Pelabelan total ajaib sisi pada Graf Cycle - USD Repository

Gratis

0
0
79
3 months ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : Albertus Magnus Dony Putra Perkasa NIM : 141414105 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2019

(2) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI EDGE MAGIC TOTAL LABELLING ON CYCLE SKRIPSI Submitted As The Partial Fulfillment Of The Requirements To Obtain A Bachelor Of Education Degree On Mathematics Education Study Program By : Albertus Magnus Dony Putra Perkasa NIM : 141414105 MATHEMATICS EDUCATION STUDY PROGRAM MAJORING IN MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES EDUCATION FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2019 i

(3) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ii

(4) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI iii

(5) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 14 Januari 2019 Penulis, Albertus Magnus Dony Putra Perkasa iv

(6) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Albertus Magnus Dony Putra Perkasa NIM : 141414105 Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul : PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenar-benarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 14 Januari 2019 Yang menyatakan Albertus Magnus Dony Putra Perkasa v

(7) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Kata Kata Motivasi Greget itu Prinsip ~Mad Dog~ Tidak Ada Skripsi Tanpa Revisi ~Dony Putra Perkasa~ Hidup Seperti Lary ~Spongebob Squarepants~ vi

(8) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ABSTRAK Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Graf merupakan himpunan pasangan dimana merupakan himpunan tak kosong titik dan merupakan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada . Elemen disebut titik atau vertex dan elemen disebut sisi atau edge . Jika maka merupakan himpunan pasangan dimana dengan dan masing masing merupakan ujung dari , atau dengan kata lain menghubungkan titik dan titik . Setiap elemen pada dan elemen pada dapat diberikan label, dan dinamakan dengan pelabelan graf. | | | |} dengan | | Misalkan A merupanan himpunan { adalah banyaknya titik pada graf, dan | | merupakan banyaknya sisi pada graf, sehingga pelabelan total sisi ajaib pada graf atau edge magic total labelling merupakan sebuah pemetaan bijektif yang memetakan setiap elemen titik dan garis ke himpunan bilangan asli , atau dapat dituliskan untuk fungsi . sedemikian hingga untuk konstanta ajaib dapat dicari dengan ( ) untuk setiap dan merupakan konstanta ajaib yang apabila dievaluasi tiap sisi pada graf tersebut akan memiliki nilai konstanta yang sama. Tujuan penelitian ini adalah untuk : (1) untuk mengetahui apakah pelabelan ajaib sisi juga berlaku pada graf Cycle, (2) mengetahui cara pelabelan pada graf Cycle, (3) mengetahui rentang konstanta ajaib pada graf Cycle. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah : (1) graf Cycle Memiliki pelabelan ajaib bila , (2) graf Cycle Memiliki pelabelan ajaib sisi yang terbagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk , , dan ,(3) nilai konstanta ajaib pada graf Cycle dengan ganjil memiliki interval nilai ajaib pada graf Cycle yaitu : dengan dan untuk nilai konstanta genap memiliki interval nilai yaitu : . Dan langkah untuk memetakan setiap elemen titik dan sisi ini dengan menggunakan program MATLAB 7.1 . Kata kunci : Pelabelan total sisi ajaib pada graf Cycle vii

(9) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ABSTRACT Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Edge Magic Total Labeling On Cycle. Majoring In Mathematics And Natural Sciences Education. Faculty Of Teacher Training And Education. Sanata Dharma University,Yogyakarta. The graph is a set of pairs where is an empty set of points and is a set of different element pairs on . Element is called vertex and element is called edge or edge. If then is the set of pairs where with and are each end of , or in other words e connects point and point . Each element in and the element in can be labeled, and is called labeling graph. Let be a set of { | | | |} with | | is the number of points on the graph, and | | is the number of sides on the graph, so that the labeling of the total magic side on the graph or edge labeling total magic is a wise mapping that maps each element of point and line to the set of natural numbers , or can be written for the function . so that for magic constants to be found with for each and are magic constants which if evaluated on each side of the graph will have a value the same constant. The purpose of this study is to: (1) to find out whether side magic labeling also applies to the Cycle graph, (2) to know how to label the Cycle graph, (3) to find out the magic constant range of the Cycle graph. The results obtained from this study are: (1) graph Cycle It has magic labeling if , (2) graf Cycle It has side magic labeling which is divided into 2 parts, namely for , and , (3) the value of the magic k constant in the Cycle graph with odd has an interval of values, namely: value in the Cycle and for the magic graph with even has an interval of constant values, namely: . And steps to map each point and side element using the MATLAB 7.1 program. Keywords: Edge Magic Total Labeling on Cycle viii

(10) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI KATA PENGANTAR Terimakasih Tuhan atas penyertaan mu saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan lancar, oleh karena itu puji dan syukur saya harturkan ke hadirat mu. Selama melakukan penelitian ini, penulis mendapat berbagai bantuan dari sana sini oleh banyak pihak yang mendukung peuh usaha saya dalam menyelesaikan skripsi ini guna menyelesaikan studi S1 saya di jurusan Pendidikan Matematika. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. 2. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. 3. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang selalu memberi petunjuk dan arah serta yang memberi inspirasi dalam memilih judul skripsi. 4. Pius Sutrisno dan Heronima Sri Lestari Rahayu selaku orang tua penulis yang selalu memberi doa, semangat dan dukungan kepada penulis selama penyusunan skripsi ini. 5. Erina Wulansari dan Monica Septiani Eka Yunitasari sebagai teman seperjuangan satu pembimbing dan memberi motivasi untuk menyusul mereka lulus. 6. Seluruh teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2014. ix

(11) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7. Anastasia Ana Ayu Kusuma Jati yang selalu memberi semangat dan motivasi dalam menyelesaikan skripsi. 8. Yohanes Endra Permana dan Ignasius Dwi Cahyo Nugroho yang selaku kakak kandung saya yang selalu memotivasi saya untuk menyelesaikan skripsi. 9. Sahabat sahabat saya yang setia menemani setiap langkah saya dari saya memilih jurusan di pendidikan matematika sampai saya mengerjakan skripsi hingga selesai 10. Saudara saya yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu yang telah membant saya dalam doa. 11. Serta semua pihak yang tidak mungkin disebutkan satu persatu. Penulis berharap agar hasil karya ini dapat berguna bagi para pembaca. Terima kasih. Yogyakarta, 14 Januari 2019 Penulis Albertus Magnus Dony Putra Perkasa x

(12) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR ISI PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR ..................................................... iii LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI............................................................... v KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ..................................v Kata Kata Motivasi ................................................................................................. vi ABSTRAK ............................................................................................................. vii ABSTRACT .......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ............................................................................................ ix BAB I ...................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN .................................................................................................. 1 A. Latar belakang .............................................................................................. 1 B. Batasan masalah .......................................................................................... 5 C. Rumusan masalah......................................................................................... 5 D. Tujuan penelitian .......................................................................................... 5 E. Manfaat penelitian ........................................................................................ 6 F. Metode penelitian ......................................................................................... 6 G. Sistematika penulisan ................................................................................... 6 BAB II ..................................................................................................................... 8 KAJIAN PUSTAKA ............................................................................................... 8 A. Pengertian Himpunan ................................................................................... 8 B. Pengertian Relasi .......................................................................................... 9 C. Pengertian Fungsi ......................................................................................... 9 D. Pengertian Graf .......................................................................................... 10 E. Pelabelan Graf ............................................................................................ 16 BAB III ................................................................................................................. 20 PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE .................................. 20 A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total ............................................................ 20 B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle ................ 23 xi

(13) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1. Batas jumlah label titik atau 2. Batas nilai konstanta ajaib ...................................................................... 23 ............................................................. 23 C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle .............................................. 26 1. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil .......... 26 2. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap .......... 29 3. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap .......... 29 BAB IV ................................................................................................................. 31 ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF CYCLE ................. 31 A. Proses pelabelan pada graf Cycle ............................................................... 31 B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle .............................................. 32 C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Sisi Ajaib Menggunakan MATLAB 7.1 41 D. Simulasi Pelabelan Total Sisi Ajaib Dengan Menggunakan Aplikasi MATLAB 7.1 .................................................................................................... 46 E. Kekurangan pada pelabelan sisi graf Cycle ............................................... 49 F. Pemanfaatan Pelabelan Ajaib pada Graf Cycle .......................................... 50 BAB V................................................................................................................... 57 PENUTUP ............................................................................................................. 57 A. Kesimpulan ................................................................................................ 57 B. Saran ........................................................................................................... 57 Daftar Pustaka ....................................................................................................... 58 LAMPIRAN .......................................................................................................... 59 xii

