Grafik pengendali T2 Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi - USD Repository

Gratis

0
0
111
9 months ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU DALAM PROSES PRODUKSI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Ratna Sari 103114013 PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014

(2) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU DALAM PROSES PRODUKSI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Ratna Sari 103114013 PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014 i

(3) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ii

(4) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iii

(5) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iv

(6) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MOTTO DAN PERSEMBAHAN “No GAIN without PAIN” Skripsi ini aku persembahkan untuk:  Bapak dan ibu tercinta  Kakakku Bagus Saputro, adikku Adi Saputro, dan keponakanku Denisa  Seluruh anggota keluarga besarku  Febri Ariwibawa yang kusayang  Semua sahabat-sahabatku yang selalu menemani dan mendukung setiap langkahku v

(7) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI vi

(8) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI KATA PENGANTAR Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi ini dapat berjalan lancar. Sholawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabatnya, Amin. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari hambatan dan kesulitan, namun berkat bantuan dari berbagai pihak maka penyusunan skripsi ini dapat berjalan dengan baik. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., yang dengan penuh kesabaran dan keikhlasan dalam membimbing, mengarahkan dan selalu memotivasi saya dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma. 3. Teman-teman Prodi Matematika angkatan 2010 yang bersama-sama berjuang demi sebuah kelulusan. 4. Kedua orang tuaku yang selalu sabar menghadapi tingkah laku putrinya. 5. Adikku si gendut Adi Saputro yang selalu menyayangiku. 6. Febriku sayang yang telah sabar membantu dan memberikan semangat. 7. Semua sahabat-sahabatku yang sedang berjuang bersama-sama meraih cita-cita. 8. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. vii

(9) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Segala kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT, semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan tambahan pengetahuan bagi pembaca, mohon maaf atas segala kekurangan, Terima kasih. Yogyakarta, 12 Agustus 2014 Penulis Ratna Sari viii

(10) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii HALAMAN PERNYATAAN PUBLIKASI........................................................ iv HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS .............................. vi HALAMAN KATA PENGANTAR ................................................................... vii HALAMAN DAFTAR ISI.................................................................................. ix HALAMAN DAFTAR LAMPIRAN ................................................................. xii ABSTRAK ...................................................................................................... xiii ABSTRACT .................................................................................................... xiv BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1 A. Latar Belakang Masalah .......................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................... 5 C. Batasan Masalah .................................................................... 5 D. Tujuan Penulisan .................................................................... 5 E. Manfaat Penulisan ................................................................... 6 F. Metode Penulisan .................................................................... 6 G. Sistematika Penulisan ............................................................. 6 BAB II LANDASAN TEORI .................................................................... 9 A. Grafik Pengendali ................................................................... 9 1. Grafik Pengendali Variabel............................................ 13 2. Grafik Pengendali dan S ............................................ 14 B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 19 C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat .............. 22 1. Nilai Harapan Variabel Random .................................... 22 2. Variansi Variabel Random ............................................. 22 ix

(11) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random ........................ 22 4. Independensi Variabel Random ..................................... 23 5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika Univariat ....................................................................... 24 D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat .......... 27 1. Vektor Random dan Matriks Random ............................ 27 2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi ..................... 28 3. Menyekat Matriks Kovariansi ........................................ 31 4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear Variabel Random ............................. 33 5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi Sampel ........................................................ 36 6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks Kovariansi Sampel ........................................... 38 7. Variansi yang Diperumum ............................................. 43 8. Distribusi Normal Multivariat ....................................... 44 9. Fungsi Densitas Normal Bivariat .................................. 46 E. Metode Fungsi Pembangkit Momen ..................................... 48 F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal ................................................................................ 53 BAB III T2 HOTELLING ........................................................................ 58 A. Distribusi T2 Hotelling ........................................................ 58 B. Daerah Kepercayaan Elips ................................................... 59 C. Grafik Pengendali T2 Hotelling ............................................ 64 BAB IV APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING ............. 71 A. Gambaran Umum Perusahaan............................................... 71 B. Proses Produksi ................................................................... 72 C. Penerapan Pengendalian Mutu Perusahaan ........................... 73 D. Analisis Grafik Pengendali .................................................. 75 1. Grafik Pengendali pH dan Kekeruhan Air ..................... 75 2. Grafik Pengendali Kekeruhan Air dan TDS ................... 77 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN .................................................. 80 x

(12) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI A. Kesimpulan .......................................................................... 80 B. Saran ............................................................................. 81 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 82 LAMPIRAN ...................................................................................................... 83 xi

(13) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Faktor-Faktor untuk Menentukan Grafik Pengendali Variabel ....... 83 Lampiran 2. Distribusi, Fungsi Probabilitas, Rata-Rata, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen ...................................................................... 84 Lampiran 3. Titik Presentase Distribusi F ......................................................... 86 Lampiran 4. Total pemakaian air dan total produksiAMDK pada bulan Januari hingga April 2006 ......................................................................... 91 Lampiran 5. Proses Produksi AMDK PT. SBQUA ............................................ 92 Lampiran 6. Tabel Perhitungan pH dan Kekeruhan Air ..................................... 93 Lampiran 7. Tabel Perhitungan Kekeruhan Air dan TDS ................................... 94 Lampiran 8. Program MATLAB untuk Daerah Kepercayaan Elips .................... 95 xii

(14) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRAK GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU DALAM PROSES PRODUKSI Ratna Sari 103114013 Universitas Sanata Dharma Yogyakarta 2014 Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui landasan teori matematis dari grafik pengendali T2 Hotelling dan mengaplikasikan metode T2 Hotelling pada produk yang terdiri dari dua karakteristik mutu. Untuk memahami grafik pengendali T2 Hotelling diperlukan pemahaman tentang aljabar linear yaitu nilai dan vektor eigen, nilai harapan dan variansi dalam statistika univariat dan multivariat, distribusi sampling yang berhubungan dengan distribusi normal, dan distribusi T2 Hotelling. Grafik pengendali T2 Hotelling dapat digunakan untuk menganalisis apakah suatu proses terkendali atau tidak berdasarkan variabel bivariat yang relevan. Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh pada PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA), dapat disimpulkan bahwa aplikasi grafik pengendali T2 Hotelling Bivariat untuk karakteristik mutu pH dan kekeruhan air dalam tank penampungan bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 5, 14, dan 16 berada diluar batas pengendali. Sedangkan pada grafik pengendali untuk karakteristik mutu kekeruhan air dan TDS dalam tank penampungan bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 3, 4, dan 13 berada diluar batas pengendali. xiii

(15) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRACT T2 HOTELLING CONTROL CHART FOR MONITORING AND QUALITY CONTROL IN THE PRODUCTION PROCESS Ratna Sari 103114013 Universitas Sanata Dharma Yogyakarta 2014 This research aims to understand and apply the foundations of mathematical theory of T2 Hotelling Control Chart on the product consists of two quality characteristics. To understand the T2 Hotelling Control Chart it need linear algebra, eigenvectors and eigenvalues, expectations and variance in univariate and multivariate statistics, sampling distributions related to the normal distribution, and the distribution of T2 Hotelling. T2 Hotelling control chart can be used to analyze whether a process is under control or not based on the relevant variables bivariat. Based on the data analysis at PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA), it can be concluded that the application of T2 Hotelling Control Chart Bivariate quality characteristics for pH and turbidity of the water in the tank raw material shelter indicate uncontrolled process due to sample number 5, 14, and 16 which are outside of the control limit. While the characteristics of the quality of water turbidity and TDS in tanks raw material shelter indicate uncontrolled process because the sample number 3, 4, and 13 are outside of the control limit. xiv

(16) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB I PENDAHULUAN I. LATAR BELAKANG MASALAH Dewasa ini orang mengenal barang-barang dan jasa yang beraneka ragam macamnya untuk memenuhi kebutuhannya. Barang dan jasa tersebut dibuat atau di produksi untuk kebutuhan manusia. Produksi barang dan jasa tersebut menggunakan faktor-faktor produksi alam, tenaga kerja, modal dan teknologi. Pada hakekatnya produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu dan tempat atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi pemenuhan kebutuhan manusia. Proses perubahan bentuk dan faktor-faktor produksi tersebut disebut proses produksi. Dalam era modern seperti saat ini, persaingan dalam dunia industri sangatlah ketat. Perkembangan teknologi canggih dari tahun ketahun menuntut suatu hasil produksi dari suatu perusahaan dalam hal ketelitian pekerjaan, ketepatan waktu produksi, standar produksi, dan persaingan di pasar internasional. Oleh sebab itu masalah mutu menjadi hal yang penting untuk diperhatikan oleh perusahaan. Mutu merupakan suatu unsur yang sangat mutlak pada setiap produk atau jasa yang dihasilkan oleh suatu perusahaan untuk menghasilkan suatu produksi yang maksimal dengan mutu yang tinggi serta terjangkau oleh konsumen. Pada kenyataannya masih banyak terdapat produk atau jasa yang tidak memenuhi standar 1

(17) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2 atau mengalami kegagalan dalam proses produksinya. Penting bagi setiap perusahaan untuk memperhatikan produksi mulai dari pengadaan bahan sampai dengan proses produksi selesai. Pengendalian mutu berfungsi untuk menjaga agar suatu sistem tetap efektif dalam memperbaiki mutu produk atau jasa yang dihasilkan oleh perusahaan, sehingga produksi dan pemasaran dapat berada pada tingkat yang paling ekonomis, dengan demikian pelanggan selalu mendapatkan kepuasan. Untuk mengidentifikasi mutu yang ingin dicapai dan untuk melihat tingkat kepuasan konsumen terhadap barang yang dihasilkan, maka statistika pengendalian mutu sangat penting dipelajari untuk melihat perkembangan mutu barang yang diproduksi. Dengan demikian, perusahaan dapat meningkatkan mutu suatu barang dengan lebih baik lagi. PT. I merupakan salah satu perusahaan yang memproduksi kertas dengan orientasi mutu ekspor. Oleh sebab itu, mutu produk menjadi perhatian utama perusahaan untuk menjaga loyalitas konsumen terhadap perusahaan dan dengan demikian meningkatkan dominasi pasar. Salah satu produk yang dihasilkan oleh PT. I adalah kertas memo. Mutu kertas memo ditentukan oleh beberapa karakteristik, diantaranya yaitu ketebalan kertas, penyebaran warna, dan kerapatan kertas. Perusahaan telah menentukan batas spesifikasi untuk masing-masing karakteristik tersebut. Produk dianggap cacat atau tidak memenuhi standar apabila terdapat setidaknya satu dari karakteristik tersebut tidak berada dalam interval sepesifikasi yang telah ditentukan perusahaan.

(18) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3 Setiap produk memiliki sejumlah unsur yang menggambarkan pikiran pengguna tentang mutu. Unsur-unsur ini biasanya disebut karakteristik mutu. Terkadang disebut juga critical-to-quality (CTQ) characteristics. Karakteristik mutu terdiri dari beberapa jenis, yaitu: 1. Fisik: panjang, berat, tegangan, kekentalan 2. Indera: ras, penampilan, warna 3. Orientasi waktu: tahan uji, daya tahan, berguna Mutu keteknikan adalah kumpulan cara kerja, managerial, dan aktivitas keteknikan yang perusahaan gunakan untuk memastikan karakteristik mutu dari produk berada pada interval yang ditentukan dan faktor-faktor lain yang ada disekitar produk tersebut berada pada tingkat yang minimal. Statistika adalah kumpulan teknik pengambilan keputusan tentang proses atau populasi berdasarkan pada suatu analisis informasi yang terkandung dalam suatu sampel dari populasi tersebut. Metode statistika juga memainkan peranan penting dalam pengendalian dan peningkatan mutu. Metode statistika memberikan cara-cara pokok dalam pengambilan sampel produk, pengujian serta evaluasinya, dan informasi dalam data itu digunakan untuk mengendalikan dan meningkatkan proses pembuatan. Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik pengendali (control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga parameter suatu

(19) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 4 proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk menentukan kemampuan proses. Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat digunakan untuk mengukur dua atau lebih karakteristik mutu. Secara umum grafik pengendali dibedakan menjadi 2 macam, yaitu grafik pengendali untuk variabel dan grafik pengendali untuk atribut. Salah satu pendekatan yang digunakan dalam memantau mutu produk pada kasus multivariat adalah dengan menggunakan metode grafik pengendali T2 Hotelling. Sebagai contoh jika kita akan menguji salah satu produk dari PT. I yaitu kertas memo, ada tiga karakteristik yang harus dipenuhi, yaitu ketebalan kertas ( x 1 ), penyebaran warna ( x 2 ), dan kerapatan  x1  kertas ( x 3 ) maka X   x 2  dapat dijadikan sebagai statistik uji. Statistik T 2 disebut  x 3  T 2 Hotelling untuk menghormati Harold Hotelling, seorang pelopor analisis multivariat yang pertama kali menghasilkan distribusi sampling.

