Pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada Graf Multisikel (MCP) - USD Repository

Gratis

0
1
107
7 months ago
Preview
Full text

  

PELABELAN TOTAL TAK AJAIB SISI KUAT

PADA GRAF MULTISIKEL ( mC p )

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana

  Program Studi Pendidikan Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Oleh:

  

Ryan Sanjaya

091414066

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

HALAMAN PERSEMBAHAN

  

Whatever you do, work at it with all your heart, as though

you were working for the Lord and not for men.

  • -Colossians 3 : 23-

    I dedicate this thesis with much love to: My Beloved God, Jesus Christ My Parents, Liu Kim Chiung and Cong Lie Jun And My Uncle Dody Lung and My Grandma Can Miaw Chu And My Sisters Selly Fortuna and Vivi Fransiska and My Brothers Lius Alfredo and Jonathan Prawira also My Lovely Partner Laurentia Adhita Fillia Dea also for Sanata Dharma University

  

ABSTRAK

Ryan Sanjaya, 2013. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Kuat pada Graf Multisikel

  ( ). Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

  

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

  Suatu graf dikatakan memiliki pelabelan total tak ajaib sisi kuat jika ( ) ∪

  ( ) dipetakan secara bijektif ke bilangan bulat positif {1, 2, 3, … , + } dimana = ( ) , dan = ( ) , dengan jumlah label masing-masing sisi dengan kedua titik ujungnya membentuk sebuah barisan aritmetika naik dengan suku pertama dan beda maka pelabelannya disebut pelabelan total tak ajaib sisi (

  , ). Suatu pelabelan dikatakan kuat jika label titiknya merupakan bilangan bulat positif {1, 2, 3, … , }, = ( ) . Penelitian ini menyelidiki pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada gabungan beberapa graf yang memiliki jumlah titik dan sisi yang sama yaitu graf multisikel( ) ,

  ≥ 1; ≥ 3. Tujuan dari penelitian ini adalah meninjau apakah graf multisikel memenuhi super , edge antimagic total labeling, menentukan barisan aritmetika yang terbentuk, yakni suku pertama a dan beda d dari super

  , edge antimagic total labeling, serta menentukan pola pelabelannya. Penelitian ini mengkaji beberapa buku, jurnal, dan hasil penelitian sebelumnya untuk mendapatkan teori-teori yang mendukung.

  Dari hasil analisa diperoleh bahwa sifat pelabelan total tak ajaib sisi kuat berlaku pada graf multisikel ( ) , ≥ 1; ≥ 3, serta diperoleh rumus pola pelabelannya. Pada graf multisikel dengan ≥ 1dan ≥ 3, berlaku super berlaku

  2 + 2, 1 edge antimagic total labeling dan untuk graf multisikel 3

  9

  • 5

  super , 2 edge antimagic total labeling untuk ≥ 3 dan ganjil.

2 Kata Kunci : graf, pelabelan graf, graf multisikel, super edge antimagic total

  labeling

  

ABSTRACT

Ryan Sanjaya, 2013. Super Edge Antimagic Total Labeling on The Multicycle

Graph

  . Mathematics Education Study Program. Mathematics and

  

Science Education Department, Faculty of Teachers Training and Education,

Sanata Dharma University, Yogyakarta.

  A graph has an edge antimagic total labeling if ( ) ∪ ( ) is mapped one to one to the positive integers {1, 2, 3,

  … , + } where = ( ) , and = ( ) , with the sum of label of each edges incident to each vertex are distinct and obtain a line of increase arithemetic with the first rate is and the difference is

  , so this labeling can be called ( , ) edge antimagic total labeling. A labeling is called super if the vertex labels are positive integers {1, 2, 3, … , }, = ( ) .

  This research observed the super edge antimagic total labeling on a graph that obtained from several cycle graph with the sum of edges and vertices of each cycle graph are same. The purpose of this research is to observe how far a multicycle graph

  , ≥ 1; ≥ 3 imply ( , ) super edge antimagic total labeling, and to investigate how the sequences are, those are the first tribal and the different tribal of (

  , ) super edge antimagic total labeling, and to find the labeling patterns.This research examined several books, journals, and the result of previous researchs to obtain the supporting theories.

  The result of analysis obtained that the multicycle graph , ≥ 1 and

  ≥ 3 imply ( , ) super edge antimagic total labeling, and also obtained the labeling rules on the multicycle graph , ≥ 1 and ≥ 3. There are

  (2 with

  • 2,1) super edge antimagic total labeling for ≥ 1 and ≥

  9

  • 5

  3 , 2 and , for super edge antimagic total labeling for 3 ≥ 3 with is

  2 odd number.

  Key words : graph, graph labeling, multicycle graph, super edge antimagic total labeling

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala kasih, rahmat dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul )

  ” ini. Skripsi ini ”Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Kuat pada Graf Multisikel ( diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

  Skripsi ini dapat tersusun berkat bimbingan dan bantuan serta dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis menyampaikan terima kasih kepada: 1.

  Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik sekaligus dosen pembimbing skripsi atas dukungan dan bimbingan selama studi terlebih selama penulis menyusun skripsi ini.

  2. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

  3. Bapak Drs. A. Atmadi, M.Si. selaku Ketua Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, FKIP, Universitas Sanata Dharma.

  4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika.

  5. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si. dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd., M.Sc. selaku dosen penguji skripsi.

  6. Seluruh Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan dan bekal keterampilan.

  7. Segenap Staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus selama penulis belajar di sini.

  8. Kedua orang tua penulis, Bapak Liu Kim Chiung dan Ibu Shinta Lie Jun, Adik Lius Alfredo dan Jonathan Prawira, Kakak Selly Fortuna dan Vivi Fransiska, Paman Doddy Lung dan Bibi Ana, serta Nenek Can Miaw Chu yang telah memberikan dukungan dan doa.

  9. Teman-teman Fire Community, komsel “Areaqu”, PMK Oikumene USD dan “Domby Kid’s Hope” yang selalu memberi semangat dan mengingatkan untuk selalu melibatkan Tuhan dalam setiap langkahku.

  10. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Angkatan 2009, khususnya Yasi, Ayu, Iin, Chintya, Hendra, Retha, Dhinta, Dian, Ririn, Rinda, Putri, Awang, yang telah berbagi hari-hari menyenangkan serta semangat dan dukungan untuk terus maju.

  11. Dea, Gloria, Willy, Wuri, Kak Yael yang selalu mendukung dan menyemangati.

  12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, terima kasih atas bantuan dan saran yang berguna selama penulisan skripsi ini.

  Akhir kata, penulis berharap kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

  Penulis,

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................ ii LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................ iii LEMBAR PERSEMBAHAN ......................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................................... v PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............ vi ABSTRAK ...................................................................................................... vii ABSTRACT ................................................................................................... viii KATA PENGANTAR .................................................................................... ix DAFTAR ISI ................................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiii DAFTAR TABEL ........................................................................................... xv DAFTAR NOTASI ......................................................................................... xvii BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................

  1 1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1 1.2.

  Rumusan Masalah ............................................................................ 7 1.3. Batasan Masalah .............................................................................. 8 1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ........................................................ 8 1.5. Metodologi Penelitian ..................................................................... 9 1.6. Sistematika Penulisan ....................................................................... 10

  BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI ............................ 11 2.1. Teori Graf ......................................................................................... 11 2.2. Pelabelan Graf .................................................................................. 22 2.3. Pelabelan pada Graf Sikel (Cycle Graph) dan Graf Multisikel (Multycycle Graph) .......................................................................... 26

  BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................ 29 3.1. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi .......................... 29 3.2. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Graf Multisikel ( ) .......... 30 3.3. ( , 1) pada Graf Multisikel (

  ) ...................................... 35 3.4. ( , 2) pada Graf Multisikel (

  ) ..................................... 55

  BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 86 4.1. Kesimpulan ...................................................................................... 86 4.2. Saran ................................................................................................. 90 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 91

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 1.1

  Jembatan Königsberg dan Grafnya ......................................... 1 Gambar 1.2

  Struktur Sebuah Organisasi ..................................................... 3 Gambar 1.3

  Rute Jalan dari Satu Tempat ke Tempat Lain ......................... 3 Gambar 1.4

  Persegi Ajaib 4x4 .................................................................... 4 Gambar 1.5

  Contoh Pelabelan .................................................................... 6 Gambar 2.1

  Graf dan Bukan Graf ............................................................... 12

Gambar 2.2 .................................................................................... 12

  Graf

  1 Gambar 2.3 .................................................................................... 13

  2 Graf

Gambar 2.4 .................................................................................... 13

  3 Graf

Gambar 2.5 .................................................................................... 14

  Graf

  4 Gambar 2.6 .................................................................................... 15

  Graf

  5 Gambar 2.7 dan ........................................................................ 16

  Graf

  6

  7 Gambar 2.8 , , dan ................................................................ 17

  Graf

  8

  9

  10 Gambar 2.9 dan ...................................................................... 18

  Graf

  11

  12 Gambar 2.10

  Graf Lengkap .......................................................................... 19 Gambar 2.11

  Graf Sikel ................................................................................ 20 Gambar 2.12

  Graf Roda ................................................................................ 20 Gambar 2.13

  Graf Teratur dengan = 3 ...................................................... 21

Gambar 2.14 Graf Planar .......................................................................... 22

  4 Gambar 2.15 Bukan Planar ...................................................................... 22

  5

Gambar 2.16 ................................................................................... 24

  Graf

  13 Gambar 2.17 ................................................................................... 25

  Graf

  14 Gambar 2.18 ................................... 26

  Pelabelan Total TakAjaib Sisi pada

  3 Gambar 2.19 ........................................................................................... 27

  3

  2 Gambar 2.20 ) ... 27

  Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Graf Multisikel (2

  3

  )

Gambar 3.1 Ilustrasi Pelabelan Graf Multisikel (( ............................ 30

  )

Gambar 3.2 Contoh Graf Multisikel (2 ................................................. 30

  3 Gambar 3.3 Contoh Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada 2 ................... 33

  3 Gambar 3.4 (18,1) SEATL pada Graf Multisikel (2 ) .............................. 35

  4 Gambar 3.5 (20,1) SEATL pada Graf Multisikel (3 ) .............................. 35

  3 Gambar 3.6 (22,1) SEATLpada 2C ............................................................ 49

  5 Gambar 3.7 (26,1) SEATL pada 2C 6 ........................................................... 50

Gambar 3.8 (20,1) SEATL pada 3C .......................................................... 52

  3 Gambar 3.9 (26,1) SEATL pada 3C 4 ........................................................... 53

Gambar 3.10 Pelabelan Graf Multisikel (3C ) .............................................. 55

  3 Gambar 3.11 Pelabelan Graf Multisikel (3C ) .............................................. 56

  7 Gambar 3.12 (16,2) SEATL pada 3 ........................................................... 73

  3 Gambar 3.13 (43,2) SEATL pada 3 ........................................................... 75

  9 Gambar 3.14 (61,2) pada3 ....................................................................... 79

  13

  

DAFTAR TABEL

  Halaman Tabel 3.1

  Tabel Pola Pelabelan Titik (Vertex) pada 3 ............................. 58

  Tabel 3.2 Pola Pelabelan Sisi pada Graf Multisikel (3

  ) .......................... 59

DAFTAR NOTASI

  ( ) himpunan titik di ( ) himpunan sisi di ( ) order (banyak titik) dari ( ) size (banyak sisi) dari titik ke- sisi yang menghubungkan titi ke- dan titik ke-

  ,

  jumlah semua label titik jumlah semua label sisi jumlah semua bobot sisi

  ) label titik ( label sisi

  , ,

  bobot masing-masing sisi graf sikel berorder graf multisikel gabungan himpunan

  ∪ akhir pembahasan □

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

  Graf merupakan salah satu cabang matematika yang saat ini sedang berkembang. Teori graf diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun 1736.

  Bermula ketika pada saat itu masyarakat kota Königsberg di Prusia Timur ingin melintasi kota yang memiliki dua pulau dan tujuh jembatan, dengan menyeberangi ketujuh jembatan itu tanpa menyeberangi satu jembatan sebanyak dua kali.

  C A D B

Gambar 1.1 Jembatan Königsberg dan grafnya

  Masyarakat Königsberg kemudian menanyakan hal ini kepada Leonard Euler yang merupakan seorang ahli matematika Swiss terkenal saat itu.

  Kemudian Euler membuktikan pada tahun 1736 bahwa hal ini mustahil untuk dilakukan.

  Pembuktian yang dilakukan oleh Euler dilakukan dengan cara jembatan dengan sisi / kurva, seperti pada Gambar 1.1. Representasi jembatan Königsberg ke dalam titik-titik dan sisi-sisi yang dilakukan oleh Euler inilah yang kemudian dikenal sebagai teori graf .

  Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah ada sejak lama namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai titik, atau bulatan, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

  Aplikasi dari teori graf sangat luas dan dipakai dalam berbagai disiplin ilmu maupun kehidupan sehari-hari. Dalam ilmu sosiologi salah satunya, penerapan graf dalam bidang ilmu ini telah memberikan manfaat bagi kita, baik secara kita sadari maupun tidak. Graf dalam masyarakat sekarang ini banyak digunakan untuk menggambarkan struktur hubungan orang yang satu dengan yang lain, baik itu dalam keluarga, maupun dalam lingkungan.

  Sebagai contoh yang hampir setiap hari kita temui yaitu jaringan pertemanan

  facebook . Jaringan pertemanan facebook bisa direpresentasikan dengan graf,

  yakni titik-titiknya adalah para pengguna facebook dan ada sisi antar pengguna jika dan hanya jika mereka berteman. Selain dalam penerapannya dalam bidang keilmuan, dalam kehidupan sehari-hari pun, graf dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada.

  Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah

  Beberapa contoh graf yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain. Di bawah ini diberikan beberapa contoh dalam kehidupan sehari-hari yang bisa divisualisasikan ke dalam bentuk graf.

  

Dewan penasehat

Ketua Wakil Ketua

Divisi 1 Divisi 2 Divisi 3 Divisi 4

Gambar 1.2 Struktur Sebuah OrganisasiGambar 1.3 Rute Jalan dari Satu Temapt ke Tempat Lain

  Dalam hal ini, graf yang dipakai adalah graf terbatas (finite graph), sederhana dan tidak berarah (undirected graph). Selanjutnya untuk menyebutkan graf sederhana dan tidak berarah cukup dengan menyebutkan graf saja. Istilah graf yang lain akan tetap disebutkan jika diperlukan.

  Salah satu bagian dari graf adalah pelabelan graf (graph labeling). Graf

  = ( ) dan himpunan sisi-sisi (edges) = ( ) dengan jumlah vertex |V| = p dan jumlah edge |E| = q. Suatu pelabelan graf memetakan setiap elemen dari graf tersebut yaitu titik (vertex) atau sisi (edge) atau keduanya ke himpunan bilangan, biasanya bilangan bulat positif. Jika yang dilabeli hanya titik, disebut pelabelan titik (vertex labeling), jika sisi maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), atau keduanya disebut pelabelan total (total labeling). Dalam penelitian ini domain yang dipakai adalah titik dan sisi, sehingga disebut pelabelan total (total labeling).

  Dalam pelabelan graf diperkenalkan juga pelabelan ajaib dan pelabelan tak ajaib. Ide awal pelabelan ajaib adalah generalisasi dari persegi ajaib.