(14) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Denah rumah ....................................................................................... 1 Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan ........................................................ 2 Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle dengan Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle = 9 ........................... 4 ..................................... 5 Gambar 2.1 graf .................................................................................................... 11 Gambar 2.2 gelang atau loop ................................................................................ 12 Gambar 2.3 Graf dengan sisi atau rusuk ganda ................................................. 12 Gambar 2.4 Graf Cycle ......................................................................................... 13 Gambar 2.5 Graf Berarah ...................................................................................... 14 Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle...................................... 18 Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda ................................................... 19 Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib .......................................................................... 19 Gambar 3.1 Graf Cycle ................................................................................... 21 Gambar 4.1 Diagram flowcart............................................................................... 33 Gambar 4.2 Diagram flowcart 2............................................................................ 34 Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3 ........................................................................... 35 Gambar 4.4 Diagram folwcart 4............................................................................ 36 Gambar 4.5 Diagram flowcart 5............................................................................ 36 Gambar 4.6 Diagram flowcart 6............................................................................ 37 Gambar 4.7 Diagram flowcart 7............................................................................ 38 Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8........................................................................... 38 Gambar 4.9 Diagram flowcart 9............................................................................ 39 Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10 ...................................................................... 40 Gambar 4.11 Diagram flowcart 11........................................................................ 40 Gambar 4.12 Diagram flowcart 12........................................................................ 41 Gambar 4.13 Input matlab..................................................................................... 46 Gambar 4.14 Hasil output ..................................................................................... 47 Gambar 4.15 Graf Cycle ................................................................................. 47 Gambar 4.16 pelabelan pada graf Cycle ......................................................... 48 xiii

(15) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 4.17 Pelabelan ajaib sisi graf cycle ................................................... 48 Gambar 4.18 letak tatanan komputer .................................................................... 51 Gambar 4.19 hasil output dengan Gambar 4.20 hasil output untuk ............................................................ 52 ............................................................... 54 Gambar 4.21 contoh penerapan............................................................................. 55 Gambar 4.22 hasil output untuk ............................................................ 56 xiv

(16) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang Sebagai petugas atau karyawan sebuah kantor pos, menjadi hal yang biasa bagi petugas untuk mengantarkan sebuah paket barang ke tempat yang menjadi tujuan dari pengirim paket barang tersebut. Dan untuk mengantarkan paket barang tersebut, petugas biasanya menyusun nya berdasarkan alamat yang dituju dari sang pengirim paket barang, agar saat mengantarkan barang dapat menjadi satu jalur, atau tidak berlawanan arah. Semisal dalam pengiriman barang tersebut, diilustrasikan seperti gambar dibawah ini : Gambar 1.1 Denah rumah Dalam gambar ilustrasi di atas, seorang petugas pengantar barang harus mengirimkan paket barang menuju ke rumah 1, rumah 2, rumah 3 1

(17) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 dengan jalur yang sudah ditetapkan. Dalam perjalanan seorang petugas pengantar barang tersebut, waktu yang diperlukan untuk mengirim semua paket barang digambarkan seperti ilustrasi dibawah ini : Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan Dari gambar ilustrasi di atas, terlihat bahwa disetiap jalan dan persimpangan terdapat waktu untuk dilalui seorang pengantar paket barang. Dan bila dicermati lagi, gambar diatas terdiri dari titik dan garis yang masing-masing diberi label waktu tempuh, dan dapat dikatakan gambar diatas merupakan sebuah pelabelan graf. Dan karena jalur yang digambarkan pada ilustrasi di atas merupakan jalur yang tertutup, dengan kata lain jalur yang dilalui dari kantor pos dan kembali ke kantor pos lagi, maka jalur pada ilustrasi di atas dapat dikatakan sebagai graf Cycle. Graf dalam matematika didefinisikan sebagai pasangan dua himpunan. Himpunan atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong

(18) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3 titik, dan himpunan atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong garis. dan setiap elemen dan pada graf tersebut dapat diberikan label atau penomoran, pemberian label pada graf tersebut dikatakan sebagai pelabelan graf. Pelabelan pada graf pertama kali dikembangkan oleh Sedlacek pada tahun 1963, dan mendefinisikan graf dengan label sisi ajaib dengan rentang nilai tertentu, dengan menjumlahkan 2 titik yang dihubungkan dengan garis tersebut. Kemudian pelabelan graf juga dikaji oleh Stewart pada tahun 1966, kemudian Kotzig dan Rosa juga mengkaji pelabelan graf ini pada tahun 1970 dengan istilah valution. Kemudian Kotzig dan Rosa mendefinisikan pelabelan total ajib dengan label mulai dari 1 sampai dengan , atau kalau dinyatakan dalam bentuk himpunan sebagai himpunan { | | | |} Pelabelan graf ini memiliki aplikasi yang cukup luas seperti dibidang jaringan komunikasi, pengkodean, dan lain lain. Contohnya saja aplikasi penggunaan pelabelan graf ini adalah pada pembuatan user ID sebuah game online, maupun sebagai pembuatan voucher isi ulang kuota. Pelabelan ajaib sisi graf merupakan fungsi bijektif yang memetakan himpunan ke himpunan { Sedemikian hingga untuk konstanta ajaib | | | |}. berlakulah . Bila penjumlahan label sisi dan titik pada graf tersebut memenuhi sebuah konstanta tertentu untuk setiap sisi dan titik

(19) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4 pada graf tersebut, maka dapat dikatakan pelabelan tersebut adalah pelabelan ajaib. Contohnya saja pada graf Cycle dibawah ini. Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle dengan =9 Dari gambar 1.1 di atas terlihat bahwa untuk konstanta ajaib pada graf Cycle adalah 9, perhatikan bahwa jumlah dari 2 titik dan garis yang menghubungkan tersebut diberi label sedemikian hingga untuk setiap sisi pada graf tersebut memiliki jumlah label yang sama yaitu 9. Maka dapat dikatakan untuk pelabelan graf Cycle seperti gambar 1.1 di atas adalah pelabelan sisi ajaib dengan nilai konstanta ajaibnya adalah 9.

(20) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 5 Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle Pada gambar 1.2 di atas bukan pelabelan ajaib sisi pada graf Cycle , karena bila di evaluasi ,maka pelabelan untuk gambar 1.2 tersebut bukan pelabelan ajaib sisi. Berdasarkan hal tersebut, peneliti tertarik untuk meneliti tentang pelabelan ajaib pada graf Cycle. B. Batasan masalah Pada skripsi ini akan membahas graf Cycle total ajaib sisi dengan konstanta ajaib dan pelabelan dengan batas terkecil dan batas terbesar. C. Rumusan masalah Berdasarkan rumusan masalah dan batasan masalah yang sudah dijabarkan di atas, maka untuk rumusan masalah yang diambil adalah : 1. Apakah pelabelan ajaib sisi berlaku pada graf Cycle? 2. Bagaimana cara memberikan pelabelan terhadap graf Cycle? 3. Bagaimana menentukan nilai konstanta ajaib pada graf Cycle ? D. Tujuan penelitian 1. Mengetahui apakah pelabelan ajaib juga berlaku pada graf Cycle 2. Mengetahui cara pelabelan ajaib sisi pada graf Cycle 3. Mengetahui rentang nilai kontanta ajaib pada graf Cycle

(21) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 6 E. Manfaat penelitian 1. Menambah pengetahuan mengenai pelabelan ajaib pada graf . 2. Sebagai motivasi mengajarkan kepada anak anak untuk menyukai pelajaran menghitung. 3. Mengetahui bahwa terdapat konstanta ajaib pada pelabelan sisi graf . 4. Mengetahui aturan untuk memberi pelabelan pada graf agar dapat menemukan konstanta ajaib. F. Metode penelitian 1. Mengumpulkan beberapa dokumen yang berhubungan dengan pelabelan ajaib pada graf Cycle. 2. Membaca dan mempelajari dokumen tersebut. 3. Menganalisis rentan nilai konstanta ajaib pada graf Cycle. 4. Mengetahui cara memberi label pada graf Cycle. 5. Bereksperimen untuk graf Cycle. 6. Menentukan konstanta ajaib untuk graf Cycle. 7. Menemukan aturan pelabelan sisi. G. Sistematika penulisan BAB 1 : Pendahuluan

(22) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7 Pada bab 1 ini diisikan dengan pendahuluan, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan metode penelitian. BAB 2 : Kajian Pustaka Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi mulai dari graf, bobot titik, bobot sisi, sampai pelabelan pada graf. BAB 3 : Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai cara menentukan konstanta ajaib , rentang nilai kontata ajaib . BAB 4 : Algoritma Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle Pada bab 4 ini menjelaskan mengenai algoritma pelabelan total sisi ajaib pada graf Cycle dengen menggunaka program MATLAB 7.1. BAB 5 : Penutup Pada bab 5 ini berisikan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian ini.

