STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU

Gratis

0
0
5
1 year ago
Preview
Full text

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 1 – 5

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU

YULIAN SARI

  

Program Studi Matematika,

Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

Abstrak.

yuliansari17@gmail.com

Kajian tentang kestabilan sistem deskriptor linier kontinu merupakan topik

klasik yang telah dikaji oleh berbagai peneliti. Pada paper ini akan diulas kembali tentang

kriteria kestabilan dan stabilisasi sistem deskriptor linier kontinu. Metode dekomposisi

standar akan digunakan pada pembahasan selanjutnya. Algoritma memilih kontrol feed-

back pada masalah stabilisasi sistem deskriptor linier kontinu akan diberikan pada akhir

tulisan.

Kata Kunci : Kontrol feedback, metode dekomposisi standar, sistem deskriptor regular,

stabilisasi.

  1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu sebagai berikut.

  E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x , (1.1) n di mana E, A ∈ M n (R), B ∈ M n,m (R). Pada persamaan di atas, x(t) ∈ R meny- m atakan variabel keadaan, u(t) ∈ R adalah variabel kontrol (input), dan t ∈ R

  • menyatakan waktu. Sistem (1.1) sering disebut sebagai sistem deskriptor linier kon- tinu [2,3]. Secara ringkas, sistem (1.1) ditulis sebagai [E, A, B]. Sistem ini sering dijumpai sebagai model untuk beberapa permasalahan, terutama dalam bidang rekayasa, biologi, dan ekonomi [1,2,3].

  Jika matriks E adalah singular, sistem (1.1) mungkin tidak mempunyai solusi. Dalam [1] dinyatakan bahwa sistem (1.1), dengan rank(E) < n, memiliki solusi tunggal jika det(λE − A) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C. Untuk selanjutnya, sistem (1.1) dengan det(λE − A) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C disebut sistem deskriptor regular.

  Salah satu kriteria untuk kestabilan sistem (1.1) adalah bagian riil dari semua nilai eigen pasangan matriks (E, A) bernilai negatif. Sistem (1.1) dikatakan dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback u(t) = Kx(t) + w(t) untuk suatu K ∈ m M m,n (R) dan w(t) ∈ R sedemikian sehingga sistem loop tertutup

  E ˙x(t) = (A + BK)x(t) + Bw(t) (1.2) m adalah stabil [1,2]. Dalam hal ini, vektor u(t) ∈ R dikatakan kontrol yang mensta- bilkan sistem (1.1). Masalah yang akan dikaji pada paper ini adalah bagaimanakah

2 Yulian Sari

  2. Beberapa Hal Tentang Teori Matriks Dalam bagian ini disajikan beberapa hal penting berkenaan dengan teori matriks. Teori tersebut berguna untuk mendapatkan syarat perlu dan cukup bagi stabilisasi sistem deskriptor linier kontinu.

  Misalkan E, A ∈ M n (R). Skalar λ ∈ C dikatakan nilai eigen berhingga dari suatu pasangan matriks (E, A) jika det(λE − A) = 0. Himpunan semua nilai eigen n sedemikian sehingga (λE − A)x = 0 disebut sebagai vektor eigen dari (E, A) yang n berkaitan dengan nilai eigen λ. Jika E singular dan v ∈ C \{0} sedemikian se- hingga Ev = 0, maka v disebut sebagai vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen ∞. Himpunan semua nilai eigen dari (E, A) disebut spektrum dari (E, A), dan dinotasikan dengan σ(E, A). Jelas bahwa σ(E, A) = σ f (E, A) ∪ {∞} [3]. h

  Matriks A ∈ M n (R) dikatakan nilpoten jika A = 0 untuk suatu bilangan h−

  1

  bulat positif h dan A 6= 0. Bilangan bulat positif terkecil h sedemikian sehingga h A = 0 disebut sebagai indeks nilpotensi dari matriks A.

