………………………………………… vi ABSTRACT ……………………………………………………………………..… vii KATA PENGANTAR ………………………………………………………….…. viii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH….…….....… x DAFTAR ISI ………………………………………….………………………….... xi DAFTAR GAMBAR …………………………………………………….…….….. xiii BAB 1 PENDAHULUAN……………………………………………………….... 1 A. LATAR BELAKANG ………………………………………...………………. 1 B. RUMUSAN MASALAH ………………………………………………….…... 5 C. BATASAN MASALAH …………………………………………………….… 6 D. TUJUAN PENULISAN ………………………………………….………….… 6 E. MANFAAT PENULISAN ……………………………………………………. 6 F. METODE PENULISAN ………………………………………………….…… 7 G. SISTEMATIKA PENULISAN ………………………………….………….…. 7 BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL .….….. 9 2.1 PENGERTIAN, TUJUAN DAN JENIS MODEL ……………...…………… 9 2.2 LIMIT ………………………………………………………………………… 11 2.3 KONTINUITAS ……………………………………………………………… 13 2.4 TURUNAN …………………………………………………………………… 14 2.5 INTEGRAL ………………………………………………………………...… 37 2.6 PERSAMAAN DIFERENSIAL …………………………………...………… 40 xi

(12) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL ……………….… 55 3.1 PENDAHULUAN ………………………………………………………….… 55 3.2 MODEL PERTUMBUHAN EKSPONENSIAL …………………………...… 56 3.3 MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK …………………………………..… 62 3.4 MODEL PERTUMBUHAN TERBATAS DENGAN PEMANENAN ……… 70 BAB IV APLIKASI MODEL …………………………………………………...… 80 4.1 PENDAHULUAN………………………………………………………….….. 80 4.2 MEMODELKAN PERKEMBANGAN TEKNOLOGI ……………………… 80 4.3 KEPADATAN BERGANTUNG PADA KELAHIRAN …………………….. 84 4.4 MODEL PANENAN ………………………………………………………….. 86 4.5 MEMANCING DENGAN BATASAN ………………………………………. 88 BAB V PENUTUP …………………………………………………………………. 92 A. KESIMPULAN ………………………………………………………………… 92 B. SARAN ………………………………………………………………………… 94 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………… 95 xii

(13) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1.1 Diagram masuk-keluar populasi ……………………………………… 2 Gambar 2.1 Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis ………….. 21 Gambar 2.2 Grafik naik dan turun ………………………………………………… 27 Gambar 2.3 Grafik kemiringan ……………………………………………………. 28 Gambar 2.4 Grafik kecekungan …………………………………………………… 30 Gambar 2.5 Grafik nilai maksimum, minimum dan ekstrim lokal ………………... 33 Gambar 3.1 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin bertambah ……. 59 Gambar 3.2 Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil …………………... 60 Gambar 3.3 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin berkurang …….. 60 Gambar 3.4 Grafik populasi laju pertumbuhan per-kapita ………………………… 68 Gambar 3.5 Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan …………………….. 69 Gambar 3.6 Grafik untuk model pertumbuhan logistik …………………………… 70 xiii

(14) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu, dimulai dari kelahiran, pertumbuhan, hingga kematian. Untuk menggambarkan pertumbuhan suatu populasi, diperkenalkan suatu model pertumbuhan yang disebut model pertumbuhan eksponensial. Dalam model pertumbuhan eksponensial ini diasumsikan tidak ada penundaan waktu pada proses pertumbuhan populasi. Selain itu pada model ini dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun), dimana dapat ditafsirkan bahwa jumlah populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan terus berkurang (tidak pernah bertambah). Dalam kenyataannya, sepanjang waktu lingkungan atau daya dukung lingkungan dapat berubah. Populasi tidak dapat terus bertambah secara exponensial dari waktu ke waktu karena adanya keterbatasan sumber daya dan/atau adanya persaingan dengan spesies lainnya. Dalam makalah ini, permasalahan tersebut akan diselesaikan dengan model populasi tunggal dengan memperhitungkan persaingan atau sumber daya terbatas yang diamati dalam populasi. Pada populasi tunggal terdapat beberapa macam model pertumbuhan diantaranya: model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model pertumbuhan terbatas dengan panenan. 1

(15) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2 Model pertumbuhan eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana. Pada model ini individu berkembang dengan tidak dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan suplai makanan. Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui. Dinamika populasi dapat dihampiri dengan model ini hanya untuk periode waktu yang pendek saja. Secara umum model populasi dapat digambarkan sebagai berikut: kelahiran kematian dunia Gambar 1.1: Diagram masuk-keluar populasi. Bagan tersebut mengarah ke dalam persamaan yang menggambarkan perubahan populasi, { } = , - - , -. Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan kemudian proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol. Asumsi dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan antara individu dapat diabaikan. 2. Kelahiran dan kematian kontinu dalam waktu. 3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan dalam waktu. 4. Dalam pengembangan model, pada mulanya imigrasi dan emigrasi diabaikan, selanjutnya akan dimasukkan kemudian.

(16) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3 Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal bernilai , dengan laju kelahiran per-kapita adalah dan laju kematian perkapita adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada waktu t. Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan bahwa penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi atau emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu. Karena laju kelahiran per-kapita diasumsikan konstan, maka laju kelahiran adalah laju kelahiran per-kapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat ditulis, , , - = X( t ), = X( t ). - Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh dX  dt X- X. Selanjutnya akan dibahas secara umum mengenai model pertumbuhan logistik, yang menggunakan kaidah logistik (logistic law) yaitu bahwa persediaan logistik ada batasnya. Model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini besarnya laju kelahiran per-kapita dan besarnya laju kematian per-kapita dianggap sama, sehingga grafiknya akan mendekati konstan (zero growth). Model ini akan diperluas untuk memasukkan laju kematian tambahan karena pembatasan sumber daya, dan dengan demikian pertumbuhan dibatasi.

(17) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 4 Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan, maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut: Dimana { ( } adalah laju kematian per-kapita dan ) adalah laju kematian per- kapita yang bergantung pada suatu populasi. Perhatikan bahwa untuk kematian per-kapita mendekati , laju , sedangkan dengan meningkatnya besarnya populasi maka laju kematian per-kapita akan meningkat. Bentuk linear ini merupakan bentuk yang paling sederhana untuk laju kematian per-kapita yang bergantung pada peningkatan besarnya populasi. Laju kematian adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu yang dinyatakan sebagai berikut: , Sehingga diperoleh Dengan - menyatakan laju reproduksi populasi, maka diperoleh model pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang dinyatakan sebagai berikut: Dengan maka , sehingga persamaan tersebut menjadi

(18) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5 Maka secara umum laju pertumbuhan yang bergantung pada suatu populasi dinyatakan sebagai berikut: X dX   rX 1   K dt  Selanjutnya akan dibahas model pertumbuhan populasi terbatas dengan panenan. Pengaruh pemungutan panenan pada suatu populasi secara teratur atau konstan sangatlah penting bagi banyak industri. Salah satu contohnya adalah industri perikanan. Persamaan akan dirumuskan dalam laju panenan yang konstan pada model logistik sehingga dapat ditulis, { } = , { }- { - - , - – }. Dengan asumsi laju panenan adalah konstan, maka model di atas dapat dinyatakan ke dalam persamaan diferensial, dX X   rX 1    h dt K  Di mana h adalah laju panenan yang dianggap konstan (banyaknya tangkapan per satuan waktu, atau kematian akibat panenan per satuan waktu). B. RUMUSAN MASALAH Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1. Bagaimana model pertumbuhan eksponensial dari suatu populasi tunggal ?

(19) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 6 2. Bagaimana model pertumbuhan logistik dari suatu populasi tunggal? 3. Bagaimana model pertumbuhan terbatas dengan panenan dari suatu populasi tunggal? C. BATASAN MASALAH Model pertumbuhan populasi yang dibahas dalam tulisan ini yaitu model populasinya tunggal. D. TUJUAN PENULISAN Tujuan penulisan ini adalah untuk memperoleh penyelesaian pertumbuhan populasi tunggal dengan beberapa macam model pertumbuhan yaitu: model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model pertumbuhan terbatas dengan panenan. E. MANFAAT PENULISAN Memperoleh pengetahuan tentang penyelesaian pertumbuhan populasi tunggal.

