Pemodelan matematika mengenai masalah konduksi panas - USD Repository

Gratis

0
0
93
9 months ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI PANAS Makalah Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program studi matematika Oleh Erlika Priyati 093114009 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA 2014 i

(2) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MAKALAH PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI PANAS Oleh: Erlika Priyati NIM: 093114009 Telah disetujui oleh: Pembimbing Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si.,M.Si. Tanggal 21 Juli 2014 ii

(3) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MAKALAH PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI PANAS Dipersiapkan dan ditulis oleh: Erlika Priyati NIM: 093114009 Telah dipertahankan didepan Panitia Penguji pada tanggal 24 Juli 2014 dan dinyatakan telah memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap Tanda Tangan Ketua Hartono,Ph.D. ……………… Sekretaris Sudi Mungkasi,Ph.D. ……………… Anggota Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si., M.Si. ……………… Yogyakarta, 24 Juli 2014 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan, (P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc.) iii

(4) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dalam hidupku. “Sebab Engkau bukit batuku dan pertahananku, dan oleh karena-Mu Engkau akan menuntun dan membimbing aku.” (Mazmur 31:4) “Engkaulah persembunyianku dan perisaiku; aku berharap kepada firman-Mu.” (Mazmur 119:114) Karya ini aku persembahkan untuk: Orang-orang terkasih: keluarga besar mbah Margono, simbah, bapak, mami, Septi, dan denok Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009 iv

(5) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 21 Juli 2014 Penulis Erlika Priyati v

(6) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRAK Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah pemodelan matematika mengenai masalah konduksi panas. Masalah panas sering ditemukan pada berbagai peristiwa, dan seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah yang memuat pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan konduksi panas. Konduksi panas merupakan proses perpindahan panas dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut dapat berupa zat padat, zat cair dan zat gas. Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media dikenai panas maka suhu media menjadi naik. Demikian juga sebaliknya, suatu media menjadi dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Pada model pendinginan air, suhu akan turun mendekati suhu di sekitarnya. Model ini dikatakan baik karena jika dibandingkan dalam keadaan real, hasil dari model sudah mendekati keadaan real. Untuk model pemanas air, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama maka suhunya akan menjadi sangat tinggi. Model ini dikatakan kurang baik karena jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan. Untuk masalah konduksi panas melalui dinding, model ini membahas tentang distribusi suhu terhadap ketebalan dinding dan merupakan fungsi linear. Model konduksi panas melalui dinding dikatakan baik hanya untuk ketebalan dinding tertentu. Model konduksi panas radial merupakan fungsi logaritma. Model ini berlaku untuk kondisi suhu setimbang. vi

(7) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRACT Topics covered in this paper is the mathematical modeling of heat conduction problems. Heat problems often found in a variety of events, and is often associated with temperature. Some of the problems of heating and cooling load are often associated with heat conduction. Heat conduction is the process of heat transfer from the high temperature to the low temperature in a media. The media can be a solid, liquid and gas substances. Heat and temperature have a very close relationship. Temperature is a quantity to measure the heat. Heat transfer is the process of energy transfer that flows at different temperatures, the flow of energy is also called thermal energy or heat. When a media receive heat then the temperature of media will be rise. Conversely, a media will be cool down due to temperature because heat is lost to the surrounding. In the model of cooling water, the temperature will decrease closer to the surrounding temperature. This model is said to be good because if it is compared to the real situation, the result of model will approach the real situation. For model of the water heater, if the water is heated in a very long time, the temperature will be very high. This model is said to be less good because if the water is heated in a very long time, if will be depleted due to evaporation. For the problem of heat conduction through the wall, it is model about the temperature distribution of the wall thickness, which is a linear function. Model of heat conduction through the walls said to be good only for a certain wall thickness. Radial heat conduction model is a logarithmic function. This model applies to the condition of equilibrium temperature. vii

(8) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama: Erlika Priyati NIM: 093114009 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: Pemodelan Matematika Mengenai Masalah Konduksi Panas beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalan bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 21 Juli 2014 Yang menyatakan (Erlika Priyati) viii

(9) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu memberikan hikmat dan menyertai penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan terima kasih kepada: 1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika dan dosen pembimbing, yang senantiasa sabar dalam membimbing dalam menyelesaikan makalah ini. 2. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberi pengetahuan kepada penulis selama proses kuliah ini. 3. Keluarga besar mbah Margana, terutama untuk Alm. St. Darmawidjaja Pr. (pakdhe sus), Br. Michael Pudyartana (pakdhe pud), Ig. Budi Lingana (pakdhe luluk), dan G. Budi Prijatmo (pakdhe momok), yang telah sudi untuk membantu biaya kuliah penulis dan selalu memberikan motivasi untuk menyelesaikan kuliah. 4. Simbah, kedua orang tuaku, dan adik-adikku yang senantiasa memberikan doa, motivasi dan dukungannya. ix

(10) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5. Teman-teman Matematika 2009: Nana, Faida, Ochie, Etik, Jojo, Sekar, Kuthull, dan Dimas, terima kasih untuk kebersamaan dalam suka maupun duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis. 6. Widiantoro yang selalu memberikanku semangat dan sebagai salah satu motivasiku untuk menyelesaikan makalah ini. 7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat dalam proses penulisan makalah ini. Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Yogyakarta, 21 Juli 2014 Penulis x

(11) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. ii HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... v ABSTRAK ....................................................................................................... vi ABSTRACT .................................................................................................... vii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............. viii KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix DAFTAR ISI ................................................................................................... xi DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiii DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1 A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................ 3 C. Batasan Masalah .................................................................................. 3 D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 3 E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 3 F. Metode Penulisan ................................................................................ 3 G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 4 BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ..... 6 xi

(12) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI A. Model Matematika ................................................................................ 6 B. Limit Fungsi Dan Turunan .................................................................... 8 C. Persamaan Diferensial ........................................................................... 23 BAB III MODEL KONDUKSI PANAS ......................................................... 28 A. Panas Dan Suhu .................................................................................. 28 B. Konduksi Panas Pada Proses Pendinginan Air ................................... 30 C. Konduksi Panas Pada Pemanas Air .................................................... 38 D. Konduksi Panas Melalui Dinding ....................................................... 57 E. Konduksi Panas Radial ....................................................................... 67 BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 77 A. Kesimpulan ........................................................................................... 77 B. Saran ...................................................................................................... 78 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 79 xii

(13) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan ..................................................... 29 Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton .............................................. 34 Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa bahan ............................................... 60 Tabel 4. Daya konduksi ntuk beberapa macam bahan bangunan .................... 61 xiii

(14) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air ....................................................................... 37 Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air ........................................... 39 Gambar 3.3. Skema perpindahan panas ...................................................... 40 Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan Gambar 3.5. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan Gambar 3.6. ................................................................ 51 Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan Gambar 3.7. ................................................................ 48 ................................................................ 54 Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan Gambar 3.8. dan ........................... 55 Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan dan untuk waktu yang lama dan suhu yang sangat tinggi .................................. 56 Gambar 3.9. Konduksi panas pada dinding ................................................ 62 Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding ................................ 63 Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding ..................... 67 Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial ............................................ 69 Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur ........................................................... 74 Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur ................ 76 xiv