  3. Stabilisasi Sistem Deskriptor Linier Kontinu Dalam [1,2] dinyatakan bahwa jika terdapat skalar α, β > 0 sedemikian sehingga jika u(t) = 0 untuk t > 0, maka x(t) memenuhi βt kx(t)k ≤ αe kx(0)k , t >

  0. (3.1)

  2

  2 Hal tersebut bermakna bahwa jika sistem (1.1) adalah stabil dan u(t) = 0, maka t→∞ lim x(t) = 0. Kestabilan sistem (1.1) dapat dikaji dengan mendekomposisi sistem (1.1) menjadi suatu bentuk yang ekivalen dengan sistem tersebut.

  Teorema berikut diperlukan untuk mendapatkan suatu sistem yang ekivalen dengan sistem (1.1). Teorema 3.1. [2] Pasangan matriks (E, A) dengan E, A ∈ M n (R), adalah regular jika dan hanya jika terdapat dua matriks nonsingular P dan Q sehingga

  QEP = diag (I n , N ) , QAP = diag (A , I n ) , (3.2) 1

  1 2 dimana n + n = n, A ∈ M n (R), N ∈ M n (R), dan N adalah matriks nilpoten.

  1

  2

  1 1 2 Dengan menggunakan Teorema 3.1, maka sistem (1.1) dapat ditulis dalam ben-

  tuk yang ekivalen, yaitu ˙x = A x + B u, x (0) = x (3.3)

  1

  1

  1

  

1

  1

  10

  dan N .

  ˙x = x + B u, x (0) = x (3.4)

  2

  2

  

2

  2

  20 Subsistem (3.3) disebut sebagai slow -subsistem dan subsistem (3.4) disebut sebagai fast-subsistem. [2].

  Teorema 3.2. [1,2,3] Sistem (1.1) adalah stabil jika

   Stabilisasi Sistem Deskriptor Linier Kontinu

  3 di mana C = {s|s ∈ C, Re(s) < 0}.

  Bukti. (=⇒) Perhatikan kembali Teorema 3.1, terdapat dua matriks non singu- lar Q dan P . Dengan mengasumsikan sistem (1.1) regular, sehingga terpenuhinya standar dekomposisi berikut

  I A n

  1

  1 QEP = dan QAP = ,

  0 N

  0 I n di mana Q, P ∈ M n (R) adalah matriks nonsingular, n + n = n, A ∈ M n (R),

  1

  2

  1 1 N

  ∈ M n (R) adalah matriks nilpoten. Misalkan 2 x (t) x

  1

  10

  x(t) = P , x = P . (3.6) x (t) x

  2

  20 Sistem (1.1) ekivalen terhadap sistem berikut

  ˙x

  1 (t) = A 1 x

1 (t), x

1 (0) = x 10 (3.7) dengan solusi sebagai berikut. − − A t A t 1

  ˙x

  1 (t) = A 1 x 1 1 (t)

  A − − A t A t 1 e ˙x 1 1 (t) = e 1 x 1 (t)

  A −e

  1 x 1 (t) + e ˙x 1 (t) = 0

  d A t 1 e x

  1 (t) = 0 Z t dt d − A t 1 e x (t)dt = 0

  

1

  dt − A t t 1 e x (t)| = 0 − A t − A

  

1

1 1 (0)

  e x

  1 (t) − e x A t 1 1 (0) = 0

  e x

  1 (t) = x A t 1 (0) 1

  1 (t) = e x

  10

  , t > x

  dan N

  ˙x (t) = x (t)

  2

  2

  dengan solusi t > x (t) = 0, 0. (3.8)

2 Misalkan ketidaksamaan (3.1) dipenuhi. Dengan menggunakan persamaan (3.6)

  dan (3.8) diperoleh x

  1 (t) −

  1 P

  = x(t)

  2

  x

  2 (t)

  2

  1 P

  kx

  1 (t)k ≤ kx(t)k

  2

  2

− −

  

2

βt

  1

  = P α e kx(0)k , t > 0.