(20) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7 F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan model matematika untuk menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal. G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL A. Pengertian, Tujuan dan Jenis Model B. Limit C. Kontinuitas D. Turunan E. Integral F. Persamaan Diferensial

(21) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 8 BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL A. Pendahuluan B. Model Pertumbuhan Eksponensial C. Model Pertumbuhan Logistik D. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Panenan BAB IV APLIKASI MODEL A. Pendahuluan B. Memodelkan Perkembangan Teknologi C. Kepadatan Bergantung pada Kelahiran D. Model Panenan E. Memancing dengan Batasan BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA

(22) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL Pada Bab sebelumnya telah dibahas gambaran secara umum mengenai pertumbuhan populasi tunggal. Pertumbuhan tersebut berkaitan dengan model matematika untuk menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal. Penyelesaian tersebut antara lain: limit, turunan, integral dan persamaan diferensial biasa. Untuk Subbab 1 pada Bab II ini akan dibahas mengenai pengertian, tujuan dan jenis model. 2.1 Pengertian, Tujuan dan Jenis Model Definisi 2.1.1 Model adalah gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Dalam pembahasan ini yang dimaksud dengan sistem adalah suatu himpunan beserta relasi antar unsur-unsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Model hanya menirukan sebagian dari segi obyek sesuai dengan tujuan penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari dan dimanipulasi lebih lanjut. 9

(23) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 10 Tujuan penyusunan model dapat dibedakan atas 3 kategori sebagai berikut: 1. Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model ini disebut dengan model keterkaitan. 2. Guna mengadakan pendugaan untuk dapat memperbaiki keadaan obyek. Model hasilnya disebut model pendugaan. 3. Guna mengadakan optimisasi bagi obyek. Modelnya disebut model optimisasi. Pada umumnya penyusunan model kategori kedua dan ketiga harus melalui kategori pertama dulu. Jadi dengan salah satu tujuan di atas sebagai pedoman, model yang disusun akan berfungsi untuk menirukan atau menggambarkan keadaan atau perilaku sistem yang diamati semirip mungkin. Model dapat dibagi menurut jenisnya yaitu sebagai berikut: 1. Model fisis yaitu model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya bentuknya, atau polanya. Model fisis dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu: a) Model ikonik yaitu model yang biasanya menekankan keadaan statis obyek atau keadaan dinamis sesaat. Contoh model ikonik: peta timbul, patung dsb. b) Model analog yaitu model yang biasanya meminjam sistem lain yang mempunyai kesamaan sifat dengan obyek.

(24) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 11 Contoh model analog: pola baju, denah rumah dsb. 2. Model simbolik (model matematika) yaitu model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika atau logika untuk menyajikan perilaku obyek, maka ini disebut model matematika. Model ini dapat dianggap sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analisis atau numeris dalam bentuk persamaan-persamaan matematika. Bila penyelesaian ditemukan maka hasil ini dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap obyek. Untuk kerja yang besar proses matematika dapat dibantu oleh perangkat komputer. Model matematika yang dituliskan dalam bahasa komputer disebut model komputer. Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai limit. Dalam subbab ini akan dibahas mengenai pengertian limit secara intuisi dan limit sepihak yang akan digunakan untuk membahas pada subbab kontinuitas dan turunan. 2.2 Limit Definisi 2.2.1 (Pengertian Limit Secara Intuisi) ( ) Mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana dekat dengan , tetapi tidak sama dengan , maka ( ) dekat ke . Contoh 2.2.1 Carilah Penyelesaian Bilamana ( ). dekat , maka dekat terhadap . Dapat dituliskan

(25) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 12 ( ) Definisi 2.2.2 (Definisi Limit secara Formal) ( ) Mengatakan bahwa yang yang berpadanan sedemikian sehingga | ( ) diberikan, terdapat | asalkan bahwa berarti bahwa untuk tiap | | ; yaitu | | | ( ) | Contoh 2.2.2 Buktikan bahwa Bukti Andaikan diberikan | | | ( . Maka . Pilih )( ) | | | | | | ( mengimplikasikan )| | | ● Limit-limit Sepihak. Bila suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian berlaku limit-limit sepihak. Anggaplah lambang dari kanan atau dari kiri atau , dan sebaliknya jika berarti bahwa mendekati berarti bahwa mendekati . Berikut adalah definisi mengenai limit kanan dan limit kiri.

(26) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 13 Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri) ( ) Mengatakan bahwa sebelah kanan , maka ( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada ( ) dekat ke . Hal yang serupa, mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kiri , maka ( ) adalah dekat ke . Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai kekontinuan pada suatu interval. Pada subbab ini mencakup mengenai kekontinuan itu sendiri. 2.3 Kontinuitas Definisi 2.3.1 Andaikan bahwa terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung . Dinyatakan kontinu di jika ( ) Contoh 2.3.1 Andaikan ( ) ( ) . Definisikan di agar kontinu di titik itu! Penyelesaian: ( Karena itu, akan didefinisikan Jika )( ( ). ) ( tidak kontinu di , dapat dikatakan bahwa ) ● diskontinu di atau punya satu diskontinuitas di . Dari definisi 2.3.1 mensyaratkan tiga hal yang harus dipenuhi agar fungsi yang didefinisikan kontinu pada c, yaitu:

(27) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 14 i. ii. ( ) terdefinisi (yaitu berada di daerah asal ); ( ) ada (sehingga haruslah terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat ); ( ) iii. ( ) Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan. Pada subbab ini akan membahas mengenai turunan itu sendiri dan penerapannya seperti, kemonotonan, kecekungan, nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim. 2.4 Turunan Definisi 2.4.1 Turunan fungsi adalah fungsi lain ’ (dibaca “ aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan adalah ( ( ) ) ( ) jika limitnya ada. Contoh 2.4.1 Carilah ( ) jika ( ) Penyelesaian ( ) √ ( ) Dengan merasionalkan pembilangnya, ( ) √ √

(28) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 15 ( ) √ 0 ( turunan dari ). √ √ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √ Jadi, √ √ diberikan oleh ● 1 √ √ ( ) ⁄( √ ). Daerah asalnya adalah Definisi 2.4.2 Jika , maka definisi di atas ekivalen dengan ( ) ( ) ( ) Teorema 2.4.1 (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kekontinuan) Jika Bukti ( ) ada, maka kontinu di . Perlu diperlihatkan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )

(29) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 16 maka, ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )1 ( ) Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni dengan menyusun hasil bagi dengan selisih ( ) ( ) dan menghitung limitnya dapat memakan waktu yang banyak. Oleh karena itu, akan dikembangkan cara-cara untuk memperpendek proses dan untuk mencari turunan semua fungsi yang tampaknya rumit dengan cepat. Mengingat kembali bahwa turunan suatu fungsi Ketika menurunkan simbol , artinya mendiferensialkan adalah fungsi lain . . Biasanya menggunakan untuk menandakan operasi diferensial. Simbol mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, dapat dituliskan menyatakan ( ) ( ). Teorema 2.4.2 (Aturan Fungsi Konstanta) Jika yakni Bukti ( ) dengan suatu konstanta, maka untuk sebarang ( ) ( ) ;

(30) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 17 ( ( ) ) ( ) Teorema 2.4.3 (Aturan Fungsi Identitas) Jika ( ) , maka ( ) ; yakni ( ) Bukti ( ( ) ) ( ) Teorema 2.4.4 (Aturan Pangkat) Jika ( ) , dengan bilangan bulat positif, maka ( Bukti ( ( ) ) ) ) ( ) ( ( [ ( ( ) ; yakni ) ) ) ] Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertaa mempunyai sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila ( ) sebagai faktor, mendekati nol. Jadi

(31) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 18 adalah Operator Linear. Teorema 2.4.5 (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( ) ( ); yakni, ( ) ( ) jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta operator dapat dikeluarkan dari . Bukti Andaikan F(x)=k∙f(x), maka ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema 2.4.6 (Aturan Jumlah) Jika ( ) dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialan, maka ( ( ); yakni, ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) )( ) Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan. Bukti Andaikan ( ) ( ) ( ) ( ) maka ( ) ( ( )

(32) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 19 0 b. ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ( ) ( ) Sebarang operator a. ( ) 1 ( ) ( ) disebut linear jika untuk semua fungsi dan : ( ), untuk setiap konstanta ; ) () ( ) Teorema 2.4.7 (Aturan Selisih) Jika ( ) dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ( ); yakni, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu selisih adalah selisih dari turunan-turunan. Bukti ( ) 0 ( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) 1

(33) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 20 Contoh 2.4.2 Tentukan turunan dari . Penyelesaian ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.7) ( ) ( ) (Teorema 2.4.6) (Teorema 2.4.5) (Teorema 2.4.4, 2.4.3, dan 2.4.2) ● Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dihadapkan masalah untuk mendapatkan cara terbaik dalam melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan besar. Seringkali dari masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan. Metodemetode kalkulus menyediakan sarana untuk memecahkan permasalahan tersebut. Dengan demikian, akan ditentukan nilai maksimum dan minimumnya. Definisi 2.4.3 (Maksimum dan Minimum) Misalkan , daerah asal , mengandung titik . Dapat dikatakan bahwa i. ( ) adalah nilai maksimum pada ; ii. iii. ( ) adalah nilai minimum ( ) adalah nilai ekstrim minimum; pada pada jika ( ) jika ( ) ( ) untuk semua ( ) untuk semua di di ; jika ia adalah nilai maksimum atau nilai

(34) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 21 iv. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi obyektif. Teorema 2.4.8 (Teorema Keberadaan Maks-Min) Jika kontinu pada interval tertutup , maka mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali terjadi pada titik-titik kritis, seperti pada gambar di bawah ini. Gambar 2.1: Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis Namun, walaupun Teorema di atas secara intuitif sangat masuk akal, namun sukar dibuktikan sehingga pembuktiannya diabaikan. Contoh 2.4.3 Carilah titik-titik kritis dari ( ) pada * +.