(23) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Himpunan Menurut George cantor, himpunan adalah sekelompok objek yang memiliki kesamaan sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas. Sebagai contoh : ο‚· ο‚· Himpunan hewan berkaki 4 { } Himpunan bilangan asli atau { } Berikut adalah beberapa istilah yang biasanya digunakan dalam himpunan: Misal { } , { 1. Himpunan semesta } , dan { } maka : Himpunan semesta adalah himpunan yang menunjukan semua anggota, maka dalam kasus di atas himpunan semestanya adalah itu sendiri 2. Komplemen Jika dengan { 3. Gabungan } , maka komplemen dari himunan { ditunjukan } Gabungan dari himpunan disimbolkan dengan notasi .San dalam contoh di atas maka, himpunan A gabungan himpunan B { 8 }

(24) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 9 4. Irisan Irisan dari himpunan disimbolkan dengan notasi . dan dalam contoh di atas maka , himpunan A irisan himpunan B { } 5. Selisih Selisih dari himpunan disimbolkan dengan notasi . dan dalam contoh di atas maka , himpunan A selisih himpunan B { } B. Pengertian Relasi Misal dan silang kartesius dengan merupakan himpunan tak kosong. Maka hasil kali dengan dan dan himpunan semua pasangan (Bartle, 2010 : Halaman 5). { | } Relasi itu sendiri dapat dinyatakan menjadi 3, yatu : diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius. C. Pengertian Fungsi Dalam matematika, fungsi merupakan relasi yang bersifat khusus. Misal dan merupakan sebuah himpunan, maka dikatakan fungsi, untuk setiap berpasangan dengan tepat satu (Bartle, 2010 : Halaman 5). Fungsi dibagi menjadi 3, yaitu : dapat

(25) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10 1) Pemetaan Injektif Misal merupakan sebuah fungsi, dengan , dikatakan sebagai pemetaan injektif atau pemetaan satu-satu jika memenuhi : Sebagai contoh, misal merupakan sebuah fungsi : 2) Pemetaan Surjektif Misal merupakan sebuah fungsi, dengan . dapat dikatakan sebagai pemetaan surjektif atau pemetaan pada jika memenuhi : Sebagai contoh, misal merupakan sebuah fungsi : 3) Pemetaan Bijektif Misal merupakan sebuah fungsi, dengan . dapat dikatakan sebagai fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu, bila fungsi tersebut memenuhi sifat injektif dan surjektif. D. Pengertian Graf Graf merupakan kumpulan atau himpunan dari titik yang kemudian dihubungkan dengan sebuah garis (Zakira, 2006). Googaire dan Parmenter

(26) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11 juga mendefinisikan graf sebagai himpunan pasangan dimana merupakan himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada . Elemen disebut titik atau vertex dan elemen sisi atau edge . Jika maka dimana merupakan ujung dari dan titik disebut merupakan himpunan pasangan dengan dan , atau dengan kata lain masing masing menghubungkan titik . Graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik yang tidak kosong atau dapat disimbolkan dengan notasi himpunan garis yang dapat disimbolkan dengan notasi dan yang menghubungkan antara 2 titik (Siang, 2002 : Halaman 187). Jadi suatu graf adalah pasangan himpunan tak kosong titik atau dan himpunan tak kosong garis atau , dan dituliskan G = (V,E) . Graf terdiri dari himpunan tak kosong titik atau tak kosong garis atau ke tepat satu titik dan setiap sisi pada graf dan titik , dengan dan himpunan akan dipasangkan , dan titik x dan titik y merupakan ujung dari ruas garis e (Van Lith J. H. : Halaman 1) . 𝑣 𝑒 𝑣 𝑒 𝑒 𝑣 𝑒 𝑒 Gambar 2.1 graf 𝑒 𝑣 𝑒6 𝑒 𝑣

(27) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 12 Berikut beberapa definisi yang berhubungan dengan graf ( Munir , 2001) 1. Gelang atau Loop Suatu sisi dikatakan memiliki gelang atau loop jika ujung salah satu sisinya berawal dan berakhir pada titik yang sama (Munir , 2005). Lihat gambar 2.2 dibawah ini : 𝑒 𝑣 Gambar 2.2 gelang atau loop 2. Rusuk ganda Suatu graf dikatakan memiliki rusuk ganda bila terdapat sepasang titik, katakanlah titik dan yang menjadi sebuah ujung titik atau simpul dari 2 buah garis. 𝑒 𝑣 𝑣 𝑒 𝑒 𝑣 𝑒 𝑒 Gambar 2.3 Graf 𝑒6 𝑣 dengan sisi atau rusuk ganda 3. Bertetangga atau Adjacent Suatu titik pada graf G dikatakan bertetangga apabila pada titik tersebut terhubung dengan ruas garis atau sisi . sebagai contoh, lihat gambar 2.1 , pada gambar tersebut bertetangga dengan . bertetangga dengan ,

(28) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13 4. Berisian atau Incident Untuk sebarang sisi pada graf dapat dikatakan bersisian apabila terdapat sisi yang memiliki ujung sisi yaitu titik dan titik dimana (Munir, 2001). Dan apabila suatu sisi memiliki ujung yang sama, maka dapat dikatakan sebagai gelang atau loop . 5. Lintasan atauPath Lintasan pada graf G adalah barisan titik atau vertex yang membentuk sebuah jalur pada graf tersebut. Sebagai contoh, lihat gambar 2.1 , pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa merupakan sebuah lintasan, sedangkan untuk merupakan lintasan tertutup. 6. Lingkaran atau Cycle Graf lingkaran atau Cycle merupakan graf dengan lintasan tertutup dan dinotasikan dengan 𝑣 dengan v buah garis atau sisi. 𝑒 𝑒 𝑒 𝑣 𝑣 𝑒 𝑣 Gambar 2.4 Graf Cycle

(29) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14 Sebagai contoh lihat gambar 2.4, gambar di atas adalah gambar graf lingkaran atau Cycle , yaitu graf tertutup dengan lintasan . 7. Graf tak berarah Sebuah graf dikatakan sebagai graf tidak berarah apabila pada ruas garis atau sisi pada graf tersebut yang menghubungkan antara 2 titik tidak diberi arah. Sehingga urutan pasangan titik pada graf tersebut tidak diperhatikan. Sebagai contoh lihat pada gambar 2.4 . pada gambar di atas terlihat bahwa pasangan titik dan sama, karena sisi yang menghubungkan antara 2 titik tersebut tidak terdapat arah. 8. Graf berarah Sebuah graf G dikatakan berarah apabila pada ruas garis atau sisi yang menghubungkan antara 2 titik tersebut diberi arah. Sehingga mengakibatkan urutan pasangan titik tersebut juga diperhatikan. 𝑣 𝑒 𝑣 𝑒 𝑒 𝑣 𝑒 Gambar 2.5 Graf Berarah 𝑒 𝑣

(30) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 Pada gambar di atas maka terlihat jelas bahwa untuk titik sebagai titik awal, dan titik dinotasikan dengan 9. adalah sebagai titik terminal, atau dapat . Graf berbobot Suatu graf dikatakan graf berbobot apabila tiap sisi dan titik pada graf tersebut diberi label. Tiap 1 titik hanya diberikan 1 label dan tiap 1 sisi juga diberikan label, sehingga semua elemen sisi dan titik pada graf akan memiliki label yang berbeda satu sama lain. Pada graf berbobot ini, terdapat 2 jenis yaitu bobot titik dan bobot sisi. Untuk bobot titik dengan menghitung : βˆ‘ Dimana dan . Dan untuk bobot sisi dengan menghitung Dimana ( ) dan . ( ) ( ) Masing masing dari bobot titik dan bobot sisi tersebut memiliki keunikan tersendiri, yaitu memiliki nilai yang sama apa bila menghitung bobot sisi atau bobot titik pada graf tersebut. Dan keunikan ini yang dinamakan dengan pelabelan ajaib.