(20) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5 Pada tugas akhir ini akan dibahas bagaimana menggunakan grafik pengendali T 2 Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi. II. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan permasalahan: 1. Bagaimana landasan matematis dari grafik pengendali T 2 Hotelling ? 2. Bagaimana mengaplikasikan grafik pengendali T2 Hotelling untuk mengendalikan mutu produk yang terdiri dari beberapa karakteristik mutu? III. BATASAN MASALAH Batasan permasalahnya yaitu: 1. Grafik pengendali yang digunakan adalah Grafik pengendali variabel X dan R 2. Grafik pengendali T2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan produk yang terdiri dari dua karakteristik mutu. 3. Dasar-dasar teori yang dibahas hanya materi-materi yang berkaitan langsung dengan grafik pengendali T2 Hotelling. IV. TUJUAN PENULISAN 1. Mengetahui landasan teori matematis dari grafik pengendali T 2 Hotelling. 2. Mengaplikasikan metode T2 Hotelling pada produk yang terdiri dari dua karakteristik mutu.

(21) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 6 V. MANFAAT PENULISAN Tugas akhir ini diharapkan dapat bermanfaat bagi: 1. Penulis Penelitian ini merupakan kesempatan yang sangat bermanfaat untuk menambah pengetahuan dan pengalaman yang berharga dalam menerapkan teori-teori yang pernah didapatkan ketika kuliah ke dalam kondisi yang nyata. 2. Perusahaan Penelitian ini diharapkan dapat digunakan oleh perusahaan-perusahaan sebagai referensi tambahan pada evaluasi proses pemantauan dan pengendalian mutu yang selanjutnya dapat dipergunakan untuk mengambil tindak lanjut. 3. Universitas Sanata Dharma Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan pengetahuan dan informasi bagi peneliti lain. VI. METODE PENULISAN Pada penelitian ini akan digunakan metode studi pustaka. VII. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I : PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah

(22) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7 D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan H. Daftar Pustaka BAB II : LANDASAN TEORI A. Grafik Pengendali 1. Grafik Pengendali Variabel 2. Grafik Pengendali X dan S B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat 1. Nilai Harapan Variabel Random 2. Variansi Variabel Random 3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random 4. Independensi Variabel Random 5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi dalam Statistika Univariat D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat 1. Vektor dan Matriks Random 2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi 3. Menyekat Matriks Kovariansi

(23) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 8 4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear Variabel Random 5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi Sampel 6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks Kovariansi Sampel 7. Variansi yang Diperumum 8. Distribusi Normal Multivariat 9. Fungsi Densitas Normal Bivariat E. Metode Fungsi Pembangkit Momen F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal BAB III : T2 HOTELLING A. Distribusi T2 Hotelling B. Grafik Pengendali T2 Hotelling BAB IV : APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T 2 HOTELLING BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN

(24) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Grafik Pengendali Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik pengendali (control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga parameter suatu proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk menentukan kemampuan proses. Gambar 2.1. Grafik pengendali Bentuk dasar grafik pengendali pada Gambar 2.1 berupa grafik karakteristik mutu yang telah diukur terhadap nomor atau waktu sampling. Grafik tersebut memuat garis tengah yang merupakan nilai rata-rata karakteristik mutu, Batas 9

(25) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 10 Pengendali Atas (BPA), dan Batas Pengendali Bawah (BPB). Proses dianggap terkendali apabila semua titik-titik sampel berada diantara batas pengendali dan tidak diperlukan tindakan apapun, namun apabila ada satu titik terletak di luar batas pengendali maka proses tersebut dikatakan tidak terkendali dan diperlukan tindakan penyidikan dan perbaikan untuk mendapatkan kemudian menyingkirkan sebab atau sebab dugaan yang menyebabkan proses tersebut tidak terkendali. Proses juga dikatakan tidak terkendali apabila titik-titik sampel tersebut berpola secara sistematik atau tak random meskipun semua titik terletak di dalam batas pengendali. Misalnya apabila 13 dari 15 titik terakhir terletak diantara garis tengah dan BPA dan hanya dua dari titik-titik ini terletak di antara garis tengah dan BPB, maka diduga bahwa ada sesuatu yang tidak terkendali. Proses tersebut terkendali apabila semua titik-titik pada grafik memiliki pola yang pada dasarnya random. Namun metode melihat pola ini tidak dapat diterapkan sebagai penolong dalam menyidik keadaan yang tidak terkendali. Biasanya ada alasan mengapa pola tak random tertentu tampak dalam grafik pengendali. Buku pedoman Western Electric (1956) mengusulkan sekumpulan aturan pengambilan keputusan untuk penyidikan pola tak random pada grafik pengendali. Buku tersebut mengusulkan bahwa proses tak terkendali apabila memenuhi salah satu dari hal-hal berikut: 1. Satu titik jatuh di luar batas pengendali 3-sigma. 2. Dua dari tiga titik yang berurutan jatuh di luar batas peringatan 2-sigma.

(26) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 11 3. Empat dari lima titik yang berurutan jatuh pada jarak 1-sigma atau lebih jauh dari garis tengah. 4. Delapan titik yang berurutan jatuh pada satu sisi dari garis tengah. Aturan-aturan tersebut berlaku pada satu sisi antara garis tengah dan batas pengendali pada satu waktu. Aturan-aturan ini sangat efektif dalam praktek untuk mempertinggi kepekaan grafik pengendali. Terdapat juga beberapa kriteria yang digunakan secara luas dalam praktek, ketika kita memeriksa grafik pengendali dan menyimpulkan bahwa proses tersebut tidak terkendali apabila dipenuhi salah satu atau beberapa kriteria dibawah. 1. Satu atau beberapa titik berada di luar batas pengendali. 2. Suatu siklus dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam siklus dapat berbentuk siklus naik atau turun, siklus di atas atau di bawah garis tengah, atau siklus di atas atau dibawah median. 3. Dua atau tiga titik yang berurutan berada di luar batas peringatan 2-sigma, tetapi masih di dalam batas pengendali. 4. Empat atau lima titik yang berurutan berada di luar batas 1-sigma. 5. Pola tak biasa atau tak random dalam data. 6. Satu atau beberapa titik berada di dekat satu batas peringatan atau pengendali. Misalkan w adalah statistik sampel yang mengukur suatu karakteristik mutu, dan adalah rata-rata w dan grafik pengendali adalah standar deviasi w, maka model umum untuk

(27) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 12 BPA   w  k w Garis Tengah   w BPB dengan k (2.1)   w  k w adalah “jarak” batas-batas pengendali dari garis tengah yang dinyatakan dalam unit standar deviasi. Teori ini pertama kali ditemukan oleh Dr. Walter A. Shewhart, dan grafik pengendali yang dikembangkan menurut asas-asas ini seringkali dinamakan Grafik Pengendali Shewhart. Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat digunakan untuk mengukur dua atau lebih karakteristik mutu. Grafik pengendali dapat diklasifikasikan ke dalam dua tipe umum. Apabila karakteristik mutu dapat diukur dan dinyatakan dalam suatu bilangan, grafik pengendalinya dinamakan grafik pengendali variabel. Dalam hal seperti itu, tepat sekali menggambarkan karakteristik mutu dengan ukuran tengah dan ukuran variabilitas. Grafik pengendali untuk nilai tengah dan variabilitas bersama-sama dinamakan grafik pengendali variabel. Grafik merupakan grafik yang paling luas digunakan untuk pengendalian nilai tengah, sedangkan grafik yang berdasarkan rentang sampel atau standar deviasi sampel digunakan untuk mengendalikan variabilitas proses. Banyak karakteristik mutu tidak dapat tepat digambarkan secara numerik. Dalam beberapa kasus, kita biasanya menggolongkan setiap produk untuk memeriksanya apakah sesuai atau tidak

(28) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 13 dengan spesifikasi karakeristik mutu. Istilah “cacat” atau “tidak cacat” sering digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi produk tersebut. Kedua istilah tersebut dapat diklasifikasikan ke dalam variabel khusus yang biner. Grafik untuk karakteristik mutu seperti ini dinamakan grafik pengendali sifat (atribut). 2.1.1 Grafik Pengendali Variabel Banyak karakteristik mutu yang dapat dinyatakan dalam suatu bilangan. Misalnya, diameter ban dapat diukur dengan mikrometer dan dinyatakan dalam centimeter. Suatu karakteristik mutu yang dapat diukur seperti dimensi, berat, atau volume, dinamakan variabel. Apabila yang diukur adalah karakteristik mutu (variabel), maka perlu mengendalikan nilai rata-rata karakteristik mutu dan variabilitasnya. Pengendalian rata-rata tingkat mutu biasanya dengan grafik pengendali rata-rata atau grafik . Variabilitas atau pemencaran proses dapat dikendalikan dengan grafik pengendali untuk standar deviasi, yaitu grafik S, atau grafik pengendali untuk rentang, yaitu grafik R. Sangat penting untuk memelihara pengendalian rata-rata dan variabilitas proses, Gambar 2.2 menunjukkan hasil suatu proses produksi. Dalam Gambar 2.2(a) rata-rata dan standar deviasi terkendali pada nilai nominalnya ( dan ), karena itu kebanyakan proses jatuh dalam batas spesifikasi. Namun dalam Gambar 2.2(b) telah bergeser ke nilai , mengakibatkan produk yang

(29) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 14 tidak sesuai lebih tinggi. Dalam Gambar 2.2(c) standar deviasi proses telah bergeser ke suatu nilai . Hal ini mengakibatkan proses yang tidak terkendali lebih tinggi, meskipun masih pada nilai nominal. (a) (b) (c) Gambar 2.2 Perlunya mengendalikan rata-rata proses dan variabilitas proses 2.1.2 Grafik Pengendali dan S Andaikan karakteristik mutu berdistribusi Normal dengan rata-rata standar deviasi yang diketahui. Jika n, maka rata-rata sampelnya adalah dan merupakan sampel berukuran

(30) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 15 X  x1  x 2    x n n menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan Richard L. Scheaffer (2008) bahwa X berdistribusi Normal dengan rata-rata dan standar deviasi . Setiap rata-rata sampel akan berada di antara   Z  / 2 x    Z  / 2  (2.2a) n dan   Z  / 2 x    Z  / 2 dengan probabilitas 1 Dengan demikian, jika  (2.2b) n . dan diketahui, persamaan (2-2a) dan (2-2b) dapat digunakan sebagai BPA dan BPB pada grafik pengendali rata-rata sampel. Nilai Z  / 2 diganti dengan 3, sehingga digunakan batas 3-sigma. Jika suatu rata-rata sampel berada di luar batas ini, maka rata-rata proses tidak lagi sama dengan . Dalam praktek, biasanya dan tidak diketahui. Oleh karena itu nilai-nilai tersebut harus diduga dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses tersebut diduga terkendali. Dugaan ini harus didasarkan pada paling sedikit 20 sampai 25 sampel. Misalkan tersedia m sampel, masing-masing memuat n observasi pada karakteristik mutu tersebut dan misalkan adalah rata-