(35) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 22 Penyelesaian Titik-titik ujung adalah menyelesaikan dan 2. Untuk mencari titik stasioner dengan ( ) untuk , diperoleh dan . Tidak ada ● titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah Teorema 2.4.9 (Teorema Titik Kritis) Misalkan yang memuat titik . Jika ( ) adalah didefinisikan pada interval nilai ekstrim, maka haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, adalah salah satu dari i. titik ujung dari ; ii. titik stasioner dari ; yakni titik di mana iii. titik singular dari ; yakni titik di mana ( ) ; atau ( ) tidak ada. Bukti untuk kasus maksimum Lihatlah kasus maksimum di mana ( ) adalah nilai maksimum dan misalkan bahwa pada bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan bahwa adalah titik stasioner. Karena ( ) adalah nilai maksimum, maka ( ) yaitu Jadi jika ( ) , sehingga ( ) ( ) , maka ( ) ( ) ( ) untuk semua dalam ;

(36) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 23 sedangkan jika , maka ( ) ( ) ( ) ada, karena Tetapi ( ) ( ) bukan titik singular. Sehingga, diperoleh ( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa Bukti untuk kasus minimum . ( ) Pada kasus minimum di mana ( ) adalah nilai minimum misalkan bahwa dan pada dan bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan bahwa adalah titik stasioner. Karena ( ) adalah nilai minimum, maka ( ) yaitu Jadi jika , sehingga ( ) sedangkan jika ( ) Tetapi masing ( ) dalam ; ( ) , maka ( ) ( ) ( ) ( ) , maka ( ) ada, karena ( ) ( ) untuk semua dan ( ) bukan titik singular. Sehingga, diperoleh masing. Jadi dapat disimpulkan bahwa Contoh 2.4.4 Mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari ( ) ( ) .

(37) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 24 +. pada * Penyelesaian: 1. Langkah pertama mencari tititk-titik kritis yaitu dengan cara mencari turunan dari fungsi tersebut. ( ) ( ) ( ) ( ) Dari perhitungan tersebut, diperoleh titik kritisnya, yaitu 2. Kemudian dicari nilai fungsi saat Saat Saat Saat Saat ( ( ) . sebagai berikut ) ( ) ( ) Maka, diperoleh nilai maksimumnya, yaitu ) dan nilai minimumnya yaitu (dicapai pada (dicapai pada ). dan ● Dalam Subbab 2.4 ini, terdapat pembuktian Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.12) yang menggunakan Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 2.4.10).

(38) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 25 Teorema 2.4.10 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan) Jika ( kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialan pada titik-titik dari ), maka terdapat paling sedikit satu bilangan ( ) ( ) dalam ( ( ) Bukti ( ) Pembuktian bersandar pada analisis dari fungsi ( ) adalah persamaan garis yang melalui ( ( ( ) ( ). Di sini ( )) dan ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) garis ini mempunyai kemiringan ) dengan ( )). Karena ) dan melalui titik ( )), bentuk kemiringan titik untuk persamaannya adalah ( ) ( ) ( ) Ini kemudian menghasilkan rumus untuk ( ), yaitu ( ) ( ) Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan bahwa untuk ( ) Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan ( ) ( ) ( ) dalam ( ( ( ) dalam ( ) ) ) yang memenuhi , pembuktian akan selesai. Karena persamaan yang terakhir mengatakan ( ) ( ) ( ) yang setara dengan kesimpulan teorema tersebut. Untuk melihat bahwa sebagai berikut. Jelas ( ) kontinu pada untuk suatu dalam ( ), alasannya , karena merupakan selisih dua fungsi

(39) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 26 kontinu. Jadi, menurut Teorema Keberadaan Maks-Min, nilai maksimum ataupun nilai minimum pada , maka ( ) secara identik adalah adalah dalam ( untuk semua harus mencapai baik . Jika kedua nilai ini kebetulan pada , akibatnya ( ) ), jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan. Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan , maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam Sekarang , karena mempunyai turunan di setiap titik dari ( Teorema Titik Kritis, ( ) . ( ) ( ) . ), sehingga dengan Contoh 2.4.5 Andaikan ( ) pada . Carilah semua bilangan yang memenuhi kesimpulan Teorema nilai Rata-rata. Penyelesaian Dengan ( ) ( ( ) menurunkan ) persamaan, ( ) diperoleh . Kemudian diselesaikan dengan √ ) dan atau, secara ekuivalen, dari persamaan kuadrat. Terdapat dua penyelesaian ( yang berpadanan dengan tersebut dalam selang ( ). dan . kedua bilangan ● Banyak orang yang masih bingung dalam memutuskan di mana suatu fungsi itu naik atau turun. Mungkin ada yang menyarankan dengan menggambar grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan

(40) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 27 membuat beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus. Tetapi cara tersebut masih kurang meyakinkan, karena titik-titik tersebut mungkin akan bergoyang di antara titik-titik yang dibuat. Definisi 2.4.4 (Kemonotonan) Misalkan terdefinisi pada interval (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat dikatakan bahwa: i. ii. iii. naik pada jika, untuk setiap pasang bilangan ( ) ( ) ( ) ( ) turun pada jika, untuk setiap pasang bilangan monoton murni pada jika dan dalam , dan dalam , naik pada atau turun pada . Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini: Gambar 2.2: Grafik naik dan turun Ingat kembali bahwa turunan pertama singgung pada grafik ( ) memberi kemiringan dari garis di titik . Kemudian, jika ( ) maka garis singgung

(41) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 28 ( ) naik ke kanan. Demikian juga, jika , maka garis singgung menurun ke kanan. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini, Gambar 2.3: Grafik kemiringan Teorema 2.4.11 (Teorema Kemonotonan) Misalkan kontinu pada interval dan terdiferensialkan pada setiap titik-dalam dari . i. Jika ii. Jika ( ) ( ) untuk semua titik di dalam , maka naik pada . untuk semua titik di dalam , maka turun pada . Bukti (i) Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan ( ) dari di setiap titik dengan dalam ( ) yang memenuhi ( ) ( ) ( )( . Menurut , terdapat sebuah Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang bilangan di bagian )

(42) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 29 Ini yang dimaksud bahwa yakni, ( ) ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) Karena naik pada . ( ). Bukti (ii) Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan ( ) di setiap titik dari dengan Karena ) yang memenuhi dalam ( ( ) ( ) ( )( , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) Ini yang dimaksud bahwa turun pada . ) ( ) . Menurut , terdapat sebuah Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang bilangan di bagian yakni, ( ) ( ). Contoh 2.4.6 Tentukanlah di mana ( ) ⁄( Penyelesaian ) naik dan di mana turun. Dengan menurunkan persamaan di atas diperoleh ( ( ) ( ) Karena penyebut selalu positif, ( ( )( )( ) ( ) ( )( ) dan , menentukan tiga selang ). Bilamana ditemukan bahwa yang pertama dan yang ketiga dan bahwa ( ) ( ) dan ), naik pada . pada selang pada selang tengah. Dapat disimpulkan dari Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) bahwa ( ) ( ) mempunyai tanda sama dengan pembilang ). Titik-titik pemisah, )( ) ( ( turun pada ●

(43) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 30 Definisi 2.4.5 Misalkan terdiferensialkan pada interval terbuka . Dapat dikatakan bahwa (dan grafiknya) cekung ke atas pada jika naik pada dan dikatakan bahwa cekung ke bawah pada jika turun pada . Definisi di atas diperlihatkan dalam gambar di bawah ini: Gambar 2.4: Grafik kecekungan Teorema 2.4.12 (Teorema Kecekungan) Misalkan terdiferensial dua kali pada interval terbuka I. i. Jika ii. Jika ( ) ( ) untuk semua dalam , maka f cekung ke atas pada . untuk semua dalam , maka cekung ke bawah pada Bukti (i) Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa dalam beberapa interval terbuka dan dari dengan pada selang ( ) , naik yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan , terdapat sebuah bilangan c dalam ( ( ) ( ) ( )( ) ) yang memenuhi