(15) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Masalah panas sering ditemukan pada berbagai peristiwa, dan seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah yang memuat pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan konduksi panas. Misalnya, ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C? Untuk menjawab pertanyaan tersebut akan dikenalkan beberapa konsep dasar fisika, yakni mengenai suhu dan panas. Pada masalah ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk menyelesaikan masalah tersebut. Pertama, tentang suhu yang menggambarkan bagaimana panas pada kopi tersebut. Jika diasumsikan suhu dari kopi seluruhnya adalah seragam (homogen) maka suhu hanya merupakan fungsi terhadap waktu. Suhu diukur dengan satuan derajad celcius (0C) atau dalam kelvin (K), dimana suhu pada derajad celcius (0C) memiliki selisih 273 lebih rendah daripada suhu pada kelvin. Jadi, 0C + 273 = K. Kedua, tentang panas. Suhu dari kopi turun karena energi panas dipindahkan ke udara sekitarnya. Hal ini terjadi karena udara sekitarnya 1

(16) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2 bersuhu rendah, dan panas selalu dipindahkan dari daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah. Panas adalah sebuah bentuk energi yang diukur dengan satuan Joule, satuan dari sistem SI. Kemudian untuk menjawab pertanyaan tentang secangkir kopi yang disebutkan di atas, dibutuhkan persamaan yang sesuai untuk suhu. Tetapi untuk itu harus menentukan peristiwa panas terlebih dahulu dan dibutuhkan persamaan untuk mendiskripsikan kecepatan perpindahan panas ke sekitar. Masalah lain yang sama adalah bagaimana menentukan waktu yang dibutuhkan air pada sebuah pemanas air menjadi panas dengan suhu tertentu, dengan asumsi suhunya homogen dan merupakan fungsi terhadap waktu. Air pada pemanas air menjadi panas dipengaruhi oleh elemen pemanas. Aplikasi lain dari masalah tentang konduksi panas adalah perpindahan panas pada dinding. Pertimbangkan kecepatan perpindahan panas pada dinding. Kecepatan perpindahan panas pada dinding sangat penting untuk menentukan bahan penyekat dinding, agar energi yang digunakan lebih efisien. Suhu pada sisi luar dinding akan berbeda dari sisi dalam, dimana panas akan mengalir dari sisi luar dinding yang bersuhu tinggi ke sisi dalam dinding yang bersuhu rendah.

(17) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3 B. RUMUSAN MASALAH Pokok masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1. Apa yang dimaksud dengan proses perpindahan panas? 2. Bagaimana pemodelan matematika mengenai konduksi panas? C. BATASAN MASALAH Masalah perpindahan panas yang dibahas dalam tulisan ini adalah masalah konduksi panas pada proses pendinginan air, pemanas air, konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial. D. TUJUAN PENULISAN Tujuan penulisan ini yaitu untuk memodelkan masalah konduksi panas. E. MANFAAT PENULISAN Memperoleh pengetahuan tentang pemodelan matematika mengenai masalah konduksi panas. F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan masalah perpindahan panas.

(18) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 4 G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II MODEL MATEMATIKA dan PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Model matematika B. Limit fungsi dan Turunan C. Persamaan diferensial BAB III MODEL KONDUKSI PANAS A. Panas dan suhu B. Konduksi panas pada proses pendinginan air C. Konduksi panas pada pemanas air D. Konduksi panas melalui dinding E. Konduksi panas radial BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan

(19) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5 B. Saran DAFTAR PUSTAKA

(20) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL A. MODEL MATEMATIKA Model merupakan gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Sebagai contoh dari model adalah sebuah maket. Biro arsitektur yang merencanakan pembangunan suatu kompleks akan membuat gambar-gambar sketsa, menyusun perhitungan-perhitungan konstruksi kemudian membuat maket yang merupakan tiruan dari calon kompleks. Jika ada segi-segi yang kurang disetujui oleh pemilik, maka rencana masih dapat diubah dengan mudah. Sistem merupakan suatu himpunan beserta relasi antar unsurunsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Sebagai contoh dari sebuah sistem adalah suatu rumah sakit. Suatu rumah sakit adalah suatu sistem yang bertujuan merawat orang sakit. Semua bagian rumah sakit harus berfungsi mendukung tujuan di atas. Model hanya menirukan sebagian dari obyek sesuai dengan tujuan penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari 6

(21) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7 dan dimanipulasi lebih lanjut. Dengan demikian dapat dipahami bahwa model pasti lebih sederhana dari aslinya. Model dapat dibedakan berdasarkan tujuan penyusunan model. Model yang berguna mengendalikan keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya disebut model keterkaitan. Model yang bertujuan untuk mengadakan pendugaan (prediksi) untuk memperbaiki keadaan obyek disebut model pendugaan. Sedangkan model yang berguna mengadakan optimasi bagi obyek disebut model optimasi. Model menurut jenisnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu model fisis dan model simbolik (model matematika). Model fisis merupakan model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya bentuknya atau polanya. Model simbolik (model matematika) merupakan model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika/logika untuk menyajikan perilaku obyek. Model matematika dapat dianggap sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analitis atau numeris dalam benuk persamaanpersamaan matematika. Model ini juga dapat berupa persamaan diferensial.

(22) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 8 B. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN Definisi 2.1. Niai mutlak biangan real didefinisikan sebagai berikut } { Contoh 2.2. 1. 2. ( 3. ) Teorema 2.3. Misalkan , maka 1. 2. | | . Bukti: 1. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang Untuk dan Untuk dan maka maka maka , sehingga berlaku , sehingga berlaku . .

(23) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 9 Untuk dan ( Untuk Untuk ( ( )( ) ) maka , sehingga berlaku maka , sehingga berlaku . dan . dan ) maka , sehingga berlaku . Jadi terbukti bahwa untuk sebarang maka 2. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang . maka | | . , sehingga berlaku | | . Untuk dan maka Untuk dan maka Untuk dan maka , sehingga berlaku | | . / dan maka , sehingga berlaku | | . / dan maka . Untuk . Untuk . Jadi terbukti bahwa untuk sebarang , sehingga berlaku | | , sehingga berlaku | | maka | | . .

(24) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 10 Contoh 2.4. 1. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa Penyelesaian: Akan dibuktikan bahwa . (kalikan dengan 5) ( ( ) ( ) . Jadi, terbukti bahwa 2. Misalkan ) . adalah suatu bilangan positif. Tentukan bilangan positif sedemikian rupa sehingga Penyelesaian: ( ) ( ) (dikalikan dengan ) Jadi, bilangan positif adalah . yang memenuhi

(25) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 11 Definisi 2.5. ( ) berarti bahwa untuk tiap (betapapun kecilnya), terdapat sehingga ( ) yang diberikan yang berpadanan sedemikian asalkan bahwa ,yakni, ( ) Contoh 2.6. ( Buktikan bahwa ) Penyelesaian: Misalkan bilangan positif sebarang. Akan dibuktikan terdapat suatu sedemikian sehingga ( ) Perhatikan ketaksamaan pada ruas kanan ( ) ( ) ( )

(26) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 12 Dengan demikian, jika dipilih maka untuk menghasilkan ( ( Jadi, terbukti bahwa ( ) ) ) . Teorema 2.7. Jika dan suatu konstanta, maka ( ) Bukti: Akan dibuktikan bahwa untuk setiap Untuk suatu Karena , maka ( untuk setiap , maka menjadi ) terdapat suatu ( ( sehingga ) ) ( sehingga ) , ditentukan

(27) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 13 Untuk , maka ( Ambil sebarang bilangan positif Jadi, terbukti bahwa ) ( ) ( ) untuk setiap nilai sehingga berlaku ( ) ( ) ( ) . Contoh 2.8. Teorema 2.9. Jika suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan , Bukti: Akan dibuktikan bahwa untuk setiap Ambil sebarang bilangan positif , maka Jadi, terbukti bahwa . terdapat suatu . sehingga .