(31) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 16 rata tiap sampel. Maka penduga terbaik untuk rata-rata proses adalah rata-rata keseluruhan, yaitu X  x1  x 2    x m (2.3) m Jadi X akan digunakan sebagai garis tengah grafik x itu. Jika adalah variansi dari distribusi probabilitas yang tidak diketahui, maka penduga tak bias untuk adalah variansi sampel n  (x S 2  i  x) 2 i 1 n 1 namun, standar deviasi sampel S bukan penduga tak bias untuk . Jika distribusi yang melandasi adalah Normal, sebenarnya S menduga c 4 dengan c4 adalah suatu konstanta yang bergantung pada ukuran sampel n. Selanjutnya menurut Douglas C. Montgomery, bahwa dalam Pengantar Pengendalian Mutu Statistik (1990), standar deviasi S adalah  1  c 42 dengan c 4  dapat digunakan untuk membuat grafik pengendali Karena E(S)= c 4 4 ( n  1) 4n  3 . Informasi ini dan S. , garis tengah grafik tersebut adalah c 4 . Batas pengendali 3-sigma bagi S adalah BPA  c 4   3 1  c4 BPB  c 4   3 1  c4 2 2 (2.4)

(32) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 17 didefinisikan konstanta untuk B 5  c 4   3 1  c 4 2 (2.5a) B 6  c 4   3 1  c 4 (2.5b) dan 2 dengan demikian batas pengendali untuk grafik S menjadi BPA  B 6  Garis tengah  c 4  (2.6) BPB  B 5  Nilai-nilai c 4 , B 5 , dan B 6 ditabelkan dalam Tabel Lampiran 1 untuk berbagai himpunan bagian. Parameter grafik x adalah BPA    A  Garis tengah   (2.7) BPB    A  dengan A = 3 / n . Jika nilai standar bagi  tidak diberikan, maka diduga dengan data yang lalu. Andaikan ada m sampel awal masing-masing berukuran n, dan misalkan S i adalah standar deviasi sampel ke-i. Rata-rata m standar deviasi tersebut adalah S  1 m m S i 1 i

(33) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 18 Statistik S / c 4 adalah penduga tak bias untuk  . Dengan demikian, parameter grafik S menjadi BPA  S  3 S 1  c4 2 c4 Garis tengah  S BPB  S  3 (2.8) S 1  c4 2 c4 Biasanya didefinisikan konstanta B3  1  3 c4 1  c4 2 (2.9a) 1  c4 (2.9b) dan B4  1  3 c4 2 Dengan demikian parameter grafik S dapat ditulis sebagai BPA  B 4 S Garis tengah  S (2.10) BPB  B 3 S Perhatikan bahwa B 4  B 6 / c 4 dan B 3  B 5 / c 4 . Apabila S / c 4 digunakan untuk menduga  , batas pengendali grafik dapat didefinisikan sebagai

(34) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 19 BPA  x  3S c4 n Garis tengah  x BPB  x  (2.11) 3S c4 n Andaikan konstanta A3  3 /( c 4 n ) . Maka parameter grafik menjadi BPA  x  A 3 S Garis tengah  x (2.12) BPB  x  A 3 S 2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.2.1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) matriks yang berukuran Andaikan A adalah suatu . Skalar  disebut sebagai nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax =  x . Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A yang bersesuaian dengan  . Contoh 2.2.1 4 Andaikan A   1  2 2  dan x    1  1  Karena 4 Ax   1  2  1  2  6  2   3        3x 1  3  1 

(35) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 20 dari persamaan terlihat bahwa   3 adalah nilai eigen dari A dan x  [ 2 ,1 ]' adalah vektor eigen dari  . Sebarang kelipatan taknol dari x akan menjadi vektor eigen, karena A ( x )   A x    x   ( x ) Jadi, sebagai contoh, [4,2]’ juga merupakan vektor eigen dari  4  1  3.  2   4  12  4        3  1  2  6  2 Persamaan Ax =  x dapat dituliskan dalam bentuk  A   I x  0 (2.13) Jadi  adalah nilai eigen dari A jika hanya jika (2.13) memiliki penyelesaian tak trivial. Persamaan (2.13) akan memiliki peyelesaian tak trivial jika hanya jika  A   I  singular atau det  A   I   0 (2.14) Jika determinan pada (2.14) diuraikan, akan didapatkan suatu polinom berderajat ke-n dalam peubah  . p (  )  det  A   I  Polinom ini disebut polinom karakteristik dan (2.14) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen dari A.

(36) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 21 Contoh 2.2.2 Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks 3 A  3 2    2 Persamaan karakteristiknya adalah 3 2 3 2 Nilai-nilai eigen dari A adalah  1 dari  1  4,  0 atau  4 dan  2     12  0 2  3 . harus ditentukan kernel (ruang nol) dari  1 A  4I    3 Dengan menyelesaikan  A  4 I x  0 Untuk mencari vektor eigen A  4I . 2    6 , didapatkan  x  2 x 2 ,x 2  Jadi semua kelipatan taknol dari [2,1]’ adalah vektor eigen dari  1 . Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen dari  2 harus diselesaikan  A  3 I x  0. Vektor eigen dari  2 adalah semua kelipatan taknol dari [-1,3]’.

(37) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 22 2.3 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat 2.3.1 Nilai Harapan Variabel Random Definisi 2.3.1 Nilai harapan suatu variabel random X didefinisikan oleh    x f ( x ) dx    E(X )     x p ( x)   x jika X variabel random kontinu dengan fungsi densitas f (x) (2.15) jika X variabel random diskret dengan fungsi probabilit as p ( x ) 2.3.2 Variansi Variabel Random Definisi 2.3.2 Variansi dari suatu variabel random X dengan E(X) = μ adalah nilai harapan dari  X    . Yaitu 2  Var ( X )  E  X    2  (2.16) 2.3.3 Kovariansi Dari Dua Variabel Random Definisi 2.3.3 Jika X dan Y adalah variabel random dengan distribusi probabilitas bersama f (x,y), Kovariansi dari X dan Y adalah   Cov ( X , Y )  E  X   x Y   y  dengan  x  E ( X ) dan  y  E (Y ) . (2.17)

(38) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 23 2.3.4 Independensi Variabel Random Definisi 2.3.4.1 Independen Secara Statistis Jika probabilitas bersama P [ X i  x i dan X k  x k ] dapat ditulis sebagai perkalian probabilitas marginal, sedemikian sehingga P [ X i  x i dan X k  x k ]  P [ X i  x i ] P [ X k  x k ] (2.18) Untuk semua nilai pasangan x i , x k , maka X i dan X k dikatakan independen secara statistis. Jika X i dan X k adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas bersama f ik ( x i , x k ) dan densitas marginal f i ( x i ) dan f k ( x k ) , maka f ik ( x i , x k )  f i ( x i ) f k ( x k ) (2.19) Untuk semua pasangan ( x i , x k ) . Definisi 2.3.4.2 Variabel Random Kontinu yang Independen Secara Statistis Variabel random kontinu X 1 , X 2 ,  , X p dikatakan saling independen secara statistis jika fungsi densitas bersamanya dapat difaktorkan sebagai f 12  p ( x 1 , x k ,  , x p )  f 1 ( x 1 ) f 2 ( x 2 k )  f p ( x p ) (2.20)

(39) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 24 Untuk semua p -tuple ( x1 , x 2 ,  x p ) . 2.3.5 Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika Univariat Teorema 2.3.5.1 Andaikan X dan Y adalah variabel random yang independen, dan c adalah konstanta, maka 1 . E ( X  Y )  E ( X )  E (Y ) 2 . E ( XY )  E ( X ) E (Y ) 3 . E ( cX )  cE ( X ) 4 . Var ( cX )  c Var ( X ) 2 Bukti Jika X dan Y adalah variabel random kontinu, maka 1. E ( X  Y )    ( x   xf y ) f ( x , y ) dx dy ( x ) dx   yf ( y ) dy  E ( X )  E (Y ) 2 . E ( XY )    ( xy ) f ( x , y ) dx dy  x f ( x ) dx  y f ( y ) dy   E ( X ) E (Y ) 3. E (c X )   ( c x ) dx  c  ( x ) dx  c E(X )

(40) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 25 4.  Var ( cX )  E cx  c     E c  x 2   E ( cx )  ( c  )  2 c x  2 2 2 2    2 x 2  E (c ) E x   2  2  c E (x   ) 2 2 2 2   2 x     c Var ( X ) 2 Bukti untuk X dan Y adalah variabel random diskret dapat diselesaikan secara analog. Teorema 2.3.5.2 Jika X dan Y merupakan variabel random independen, maka Cov ( X , Y )  0 (2.21) Bukti: Cov ( X , Y )  E  X  E ( X ) Y  E (Y )   E  XY  YE ( X )  XE (Y )  E ( X ) E (Y )   E ( XY )  E (Y ) E ( X )  E ( X ) E (Y )  E ( X ) E (Y )  E ( XY )  E (Y ) E ( X )  E ( XY )  E ( XY )  0 Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, ada situasi dimana Cov ( X , Y )  0 namun X dan Y tidak independen.

(41) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 26 Teorema 2.3.5.3 Kovariansi dari dua variabel random independen X dan Y dengan E ( X )   x dan E (Y )   y , secara berturut-turut adalah Cov ( X , Y )  E ( X Y )   x  y . (2.22) Bukti:    E  XY     Y    X        E  XY   E   Y   E  X      Cov ( X , Y )  E  X   x Y   y  x y x x y y x y  E  XY    x  y   x  y   x  y  E  XY    x  y Teorema 2.3.5.4 (Kovariansi dari Kombinasi Linear Variabel Random) Jika X dan Y adalah variabel random dan a dan b adalah konstanta, maka Cov ( X , Y )  ab  12 Dari kombinasi linear aX  bY didapatkan E ( aX  bY )  a  1  b  2 Var ( aX  bY )  a  11  b  2 2 22  2 ab  12 (2.23)

(42) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 27 Bukti Cov ( aX , bY )  E ( aX  a  1 )( bY  b  2 )  abE ( X   1 )( Y   2 )  abCov ( X , Y )  ab  12 E ( aX  bY )  aE ( X )  bE (Y )  a  1  b  2 Var ( aX  bY )  E ( aX  bY )  ( a  1  b  2 )   E a ( X   1 )  b ( Y   2 )   2 2  E a ( X   1 )  b (Y   2 )  2 ab ( X   1 )( Y   2 ) 2 2 2 2   a Var ( X )  b Var (Y )  2 abCov ( X , Y ) 2 2  a  11  b  2 2 22  2 ab  12 2.4 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat 2.4.1 Vektor Random dan Matriks Random Definisi 2.4.1.1 (Vektor Random) Vektor random adalah vektor yang elemenelemennya merupakan variabel random, dan matriks random adalah matriks yang elemen-elemennya adalah variabel random Contoh 2.4.1.1 (Vektor dan Matriks Random) Vektor random X yang elemen-elemennya merupakan p variabel random dapat ditulis sebagai

(43) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 28  X1    X2   X        X p  sedangkan matriks random X yang berukuran p q yang elemen-elemennya merupakan variabel random dapat ditulis sebagai  X 11  X 21 X       X p 1 X 12  X  22  X p2   X 1q   X 2q     X pq  2.4.2 Vektor Rata-rata dan Matriks Kovariansi Definisi 2.4.2.1 Rata-rata vektor random X yang berukuran p 1 didefinisikan sebagai  E ( X 1 )   1      2 E(X 2)     μ  E (X )              E ( X p )    p  (2.24) Definisi 2.4.2.2 Matriks kovariansi dari dua vektor random X dan Y adalah  Cov ( X , Y )  E ( X  μ x )( Y  μ y )'  (2.25)

(44) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 29 Definisi 2.4.2.3 Andaikan terdapat dua vektor random X dan Y, dengan X=Y maka Cov(X,X) dapat ditulis sebagai Σ  Cov ( X ) , yang disebut sebagai matriks dispersi (variansi-kovariansi) dari X. Σ  E ( X  μ )( X  μ )'  2  E ( X 1  1 )  E ( X 2   2 )( X 1   1 )       E ( X p   p )( X 1   1 ) E ( X 1   1 )( X 2   2 ) E(X 2  2) 2   E(X p     p )( X 2   2 )   p)  E ( X 2   2 )( X p   p )     2 E(X p   p )  E ( X 1   1 )( X p Atau   11   21 Σ  Cov ( X )       p 1  12   1p   22   2p    p2        pp  (2.26) Karena  ik  E ( X i   i )( X k   k )   ki , maka   11   21 Σ  E ( X  μ )( X  μ )'       p 1  12   1p   22   2p    p2        pp  (2.27)

(45) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 30 Teorema 2.4.2.1 X dimensi yang sama, dan Y A dan B adalah matriks random yang independen dengan adalah matriks konstanta yang sesuai. Maka, 1. E (X  Y )  E (X )  E (Y ) 2. E ( AXB )  A E ( X ) B . Bukti: 1. Jika X dan Y adalah matriks variabel random yang diskret, maka E ( X  Y )  E ( X ij  Y ij )   (x  y ) p    x p (x )    x p (x )    ij ij ij ij ij ij ij ij ij ( x ij , y ij ) y ij p ij ( y ij ) y ij p ij ( y ij )  E (X )  E (Y ) 2. E ( AXB )  A E ( X)B   n n E ( AXB )  E    A ik X k  B  j    k 1  1 n  n  A ik E ( X k  ) B  j k 1  1  A E ( X )B Bukti untuk X dan Y adalah matriks variabel random kontinu dapat dikerjakan secara analog.