(44) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 31 Karena naik, ( )( ) ( ) ( ), maka ( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ( )( ) ) ( ) ( ) adalah persamaan garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di atas garis singgung adalah cekung ke atas. Bukti (ii) ( ) Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa dalam beberapa interval terbuka dan dari dengan pada selang Karena naik, ( )( ) , turun yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan , terdapat sebuah bilangan dalam (a,b) yang memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ), maka ( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ( )( ( )( ) ) ) ( ) ( ) adalah persamaan garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di bawah garis singgung adalah cekung ke bawah. Contoh 2.4.7 Di mana ( ) Penyelesaian ⁄ (( )) cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah? Contoh ini sama seperti contoh 2.4.6, bahwa dan naik pada turun pada ( dan . Untuk menganalisa kecekungan perlu dihitung ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) ) )( )( )( ) . )

(45) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 32 ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ( ( )( ) ) ) Karena penyebut selalu positif, maka harus diselesaikan ( ) . Titik-titik pemisah √ ( ) dan dan √ . Tiga titik pemisah itu menentukan empat selang. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Dapat disimpulkan bahwa bawah pada ( cekung ke atas pada ( √ √ ) dan ( √ ). ) dan bahwa cekung ke Definisi 2.4.6 Andaikan , daerah asal , memuat titik . Dapat dikatakan bahwa: i. ( ) nilai maksimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat ( ) nilai minimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat ii. sedemikian sehingga ( ) adalah nilai maksimum iii. sedemikian sehingga ( ) adalah nilai minimum ( ) nilai ekstrim lokal pada ( pada ( ) ) ; ; jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:

(46) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 33 Gambar 2.5: Grafik maksimum, minimum dan ekstrim lokal Teorema 2.4.13 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal) Andaikan kontinu pada selang terbuka ( ( ) ) yang memuat titik kritis . dalam ( ) dan ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua , maka ( ) bukan nilai i. Jika ii. dalam ( ) maka ( ) adalah nilai maksimum lokal . iii. dalam ( ) maka ( ) adalah nilai minimum lokal . Jika Jika ( ) untuk semua untuk semua ( ) bertanda sama pada kedua pihak ekstrim lokal . Bukti (i) Karena ( ) untuk semua kemonotonan (Teorema 2.4.11) di ( ). Karena ( ) dalam ( naik pada ( untuk semua ) maka menurut Teorema ). Berarti ( ) nilai maksimum dalam ( ) maka menurut Teorema

(47) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 34 Kemonotonan (Teorema 2.4.11) di ( turun pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah maksimum lokal. Bukti (ii) ( ) Karena kemonotonan (Teorema 2.4.11) di ( ). Karena ( ) turun pada ( untuk semua Kemonotonan (Teorema 2.4.11) ( dalam ( untuk semua ) maka menurut Teorema ). Berarti ( dalam ( naik pada ( ) nilai minimum ) maka menurut Teorema ). Berarti ( ) nilai minimum di ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah minimum lokal. Bukti (iii) Karena ( ) dalam ( untuk semua Kemonotonan (Teorema 2.4.11) ( ) di ( ). Karena di ( ). Sebaliknya, karena naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum untuk semua kemonotonan (Teorema 2.4.11) ) maka menurut Teorema ( ) dalam ( untuk semua menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) ( ) nilai minimum di ( ). Karena ) maka menurut Teorema ( ) turun pada ( untuk semua maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) Berarti ( ) nilai minimum di ( nilai ekstrim lokal . dalam ( ) maka ). Berarti dalam ( turun pada ( ) ). ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) bukan Contoh 2.4.8 Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi ( ) pada ( ).

(48) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 35 Penyelesaian Fungsi polinomial kontinu di mana-mana, dan turunannya, untuk semua . Jadi satu-satunya titik kritis untuk dari pada ( ( ) , yakni . Karena dan karena ( ) ( ) untuk ( ( ) adalah penyelesaian tunggal , ) untuk naik pada itu, menurut Teorema Uji Turunan Pertama (Teorema 2.4.13), ( ) nilai minimum lokal ada , turun ). Karena adalah . Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak ● terdapat nilai ekstrim lain. Teorema 2.4.14 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal) Andaikan andaikan i. Jika ii. Jika Bukti (i) dan ( ) ( ) ( ) ada pada setiap titik selang terbuka ( . ) yang memuat , dan , ( ) adalah nilai maksimum lokal . , ( ) adalah nilai minimum lokal . Menurut definisi dan hipotesis, ( ) ( ) ( ) dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( dengan ( ) ( ) ) (mungkin pendek) di sekitar

(49) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 36 ( ) Tetapi pertaksamaan ini mengimplikasikan bahwa dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah untuk nilai maksimum lokal. Bukti (ii) Menurut definisi dan hipotesis, ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( sekitar dengan ) (mungkin pendek) di ( ) Tetapi pertidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa dan ( ) ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah untuk nilai minimum lokal. Contoh 2.4.9 Untuk ( ) , gunakanlah Teorema Uji Turunan Kedua untuk mengenali ekstrim lokal. Penyelesaian Perhatikanlah bahwa ( ) ( ) Jadi ( ( ) dan ) ( ) .

(50) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 37 Karena itu, menurut Teorema Uji Turunan Kedua, ( ) adalah nilai minimum ● lokal. Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai turunan. Dalam tiap kasus, operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. Oleh karena itu, kasus-kasus pada turunan mempunyai kasus-kasus kebalikannya, balikannya tersebut disebut antiturunan atau integrasi. 2.5 Integral Definisi 2.5.1 Kita sebut jika ( ) suatu antiturunan ( ) untuk semua pada selang jika dalam . (Jika ( ) suatu titik ujung , perlu berupa turunan sepihak). Teorema 2.5.1 (Aturan Pangkat) Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali ∫ dengan adalah sebarang konstanta. Bukti Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk cukup dengan menunjukkan ∫ ( ) ( ) ( ) pada , maka yakni, ( ) hanya

(51) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 38 ( ) Dalam kasus ini 0 ( ) ( 1 ) Contoh 2.5.1 ⁄ Carilah antiturunan yang umum dari ( ) . Penyelesaian ⁄ ∫ ⁄ ⁄ Integral Tak-tentu adalah Linear. Ingatlah kembali dari Subbab Turunan bahwa adalah suatu operator linear, yaitu ( ) a. ( ) b. ( ) c. Ternyata bahwa ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) juga memiliki sifat operator linear. Teorema 2.5.2 (Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear) Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan suatu konstanta. Maka: i. ii. ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ; ∫ ( ) ∫ ( ) ;

(52) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 39 iii. ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Bukti (i) ∫ ( ) . Cukup mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri [ ∫ ( ) Bukti (ii) ∫ ( ) ] ( ) Sama seperti cara bukti (i), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri [∫ ( ) ∫ ( ) Bukti (iii) ] ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Sama seperti cara bukti (i) dan (ii), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri [∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ] ( ) ( ) ∫ ( ) Contoh 2.5.2 Hitunglah dengan menggunakan kelinearan integral! ∫( Penyelesaian ∫( ⁄ ● ) ∫ ⁄ ⁄ ) ∫ ∫ ⁄

(53) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 40 Dalam subbab selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan diferensial. Persamaan ini mengembangkan metode pemisahan peubah untuk mencari suatu solusi. 2.6 Persamaan Diferensial Definisi 2.6.1 Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan diferensial bermula dari penyelidikan hukum-hukum yang mengatur dunia fisika. Istilah persamaan “diferensial” diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz (1646-1716) yang bersama-sama Newton dikenal sebagai penemu kalkulus. Banyak teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang dikenal para matematikawan dalam abad ke tujuh belas. Tidak sampai abad ke sembilan belas, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) mengembangkan teori umum persamaan diferensial yang bebas dari gejala-gejala fisika. Seperti yang telah dijelaskan di atas, persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Contoh 2.6.1 Beberapa contoh persamaan diferensial: 1. 2. 3. ( ( ) )