  2

  

2

Oleh karena x (t) memenuhi (3.9), maka sistem (3.7) stabil, sehingga

  1

4 Yulian Sari

  (⇐=) Misalkan (3.9) dipenuhi, akan ditunjukkan bahwa terdapat α, β > 0 sedemikian sehingga

  1 − βt

  α , t > kx (t)k ≤ kP k e kx (0)k

  0.

  1

  1

  2

  2

  2 Perhatikan bahwa

  x

  1 (t)

  P kx (t)k =

  1

  x (t)

  

2

  2

  x (t)

  1

  ≤ kP k

  2

  x (t)

  2

  2

  = kP k kx

  1 (t)k

βt

  2

  2

  ≤ αe kx

  1 (0)k

βt

  2

  , t > ≤ αe kx(0)k 0. (3.10)

  2 Ketidaksamaan (3.10) memenuhi ketidaksamaan (3.1).

  Adakalanya suatu sistem deskriptor linier kontinu regular (1.1) tidak stabil. Dalam [2] dinyatakan bahwa sistem deskriptor yang tidak stabil dapat distabilkan dengan menggunakan kontrol feedback, u(t) = Kx(t) + w(t), (3.11) m dimana K ∈ M m,n (R) dan w ∈ R . Dengan menggunakan kontrol feedback (3.11), maka sistem (1.1) dapat ditulis menjadi E ˙x(t) = (A + BK)x(t) + Bw(t).

  (3.12) Sistem (3.12) disebut sebagai sistem loop tertutup [1,2]. Berikut ini dikemukakan beberapa hal tentang stabilisasi dari suatu sistem deskriptor linier kontinu. Teorema 3.3. [1,2] Diberikan sistem deskriptor linier kontinu regular

  E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t). (3.13) Sistem (3.13) dapat distabilkan jika dan hanya jika rank[sE − A | B] = n (3.14) untuk setiap s ∈ C dimana C = {s|s ∈ C, Re(s) > 0}. + + Bukti. =⇒ Menurut Teorema 3.2, sistem (3.13) dapat distabilkan jika dan hanya jika terdapat K ∈ M m,n (R) sedemikian sehingga

  σ f (E, A) ⊂ C − . Pernyataan tersebut ekivalen dengan

  Stabilisasi Sistem Deskriptor Linier Kontinu

  5

  untuk setiap s ∈ C . Perhatikan bahwa +

  I rank [sE − (A + BK)] = rank [sE − A | B] −K

  I ≤ min rank [sE − A | B] , rank

  −K = rank [sE − A | B] . (3.16) Persamaan (3.16) jelas bahwa rank[sE − (A + BK)] = n.

  ⇐= Asumsikan bahwa kondisi (3.14) dipenuhi. Dari Teorema 3.1 mestilah ter- dapat matriks nonsingular P dan Q sedemikian sehingga sistem (3.13) ekivalen dengan subsistem (3.3) dan (3.4). Perhatikan bahwa rank [sE − A | B] = rank [sQEP − QAP | QB] (3.17)

  = n + rank [sI − A | B ] (3.18)

  2

  1

  1

  = n (3.19) untuk setiap s ∈ C . Akibatnya rank[sI − A | B ] = n − n = n untuk setiap

  1 1 +

  2

  1

  s ∈ C . Jelas bahwa slow subsistem dapat distabilkan. Oleh karena itu, pilih K ∈ 1 +

  1 K −

  M m,n (R) sedemikian sehingga σ f (A +B ) ⊂ C . Misalkan K = [K | 0] P ∈ 1

  1

  

1

  1

  1 M m,n (R). Akibatnya, 1

  σ f (E, A + BK) = σ f (QEP, Q(A + BK)P ) K = σ f (A + B ).

  1

  1

  1 Berikut algoritma memilih matriks K ∈ M m,n (R) pada kontrol feedback (3.11)

  sedemikian sehingga sistem (1.1) dapat distabilkan [2]: langkah (1) Ubah sistem (1.1) menjadi bentuk dekomposisi standar (3.3) dan (3.4). langkah (2) Pilih K ∈ M m,n (R) sedemikian sehingga sistem (A , B ) stabil.