(46) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 31 2.4.3 Menyekat Matriks Kovariansi Sebanyak p buah karakteristik yang termuat dalam vektor random X yang berukuran q p 1 dapat disekat menjadi, misalnya, dua kelompok yang berukuran p  q dan  X1        Xq    X      X  q 1       X  p    1         q    q   μ (1 )   X (1 )                dan μ  E ( X )                 μ (2)   X (2)   q 1       pq         p   (2.28) Dengan definisi perkalian dan transpose matriks didapatkan (X (1 ) μ  X1  X2      X q (1 ) )( X  1    2  X      q   (2) μ q 1 (2) )'   q 1, X  ( X 1   1 )( X q  1   q  1 )  ( X 2   2 )( X q  1   q  1 )       ( X q   q )( X q  1   q  1 ) q2   q 2,  , X p p  ( X 1   1 )( X q2   q 2, )  ( X 1   1 )( X p   2 )( X q2   q  2, )  (X   2 )( X p (X 2  (X q 2    q )( X q2   q  2, )   (X q   q )( X p  p)   p)      p )  (1 ) (1 ) (2) (2) Nilai harapan dari matriks ( X  μ )( X  μ )' adalah E (( X (1 ) μ (1 ) )( X (2)   1, q 1   2 , q 1 (2)  μ )' )       q , q  1  1, q  2   1p   2 ,q  2   2p    q ,q  2     Σ 12     qp  (2.29)

(47) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 32 Semua kovariansi  ij , i  1, 2 ,  , q , j  q  1, q  2 ,  , p . Matriks Σ 12 tidak selalu simetris walaupun persegi. Menyekat matriks dapat dilakukan secara  ( X (1 )  μ (1 ) ) ( X (1 )  μ (1 ) )' ( q 1 ) (1 q ) ( X  μ )( X  μ )'    ( X ( 2 )  μ ( 2 ) ) ( X (1 )  μ (1 ) )' (( p  q ) 1 ) (1 q )  (X (X (1 ) μ ( q 1 ) (2) μ (1 ) (2) ) (X (2) ) (X (( p  q ) 1 ) μ (2) (1 ( p  q )) (2) (2) μ (( p  q ) 1 ) )'   )'   (2.30) Akibatnya, pq q q Σ  E ( X  μ )( X  μ )'  ( p p ) pq  Σ 11   Σ 21 Σ 12   Σ 22         qp      q 1, p        pp  ( p p )   11      q1      q  1 ,1      p1  Didapatkan   1q  1, q 1      qq  q , q 1   q 1, q  q 1, q 1      Σ 12  Σ 21 , elemen-elemen X (1 )  pq p , q 1   1p (2.31) kovariansi matriks X (1) adalah dan X (2) adalah Σ 12 atau Σ 21 Σ 11 dan X ( 2 ) adalah Σ 22 (1 ) (2) , maka Cov ( X , X )  Σ 12 adalah matriks dengan elemen semua kovariansi antara X (1 ) dan X (2) . ,

(48) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 33 2..4.4 Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear Variabel random Diketahui c'  [ a , b ], aX  bX 1 2 dapat ditulis sebagai berikut X1 b    c' X X 2 a Jika E ( aX 1  bX 2 )  a  1  b  2 , maka  1  b     c' μ  2  a  Apabila Σ   11  21  12   dijadikan matriks variansi-kovariansi dari X , maka  22  persamaannya menjadi Var ( aX 1  bX 2 )  Var ( c' X )  c' Σc (2.32) Karena c' Σc  [ a   11 b]   21  12   a   22     a  11  2 ab  12  b  22 .  b  2 2 Hasil diatas dapat diperluas ke dalam kombinasi linear dari p variabel random.

(49) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 34 Teorema 2.4.4.1 Kombinasi linear c' X  c 1 X 1    c p 1 X 1 p mempunyai Rata  Rata  E ( c' X )  c' μ Variansi Dengan  Var ( c' X )  c' Σc μ  E ( X ) dan Σ  Cov ( X ) . Bukti: E ( c' X )  E ( c1 X 1    c p X p )  c1 E ( X 1 )    c p E ( X p )  c1  1    c p  p   c1  c p  1        p      c μ Var ( c' X )  Var ( c 1 X 1    c p X p )  Var ( c 1 X 1 )    Var ( c p X p )  c 1 Var ( X 1 )    c p Var ( X p ) 2 2  c 1 c 1 1     c p c p   c 1 1 c 1    c p  p p c  p  c1      c1 1     c p  p     c p       1     c1  c p     p      c' Σc   c1       c p    (2.33)

(50) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 35 Secara umum, q kombinasi linear dari p variabel random adalah: Z 1  c 11 X 1  c 12 X 2   c 1 p X p Z 2  c 21 X 1  c 22 X 2   c 2 p X p  Z q  c q 1 X 1  c q 2 X 2   c qp X p Atau  Z 1   c 11    Z2 c 21 Z               Z q   c p 1 c 12  c 22    c p2  ( q 1 ) Definisi 2.4.4.1 Kombinasi linear Z  CX c1 p   c2 p     c pp   X1    X  2   CX       X p  (2.34) ( p 1 ) mempunyai persamaan μ z  E ( Z )  E ( CX )  C μ x (2.35) Σ z  Cov ( Z )  Cov ( CX )  C Σ X C' μx merupakan vektor rata-rata dan Σx adalah matriks variansi –kovariansi X . Contoh 2.4.4.1 (Rata-rata dan kovariansi kombinasi linear) Diberikan vektor random X '  X 1 , X 2  dengan vektor rata-rata  matriks variansi-kovariansi Σ x   11   21 matriks kovariansi untuk kombinasi linear  12  μ ' x   1 ,  2  dan  . Tentukan vektor rata-rata dan  22 

(51) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 36 Z1  X 1  X 2 Z2  X1  X 2 atau  Z 1  1 Z   Z 2  1  1  1   X1    CX X 2  1  1  1 μ z  E ( Z )  E ( CX )  C μ x   1  1   1   2       2   1   2   1  1  1 Σ z  Cov ( Z )  Cov ( CX )  C Σ X C'   1  11  2 12   22    11   22   11   22  11  2 12   22 Perhatikan bahwa jika  11   22 sama, bentuk off-diagonal di  12   1  22 1       1 1 X mempunyai variansi yang    , yaitu, jika Σz   11   21 X1 dan 2 hilang. Hal ini menunjukkan bahwa hasilnya diketahui dengan baik bahwa penjumlahan dari dua variabel random dengan variansi yang sama tidak berkorelasi. 2.4.5 Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi Sampel Andaikan x '  x 1 , x 2 ,  , x p  merupakan vektor rata-rata sampel dari n observasi dalam p variabel X 1 , X 2 ,  , X p dan

(52) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 37 Sn  s 11      s1 p       1 n  s1 p     s pp     1 n  n ( x j1  x 1 ) 2  j 1 n  (x n j1 j 1    x 1 )( x jp  x p )   n  1 ( x j 1  x 1 )( x jp  x p )  j 1  n 1  (x n jp  xp) 2 j 1 Vektor rata-rata sampel .      dan matriks kovariansi dapat disekat untuk melihat dengan jelas jumlah yang sesuai dengan grup variabel. Maka,  x1        x q   x (1 )  x      (2)  ( p 1 )  x q 1   x        x p  (2.36) dan S n ( p p )  s 11     s q1     s q  1 ,1     s p1  q  p pq  S 11   S 21  s1q s 1, q 1       s qq s q , q 1   s q 1, q s q 1, q 1       s pq s p , q 1      s qp    s q 1, p     s pp  s1 p pq S 12   S 22  (2.37)

(53) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 38 x (1 ) x (1 ) dan x ( 2 ) adalah vektor rata-rata sampel yang diperoleh dari pengamatan   x1 ,  , x q   dan x (2)   x q 1 ,  , x p . Secara matriks kovariansi sampel dari pengamatan x (1) , sampel dari pengamatan x ( 2 ) , dan S 12  S 21 berturut-turut S 22 S 11 adalah adalah matriks kovariansi adalah matriks kovariansi sampel untuk elemen x (1) dan x ( 2 ) . 2.4.6 Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks Kovariansi Sampel Dalam rangka mempelajari statistik variabilitas sampling seperti X dan Sn dengan tujuan utama membuat kesimpulan, perlu membuat asumsi tentang variabel dengan nilai-nilai yang diamati merupakan kumpulan data X. Andaikan data X belum diamati tetapi akan dikumpulkan sebanyak himpunan dari pendugaan n variabel. Sebelum dilakukan pendugaan, secara p umum nilai dugaannya tidak dapat diprediksi secara tepat, akibatnya dianggap sebagai variabel random. Entri ke- ( j , k ) dalam matriks merupakan variabel random X jk . Tiap himpunan pendugaan X j dalam p variabel merupakan suatu vektor random, dan matriks randomnya adalah  X 11  X 21 X   ( n p )     X n 1 X 12  X  22  X n2   X 1 p   X 1     X 2p X    2         X np   X n  (2.38)

(54) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 39 sekarang sampel random dapat didefinisikan. Jika vektor baris X 1 , X 2 ,  , X n merupakan pengamatan independen dari distribusi bersama yang sama dengan fungsi densitas f ( x )  f ( x 1 , x 2 ,  , x p ) , maka X 1 , X 2 ,  , X n merupakan suatu bentuk sampel random dari f (x ) . Secara matematis, X 1 , X 2 ,  , X n merupakan bentuk suatu sampel random jika fungsi densitas bersamanya diberikan oleh hasil perkalian f ( x 1 ) f ( x 2 )  f ( x n ) , dengan f ( x j )  f ( x j 1 , x j 2 ,  , x jp ) adalah fungsi densitas untuk vektor baris ke- j . Akibat 2.4.6.1 Sifat X Andaikan X 1 , X 2 ,  , X n sampel random dari distribusi bersama dengan vektor rata-rata suatu penduga tak bias dari μ μ dan matriks kovariansi Σ , maka X adalah dan matriks kovariansinya 1 n Σ sehingga, E (X )  μ Cov ( X )  (vektor rata - rata populasi) 1 n Σ (matriks variansi - kovariansi populasi dibagi ukuran sampel) Untuk matriks kovariansi S n , E (S n )  n 1 n Σ  Σ 1 n Σ (2.39)