(31) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16 Untuk bobot titik, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib pada titik graf , dan untuk bobot sisi, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib pada graf. 10. Bobot Titik Bobot titik merupakan jumlah dari label yang diperoleh dari titik dengan menjumlahkan semua ruas sisi yang memiliki ujung titik yang sama dengan ( Stewart , 1966) , sehingga dapat dinotasikan dengan : βˆ‘ 11. Bobot Sisi Bobot sisi merupakan jumlah dari label yang diperoleh dengan menjumlahkan label yang terdapat pada 2 buah titik yang bertetangga yang dihubungkan dengan label ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut ( Stewart , 1966 ) .sehingga dapat dinotasikan dengan : E. Pelabelan Graf Pelabelan graf pada titik dan sisi dengan memetakan setiap elemen titik dan sisi ke tepat satu label. Sehingga banyak label yang diperlukan

(32) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17 untuk memberikan label pada tiap titik dan sisi pada graf yang mungkin akan ada sebanyak { | | | |} . Pelabelan graf apabila di evaluasi, maka akan ada yang namanya bobot titik dan bobot sisi (Walis, W. D. 2001) . Misal fungsi dengan { disimbolkan dengan . Misal himpunan dengan | | | |} dan merupakan sebuah merupakan sebuah , sehingga untuk bobot titik dan bobot sisi dan merupakan sisi pada graf yang salah satu ujung dari sisi tersebut adalah titik , sehingga untuk bobot titik diperoleh : βˆ‘ Misal untuk dan tersebut adalah titik dan titik ( ( ) dengan ujung dari sisi , sehingga untuk bobot sisi diperoleh : ) ( ) Berdasarkan bobot titik dan bobot sisi, maka pelabelan graf dibagi menjadi : 1. Pelabelan tidak ajaib Suatu graf dikatakan tidak memiliki pelabelan ajaib jika label pada titik dan label pada garis graf tersebut dievaluasi dengan menggunakan bobot titik atau bobot sisi tidak memiliki nilai konstanta yang sama.

(33) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 2. Pelabelan ajaib Suatu graf dapat dikatakan memiliki pelabelan ajaib jika label tidak titik dan tiap sisinya di evaluasi dengan bobot sisi maupun dengan bobot titik, akan memiliki nilai yang sama. Berdasarkan pelabelan ajaib pada graf, maka pelabelan ajaib pada graf dibagi menjadi 3, yaitu : 1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Pelabelan ajaib pada sisi graf ini dengan memulai pelabelannya terhadap tiap titik pada graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan tertentu sedemikian hingga tiap titik pada graf tersebut memiliki label yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib , dan kemudian dilanjutkan dengan memberi label pada sisi graf dengan cara untuk setiap yang sudah dibeli label. Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle 2. Pelabelan Total Ajaib Titik Pada Graf Pelabelan ajaib pada titik graf ini dengan memulai pelabelannya terhadap sisi graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan tertentu sedemikian hingga tiap sisi pada graf tersebut memiliki label yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib, kemudian

(34) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19 dilanjutkan dengan memberi label pada tiap titik pada graf tersebut dengan cara βˆ‘ untuk setiap yang sudah diberi label. Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda 3. Pelabelan Total Pada Graf Pelabelan total pada graf ini adalah pelabelan dengan memberi pelabelannya langsung terhadap sisi dan titik pada graf tersebut, namun dengan syarat dan ketentuan tertentu sedemikian hingga pada graf tersebut bila dievaluasi dengan menggunakan bobot titik dan bobot sisi akan memiliki nilai yang masing masing sama. Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib

(35) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB III PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Karena pada graf Cycle , banyaknya elemen titik sama dengan banyaknya elemen sisi, misal | | menyatakan banyaknya elemen titik dan | | menyatakan banyaknya elemen sisi, sehingga | | | | dengan . Berdasarkan defisini, pelabelan total sisi pada graf merupakan { titik dan sebuah } fungsi bijektif , dengan . Karena pada graf memiliki buah sisi, sehingga untuk buah dan , maka konstanta ajaib pada graf tersebut dapat dicari dengan : (3.1) Dengan adalah konstanta ajaib pada graf untuk setiap garis dan dan pada sisi dikatakan bahwa merupakan konstanta ajaib dari graf tersebut, . maka dapat tersebut (W. D. Wallis : hal 17). Karena graf memiliki buah titik dan buah sisi yang sama banyak, maka banyaknya label yang diperlukan untuk memberi label pada dan akan ada sebanyak 20 .

(36) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21 Gambar 3.1 Graf Cycle Misal adalah total label titik, dan dan pada graf Cycle adalah total label sisi, , perhitungan label titik dihitung 2 kali, sedangkan label sisi di hituung 1 kali, sehingga: Karena pada graf Cycle memiliki buah titik dan buah sisi, maka βˆ‘ (3.2)

(37) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22 Karena pada pelabelan graf , jumlah nilai untuk label titiknya juga terbatas, misalkan saja adalah himpunan terbatas dengan { } untuk label titiknya, dan adalah jumlah dari semua label titik pada graf tersebut. Misal untuk titik 1 sampai titik diberi label dengan bilangan asli pertama, maka jumlah label titik tersebut : βˆ‘ Kemudian bisa juga untuk label titiknya diberikan label dengan label sampai , sehingga untuk label : βˆ‘ Karena dapat diberi label bilangan asli pertama, maka akan memiliki jumlah label titik yang terkecil dari pada dengan label sampai . Sehingga akan berada pada interval : βˆ‘ Bila βˆ‘ merupakan label untuk titik di graf merupakan label sisi pada graf , dan , maka dengan dualitas graf, dapat dibuat sebuah pelabelan baru dengan aturan :

(38) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23 B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle Graf Cycle adalah graf reguler dengan derajat 2, sehingga banyak titik dan garis nya sama. 1. Batas jumlah label titik atau Karena Cycle adalah jumlah semua label titiknya, dan pada graf banykanya titik dan sisi sama. maka dengan menggunakan jumlahan notasi sigma, batas menjadi : βˆ‘ βˆ‘ Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada graf Cycle dengan batas jumlah titiknya diantara : Dengan (3.4) 2. Batas nilai konstanta ajaib Karena terbatas, maka untuk konstanta ajaib nya juga terbatas, karena konstanta ajaib titik atau pada graf Cylce diperolehlah : dipengaruhi oleh batas jumlah label . dan berdasarkan persamaan (3.2) maka

(39) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24 Subtitusikan kedalam pertidaksamaan (3.4) Ketiga ruas dibagi dengan , sehingga diperoleh Dan untuk batas konstanta ajaib genap juga berbeda, untuk batas pada graf Cycle dengan βˆ‘ βˆ‘ pada graf Cycle dengan genap : βˆ‘ Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada graf Cycle dengan genap :

(40) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 Dengan (3.6) Kemudian dengan cara yang sama, subtitusikan pada persamaan (3.6) sehingga diperolehlah batas ajaib pada graf Cycle dengan genap (3.7) Sehingga sekarang diperolehlah batas atas dan batas bawah untuk konstanta ajaib pada graf Cycle dengan masing masing untuk ganjil dan genap. Untuk batas konstanta ajaib pada ganjil

(41) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26 . Dan untuk batas konstanta ajaib pada genap yaitu . C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle Pada pelabelan total sisi ajaib pada graf cara untuk menentukan konstanta ajaib ini ada banyak . Dari pertidaksamaan di atas, dapat dilihat bahwa untuk konstanta ajaib memiliki batas atas dan batas bawah, namun tidak selalu untuk setiap yang berada diantara batas bawah dan batas atas tersebut selalu terdapat konstanta ajaib Kontanta ajaib pada graf Cycle memiliki ajaib, maka dari itu konstanta ajaib . buah kontanta dapat diperoleh dari persamaan (3.2) menjadi : (3.8) 1. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan titik nya ganjil, label