(28) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 14 Contoh 2.10. Teorema 2.11. Jika ( ) , ( ) ( ) dan ( )- , ( ) , maka ( )- ( ) ( ) Bukti: Akan dibuktikan bahwa untuk setiap Karena diketahui bahwa untuk ( ) terdapat suatu terdapat suatu , ( ) ( )- ( sehingga ) , maka dari definisi limit diperoleh sehingga ( ) Karena diketahui bahwa untuk ( ) terdapat suatu , maka dari definisi limit diperoleh sehingga ( )

(29) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 15 Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan dan . Jadi . Karena itu ( ) dan ( ) Dengan demikian jika , ( ) ( )- Jadi, terbukti bahwa , maka ( ( ) ) ( ( ) ( ) , ( ) ( )- Akan dibuktikan bahwa untuk setiap Karena diketahui bahwa untuk ( ) terdapat suatu ) , ( ) ( ( ) ) . terdapat suatu ( )- ( sehingga ) , maka dari definisi limit diperoleh sehingga ( )

(30) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 16 ( ) Karena diketahui bahwa untuk , maka dari definisi limit diperoleh terdapat suatu sehingga ( ) Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan dan . Karena itu ( ) dan ( ) Dengan demikian jika , ( ) ( )- Jadi, terbukti bahwa , maka ( ( ) ) , ( ) ( ( ) ( ) ( )- ) ( ( ) ) . Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- , ( ) ( )- ( ) ( ) . Jadi

(31) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 17 Contoh 2.12. ( ) Teorema 2.13. Jika ( ) ( dan fungsi )( ) ( ) kontinu di , maka (( ( )) ( ( )) Bukti: Karena kontinu di maka untuk setiap terdapat suatu sehingga Karena sehingga ( ) ( ) , untuk setiap ( ) terdapat suatu ( ) Jika diperoleh untuk setiap dan (1) (2) disubstitusikan ke dalam (1) oleh ( ) maka terdapat suatu sehingga

(32) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 18 ( ) | ( ( )) ( )| dari pernyataan (2) dan (3) diperoleh bahwa untuk setiap suatu (3) terdapat sehingga | ( ( )) ( )| Jadi, terbukti bahwa ( )( ) (( ( )) ( ) ( ( )) Teorema 2.14. Jika ( ) ( ) ( ) ( ) dan maka jika Bukti: Misalkan komposisi fungsi yang didefinisikan oleh didefinisikan oleh ( ( )) dimana-mana kecuali di 0. Karena itu ( ) ( ( ) . Maka fungsi ⁄ ( ). Fungsi ( ( )) ( )) ( ) kontinu

(33) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 19 Sehingga diperoleh ( ) ( ) Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) jika Contoh 2.15. Definisi 2.16. Misalkan selang ( suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan pada ). Limit ( ) adalah , dituliskan ( )

(34) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 20 apabila untuk setiap sehingga , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan ( ) jika . Contoh 2.17. Buktikan bahwa Penyelesaian: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi pada penyebut yaitu . . Jadi, terbukti bahwa . yang muncul

(35) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 21 Definisi 2.18. Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang ( ( ) adalah , dituliskan ). Limit ( ) apabila untuk setiap sehingga , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan ( ) jika . Contoh 2.19. Tentukan Penyelesaian: Bagi pembilang dan penyebut dengan . . Jadi, .

(36) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 22 Definisi 2.20. Turunan fungsi (dibaca “ aksen”) yang nilainya adalah fungsi lain pada sebarang bilangan adalah ( ) ( ) ( ) ) ( ) asalkan limit ini ada. Contoh 2.21. Andaikan ( ) . Cari ( ) Penyelesaian: ( ) ( [( ) ( ( Jadi, jika diketahui ( ) , maka )] , - ) ( ) .

(37) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 23 C. PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Sebagai contoh dari persamaan diferensial sebagai berikut (4) (5) ( )( ) (6) (7) Bila peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan, jika peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial. Dalam contoh di atas persamaan (4)-(6) merupakan contoh persamaan diferensial biasa dan persamaan (7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial. Definisi 2.22. Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi satu peubah bebas. Sedangkan, persamaan diferensial

(38) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 24 parsial merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi dua atau lebih peubah bebas. Contoh 2.23. Pada contoh persamaan diferensial di atas yang merupakan persamaan diferensial biasa adalah persamaan (1)-(3). Sedangkan, contoh persamaan diferensial parsial adalah persamaan (4). Definisi 2.24. Suatu persamaan diferensial biasa tingkat persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dimana ( ) ( ) merupakan suatu ( semua ditentukan nilainya oleh . ( ) ) Contoh 2.25. Persamaan (1) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 1. Sedangkan, persamaan (2) dan (3) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 2.

(39) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 25 Definisi 2.26. Suatu ( ) penyelesaian ( ( persamaan ) ) merupakan ditentukan pada suatu selang bagian persamaan ( ) ( ( diferensial suatu fungsi biasa ( ) yang yang secara identik memenuhi ) ) pada seluruh selang . Contoh 2.27. Suatu fungsi , yang ditulis sebagai penyelesaian dari Bukti: Hasil substitusi ke dalam persamaan menghasilkan ( atau ) merupakan

(40) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 26 Hasil substitusi tersebut merupakan suatu kesamaan dalam Jadi, untuk semua merupakan penyelesaian dari Definisi 2.28. Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial tingkat suatu penyelesaian yang mengandung adalah konstanta sebarang yang bebas. Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian sebarang yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada konstanta sebarang dalam penyelesaian umum untuk persamaan tersebut. Contoh 2.29. Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu atau dapat ditulis Bila kedua ruas diintegralkan akan diperoleh ∫ ∫

(41) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 27 dengan Jadi, suatu konstanta sebarang. merupakan penyelesaian umum dari Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada

(42) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III MODEL KONDUKSI PANAS A. Panas dan Suhu Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media atau obyek dikenai energi panas maka suhu media tersebut menjadi naik. Demikian juga, suatu obyek menjadi dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Suatu media dengan massa yang lebih banyak akan lebih banyak memerlukan panas untuk menaikkan suhu, sedangkan jika suhu dari sebuah media turun, maka energi panas dari media tersebut lebih banyak yang hilang. Asumsikan perubahan pada panas adalah berbanding langsung dengan perubahan suhu dan juga massa dari suatu obyek, yakni dapat ditulis sebagai { * } (3.1) 28 + * +