(54) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 41 4. 5. ( ) 6. 7. ● 8. Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan dalam banyak cara. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung pada hanya satu variabel bebas maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Persamaan 1 sampai 6 adalah contoh persamaan diferensial biasa di mana menyatakan fungsi yang belum diketahui (variabel tak bebas) dan menyatakan variabel bebas. Jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas maka persamaan disebut persamaan diferensial parsial. Persamaan 7 dan 8 adalah contoh persamaan diferensial parsial. Selanjutnya persamaan diferensial dapat juga diklasifikasikan sesuai dengan tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan itu. Definisi 2.6.2 Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan. Persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya dapat diklasifikasikan menjadi tiga tingkatan, yaitu: a. Persamaan diferensial tingkat pertama

(55) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 42 Bentuk umum: b. Persamaan diferensial tingkat kedua ( ) Bentuk umum: ( ) c. Persamaan diferensial tingkat keBentuk umum: ( ) ( Catatan: Di mana ( ) ) . ( ) adalah suatu fungsi real dengan argumen-argumen Definisi 2.6.3 Persamaan diferensial biasa tingkat ke- disebut linear dalam jika persamaan diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk: di mana memuat koefisien. ( ) dan dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang pada interval itu. Fungsi ( ) disebut fungsi-fungsi

(56) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 43 Definisi itu menyatakan bahwa persamaan diferensial biasa adalah linear jika syarat-syarat berikut dipenuhi: 1. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar hanya berderajat satu. 2. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya atau dua atau lebih derivatif. 3. Tidak ada fungsi transendental dari dan seterusnya. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear. Contoh 2.5.6 a. Persamaan diferensial linear: , . b. Persamaan diferensial biasa tingkat pertama ( ) adalah nonlinear karena derivatif pertama fungsi yang belum diketahui berderajat tiga. adalah nonlinear karena berkaitan dengan hasil kali fungsi yang belum diketahui derivatifnya. adalah nonlinear dalam fungsi menjadi linear jika kita mempertukarkan peranan dan , tetapi persamaan ini dan sebagai fungsi

(57) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 44 variabel . Persamaan yang diketahui dapat dinyatakan dalam bentuk yang linear dalam . c. Persamaan diferensial biasa tingkat kedua adalah nonlinear karena adalah fungsi transendental dari ● fungsi yang belum diketahui. Definisi 2.6.4 Penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke- pada interval adalah suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika ( ) menggantikan menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas. Contoh 2.6.2 Buktikan bahwa adalah penyelesaian dari dan tunjukkan batas-batas penyelesaiannya! Penyelesaian: Dari diperoleh , diperoleh dengan nol untuk semua . Dengan memasukkan ( maka fungsi pada interval ( ). ) ● dan ke dalam . Karena ruas kiri sama adalah penyelesaian dari

(58) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 45 Definisi 2.6.5 ( ) disebut penyelesaian eksplisit persamaan Suatu fungsi real diferensial ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) pada ( )) pada , jika . Definisi 2.6.6 Suatu relasi diferensial ( ( ) disebut penyelesaian implisit dari persamaan ( ) pada sekurang-kurangnya satu fungsi f pada , jika ( ) menentukan sedemikian rupa sehingga adalah penyelesaian eksplisit pada interval ini. ( ) Dalam makalah ini diperlukan beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan diferensial, yaitu ( ) 1. Persamaan Diferensial Dengan Bentuk Dalam kalkulus, persamaan diferensial dengan bentuk diselesaikan dengan ∫ ( ) Jadi penyelesaian ( ) dapat ( ) diperoleh dengan mengintegralkannya, meskipun pengintegralannya belum tentu sederhana. Contoh 2.6.5 Tentukan penyelesaian umum dari ( )( )

(59) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 46 Penyelesaian: Penyelesaian dapat ditulis sebagai ∫ ( )( ) Integral dapat dihitung dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan parsial yang berbentuk ( Kedua ruas dikalikan dengan ( ( ) Untuk menentukan , ambil )( )( ) ) dihasilkan , sehingga Untuk menentukan , ambil ( ) atau , sehingga atau Pecahan parsial yang dimaksud adalah Jadi, ( )( ∫( | ) | | * | Karena ada suku-suku logaritma, maka konstanta dapat diganti dengan bentuk Jadi, penyelesaiannya menjadi

(60) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 47 ( ) | ● | 2. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Perhatikan persamaan diferensial tingkat pertama yang dapat ditulis dalam bentuk derivatif sebagai ( Jika ( ) ) dapat ditulis sebagai ( ( ( ) ) ) maka persamaan diferensial di atas mempunyai bentuk diferensial ( ) ( ) Karena kedua bentuk umum ini dapat dipertukar. Suatu persamaan diferensial yang dapat dibawa ke dalam bentuk ( ) ( ) atau ekuivalen dengan ( ) ( ) disebut persamaan diferensial yang dapat dipisahkan.

(61) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 48 Dapat dilihat bahwa pada persamaan di atas variabel-variabel “dipisahkan” dan bersesuaian penyesuaian ( ) dengan dan dengan diferensial-diferensialnya. ( ) dengan dan Proses , disebut pemisahan variabel (separasi variabel). Setelah variabel-variabel dipisahkan, penyelesaian umum persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk implisit oleh ∫ ( ) ∫ ( ) Contoh 2.6.3 Selesaikan persamaan ( Penyelesaian: ) . Persamaan di atas belum dalam bentuk terpisah, tetapi, variabel-variabel dapat dipisahkan dengan membagi masing-masing suku dengan ( Persamaan tersebut menjadi ) Dengan mengintegralkan masing-masing suku diperoleh penyelesaian implisit | | ( ) Penyelesaian tersebut dapat disederhanakan menggunakan sifat logaritma. Diperoleh | | ( )

(62) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 49 adalah bentuk lain penyelesaian. Penyelesaian di atas dapat disederhanakan lagi dengan mengambil konstanta sebarang dalam bentuk | | ( ) | | | | sehingga dan diperoleh penyelesaian implisit yang lebih sederhana, yaitu ( ) 3. Persamaan Diferensial Linear Tingkat Pertama Persamaan diferensial linear tingkat pertama yang didefiniskan pada mempunyai bentuk untuk semua dalam ( ) ( ) . Dengan membagi persamaan ini dengan ( ) ( ) (1) ( ) maka diperoleh ( ) ( ) (2) yang disebut bentuk baku persamaan diferensial linear tingkat pertama. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tingkat pertama, pertama-tama kalikan kedua sisi dengan faktor integrasi, yaitu ∫ ( ) Persamaan diferensial menjadi ∫ ( ) ∫ ( ) Sisi kiri adalah turunan hasil kali bentuk ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) , maka persamaannya mengambil

(63) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 50 ∫ ( ) ( Integrasi kedua sisi menghasilkan ∫ ( ) ) ∫ ( ) ∫( ( ) Penyelesaian umumnya menjadi ∫ ( ) ∫( ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ) ) Contoh 2.6.4 Selesaikan persamaan linear Penyelesaian: Ubahlah persamaan dalam bentuk baku maka diperoleh Dalam persamaan ini ( ) sehingga faktor pengintegral ( ) ∫ Kalikan persamaan diferensial baku dengan maka diperoleh atau dalam bentuk diferensial Ruas kiri persamaan ini adalah diferensial dari hasil kali sehingga persamaan dapat ditulis ( ) Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

(64) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 51 atau ● 4. Persamaan Diferensial Bernouli Persamaan diferensial nonlinear yang dapat diubah menjadi persamaan diferensial linear tingkat pertama dengan menggunakan substitusi yang cocok adalah persamaan diferensial Bernoulli. Definisi 2.6.7 Suatu persamaan yang berbentuk diferensial Bernoulli. Jika atau ( ) ( ) disebut persamaan , persamaan diferensial adalah linear. Jika dan , persamaan Bernoulli dapat dibawa ke dalam persamaan diferensial linear dengan menggunakan teorema berikut. Teorema 2.6.1 Jika dan ( ) maka persamaan diferensial diubah menjadi persamaan diferensia linear dengan transformasi Bukti Mula-mula kalikan persamaan diferensial dengan ( ) , diperoleh ( ) ( ) dapat .