(55) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 40 Maka,  n  E Sn   Σ  n 1    S n  merupakan penduga  n 1  n Jadi  (2.40) tak bias dari . Bukti: X  (X 1  X 2 ,  X n ) / n , dengan sifat nilai harapan maka 1 1  1 E (X )  E  X1  X 2    X n  n n  n 1  1  1   E X1   E X 2     E X n  n  n  n   1 n  1 n 1 E (X 1 )  μ 1 n n E (X 2 )    μ   1 n 1 n E (X n ) μ μ Selanjutnya, 1 ( X  μ )( X  μ )'   n   1 n 2 n  (X j 1 n j 1  μ)   n    (X   μ)   1  n  n   (X j  μ ) (X   μ ) j 1  1  1  n n  Cov ( X )  E ( X  μ ) ( X  μ )'  2    ( X j  μ ) ( X   μ )    n  j 1  1 

(56) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 41 dan tiap entri di ( X j  μ ) ( X   μ )  sama dengan nol karena j   Dengan entrinya adalah kovariansi antara satu komponen di X j dan satu komponen di X  , dan independen. Maka dari itu,  1  n n Cov ( X )  2    ( X j  μ ) ( X   μ )    n  j 1  1  Karena Σ  ( X j  μ ) ( X   μ )  adalah populasi kovariansi yang sama untuk tiap X j , maka Cov ( X )    1  n n 1  (X j  μ ) (X   μ )   2 (Σ  Σ    Σ ) 2         n  j 1  1  n sebany ak n 1 (n Σ )    Σ n n 1 2 Untuk (X ji  X i) (X memperoleh nilai  X k ) adalah jk harapan elemen Sn , pertama ke- ( i , k ) dari ingat bahwa ( X j  X ) (X j  X )  . Matriksnya menunjukkan penjumlahan kuadrat dan perkalian silang dan dapat dituliskan sebagai n n  (X j  X ) (X j  X )  j 1  (X j 1 j  n  X ) X j    ( X   j 1 j   X )  ( X )   n  X j X j  n X X  j 1 n Karena  j 1 n ( X j  X )  0 dan n X    X j j 1 , nilai harapannya adalah

(57) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 42  n  E   X j X j  n X X       j 1  Untuk sebarang vektor random V n  E X j X j   n E ( X X ) j 1 dengan E ( V )  μ V dan Cov ( V )  Σ V , didapatkan E ( V V )  Σ V  μ V μ V , akibatnya E X j X j   Σ  μ μ  dan E ( X X )  1 n Σ  μ μ Hasilnya, n  E X j j 1 Dan karena S n  1  X j   n E ( X X  )  n Σ  n μ μ   n  Σ  μ μ    ( n  1) Σ n   1 n   E X j X j   n E ( X X )   n  j 1  , menunjukkan bahwa  n  E (S n )  E  Sn  Σ n 1  Definisi 2.4.6.1 Matriks Variansi Sampel-Kovariansi (Tak Bias) adalah S  1 n 1 n  (X j  X) (X j  X ) j 1 n S memiliki entri ke- ( j , k ) ( n  1) 1  ( X j 1 ji  X i)(X jk  Xk). (2.41)

(58) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 43 2.4.7 Variansi yang Diperumum Variansi sampel sering digunakan untuk menggambarkan besarnya variansi dalam pendugaan suatu variabel tunggal. Ketika p variabel diamati dalam tiap unit, variansi digambarkan oleh matriks variansi-kovariansi  s 11  s 21 S       s 1 p s 12  s 22    s2 p  s1 p   s2 p     s pp  dengan s ik  1 n  (x n 1 ji  x i )( x jk  x k ) j 1 Variansi yang diperumum dapat diintepretasikan dalam ruang sebaran data berdimensi-p. Interpretasi yang paling intuitif memperhatikan penyebaran titik rata-rata sampel. Bentuk penyebarannya didasari oleh titik rata-rata sampel  x   x1 , x 2 ,  , x p . Andaikan jarak kuadrat dari titik x   x 1 , x 2 ,  x p  ke titik x Ax asal diberikan oleh yang ( p  p) . berukuran  μ    1 ,  2 ,  p dengan A adalah matriks definit positif dan simetris Maka jarak kuadrat  diberikan oleh bentuk umum dari x ke titik tetap ( x  μ ) A ( x  μ ) . Pertimbangkan ukuran jarak yang diberikan dalam pernyataan di atas. Andaikan x menggantikan titik tetap  μ dan x   x1 , x 2 ,  x p  S 1 menggantikan A. Maka jarak untuk suatu konstanta c, dari x memenuhi 1 ( x  x ) S ( x  x )  c 2 2 1 Bila p  1, ( x  x ) S ( x  x )  ( x 1  x 1 ) / s 11 adalah jarak kuadrat dari dalam satuan standar deviasi. (2.42) x1 ke x

(59) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 44 2.4.8 Distribusi Normal Multivariat Fungsi densitas Normal multivariat adalah generalisasi dari fungsi densitas Normal univariat ke dimensi p > 2. Distribusi Normal univariat dengan rata-rata  dan variansi  2 memiliki fungsi densitas f ( x)  1 2  e  ( x   ) /  2 / 2   x (2.43) 2 Gambar 2.3 Fungsi densitas Normal dengan rata-rata  dan variansi  2 dan daerah-daerah yang di pilih dibawah kurva Gambar tersebut merupakan pendekatan luas daerah dibawah kurva dengan standar deviasi ±1 dan ±2 dari rata-rata. Luas daerah tersebut menunjukkan probabilitas untuk variabel random Normal X. P (     X     )  0 . 68 P (   2  X    2 )  0 ,95 Selanjutnya fungsi densitas Normal dengan rata-rata ditulis Istilah N ( , ) .  dan variansi  2 akan

(60) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 45 2 x    x        2  x    1 (2.44) dalam eksponen fungsi densitas Normal univariat mengukur jarak kuadrat dari x ke  dalam satuan standar deviasi. Hal ini dapat diperumum untuk suatu vektor pengamatan x berukuran p 1 dalam beberapa variabel sebagai x  μ  Σ  1 x  μ  Vektor μ 1 menunjukkan nilai harapan vektor random X, yang berukuran p dan matriks Σ yang berukuran p Diasumsikan matriks simetris (2.45) Σ p merupakan matriks variansi-kovariansi. adalah matriks definit positif, jadi (2.45) adalah jarak kuadrat yang diperumum dari x ke μ . Fungsi densitas Normal multivariat diperoleh dengan mensubtitusikan jarak univariat dalam (2.44) dengan jarak multivariat yang diperumum dari (2.45) dalam fungsi densitas (2.43). Jika sudah disubtitusi, konstanta Normal univariat ( 2 ) 1 / 2 ( ) 2 1 / 2 harus disubtitusi ke konstanta yang lebih umum yang dapat membuat volume dibawah permukaan fungsi densitas multivariat bernilai satu untuk setiap p. Konstanta pengganti tersebut adalah 2  Definisi 2.4.8.1 Andaikan x   ( x1 , x 2 ,  , x p ) p/2 Σ 1/ 2 . merupakan vektor random berdimensi p, x dikatakan berdistribusi Normal multivariat jika fungsi densitasnya

(61) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 46 f (x)  1 2  p / 2 Σ dengan    x i   , i  1, 2 ,  , p 1/ 2 e  1 x μ  Σ x μ  / 2 dan Σ (2.46) adalah matriks definit positif, ditulis N p ( μ, Σ ) . Secara khusus, skripsi ini berkaitan dengan distribusi Normal Bivariat yaitu p = 2. 2.4.9 Fungsi Densitas Normal Bivariat  Himpunan semua x sedemikian sehingga x  μ  Σ  1 x  μ   c 2 merupakan permukaan elipsoid yang berpusat di μ . Sumbu setiap elipsoid dari fungsi densitas bersesuaian dengan vektor eigen Σ 1 dan panjangnya proporsional dengan akar kuadrat dari kebalikan nilai eigen Σ 1 . Perhitungan Σ 1 dapat dihindari ketika menentukan sumbu elipsoid, karena elipsoid dapat ditentukan oleh nilai eigen dan vektor eigen Akibat 2.4.9.1 Jika Σ Σ . adalah matriks definit positif sehingga Σ 1 ada, maka Σe   e 1 e   mengakibatkan Σ  1 e  

(62) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 47 jadi (  , e ) adalah pasangan nilai dan vektor eigen untuk dengan pasangan (1 /  , e ) Σ yang bersesuaian untuk Σ 1 . Jadi Σ 1 adalah matriks definit positif. Bukti Untuk matriks definit positif dan e ≠ 0 adalah vektor eigen, terdapat Σ 0  e ' Σe  e ' ( Σe )  e ' (  e )   ee '   e  Σ (1 /  ) e 1 e 1 1 . Selain itu, e  Σ ( Σe )  Σ (  e ) atau dan pembagian oleh  1 diberikan oleh Σ e  (1 /  ) e . Maka  0 adalah pasangan nilai dan vektor eigen untuk Σ 1 . Untuk setiap x yang berukuran ,  p 1 xΣ x  x '     i 1 p     e i e i  x      1    i  1      x ' e  i 1  i i  2  0  1  2 karena setiap bentuk   x ' e i  tidak negatif, dan x ' e i  0 untuk semua i jika  i  hanya jika x = 0. Jadi x ≠ 0 mengakibatkan p   1     x ' e  i 1  i  i 2  0 dan Σ 1 adalah matriks definit positif. Definisi 2.4.9.1 Peta fungsi densitas konstanta distribusi Normal berdimensi p adalah elips yang di definisikan oleh x sehingga x  μ  Σ  1 x  μ   c 2 (2.47)

(63) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 48 Dengan Σe i   i e i μ pusat dan panjang sumbu utama  c i e i , dengan i  1, 2 ,  , p Sub bab 2.5 sampai dengan sub bab 2.6 dibahas untuk memberikan landasan teori bagi pokok bahasan T2 Hotelling yang ada dalam BAB III. 2.5 Metode Fungsi Pembangkit Momen Metode fungsi pembangkit momen digunakan untuk mencari distribusi probabilitas dari suatu fungsi variabel random Y1 , Y 2 ,  , Y n yang didasari oleh teorema berikut. Teorema 2.5.1 (Teorema Ketunggalan) Andaikan m X (t ) dan m Y (t ) secara berturut-turut merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel random X dan Y. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan m X (t )  m Y (t ) untuk semua nilai t, maka X dan Y mempunyai distribusi probabilitas yang sama. Jika U merupakan fungsi dari n variabel random, Y1 , Y 2 ,  , Y n , langkah pertama menggunakan Teorema 2.5.1 adalah adalah mencari fungsi pembangkit momen dari U:

(64) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 49 m U (t )  E ( e tU ). (2.48) Jika fungsi pembangkit momen untuk U sudah ditemukan, bandingkan dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel random dengan distribusi yang sudah diketahui dengan baik (well-known distributions). Jika m U (t ) sama dengan salah satunya, katakanlah fungsi pembangkit momen untuk variabel random V. Dengan menggunakan Teorema 2.5.1, U dan V memiliki distribusi probabilitas yang sama. Bukti untuk teorema ini dapat ditemukan di Hongki Julie (1999). Fungsi densitas, rata-rata, variansi, dan fungsi pembangkit momen untuk beberapa variabel random yang seringkali ditemui dan ditunjukkan pada Lampiran 2. Contoh 2.5.1 Andaikan Z variabel random yang berdistribusi Normal dengan rata-rata = 0 dan variansi = 1. Gunakan metode fungsi pembangkit momen untuk mencari distribusi probabilitas Z2. Fungsi pembangkit momen untuk Z2 adalah  m z 2 (t )  E ( e tZ 2 ) e  tZ 2 f ( z ) dz       1 2 e 2 tZ  2 e z /2 2 dz 2 e  ( z / 2 ) (1  2 t ) dz Integral tersebut dapat dievaluasi baik dengan tabel integral atau dengan mencatat bahwa, jika 1 – 2t > 0 (ekivalen dengan t < ½), integran