(43) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 29 dengan adalah konstanta positif pembanding sebagai panas jenis dari bahan, diasumsikan tidak bergantung pada massa sebuah obyek dan perubahan suhu. Misalkan didefinisikan sebagai laju perubahan panas terhadap waktu (diukur dalam watt), adalahmassa dari bahan yang akan dipanaskan atau didinginkan (diukur dalam kg), dan merupakan suhu, maka diperoleh (3.2) Setiap bahan memiliki panas jenis yang berbeda-beda. Di bawah ini diberikan data nilai panas jenis dari berbagai bahan. Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan (Barnes, Gleeen, 2009) Bahan Bahan Aluminium 896 Asbes 841 Tembaga 383 Batu bata 840 Stainlis steel 461 Gelas 800 Kayu 2385 Mentega 2300 Beton 878 Daging domba 3430 Air (pada 200C 4187 Kentang 3520

(44) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 30 B. Konduksi Panas pada Proses Pendinginan Air Panas dari sebuah obyek menjadi hilang karena adanya penukaran energi panas dengan sekitarnya. Jika perbedaan suhu antara permukaan dari suatu obyek dan sekitarnya menjadi bertambah, maka diharapkan panas menjadi cepat hilang. Diasumsikan bahwa laju dari aliran panas adalah berbanding langsung dengan perbedaan suhu diantara permukaan dan sekitarnya. Dari asumsi tersebut dirumuskan Hukum Newton pada keadaaan pendinginan, yang akan berlaku juga pada masalah pemanasan. Perubahan suhu akibat pertukaran panas menurut Newton adalah berbanding lurus dengan waktu. Bila suhu obyek lebih tinggi dari pada suhu sekitarnya maka akan terjadi pendinginan pada obyek atau penurunan suhu dan demikian pula sebaliknya. Perbandingan ini dapat dijadikan persamaan dengan melibatkan suatu faktor konstanta, sehingga dengan ( dan ) masing-masing merupakan suhu obyek dan suhu sekitarnya. Tanda negatif menunjukkan terjadinya penurunan suhu bila . Perbedaan suhu ditentukan dari panas pada permukaan yang dapat menghilang ataupun bertambah. Jika obyek, suhu adalah luas permukaan dari sebuah dari sebuah obyek lebih tinggi dari suhu maka dapat ditulis di sekitarnya,

(45) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 31 { } { } ( ) { } 2 3 (3.3) Ketika suhu pada sekitar lebih tinggi daripada suhu pada obyek ( ), maka laju penukaran panas sebagai berikut, { } ( ) (3.4) Jadi, hukum Newton pada masalah pendinginan maupun pemanasan dirumuskan sebagai berikut, { } (3.5) dengan = perbedaan suhu = luas permukaan yang panasnya hilang ataupun bertambah (diukur dalam m2)

(46) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 32 = koefisien pendinginan Newton (diukur dalam watt/m2/0C) . Konduksi merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut dapat berupa zat padat, zat cair maupun gas. Perpindahan terjadi karena molekul bersinggungan secara langsung tanpa adanya perpindahan molekul yang cukup besar. Suhu elemen suatu zat sebanding dengan energi kinetik (energi yang diakibatkan karena suatu gerak) rata-rata dari molekul-molekul yang membentuk zat tersebut. Energi yang dimiliki suatu elemen zat yang diakibatkan adanya kecepatan dan posisi relatif molekulmolekulnya merupakan energi dalam. Misalnya ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C?Pada masalah ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk menyelesaikan masalah tersebut. Pada masalah secangkir kopi di atas terdapat hubungan antara laju perubahan panas dan laju perubahan suhu. Untuk mendeskripsikan panas yang terkandung dalam secangkir kopi, ditunjukkan sebagai berikut { } { } (3.6) Jadi, persamaan konduksi panas pada masalah pendinginan air sebagai berikut ( )

(47) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 33 ( ( ( ) ) ( ) ) (3.7) Nilai awal ( dapat ditentukan dari suhu awal. Jika suhu pada saat ) bernilai maka ) ( Jadi, penyelesaian persamaan (3.7) adalah sebagai berikut ( ) (3.8) Tanda negatif menunjukkan adanya panas yang hilang ke sekitar atau terjadinya pendinginan. Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.8) akan menjadi sebagai berikut ( )

(48) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 34 Koefisien pendinginan Newton ( ) memiliki nilai yang berbeda- beda. Di bawah ini diberikan nilai pendinginan Newton pada suatu lempengan dengan ketebalan 0,5 m. Nilai koefisien pendinginan Newton semakin besar pada saat laju aliran udara semakin besar. Akibatnya, nilai koefisien pendinginan Newton sangat berpengaruh terhadap aplikasi model yang telah diperoleh. Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton Lempengan pada udara terbuka 4.5 Lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s 12 Lempengan dengan laju aliran udara 35 m/s 75 Koefisien pendinginan Newton pada udara terbuka digunakan pada keadaan normal, yakni keadaan dimana tidak ada hembusan udara. Koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s digunakan ketika ada tiupan atau angin sepoi-sepoi. Sedangkan koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju udara 35 m/s digunakan pada saat terjadi angin kencang seperti angin topan.

(49) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 35 Contoh 3.1 Dari data secangkir kopi yang memiliki diameter 7cm dan tinggi 8cm, massa dari kopi tersebut adalah 0,2 kg. Diketahui bahwa suhu sekitar dari kopi tersebut adalah 260C dan suhu awal dari kopi 780C. Misalkan cangkir tersebut terbuat dari gelas sehingga panas jenisnya adalah 800 dan koefisien pendinginan Newton 4,5. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menunggu saat kopi siap diminum pada susu 550C? Penyelesaian: Dari masalah tersebut diketahui bahwa koefisien pendinginan Newton ( ) adalah4,5, panas jenis ( ) adalah 800 watt/kg 0C. Massa dari bahan yang akan di dinginkan ( ) adalah 0.2 kg. Suhu awal ( 0 ) dari bahan adalah 78 C dan suhu sekitarnya ( ) adalah 26 0C. Cangkir tersebut memiliki diameter 7 cm dan tinggi 8 cm, sehingga jari-jari cangkir adalah 3.5 cm. Dari data di atas, maka luas permukaan gelas dapat didekati sebagai luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut = Luas cangkir = Luas tabung dengan tutup = Luas alas + luas selimut tabung + luas tutup = , dengan = jari-jari cangkir dan tinggi cangkir

(50) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 36 ) =( =( = = ) cm2 ( ( ) ( ) ( ) cm2 ) m2 Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu agar suhu kopi turun dari 78 0C menjadi 55 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.7) adalah sebagai berikut ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) s menit Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi menjadi 550C adalah sekitar 822 s atau 14 menit.