(65) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 52 Misalkan , maka ( atau ) Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan diferensial yang diketahui maka diperoleh ( ) yang merupakan persamaan diferensial linear dalam ( ) dan . Contoh 2.6.6 Selesaikan persamaan diferensial Bernoulli Penyelesaian: Dalam persamaan ini diperoleh Misalkan atau maka sehingga persamaan dikalikan dengan dan

(66) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 53 Dengan memasukkan nilai-nilai ke dalam persamaan diperoleh Kemudian semua ruas dikalikan dengan dan diperoleh yang merupakan bentuk baku persamaan diferensial linear dalam x dan v. Faktor pengintegral persamaan ini adalah ∫ Setelah persamaan linear dikalikan dengan , maka diperoleh atau atau ( ) ∫ ( ) Kedua ruas diintegralkan menjadi Kemudian diganti dengan ∫ sehingga diperoleh Persamaan di atas dapat ditulis dengan

(67) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 54 √ ●

(68) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL 3.1 Pendahuluan Dalam bab ini, akan dikembangkan model yang menggambarkan pertumbuhan dan penurunan populasi tunggal. Dalam penerapan pemodelan matematika terdapat beberapa model pertumbuhan, namun yang akan dibahas adalah model pertumbuhan kontinu. Model pertumbuhan kontinu meliputi model eksponensial dan model logistik yang masing-masing mempunyai kelemahan dan kelebihan. Awalnya akan dimodelkan pertumbuhan eksponensial. Pada pertumbuhan eksponensial laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui. Kemudian model pertumbuhan akan diperluas untuk memperhitungkan pertumbuhan bergantung pada kepadatan (pertumbuhan logistik). Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Laju pertumbuhan populasi terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Selanjutnya akan dibahas mengenai pertumbuhan terbatas dengan pemanenan. Laju pertumbuhan populasi dengan pemanenan adalah laju pertumbuhan populasi dengan daya dukung lingkungan yang bergantung waktu. 55

(69) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 56 3.2 Model Pertumbuhan Eksponensial 3.2.1 Model Umum Secara umum model populasi dapat digambarkan seperti pada persamaan di bawah ini, { } = , - - , -. (3.1) Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan kemudian proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol. 3.2.2 Model asumsi Ketika dihadapkan pada populasi yang besar, diasumsikan bahwa setiap individu dalam populasi mempunyai kemungkinan yang sama untuk lahir dan menganggap bahwa setiap individu memiliki kemungkinan yang sama untuk mati dalam interval waktu tertentu. Dengan demikian masuk akal untuk membahas tentang laju kelahiran per-kapita per satuan waktu dan laju kematian per-kapita per satuan waktu. Asumsi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan acak antara individu dapat diabaikan. 2. Kelahiran dan kematian kontinu sepanjang waktu. 3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan sepanjang waktu. 4. Dalam pengembangan model, mula-mula imigrasi dan emigrasi diabaikan tetapi akan dimasukkan dikemudian.

(70) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 57 3.2.3 Merumuskan persamaan diferensial Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal bernilai , dengan laju kelahiran per-kapita adalah dan laju kematian perkapita adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada waktu t. Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan bahwa penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi atau emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu. Karena laju kelahiran perkapita diasumsikan konstan, maka laju kelahiran keseluruhan setiap waktu adalah laju kelahiran per-kapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian keseluruhan adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat ditulis, , , Dari kedua persamaan di atas diperoleh - = X( t ), - = ( X( t ). ) (Dengan catatan bahwa ( ) dapat ditulis sebagai , karena jelas bahwa fungsi dari .) (3.2) (3.3) adalah

(71) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 58 Sekarang sudah diperoleh persamaan diferensial yang menyatakan laju perubahan populasi ( ) Maka diperlukan suatu kondisi awal untuk mendapatan penyelesaian tunggal. 3.2.4 Penyelesian persamaan diferensial Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (3.3) untuk pertumbuhan populasi yang kontinu. Dimisalkan Kita menyatakan bahwa , maka adalah laju pertumbuhan atau laju reproduksi populasi. ∫ ∫ ( ) dengan Misal , maka , maka ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan menerapkan kondisi awal ( ) untuk memperoleh nilai konstan , maka diperoleh penyelesaian persamaan diferensial yaitu

(72) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 59 ( ) (3.4) Dari persamaan di atas terdapat tiga kasus, yaitu: 1. Untuk Jika mendekati tak hingga, maka ( ) mendekati tak hingga. Untuk dan , maka gambarnya sebagai berikut: Gambar 3.1: Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin bertambah. 2. Untuk ( ) Jika mendekati tak hingga, maka ( ) Untuk adalah konstan. , maka gambarnya sebagai berikut:

(73) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 60 Gambar 3.2: Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil. 3. Untuk Jika mendekati tak hingga, maka ( ) mendekati . Untuk dan , maka gambarnya sebagai berikut: Gambar 3.3: Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin berkurang. Jelas bahwa hal ini menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial yang bergantung pada .

(74) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 61 3.2.5 Interpretasi dari parameter Dari laju kematian, dapat dibuat pendekatan angka kematian dengan mengalikan laju kematian dengan panjang interval waktu. Pendekatan ini biasanya lebih baik jika interval waktunya pendek. Maka dapat ditulis { ( ) } Dimisalkan bahwa individu akan meninggal setelah waktu adalah harapan hidup rata-rata. Kemudian, dimisalkan sedemikian sehingga diperoleh ( ) , dengan dan Oleh karena itu diperoleh yang memberikan pendekatan untuk sebagai kebalikan pada harapan hidup rata- rata. 3.2.6 Contoh model pertumbuhan eksponensial Tentukan waktu populasi mempunyai ukuran berganda! Penyelesaian: ( ) ( ) di mana T adalah waktu yang diperlukan untuk ukuran berganda. Maka, digunakan penyelesaian (3.4), ( ( ) ) ( )

(75) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 62 di mana Maka, waktu yang diperlukan populasi berganda adalah 3.3 Model Pertumbuhan Logistik 3.3.1 Merumuskan persamaan differensial { } = , - - , Diasumsikan laju kelahiran per-kapita konstan pada , maka , - ⁄ - (3.5) X( t ). Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan, maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut: { } ( ). Laju kematian adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu yang dinyatakan sebagai berikut: Jadi, , - (3.6)

(76) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 63 Dengan menyatakan laju reproduksi, maka diperoleh model pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang dinyatakan sebagai berikut: ( ) ( Penyelesaian dapat ditulis ∫ (3.7) ) ( ) Integral dapat ditulis dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan parsial yang berbentuk Kedua ruas dikalikan ( ( Untuk menentukan A, ambil ) ) maka dihasilkan ( ( ) , sehingga diperoleh Untuk menentukan B, ambil – diperoleh ) . Pecahan parsial yang dimaksud adalah . , substitusikan dengan , sehingga

(77) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 64 ( ) ( Kemudian semua ruas diintegralkan ∫ ( ∫ ) Terlebih dahulu akan dihitung Dengan cara substitusi: ) ∫ ∫ ∫ ∫ Misal : , , Maka: ∫ ∫ ∫ Jadi, dapat diintegralkan untuk memperoleh | | ( Dengan , maka | | . | | | | |) | | | /

(78) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 65 . | Dengan | , maka | | | | | | | | | | | | Jika ⁄( ) | | | , maka ( ) ( ) ( [ , maka diperoleh Dengan keadaan awal / | ( , di mana Dengan | ) ( ) *] ( ( | ) ) diperoleh bahwa ( ) dan Cara lain untuk mengartikan persamaan ini yaitu dengan memisahkan laju kematian menjadi laju kematian normal dan laju kematian ekstra karena anggotaanggota dari populasi bersaing satu sama lain untuk sumber daya yang terbatas.

(79) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 66 Maka dapat ditulis { } = , - - { } - { } Untuk laju kelahiran dan laju kematian normal per-kapita, diasumsikan konstan yaitu dan . Jika diberikan ( di mana adalah konstan positif ), maka laju kematian ekstra adalah tlaju kematian ekstra per-kapita dikalikan dengan jumlah populasi pada saat itu. Maka diperoleh dengan 3.3.2 { adalah konstan positif. } Persamaan Logistik Dengan , persamaan diferensial (3.7) menjadi yang dapat ditulis menjadi ( ) (3.8)

(80) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 67 Model ini termasuk ke dalam persamaan diferensial nonlinear. Ini adalah persamaan logistik dan juga sebagai model pertumbuhan terbatas atau model bergantung kepadatan. Untuk dan maka diperoleh nilai populasi yang positif. 3.3.3 Interpretasi dari parameter Dengan melihat kembali pada bab 3.1 untuk pertumbuhan populasi yang kontinu Bentuk umum persamaan diferensial untuk pertumbuhan dapat ditulis dengan ( ) ( ) merepresentasikan laju pertumbuhan per-kapita bergantung populasi. Ini adalah persamaan logistik dari laju pertumbuhan per-kapita bergantung populasi, dan dari persamaan (3.8) dapat diidentifikasikan sebagai ( ) ( ( ) ) Dapat dilihat bahwa ( ) suatu fungsi linear dari , dan akan mendekati nol jika populasi mendekati kapasitas tampung . ( ) mendekati saat jumlah populasi mendekati nol. Bentuk ini dapat disamakan sebagai garis lurus, yang melewati titik- titik kita mempunyai saat dan saat . Jika dan populasi ( ) menurun mendekati kapasitasnya. maka