(42) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27 , sehingga diperolehlah Misal , maka Karena subtitusikan ke persamaan (3.8). ( Karena ) , maka . kemudian

(43) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28 Untuk ganjil dengan ditentukan konstanta ajaib , maka dapat . Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan genap, maka diperolehlah : Misal Karena subtitusikan , sehingga diperolehlah , maka ke persamaan (3.8). . kemudian

(44) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29 (3.9) 2. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap Untuk konstanta ajaib , maka pada graf Cycle dengan . kemudian subtitusikan kedalam persamaan (3.9) sehingga diperolehlah Untuk genap dengan ditentukan konstanta ajaib 3. , maka dapat . Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap Untuk konstanta ajaib maka pada graf Cycle dengan . kemudian persamaan (3.9) sehingga diperolehlah : subtitusikan , kedalam

(45) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30 Untuk genap dengan ditentukan konstanta ajaib . , maka dapat

(46) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB IV ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF CYCLE Pada pelabelan total sisi ajaib graf Cycle, label yang diberikan untuk tiap titik dan sisi graf Cycle { | | akan ada sebanyak | |}, dengan aturan tertentu yang membuat jumlah tiap total tiap titik pada graf Cycle mempengaruhi untuk nilai k ajaib, dimana k merupakan konstanta ajaib dengan menjumlahkan ( ) dan , dimana ( ) masing masing merupakan label titik merupakan label sisi. pada graf Cycle dan A. Proses pelabelan pada graf Cycle Pada pelabelan ini, tiap titik dan tiap sisi dinotasikan sendiri dengan dan , dengan dan akan ada sebanyak simbol yang akan digunakan pada pelabelan graf Cycle Simbol . berikut simbol . Keterangan Label titik pada graf Cycle yang dimulai dari , , ...... , Label sisi pada graf Cycle yang dimulai dari , ...... , 31 ,

(47) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Konstanta ajaib pada graf Cycle Matrik yang berisikan hasil dari label yang sudah diperoleh Matrik berukuran yang berisikan bilangan noll yang yang akan digunakan untuk membuat label titik Matrik berukuran yang berisikan bilangan noll yang yang akan digunakan untuk label titik Matrik berukuran yang berisikan bilangan noll yang yang akan digunakan untuk membuat label sisi B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle Dalam memangun sebuah program untuk algoritma ini, diperlukan sebuah rancangan terlebih dahulu untuk memulainya, dengan mula mula merancang program tersebut dengan menggambar diagram flowcart, kemudian membuat sebuah algoritma dari diagram flowcart tersebut, dan yang terakhir adalah membahasakan kembali program tersebut kedalam bahasa pemrograman MATLAB 7.1 . Berikut adalah diagram flowcart alur pelabelan graf. Dan pada diagram tersebut dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu input, proces, output. 32

(48) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33 Gambar 4.1 Diagram flowcart Dalam diagram flowcart diatas, pelabelan menjadi 3 bagian, yaitu bagian input, proses, dan output. 1. Bagian input Pada bagian input ini, diawali dengan memasukan banyak titik yang diinginkan, dalam hal ini banyak nilai dengan syarat . setelah memasukan nilai v, maka akan program akan membaca nilai apakah nilai memenuhi syarat , apabila nilai sudah memenuhi makan langkah selanjutnya program akan membaca apakah nilai tersebut . dan apabila nilai atau atau tidak memenuhi maka langkah selanjutnya program akan mengulangi dengan memasukan nilai v kembali.

(49) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 34 Gambar 4.2 Diagram flowcart 2 2. Bagian proses Setelah program membaca nilai v, maka langkah selanjutnya adalah bagian proses. Berdasarkan diagram flowcart diatas terbagi menjadi 3 bagian yang terdiri dari , . Pada pelabelan ini, matrik , yang berukuran akan digunakan untuk penomoran pada graf cycle, dan matrik berukuran dan matrik yang akan digunakan untuk label tiap titik pada graf cycle, yang berukuran akan digunakan untuk label tiap sisi pada graf cycle a. Pada bagian ini, program akan membaca sebagai nilai ganjil. mula mula pelabelan dari titik pertama sampai titik berselisih 2, kemudian untuk label titik tersebut diberi label mulai dari 1 sampai . selanjutnya untuk label selanjutnya dimulai

(50) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35 dari titik ke 2 sampai titik dengan selisih 2, kemudian untuk label titik tersebut, dengan membalik matrik V terlebih dahulu, dan kemudian diberikan label dari sampai , setelah itu matrik V tersebut dibalik kembali. Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3 Karena akan dibuat pelabelan dengan ajaib terkecil, sehingga untuk label sisi pada graf cycle dengan mengurangkan dengan 2 label titik nya,

(51) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36 Gambar 4.4 Diagram folwcart 4 Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian dibuatlah pelabelan baru dengan ajaib terbesarnya, yaitu dengan menggunakan Duallity Gambar 4.5 Diagram flowcart 5 b. Pada bagian ini, program akan membaca v sebagai kelipatan 4. matrik di isikan pelabelan dari titik 1 sampai dengan selisih 2 , dan kemudian dilanjutkan dengan pelabelan pada matrik yang dimulai dari sampai dengan selisih 2 .Kemudian pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik 6 selisih 2 . Untuk pelabelan pada titik 2 dengan dengan sampai v-1 dengan .

(52) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37 Gambar 4.6 Diagram flowcart 6 Kemudian cara untuk memberi label pada tiap sisi nya juga sama dengan mencari label sisi pada mengurangkan ganjil, yaitu dengan ajaib dengan 2 titik ujung sisi tersebut.

(53) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38 Gambar 4.7 Diagram flowcart 7 Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian dibuatlah pelabelan baru dengan ajaib terbesarnya, yaitu dengan menggunakan Duallity Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8 c. Pada bagian ini, program akan membaca nilai nilai genap yang selain bilangan kelipatan 4. matrik pelabelan dari titik 1 sampai diteruskan pada titik matrik di isikan dengan selisih 2 , dan kemudian ,dilanjutkan dengan pelabelan pada yang dimulai dari di lanjutkan pada titik sebagai sampai -1 dengan selisih 2 , dan . pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai dengan selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik 6 v-2 dengan selisih 2 . Untuk pelabelan pada titik 2 dengan sampai .

(54) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39 Gambar 4.9 Diagram flowcart 9 Kemudian untuk label sisinya juga menggunakan cara yang sama, yaitu dengan mengurangkan nilai titik pada ujung sisi tersebut. ajaib dengan 2

(55) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10 Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian dibuatlah pelabelan baru dengan ajaib terbesarnya, yaitu dengan menggunakan Duallity. Gambar 4.11 Diagram flowcart 11 3. Bagian output Setelah selesai dengan pelabelan di atas, kemudian dapat dilakukan pelabelan kembali dengan cara setiap label pada titik ditambah dengan dengan konstanta sehingga memperoleh nilai ajaib yang baru. Setelah mendapatkan label titik dan label sisi dari bagian proses, maka langkah selanjutnya menampilkan matrik dengan adalah bagian outoutnya, yaitu yang berisikan . . merupakan nomor bagi titik pada graf cycle dengan penomorannya berlawanan jarum jam. dan merupakan berturut turut adalah label titik dan label sisi pada 1 graf yang sama, dan

(56) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41 dan merupakan label titik dan label sisi yang baru pada graf yang berbeda. Gambar 4.12 Diagram flowcart 12 C. Deskripsi AlgoritmaPelabelan Total Sisi Ajaib Menggunakan MATLAB 7.1 1. Bagian input Langkah 1 : Masukkan nilai Langkah 2 : Membaca nilai Jika maka ulangi langkah 1 Langkah 3 : Menampilkan matrik 2. Bagian proses berisikan bilangan noll [ dan matrik yang ] sebanyak a.) Bagian Langkah 1 : Membuat penomoran pada matrik dari 1 sampai dengan selisih 2 Langkah 2 : Membuat label berdasarkan nomor yang telah dibuat pada matrik pada matrik dengan