  Penelitian ini pertama kali dilakukan oleh Kotzig dan Rosa (1970). Persegi ajaib (magic square) adalah suatu persegi dengan ukuran n x n petak dimana setiap baris, kolom dan diagonal memiliki jumlah yang sama. Persegi ajaib sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 Sebelum Masehi. Ada kemungkinan dikenal oleh matematikawan Arab sejak abad ke-7. Berawal dari pembuatan persegi ajaib inilah muncul ide untuk menggunakannya pada graf yaitu yang disebut pelabelan ajaib (magic labeling).

  Pelabelan ajaib merupakan pemetaan satu-satu pada himpunan bilangan bulat berurutan mulai dari 1 yang memenuhi sifat jumlahannya tetap.

Gambar 1.5 di atas merupakan salah satu contoh persegi ajaib dengan ukuran 4 x 4. Pemberian angka pada persegi ajaib 4 x 4 dimulai dari 1 sampai 16.

  Jumlah dari setiap baris, kolom, dan diagonalnya adalah 34.

  Konsep tentang graf tak ajaib (antimagic graph) diperkenalkan oleh Hartsfield dan Ringel (1990). Mereka menuliskan bahwa pelabelan tak ajaib merupakan pelabelan sisi dari suatu graf dengan bilangan bulat {1, 2, …, q} sedemikian hingga bobot setiap titiknya berbeda. Selanjutnya Bodendiek dan Walther (1993) mendefinisikan konsep (a,d) antimagic labeling sebagai suatu pelabelan sisi dengan bobot titik-titiknya membentuk suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda d.

  Penelitian yang dilakuan Arif (2008) pada salah satu bagiannya telah membahas mengenai pelabelan total tak-ajaib titik pada gabungan beberapa sikel atau yang disebut graf multisikel. Arif (2012) juga telah menunjukkan keberlakuan pelabelan total tak ajaib titik kuat pada graf multisikel Sedangkan dalam penelitian ini akan membahas pelabelan total tak ajaib sisi kuat (super

  edge antimagic total labeling ) pada graf multisikel.

  Suatu pelabelan total tak ajaib sisi kuat (a,d) dilakukan dengan memberikan label pada p titik dan q sisi dengan bilangan {1, 2, …, p+q}, dan bobot setiap sisinya berbeda, tidak hanya berbeda tetapi juga membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d. Pelabelan titik-titik dan sisi-sisi pada graf tersebut juga harus diperhatikan, yakni label untuk titik- titiknya adalah

  {1, 2, 3, …, p} dan label sisi-sisinya adalah { p + 1, p + 2, …,

  p

  • q }. Dengan kata lain, label titik-titiknya merupakan bilangan-bilangan yang lebih kecil daripada bilangan untuk label sisi-sisinya.

  Sebagai contoh diberikan ilustrasi pada gambar berikut, yaitu pelabelan total tak ajaib sisi (a,d) dan pelabelan total tak ajaib sisi kuat (a,d) pada cycle.

  2

  3

  4

  5

  6

  4

  6

  2

  3

  1

  1

  7

  8

  5

  (a) (b) Gambar 1.5 (a) Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Kuat (7,2) pada C dan (b).

  3 Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi (10,2) pada C 4 (b)

  Pelabelan (a) pada gambar 1.5 adalah pelabelan kuat karena bilangan- bilangan pada label titik-titiknya lebih kecil daripada bilangan-bilangan pada label sisi-sisinya serta membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama 7 dan beda 2. Sedangkan pelabelan (b) bukan merupakan pelabelan kuat, terlihat dari adanya bilangan pada label titik yang lebih besar daripada bilangan pada label sisinya.

  Martin Baca, dkk. (2003) telah mengkaji beberapa kasus mengenai

  Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling atau (a,d) SEATL. Mereka telah

  menunjukkan keberlakuan SEATL untuk lintasan (path), Petersen graph, sikel ganjil dan beberapa bentuk perluasan lainnya. Selain itu, peneliti yang sama juga menunjukkan beberapa bentuk graf yang bukan SEATL.

  Berdasaran hasil dari peneliti-peneliti sebelumnya, penulis ingin mengembangkan hasil yang sudah ditunjukkan Martin Baca, dkk. (2003) yakni menyelidiki keberlakuan (a,d) SEATL pada graf multisikel. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah (a,d) SEATL untuk menyebutkan pelabelan total tak ajaib sisi kuat (a,d).

1.2 Rumusan Masalah

  Semua (a,d) SEATL dilakukan dengan memberikan label pada p titik dan q sisi dengan bilangan {1, 2, …, p+q} dan bobot setiap sisinya berbeda serta membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d.

  Pelabelan titik-titik dan sisi-sisi pada graf tersebut juga harus diperhatikan, yakni label untuk titik-titiknya adalah {1, 2, 3, …, p} dan label sisi-sisinya adalah {p + 1, p

  • 2, …, p + q}. Dengan kata lain, label titik-titiknya merupakan bilangan-bilangan yang lebih kecil daripada bilangan untuk label sisi-sisinya.

  Dalam penelitian ini akan dirumuskan masalah sebagai berikut. 1. p ) dengan p

  Sejauh mana graf multisikel (mC ≥ 3 dan m ≥ 1 memenuhi (a,d) SEATL ? 2. Bagaimana perumusan pola pelabelan yang berlaku umum untuk graf multisikel (mC p ) yang memenuhi (a,d) SEATL ?

  3. Bagaimana bentuk barisan aritmetika naik yang terbentuk, yakni suku pertama a dan beda d dari (a,d) SEATL pada graf multisikel yang

  1.3 Batasan Masalah

  Untuk ( ) untuk , ) SEATL pada graf multisikel ( = 1, tidak ada batasan untuk dan . Itu artinya pola pelabelan berlaku untuk semua dan

  , dengan ≥ 1 dan ≥ 3. Sedangkan untuk (a,d) SEATL dengan = 2, peneliti membatasi hanya untuk m = 3 karena peneliti belum menemukan keberlakuan pola pelabelan secara umum untuk m yang lain sehingga pada penelitian ini, graf multisikel yang akan ditunjukkan keberlakuan (a,d) SEATL untuk d = 2 adalah 3C p dengan ≥ 3 dan p ganjil.

  1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

  Tujuan penelitian ini adalah : 1. P ) yang memenuhi (a,d) SEATL. Meninjau graf multisikel (mC 2.

  Menentukan rumus pola pelabelan yang berlaku umum untuk graf multisikel yang memenuhi (a,d) SEATL.

3. Menentukan bentuk barisan, yakni suku pertama a dan beda d dari (a,d) SEATL pada graf multisikel yang memenuhi (a,d) SEATL.

  Manfaat dari penelitian ini adalah menambah wawasan tentang (a,d) SEATL .

1.5 Metodologi Penelitian

  Penelitian ini adalah penelitian pustaka (Library Research). Penelitian ini dilakukan dengan beberapa langkah kerja yang menjadi pedoman untuk mencapai tujuan penelitian.

  1. Langkah yang pertama adalah melakukan kajian terhadap buku-buku teori graf dan jurnal ataupun makalah yang memuat topik tentang pelabelan pada graf dan sifat (a,d) SEATL pada graf multisikel (mC p ).

  2. Langkah kedua adalah meninjau keberlakuan (a,d) SEATL pada graf multisikel, mulai dari p

  3 , 3C 3 , 2C 4 , 3C 4 dan

  ≥ 3 dan m ≥ 1, yaitu 2C seterusnya.

  3. Langkah ketiga adalah menentukan syarat dan batas-batas yang memenuhi , .

  4. Langkah keempat adalah menentukan rumusan pelabelan untuk titik dan sisi dari graf multisikel yang memenuhi (a,d) SEATL. Pada bagian ini, peneliti juga akan membuktikan bahwa rumus pelabelan berlaku secara umum dengan menggunakan induksi matematika.

  5. Langkah terakhir adalah membuktikan teorema-teorema yang diberikan terkait (a,d) SEATL. Pada bagian ini, peneliti menentukan suku pertama dan beda dari (a,d) SEATL yang berlaku pada graf multisikel.

1.6 Sistematika Penulisan

  Untuk mempermudah penulis sekaligus pembaca dalam mengkaji skripsi ini, maka sistematika penulisannya dibagi menjadi empat bagian yaitu :

  BAB I : PENDAHULUAN Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan dan manfaat penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II : LANDASAN TEORI Pada bab ini dijelaskan tentang teori dasar graf, beberapa istilah dalam graf, jenis-jenis graf, pelabelan pada graf sikel, dan graf multisikel. BAB III : PEMBAHASAN Pada bab ini dijelaskan tentang pembahasan mengenai SEATL pada graf multisikel (mC p ), perhitungan dasar (basic counting) untuk menentukan batasan suku pertama a dan beda d dari (a,d) SEATL pada graf multisikel (mC p ).

  BAB IV : PENUTUP Pada bab ini dijelaskan tentang kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya dan saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan.

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI

2.1 Teori Graf

  Dalam mempelajari graf terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Beberapa teori dasar meliputi pengertian graf, beberapa istilah dalam graf, jenis-jenis graf, dan pelabelan graf. Berikut ini disajikan pengertian graf :

1. Pengertian Graf :

  Graf tak bearah G, yang selanjutnya hanya disebut dengan graf G didefinisikan sebagai himpunan pasangan teurut = ( , )dengan adalah himpunan berhingga titik-titik (vertex-vertex) yang tidak kosong

  v vv dan , , , p adalah himpunan edge sehingga = untuk

  

  1 2  v v v

   , ,  , . Selanjutnya anggota

  , p disebut titik dan anggota

  1

  2   disebut sisi.

  Banyaknya titik dari graf G disebut order graf G dan dinotasikan dengan = dan banyaknya sisi dari graf G disebut ukuran (size) dari

  G dan dinotasikan dengan

  = . Secara geometri, graf dapat digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang dua dimensi yang dihubungkan dengan sekumpulan sisi (Prasetyo, 2008). Contoh graf dan yang bukan graf: (a) (b) Bukan graf

  Graf

Gambar 2.1 Graf dan Bukan GrafGambar 2.1 (a) di atas merupakan contoh graf dengan

  = 4, dan = 4, sedangkan gambar (b) bukan graf karena = 0, sehingga tidak memenuhi definisi.

2. Beberapa istilah dalam Graf

  Dalam mempelajari tentang graf terdapat beberapa istilah yang berkaitan dengan graf. Berikut ini diberikan definisi tentang adjacent,

  incident, derajat verteks, gelang (loop), serta sisi ganda.

  Definisi 2.1.1 (Suryadi, 1996)

  Misal pada graf G terdapat dua titik v i dan v j , dua buah titik pada G dikatakan berdampingan (adjacent) bila terdapat sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi e = (v i , v j )  E (G) dimana v i j .

  ≠ v

  v 4 v 1 v 3 v 2 Gambar 2.2 Graf G

  1 Pada Gambar 2.2, titik v

  1 dan v 2 berdampingan (adjacent). Selain

  itu, titik v

  1 dan v 4 juga berdampingan (adjacent) karena terdapat sisi (edge)

  yang menghubungkan kedua titik itu. Sedangkan titik v

  1 dan v 3 bukan

  merupakan titik yang berdampingan karena tidak ada sisi yang menghubungkan keduanya.

  Definisi 2.1.2 (Wiitala, 1987)

  Diberikan graf G dan {v i , v j }  V (G) jika e = (v i , v j )  E(G) maka dikatakan e bersisian (incident) dengan titik v i atau e bersisian dengan titik

  v j . v 4 e 4 v 1 e e 5 3 e 1 v 3 e 2 v 2 Gambar 2.3 Graf G

  2 Pada Gambar 2.3 di atas, e 5 bersisian (incident) dengan titik v 1 dan v 3 . Sedangkan e 2 tidak bersisian dengan v 1.

  Definisi 2.1.3 (Wiitala, 1987)

  Derajat (degree) sebuah titik v pada sebuah graf G yang dituliskan dengan der (v) adalah banyak sisi yang bersisian pada v, dengan kata lain banyak sisi yang memuat v sebagai titik ujung. Sisi dengan titik-titik ujung yang sama disebut gelang (loop). Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).

  e 1 v 1 v 4 v 5 v v 2 3 Pada Gambar 2.4, derajat (degree) titik v

  1 adalah tiga, karena ada

  tiga sisi yang bersisian dengan titik v

  1 . Sedangkan derajat v 2 adalah dua.

  Untuk titik v

  5 , derajatnya adalah nol sehingga disebut titik terisolasi

  (isolated vertex). Sisi e

  1 disebut sebagai gelang (loop) karena titik-titik di .

  ujung-ujungnya adalah sama yaitu v

  4 Definisi 2.1.4 (Wiitala, 1987)

  Misal terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan pasangan titik yang sama, maka graf yang demikian dapat dikatakan mempunyai sisi ganda (multiple edge).

  

v

1 e 1 e e 2 5 v v 2 4 e 6 e 4 e 3 v 3 Gambar 2.5 Graf G

  4 Pada Gambar 2.5, Graf G 4 memuat sisi ganda yaitu sisi e 1 dan e

  2

  karena menghubungkan dua titik yang sama yaitu v

  1 dan v 2 .

  Berikut ini akan diberikan definisi tentang walk, trail, dan path.

  Definisi 2.1.5 (West, 2009)

  Suatu walk pada sebuah graf adalah suatu urutan yang terdiri atas titik-titik dan sisi-sisi bergantian, dimana setiap sisi bersisian dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik.

  Definisi 2.1.6 (West, 2009)

  3 , v

  Jika tidak, maka graf G disebut graf tak terhubung (connected graph).

  j , di dalam himpunan V terdapat lintasan dari v i ke v j .

  ≠ v

  , v i

  v i dan titik v j

  Suatu graf G dikatakan graf terhubung jika untuk setiap pasang titik

  Definisi 2.1.7 (Wiitala, 1987)

  

4

Berikut diberikan definisi tentang graf terhubung (connected graph) dan graf tak terhubung (disconnected graph).

  4 Path : v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , v 3 , e 4 , v

  4 , v

  

3

, e

  3 , e

  Suatu walk yang setiap sisinya berbeda disebut trail. Suatu trail yang setiap titiknya berbeda disebut lintasan (path). Panjang lintasan adalah banyaknya sisi dalam lintasan tersebut.

  2 , v

  2 , e

  1 , v

  1 , e

  : v

  4 Trail

  Walk : v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , v 3 , e 3 , v

3 , e

4 , v

  terdapat :

  5

  5 Pada Graf G

Gambar 2.6 Graf G

  Di bawah ini akan diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.5 dan Definisi 2.1.6.

  v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 Contoh :

  v 4 v 3 v v 1 3 v

5

v v 2 v v 4 1 2 Graf G 6 Graf G 7 Gambar 2.7 Graf G 6 dan G

  7 Graf G pada Gambar 2.7 merupaan graf tak terhubung karena tidak

  6

  terdapat sisi yang menghubungkan titik v

  5 dengan titik v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ,

  sedangkan graf G merupakan graf terhubung karena setiap titik terhubung

  7 oleh suatu sisi.

3. Jenis-jenis Graf

  Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan banyak titik,atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

  Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Prasetyo, 2008), yaitu :

  1. Graf sederhana (simple graph) Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.

  2. Graf tak sederhana (unsimple graph) Graf tak-sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda maupun

  (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang. Di bawah ini diberikan contoh untuk graf sederhana dan graf tak sederhana.

  Contoh :

Gambar 2.8 Graf G

  8 , G 9 , dan G

  10 Pada Gambar 2.8 di atas, Graf G

  8

  merupakan graf sederhana, Graf G

  9 merupakan graf ganda, dan Graf G 10 merupakan graf semu.

  Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Prasetyo, 2008), yaitu :

  1. Graf berhingga (finite graph) Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang berhingga dan jumlah sisi yang berhingga.