(65) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 50   z2    (1  2 t )  exp       2    2   z2    (1  2 t ) 1  exp       2   2 sebanding dengan fungsi densitas variabel random berdistribusi Normal dengan rata-rata 0 dan variansi (1 – 2t)-1. Untuk membuat integran suatu fungsi densitas Normal (integral definit = 1), kalikan numerator dan denumerator dengan standar 1 / 2 . Maka deviasi, (1  2 t ) m z 2 (t )   1 (1  2 t ) 1/ 2    z exp      2 2 1 2  (1  2 t ) 1 / 2     (1  2 t ) 1   dz  . Karena integralnya sama dengan 1, jika t < ½, m z 2 (t )  1 (1  2 t ) 1/ 2  (1  2 t ) 1 / 2 Perbandingan m z ( t ) dengan fungsi pembangkit momen dalam Lampiran 2 2 menunjukkan bahwa m z ( t ) sama dengan fungsi pembangkit momen untuk 2 variabel random berdistribusi gamma dengan   1 / 2 dan   2 . Dengan 2 demikian Z2 berdistribusi  dengan derajat bebas 1. Teorema 2.5.2 Andaikan Y1 , Y 2 ,  , Y n independen dengan m Y1 ( t ), m Y 2 ( t ),  , m Y n ( t ) . fungsi merupakan variabel random yang pembangkit momen Jika U  Y1  Y 2    Y n , maka secara berturut-turut

(66) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 51 m U ( t )  m Y1 ( t )  m Y 2 ( t )    m Y n ( t ) . (2.49) Bukti Karena Variabel random Y1 , Y 2 ,  , Y n independen, maka  m U (t )  E e t ( Y1    Y n )   (e  E (e 1 )  E (e tY tY 2 tY 1 e tY 2 e )    E (e tY n tY n ) ). Dengan menggunakan definisi fungsi pembangkit momen, m U ( t )  m Y1 ( t )  m Y 2 ( t )    m Y n ( t ) Teorema 2.5.3 Andaikan Y1 , Y 2 ,  , Y n merupakan variabel random independen yang berdistribusi Normal dengan E (Y i )   i dan V (Y i )   2 , untuk i  1, 2 ,  , n , dan andaikan a 1 , a 2 ,  , a n adalah konstanta. Jika n U  aY i i  a 1 Y1  a 2 Y 2    a n Y n , i 1 maka U adalah variabel random berdistribusi Normal dengan n E (U )  a i 1 dan i  i  a1  1  a 2  2    a n  n (2.50)

(67) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 52 n V (U )  a 2 i 2 2 2 2 2 2 2  i  a1  1  a 2  2    a n  n . i 1 Bukti Karena Yi berdistribusi Normal dengan rata-rata  i dan variansi  i2 , Yi memiliki fungsi pembangkit momen yang diberikan oleh 2 2  i t m Yi ( t )  exp   i t   2   .   Jadi fungsi pembangkit momen a i Y i diberikan oleh m a i Yi ( t )  E ( e ta i Yi 2 2   t )  m Yi ( a i t )  exp   i a i t  i  2   .   Karena variabel random Yi independen, variabel random a i Y i juga independen, untuk i  1, 2 ,  , n , Teorema 2.5.2 mengakibatkan m U ( t )  m a1Y1 ( t )  m a 2 Y 2 ( t )    m a n Y n ( t ) 2 2 2  a1  1 t  exp   1 a 1 t  2  2  n t  exp  t  a i  i  2  i 1      exp   n a i 1 2 i 2 2 2  a n 1 n t   n ant   2       2  i   yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal dengan n U   i 1 n ai  i dan Var (U )  a i 1 2 i i 2

(68) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 53 Jadi, berdasarkan teorema ketunggalan U berdistribusi Normal dengan rata-rata n n  a  dan variansi  a i i i 1 2 i i . 2 i 1 2.6 Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal Teorema 2.6.1 Andaikan Y1 , Y 2 ,  , Y n merupakan sampel random berukuran n dari distribusi Normal dengan rata-rata dan variansi  2 . Maka  Y  1 n Y n (2.50) i i 1 Berdistribusi Normal dengan rata-rata  Y   dan variansi  Y2   2 / n . Bukti Karena Y1 , Y 2 ,  , Y n merupakan sampel random dari suatu distribusi Normal dengan rata-rata  dan variansi  2 , Y i , i  1, 2 ,  , n , adalah independen, berdistribusi Normal, dengan E (Y i )   dan V (Y i )   2 . Selanjutnya, Y  1 n Y n i  i 1  a 1 Y1  a 2 Y 2    a n Y n 1 n ( Y1 )  1 n (Y 2 )    1 n (Y n ) dengan a i  1 / n , i  1, 2 ,  , n .

(69) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 54 Y adalah kombinasi linear dari Y1 , Y 2 ,  , Y n , dan Teorema 2.13.3 dapat diaplikasikan untuk menyimpulkan bahwa Y berdistribusi Normal dengan 1 1 1  1 E ( Y )  E  ( Y1 )    ( Y n )   (  )    (  )   n n n  n dan 1 1 1 1   1 2 2 2 V (Y )  V  (Y1 )    (Y n )   2 ( )    2 ( )  2 ( n  )  . n n n n  n n 2 Oleh karena itu, distribusi sampling Y adalah Normal dengan dengan rata-rata  Y   dan variansi  Y2   2 / n . 2 Distribusi  memainkan peranan penting dalam banyak langkah-langkah penarikan kesimpulan. Sebagai contoh, andaikan akan dibuat suatu penarikan kesimpulan tentang variansi populasi  yang didasari sampel random 2 Y1 , Y 2 ,  , Y n dari populasi yang berdistribusi Normal. Penduga baik dari  2 adalah variansi sampel S 2  1 n 1 n  Y i Y  2 . (2.52) i 1 Teorema 2.6.2 Andaikan Y1 , Y 2 ,  , Y n merupakan sampel random berdistribusi Normal dengan rata-rata  dan variansi  2 . Maka

(70) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 55 ( n  1) S  2  2 n 1  2  Y i Y  2 (2.53) i 1 berdistribusi  2 dengan derajat bebas (n – 1). Y dan S2 variabel random yang independen. Bukti Bukti berikut digunakan untuk mengantarkan generalisasi dari distribusi t (univariat) ke T2 Hotelling (multivariat). Diasumsikan n = 2 dan akan ditunjukkan bahwa ( n  1) S  2 2 2 berdistribusi  dengan derajat bebas 1. Dalam kasus n = 2, 1 Y  (Y1  Y 2 ) , 2 Maka S 2  2 1 2 1  Y i Y  2 i 1  Y1  Y  2  Y 2  Y  2 2 1 1       Y1  (Y1  Y 2 )    Y 2  (Y1  Y 2 )  2 2     2   1  1   (Y1  Y 2 )     (Y1  Y 2 )    2  2 1   2  (Y1  Y 2 )  2   (Y1  Y 2 ) 2 sehingga, 2 2 2 2

(71) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 56 ( n  1) S  2  2 (Y1  Y 2 ) 2  Y  Y2   1  2  2 2 2     2 . Akan ditunjukkan jumlah tersebut sama dengan kuadrat variabel random Normal standar, yaitu Z2 yang berdistribusi  2 dengan derajat bebas 1. Y1  Y 2 Karena independen, adalah kombinasi linear dari variabel random yang maka variabel random (Y1  Y 2  a 1Y1  a 2 Y 2 dengan a 1  1 dan a 2   1) , Y1  Y 2 bahwa (1 )  2 2 berdistribusi Teorema berdistribusi Normal dengan rata-rata  (  1)  2 2 6.3 1  1  0 Normal mengatakan dan variansi  2 . Oleh karena itu, 2 Z  Y1  Y 2 2 2 berdistribusi Normal standar. Karena untuk n = 2 ( n  1) S  2 2  Y  Y2  1  2  2     2  Z Hal ini menunjukkan bahwa menurut Contoh 2.13.1 2 , ( n  1) S  2 2 2 berdistribusi  dengan derajat bebas 1. Karena U 1  Y1  Y 2  independen. Karena n = 2, dan U 2  Y1  Y 2  adalah variabel random yang

(72) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 57 Y  (Y1  Y 2 ) 2 Karena Y   U1 U1 bahwa Y dan S 2 dan ( Y1  Y 2 ) 2 2 merupakan fungsi dari independensi dan S 2  U 2 U1 dan S 2 2  ( U 2 ) 2 2 merupakan fungsi dari mengakibatkan independesi dari Y dan variabel random yang independen. . S 2 U 2 , . Terbukti

(73) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III T2 HOTELLING 3.1 Distribusi T2 Hotelling Definisi 3.1.1 (Menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan Richard L. Scheaffer) Andaikan Z merupakan variabel random yang berdistribusi Normal Standar dan andaikan W merupakan variabel random yang berdistribusi  2 dengan derajat bebas v. Kemudian jika Z dan W independen, maka Z T  (3.1) W /v dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas v. Jika Y1 , Y 2 ,  , Y n merupakan sampel random dari populasi Normal dengan rata-rata  dan variansi  2 , Teorema 2.6.1 dapat diaplikasikan untuk menunjukkan Z  n Y    /  berdistribusi Normal Standar. Teorema 2.6.2 mengatakan bahwa W  ( n  1) S 2 /  2 berdistribusi  2 dengan derajat bebas v = n – 1, Z dan W independen ( karena Y dan S2 independen ). Oleh karena itu dengan Definisi 3.1.1, T  Z W /v  n (Y   ) /  ( n  1) S 2 / 2  /( n  1) 58  Y     n   S  (3.2)

(74) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 59 berdistrinbusi t dengan derajat bebas (n – 1). Jarak kuadrat persamaan diatas adalah T 2     2  Y    2 1    n Y   ( S ) Y    n    S  (3.3) Generalisasi dari statistik di atas dalam notasi matriks disebut statistik T 2 Hotelling yang berbentuk T Statistik T2 berdistribusi 2  n Y  μ (S) ( n  1) p (n  p ) F p ,n  p 1 Y  μ  . (3.4) dengan F p , n  p menunjukkan variabel random berdistribusi F dengan p karakteristik dan derajat bebas n – p. 3.2 Daerah Kepercayaan Elips Andaikan  adalah vektor dari parameter populasi yang tidak diketahui dan  adalah himpunan semua kemungkinan nilai-nilai  . Daerah kepercayaan adalah daerah kemungkinan nilai-nilai  . Daerah ini ditentukan oleh data dan didenotasikan dengan R ( X ) ,dengan X  X 1 , X 2 ,  , X n  adalah matriks data. Daerah R ( X ) dikatakan memiliki daerah kepercayaan 100 (1   )% jika sebelum sampel dipilih, P R (X ) akan memenuhi   1 (3.5)

(75) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 60 Probabilitas ini dihitung berdasarkan kebenaran, tetapi nilai  tidak diketahui. Daerah kepercayaan untuk rata-rata μ dari populasi Normal berdimensi p adalah   ( n  1)  1 F p , n  p ( )    P  n X  μ  S X  μ   (n  p )   Sebelum sampel dipilih,   ( n  1)  1 F p , n  p ( )   1   P  n X  μ  S X  μ   (n  p )   berapapun nilai nilai μ dan Σ yang tidak diketahui. Dengan kata lain, X tidak akan lebih dari  ( n  1) p  F p , n  p ( )    (n  p )  1/ 2 dari μ , dengan probabiitas 1   , jarak yang diberikan didefinisikan dalam bentuk S / n   1 . Untuk suatu sampel khusus, x dan S dapat dihitung dan ketaksamaannya ( n  1) p  1 F p , n  p ( ) n X  μ  S X  μ   (n  p ) akan mendefinisikan suatu daerah R ( X ) dengan ruang dari semua kemungkinan nilai parameter. Dalam kasus seperti ini, daerahnya adalah suatu elips dengan pusat x . Elips ini merupakan daerah kepercayaan 100 (1   )% untuk μ .