(51) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 37 Dari data di atas dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik sebagai berikut Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air. Jika air didinginkan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut

(52) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 38 Jadi, jika air didinginkan dalam waktu yang sangat lama maka suhu dari air tersebut akan mendekati suhu sekitarnya. Dari grafik pada Gambar 3.1. dapat dilihat bahwa untuk maka ( ) . Pada Gambar 3.1. tampak bahwa grafik turun sesuai dengan fungsi eksponensial. Setelah dilakukan praktek secara nyata dengan diukur menggunakan termometer ternyata waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi turun menjadi 55 0C adalah sekitar 17 menit. Pada masalah secangkir kopi ini diasumsikan bahwa cangkir atau gelas seakan-akan tidak ada, sehingga waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi dingin pada suhu 55 0C menjadi lebih cepat daripada dalam keadaan real. Jadi hasil dari model sudah mendekati nilai yang sesungguhnya. Model ini sudah dikatakan baik karena ketika menunggu air sampai berapa lamapun suhu hanya akan mendekati suhu sekitar. C. Konduksi Panas pada Pemanas Air Pada contoh pemanas air, persamaan diferensial untuk suhu diperoleh dari air yang dipanaskan dengan elemen pemanas elektrik. Masalah pemanas air ini pada dasarnya mempunyai prinsip yang sama dengan masalah secangkir kopi, bedanya bahwa pada masalah pemanas air, panas ditambahkan melalui elemen pemanas. Beberapa contoh alat pemanas air adalah ceret dan ketel. Masalah pemanas air menggunakan elemen elektrik yang biasa digunakan di tiaptiap rumah, biasanya berisi 2 liter air, dengan tinggi pemanas air 20 cm

(53) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 39 dan diameter 15 cm. Awalnya diasumsikan air menjadi bersuhu 150C. Elemen pemanas yang digunakan untuk memanaskan memiliki laju konstan (per jam) 3,6 Kw (yang lain biasanya menggunakan 4,8 kW/jam). Pada gambar di bawah ini menunjukkan ilustrasi dari panas yang keluar dan masuk dari sistem. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengambil air tersebut saat bersuhu 600C? air Elemen pemanas Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air. Dalam menyelesaikan masalah pemanas air dikenalkan beberapa notasi. Misalkan awal air, ( ) sebagai suhu air pada waktu , merupakan suhu akhir air, dipanaskan dan merupakan suhu sebagai massa dari air yang akan sebagai laju persediaan energi panas. (dalam m2) menunjukkan luas permukaan dari pemanas air atau tangki yang panasnya keluar. Pertama, asumsikan air pada tangki seluruhnya bersuhu homogen. Tanpa asumsi tersebut masalah akan menjadi lebih komplek, karena suhu akan menjadi fungsi dari waktu dan posisi. Dengan asumsi tersebut yang

(54) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 40 dipertimbangkan hanya suhu dari air sebagai fungsi terhadap waktu. Kedua, asumsikan bahwa panas yang hilang dari permukaan tangki menurut hukum Newton pada pendinginan. Akhirnya, asumsikan bahwa panas konstan, sebagai panas jenis dan koefisien pendinginan Newton. Untuk mendeskripsikan masalah pemanasan air pertimbangkan sistem yang mengaplikasikan hukum keseimbangan seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini. Panas dari panas yang hilang Panas pada tangki elemen pemanas ke sekitar Gambar 3.3. Skema perpindahan panas. Panas pada tangki yang berasal dari elemen pemanas akan sama besarnya dengan panas yang hilang ke sekitar. Keseimbangan panas untuk sistem dideskripsikan dengan persamaan berikut ini, { } { } { } (3.9)

(55) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 41 Perubahan suhu digunakan untuk memperoleh persamaan matematika. Persamaan dasar yang digunakan untuk merelasikan panas dengan suhu adalah sebagai berikut, } { (3.10) sebagai massa dari air dan ( ) dengan adalah panas tertentu dari air, menunjukkan suhu pada waktu . Asumsikan bahwa elemen pemanas memproduksi panas dengan laju konstan per unit waktu, yang dinyatakan dengan . Jadi, { } (3.11) Laju panas yang hilang ke sekitar dirumuskan dengan menggunakan hukum Newton pada pendinginan, yaitu { } * + ( ( ) dengan adalah luas permukaan dari pemanas dan ) (3.12) adalah koefisien pendinginan Newton. Perbedaan suhu merupakan perbedaan antara suhu arus air ( ( )) dan suhu sekitar ( )

(56) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 42 Dengan mensubstitusikan persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12) ke dalam persamaan (3.9) diperoleh persamaan diferensial yang mendeskripsikan variasi suhu terhadap waktu sebagai berikut, ( ( ) ) (3.13) Atau dapat ditulis ( ( ) ) ( ) ( ) Misalkan, maka ( ) atau Dengan demikian, ruas kanan persamaan (3.14) menjadi (3.14)

(57) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 43 Jika persamaan tersebut diintegralkan akan diperoleh ∫ ∫ Di substitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.14) menjadi sebagai berikut, ∫ ( )) ( ( )) ( (3.15) ( )) ( ( )) ( ) ( . ( )) ( / ( ) ( ) . /

(58) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 44 . ( ) Nilai / (3.16) dapat diperoleh dari persamaan (3.15) sebagai berikut ( )) ( ( )) ( ( ( )) Jadi, penyelesaian dari persamaan (3.16) adalah / . dengan Untuk ) ( (3.17) maka fungsi suhu pada persamaan (3.17) akan menjadi sebagai berikut . )/ ( . ( )/

(59) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 45 Contoh 3.2 Sebagai contoh dari masalah pemanas ini adalah memanaskan air dengan menggunakan pemanas. Diketahui pemanas tersebut memiliki diameter 10 cmdan tinggi 20 cm, massa dari air yang akan dipanaskan 1,5 kg, suhu awal air dan suhu sekitar sama yaitu 26 0C, karena pemanas terbuat dari stainlis steel maka panas jenisnya adalah 461, diberikan koefisien pendinginan atau pemanasan Newton 4,5 dan misalkan laju panas yang digunakan adalah 100 watt. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air tersebut sampai mendidih 100 0C ? Penyelesaian : Dari data tersebut diketahui bahwa suhu awal ( ) dari bahan adalah 26 0C dan suhu sekitar ( ) adalah 26 0C. Diberikan koefisien pemanasan Newton ( ) adalah 4,5 dan panas jenis ( ) 461 watt/kg 0C. Massa dari bahan yang dipanaskan ( ) adalah 1,5 kg. Laju panas ( ) yang digunakan 100 watt. Diketahui pemanas memiliki diameter 10 cm dan tinggi 20 cm, sehingga jari-jari dari pemanas adalah 5 cm. Dari data di atas, maka luas permukaan pemanas dapat didekati sebagai luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut

(60) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 46 = Luas pemanas = Luas alas = , dengan = tinggi cangkir ) =( =( = jari-jari cangkir dan ) cm2 m2 Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu sampai air mendidih pada suhu 100 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah sebagai berikut . ( dengan = = = = )) ( ( ( ( ) / ) ) ) Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu . / (

(61) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 47 ( 100= . ) / / . 100 = / . / . . / / . . ( / ) ( ( ) s menit. )

(62) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 48 Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C adalah sekitar 531 s atau 9 menit. Dari data di atas dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan . Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut

(63) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 49 0 C. Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati suhu 2857 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan. Untuk maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut . ( dengan = = = )) ( ( ( ( ) ) ) / ) (

(64) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 50 = Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu . ( 100= / . ) / . 100 = / / . / . / . . / . / ) ( ( ( ) )

(65) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 51 s menit. Jadi, jika ingin menunggu air sampai mendidih 1000C maka dibutuhkan waktu sekitar 163 s atau sekitar 3 menit. dengan diketahui bahwa daya yang digunakan adalah 350 watt. Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut Gambar 3.5. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan .

(66) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 52 Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut 0 C. Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati suhu 9934 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan. Untuk , maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut . ( dengan = = = = )) ( ( ( ( ) ) ) / ) (

(67) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 53 Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu . ( 100= / / . ) / . 100 = . / . / / . . / . / ) ( ( ( ) )

(68) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 54 s menit. Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih dalam suhu 1000C adalah sekitar 131 s atau sekitar 2 menit. Dengan diketahui bahwa daya yang digunakan adalah 450 watt. Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan .

(69) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 55 Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut 0 C. Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama dengan menggunakan daya sebesar 450 watt maka suhu akan mendekati 12765 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan. Jika grafik kenaikan suhu dengan dan dijadikan satu maka akan menjadi sebagai berikut Gambar 3.7. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan dan .

(70) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 56 Gambar 3.8. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan dan untuk waktu yang lama dan suhu yang sangat tinggi. Dari Gambar (3.7) tampak bahwa waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C semakin cepat ketika yang digunakan semakin besar nilainya. Dari Gambar (3.8.) tampak bahwa nilai sangat berpengaruh terhadap waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih. Perbandingan suhu antara penggunaan dan sangat jauh berbeda. Semakin besar nilai yang digunakan maka semakin tinggi pula suhu yang dihasilkan. Tetapi, model

(71) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 57 ini dikatakan kurang baik karena ketika maka suhu akan menjadi sangat tinggi. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan. D. Konduksi Panas melalui Dinding Masalah pemanasan pada suatu bahan yang didinginkan maupun dipanaskan mengakibatkan suhu menjadi berubah-ubah. Jika suhu pada setiap titik dari bahan tidak sama, maka panas akan dihantarkan dari bahan yang bersuhu tinggi ke yang bersuhu rendah. Suhu menjaga kesetimbangan dari panas pada saat dihantarkan. Pada keadaan kesetimbangan, panas tidak digunakan untuk menaikkan suhu maupun mengurangi suhu. Jadi kesetimbangan panas menjadi atau } { ∫ (3.17) ∫ (3.18) Dengan kata lain, pada keadaan setimbang suhunya adalah dengan suatu konstan. Karena keadaan setimbang adalah konstan. adalah konstan maka , dalam

(72) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 58 Konduksi panas dapat terjadi pada zat padat, cair, maupun gas, dan meliputi perpindahan dari energi panas akibat getaran dari molekul. Laju panas yang di hantarkan oleh bahan adalah berbanding langsung dengan luas area yang terdapat aliran panas. Fluks panas ( ( )) merupakan laju aliran panas per unit waktu per unit area, yang dapat ditulis sebagai ( ) { } (3.19) Fluks panas diukur dalam watt/m2 dengan watt sebagai Joule/detik. Aliran panas lebih mudah mengalir pada logam daripada bahan yang terbuat dari batu atau batu bata. Aliran panas mengalir pada suhu yang berbeda dan akan menjadi berkurang kuantitasnya pada piringan yang tebal. Fluks panas berbanding lurus dengan gradien suhu (laju perubahaan suhu terhadap jarak yang dialiri panas). Menurut Kreith (1973) fluks panas merupakan hasil kali tiga buah besaran, yaitu: 1. , konduktivitas panas bahan (daya konduksi) 2. , luas area yang dialiri panas dengan cara konduksi, yang harus diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas ( ) 3. , gradien suhu pada area yang dialiri panas, yaitu laju perubahan suhu . terhadap jarak dalam arah aliran panas

(73) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 59 Jika ( ) merupakan fluks panas pada , dan suhu pada , maka hukum Fourier sebagai berikut * ( ) merupakan + * * + ( ) + } { ( ) (3.20) Karena fluks panas diukur dalam per unit area maka hukum Fourier menjadi sebagai berikut Konstanta positif ( ) ( ) (3.21) sebagai daya konduksi, akan menjadi berbeda pada bahan yang berbeda. Tanda negatif pada persamaan (3.21) digunakan untuk menjamin laju tetap positif. Artinya, suhu berkurang (ketika gradien suhu negatif) pada aliran panas maka tandanya positif, sedangkan ketika suhu bertambah (ketika gradien suhu positif) pada aliran panas maka tandanya negatif. Aliran panas mengalir dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah, dan tidak dapat terjadi untuk keadaan sebaliknya (artinya aliran panas tidak dapat mengalir dari daerah yang bersuhu rendah ke daerah yang bersuhu tinggi). Logam memiliki daya konduksi yang lebih tinggi daripada bahanbahan yang lainnya, berarti bahwa pengaliran panas lebih mudah terjadi pada bahan yang terbuat dari logam. Bahan yang memiliki daya konduksi

(74) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 60 rendah baik untuk digunakan sebagai penyekat, dan bahan yang memiliki daya konduksi tinggi baik digunakan sebagai elemen pemanas. Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa macam bahan (Barnes & Gleen, 2009) Bahan Bahan Tembaga 386 Beton 0,128 Besi 73 Gelas 0,81 Stainlis steel 14 Kayu 0,15 Air (pada suhu 00C) 0,57 Batu 0,04 Daging Polistirin 0,157 domba 0,42 (pada suhu 50C) Mentega (pada 0,20 suhu 50C) Data lain yang menunjukkan daya konduksi dari bahan bangunan adalah sebagai berikut. Data ini dikeluarkan oleh ASHRAE. ASHRAE merupakan singkatan dari American Society of Heating, Refrigerating and Air Conditioning Engineers.

(75) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 61 Tabel 4. Daya konduksi beberapa bahan bangunan (Koestoer, 2002) daya konduksi Bahan ASRAE Pengukuran(koestoer) kaca ray-ban medium shading 1,000 0,992 kaca ray-ban high shading 1,000 1,038 kaca biasa 1,000 0,982 batu bata 0,720 0,886 adukan semen 0,720 0,743 kayu jati 0,180 0,204 Gipsum 0,430 0,406 Plywood 0,180 0,193 Asbestos 0,170 0,308 Styrofoam 0,040 0,049 Alumunium 100,0 96,571 Panas mengalir dari bahan yang bersuhu tinggi ke bahan yang bersuhu rendah, begitu pula pada masalah konduksi panas pada dinding. Sisi dalam dan sisi luar dari dinding memiliki suhu yang berbeda. Perhatikan gambar bagian dinding dengan ketebalan yang terdiri dari beberapa bahan. Salah satu sisi dinding tersebut panas dan sisi yang lain relatif dingin, jadi panas mengalir kearah sisi yang dingin. Kondisi ini

(76) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 62 merupakan salah satu kasus dimana sisi luar dan sisi dalam mempunyai suhu yang berbeda. Sisi luar dari dinding memiliki suhu yang lebih tinggi daripada suhu pada sisi dalam dinding. + + =0 = Gambar 3.9. Konduksi panas pada dinding. Tujuan dari subbab ini adalah merumuskan sebuah persamaan diferensial yang menggambarkan kesetimbangan suhu sisi dalam dari bahan pada sebarang titik . Pertama, pertimbangkan kembali mengenai persamaan yang mendeskripsikan laju panas yang keluar masuk dari bagian kecil bahan. Diasumsikan tidak ada panas yang digunakan untuk menaikkan suhu dan bagian kecil ketebalan dari bagian mendekati nol. Pertimbangkan bagian yang tipis dari bahan atau berupa irisan, dari ke yang ditunjukkan pada gambar di atas. Misalkan luas irisan tersebut adalah . Laju perubahan panas dipengaruhi oleh panas yang keluar dan masuk dari bagian tersebut. Sebagai contoh, akan ditentukan