  Graf berhingga dengan satu titik tanpa sisi, atau dengan kata lain, merupakan suatu titik tunggal, disebut graf trivial.

  2. Graf tak-berhingga (infinite graph) Graf tak berhingga dalah graf yang banyak titik / verteksnya tidak

  v 2 v 3 v 1 v 4 v 2 v 2 v 1 v 4 v 3 v 1 v 3 v 4 Graf G

8 Graf G 9 Graf G 10 Berdasarkan orientasi arah pada sisi (edge), maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Prasetyo, 2008) , yaitu :

  1. Graf tak berarah (undirected graph) Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (v j , v k ) = (v k , v j ) adalah sisi yang sama.

  2. Graf berarah (directed graph) Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.

  Pada graf bearah (v j , v k ) dan (v k , v j ) menyatakan dua sisi yang berbeda, dengan kata lain ( , ) , ) . Untuk sisi ( , ) titik v j ≠ ( dinamakan titik asal (initial vertex) dan titik v k dinamakan titik terminal (terminal vertex). Di bawah ini diberikan contoh untuk graf tak berarah dan graf berarah. Contoh

  :

  v v v 1 1 2 v 2 v 3 v 4 v 3 v 4 Graf G 12 Graf G 11 Gambar 2.9 Graf G 11 dan G

  12 Pada gambar 2.9 di atas, Graf G merupakan graf tak berarah.

  11 Sedangkan Graf G 12 merupakan graf berarah. Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus. Berikut ini didefinisikan beberapa graf khusus (Prasetyo, 2008):

1. Graf lengkap (Complete Graph)

  Graf lengkap merupakan graf sederhana yang setiap titiknya terhubung langsung (oleh satu sisi) ke semua titik lainnya. Dengan kata lain, setiap titiknya bertetangga. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan K n . Banyak sisi pada sebuah graf lengkap yang

  

1

  terdiri dari n buah titik adalah ( − 1) sisi.

  

2

Di bawah ini diberikan beberapa contoh graf lengkap.

  Contoh :

Gambar 2.10 Graf Lengkap

  Pada Gambar 2.10 di atas, gambar graf berturut-turut dari kiri adalah graf lengkap dengan n = 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Dituliskan K

  1 , K 2 , K , K , K , dan K .

  3

  4

  5

  6 2.

  Graf sikel ( cycle graph ) Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya mempunya dua sisi yang insiden (bersisian). Graf sikel dengan p titik dilambangkan dengan C p .

  Di bawah ini beberapa contoh graf sikel.

Gambar 2.11 Graf sikel

  Pada gambar 2.7 berturut-turut dari kiri adalah graf sikel dengan p = 3, 4, 5, dan 6. Dilambangkan dengan C

  3 , C 4 , C 5 dan ,

  C 6 .

  3. Graf Roda (Wheels Graph) Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik pada graf sikel C P , dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.

  Di bawah ini diberikan beberapa contoh graf roda. Contoh :

Gambar 2.12 Graf Roda

  Pada gambar 2.8 berturut-turut dari kiri adalah graf roda yang terbentuk dari graf sikel dengan p = 3,4,5, dan 6. Dituliskan dengan

  W 3 , W 4 , W 5 , dan W 6 .

  4. Graf Teratur (Regular Graph)

  Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah

  r , maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi pada graf teratur dengan n titik adalah 2nr sisi.

  Di bawah ini diberikan salah satu contoh graf teratur. Contoh :

Gambar 2.13 Graf Teratur dengan r = 3 5.

  Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph) Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi- sisinya yang berpotongan kecuali di titik dimana keduanya bersisian.

  Dibawah ini diberikan beberapa contoh graf planar dan graf bidang.

  Contoh : Semua graf sikel merupakan graf planar

  • Graf lengkap K -

  1 , K 2 , K 3 , K 4 merupakan graf planar Tetapi graf lengkap K n untuk n ≥ 5 merupakan graf tak-planar. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang.

Gambar 2.14 K

  4 adalah graf planar

Gambar 2.15 K

  5 bukan graf planar

  Pada Gambar 2.15, K bukan graf planar karena terdapat sisi

  

5

yang berpotongan pada titik yang tidak bersisian.

2.2 Pelabelan Graf (Graph Labeling)

  Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan semua elemen dari graf tersebut ke dalam suatu himpunan bilangan bulat positif.

  Terdapat beberapa macam pelabelan graf, yaitu pelabelan yang domainnya himpunan dari titik yang disebut dengan pelabelan titik, pelabelan yang domainnya himpunan dari sisi yang disebut pelabelan sisi, dan pelabelan

  Dalam mengevaluasi graf terdapat bobot yang akan dihitung. Bobot adalah jumlahan dari label-label pada setiap elemen graf. Pada pelabelan graf terdapat dua jenis pelabelan menurut jumlah dari setiap bobotnya yaitu pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tak ajaib (antimagic labeling). Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan yang jumlah setiap bobotnya sama / konstan, sedangkan pelabelan tak ajaib adalah suatu pelabelan yang jumlah setiap bobotnya berbeda. Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total tak ajaib sisi dalam pengkajian masalah yaitu pelabelan pada graf multisikel. Graf multisikel di sini merupakan gabungan beberapa sikel identik yang tidak terhubung.

  Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang pelabelan.

  Definisi 2.2.1 (Baca, dkk., 2003)

  Suatu pemetaan bijektif ∶ ∪  {1, 2, 3, … , p + q } disebut pelabelan total tak ajaib sisi dari graf G (

  , ) jika bobot dari sisi = + + ( ) , untuk setiap .

  Jika bobot-bobot sisi pada pelabelan total tak ajaib sisi membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d maka pelabelannya disebut pelabelan total tak-ajaib sisi ( , ). Contoh :

  4

  3

  2

  5

  6

  1 Gambar 2.16 Graf G

  13 Dari Gambar 2.16, bobot sisi terkecil adalah sisi dengan label 2,

  yaitu 5 + 2 + 4 = 11, kemudian dilanjutkan dengan sisi berlabel 1, yaitu 5

  • 1 + 6 = 12, dan sisi berlabel 3, yaitu 6 + 3 + 4 = 13. Terlihat bahwa bobot sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama 11, dan beda 1, sehingga menurut Definisi 2.2.1 maka pelabelan pada Gambar 2.16 disebut pelabelan total tak ajaib sisi (11,1) pada Graf G 13 .

  Definisi 2.2.2 (Baca, dkk., 2003)

  Suatu pemetaan bijektif ∶ ∪  {1, 2, 3, … , p + q } disebut pelabelan toal tak-ajaib sisi (

  , ) dari graf G , jika bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d.

  = } = { , + , + 2 , … , + − 1 }

  Sebagai contoh, kita ambil contoh Graf G 13 pada Gambar 2.16. maka bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama 11 dan beda 1.

  Definisi 2.2.3 (Baca, dkk., 2003)

  Suatu pelabelan dikatakan „kuat‟ jika label titik-titik pada graf tersebut adalah 1, 2, 3, … , ( ) dan label sisi-sisinya adalah ( ) +

  1, ( )+ 2, , ( )+ ( ) dengan ( ) adalah banyaknya titik pada graf tersebut dan

  ( ) adalah banyaknya sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, label titik-titiknya merupakan bilangan-bilangan yang lebih kecil daripada bilangan untuk label sisi-sisinya.

  Contoh :

  3

  4

  5

  1

  2

  6 Gambar 2.17 Graf G

  14 Pada Gambar 2.17,

  ( ) = 3. Label titik-titiknya adalah 1, 2, 3 dan label sisi-sisinya adalah {4, 5, 6} sehingga berdasarkan Definisi 2.2.3 maka pelabelan ini dikatakan sebagai pelabelan kuat.

  Karena membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama 8 dan beda 1, maka disebut pelabelan total tak ajaib sisi kuat (8,1) pada Graf G

  14 .

2.3 Pelabelan pada graf sikel (cycle graph) dan graf multisikel ( multicycle

  graph )

  Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua, atau graf dengan lintasan tertutup. Graf sikel dengan p titik dilambangkan dengan .

  Baca, dkk.(2003) telah menunjukkan keberlakuan pelabelan total tak ajaib sisi ( , ) pada graf sikel. Hasil penelitian yang dilakukan oleh

  Baca, dkk. salah satunya adalah setiap sikel ganjil, dengan ≥ 3 terdapat pelabelan total tak ajaib sisi (2

  • 2, 1) (Baca, dkk., 2003). Ilustrasi hasil penelitian dari Baca, dkk. adalah sebagai berikut :

  5

  2

  6

  3

  4

  1 Gambar 2.18 Pelabelan total tak ajaib sisi pada C

  3 Gambar 2.18 di atas merupakan contoh pelabelan total tak-ajaib sisi

  pada C Bobot terkecil dari sisinya adalah 1 + 4 + 3 = 8 yaitu bobot pada 3. sisi dengan label 4. Bobot dari dua titik lain adalah 5 + 2 + 3 = 10 yaitu bobot pada sisi dengan label 2 dan 5 + 6 + 1 = 12 yaitu bobot pada sisi dengan label 6. Karena bobot terkecil titik adalah 8 dan beda dari bobot sisi yang lain adalah 2, maka contoh pada Gambar 2.18 disebut pelabelan total tak-ajaib sisi ( 8, 2 ) pada C

  

3 .

  Graf multisikel merupakan gabungan beberapa graf sikel C p yang tidak terhubung. Gabungan sikel yang dimaksud adalah sikel-sikel yang mempunyai banyak titik dan sisi yang sama. Graf multisikel yang terdiri

  )

  dari sejumlah p ) dilambangkan dengan ( mC p dengan graf sikel ( C banyak titik buah titik dan buah sisi (Arif, 2008).

  Berikut diberikan contoh graf multisikel ( mC p ).

  v 13 v

  23 v

12 v

  21 v

  11 v

  22 Gambar 2.19 2C

  3 Gambar 2.19 merupakan contoh graf multisikel 2C 3 karena

  banyaknya graf sikel C

  3 adalah 2. Graf multisikel (2C 3 ) memiliki 6 buah titik dan 6 buah sisi. Contoh pelabelannya sebagai berikut.

  3

  6

  10

  11

  7

  8

  1

  4

  5

  2

  12

  9 Gambar 2.20 Pelabelan pada graf multisikel (2C )

  3 Baca, dkk.(2003) juga telah menunjukkan keberlakuan pelabelan total tak ajaib sisi ( , ) pada graf multisikel. Hasil penelitian yang dilakukan oleh Baca, dkk. salah satunya adalah setiap graf multisikel dengan

  ≥ 3 terdapat pelabelan total tak ajaib sisi (2 + 2, 2) (Baca, dkk., 2003).

BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Hasil dari penelitian ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu perhitungan

  dasar tentang pelabelan total tak ajaib sisi, pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multisikel ( ) untuk ),

  ≥ 3, dan ≥ 1, , 1 graf multisikel ( dan ) , 2 graf multisikel (3

3.1 Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi

  Pelabelan total tak ajaib sisi merupakan pemetaan bijektif dari setiap titik dan sisi ke bilangan bulat positif mulai dari satu sampai dengan jumlah total titik dan sisi

  ∶ ∪ → 1, 2, 3, … , + dimana adalah jumlah titik dan adalah jumlah sisi (Baca, dkk., 2003). Pada pelabelan total tak ajaib sisi, setiap label sisi dihitung sekali dan label titik dihitung dua kali, akibatnya :

  = + 2 Dimana adalah jumlah semua bobot sisi, adalah jumlah semua label titik, dan adalah jumlah semua label sisi (Baca, dkk., 2003).

  Bobot setiap sisi dihitung dengan cara menjumlahkan label dari sisi tersebut dengan label pada titik-titik ujung dari sisi tersebut. Bobot dari setiap ( ). sisi dilambangkan dengan

  • )
  • ( = 1, 2, … , &minu
  • 1 +1

  3.2 p )

   Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Graf Multisikel (mC

  Graf multisikel merupakan gabungan beberapa graf sikel yang tidak terhubung. Gabungan sikel yang dimaksud adalah sikel-sikel yang mempunyai banyak titik dan sisi yang sama. Graf multisikel yang terdiri dari sejumlah

  ) graf sikel ( ) dilambangkan dengan ( dengan banyak titik buah titik dan buah sisi.

  Berikut diberikan contoh ilustrasi pelabelan pada graf multisikel ( ) .

  v 2,p-1 v m,p-1 v 1,p v 1,p-1 v 2,p v 2,p

  Graf ke-1 Graf ke-2

  Graf ke-m ...

  v 2,1 v 1,2 v

  2,2 v 1,1 v m,2 v m,1

Gambar 3.1 Ilustrasi pelabelan Graf Multisikel ( )

  v

  23 v

  13 v v

  12

  21 v

  11 v

  22 Gambar 3.2 Contoh Graf Multisikel (2 )

  3

  ) Pada graf multisikel ( memiliki buah titik dan buah sisi, titik dan sisinya adalah 2 . Berdasarkan Definisi 2.2.2, diperoleh pemetaan

  ∶ ∪ → 1, 2, 3, … , 2 . Berdasarkan Definisi 2.2.2, bobot sisi- sisi pada adalah jumlahan dari label sisi dan titik-titik ujung dari sisi tersebut. Akibatnya jika semua bobot sisi-sisinya dijumlahkan akan diperoleh :

  = + 2

  • 1
  • 2 + ⋯ + + − 1 =

  ( + + − 1 ) = 1 + 2 + ⋯ + 2 +

  2

  1

  1 . 2 2 + − 1 = (2 + 1) +

  2

  2

  1

  − 1 = 2 + 1 + + (3.1)

2 Untuk pelabelan kuat berdasarkan Definisi 2.2.3, maka label-label

  untuk titik-titiknya adalah 1, 2, 3, … , dan label untuk sisi-sisinya adalah

  • 1, + 2, + 3, … , 2 serta bobot terkecil sisi, yakni ≥ 1 +
  • 1 + 2 = + 4. Akibatnya persamaan (3.1) menjadi :

  1

  1 − 1 = 2 + 1 + ( + 1) +

  2

  2

  1

  1 (

  − 1 = 2 + 1 + + + 1)

  2

  2

  1

  1 = 2 + 1 +

  • 1 − − 1

  2

  2

  5

  

3

  1

  (3.2) − + =

  − 1

  2

  

2

  2

  5

  3

  1

  • 4 ≤ − − 1

  2

  2

  2

  1

  3

  5

  1

  1 (3

  − 1 ≤ − 5)

  2

  2

  1

  3 − 5

  2 ≤

  1

  1 2 − (3

  − 5)

  3

  ( − 1) ≈

  ≤ 3 Dari perhitungan dasar ini, diperoleh hasil :

  Teorema 3.1

  . Setiap graf multisikel ( ) mempunyai pelabelan total tak ajaib sisi , dengan ≥ + 4 dan ≤ 3 untuk semua ≥ 1 dan ≥ 3.

  Bukti : Bobot sisi graf sikel

  = + + ( )karena setiap sisi terdapat dua titik yaitu titik-titik di ujung-ujungnya.