(76) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 61 Definisi 3.2.1 Suatu daerah kepercayaan 100 (1   )% untuk rata-rata distribusi Normal berdimensi p didefinisikan untuk semua μ adalah p ( n  1)  1 F p , n  p ( ) n X  μ  S X  μ   (n  p ) dengan x  1 n  n S  xj , n  x ( n  1) 1 j   x x j  x  (3.6) dan x 1 , x 2 ,  , x n adalah j 1 j 1 sampel pengamatan. Untuk menentukan apakah sebarang μ 0 berada di dalam daerah kepercayaan (nilai c yang masuk akal), perlu menghitung jarak kuadrat yang  p ( n  1)   diperumum n  x  μ 0  S 1  x  μ 0  dan dibandingkan dengan   F p , n  p ( ) .  (n  p )   p ( n  1)  Jika jarak kuadrat lebih besar daripada   F p , n  p ( ) , maka μ 0 tidak  (n  p )  berada di dalam daerah kepercayaan. Sumbu dan panjang daerah kepercayaan elips dapat ditentukan dari nilai eigen  i dan vektor eigen e i dari S. Pada (2.47), arah dan panjang sumbu dari p ( n  1)  1 2 F p , n  p ( ) n x  μ  S x  μ   c  (n  p ) ditentukan oleh i c n  i p ( n  1) n(n  p ) F p , n  p ( )

(77) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 62 yang berada di sepanjang vektor eigen e i . Dimulai pada pusat x , sumbu daerah kepercayaan elips adalah  i p ( n  1) n(n  p ) F p , n  p ( ) e i dimana Se i   i e i , i  1, 2 ,  , p (3.7) Contoh 3.2.1 Suatu perusahaan yang memproduksi microwave akan memantau banyaknya pemencaran radiasi ketika pintu microwave terbuka dan tertutup. Diambil sampel dari masing-masing karakteristik mutu sebanyak n = 42, kemudian diuji apakah μ   0 . 562 , 0 ,589  berada di dalam selang kepercayaan dengan   0 . 05 . No Terbuka Tertutup No Terbuka Tertutup 1 0,15 0,30 22 0,05 0,10 2 0,09 0,09 23 0,03 0,05 3 0,18 0,30 24 0,05 0,05 4 0,10 0,10 25 0,15 0,15 5 0,05 0,10 26 0,10 0,30 6 0,12 0,12 27 0,15 0,15 7 0,08 0,09 28 0,09 0,09 8 0,05 0,10 29 0,08 0,09 9 0,08 0,09 30 0,18 0,28 10 0,10 0,10 31 0,10 0,10 11 0,07 0,07 32 0,20 0,10 12 0,02 0,05 33 0,11 0,10 13 0,01 0,01 34 0,30 0,30 14 0,10 0,45 35 0,02 0,12 15 0,10 0,12 36 0,20 0,25 16 0,10 0,20 37 0,20 0,20 17 0,02 0,04 38 0,30 0,40 18 0,10 0,10 39 0,30 0,33

(78) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 63 19 20 21 0,01 0,40 0,10 0,01 0,60 0,12 40 41 42 0,40 0,30 0,05 0,32 0,12 0,12 Dengan menggunakan program MATLAB, didapatkan hasil sebagai berikut:  0 . 5643   0 . 0144 x   S  ,    0 . 6030   0 . 0114 0 . 0114   208 . 4739 1 S  ,   0 . 0142    167 . 9121  167 . 9121   205 . 6680  p ( n  1)  1 F p , n  p ( ) n x  μ  S x  μ   (n  p )  1 . 2867  6 . 6215 Karena 1.2867 ≤ 6.6215 maka proses terkendali. Gambar 3.1 Daerah kepercayaan 95% elips untuk μ.

(79) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 64 3.3 Grafik Pengendali T2 Hotelling Banyak keadaan yang memerlukan pengendalian bersama dua atau lebih karakteristik mutu yang berhubungan. Masalah pengendalian mutu dengan beberapa karakteristik mutu yang berhubungan disebut masalah pengendalian mutu multivariat. Grafik pengendali T 2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan beberapa karakteristik mutu yang berhubungan. Andaikan dua karakteristik mutu X1 dan berdistribusi bersama menurut distribusi Normal bivariat. X2 x1 dan x2 merupakan nilai rata-rata dari karakteristik mutu, dan S 12 dan S 22 variansi sampel X1 dan X2 . Kovarian antara X1 dan X2 adalah S 12 . Asumsikan bahwa  1 ,  2 , dan  12 diketahui. Jika X 1 dan X 2 adalah rata-rata sampel dari dua karakteristik mutu yang dihitung dari sampel berukuran n, maka statistik T 2  n 2 1 S S 2 2 S 2 12  S 2 X  X 1 1  2  2   S1 X 2  X 2 2  2     2 S 12 X 1  X 1 X 2  X 2   (3.8) akan berdistribusi Hotelling dengan derajat bebas 2 dan (n – 1). Jika T 2  T2; 2 ; n 1 , maka paling sedikit satu dari karakteristik mutu itu tidak tekendali dengan T 2; 2 ; n 1 adalah titik presentase  atas distribusi T2 Hotelling dengan derajat bebas 2 dan (n – 1). Nilai-nilai T2 yang dihitung dari persamaan (3.8) untuk tiap sampel pada grafik pengendali dengan hanya batas pengendali atas T 2; 2 ; n 1 (Gambar 3.2). Grafik pengendali ini biasanya disebut grafik pengendali T 2 Hotelling. Perhatikan bahwa urutan waktu data tersebut tetap ada dengan grafik pengendali ini, sehingga

(80) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 65 pengendalian atau pola tak random tersebut dapat diselidiki. Selain itu, grafik ini memiliki keuntungan tambahan bahwa “keadaan” proses dikarakterisasi oleh satu bilangan (nilai statistik T2). Hal ini sangat berguna ketika ada dua atau lebih karakteristik mutu yang diminati. Gambar 3.2 Grafik pengendali T2 Hotelling untuk p = 2 karakteristik mutu. Hal ini memungkinkan untuk memperluas hasil ini untuk kasus dengan p karakteristik mutu yang terkait dikendalikan bersama. Diasumsikan distribusi bersama p karakteristik mutu adalah distribusi Normal p-variat. Prosedurnya memerlukan perhitungan rata-rata sampel dari tiap p karakteristik mutu dari suatu sampel berukuran n. Himpunan rata-rata karakeristik mutu ditunjukkan oleh vektor X yang berukuran p  1 X1    X2 X         X p 

(81) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 66 Statistik uji yang di plot pada grafik pengendali T 2 Hotelling untuk tiap sampel adalah T  dengan X  X 1 , X 2 ,  , X 2 p  1  n X X S X X     (3.9)  adalah vektor rata-rata dari tiap karakteristik mutu dan S adalah matriks kovarian. Batas pengendali atas pada grafik pengendali adalah T 2; p ; n 1 . Titik presentase distribusi F dapat diperoleh melalui hubungan T  ; p ; n 1  2 p ( n  1) n p (3.10) F ; p ; n  p Dalam praktek, biasanya perlu menduga X dan S dari analisa sampel awal dengan ukuran n, diambil ketika proses diasumsikan terkendali. Andaikan diketahui m sampel berdistribusi Normal yang terdiri dari p karakteristik mutu dan masing-masing sampel berukuran n. Rata-rata dan variansi sampel dapat dihitung dari tiap sampel, maka X s jk  2 jk  1 n X j  1, 2 ,  , p ijk k  1, 2 ,  , m (3.11) i 1 n  X n 1 1 n ijk  X jk  2 j  1, 2 ,  , p k  1, 2 ,  , m (3.12) i 1 dengan X ijk adalah pengamatan ke-i pada karakteristik mutu ke-j dalam sampel ke-k. Kovarian antara karakteristik mutu j dan h dalam sampel ke-k adalah

(82) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 67 s jhk  n  X n 1 1  X ijk  X jk ihk  X hk  k  1, 2 ,  , m j  h (3.13) i 1 Statistik X jk , s 2jk , s jhk merupakan rata-rata dari semua m sampel untuk mendapatkan X j  sj  2 1 m 1 m X j  1, 2 ,  , p jk (3.14) k 1 m s m j  1, 2 ,  , p 2 jk (3.15) k 1 dan s jh  1 m m s jhk j  h (3.16) k 1  X  merupakan elemen dari vektor X , dan matriks kovarian j  s 12  S      s 12  2 2  s  s1 p   s2 p     2 s p  p p S adalah (3.17) Contoh 3.3.1 Perusahaan Manufaktur ”OSIK Baja” melakukan pengendalian statistik terhadap kuat tarik dan berat yang merupakan karakteristik mutu yang penting dalam industri baja, 20 buah sampel masing-masing berukuran 4 buah dipilih secara random. Dengan data sebagai berikut

(83) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 68 No Rata-rata Sampel Sampel, Kekuatan Berat k ( x1 ) ( x2 ) 1 81,25 20,25 2 79,50 21,00 3 85,00 21,50 4 81,50 17,75 5 81,75 21,00 6 85,50 21,25 7 84,75 20,75 8 80,00 19,00 9 86,25 17,50 10 80,50 18,75 No Sampel, k Rata-rata Sampel Kekuatan Berat ( x1 ) ( x2 ) 11 85,25 22,25 12 81,75 21,75 13 82,00 18,25 14 78,75 22,00 15 81,00 20,00 16 84,00 20,50 17 81,50 19,00 18 82,50 20,75 19 83,75 20,50 20 82,75 19,75 Rata-rata 82,46 20,17 Kemudian dihitung rata-rata dari tiap sampel, variansi dan kovariansi. Nilai statistik T2 dihitung dengan memasukkan nilai-nilai x 1  82 , 46 dan x 2  20 ,175 ke dalam (3.8) dengan hasil sebagai berikut. Rata-rata Sampel No Sampel, Kekuatan Berat ( x1 ) ( x2 ) k 81,25 20,25 1 79,50 21,00 2 85,00 21,50 3 81,50 17,75 4 81,75 21,00 5 85,50 21,25 6 84,75 20,75 7 80,00 19,00 8 86,25 17,50 9 80,50 18,75 10 85,25 22,25 11 81,75 21,75 12 82,00 18,25 13 78,75 22,00 14 81,00 20,00 15 84,00 20,50 16 Variansi dan Kovariansi 2 2 S 1k S 2k S 12 k 8,917 15,000 3,333 5,667 10,917 1,667 6,250 13,333 2,250 4,333 0,917 0,917 8,667 8,917 16,667 2,667 1,583 6,000 4,333 2,917 4,667 1,583 4,250 4,667 3,667 0,917 2,917 0,917 2,917 0,667 3,333 5,667 0,917 -9,000 3,000 1,167 5,333 0,167 4,583 -7,333 -2,500 -0,500 0,917 0,583 -0,333 1,333 -7,333 -2,667 T² 0,783 5,247 5,977 7,947 1,035 6,725 3,356 5,265 15,245 4,863 10,083 3,172 4,743 10,664 1,211 1,452

(84) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 69 17 18 19 20 Ratarata 81,50 82,50 83,75 82,75 19,00 20,75 20,50 19,75 12,333 8,333 14,250 4,917 4,667 2,917 4,333 2,917 3,000 -4,500 3,167 2,917 82,4625 20,175 7,512 3,292 -0,354 2,312 0,407 1,064 0,251 Grafik T² Hotelling 60 50 T2 40 T² 30 BPA 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gambar 3.3 Grafik Pengendali untuk Contoh 3.1 Dari persamaan (3.8) diperoleh statistik penguji yang harus digambarkan pada grafik T2 sebagai T 2  ( 3 , 29 )  X  ( 82 , 46 )  2  ( 7 , 51 )  X  ( 20 ,17 )  2  1 2    (3.18) 2 ( 7 , 51 )( 3 , 29 )  (  0 , 35 )   2 (  0 ,35 )  X 1  ( 82 , 46 )  X 2  ( 20 ,17 )    4 dan jika   0 ,05 , batas pengendali atas grafik tersebut adalah

(85) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 70 T 0 , 01 ; 2 ; 3  2  ( 2 )( 3 ) 42 6 F 0 , 05 ; 2 ; 2 (19 ) 2  57 Dari grafik pada Gambar 3.3 dapat dilihat bahwa semua sampel berada di dalam batas pengendali, maka dapat disimpulkan bahwa proses terkendali.