(77) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 63 persamaan laju panas yang masuk-keluar dari sembarang bagian dengan tebal . Panas yang masuk hanya disebabkan oleh konduksi panas ke dalam bagian , dan panas yang keluar hanya disebabkan oleh konduksi panas yang yang keluar dari bagian pada . Pada masalah irisan ini dapat digambarkan menggunakan diagram berikut. Panas dari bagian 𝑥 panas dihantarkan ke dalam bagian panas dihantarkan keluar bagian Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding. Jadi, persamaan untuk masalah irisan tersebut sebagai berikut { } }– { (3.22) { } Misalkan, ( ) menunjukkan kesetimbangan suhu pada titik dan ( ) sebagai fluks panas pada , laju panas yang dihantarkan ke dalam pada sisi diperoleh dari mengalikan fluks panas dengan luas permukaan irisan . Maka, { } * + 2 3

(78) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 64 ( ) (3.23) Fluks panas pada bagian yang lain dinotasikan dengan ( ) Maka, laju panas yang dihantarkan keluar dari bagian yang lain dapat ditulis sebagai berikut { } * + ( 2 3 ) (3.24) Karena pada saat setimbang laju perubahan panas adalah nol, maka persamaan untuk masalah irisan tersebut menjadi sebagai berikut ( ) ( ) (3.25) Selanjutnya, akan ditentukan persamaan diferensial untuk suhu dengan mengambil limit pada mengaplikasikan hukum Fourier dengan persamaan (3.25) dan . Bila persamaan (3.25) dibagi , diperoleh ( ) ( ) Dari definisi turunan terhadap , persamaan di atas menjadi (3.26) Karena fluks panas dari bahan menghantarkan panas, maka hukum Fourier dapat diaplikasikan untuk menggambarkan persamaan diferensial. Dengan

(79) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 65 mensubstitusiikan persamaan (3.20) ke dalam persamaan (3.26), maka persamaan (3.26) menjadi . Karena daya konduksi / (3.27) diasumsikan konstan, maka persamaannya menjadi (3.28) Jika persamaan (3.28) diintegralkan akan diperoleh ∫ ∫ ∫ ∫ (3.29) Fungsi merupakan fungsi linear dengan sebagai konstanta. Contoh 3.3. Perhatikan suatu bagian dari dinding yang suhu pada posisi awal( ) 100C. Diketahui bahwa daya konduksi bernilai 1. Akan diamati distribusi suhu di sepanjang dinding tersebut!

(80) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 66 Penyelesaian: Diketahui bahwa suhu pada posisi awal benda tersebut adalah 10 0C. Ini berarti dari persamaan (3.29) maka sehingga Misalkan maka Karena diketahui maka persamaan (3.29) dapat ditulis sebagai berikut Nilai dari dimisalkan negatif agar menjaga kesetimbangan suhu, karena suhu sisi luar lebih tinggi daripada suhu di sisi dalam. Jadi semakin ke dalam maka suhu akan menjadi turun. Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.11.

(81) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 67 Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding. Dari grafik pada Gambar 3.11. tampak adanya penurun suhu pada dinding. Suhu pada sisi luar yang terkena panas lebih tinggi dari pada suhu di sisi dalam. Perbedaan suhu antara sisi luar dan sisi dalam pada dinding tidak jauh berbeda. E. Konduksi panas radial Konduksi panas radial hampir sama dengan konduksi panas melalui dinding, bedanya kulit yang diamati berbentuk radial sedangkan

(82) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 68 pada konduksi panas melalui dinding berbentuk balok. Sebagai contoh, perpindahan panas yang terjadi pada dinding sumur. Masalah aliran panas radial terjadi pada silinder dan bola dimana suhu sama pada sebarang jarak dari pusat silinder dan bola. Pada aliran panas radial terjadi penjalaran panas keluar, yaitu panas yang dipindahkan keluar dari pusat kulit luar dari silinder dan bola. Jika menunjukkan jarak radial dari sebuah titik pusat silinder dan bola, maka fluks panas pada dinotasikan sebagai keseluruhan laju aliran panas sebagai berikut } { ( ). Secara ( ) ( ) (3.30) dimana ( ) merupakan luas terjadinya aliran panas. Untuk permukaan silinder dengan radius dan panjang , permukaan bola dari radius , . ( ) , sedangkan untuk Seperti pada bagian sebelumnya, hukum Fourier untuk konduksi panas radial didefinisikan sebagai berikut ( ) ( ) (3.31) dimana ( ) sebagai fluks panas pada kulit silinder/bola dengan jarak radial , ( ) sebagai suhu pada jarak radial dan sebagai daya konduksi. Hukum Fourier menunjukkan bahwa fluks panas berbanding langsung dengan gradien suhu.

(83) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 69 Misal diberikan bahan berbentuk silinder dengan permukaan bagian dalam yang panas dan dingin dibagian permukaan luar. Didefinisikan radius bagian luar dari silinder adalah dalam adalah , dan untuk mendekati dan radius bagian akan mendekati nol pada silinder padat, sedangkan maka model silinder akan berupa sebuah pipa. Misalkan panjang silinder adalah dan sebagai jarak radial dari pusat garis. Diasumsikan aliran panas pada silinder berlangsung dan suhu dalam silinder hanya bergantung pada dan waktu . Jika diasumsikan juga panas setimbang maka suhu akan menjadi fungsi dari jarak radial . Perhatikan sebuah potongan kecil kulit dari sebuah silinder dari ke . Dengan menerapkan hukum kesetimbangan maka akan dipertimbangkan sebarang panas yang masuk dan keluar dari kulit. Diasumsikan tidak ada panas yang dihasilkan dalam kulit. Panas yang masuk hanya dihantarkan sebagai panas yang keluar. Diagram hukum kesetimbangan sebagai berikut: panas dihantarkan panas dihantarkan Panas pada kulit ke dalam kulit 𝑟 Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial. ke luar dari kulit

(84) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 70 Pada bagian berikut akan ditentukan persamaan untuk kulit dalam yang dipotong yang mana tidak ada panas yang mengalir. Untuk masalah ini tidak ada panas dalam kulit. Persamaan yang mendeskripsikan kesetimbangan dari panas yang masuk dan keluar dari kulit silinder adalah sebagai berikut { } } { Dimisalkan (3.32) { } ( ) sebagai suhu kesetimbangan pada jarak pusat garis dan ( ) sebagai fluks panas pada jarak dari dari sumber. Sebagai contoh akan ditentukan persamaan diferensial untuk kesetimbangan suhu dalam potongan kulit. Aliran panas masuk dalam kulit silinder pada luas ( ) ) ( . Aliran panas meninggalkan sisi potongan pada luas ( ) . Bentuk dari fluks panas ( ) sebagai berikut 2 3 { } ( ) ( ( ) ( ) (3.33) ) (3.34) Untuk suhu kesetimbangan bernilai nol maka persamaannya menjadi ( ) ( ) Atau dapat ditulis sebagai berikut ( ) ( ) (3.35)

(85) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 71 , ( (3.36) Bila dibagi dengan ) ( ) ( ) ( )- menjadi kemudian dengan diberikan limit 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (3.37) , maka dari definisi turunan diperoleh , ( ) ( )- (3.38) Tanpa memperhatikan radius, persamaan (3.38) menjadi Hal ini menunjukkan bahwa sebarang titik pada silinder merupakan kombinasi fluks panas yang dikalikan dengan luas. Dengan mensubstitusikan luas hukum Fourier ( ) dan menggunakan , maka persamaan (3.38) menjadi . Karena / (3.39) adalah konstan, maka suhu kesetimbangan ( ) menjadi . / Jika persamaan di atas diintegralkan akan diperoleh (3.40)