  Ambil nilai terkecil yaitu 1 + + 1 + 2 = + 4. Bobot sisi yang paling besar adalah

  • − 1 ≤ 2 + + ( − 1) dengan

  = + 4 diperoleh

  • 4 + − 1 ≤ 2 + + − 1

  − 1 ≤ 4 − 1 − − 4 − 1 ≤ 3 − 5 3 − 5

  3 ≤

  − 1 ≈ Di bawah ini diberikan contoh pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multisikel (2 )

  3

  11

  5

  2

  4

  8

  10

  12

  3

  7

  6

  1

  9 Gambar 3.3 Contoh Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada (2 )

  3 Graf pada Gambar 3.3 di atas adalah graf multisikel dengan

  = 3 dan = 3, sehingga dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi pada graf tersebut. Bobot sisi

  = + + , dengan bobot terkecil yaitu 1 + 8 + 5 = 14 ≥ 10 dan = 2 ≤ 3 , sehingga pelabelan di atas dapat dikatakan sebagai pelabelan total tak ajaib sisi (14,2) pada 2 . Jadi Setiap

  3

  graf multisikel ( ) mempunyai pelabelan total tak ajaib sisi ( , ) dengan ≥ + 4 dan ≤ 3 untuk semua ≥ 1 dan ≥ 3.

  Selanjutnya dicari batas atas dari sehingga graf multisikel dapat diberi label. Karena

  ≥ + 4 maka nilai bergantung pada banyaknya sikel dan titik serta sisi pada sikel tersebut dan ≤ 3 maka nilai yang memungkinkan adalah

  = 1, 2, dan 3. Selanjutnya akan ditentukan nilai dan yang mungkin.

  (i) Untuk = 1

  Bobot sisi yang paling besar adalah

  Dari = 1, diperoleh

  • − 1 ≤ 2 + + ( − 1)
  • − 1 ≤ 2 + + − 1

  ≤ 3 Jadi untuk

  = 1, nilai batasan adalah + 4 ≤ ≤ 3 (ii) Untuk

  = 2 Bobot sisi yang paling besar adalah

  • − 1 ≤ 2 + + ( − 1) Dari = 2, diperoleh
  • − 1 2 ≤ 2 + + ( − 1)
  • 2 − 2 ≤ 2 + + − 1

  ≤ 2 + 1 Nilai batasan adalah + 4 ≤ ≤ 2 + 1

  (iii) Untuk = 3

  Bobot sisi yang paling besar adalah

  • − 1 ≤ 2 + + ( − 1) Dari = 3, diperoleh
  • − 1 3 ≤ 2 + + ( − 1)
  • 3 − 3 ≤ 2 + + − 1

  ≤ + 2 Untuk

  = 3, diperoleh ≤ + 2. Hal ini tidak mungkin karena tidak memenuhi untuk sebarang ≥ 1 dan ≥ 3. Untuk

  = 1 dan = 3, diperoleh = 5, sedangkan pada Teorema 4.1 mengharuskan ≥ + 4 atau ≥ 7.

  Berdasarkan hasil perhitungan dan di atas, maka yang memungkinkan untuk pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada graf multisikel dapat dilakukan hanya ketika

  = 1 dan = 2.

  3.3 )

  , pada Graf Multisikel ( Akan diperlihatkan beberapa contoh gambar graf multisikel yang telah dilabeli dengan (

  , 1)SEATL.

  14

  10

  4

  8

  3

  7

  13

  15

  9

  11

  16

  1

  2

  5

  12

  6 Gambar 3.4 (18,1) SEATL pada Graf Multisikel (2 )

  4

  3

  9

  6

  16

  13

  14

  10

  11

  17

  15

  5

  4

  7

  12

  8

  1

  2

  18 Gambar 3.5 (20,1) SEATL pada Graf Multisikel (3 )

  3 Dari contoh pelabelan beberapa graf multisikel pada Gambar 3.4 dan Gambar

  3.5, diambil salah satu pola pelabelan yang memenuhi , SEATL pada graf multisikel. Pelabelan dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

  Konstruksi graf multisikel ( ) dengan label titik sebagai berikut : (Rumus 3.3.1)

  = − 1 + ; = 1, 2, … , ; = 1, 2, … , Sedangkan label dari sisi adalah sebagai berikut : = 1, 2, … ,

  , = 2 − + 1 − + 1 ; = 1, 2, … , − 1

  • 1

  , ; (Rumus 3.3.2) = 2 − + 1 =

  • 1 Pelabelan titik ) adalah sebagai berikut.
    • –titik dari graf multisikel ( Untuk = 1,

  ) = ( 1,1 − 1 + 1 = 1 − 1 + 1 = 1

  ) = ( 1,2 1 − 1 + 2 = 2

  ) = ( 1, 1 − 1 + − 1 = − 1

  −1

  ) = ( 1, 1 − 1 + =

  Untuk = 2,

  ) = ( 2,1 2 − 1 + 1 = + 1

  ) = ( 2,2 2 − 1 + 2 = + 2

  ) = ( 2, 2 − 1 + − 1 = 2 − 1

  −1

  ) = ( 2, 2 − 1 + = 2

  ) = ( − 1 + 1 = − + 1

  ,1

  ) = ( − 1 + 2 = − + 2

  ,2

  … ) =

  ( − 1 + − 1 = − 1

  , −1

  ) = ( − 1 + =

  , Sedangkan untuk pelabelan sisi-sisinya adalah sebagai berikut.

  Untuk = 1,

  ) =

  1,1 1,1 1,2

  ( = 2 − + 1 − + 1 = 2 − 1 + 1 − 1 + 1 = 2

  ) = ( 1,2 1,2 1,3 = 2 − 1 + 1 − 2 + 1 = 2 − 1 …

  ) = ( 1, 1, 1, = 2 − 1 + 1 − − 1 + 1

  −1 −1

  = 2 − + 2

  ) =

  1, 1,1 1,

  ( = 2 − 1 + 1 Untuk

  = 2, ) =

  ( 2,1 2,1 2,2 = 2 − + 1 − + 1 = 2 − 2 + 1 − 1 + 1 = (2

  − 1) ) =

  2,2 2,2 2,3

  … ) =

  ( 2, 2, 2, = 2 − 2 + 1 − − 1 + 1

  −1 −1

  = (2 − 2) + 2

  ) =

  2, 2,1 2,

  ( = 2 − 2 + 1 Untuk

  = , ) =

  ( = 2 − + 1 − + 1

  ,1 ,1 ,2

  = 2 − + 1 − 1 + 1 = (

  • 1) ) =

  ( = 2 − + 1 − 2 + 1 = ( + 1) − 1

  ,2 ,2 ,3

  … ) =

  ( = 2 − + 1 − − 1 + 1

  , −1 , −1 ,

  =

  • 2 ) =

  ( = 2 − + 1 = + 1

  , ,1 ,

  Dari konstruksi pelabelan di atas, terlihat bahwa label untuk titik merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3, … , dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif

  • 1, + 2, + 3, … , 2 . Hal ini sesuai dengan syarat pelabelan kuat yaitu bilangan yang merupakan label titik- titiknya lebih kecil daripada bilangan untuk label sisi-sisinya. Untuk membuktikan keberlakuan rumus ini untuk semua dan maka akan dibuktikan untuk ( + 1) dan ( + 1).
Pembuktian I Akan dibuktikan bahwa konstruksi pelabelan (Rumus 3.3.1 dan Rumus 3.3.2) berlaku untuk semua . Jadi akan dibuktikan keberlakuan rumus untuk

  = 1, 2, … , , + 1 dan = 1, 2, … , Bukti : Pelabelan titik : Untuk

  = 1, ( 1,1

  ) = 1 − 1 + 1 = 1 ( 1,2

  ) = 1 − 1 + 2 = 2 … ( 1,

  −1

  ) = 1 − 1 + − 1 = − 1 (

  1,

  ) = 1 − 1 + = Untuk

  = 2, ( 2,1

  ) = 2 − 1 + 1 = + 1 ( 2,2

  ) = 2 − 1 + 2 = + 2 … (

  2, −1

  ) = 2 − 1 + − 1 = 2 − 1 ( 2,

  ) = 2 − 1 + = 2 Untuk

  = ,

  ) = ( − 1 + 2 = − + 2

  ,2

  … ) =

  ( − 1 + − 1 = − 1

  , −1

  ) = ( − 1 + =

  ,

  Untuk = + 1

  ) = ( + 1 − 1 + 1 = + 1

  • 1,1

  ) = ( + 1 − 1 + 2 = + 2

  • 1,2

  … ) =

  ( + 1 − 1 + − 1 = + − 1

  • 1, −1

  ) = ( + 1 − 1 + = +

  • 1,

  Sedangkan pelabelan sisi-sisinya adalah Untuk

  = 1, ) =

  ( 1,1 1,1 1,2 = 2( + 1) − + 1 − + 1 = 2 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 2 + 2 = 2

  • 1 ) =

  ( 1,2 1,2 1,3 = 2( + 1) − 1 + 1 − 2 + 1 = 2 + 2 − 1

  … ) =

  ( 1, 1, 1, = 2( + 1) − 1 + 1 − − 1 + 1

  −1 −1

  = 2 + 2 − + 2

  • 2 ( 1,
  • ( 2,2

  −1

  ,1 ,2

  ) =

  ,1

  = , (

  = 2 + 1 = 2 + 1 Untuk

  

2,1 2, = 2 + 1 − 2 + 1

  ) =

  = 2 + 1 − + 2 = 2

  2, −1 2, = 2( + 1) − 2 + 1 − − 1 + 1

  ) =

  = 2 + 1 − 1 = 2

  2,2 2,3 = 2( + 1) − 2 + 1 − 2 + 1

  ) =

  = 2( + 1) − 2 + 1 − + 1 = 2 + 1 − 1 + 1 = 2

  2,1 2,2

  ) =

  2,1

  = 2 (

  = 2 + 1 + 1 = 2 + + 1 Untuk

  

1,1 1, = 2 + 1 − 1 + 1

  ) =

  = 2

  • − 1 … ( 2,
  • 2 ( 2,

  = 2( + 1) − + 1 − + 1 = 2 + 1 − + 1 − 1 + 1 = 2 + 3 −

  =

  • 3 ) =

  ( = 2( + 1) − + 1 − 2 + 1

  ,2 ,2 ,3

  =

  • 3 − 1 …

  ) = ( = 2( + 1) − + 1 − − 1 + 1

  , −1 , −1 ,

  = 2 + 3 − − + 2 =

  • 2 + 2 ) =

  ( = 2 + 1 − + 1

  , ,1 ,

  = 2 + 2 − + 1 = + 2 + 1 Untuk

  = + 1, ) =

  ( = 2 − + 1 − + 1

  • 1,1 +1,1 +1,2

  = 2 + 1 − − 1 + 1 − 1 + 1 = 2 + 2 − =

  • 2 ) =

  ( = 2( + 1) − − 1 + 1 − 2 + 1

  • 1,2 +1,2 +1,3

  =

  • 2 − 1 …

  = = 2 + 1 − − + 2

  • 1, −1 +1, −1 +1,

  = 2 + 2 − − + 2 =

  • 2 ) =

  ( = 2 + 1 − − 1 + 1

  = 2 + 2 − − 1 + 1 =

  • 1 Dari konstruksi pelabelan di atas, label untuk titik merupakan bilangan bulat positif

  1, 2, 3, … , + dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif

  • 1, + + 2, … , 2 + 1 . Hal ini sesuai dengan syarat pelabelan kuat yaitu bilangan yang merupakan label titik-titiknya lebih kecil daripada label sisi-sisinya. Itu artinya konstruksi pelabelan yang diberikan berlaku untuk semua □ .

  Pembuktian II : Akan dibuktikan bahwa konstruksi pelabelan juga berlaku untuk semua . Jadi akan dibuktikan keberlakuan rumus tersebut untuk

  = 1, 2, … , dan = 1, 2, … , − 1, , + 1.

  Pelabelan titik-titiknya sebagai berikut. Untuk

  = 1, ) = (

  1,1

  ( + 1) 1 − 1 + 1 = 1 ) = (

  1,2

  ( + 1) 1 − 1 + 2 = 2

  ) = ( ( 1, + 1) 1 − 1 + − 1 = − 1

  −1

  ) = ( ( 1, + 1) 1 − 1 + =

  ) = ( 1,

  • 1 1 − 1 + + 1 =
  • 1
  • 1 2 − 1 + 1 = + 2 ( 2,2

  • 1 2 − 1 + 2 = + 3 … ( 2,
  • 1) 2 − 1 + − 1 = 2 (
  • >1 2 − 1 + = 2 + 1
  • 1 2 − 1 + + 1 = 2 + 2 Untuk = − 1,
  • 1

  • 1 − 1 − 1 + 1 = + 1 − 2 + 1 (
  • 1 − 1 − 1 + 2 = + 1 − 2 + 2 … (
  • 1 − 2 + − 1 = + 1 − 2 + − 1 (
  • 1 − 1 − 1 + = + 1 − 2 + (
  • 1 − 2 + + 1 = + 1 − 2 + + 1 Untuk = ,
  • 1 − 1 + 1 = − + (
  • 1 − 1 + 2 = − + + 1 … (
  • 1 − 1 + − 1 = + − 2 (
  • 1 − 1 + = + − 1 (

  ) =

  ,

  ) =

  , −1

  ) =

  ,2

  ) =

  ,1

  (

  ) =

  −1, +1

  ) =

  −1,

  ) =

  −1, −1

  ) =

  −1,2

  ) =

  −1,1

  (

  ) =

  ) =

  2,

  ) = (

  −1

  ) =

  ( 2,1 ) =

  ) = Sedangkan untuk pelabelan sisi-sisinya adalah Untuk

  = 1, ) =

  ( 1,1 1,1 1,2 = 2 − + 1 ( + 1) − + 1 = 2 − 1 + 1 ( + 1) − 1 + 1 = 2

  ( + 1) ) =

  ( 1,2 1,2 1,3 = 2 − 1 + 1 ( + 1) − 2 + 1 = 2

  ( + 1) − 1 …

  ) = ( 1, 1, 1, = 2 − 1 + 1 ( + 1) − − 1 + 1

  −1 −1

  = 2 ( + 1) − + 2

  ) = ( 1, 1, 1, = 2 − 1 + 1 + 1 − + 1

  • 1

  = 2

  • 1 − + 1 ) =

  ( 1, 1,1 1, = 2 − 1 + 1 + 1

  • 1 +1

  Untuk = 2,

  ) =

  2,1 2,1 2,2

  ( = 2 − + 1 ( + 1) − + 1 = 2 − 2 + 1 ( + 1) − 1 + 1 = 2 − 1 + 1

  ) = ( 2,2 2,2 2,3 = 2 − 1 + 1 − 1

  = (2 − 1)( + 1) − 1

  … ) =

  • 1
  • 1
  • 1
  • 2)( + 1) (

  −1, +1

  −1, −1 −1,

  = 2 − + 2 + 1 − + 2 = (

  −1,

  ) =

  −1, −1, +1

  = 2 − + 2 + 1 − + 1 = (

  ) =

  −1, −1

  −1,1 −1, +1

  = 2 − + 1 + 1 + 1 =

  (

  ,1

  ) =

  ,1 ,2

  ) =

  = 2 − + 1 + 1 + 1 − 2 + 1 = (

  = 2 − + 1 ( + 1) − + 1

  2,1 2,

  = 2 − 1 + 1 − + 2 ( 2,

  ) =

  2, 2,

  = 2 − 2 + 1 + 1 − + 1 = (2

  − 1) + 1 − + 1 ( 2,

  ) =

  = 2 − 2 + 1 + 1 Untuk

  −1,2 −1,3

  = -1, (

  −1,1

  ) =

  −1,1 −1,2

  = 2 − + 1 ( + 1) − + 1 = 2 − + 1 + 1 ( + 1) − 1 + 1 = (

  −1,2

  ) =

  • 2)( + 1) − 1 … (
  • 2)( + 1) − + 2 (
  • 2) + 1 − + 1 (
  • 1 + 1 + 1 Untuk = ,

  • 1)( + 1) (
  • 1)( + 1) − 1 … (
  • 1)( + 1) − + 2 =
  • 1 + 3 (

  , , +1

  Dari Pembuktian I dan Pembuktian II, maka terbukti rumus pelabelan berlaku untuk semua dan .