(57) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 Langkah 3 : Mebuat matrik matrik dengan isian nomor 2 dan dengan label yang sesuai dengan isian matrik A yang baru Langkah 4 : Membuat matrik dengan penomoran lagi mulai dari nomor 4 sampai dengan selisih 2 Langkah 5 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik pada matrik Langkah 6 yaitu dengan : Membuat matrik sampai dari nomor Langkah 7 yaitu dengan : Membuat matrik dari nomor Lngkah 9 dengan selisih 2 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik pada matrik Langkah 8 dengan penomoran lagi mulai 6 dengan penomoran lagi mulai sampai dengan selisih 2 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik pada matrik yaitu dengan Langkah 10 : Membuat ajaib terkecilnya dengan Langkah 11 : Membuat label sisi dengan Langkah 12 :Membuat pelabelan titik yang baru dengan dan pelabelan sisi yang baru dengan

(58) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43 Langkah 13 :Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai langkah 12 dengan setiap { b.) Bagian Langkah 1 : Membuat penomoran pada matrik dari 1 sampai dengan selisih 2 Langkah 2 : Membuat label berdasarlan nomor yang telah dibuat pada matrik Langkah 3 pada matrik : Mebuat matrik dengan dengan isian nomor 2 dan matrik dengan label yang sesuai dengan isian matrik A yang baru Langkah 4 : Mebuat matrik dengan isian nomor dan matrik dengan label yang sesuai dengan isian matrik A yang baru Langkah 5 : Mebuat matrik matrik Langkah 6 dengan isian nomor dan dengan label yang sesuai dengan isian matrik A yang baru 6 : Membuat matrik dengan penomoran lagi mulai dari nomor 4 sampai dengan selisih 2

(59) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44 Langkah 7 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik pada matrik Langkah 8 yaitu dengan : Membuat matrik dari nomor Langkah 9 dengan selisih 2 yaitu dengan : Membuat matrik dari nomor Langkah 11 sampai : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik pada matrik Langkah 10 dengan penomoran lagi mulai 6 dengan penomoran lagi mulai sampai dengan selisih 2 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik pada matrik yaitu dengan Langkah 12 : Membuat ajaib terkecilnya dengan Langkah 13 : Membuat label sisi dengan Langkah 14 : Membuat pelabelan titik yang baru dengan dan pelabelan sisi yang baru dengan Langkah 15 :Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai langkah 14 dengan setiap { c.) Bagian

(60) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45 Langkah 1 : Membuat matrik berisikan nomor dari 1 sampai dengan berselisih 2 Langkah 2 : Membuat label yang sesuai dengan matrik matrik Langkah 3 pada dengan : Membuat matrik penomoran lagi dari 2 sampai dengan selisih 2 Langkah 4 : Balik terlebih dahulu matrik sebelum melukukan pelabelan terhadap matrik Langkah 5 : Membuat label yang sesuai dengan matrik matrk pada yang sudah dibalik dengan Langkah 6 : Membuat ajaib terkecilnya dengan Langkah 7 : Membuat label sisi dengan Langkah 8 : Membuat pelabelan titik yang baru dengan dan pelabelan sisi yang baru dengan Langkah 9 : Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai langkah 8 dengan setiap { 3. Bagian output Langkah 1 : Membuat matrik dan sisi berisikan[ yang untuk menampilakn label titik telah diperoleh ] dengan

(61) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 46 D. Simulasi Pelabelan Total Sisi Ajaib Dengan Menggunakan Aplikasi MATLAB 7.1 Setelah selesai dengan diagram flowcart, kemudian dari diagram tersebut dapat diubah kedalam bahada komputer atau biasa dikenal dengan bahasa pemrograman. Dan untuk mensimulasikan diagram tersebut dengan menggunakan program MATLAB 7.1 , dengan input sebagai banyaknya titik dari graf cycle, akan menghasilkan output berupa matrik berisikan yang . Mula mula pada command windows akan muncul seperti gambar berikut, Gambar 4.13 Input matlab Dari gambar di atas terlihat bahwa sebagai input untuk menentukan banyaknya titik pada graf cycle , untuk mensimulasikan, misal ambil . maka command windows selanjutnya akan menampilkan sebagai berikut :

(62) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 47 Gambar 4.14 Hasil output Dari hasil tampilan command windos di atas, diperolehlah label untuk tiap titik dan sisi pada graf cycle. Untuk kolom 1 tersebut adalah nomor untuk label titiknya, untuk kolom 2 merupakan label titik dan kolom 3 untuk label sisi pada graf, dengan nikai k ajaib terkecilnya adalah 17, kemudian untuk kolom 5 merupakan label titik yang baru, dan kolom 6 merupakan label sisi yang baru pada graf dengan kontanta ajaib terbesarnya adalah 22. Kemudian setelah mendapatkan hasil dari command windows tersebut, dibuatlah graf cycle tersebut, dengan langkah langkah sebagai berikut : 1. Membuat graf 6 Gambar 4.15 Graf Cycle

(63) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48 2. Memberikan label pada tiap titiknya Dari hasil command windowsdi atas, diperolehlah label titiknya pada kolom 2 dan pada kolom 5, yaitu 1, 9, 2, 3, 4, 5 dan 12, 4, 11, 10, 9, 8 . Kemudian cara memberikan labelnya dengan berlawanan dengan jarum jam Gambar 4.16 pelabelan pada graf Cycle 4. Memberikan label pada tiap sisinya Untuk label pada sisi graf 6 , terdapat pada kolom 3 dan kolom 6 . untuk kolom 3 dengan label sisinya 7, 6, 12, 10, 8, 11 , dan untuk graf 6 yang baru dengan label sisinya 6, 7, 1, 3, 5, 2 . dengan cara yang sama dengan memberikan label dengan berlawanan dengan jarum jam. Gambar 4.17 Pelabelan ajaib sisi graf cycle

(64) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 49 Berdasarkan dari gambar di atas, bobot sisi pada gambar di atas 6 6 6 6 6 6 Dan pada gambar graf 6 6 baru, bobot sisinya : 6 6 6 6 6 E. Kekurangan pada pelabelan sisi graf Cycle Dalam melakukan pelabelan menggunakan program MATLAB 7.1 ini memiliki beberapa kekurangan dalam melakukan pelabelan pada graf cycle ini, diantaranya : 1. Batas konstanta ajaib yang mungkin. hanya untuk terkecil dan terbesar saja

(65) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50 2. Banyaknya kemungkinan cara untuk memberikan label pada tiap titik dan sisi graf sehingga akan ada banyak kemungkinan cara untuk memberikan label, dan membutuhkan waktu yang lama untuk menentukan sebuah algoritma untuk membuatnya. 3. Tidak ada pilihan untuk memilih kontanta ajaib . 4. Bahasa pemrograman terlalu panjang F. Pemanfaatan Pelabelan Ajaib pada Graf Cycle Pemanfaatan pelabelan ajaib sisi ini juga dapat diterapkan pada kehidupan sehari hari, seperti : 1. Sebagai kode saat tes menggunakan komputer sebagai kode Pada era modern yang serba teknologi ini, banyak sekali penggunaan komputer yang diperuntukkan untuk memasuki dunia kerja, terlebih lagi dalam hal untuk tes masuk dunia kerja atau untuk diterima disebuah lembaga atau perusahaan negara. Tes tersebut kini sudah menggunakan sistem CAT , yang dimana sertiap komputer diminta menginputkan kode atau sandi yang berbeda satu sama lain namun tetap masuk kedalam server yang sama. Dalam hal ini tentu pembuatan kode atau sandi tersebut dibuat tidak sembarangan, tentunya memiliki aturan tertentu sedemikian hingga setiap komputer memiliki sandi yang berbeda dengan komputer yang lain. Dan dalam hal ini pembuatan sandi dapat dilakukan dengan menggunakan pelabelan ajaib sisi.