(86) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 72 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ Untuk mendapatkan nilai ( ) dan (3.41) maka diperlukan dua batas suhu yaitu pada (3.42) dan pada (3.43) Dengan menggunakan persamaan (3.41) maka persamaan (3.42) dan (3.43) menjadi sebagai berikut ( ) dan, jika (3.44) ( ) (3.45) dieliminasi maka diperoleh (3.46) ( ⁄ ) Selanjutnya, jika persamaan (3.44) dikurangi dengan persamaan (3.41) maka diperoleh ( ( ) ) ( ( ) )

(87) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 73 (3.47) dan jika persamaan (3.46) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.47) maka diperoleh ( ( ⁄ ) ) ( ⁄ ) ⁄ ( ) ⁄ (3.48) Contoh 3.4. Perhatikan suatu bagian dari dinding sumur yang berbentuk silinder pada ( ) memiliki suhu 25 0C. Diketahui bahwa bagian dari dinding sumur tersebut terbuat dari batubata sehingga menurut Tabel 4 maka daya konduksinya bernilai 0,886. Dinding pada posisi ( 23 0C. Hitung suhu pada sumur tersebut! ) memiliki suhu dan amati distribusi suhu pada dinding

(88) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 74 Panas Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur. Penyelesaian: Diketahui bahwa suhu pada posisi ( posisi ( Sehingga nilai ) adalah 25 0C dan suhu pada ) adalah 23 0C. menjadi sebagai berikut ( ⁄ ) ( Jadi, nilai ⁄ untuk masing-masing posisi adalah sebagai berikut ( ) ( dan ) ) ( )

(89) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 75 ( ) ( Jadi, nilai berbeda. untuk posisi awal ( Suhu pada posisi ) ( ) ) dan posisi ( dapat dicari dengan menggunakan nilai yang telah diperoleh sebagai berikut ( ) ( Jadi, suhu pada posisi ) tidak jauh ) adalah sekitar 24 0C. Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.14. dan

(90) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 76 Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur. Dari grafik pada Gambar 3.14. tampak bahwa suhu naik menurut fungsi logaritma. Semakin besar radiusnya maka suhu juga semakin tinggi, radius yang semakin tinggi menunjukkan bahwa posisinya mendekati posisi yang paling luar. Jadi, suhu pada posisi luar lebih tinggi dibandingkan suhu pada posisi dalam. Perbedaan suhu antara posisi luar dan dalam tidak jauh berbeda.

(91) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN A. KESIMPULAN Konduksi panas merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu tinggi ke daearah yang bersuhu rendah. Media tersebut dapat berupa zat padat, zat cair, dan zat gas. Pada makalah ini konduksi panas yang dibahas dibatasi untuk konduksi panas pada masalah pendinginan air, pemanas air, konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial. Sebagai contoh untuk masalah pendinginan air adalah berapa waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi untuk siap diminum. Dari hasil model didapat bahwa waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi siap diminum sekitar 16 menit. Jika kopi tersebut didinginkan untuk waktu yang sangat lama maka suhu kopi tersebut akan mendekati suhu sekitar. Konduksi panas pada pemanas air, panas timbul karena adanya elemen pemanas. Suhu air yang dipanaskan dalam waktu yang sangat lama maka suhunya akan menjadi sangat tinggi. Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air mencapai suhu tertentu sangat dipengaruhi oleh laju panas yang digunakan. Semakin besar laju yang digunakan maka waktu yang dibutuhkan juga semakin cepat. 77

(92) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 78 Konduksi panas melalui dinding, suhu dinding bagian luar lebih tinggi daripada dinding bagian dalam, sehingga antar dinding bagian luar dan dinding bagian dalam terjadi penurunan. Perbedaan suhu antara dinding bagian luar tidak begitu jauh berbeda. Pada masalah konduksi panas radial, suhu yang digunakan adalah suhu pada posisi setimbang atau suhu kesetimbangan, sehingga tidak diamati bagaimana distribusi suhu antara bagian luar dan bagian dalam. B. SARAN Berdasarkan pembahasan dalam proses penulisan makalah ini, ada saran yang dapat dikemukakan yaitu 1. Masalah konduksi panas radial tidak hanya yang dibahas dalam makalah ini, masih ada banyak masalah konduksi panas radial pada bola peejal. 2. Masalah konduksi panas selain yang dibahas dalam makalah ini misalnya masalah konduksi panas untuk waktu.

(93) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR PUSTAKA Barnes, B. & Gleen, R. F. (2009). Mathematical Modelling with Case Studies (2thEd). New York: CRC Press. Bejan, A. (1993). Heat Transfer. New York: John Wiley & Sons, Inc. Cengel,Y. A. & Afshin, J. G. (2011). Heat and Mass Transfer Fundamentals and Applications (4thEd). New York: Mc Graw Hill. Hutahean, E. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik . Edisi ke-5. Jakarta: Penerbit Erlangga. Incropera, F. P. & David, P. D. (1996). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (4thEd). New York: John Wiley & Sons. Kreith, F. (1986). Prinsip-prinsip Perpindahan Panas. Edisi ke-3. Jakarta: Penerbit Erlangga. Purcell, E. J., Varberg, D. & Rigdon, S. E. (2004). Kalkulus. Edisi ke-8. Jakarta: Penerbit Erlangga. 79

(94)

Dokumen baru

Tags

Dokumen yang terkait

Tinjauan matematik terhadap konduksi panas keadaan tak steady pada beberapa benda padat - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)
0
0
1
Tinjauan matematik terhadap konduksi panas keadaan tak steady pada beberapa benda padat - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)
0
0
1
Tinjauan matematik terhadap konduksi panas keadaan tak steady pada beberapa benda padat - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)
0
0
9
pemecahan masalah dalam matematika
0
1
6
Sistem Transportasi Perkotaan mengenai masalah
0
0
5
Penyelesaian masalah knapsack dengan algoritma genetika - USD Repository
0
0
123
Pemodelan matematika pada sistem pembangkit listrik tenaga air - USD Repository
0
0
128
Cara pemecahan masalah soal cerita perbandingan matematika secara aljabar oleh siswa kelas VIII SMP - USD Repository
0
1
263
Kompor surya menggunakan penyimpan panas dengan variasi apertur kolektor - USD Repository
0
0
72
Cara pemecahan masalah matematika oleh siswa SMA kelas XI IPS dengan gaya belajar auditorial, visual dan kinestetik - USD Repository
0
0
244
Kompor surya menggunakan penyimpan panas dengan variasi fluida kerja - USD Repository
0
0
60
Aktivitas siswa dalam mengikuti pembelajaran matematika berbasis masalah dan hasil belajar siswa ketika mengikuti pembelajaran tersebut - USD Repository
1
2
230
Penggunaan metode Think-Pair-Share pada pembelajaran matematika - USD Repository
0
1
127
Penerapan pembelajaran matematika dengan turnamen - USD Repository
0
2
262
Regresi piecewise untuk masalah intervensi - USD Repository
0
0
132
Show more