  □

  .

  2, …, 2 ( +1). Hal ini juga sesuai dengan syarat pelabelan kuat yaitu bilangan yang merupakan label titik-titiknya lebih kecil daripada label sisi- sisinya. Itu artinya konstruksi pelabelan yang diberikan berlaku untuk semua

  1, 2, 3, … , + 1 dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif ( + 1) + 1, ( + 1) +

  = 2 − + 1 + 1 =

  ,1 , +1

  ) =

  , +1

  = 2 − + 1 + 1 − + 1 =

  ) =

  ,

  = 2 − + 1 ( + 1) − − 1 + 1 = (

  , −1 ,

  ) =

  , −1

  = 2 − + 1 + 1 − 2 + 1 = (

  ,2 ,3

  ) =

  ,2

  = (

  • 1 + 1 − + 1 =
  • 2 = + 1 + 2 (
  • 1 + 1 Dari konstruksi pelabelan di atas, terlihat bahwa label untuk titik merupakan bilangan bulat positif

  Berikut ini diberikan Teorema yang menunjukkan bahwa graf

  Teorema 3.2

  Pada graf multisikel ( ) berlaku (2

  • 2 , 1)SEATL untuk ≥ 1 dan ≥ 3.

  Bukti : )

  Dengan melabeli titik-titik dan sisi-sisi pada graf multisikel ( berdasarkan Rumus 3.3.1 dan Rumus 3.3.2, maka diperoleh label-label titiknya adalah

  1, 2, 3, … , dan label-label sisinya + 1, + 2,

  • 3, …, 2 . Hal ini menunjukkan graf multisikel ( ) memenuhi syarat pelabelan kuat berdasarkan Definisi 2.2.3, akibatnya Persamaan (3.2) juga berlaku dalam hal ini. Untuk = 1, maka persamaan (3.2) menjadi

  5

  

3

  1

  • = −

  − 1

  2

  

2

  2

  5

  3

  1 =

  − − 1 1 +

  2

  2

  2 5 3 + 1 − 1

  • =

  2

  2 = 2

  • 2 Jadi terbukti bahwa pada graf multisikel berlaku (2 + 2,1) untuk

  □ ≥ 1 dan ≥ 3.

  Sebagai ilustrasi dari Teorema 3.2 diberikan contoh pelabelan untuk beberapa graf multisikel dengan ≥ 1 dan ≥ 3. Contoh 1 :

  4

  9

  13

  12

  17

  18

  3

  10

  8

  5

  14

  19

  16

  11

  7

  6

  15

  20

  2

  1 Gambar 3.6 (22,1) SEATL pada 2C

  5 Langkah pelabelan untuk contoh pada Gambar 3.6 adalah sebagai berikut :

  Untuk pelabelan titik :

  f (v ) f (v ) 1,1 = 5(1-1) + 1 = 1 2,1 = 5(2-1) + 1 = 6 f (v 1,2 ) = 5(1-1) + 2 = 2 f (v 2,2 ) = 5(2-1) + 2 = 7 f (v 1,3 ) = 5(1-1) + 3 = 3 f (v 2,3 ) = 5(2-1) + 3 = 8 f (v ) = 5(1-1) + 4 = 4 f (v ) = 5(2-1) + 4 = 9

  1,4 2,4 f (v 1,5 ) = 5(1-1) + 5 = 5 f (v 2,5 ) = 5(2-1) + 5 = 10

  Untuk pelabelan sisi :

  

f (v 1,1 v 1,2 ) = (4-1+1)5 - 1+ 1 = 20 f (v 2,1 v 2,2 ) = (4-2+1)5 - 1+ 1 = 15

f (v 1,2 v 1,3 ) = (4-1+1)5 - 2+ 1 = 19 f (v 2,2 v 2,3 ) = (4-2+1)5 - 2+ 1 = 14

f (v v ) = (4-1+1)5 - 3+ 1 = 18 f (v v ) = (4-2+1)5 - 3+ 1 = 13

  1,3 1,4 2,3 2,4

f (v 1,4 v 1,5 ) = (4-1+1)5 - 4+ 1 = 17 f (v 2,4 v 2,5 ) = (4-2+1)5 - 4+ 1 = 12

f (v 1,1 v 1,5 ) = (4-1)5 + 1 = 16 f (v 2,1 v 2,5 ) = (4-2)5 + 1 = 11

  Pada Gambar 3.6 bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label 16, yaitu 16 + 1 + 5 = 22.

  Bobot sisi dengan label 16 adalah 16 + 1+ 5 = 22

  • Bobot sisi dengan label 20 adalah 20 + 1+ 2 = 23
  • Bobot sisi dengan label 19 adalah 19 + 2+ 3 = 24
  • Bobot sisi dengan label 18 adalah 18 + 3+ 4 = 25
  • Bobot sisi dengan label 17 adalah 17 + 4+ 5 = 26
  • Bobot sisi dengan label 11 adalah 11 + 6+ 10 = 27
  • Bobot sisi dengan label 15 adalah 15 + 6+ 7 = 28
  • Bobot sisi dengan label 14 adalah 14 + 7+ 8 = 29
  • Bobot sisi dengan label 13 adalah 13 + 8+ 9 = 30
  • Bobot sisi dengan label 12 adalah 12 + 9+ 10 = 31
  • Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 22, 23, 24, 25, …, 31 dengan suku pertama 22 dan beda 1. Oleh karena itu Gambar 3.6 disebut (22,1) SEATLpada 2C

  5 Contoh 2 :

  6

  20

  5

  12

  14

  11

  21

  15

  19

  13

  4

  10

  1

  7

  22

  24

  18

  16

  2

  3

  8

  9

  23

  17 Gambar 3.7 (26,1) SEATL pada 2C

  6 Langkah pelabelan untuk contoh pada Gambar 3.7 adalah sebagai berikut :

  f (v 1,1 ) = 6(1-1) + 1 = 1 f (v 2,1 ) = 6(2-1) + 1 = 7 f (v 1,2 ) = 6(1-1) + 2 = 2 f (v 2,2 ) = 6(2-1) + 2 = 8 f (v 1,3 ) = 6(1-1) + 3 = 3 f (v 2,3 ) = 6(2-1) + 3 = 9 f (v 1,4 ) = 6(1-1) + 4 = 4 f (v 2,4 ) = 6(2-1) + 4 = 10 f (v ) f (v )

  1,5 = 6(1-1) + 5 = 5 2,5 = 6(2-1) + 5 = 11 f (v 1,6 ) = 6(1-1) + 6 = 6 f(v 2,6 ) = 6(2-1)+6=12

  Untuk pelabelan sisi :

  

f (v v ) = (4-1+1)6 - 1+ 1 = 24 f (v v ) = (4-2+1)6 - 1+ 1 = 18

1,1 1,2 2,1 2,2

f (v 1,2 v 1,3 ) = (4-1+1)6 - 2+ 1 = 23 f (v 2,2 v 2,3 ) = (4-2+1)6 - 2+ 1 = 17

f (v v ) f (v v )

  1,3 1,4 = (4-1+1)6 - 3+ 1 = 22 2,3 2,4 = (4-2+1)6 - 3+ 1 = 16

f (v 1,4 v 1,5 ) = (4-1+1)6 - 4+ 1 = 21 f (v 2,4 v 2,5 ) = (4-2+1)6 - 4+ 1 = 15

f (v 1,5 v 1,6 ) = (4-1+1)6 - 5+ 1 = 20 f (v 2,5 v 2,6 ) = (4-2+1)6 - 5+ 1 = 14

f (v v ) = (4-1)6 + 1 = 19 f (v v )

  

1,1 1,6 2,1 2,6 = (4-2)6 + 1 = 13

  Pada Gambar 3.7 bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label 19, yaitu 19 + 1 + 6 = 26. Perhitungan bobot sisi : Bobot sisi dengan label 19 adalah 19 + 1+ 6 = 26

  • Bobot sisi dengan label 24 adalah 24 + 1+ 2 = 27
  • Bobot sisi dengan label 23 adalah 23 + 2+ 3 = 28
  • Bobot sisi dengan label 22 adalah 22 + 3+ 4 = 29
  • Bobot sisi dengan label 21 adalah 21 + 4+ 5 = 30
  • Bobot sisi dengan label 20 adalah 20 + 5+ 6 = 31
  • >Bobot sisi dengan label 13 adalah 13 + 12+ 7 = 32

  Bobot sisi dengan label 17 adalah 17 + 8+ 9 = 34

  • Bobot sisi dengan label 16 adalah 16 + 9+ 10 = 35
  • Bobot sisi dengan label 15 adalah 15 + 10+ 11 = 36
  • Bobot sisi dengan label 14 adalah 14 + 11+ 12 = 37
  • Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 26, 27, 28, 29, …, 37 dengan suku pertama 26 dan beda 1. Jadi Gambar 3.7 disebut (26,1) SEATLpada 2C

  6 Contoh 3:

  3

  9

  

6

  10

  11

  17

  16

  13

  14

  1

  2

  4

  5

  8

  18

  

15

  7

  12 Gambar 3.8 (20,1) SEATL pada 3C

  3 Langkah pelabelan untuk contoh pada Gambar 3.8 adalah sebagai berikut :

  Untuk pelabelan titik :

  f (v 1,1 ) = 3(1-1) + 1 = 1 f (v 2,3 ) = 3(2-1) + 3 = 6 f (v 1,2 ) = 3(1-1) + 2 = 2 f (v 3,1 ) = 3(3-1) + 1 = 7 f (v 1,3 ) = 3(1-1) + 3 = 3 f (v 3,2 ) = 3(3-1) + 2 = 8 f (v 2,1 ) = 3(2-1) + 1 = 4 f (v 3,3 ) = 3(3-1) + 3 = 9 f (v )

  2,2 = 3(2-1) + 2 = 5

  Untuk pelabelan sisi :

  f (v 1,1 v 1,2 ) = (6-1+1)3 - 1+ 1 = 18 f (v 1,1 v 1,3 ) = (6-1)3 + 1 = 16

  

f (v 2,2 v 2,3 ) = (6-2+1)3 - 2+ 1 = 14 f (v 3,2 v 3,3 ) = (6-3+1)3 - 2+ 1 = 11

f (v 2,1 v 2,3 ) = (6-2)3 + 1 = 13 f (v 3,1 v 3,3 ) = (6-3)3 + 1 = 10 f (v 3,1 v 3,2 ) = (6-3+1)3 - 1+ 1 = 12

  Pada Gambar 3.8 bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label 16, yaitu 16 + 1 + 3 = 20. Perhitungan bobot sisi : Bobot sisi dengan label 16adalah 16 + 1+ 3 = 20

  • Bobot sisi dengan label 18 adalah 18 + 1+ 2 = 21
  • Bobot sisi dengan label 17 adalah 17 + 2+ 3 = 22
  • Bobot sisi dengan label 13 adalah 13 + 4+ 6 = 23
  • Bobot sisi dengan label 15 adalah 15 + 4+ 5 = 24
  • Bobot sisi dengan label 14 adalah 14 + 5+ 6 = 25
  • Bobot sisi dengan label 10 adalah 10 + 7+ 9 = 26
  • Bobot sisi dengan label 12 adalah 12 + 7+ 8 = 27
  • Bobot sisi dengan label 11 adalah 11 + 8+ 9 = 28
  • Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 20, 21, 22, 23 , …, 28 dengan suku pertama 20 dan beda 1.

  Jadi Gambar 3.8 disebut (20,1) SEATL pada 3C 3 . Contoh 4 :

  22

  18

  14

  4

  12

  8

  11

  3

  7

  21

  23

  13

  15

  17

  19

  10

  1

  2

  6

  9

  16

  24

  5

  20 Gambar 3.9 (26,1) SEATL pada 3C

  4 Langkah pelabelan untuk contoh pada Gambar 3.9 adalah sebagai berikut : Untuk pelabelan titik :

  f (v 1,1 ) = 4(1-1) + 1 = 1 f (v 1,2 ) = 4(1-1) + 2 = 2 f (v

  = (6-1+1)4 - 1+ 1 = 24

  3,2 ) = (6-3+1)4 - 1+ 1 = 16 f (v 3,2 v 3,3 ) = (6-3+1)4 - 2+ 1 = 15 f (v 3,3 v 3,4 ) = (6-3+1)4 - 3+ 1 = 14 f (v 3,1 v 3,4 ) = (6-3)4 + 1 = 13

  3,1 v

  f (v 2,3 v 2,4 ) = (6-2+1)4 - 3+ 1 = 18 f (v 2,1 v 2,4 ) = (6-2)4 + 1 = 17 f (v

  = (6-2+1)4 - 2+ 1 = 19

  2,3 )

  2,2 v

  1,4 ) = (6-1)4 + 1 = 21 f (v 2,1 v 2,2 ) = (6-2+1)4 - 1+ 1 = 20 f (v

  1,1 v

  f (v 1,2 v 1,3 ) = (6-1+1)4 - 2+ 1 = 23 f (v 1,3 v 1,4 ) = (6-1+1)4 - 3+ 1 = 22 f (v

  1,2 )

  1,3 )

  f (v 1,1 v

  Untuk pelabelan sisi :

  3,4 ) = 4(3-1) + 4 = 12

  f (v 3,2 ) = 4(3-1) + 2 = 10 f (v 3,3 ) = 4(3-1) + 3 = 11 f (v

  = 4(3-1) + 1 = 9

  3,1 )

  2,2 ) = 4(2-1) + 2 = 6 f (v 2,3 ) = 4(2-1) + 3 = 7 f (v 2,4 ) = 4(2-1) + 4 = 8 f (v

  f (v 1,4 ) = 4(1-1) + 4 = 4 f (v 2,1 ) = 4(2-1) + 1 = 5 f (v

  = 4(1-1) + 3 = 3

  Pada Gambar 3.9 bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label 21, Bobot sisi dengan label 21adalah 21 + 1+ 4 = 26

  • Bobot sisi dengan label 24 adalah 24 + 1+ 2 = 27
  • Bobot sisi dengan label 23 adalah 23 + 2+ 3 = 28
  • Bobot sisi dengan label 22 adalah 22 + 3+ 4 = 29
  • Bobot sisi dengan label 17 adalah 17 + 5+ 8 = 30
  • Bobot sisi dengan label 20 adalah 20 + 5+ 6 = 31
  • Bobot sisi dengan label 19 adalah 19 + 6+ 7 = 32
  • Bobot sisi dengan label 18 adalah 18 + 7+ 8 = 33
  • Bobot sisi dengan label 13 adalah 13 + 9+ 12 = 34
  • Bobot sisi dengan label 16 adalah 16 + 9+ 10 = 35
  • Bobot sisi dengan label 15 adalah 15 + 10+ 11 = 36
  • Bobot sisi dengan label 14 adalah 14 + 11+ 12 = 37
  • Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 26, 27, 28, 29 , …, 37 dengan suku pertama 26 dan beda 1.

  Jadi Gambar 3.9 disebut (26,1) SEATL pada 3C 4 .

  3.4 )

  , pada Graf Multisikel ( )

  Berikut ini akan diberikan beberapa contoh graf multisikel (3 yang telah dilabeli untuk = 2.