(66) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51 Dalam pembuatan sandi menggunakan pelabelan total ajaib sisi graf Cycle ini, tentu akan memberikan kemudahan dalam menentukan kata sandi. Misalkan dalam berlangsungnya tes terdiri dari 2 sesi, maka dengan menggunakan algoritma pelabelan total ajaib sisi akan dengan mudah memberikan berbagai kode yang dimana nanti akan digunakan untuk memberikan sandi kepada setiap komputer. Andai dalam suatu ruang tes CAT (Computer Asissted Test) dengan menggunakan komputer terdapat 20 komputer yang masing masing akan memiliki kode masing masing yang akan di inputkan peserta tes. Maka dapat dilakukan pengkodean dengan menggunakan pelabelan ajaib sisi . dan akan semakin jelas dengan memperhatikan gambar dibawah ini : Gambar 4.18 letak tatanan komputer

(67) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52 Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Cycle dibentuk menyesuaikan dengan banyaknya komputer yang ada dalam rungan. Kemudian dengan menggunakan algoritma mathlab 7.1 diperolehlah: Gambar 4.19 hasil output dengan Dari tabel command windows di atas dapat dilihat bahwa untuk terkecil memiliki nilai 52 dan untuk terbesar memiliki nilai 71 .sehingga memungkinkan untuk dibuat 2 macam kode. Semisal untuk kode dengan menggukanan untuk tes pada sesi 1. terkecil digunakan

(68) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53 k ajaib 52 2. no. Komp. V E v mod 26 Sandi 1 1 21 30 A A2130 2 30 20 2 D D202 3 2 38 12 B B3812 4 12 37 3 L L373 5 3 36 13 C C3613 6 13 36 4 M M364 7 4 36 14 D D3614 8 14 33 5 N N33 9 5 32 15 E E3215 10 15 31 6 O O316 11 6 39 7 F F397 12 7 29 16 G G2916 13 16 28 8 P P288 14 8 27 17 H H2717 15 17 26 9 Q Q269 16 9 25 18 I I2518 17 18 24 10 R R2410 18 10 24 19 J J2419 19 19 22 11 S S2211 20 11 40 1 K K401 Sebagai kata sandi ataupassword isi ulang kuota Sebagian orang yang sering menggunakan smartphone, memilih untuk mengganti kartu khusus untuk internet atau kartu kuota, namun tidak jarang pula beberapa orang malas untuk

(69) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 54 melakukan unreg pada kartu tersebut karena dinilai merepotkan, dan memilih untuk membeli voucheratau kuota isi ulang dari pada mengganti kartu. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar dibawah ini : Gambar 4.20 hasil output untuk Dari gambar di atas didapatlah ajaib untuk Yaitu 39 dan 54 . Dalam membuat password atau kata sandi tentu menggunakan aturan agar kata sandi yang diperoleh antara satu orang dengan yang lain berbeda, namun tetap mendapatkan kuota yang sama. Misalnya saja untuk pembeli kuota isi ulang A mendapat kata sandi ataupassword 1299 sedangkan untuk pembeli B mendapat kata sandi ataupassword9282 , dengan aturan kata sandi yang digunakan adalah 3. Sebagai pembuatan ID server game online .

(70) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 55 Sekarang ini tidak dapat dipungkiri lagi bahwasannya game online telah digandrungi banyak kalangan mulai dari usia anak anak sampai orang dewasa. Sebut saja game online yang pada sekarang ini sedang naik daun, Mobile legend. Game yang satu ini baru bari ini sedang populer dikalangan pecinta game, selain game yang bisa mengajak teman untuk bermain bersama, juga baru baru ini game yang satu ini sudah masuk dalam kategori cabang olah raga ASEAN GAME 2019. Tentu dalam pembuatan akun setiap orang akan mendapatkan sebuah ID dan nomor server yang berbeda untuk masing masing orang, dan dalam pembuatan ID ini tentu saja dapat dimodelkan dengan menggunakan pelabelan ajaib sisi graf. Perhatikan gambar dibawah ini: Gambar 4.21 contoh penerapan Pada bagian kanan atas tertera ID pengguna, dan setiap pengguna tentu memiliki ID yang berbeda beda satu sama lain, dan

(71) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 56 pembuatan ID dapat menggunakan pelabelan graf. Misalnya saja untuk nya 100 , maka diperolehlah pelabelannya sebagai berikut : Gambar 4.22 hasil output untuk Maka untuk seseorang yang ingin membuat akun akan mendapatkan ID, misalnya saja seseorang tersebut adalah orang yang ke-17 , maka orang tersebut akan memndapatkan ID 918459 , dan ID tersebut diperoleh dengan .

(72) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 57 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Setelah membahas mengenai skripsi tentang pelabelan ajaib pada graf Cycle ini, diperoleh lah beberapa kesimpulan, diantaranya : 1. Pelabelan ajaib berlaku pada graf Cycle 2. Pelabelan ajaib pada graf Cycle , dan 3. Pelabelan masing masing jenis Cycle , 5. Untuk nilai konstanta memiliki interval nilai 6. Untuk nilai konstanta memiliki interval nilai . dibedakan menjadi 3 , yaitu untuk , 4. Batas konstanta ajaib dengan . saling berbeda antara , dan . memiliki interval ajaib pada graf Cycle yaitu : dengan ganjil dengan ganjil . ajaib pada graf Cycle yaitu: . B. Saran 1. Untuk penelitian yang selanjutnya dapat membahas mengenai hal yang sama namun dengan pelabelan ajaib titik 2. Untuk penelitian selanjutnya dapat juga dengan membahas pelabelan ajaib pada graf multi Cycle . 3. Penggunaan bahasa pemrograman yang ringkas akan jauh lebih bagus.

(73) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Daftar Pustaka A. kotzig and A. Rosa, Magic valuations of finite graphs. Canad. Math. Bull. 13 (1970), 451 – 461. B. M. Stewart, Magic graph. Canad J. Math. 18 (1966), 1030 – 1059. Bartle, R. G. 2010. Introducyion to Real Analysis – 4th .Urbana : Illinois Hariyadi, Petrus Tri . 2017 . Pelabelan Ajaib Pada Graf Roda , skripsi matematika . Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma. J. A. Gallian, A dynamic survey of graph labeling. Electronic J. Combinatorics 5 (1998), Dynamic Survey #DS6. J. Sedlacek, problem 27. Theory of graphs and its aplications. (smolenice, 1964), 163 – 164 Publ. House Czechoslovak Acad. Sci., Prague (1964). Munir, Rinaldi . 2001 . Matematika Diskrit . Bandung : Informatika Bandung. Rizki, Swaditya. PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL . 2012 . Universitas Muhammadiyah Metro : Lampung. Suwarman, Ramdhan Fazrianto . 2010 . Pelabelan Gracefull Dan Konsekutif Pada Graf Lintasan , skripsi matematika . Jakarta : Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah. Walis, W. D. 2001. Magic Graph . New York : Birkhauser. 58

(74) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI LAMPIRAN clear all clc disp('======================================================') disp('==============program mencari k ajaib=================') disp('==================pada graf Cycle=====================') disp('======================================================') disp(' ') %bagian awal disp('program k ajaib graf Cv dengan v buah titik'); v=input('sekarang masukkan nilai v buah titik nya = '); if v <3 disp('v nya harus lebih dari 3'); disp(' ');v=input('masukkan nilai v = '); end A=zeros(1,v) %nomor V=zeros(1,v) %label v E=zeros(1,v) %label E %bagian proses %>>>>>>>>>>>>>>bagian v=0 (mod 4) / kelipatan 4<<<<<<<<<<<<<<<<<<< if mod(v,4)==0 t=(v/2) a1=1:2:t+1 a=[a1 zeros(1,(v-(numel(a1))))] for i=1:numel(a1) A(a(i))=a(i) V(a(i))=(a(i)+1)/2 end V(2)=3*t;A(2)=2 disp('------------------------------------------------------') b1=4:2:t b2=[zeros(1,3) b1] b=[zeros(1,3) b1 zeros(1 , numel(b2))] for i=4:numel(b2) A(b(i))=b(i) V(b(i))=(b(i)+2*t)/2 end disp('------------------------------------------------------') c1=(t+2):2:(2*t) c2=[zeros(1,t+1) c1] c=[c2 zeros(1,(v-numel(c2)))] for i=(t+2):numel(c2) A(c(i))=c(i) V(c(i))=(c(i)+2)/2 end disp('------------------------------------------------------') d1=(t+3):2:(2*t-1) d2=[zeros(1,(t+2)) d1] d=[d2 zeros(1,(v-numel(d2)))] for i=(t+3):numel(d2) A(d(i))=d(i) V(d(i))=(2*t+d(i)-1)/2 end 59