(81) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 68 Gambar 3.4: Grafik untuk populasi tingkat pertumbuhan per-kapita dinyatakan sebagai garis lurus. 3.3.4 Penyelesaian Equilibrium dan Kestabilan Dengan melihat persamaan (3.2) sangat tepat untuk memodelkan pertumbuhan populasi dalam kondisi ideal. Namun juga harus dikenali bahwa, sebuah lingkungan memiliki sumber daya yang terbatas. Banyak populasi dimulai dengan bertambah secara eksponensial, tetapi grafik populasi tersebut akan mendatar pada saat populasi tersebut mendekati menurun menuju jika populasi tersebut melampaui . Ingat bahwa apabila nilai mendekati 0 sehingga sehingga ⁄ (kapasitas tampung) atau . ⁄ ( * jauh lebih kecil dibandingkan . Jika maka ⁄ , maka ⁄ bernilai negatif Ada dua kemungkinan penyelesaian equilibrium yang memenuhi persamaan di atas yaitu dan , karena pada kedua kasus tersebut,

(82) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 69 salah satu faktor pada bagian sebelah kanan adalah nol. Jika populasi tersebut adalah 0 atau besarnya sama dengan (kapasitas tampung), maka populasinya akan tetap sama. Dua solusi konstanta ini disebut dengan solusi keseimbangan ( ) berada antara (ekuilibrium). Jika populasi awal dan ⁄ persamaan di atas bernilai positif, sehingga maka ruas kanan dan populasinya meningkat. Akan tetapi jika populasi tersebut melampaui kapasitas tampungnya ( ⁄ ), maka bernilai negatif, sehingga ⁄ dan populasinya menurun. Ingat bahwa pada kedua kasus ini, jika populasinya mendekati kapasitas tampung ( ), maka ⁄ , sehingga populasinya cenderung tidak akan berubah. Jadi, diperkirakan bahwa solusi persamaan diferensial logistik tersebut memiliki grafik seperti di bawah ini: X=K X=0 Gambar 3.5: Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan. Tampak bahwa pada gambar 3.5, untuk solusi kesetimbangan grafik bergerak menjauh dari dan bergerak ke arah solusi kesetimbangan . Untuk mengetahui kecekungan pada grafik fungsi di atas maka diperlukan analisis turunan kedua dari , yaitu

(83) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 70 ( * ( * ( * Dengan menggunakan Teorema Kecekungan (Teorema 2.4.12) pada kalkulus, maka diperoleh hasil bahwa 1. Jika , maka 2. Jika , maka Sebagai contoh untuk dan dan dan cekung ke atas. cekung ke bawah. , maka grafiknya menjadi: Gambar 3.6: Grafik untuk model petumbuhan logistik. 3.4 Model Pertumbuhan Terbatas dengan Pemanenan Pada perindustrian pengaruh pemanenan pada suatu populasi secara teratur sangatlah penting. Salah satu contohnya adalah industri perikanan. Dengan adanya model matematika, industri dapat memperhitungkan waktu yang tepat untuk memanen ikan. Dengan demikian keuntungan yang diperoleh juga akan maksimal.

(84) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 71 3.4.1 Merumuskan persamaan Model logistik untuk laju panenan yang konstan { } , } { { { } } (3.9) Jika ( ) adalah laju pertumbuhan dengan daya dukung lingkungan yang bergantung waktu, dan adalah laju panenan yang konstan (banyaknya tangkapan per satuan waktu atau kematian akibat panen per satuan waktu). Sehingga diperoleh persamaan model pemanenan sebagai berikut: di mana ( ) 3.4.2 ( ( ) ) sehingga persamaan differensialnya menjadi: ( ) (3.10) Penyelesaian persamaan diferensial Pertama – tama persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran ( dengan dan * konstan positif. ( )

(85) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 72 Untuk menghasilkan a. Jika ⁄ . real, maka hanya akan dibahas dua kasus: ( ⁄ ) ⁄ ) ( maka . Diperoleh mempunyai 2 akar real, yaitu : Sehingga √ √ dan √ Penyelesaian dapat ditulis sebagai ∫ ( ∫ ) Integral dapat dihitung dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan parsial yang berbentuk ( Maka diperoleh ( ) ( ) ( ) )( ( ) )

(86) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 73 Ambil Ambil ( maka ( √ Karena ( ( ) , maka ( ( √ √ √ √ ) √ ) √ ( √ √ dan √ ( ) ) , sehingga diperoleh ( ) √ ( ) maka ( ) ( ) )) )

(87) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 74 √ Pecahan parsial yang dimaksud adalah √ √ )√ ( ( )√ Kemudian semua ruas diintegralkan ∫ ∫ ∫ ( )√ ∫ √ Misal : ∫ ( ) ( √ )√ ∫ ( maka, ∫ ∫ √ ∫ √ √ √ ∫ )

(88) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 75 ∫ √ ∫ ( ) ( ) √ Jadi diperoleh ∫ √ maka, ∫ ∫ ( ) ( ) √ | | dengan | | ( ( | | | | √ √ ( ) ( ) ) ) ∫ ∫ √ | | | | | | | | √

(89) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 76 dengam . | | ( Jadi, diperoleh persamaan ( ( |) | ) ) ( ( b. Jika Diperoleh Sehingga, ⁄ ⁄ ) (3.11) ) ( maka ⁄ ) . mempunyai akar kembar, yaitu : Untuk , maka √ Karena mempunyai akar kembar, maka penyelesaiannya adalah ∫ ∫ ( )

(90) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 77 Misal: ∫ ∫ ∫ ( * ( ∫ ) Sehingga ∫ ∫ ( ( ( ∫ ) ) ∫ ) ( ) ( ) Sehingga diperoleh persamaan: ( ) (3.12)

(91) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 78 3.4.3 Contoh untuk pertumbuhan terbatas pada pemanenan Misal: , ⁄ ( ) , Selesaikan persamaan diferensial berikut ini! ( Penyelesaian: * ( ) ( Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut: ∫ ( )( )( ) )( ) ∫ ) Integral dapat ditulis dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan parsial yang berbentuk ( Kedua ruas dikalikan ( )( Untuk menentukan A, ambil ( ⁄ . Untuk menentukan B, ambil ( , sehingga diperoleh ( ( ( ) ( ) maka dihasilkan ) ) ) ) ⁄ . ( ( maka ) ) ) , sehingga diperoleh , substitusikan dengan maka

(92) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 79 Pecahan parsial yang dimaksud adalah ( )( ( ( ) )( ( ) Kemudian semua ruas diintegralkan ∫ ( )( ∫( ( ) ( ( ) ) ( ∫( ( * ) ∫( ( ) ) ) ) * * * ∫ ∫ )) ⁄ Di mana c adalah konstan. Dimisalkan , maka ⁄ | | ) ( ( ) ( | | ( Sekarang disubstitusikan untuk kondisi awal | maka penyelesaiannya adalah | ⁄ ( ) ⁄ Sehingga persamaannya menjadi ( ) | | | | ⁄ ⁄ ●

(93) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV APLIKASI MODEL 4.1 Pendahuluan Dalam menjelaskan proses pemodelan pada bab 3, dijelaskan tentang bagaimana merumuskan suatu model matematika dari masalah yang terjadi pada bidang biologi berdasarkan data-data yang didapat. Model matematika seringkali berbentuk persamaan diferensial, yakni, sebuah persamaan yang mengandung suatu fungsi yang tak diketahui dan beberapa turunannya. Di dalam dunia nyata sering dijumpai bahwa perubahan-perubahan telah terjadi dan ingin meramalkan perilaku pada waktu yang akan datang berdasarkan pada berubahnya nilai-nilai sekarang. Sekarang akan dimulai dengan mempelajari beberapa contoh tentang bagaimana persamaan diferensial muncul ketika memodelkan fenomena biologi. Beberapa contoh yang akan dibahas dalam makalah ini diantaranya adalah model penyebaran teknologi, model kepadatan bergantung pada kelahiran, model panenan, model memancing dengan kuota tertentu. 4.2 Memodelkan Perkembangan Teknologi Model untuk perkembangan teknologi sangat mirip dengan model pertumbuhan populasi logistik. Misalkan mengikuti perkembangan teknologi. Maka 80 ( ) merupakan jumlah orang yang ( ) memenuhi persamaan diferensial

(94) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 81 ( di mana * adalah total populasi orang. Ini diasumsikan bahwa laju penerimaan perkembangan teknologi sebanding dengan jumlah orang yang mengikuti perkembangan teknologi dan jumlah populasi orang yang tidak mengikuti perkembangan teknologi. a. Akan dicari bentuk yang berhubungan dengan populasi yang tidak mengikuti perkembangan teknologi, yaitu ( * Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa populasi yang tidak mengikuti ⁄ perkembangan teknologi adalah b. Misal , , . . Akan dicari berapa lama waktu yang dibutuhkan agar perkembangan teknologi itu menyebar ke dari populasi, yaitu Persamaan di atas sesuai dengan bentuk umum persamaan diferensial Bernouli ( ) Misal: ( ) ( )

(95) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 82 ( ) Persamaan di atas diubah ke (turunan rantai) Kedua ruas dikalikan Langkah selanjutnya menggunakan persamaan diferensial linear tingkat 1 ( ) , sehingga faktor pengintegral menjadi ( ) Kedua ruas dikalikan ∫ , maka persamaan menjadi: Ruas kiri dari persamaan di atas menghasilkan diferensial hasil kali: ( Sehingga persamaan menjadi Kedua ruas diintegralkan ( ) ) .