  5

  6

  4

  10

  18

  

12

  17

  16

  11

  14

  13

  1

  9

  2

  15

  8

  7

  3

Gambar 3.11 Pelabelan Graf Multisikel (3

  9

  18

  13

  17

  15

  14

  12

  16

  11

  

10

  8

  21

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  10 …

  10

  19

  20

  12

  30

  42

  39

  27

  26

  25

  40

  33

  29

  31

  41

  24

  32

  28

  22

  35

  37

  

36

  23

  38

  34

  10

  7

  7

  1

  18

  15

  12

  9

  2

  1 …

  1

  1

  1

  1

  24 …

  1

  13 …

  11

  9

  7

  5

  3

Tabel 3.1 dibawah ini

  ) Pola pelabelan untuk titik-titik pada graf multisikel (3 ) ditunjukkan dengan

  21

  3

  29 …

  5

  26

  23

  20

  6

  9 …

  9

  9

  9

  9

  25 …

  5

  22

  19

  16

  13

  4

  5 …

  5

  5

  5

  5

  = 1 , 1,

  3

  5

  7

  9

  11

  13 …

  14

  9

  14

  14 …

  10

  31

  34 …

  18

  11

  18 …

  38

  12 …

  21

  13 … …

  …

  2,

  = 2 ,

  3

  5

  7

  9

  11

  13 …

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  2 …

  22

  2

  7

  10

  13

  16

  19 …

  6

  3

  6

  6

  6

  6

  6 …

  26

  4

  14

  17

  20

  23 …

  7

  5

  7

  7

  7

  7 …

  30

  6

  21

  24

  27 …

  7

  10

  11

  11

  11 …

  31

  8

  25

  28 …

  15

  9

  15

  15 …

  35

  10

  32 …

  16

  11

  16 …

  39

  12 …

  19

  13 … …

  … = 3 , 3,

  3

  5

  7

  9

  11

  13 …

  1

  3

  3

  3

  3

  3

  3 …

  23

  2

  8

  11

  14

  17

  20 …

  4

  3

  4

  4

  4

  4

  4 …

  27

  4

  15

  18

  21

  24 …

  5

  8

  8

  8

  8

  8 …

  28

  6

  19

  22

  25 …

  • 1

  58 …

  61

  9

  66 …

  60

  54

  8

  62 …

  56

  50

  7

  52

  10

  46

  42

  6

  57 …

  51

  45

  39

  5

  53 …

  47

  41

  67 …

  65

  29

  3

  2, 2,

  = (

  ) = 2 ; 2,

  1, 1,

  = 1 , 1, = (

  13 …

  11

  9

  7

  5

  41 …

  71 …

  35

  28

  23

  17

  10

  1 ,p

  … … … … … … … …

  78 …

  12

  75 …

  11

  35

  4

  )

  9

  12

  17 …

  17

  11

  36 …

  33

  10

  13 …

  13

  13

  32 …

  13

  29

  26

  8

  13 …

  11

  9

  7

  5

  3

  Untuk pelabelan sisi akan ditunjukkan pola pelabelannya melalui Tabel 3.2 berikut ini.

Tabel 3.1 Tabel Pola Pelabelan titik (vertex) pada 3

  37 …

  20 …

  49 …

  2

  43

  37

  31

  25

  3

  48 …

  42

  36

  30

  24

  18

  44 …

  … …

  38

  32

  26

  20

  14

  1

  11 13 …

  9

  7

  5

  3

  • 1
  • 1

Tabel 3.2 Pola pelabelan sisi pada graf multisikel 3

  38

  6

  55 …

  49

  43

  37

  5

  54 …

  48

  42

  36

  30

  4

  50 …

  44

  32

  47

  26

  3

  46 …

  40

  34

  28

  22

  16

  2

  45 …

  39

  33

  27

  21

  40

  53

  1

  73 …

  3, 3,

  = (

  3,

  = 3 ;

  42 …

  36

  29

  24

  18

  11

  3, p

  … … … … … … … …

  76 …

  12

  11

  59 …

  72 …

  66

  10

  68 …

  62

  9

  64 …

  58

  52

  8

  63 …

  57

  51

  7

  15

  13 …

  3

  39

  6

  56 …

  50

  44

  38

  5

  52 …

  46

  40

  34

  28

  4

  51 …

  45

  33

  48

  27

  3

  47 …

  41

  35

  29

  23

  17

  2

  13 …

  11

  9

  7

  5

  41

  54

  11

  74 …

  9

  7

  5

  3

  40 …

  34

  30

  22

  16

  12

  2 ,p

  … … … … … … … …

  77 …

  12

  11

  60 …

  70 …

  64

  10

  69 …

  63

  9

  65 …

  59

  53

  8

  61 …

  55

  49

  7

  )

  • 13
  • 7

  ,

  ) + 4 Untuk

  = − 1 (

  , −1

  ) = 3

  ; = 1, 2

  , −1

  = 3 − 2 ;

  = 3 Untuk

  = ; = 1, 2, 3 (

  ) =

  (

  3

  2

  − 2 ;

  = 1, 2

  ,

  =

  3

  2

  ; = 3 2.

  , −2

  ) 3 ≠ 0 → ( ) =

  Untuk = 6 − 1, = 1,2,3, …

  − 2 ;

  Dari Tabel 3.1 dan Tabel 3.2 di atas, , dengan = 2 pada graf multisikel (3

  ) dapat dibagi dalam beberapa pola pelabelan yaitu untuk = 6 + 1, = 6 − 1, dan = 6 − 3,dengan = 1,2,3, …dengan rumus sebagai berikut.

  Konstruksi pelabelan untuk titik sebagai berikut : 1. Untuk = 6 + 1, = 1,2,3, …

  Untuk = 1; = 1,2,3

  ( ) =

  Untuk = 2

  =

  3

  2

  = 1, 2 =

  , −2

  3

  2

  ; = 3

  Untuk = 3, 4, 5, … , − 2 ; = 1, 2, 3

  (

  , −2

  ) 3 = 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 1 (

  • − 2
  • 7
  • 1

  • 13
  • 7
  • − 3 Untuk =

  • 3
  • ;
  • 13
  • 7

  2

  ; = 1

  ,

  =

  3 −5

  2

  = 2, 3 3. Untuk = 6 − 3, = 1,2,3, …

  Untuk = 1

  ( ) = ;

  = 1, 2, 3 Untuk

  = 2 =

  2

  3

  − 2 ;

  = 1, 2 =

  3

  2

  ; = 3

  Untuk = 3, 4, 5, … , − 2 ; = 1, 2, 3

  (

  , −2

  ) 3 = 0 → ( ) =

  (

  , −2

  3

  ,

  =

  (

  ( ) = ;

  = 1, 2, 3 Untuk

  = 2 =

  3

  2

  − 2 ;

  = 1, 2 =

  3

  2

  ; = 3

  Untuk = 3, 4, 5, … , − 2 ; = 1, 2, 3

  , −2

  ) = 3

  ) 3 = 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 1 (

  , −2

  ) 3 ≠ 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 4 Untuk

  = − 1; = 1, 2, 3 (

  , −1

  ) + 1 Untuk = − 1; = 1, 2, 3

  ; = 3 = 1

  , −1

  ; = 3 + − 4 = 2, 3

  , −1

  Untuk =

  3 −1

  ; = = 1,2

  • ,

  2

  3 −1

  ; = = 3

  ,

  2

  (Rumus 3.4.1) Konstruksi pelabelan sisi sebagai berikut: 1. Untuk = 6 + 1, = 1,2,3, …

  Untuk = 1

  = 3 + 6 − ; = 1,2

  , , +1

  = 3 + 6 ; = 3

  , , +1

  Untuk = 2, 3, 4, … , − 2; = 1, 2, 3,

  ) ) = ) + 1 ( 3 = 0 → ( (

  , , +1 , +1 , +2 , , +1

  ) ) = ) + 4 ( 3 ≠ 0 → ( (

  , , +1 , +1 , +2 , , +1

  Untuk = − 1; = 1,2,3

  ) = 6 ( − + 1

  , −1 ,

  Untuk = ; = 1,2,3

  • 3

  ( ; = 1,3

  • ) = 3

  ,1 ,

  

2

  ) = 3 ( + 1 ; = 2

2. Untuk = 6 − 1, = 1,2,3, …

  Untuk = 1

  = 3 + 6 − ; = 1,2

  , , +1

  = 3 + 6 ; = 3

  , , +1

  Untuk = 2, 3, 4, … , − 2; = 1, 2, 3,

  ) ) = ) + 1 ( 3 = 0 → ( (

  , , +1 , +1 , +2 , , +1

  ) ) = ) + 4 ( 3 ≠ 0 → ( (

  , , +1 , +1 , +2 , , +1

  Untuk = − 1

  ) = 6 ( − = 1,2

  , −1 ,

  ) = 6 ( = 3

  , −1 ,

  Untuk = ; = 1,2,3

  • 3

  ( ; = 1,3

  • ) = 3

  ,1 ,

  

2

  ) = 3 ( + 1 ; = 2

  ,1 , 3.

  Untuk = 6 − 3, = 1,2,3, … Untuk

  = 1 = 3 + 6 − ; = 1,2

  , , +1

  = 3 + 6 ; = 3

  , , +1

  Untuk = 2, 3, 4, … , − 2; = 1, 2, 3,

  ) ) = ) + 1 ( 3 = 0 → ( (

  , , +1 , +1 , +2 , , +1

  ) ) = ) + 4 ( 3 ≠ 0 → ( (

  , , +1 , +1 , +2 , , +1

  Untuk = − 1; = 1,2,3 Untuk = ; = 1,2,3

  • 1

  ( ; = 1,3

  • ) = 3

  ,1 ,

  

2

  ) = 3 ( + 3 ; = 2

  ,1 ,

  (Rumus 3.4.2) Berikut ini akan ditunjukkan bahwa rumus pelabelan di atas berlaku untuk semua

  = 2 + 1 untuk = 1, 2, 3, …. Akan diperlihatkan sebelumnya bahwa rumus berlaku untuk

  = 1, yaitu = 2 + 1 = 3. Itu artinya pelabelan akan mengikuti pola pelabelan untuk

  = 6 − 3, = 1,2,3, … sehingga pola pelabelannya adalah sebagai berikut.

  Untuk = 1

  ) = ( 1,1 = 1 3 9 + 13

  • 13

  1,2 = − 2 = − 2 = 9

  2

  2

  3

  9 − 1 − 1

  • 1 = 5

  1,3

  = =

  2

2 Untuk

  = 2 ) =

  ( 2,1 = 2 3 9 + 13

  • 13

  2,2 = − 2 = − 4 = 7

  2

  2

  3

  9 − 1 − 1

  • 2,3 = =
  • 2 = 6

  2

  2 Untuk = 3

  ) = ( 3,1 = 3

  3 9 + 7

  • 7

  = = 8 =

  2

  2

  3

  9 − 1 − 1

  = = 4

  3,3 =

  2

2 Sedangkan untuk pelabelan sisi-sisinya adalah sebagai berikut.

  Untuk = 1,

  1,1 1,2 = 3 + 6 − = 14

  ) = 14 ; 14 ) =

  1,1 1,2 1,2 1,3

  ( 3 ≠ 0 → ( = 14 + 4 = 18 1 + 1

  • 1

  1,1 1,3 = 3 + = 9 + = 10

  2

  2 Untuk = 2,

  2,1 2,2 = 3 + 6 − = 13

  ) = 13 ; 13 ) = ( 2,1 3 ≠ 0 → ( 2,2 2,2 2,3 = 13 + 4 = 17

  2,1 2,3 = 3 + 3 = 9 + 3 = 12

  Untuk = 3,

  3,1 3,2

  = 3 + 6 = 15 ) = 15 ; 15 ) =

  ( 3,1 3 = 0 → ( 3,2 3,2 3,3 = 15 + 1 = 16

  • 1

  3,1 3,3

  = 3 + = 9 + 2 = 11

  2 Dari konstruksi pelabelan di atas, terlihat bahwa label untuk titik- titiknya merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3, … , 9 dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif

  10, 11, 12, … , 18 . Hal ini sesuai dengan syarat pelabelan kuat yaitu bilangan yang merupakan label titik-titiknya lebih kecil daripada label sisi-sisinya. Itu artinya konstruksi pelabelan yang

  = 1 benar, maka akan dibuktikan bahwa rumus pelabelan juga berlaku untuk = 2 + 1 untuk n yang lain, yaitu = 2, 3, 4, …

  Bukti : )

  Anggap = benar, artinya rumus berlaku pada graf multisikel (3 dengan

  = 2 + 1. Ambil salah satu pola pelabelan dari tiga pola pelabelan yang telah ditentukan, misal pola pelabelan untuk = 6 + 1, =

  1,2,3, …maka pelabelannya adalah sebagai berikut. Pelabelan titik-titiknya sebagai berikut. Untuk

  = 1 ) =

  ( 1,1 = 1 3 3(2

  6

  • 13 + 1) + 13 + 12 ) =

  = 3 ( 1,2 − 2 = − 2 = + 6

  2

  2

  2 ) = 1 ; 1 ) = ) + 4 = 1 + 4 = 5

  ( 1,1 3 ≠ 0 → ( 1,3 ( 1,1 …

  ) = 3

  1,

  ( + − 2 = 3 2 + 1 + 1 − 2 = 6 + 2

  −1

  3 3(2

  6

  • 7 + 1) + 7 + 6 ) =

  = 3 ( 1, − 2 = − 2 = + 3

  2

  2

  2 Untuk = 2

  ) = ( 2,1 = 2 3 3(2

  6

  • 13 + 1) + 13 + 8 ) =

  = 3 ( 2,2 − 2 = − 4 = + 4

  2

  2

  2 ) = 2 ; 2 ) = ) + 4 = 2 + 4 = 6

  ( 2,1 3 ≠ 0 → ( 2,3 ( 2,1

  • − 2 = 3 2 + 1 + 2 − 2 = 6 + 3 ( 2,
  • 7
  • 1) + 7
  • 2
  • 1 Untuk = 3
  • 7
  • 1) + 7
  • 10

  • 5 ( 3,1

  … ( 3,

  −1

  ) = 3 − 2 = 3 2 + 1 − 2 = 6 + 1

  (

  3,

  ) =

  3

  2 =

  3(2

  6

  2 − 2 =

  2 = 3

  

1,1 1,2 = 3 + 6 − = 3 2 + 1 + 6 − 1 = 6 + 8

  ( 1,1 ) = 6

  ) =

  2,2 2,3

  = 6

  1, −1 1, = 6 − + 1 = 6 2 + 1 − 1 + 1 = 12 + 6 1,1 1, = 3 +

  2 = 3 2 + 1 + 2 = 6 + 5

  Untuk = 2

  ( 3,1 ) + 1 = 3 + 1 = 4

  ) = 3; 3 3 = 0 → ( 3,3 ) =

  2 = 3

  6

  ( 2,

  −1

  ) = 3

  ) =

  3

  2 − 2 =

  3(2

  2 − 4 =

  6

  2 = 3

  (

  3,1

  ) = = 3

  ( 3,2 ) =

  3

  2 =

  3(2

  2 =

  • 1
  • 1) + 1
  • 4
  • 2 Pelabelan sisi-sisinya adalah sebagai berikut. Untuk = 1
  • 8 ; (6 + 8) 3 ≠ 0 → ( 2,2
  • 8 + 4 = 6
  • 12 …
  • 3

  

2,1 2,2 = 3 + 6 − = 3 2 + 1 + 6 − 2 = 6 + 7

  • 7 ; (6 + 7) 3 ≠ 0 → ( 2,2
  • 7 + 4 = 6
  • 11 …

  3,2 3,3

  □

  6 + 4, 6 + 5, 6 + 6, … , 12 + 6 . Hal ini sesuai dengan syarat pelabelan kuat yaitu bilangan yang merupakan label titik-titiknya lebih kecil daripada label sisi-sisinya. Itu artinya konstruksi pelabelan berlaku untuk = 2 + 1 untuk = .