(75) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 60 k=(sum(V)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<<<< for i=1:v-1 E(i)=k-V(i)-V(i+1) end E1=[zeros(1,v-1) (k-V(1)-V(v))];E=E+E1 for i=1:v V1(i)=2*v+1-V(i) E1(i)=2*v+1-E(i) end k1=V1(1)+V1(2)+E1(1) end %bagian2 if mod(v,4)==0 t=(v/2) w1=1:2:t+1 w=[w1 zeros(1,(v-(numel(w1))))] for i=1:numel(w1) A2(w(i))=w(i) V2(w(i))=((w(i)+1)/2)+v-1 end V2(2)=v-((v/2)+1);A2(2)=2 disp('------------------------------------------------------') x1=4:2:t x2=[zeros(1,3) x1] x=[zeros(1,3) x1 zeros(1 , numel(x2))] for i=4:numel(x2) A2(x(i))=x(i) V2(x(i))=((x(i)+2*t)/2) +v-1 end disp('------------------------------------------------------') y1=(t+2):2:v y2=[zeros(1,t+1) y1] y=[y2 zeros(1,(v-numel(y2)))] for i=(t+2):numel(y2) A2(y(i))=y(i) V2(y(i))=((y(i)+2)/2)+v-1 end disp('------------------------------------------------------') z1=(t+3):2:(v-1) z2=[zeros(1,(t+2)) z1] z=[z2 zeros(1,(v-numel(z2)))] for i=(t+3):numel(z2) A2(z(i))=z(i) V2(z(i))=((2*t+z(i)-1)/2)+v-1 end k2=(sum(V2)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<< E2=zeros(1,v) for i=1:v-1 E2(i)=k2-V2(i)-V2(i+1) end E3=[zeros(1,v-1) (k2-V2(1)-V2(v))];E2=E2+E3 for i=1:v V3(i)=2*v+1-V2(i) E3(i)=2*v+1-E2(i) end k3=V3(1)+V3(2)+E3(1)

(76) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 61 end %>>>>>>>>>>>>>>>>>bagian v=2 (mod 4)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< if mod(v,4)==2 t=(v/2);M=1:v a1=1:2:t a=[a1 zeros(1,(v-numel(a1)))] for i=1:numel(a1) A(a(i))=a(i) V(a(i))=(a(i)+1)/2 end A(2)=2;V(2)=3*t disp('------------------------------------------------------') b1=4:2:t-1 b2=[(zeros(1,3)) b1] b=[b2 (zeros(1,(numel(b2))))] for i=4:(numel(b2)) A(b(i))=b(i) V(b(i))=(b(i)+2*t+2)/2 end disp('------------------------------------------------------') c1=(t+2):2:(2*t-1) c2=[zeros(1,t+1) c1] c3=zeros(1,(v-numel(c2))) c=[c2 (zeros(1 , (v-numel(c2))))] for i=(t+2):(numel(c2)) A(c(i))=c(i) V(c(i))=(c(i)+3)/2 end disp('------------------------------------------------------') d1=(t+3):2:(2*t-2) d2=[(zeros(1,t+2)) d1] d=[d2 (zeros(1,(v-numel(d2))))] for i=(t+3):(numel(d2)) A(d(i))=d(i) V(d(i))=(2*t+d(i))/2 end A(t+1)=t+1;V(t+1)=(t+3)/2 A(2*t)=2*t;V(2*t)=t+2 k=(sum(V)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<<<<< for i=1:v-1 E(i)=k-V(i)-V(i+1) end E1=[(zeros(1,v-1)) (k-V(1)-V(v))];E=E+E1 for i=1:v V1(i)=2*v+1-V(i) E1(i)=2*v+1-E(i) end k1=V1(1)+V1(2)+E1(1) end %bagian2 if mod(v,4)==2 t=(v/2); w1=1:2:t w=[w1 zeros(1,(v-numel(w1)))] for i=1:numel(w1)

(77) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 62 A2(w(i))=w(i) V2(w(i))=((w(i)+1)/2)+v-1 end A2(2)=2;V2(2)=(v/2)-1 disp('------------------------------------------------------') x1=4:2:t-1 x2=[(zeros(1,3)) x1] x=[x2 (zeros(1,(numel(x2))))] for i=4:(numel(x2)) A2(x(i))=x(i) V2(x(i))=((x(i)+2*t+2)/2)+v-1 end disp('------------------------------------------------------') y1=(t+2):2:(v-1) y2=[zeros(1,t+1) y1] y3=zeros(1,(v-numel(y2))) y=[y2 (zeros(1 , (v-numel(y2))))] for i=(t+2):(numel(y2)) A2(y(i))=y(i) V2(y(i))=((y(i)+3)/2)+v-1 end disp('------------------------------------------------------') z1=(t+3):2:(v-2) z2=[(zeros(1,t+2)) z1] z=[z2 (zeros(1,(v-numel(z2))))] for i=(t+3):(numel(z2)) A2(z(i))=z(i) V2(z(i))=((2*t+z(i))/2)+v-1 end A2(t+1)=t+1;V2(t+1)=((t+3)/2)+v-1 A2(v)=v;V2(v)=t+2+v-1 k2=(sum(V2)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<<< E2=zeros(1,v) for i=1:v-1 E2(i)=k2-V2(i)-V2(i+1) end E3=[(zeros(1,v-1)) (k2-V2(1)-V2(v))];E2=E2+E3 for i=1:v V3(i)=2*v+1-V2(i) E3(i)=2*v+1-E2(i) end k3=V3(1)+V3(2)+E3(1) end %>>>>>>>>>>>>>bagian v=1 (mod 2) / v ganjil<<<<<<<<<<<<<< if mod(v,2)==1 a1=1:2:v a=[a1 (zeros(1,(v-numel(a1))))] for i=1:(numel(a1)) A(a(i))=a(i) V(a(i))=(a(i)+1)/2 end disp('------------------------------------------------------') b1=2:2:v-1 b=[b1 (zeros(1 ,(v-numel(b1))))] for i=1:(numel(b1))

(78) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 63 A(b(i))=b(i) end D=fliplr(V) d1=((v+3)/2):1:v d=[zeros(1,(v-numel(d1))) d1] for i=1:(numel(d1)) D(b(i))=v+1-i end k=(sum(D)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<<<< V=fliplr(D) for i=1:v-1 E(i)=k-V(i)-V(i+1) end E1=[(zeros(1,v-1)) (k-V(1)-V(v))];E=E+E1 for i=1:v V1(i)=2*v+1-V(i) E1(i)=2*v+1-E(i) end k1=V1(1)+V1(2)+E1(1) end %bagian2 if mod(v,2)==1 w1=1:2:v w=[w1 (zeros(1,(v-numel(w1))))] for i=1:(numel(w1)) A2(w(i))=w(i) V2(w(i))=w(i) end disp('------------------------------------------------------') x1=2:2:v-1 x=[x1 (zeros(1 ,(v-numel(x1))))] for i=1:(numel(x1)) A2(x(i))=x(i) end Y=fliplr(V2) y1=(v+2):2:2*v-1 y=[zeros(1,(v-numel(y1))) y1] for i=1:(numel(y1)) V2(x(i))=v+i*2 end k2=(sum(V2)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<<<<< E2=zeros(1,v) for i=1:v-1 E2(i)=k2-V2(i)-V2(i+1) end E3=[(zeros(1,v-1)) (k-V(1)-V(v))];E2=E2+E3 for i=1:v V3(i)=2*v+1-V2(i) E3(i)=2*v+1-E2(i) end k3=V3(1)+V3(2)+E3(1) end %bagian output disp('----------------------------------------------------------') disp('----------------------------------------------------------') disp('----------------------------------------------------------')

(79) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 64 disp('----------------------------------------------------------') fprintf('jadi cv lingkaran dengan v = %d',v);disp(' ') fprintf('dengan k ajaib terkecil = %d',k);disp(' '); fprintf('dan terbesarnya = %d', k1);disp(' ') fprintf('dan k lainnya = %d', k2);disp(' ') fprintf('dan k lainnya lagi = %d', k3);disp(' ') disp('diperolehlah label titiknya dan sisinya') Z=[A;V;E;zeros(1,v);V1;E1;zeros(1,v);V2;E2;zeros(1,v);V3;E3];Z=Z' disp('----------------------------------------------------------') disp('----------------------------------------------------------') disp('----------------------------------------------------------') disp('----------------------------------------------------------')

(80)

Dokumen baru