(96) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 83 ∫ ( ) ∫ * ( Maka rumusnya menjadi Pada saat maka persamaan menjadi ( ) Sehingga, lamanya waktu yang diperoleh yaitu

(97) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 84 ( ) ( ) Jadi, lamanya waktu yang dibutuhkan agar perkembangan teknologi itu menyebar ke 80% dari populasi adalah 4.3 tahun. Kepadatan bergantung pada kelahiran. Banyak populasi berkurang tingkat kelahiran per-kapitanya ketika kepadatan populasinya bertambah, sedemikian sehingga akan bertambahnya tingkat kematian per-kapita. Misal: Kepadatan bergantung pada tingkat kelahiran ( ) Kepadatan bergantung pada tingkat kematian ( )

(98) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 85 Diberikan dengan ( ) ( ) dan ( ) dengan ( adalah kapasitas dari populasi, )( ) adalah tingkat kelahiran per-kapita, adalah tingkat kematian per-kapita dan , di mana adalah parameter yang menyatakan derajat kepadatan bergantung kelahiran atau kematian. Akan ditunjukkan bahwa bentuk tersebut ekuivalen dengan persamaan diferensial logistik ( * Persamaan diferensial yang didapat untuk model ini adalah ( ) .( ( ) * . . ( ( ( ( ( ( ) ( )( ) */ ) */ */ *

(99) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 86 ( * ( ( ( Misal: ) ) ( ) * ( )( ( ) ( * , maka ( Jadi terbukti bahwa logistik. 4.4 * ( ) dan * ( ) ekuivalen dengan persamaan diferensial Model Panenan Diberikan model pemanenan dari subbab 3.3, ( * a. Akan ditunjukkan bahwa terdapat kesetimbangan tak nol, dengan nilai yang lebih besar diberikan oleh ( √ )

(100) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 87 Maka penyelesaiannya yaitu Kesetimbangan terjadi di mana ⁄ ( * ( Kemudian dicari nilai * dengan rumus ABC. √ √ √ √ √

(101) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 88 √ ( ) Diperoleh hasil √ . / dan √ . / Kemudian akan dihitung nilai dari populasi kesetimbangan dengan dan   ⁄ . Untuk ( √ ) ( √ ( √ ) ( √ ⁄ ) Untuk b. Jika laju pemanenan ⁄ ) lebih besar dari suatu nilai kritis nilai kesetimbangan tak nol tidak ada dan populasi cenderung punah. 4.5 , ⁄ , maka Memancing dengan batasan. Bencana yang disebabkan oleh pemancingan yang berlebihan akan menyebabkan punahnya populasi, pemerintah mengenakan batasan yang

(102) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 89 bervariasi bergantung pada perkiraan populasi pada suatu waktu tertentu. Jika fungsi yaitu ( ) adalah fungsi linear dari ukuran populasi ( ) ( ) modelnya ( ) ( ) Jenis panenan ini disebut sebanding atau upaya panenan yang konstans. Ini muncul dalam model perikanan, di mana ini sering diasumsikan bahwa , jumlah dari tangkapan ikan per satuan waktu, adalah sebanding dengan , upaya dalam menangkap ikan. Upaya menangkap ikan ini mungkin terukur, sebagai contoh, jumlah dari sampan untuk menangkap ikan pada waktu yang diberikan. Asumsinya bahwa tangkapannya sebanding dengan upaya yang mungkin ditanyakan berdasarkan bahwa upaya lebih keras per tangkapan ikan mungkin diperlukan jika populasi ikan sangat kecil, tetapi ini menimbulkan hipotesis yang masuk akal untuk kebanyakan perikanan yang nyata. Jika populasinya diatur oleh model logistik model panenannya adalah ( ) a. Akan ditunjukkan bahwa satu-satunya kesetimbangan tak nol, yaitu ( *

(103) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 90 Maka penyelesaiannya adalah ( ) ( . ) ( )/ Sehingga diperoleh dua kesetimbangan yaitu (   ( ( ( ( ) ) ) * )

(104) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 91 Jadi, terbukti bahwa satu-satunya kesetimbangan tak nol adalah * ( b. Laju pemanenan dapat menjadi punah jika dengan ( maka ( atau ( ) ) ( )) Sehingga laju pemanenan dapat menjadi punah jika ( ).

(105) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Pertumbuhan populasi tunggal dapat diselesaikan dengan beberapa macam model pertumbuhan yaitu model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model pertumbuhan terbatas dengan panenan. 1. Model Pertumbuhan Eksponensial Pada model pertumbuhan eksponensial, individu berkembang dengan tidak dibatasi oleh lingkungan seperti persaingan antar individu dan keterbatasan suplai makanan. Seperti yang sudah dijelaskan dalam bab III subbab 3.2, model populasinya dapat digambarkan ke dalam persamaan seperti di bawah ini Dengan . ( ) adalah jumlah populasi pada saat adalah tingkat kelahiran per-kapita dan dan populasi awal bernilai adalah tingkat kematian per- kapita. Dalam model pertumbuhan eksponensial ini dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun), di mana dapat ditafsirkan bahwa jumlah populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan terus berkurang (tidak pernah bertambah). 92

(106) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 93 2. Model Pertumbuhan Logistik Model pertumbuhan logistik adalah pengembangan dari model eksponensial. Model populasinya dapat digambarkan dalam persamaan di bawah ini ( * Persamaan di atas adalah persamaan logistik yang memperhitungkan pertumbuhan bergantung pada kepadatan. Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasinya tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Laju pertumbuhan populasinya terbatas pada lingkungan yang meliputi ketersediaan makanan, tempat tinggal dan sumber hidup lainnya. Dengan demikian, jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. 3. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Pemanenan. Laju pertumbuhan pada model logistik dengan daya dukung lingkungan merupakan fungsi dari waktu, dan memberikan hasil yang berbeda dengan tingkat pertumbuhan pada model logistik dengan daya dukung konstan. Perbedaan tingkat pertumbuhan ini akan mempengaruhi perbedaan besarnya populasi pada saat yang sama sehingga akan mempengaruhi besarnya hasil panen. Model populasinya dapat digambarkan dalam persamaan di bawah ini

(107) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 94 Dengan ( ) ( ( ) ) adalah laju pertumbuhan dengan daya dukung lingkungan yang bergantung waktu dan adalah laju panenan yang konstan. B. Saran Berdasarkan hasil pembahasan dan proses penulisan Tugas Akhir ini, terdapat beberapa saran yang akan dikemukakan, yaitu: 1. Pada model pertumbuhan logistik, pertumbuhan tidak hanya secara kontinu saja, tetapi juga bisa secara diskret. 2. Model pertumbuhan tidak hanya bisa diselesaikan dengan ketiga cara seperti di atas, tetapi juga bisa dengan model pertumbuhan dengan waktu tunda.

(108) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 95 DAFTAR PUSTAKA 1. Barnes, B. & G. Robert-Fulford. 2009. Mathematical Modelling With Case Studies. Cambridge: Cambridge University Press. 2. Brauer, F. & C. Castillooo-Chaves. 2001. Mathematical Models in Population Biology and Epidemology. NY: Springer-Verlag. 3. Murray, J.D. 1993. Mathematical Biology. SpringerVerlag, Heidelberg Berlin. 4. Purcell, E.J., Dale Varberg & Steven E.Rigdon. 2003. Kalkulus. Edisi ke-Delapan. Jakarta: Penerbit Erlangga. 5. Stewart, James. 2011. Kalkulus. Edisi ke-Lima. Jakarta: Penerbit Salemba Teknika. 6. Wrede, R. & Murray R.Spiegel. 2007. Kalkulus Lanjut. Edisi ke-Dua. Jakarta: Penerbit Erlangga.

(109)

Dokumen baru