  Dari konstruksi pelabelan di atas, terlihat bahwa label untuk titik- titiknya merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3, … , 6 + 3 dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif

  2 = 3 2 + 1 + 3 = 6 + 6

  3,1 3, = 3 +

  = 6 − + 1 = 6 2 + 1 − 3 + 1 = 12 + 4

  3, −1 3,

  = 6

  ) =

  ( 3,1 ) = 6

  3,1 3,2 = 3 + 6 = 3 2 + 1 + 6 = 6 + 9

  Untuk = 3

  2, −1 2, = 6 − + 1 = 6 2 + 1 − 2 + 1 = 12 + 5 2,1 2, = 3 + 1 = 3 2 + 1 + 1 = 6 + 4

  = 6

  2,2 2,3

  ) =

  ( 2,1 ) = 6

  • 9 ; 6 + 9 3 = 0 → ( 3,2
  • 9 + 1 = 6
  • 10 …
  • 3

  Akan dibuktikan bahwa untuk = + 1 juga benar, yaitu =

  • 1 − 3, = 1,2,3, … atau dengan kata lain pola yang kita gunakan adalah pola
  • 13
  • 3) + 13
  • 18
  • 9 ( 1,1

  • 1
  • 1 = 3
  • 5 Untuk = 2
  • =
  • 13
  • 3) + 13
  • 14
  • 7 ( 2,1
  • − 4 = 3 2 + 3 + 2 − 4 = 6 + 7 (
  • 8
  • 2 =
  • >2 = 3
  • 6 Untuk = 3<
  • =

  ( 2,1 ) =

  = 2 ( 2,2

  ) =

  3

  2 − 2 =

  3(2

  2 − 4 =

  6

  2 = 3

  ) = 2 ; 2 3 ≠ 0 → ( 2,3 ) =

  ( 2,1 ) + 4 = 2 + 4 = 6

  … (

  2, −1

  ) = 3

  2,

  ) =

  3 − 1

  2

  3 2 + 3 − 1

  2

  6

  2

  3 2 + 3 + 1

  2

  2 − 2 =

  pola pelabelan yaitu pola pelabelan untuk = 6 + 1, = 1,2,3, …maka untuk

  = 2 + 3, kita gunakan pola pelabelan untuk = 6 + 1 + 2 = 6 + 3 = 6

  = 6 − 3, = 1,2,3, … sehingga : Pelabelan titik-titiknya sebagai berikut.

  Untuk = 1

  (

  1,1

  ) = = 1

  ( 1,2 ) =

  3

  3(2

  3

  2 − 2 =

  6

  2 = 3

  ) = 1 ; 1 3 ≠ 0 → ( 1,3 ) =

  ( 1,1 ) + 4 = 1 + 4 = 5

  … ( 1,

  −1

  ) = 3 = 3 2 + 3 = 6 + 9

  ( 1, ) =

  2

  • 7
  • 3) + 7
  • 16
  • 8 ( 3,1

  • − 4 = 3 2 + 3 + 3 − 4 = 6 + 8 ( 3,

  • 8
  • 3 =
  • 4 Pelabelan sisi-sisinya adalah sebagai berikut. Untuk = 1
  • 14 ; 6 + 14 3 ≠ 0 → ( 2,2
  • 18 …
  • 1
  • 13 ; (6 + 13) 3 ≠ 0 → (
  • 13 + 4 = 6
  • 17 …

  2 = 3 2 + 3 + 1 = 6 + 10

  

1,1 1,2 = 3 + 6 − = 3 2 + 3 + 6 − 1 = 6 + 14

  ( 1,1 ) = 6

  ) =

  2,2 2,3

  = 6

  1, −1 1, = 6 − + 1 = 6 2 + 3 − 1 + 1 = 12 + 18 1,1 1, = 3 +

  Untuk = 2

  = 6

  2 = 3

  (

  2,1

  ) = 6

  2,2

  ) =

  2,2 2,3

  

2,1 2,2 = 3 + 6 − = 3 2 + 3 + 6 − 2 = 6 + 13

  2

  6

  2 = 3

  ( 3,2 ) =

  3

  2 =

  3(2

  2 =

  6

  ) = 3; 3 3 = 0 → ( 3,3 ) =

  3 2 + 3 − 1

  ( 3,1 ) + 1 = 3 + 1 = 4

  … ( 3,

  −1

  ) = 3

  ) =

  3 − 1

  2 =

  2, −1 2, = 6 − + 1 = 6 2 + 3 − 2 + 1 = 12 + 17 Untuk = 3

  3,1 3,2 = 3 + 6 = 3 2 + 3 + 6 = 6 + 15

  ) = 6 ) = ( 3,1 + 15 ; 6 + 15 3 = 0 → ( 3,2 3,2 3,3

  = 6

  • 15 + 1 = 6
  • 16 …

  3, 3,

  = 6 − + 1 = 6 2 + 3 − 3 + 1 = 12 + 16

  −1

  • 1

  3,1 3,

  = 3 + = 3 2 + 3 + 2 = 6 + 11

  2 Dari konstruksi pelabelan di atas, terlihat bahwa label untuk titik- titiknya merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3, … , 6 + 9 dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif

  6 + 10, 6 + 11, 6 + 12, … , 12 + 18 . Hal ini sesuai dengan syarat pelabelan kuat yaitu bilangan yang merupakan label titik-titiknya lebih kecil daripada label sisi-sisinya. Itu artinya konstruksi pelabelan berlaku untuk

  = 2 + 1 untuk = 1,2,3, …, dengan kata lain terbukti bahwa rumus pelabelan berlaku pada semua ≥ 3 dan bilangan ganjil.

  □

  Berikut ini diberikan Teorema yang menunjukkan bahwa graf multisikel 3 memenuhi , 2 SEATL.

  Teorema 3.3

  9

  • 5

  , 2 Pada graf multisikel (3 ) berlaku untuk ≥ 3 dan

  2 Bukti : Dengan melabeli titik-titik dan sisi-sisi berdasarkan Rumus 3.4.1 dan

  Rumus 3.4.2, diperoleh bahwa label titik-titiknya merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3, … , 3 dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif dari

  3 + 1, 3 + 2, 3 + 3, … , 6 . Hal ini menunjukkan graf multisikel (3 ) memenuhi syarat pelabelan kuat berdasarkan Definisi 2.2.3, akibatnya Persamaan (3.2) juga berlaku dalam hal ini.

  Untuk = 2, = 3, maka Persamaan (3.2) menjadi

  5

  3

  1

  • = −

  − 1

  2

  2

  2

  15

  3

  1

  • = − 3 − 1 2

  2

  2

  2 15 3 + 2 − 6

  • =

  2

  2

  9

  5 = +

  2

  2

  9

  • 5 =

  2

  9

  • 5

  Jadi terbukti bahwa pada graf multisikel (3 ) terdapat , 2 SEATL

  2

  untuk

  □ ≥ 3 dan bilangan ganjil.

  Sebagai ilustrasi dari Teorema 3.3 diberikan contoh pelabelan untuk graf multisikel (3 ) dengan ≥ 3, untuk ganjil.

  1,1

  9

  = 3

  1,2

  =

  3

  2

  = 8

  1

  2

  3

  8

  7

  6

  4

  5

  14

  15

  13

  12

  10

  11

  16

  17

  • 13
  • = 4 + 1 = 5
  • 13

  • = 4 + 2 = 6
  • 7

  2

  3 − 1

  2

Gambar 3.12 (16,2) SEATL pada 3

  3 Pola pelabelan graf multisikel (3

  3

  ) pada Gambar 3.12 di atas menggunakan pola pelabelan untuk = 6 − 3, = 1,2, …

  Langkah pelabelannya adalah sebagai berikut : Untuk pelabelan titik :

  1,1 = 1 1,2 =

  3

  2

  − 2 =

  9+13

  − 2 = 11 − 2 = 9

  1,3 =

  1,3 =

  3 − 1

  2

  2,1 = 2 2,2 =

  3

  2

  − 2 =

  9+13

  2

  − 4 = 11 − 4 = 7

  18

  Untuk pelabelan sisi :

  1,1 1,2 = 3 + 6 − = 14 1,2 1,3 = 14 + 4 = 18 1,1 1,3 = 3 +

  • 1
  • 1
    • Bobot sisi dengan label 10adalah10 + 1+ 5 = 16
    • Bobot sisi dengan label 11 adalah 11 + 3+ 4 = 18
    • Bobot sisi dengan label 12 adalah12 + 2+ 6 = 20
    • Bobot sisi dengan label 13 adalah 13 + 2+ 7 = 22
    • Bobot sisi dengan label 14 adalah 14 + 1+ 9 = 24
    • Bobot sisi dengan label 15 adalah 15 + 3+ 8 = 26
    • Bobot sisi dengan label 16 adalah 16 + 4+ 8 = 28
    • >Bobot sisi dengan label 17 adalah 17 + 7+ 6 = 30

  2

  = 9 + 1 = 10

  2,1 2,2 = 3 + 6 − = 13 2,2 2,3

  = 13 + 4 = 17

  2,1 2,3 = 3 + 3 = 9 + 3 = 12 3,1 3,2 = 3 + 6 = 15 3,2 3,3

  = 15 + 1 = 16

  3,1 3,3

  = 3 +

  2

  = 9 + 2 = 11 Pada Gambar 3.13 bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label

  10, yaitu 10 + 1 + 5 = 16. Perhitungan bobot sisi :

  Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 16, 18, 20, 22 , …, 32 dengan suku pertama 16 dan beda 2. Jadi Gambar 3.13 disebut (16,2) SEATL pada 3

  3. Akan diberikan contoh lain untuk 3 ,misal

  = 9 dan 13

  24

  23

  10

  7

  11

  9

  44

  48

  46

  45

  41

  49

  50

  40

  27

  19

  25

  20

  37

  54

  53

  39

  5

  6

  15

  14

  55

  36

  57

  35

  32

  31

  18

  2

  16

  1

  22

  12

  8

  47

  43

  51

  42

  26

  21

  52

  38

  13

  4

  56

  34

  33

  3

  17 Gambar 3.13 (43,2) SEATL pada 3

  9 Pola pelabelan yang digunakan adalah pola pelabelan untuk

  = 6 − 3, = 1,2,

  … Langkah pelabelannya adalah sebagai berikut : Untuk pelabelan titik :

  1,3 = 1 + 4 = 5 1,7 = 9 + 1 = 10 1,4 = 18 + 1 = 19 1,8 = 3 = 27

  3 − 1

  1,5 = 5 + 4 = 9

  • 1,9 = = 14

  2

  1,6 = 19 + 4 = 23 2,1 = 2 2,6 = 20 + 4 = 24

  3

  • 13 2,7 = 7 + 4 = 11 2,2

  = − 2 = 16

  2 2,8 = 3 + − 4 = 25 2,3 = 2 + 4 = 6

  3 − 1

  = 16 + 4 = 20

  • 2,4

  2,9

  = = 15

  2

  2,5 = 6 + 1 = 7 3,1 = 3 3,6 = 21 + 1 = 22

  3

  • 7

  = 17 3,7 = 8 + 4 = 12

  3,2 =

  2 3,8 = 3 + − 4 = 26 3,3 = 3 + 1 = 4

  3 − 1

  3,4 = 17 + 4 = 21 = 13 3,9 =

  2

  3,5 = 4 + 4 = 8

  Untuk pelabelan sisi :

  1,1 1,2 = 3 + 6 − = 32 1,2 1,3 = 32 + 4 = 36 1,3 1,4

  = 36 + 1 = 37

  1,4 1,5 = 37 + 4 = 41

  1,5 1,6 = 41 + 4 = 45 1,6 1,7 = 45 + 1 = 46 1,7 1,8 = 46 + 4 = 50 1,8 1,9 = 6 − + 1 = 54

  • 1 1,1 1,9 = 3 + = 27 + 1 = 28

  2

2,1 2,2 = 3 + 6 − = 31 2,6 2,7 = 44 + 4 = 48

2,2 2,3 = 31 + 4 = 35 2,7 2,8 = 48 + 1 = 49

2,3 2,4 2,8 2,9

  = 35 + 4 = 39 = 6 − + 1 = 53

  

2,4 2,5 = 39 + 1 = 40 2,1 2,9 = 3 + 3 = 30

2,5 2,6 = 40 + 4 = 44

3,1 3,2 = 3 + 6 = 33 3,6 3,7 = 43 + 4 = 47

3,2 3,3 3,7 3,8

  = 33 + 1 = 34 = 47 + 4 = 51

  3,3 3,4 = 34 + 4 = 38 3,8 3,9 = 6 − + 1 = 52

  • 1

  3,4 3,5 = 38 + 4 = 42 3,1 3,9

  = 3 +

  2

  3,5 3,6 = 42 + 1 = 43

  = 27 + 2 = 29 Pada Gambar 3.13, bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label

  28, yaitu 28 + 1 + 14 = 43. Perhitungan bobot sisi : Bobot sisi dengan label 28 adalah 28 + 1 + 14 = 43

  • Bobot sisi dengan label 30 adalah 30 + 2 + 15 = 47

  • Bobot sisi dengan label 31 adalah 31 + 2 + 16 = 49
  • Bobot sisi dengan label 32 adalah 32 + 1 + 18 = 51
  • Bobot sisi dengan label 33 adalah 33 + 3 + 17 = 53
  • Bobot sisi dengan label 34 adalah 34 + 4 + 17 = 55
  • Bobot sisi dengan label 35 adalah 35 + 6 + 16 = 57
  • Bobot sisi dengan label 36 adalah 36 + 5 + 18 = 59
  • Bobot sisi dengan label 37 adalah 37 + 5 + 19 = 61
  • Bobot sisi dengan label 38 adalah 38 + 4 + 21 = 63
  • Bobot sisi dengan label 39 adalah 39 + 6 + 20 = 65
  • Bobot sisi dengan label 40 adalah 40 + 7 + 20 = 67
  • Bobot sisi dengan label 41 adalah 41 + 9 + 19 = 69
  • Bobot sisi dengan label 42 adalah 42 + 8 + 21 = 71
  • Bobot sisi dengan label 43 adalah 43 + 8 + 22 = 73
  • Bobot sisi dengan label 44 adalah 44 + 7 + 24 = 75
  • Bobot sisi dengan label 45 adalah 45 + 9 + 23 = 77
  • Bobot sisi dengan label 46 adalah 46 + 10 + 23 = 79
  • Bobot sisi dengan label 47 adalah 47 + 12 + 22 = 81
  • Bobot sisi dengan label 48 adalah 48 + 11 + 24 = 83
  • Bobot sisi dengan label 49 adalah 49 + 11 + 25 = 85
  • Bobot sisi dengan label 50 adalah 50 + 10 + 27 = 87
  • Bobot sisi dengan label 51 adalah 51 + 12 + 26 = 89

  Bobot sisi dengan label 53 adalah 53 + 15 + 25 = 93

  • Bobot sisi dengan label 54 adalah 54 + 14 + 27 = 95
  • Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 43, 45, 47, 49

  , …, 95 dengan suku pertama 43 dan beda 2. Jadi Gambar 3.13 disebut (43,2) SEATL pada 3