  1 1

  1

  1 langkah (3) Dapatkan matriks K ∈ M m,n (R) dengan cara sebagai berikut.

  1 K .

  = (K

  1 | 0) P

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhafzan yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Syafrizal Sy, Bapak Admi Nazra, dan Ibu Lyra Yulianti sehingga paper ini dapat dipublikasikan.

  Daftar Pustaka [1] Dai, L. 1989. Singular Control Systems. Lecture Notes in Control and Informa- tion Sciences. Berlin: Springer.

  [2] Duan, G. R. 2010. Analysis and Design of Descriptor Linear Systems. New York: Springer. [3] Virnik, E. 2008. Stability Analysis of Positive Descriptor Systems, Linier Alge- bra Appl. 429 (2008) 2640-2659.

Dokumen baru

Dokumen yang terkait

PROPOSAL PENGEMBANGAN SISTEM INFORMASI CV BATIK INDIASTUTI PT Wangsit Dewa Indotama Disusun oleh: Hanif Adi Nugroho (142130011) KATA PENGANTAR - Proposal pengembangan sistem informasi Batik Indiastuti
3
2
46
PENYULUHAN SISTEM AGRIBISNIS SUATU PENDEKATA1
0
0
13
PENYULUHAN SISTEM AGRIBISNIS SUATU PENDEKATAN HOLISTIK NYOMAN SUPARTA PS. Sosek dan Agribisnis, Fakultas Peternakan Universitas Udayana ABSTRACT - PENYULUHAN SISTEM AGRIBISNIS SUATU PENDEKATAN
0
0
26
SISTEM HUKUM DAN PERADILAN NASIONAL
0
0
41
EVALUASI SISTEM PELAKSANAAN MANAJEMEN TERPADU BALITA SAKIT DI PUSKESMAS KECAMATAN WILAYAH PESISIR JAKARTA UTARA TAHUN 2015
0
0
7
KONEKSI PARALEL MODUL SURYA DAN SISTEM KELISTRIKAN MELALUI KONVERTER UNTUK PEMBAGIAN BEBAN DAN REDUKSI HARMONISA
0
3
8
PENATAAN SISTEM JENJANG KARIR BERDASAR KOMPETENSI UNTUK MENINGKATKAN KEPUASAN KERJA DAN KINERJA PERAWAT DI RUMAH SAKIT
0
0
9
PENGARUH NAUNGAN DAN PUPUK DAUN TERHADAP PERTUMBUHAN DAN PRODUKSI KAILAN (Brassica oleraceae L. var Alboglabra) DALAM TEKNOLOGI HIDROPONIK SISTEM TERAPUNG (THST)
0
0
13
PEMANFAATAN KEMBALI LARUTAN NUTRISI PADA TEKNOLOGI HIDROPONIK SISTEM TERAPUNG (THST) BEBERAPA KOMODITAS SAYURAN DAUN
0
0
19
PENGARUH NAUNGAN DAN PUPUK DAUN TERHADAP PERTUMBUHAN DAN PRODUKSI TANAMAN SELEDRI (Apium graveolens L) DENGAN TEKNOLOGI HIDROPONIK SISTEM TERAPUNG
0
0
13
PEMANFAATAN BERULANG LARUTAN NUTRISI PADA BUDIDAYA SELADA (Lactuca Sativa L.) DENGAN TEKNOLOGI HIDROPONIK SISTEM TERAPUNG (THST)
0
0
15
OPTIMASI KONSENTRASI LARUTAN HARA TANAMAN PAK CHOI (Brassica rapa L. cv. group Pak Choi) PADA TEKNOLOGI HIDROPONIK SISTEM TERAPUNG
0
0
10
1. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER - Program Linear
0
0
6
PENYELESAIAN SISTEM DESKRIPTOR LINIER DISKRIT BEBAS WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI KANONIK
0
0
8
PENYELESAIAN MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER YANG MEMUAT FAKTOR DISKON
0
0
7
Show more