  9 Contoh lain :

  10

  15

  29

  34

  14

  11

  30

  35

  67

  58

  69

  60

  66

  57

  65

  71

  62

  70

  56

  61

  18

  9

  16

  7

  31

  33

  75

  52

  74

  53

  39

  26

  77

  78

  25

  38

  49

  51

  21

  5

  19

  6

  41

  48

  40

  47

  44

  43

  24

  2

  1

  22

  12

  13

  28

  36

  68

  59

  72

  64

  63

  55

  8

  17

  32

  73

  54

  37

  27

  76

  50

  20

  4

  46

  42

  43

  3

  23 Gambar 3.14 (61,2) pada 3

  13 Pola pelabelan yang digunakan pada Gambar 3.14 yaitu pola pelabelan

  untuk = 6 + 1, = 1,2, …

  • 13
  • 7

  2

  = 23

  2

  3

  3,1 = 3 3,2 =

  2 − 2 = 19

  3

  2,11 = 15 + 1 = 16 2,12 = 3 + − 2 = 39 2,13 =

  = 31 + 4 = 35

  2,7 = 7 + 4 = 11 2,8 = 30 + 1 = 31 2,9 = 11 + 4 = 15 2,10

  = 26 + 4 = 30

  2,4 = 22 + 4 = 26 2,5 = 6 + 1 = 7 2,6

  = 2 + 4 = 6

  2,3

  − 2 = 22

  3

  3,3 = 3 + 1 = 4 3,4 = 23 + 4 = 27 3,6 = 27 + 1 = 28 3,7 = 8 + 4 = 12 3,8 = 28 + 4 = 32 3,9 = 12 + 1 = 13

  = 1 + 4 = 5

  Untuk pelabelan titik :

  1,1 = 1 1,2 =

  3

  2

  − 2 = 24

  1,3

  1,4 = 24 + 1 = 25 1,5 = 5 + 4 = 9 1,6

  2,1 = 2 2,2 =

  = 25 + 4 = 29

  1,7 = 9 + 1 = 10 1,8 = 29 + 4 = 33 1,9 = 10 + 4 = 14 1,10

  = 33 + 4 = 37

  1,11 = 14 + 4 = 18 1,12 = 3 + − 2 = 40 1,13 =

  3

  2 − 2 = 21

  • 13
  • 7
  • 7

  3

  • 1

  3,11 = 13 + 4 = 17

  = 20

  3,13 =

  2

  3,12 = 3 − 2 = 37

  Untuk pelabelan sisi :

  1,1 1,2 = 3 + 6 − = 44 1,2 1,3

  = 44 + 4 = 48

  1,3 1,4 = 48 + 1 = 49 1,4 1,5 = 49 + 4 = 53 1,5 1,6

  = 53 + 4 = 57

  1,6 1,7 = 57 + 1 = 58 1,7 1,8 = 58 + 4 = 62 1,8 1,9

  = 62 + 4 = 66

  1,9 1,10 = 66 + 1 = 67 1,10 1,11 = 67 + 4 = 71 1,11 1,12

  = 71 + 4 = 75

  1,12 1,13 = 6 − + 1 = 78

  • 3 1,1 1,13 = 3 + = 39 + 2 = 41

  2 2,1 2,2

  = 3 + 6 − = 43

  2,2 2,3 = 43 + 4 = 47 2,3 2,4 = 47 + 4 = 51

  2,5 2,6 = 52 + 4 = 56 2,6 2,7 = 56 + 4 = 60 2,7 2,8 = 60 + 1 = 61 2,8 2,9 = 61 + 4 = 65 2,9 2,10

  = 65 + 4 = 69

  2,10 2,11 = 69 + 1 = 70 2,11 2,12 = 70 + 4 = 74 2,12 2,13

  = 6 − + 1 = 77

  2,1 2,9 = 3 + 1 = 39 + 1 = 40 3,1 3,2 = 3 + 6 = 45 3,2 3,3 = 45 + 1 = 46 3,3 3,4

  = 46 + 4 = 50

  3,4 3,5 = 50 + 4 = 54 3,5 3,6 = 54 + 1 = 55 3,6 3,7

  = 55 + 4 = 59

  3,7 3,8 = 59 + 4 = 63 3,8 3,9 = 63 + 1 = 64 3,9 3,10

  = 64 + 4 = 68

  3,10 3,11 = 68 + 4 = 72 3,11 3,12 = 72 + 1 = 73

  3,12 3,13 = 6 − + 1 = 76 3,1 3,13

  • 3

  = 3 +

  2

  = 39 + 3 = 42 Pada Gambar 3.13 bobot terkecil dari sisinya adalah sisi dengan label

  40, yaitu 40 + 2 + 19 = 61. Perhitungan bobot sisi :

  • Bobot sisi dengan label 40 adalah 40 + 2 + 19 = 61
  • Bobot sisi dengan label 41 adalah 41 + 1 + 21 = 63
  • Bobot sisi dengan label 42 adalah 42 + 3 + 20 = 65
  • Bobot sisi dengan label 43 adalah 43 + 2 + 22 = 67
  • Bobot sisi dengan label 44 adalah 44 + 1 + 24 = 69
  • Bobot sisi dengan label 45 adalah 45 + 3 + 23 = 71
  • Bobot sisi dengan label 46 adalah 46 + 4 + 23 = 73
  • Bobot sisi dengan label 47 adalah 47 + 6 + 22 = 75
  • Bobot sisi dengan label 48 adalah 48 + 5 + 24 = 77
  • Bobot sisi dengan label 49 adalah 49 + 5 + 25 = 79
  • Bobot sisi dengan label 50 adalah 50 + 4 + 27 = 81
  • Bobot sisi dengan label 51 adalah 51 + 6 + 26 = 83
  • Bobot sisi dengan label 52 adalah 52 + 7 + 26 = 85
  • Bobot sisi dengan label 53 adalah 53 + 9 + 25 = 87
  • Bobot sisi dengan label 54 adalah 54 + 8 + 27 = 89
  • Bobot sisi dengan label 55 adalah 55 + 8 + 28 = 91
  • Bobot sisi dengan label 56 adalah 56 + 7 + 30 = 93
  • Bobot sisi dengan label 58 adalah 58 + 10 + 29 = 97

  • Bobot sisi dengan label 59 adalah 59 + 12 + 28 = 99
  • Bobot sisi dengan label 60 adalah 60 + 11 + 30 = 101
  • Bobot sisi dengan label 61 adalah 61 + 11 + 31 = 103
  • Bobot sisi dengan label 62 adalah 62 + 10 + 33 = 105
  • Bobot sisi dengan label 63 adalah 63 + 12 + 32 = 107
  • Bobot sisi dengan label 64 adalah 64 + 13 + 32 = 109
  • Bobot sisi dengan label 65 adalah 65 + 15 + 31 = 111
  • Bobot sisi dengan label 66 adalah 66 + 14 + 33 = 113
  • Bobot sisi dengan label 67 adalah 67 + 14 + 34 = 115
  • Bobot sisi dengan label 68 adalah 68 + 13 + 36 = 117
  • Bobot sisi dengan label 69 adalah 69 + 15 + 35 = 119
  • Bobot sisi dengan label 70 adalah 70 + 16 + 35 = 121
  • Bobot sisi dengan label 71 adalah 71 + 18 + 34 = 123
  • Bobot sisi dengan label 72 adalah 72 + 17 + 36 = 125
  • Bobot sisi dengan label 73 adalah 73 + 17 + 37 = 127
  • Bobot sisi dengan label 74 adalah 74 + 16 + 39 = 129
  • Bobot sisi dengan label 75 adalah 75 + 18 + 38 = 131
  • Bobot sisi dengan label 76 adalah 76 + 20 + 37 = 133
  • Bobot sisi dengan label 77 adalah 77 + 19 + 39 = 135
  • Bobot sisi dengan label 78 adalah 78 + 21 + 38 = 137

  Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa bobot sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika naik dari 61, 63, 65, 67 , …, 137 dengan suku pertama 61 dan beda 2. Jadi Gambar 3.13 disebut (61,2) SEATL pada 3

  13 .

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan

  Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa graf multsikel ( ) mempunyai sifat pelabelan total tak ajaib sisi kuat (SEATL). Beberapa sifat pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada graf multisikel ( ) adalah sebagai berikut.

  (a) ) mempunyai pelabelan total tak ajaib sisi Setiap graf multisikel (

  ( , ) dengan ≥ + 4 dan ≤ 3 untuk semua ≥ 1 dan ≥ 3. (b) ) berlaku pelabelan total tak ajaib sisi kuat

  Pada graf multisikel ( (2

  • 2,1) untuk ≥ 1 dan ≥ 3. Pola pelabelannya : Konstruksi graf multisikel ( ) dengan label titik-titiknya sebagai berikut :

  f (v ij ) = p (i

  • – 1) + j ; i = 1,2, … , m ; j = 1,2, …, p Sedangkan label dari sisi-sisinya adalah sebagai berikut :

  f (v ,v ) = (2m i,j i,j+1 – i + 1)p – j + 1 ; i = 1,2, … , m ; j = 1,2, …, p – 1 f (v i ,v ip ) = p (2m ; i =

  1 – i) + 1 1,2, … , m ; j = p

  9

  • 5

  ) , 2 (c) berlaku

  Pada graf multisikel (3 untuk ≥ 3,

  2

  untuk ganjil. Pola pelabelannya : Konstruksi graf multisikel ( ) dengan label titik sebagai berikut : 4.

  Untuk = 6 + 1, = 1,2,3, …

  • 13
  • 7
  • − 2

  ; = 3 5.

  = ; = 1, 2, 3 (

  ,

  ) =

  3

  2

  − 2 ;

  = 1, 2

  ,

  =

  3

  2

  Untuk = 6 − 1, = 1,2,3, … Untuk

  = 3 − 2 ;

  = 1 (

  ) = ; = 1, 2, 3

  Untuk = 2

  =

  3

  2

  − 2 ;

  = 1, 2 =

  3

  2

  ; = 3

  = 3 Untuk

  , −1

  Untuk = 3, 4, 5, … , − 2 ; = 1, 2, 3

  (

  ( ) =

  Untuk = 2

  =

  3

  2

  − 2 ;

  = 1, 2 =

  3

  2

  ; = 3

  Untuk = 3, 4, 5, … , − 2 ; = 1, 2, 3

  , −2

  ; = 1, 2

  ) 3 = 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 1 (

  , −2

  ) 3 ≠ 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 4 Untuk

  = − 1 (

  , −1

  ) = 3

  • 7
  • 1
  • 13
  • 7

  • − 3 Untuk =
  • 3
  • ;
  • 13

  ) + 4 Untuk

  Untuk = 3, 4, 5, … , − 2 ; = 1, 2, 3

  (

  , −2

  ) 3 = 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 1 (

  , −2

  ) 3 ≠ 0 → ( ) =

  (

  , −2

  = − 1; = 1, 2, 3

  2

  , −1

  = 3 ;

  = 1

  , −1

  = 3 + − 4 ;

  = 2, 3 Untuk

  =

  ,

  =

  3 −1

  2

  = 1,2

  ; = 3

  3

  3 −1

  2

  (

  , −2

  ) 3 ≠ 0 → ( ) =

  (

  , −2

  ) + 4 Untuk

  = − 1; = 1, 2, 3 (

  , −1

  ) = 3

  ,

  =

  3

  ; = 1

  = 1, 2 =

  ,

  =

  3 −5

  2

  = 2, 3 6. Untuk = 6 − 3, = 1,2,3, …

  Untuk = 1

  ( ) = ;

  = 1, 2, 3 Untuk

  = 2 =

  3

  2

  − 2 ;

  • 7
  • ;

  • +3

  • 1 ; = 2 5.
  • +3

  , , +1

  ; = 1,3 (

  ,1 ,

  ) = 3

  Untuk = 6 − 1, = 1,2,3, … Untuk

  = 1

  , , +1

  = 3 + 6 − ; = 1,2

  , , +1

  = 3 + 6 ; = 3 Untuk

  = 2, 3, 4, … , − 2; = 1, 2, 3, (

  ) 3 = 0 → (

  ) = 3

  , +1 , +2

  ) = (

  , , +1

  ) + 1 (

  , , +1

  ) 3 ≠ 0 → (

  , +1 , +2

  ) = (

  , , +1

  ) + 4 Untuk

  

2

  ,1 ,

  Konstruksi pelabelan sisi sebagai berikut: 4.

  ) = (

  Untuk = 6 + 1, = 1,2,3, … Untuk

  = 1

  , , +1

  = 3 + 6 − ; = 1,2

  , , +1

  = 3 + 6 ; = 3 Untuk

  = 2, 3, 4, … , − 2; = 1, 2, 3, (

  , , +1

  ) 3 = 0 → (

  , +1 , +2

  , , +1

  (

  ) + 1 (

  , , +1

  ) 3 ≠ 0 → (

  , +1 , +2

  ) = (

  , , +1

  ) + 4 Untuk

  = − 1; = 1,2,3 (

  , −1 ,

  ) = 6 − + 1

  Untuk = ; = 1,2,3

  = − 1

  • 1 ; = 2 6.

  , −1 ,

  ) + 1 (

  , , +1

  ) 3 ≠ 0 → (

  , +1 , +2

  ) = (

  , , +1

  ) + 4 Untuk

  = − 1; = 1,2,3

  = 6 − + 1 Untuk

  ) = (

  = ; = 1,2,3 (

  ,1 ,

  ) = 3

  

2

  ; = 1,3 (

  ,1 ,

  ) = 3

  Untuk penelitian selanjutnya, pembaca dapat meneliti bagaimana rumus umum , dengan = 2 pada graf multisikel (

  ) untuk yang lain atau pada multigraf yang lain, misalnya multi-bipartit komplit,

  , , +1

  , +1 , +2

  ,1 ,

  ) 3 = 0 → (

  ) = 6 = 3

  Untuk = ; = 1,2,3

  (

  ,1 ,

  ) = 3

  

2

  ; = 1,3 (

  ) = 3

  (

  Untuk = 6 − 3, = 1,2,3, … Untuk

  = 1

  , , +1

  = 3 + 6 − ; = 1,2

  , , +1

  = 3 + 6 ; = 3 Untuk

  = 2, 3, 4, … , − 2; = 1, 2, 3, (

  , , +1

  , −1 ,

  • +1

  • 3 ; = 2

4.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

  Arif B.P., Dominikus, (2008), “Vertex Antimagic Total Labeling on Multicycle

  and Multicomplete Bipartite”, Thesis Math. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh November.

  Dafik, M. Miller, J. Ryan, dan M. Baca (2009), On super (a, d)-edge-antimagic total labelings of disconnected graphs , Discrete Math., 309, 4909-4915.

  Hartsfield, N. dan Ringel, G. (1990), Pearls in Graph Theory, Academic Press, Boston – San Diego – New York – London. Simanjuntak dan Ngurah dan Baskoro (2006), On (a, d)-edge-antimagic total labeling of mC n , Bull. Inst. Combin. Appl., 48, 35-44.

  Suryadi, 1994, “Teori Graf Dasar”.Jakarta: Gunadarma. Wallis, W.D. (2001), Magic Graph, Birkhauser. WennyS.,Cosmas (2012), “Vertex Antimagic Total Labeling on cycle graph with one extra arm”, Skripsi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

  West, D.B. (2001), An Introduction to Graph Theory, Second Edition, Urbana Prentice Hall: Mathematics Department, University of Illinois.

  Wiitala, S.A. (1987), Discrete Matematics : An Unified Approach, New York: MacGraw-Hill, Inc.

  Xu, Jumming, 2003, Theory and Application of Graphs, Kluwer Academic Publishers : Mathematics Department, University of Sci. and Tech. of China. Hefei – Anhui – China.

Dokumen baru