(86) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T 2 HOTELLING Pada bab ini akan dibahas aplikasi grafik pengendali T 2 dengan data yang bersumber dari skripsi Mutia Umar Ahmad Batarfie (2006) di PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA). 4.1 Gambaran Umum Perusahaan 4.1.1 Sejarah dan Perkembangan Perusahaan PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA) merupakan perusahaan khusus yang memproduksi Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) dengan jenis produksi kemasan galon. PT SBQUA didirikan pada bulan September 2001 di Jl. Pajajaran no 21 Warung Jambu Bogor dengan bentuk perusahaan perseorangan dan memiliki total investasi (tidak termasuk tanah dan bangunan tempat usaha) sebesar Rp. 23.500.000. Pada tahun 2002, PT. SBQUA mengadakan kerjasama dengan Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Kota Bogor tentang pengadaan air bersih untuk bahan baku produksi Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) dengan nomor perjanjian kerjasama No. 695.2/SPK.05-PDAM-SBQUA/2002. Tahun 2003 bentuk perusahaan SBQUA berubah menjadi Perseroan Terbatas (PT). PT. SBQUA memiliki izin usaha industri dengan nomor tanda daftar industri 535/45.TDI-Diperindagkop, dan telah memiliki SNI 01-3553-1996 dengan 71

(87) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 72 sertifikat produk penggunaan tanda SNI nomor : 0283/PUSTAN/SNIBW/X/2001, serta merek dalam negeri dari Badan Pengawasan Obat dan Makanan (BPOM) MD. 249110001624. Bahan baku dalam produksi juga telah memenuhi syarat kualitas air minum Menkes R.I No. 907/Menkes/VII/2002 tanggal 26 Juli 2002. 4.1.2 Kebijakan Mutu Perusahaan PT. SBQUA percaya bahwa mutu merupakan kepentingan setiap orang, serta menetapkan kebijakan mutu yang dituangkan dalam pernyataan berikut : ”Memproduksi Air Minum Dalam Kemasan Sesuai dengan Keinginan Pelanggan dengan Penyerahan Barang Tepat Waktu”. Sasaran mutu yang ditetapkan adalah memproduksi AMDK minimal sesuai dengan SNI 01-3553-1996. Untuk mencapai sasaran tersebut, perusahaan menerapkan dan mengelola sistem mutu dengan mengacu kepada pedoman BSN-10 dan kebijakan serta sasaran mutu disebarluaskan kepada setiap personil yang ada dalam perusahaan untuk diterapkan dalam pelaksanaan tugasnya masing – masing. 4.2 Proses Produksi Produksi AMDK di PT. SBQUA dilakukan setiap hari, kecuali hari minggu/libur, dengan jumlah produksi sesuai dengan pesanan saat itu. Total pemakaian air dan produksi AMDK PT. SBQUA pada bulan Januari hingga April 2006 terdapat pada Lampiran 3. Produk yang telah jadi akan dikirimkan langsung kepada pemesan.

(88) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 73 Pada proses produksi, air baku akan diproses melalui beberapa tahap filtrasi yang bertujuan untuk menghilangkan bau dan kekeruhan serta melalui proses sterilisasi (ozonisasi dan ultra violet). Secara umum diagram alir proses produksi dapat dilihat pada Lampiran 4. Pada diagram alir tersebut dapat dilihat air baku dari PDAM ditampung di tank penampungan bahan baku, lalu dipompa untuk dialirkan ke carbon active filter I. Carbon active filter I ini berfungsi untuk menangkap ion-ion negatif serta menyaring kotoran dan bau dalam air. Tahapan berikutnya adalah ressin filter yang berfungsi untuk menstabilkan pH pada air. Air kemudian dialirkan kembali ke carbon active filter II untuk disaring kembali kotoran dan bau yang masih tersisa. Tahap filtrasi berikutnya adalah penyaringan melalui filter cartridge dengan kekuatan penyaring 5 sampai 1 mikron, dimana kotoran – kotoran, endapan, serta mineral yang ada didalam air akan disaring. Air yang telah melalui tahapan filtrasi tersebut, dialirkan ke ozon generator, dimana air akan diberi ozon untuk melemahkan bakteri – bakteri yang terkandung dalam air. Ozon dan air tersebut akan dicampur secara merata didalam ozon reactor. Setelah melalui tahap ozonisasi, air ditampung di tank penampungan bahan jadi, dan dialirkan melalui sinar ultra violet (UV) dengan kekuatan 10 gpm (galon/menit) untuk mematikan bakteri –bakteri dalam air. Tahap terakhir adalah pengisian air melalui mesin filler. 4.3 Penerapan Pengendalian Mutu Perusahaan Pengendalian mutu pada PT SBQUA terbagi menjadi empat tahap yaitu pengendalian mutu bahan baku, pengendalian mutu dalam proses, pengendalian

(89) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 74 mutu produk jadi, dan pengendalian mutu kemasan. Agar kualitas air tetap terjamin, perusahaan dilengkapi dengan laboratorium QC yang cukup memenuhi syarat dimana setiap hari dilakukan pengujian fisika dan kimia mulai dari air baku hingga AMDK serta secara mikrobiologi dilakukan uji bakteri e-coli. AMDK yang diuji di laboratorium PT.SBQUA secara berkala akan dilakukan perbandingan dengan pengujian kembali di laboratorium yang sudah terakreditasi seperti BBIA (Balai Besar Industri Agro) Bogor. Pada skripsi ini yang akan dibahas adalah tahap pengendalian mutu bahan baku untuk karakteristik mutu nilai pH, kekeruhan air, dan TDS pada tank penampungan bahan baku. 4.3.1 Pengendalian Mutu Bahan Baku Bahan baku utama dalam produksi AMDK SBQUA adalah air yang berasal dari PDAM. Mutu air dipengaruhi oleh parameter mutu air, penyimpanan bahan baku air dan cuaca. Parameter mutu air terdiri dari pH, suhu, kekeruhan, TDS, chlorida, dan mikrobiologi. Nilai pH dalam perairan mencirikan keseimbangan antara asam dan basa dalam air. Penyimpangan dalam pH pada air minum akan mempengaruhi pertumbuhan mikroba didalam air dan perubahan rasa pada air. Menurut SNI- 01-3553-1996, persyaratan pH pada AMDK adalah 6,5 – 8,5. Perusahaan menetapkan persyaratan pH AMDK sesuai dengan SNI. Suhu dalam air tidak boleh tinggi karena akan mempermudah munculnya bakteri – bakteri pada air. Suhu maksimum yang diperbolehkan adalah 30°C.

(90) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 75 Paremeter mutu AMDK selanjutnya adalah kekeruhan. Kekeruhan didalam air disebabkan oleh adanya zat – zat tersuspensi seperti lumpur, zat organik, dan zat – zat halus lainnya. Kekeruhan akan mengakibatkan perubahan warna dari air. Menurut SNI-01-3553-1996, persyaratan kekeruhan pada AMDK adalah maks. 5 NTU. Perusahaan menetapkan persyaratan kekeruhan AMDK sebesar maks. 2,5 NTU. TDS (Total Dissolved Solid) merupakan zat yang terlarut dalam air. Menurut SNI-01-3553-1996, persyaratan TDS pada AMDK adalah maks. 500 mg/l. Perusahaan menetapkan persyaratan TDS AMDK sebesar 50-90 mg/l. Mikrobiologi merupakan suatu pengujian untuk melihat kandungan unsur – unsur mikrobiologi seperti bakteri E-coli, yang dilakukan setiap 2 minggu sekali. 4.3.2 Analisis Grafik Pengendali 1) Grafik Pengendali pH dan Kekeruhan Air Analisis grafik pengendali untuk nilai pH dan kekeruhan air pada tank penampungan bahan baku menggunakan grafik pengendali T 2 Hotelling. Data yang diambil berasal dari 20 buah sampel masing-masing berukuran 3, kemudian untuk tiap sampel diambil rata-rata dan nilai T2 dihitung. Hasil perhitungan ditunjukkan pada Tabel dalam Lampiran 5. Nilai statistik T2 dihitung dengan memasukkan nilai-nilai x 1 dan x 2 ke dalam (3.8), dan jika dipilih   0 , 01 , batas pengendali atas grafik tersebut adalah

(91) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 76 T 0 , 01 ; 2 ; 3  2 ( 2 )( 3  1) 32 F 0 , 01 ; 2 ;1  4 ( 4999 ,5 )  19 . 998 Berdasarkan hasil perhitungan tersebut dibuat grafik pengendali T2 Hotelling untuk pH dan kekeruhan air yang ditunjukkan oleh Gambar 4.1. Gambar 4.1 Grafik Pengendali untuk pH dan Kekeruhan Air Dari grafik pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa sampel 5, 14, dan 16 berada diluar batas pengendali, maka dapat disimpulkan bahwa proses tersebut tidak terkendali. Perlu ditelusuri penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali sehingga mengakibatkan proses produksi tidak terkendali. Penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali dapat disebabkan oleh beberapa kemungkinan, yaitu: 1. Kondisi sumber air baku yang dipengaruhi oleh kondisi cuaca terutama pada musim hujan, sehingga bagian QC harus melakukan pengecekan dengan baik

(92) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 77 pada bahan baku air tersebut, jika pH dan Kekeruhan air tetap tidak sesuai standar maka dilakukan laporan kepada pihak PDAM. 2. Tanki penampungan bahan baku yang belum dikuras, sehingga air dalam tanki menjadi keruh, oleh karena itu operator harus rutin melakukan pengurasan pada tanki. 3. Terjadi kesalahan pengujian yang disebabkan daya fungsi alat sudah tidak maksimal atau kesalahan dari petugas QC, sehingga hasil pengukuran tingkat kekeruhan air dan pH tidak sesuai dengan kenyataan. 4. Kebersihan ruang pengujian masih kurang, sehingga air yang diuji tercemar oleh debu atau kotoran yang mengakibatkan tingkat kekeruhan sampel air tidak sesuai dengan kenyatan. 2) Grafik Pengendali Kekeruhan Air dan TDS Analisis grafik pengendali untuk nilai kekeruhan air dan TDS pada tank penampungan bahan baku menggunakan grafik pengendali T 2 Hotelling. Data yang diambil berasal dari 20 buah sampel masing-masing berukuran 3, kemudian untuk setiap sampel diambil rata-rata dan nilai T2 dihitung. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel dalam Lampiran 6. Nilai statistik T2 dihitung dengan memasukkan nilai-nilai x 1 dan x 2 ke dalam (3.8), dan jika dipilih   0 , 01 , batas pengendali atas grafik tersebut adalah T 0 , 01 ; 2 ; 3  2 ( 2 )( 3  1) 32  4 ( 4999 ,5 )  19 . 998 F 0 , 01 ; 2 ;1

(93) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 78 Berdasarkan tabel tersebut dibuat grafik pengendali T2 Hotelling untuk Kekeruhan Air dan TDS yang ditunjukkan oleh Gambar 4.2. Gambar 4.3 Grafik Pengendali untuk Kekeruhan air dan TDS Pada grafik tersebut terlihat bahwa nilai statistik uji T 2 pada sampel ke 3, 4, 13, dan 14 jatuh di luar batas pengendali, maka dapat disimpulkan bahwa proses tersebut tidak terkendali. Perlu ditelusuri penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali sehingga mengakibatkan proses produksi tidak terkendali. Penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali dapat disebabkan oleh beberapa kemungkinan, yaitu: 1. Kondisi sumber air baku yang dipengaruhi oleh kondisi cuaca terutama pada musim hujan dimana kekeruhan air dan TDS meningkat, sehingga bagian QC harus melakukan pengecekan dengan baik pada bahan baku air tersebut, jika kekeruhan dan TDS tetap tidak sesuai standar maka dilakukan laporan kepada pihak PDAM.

(94) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 79 2. Tanki penampungan bahan baku yang belum dikuras, sehingga air dalam tanki menjadi keruh, oleh karena itu operator harus rutin melakukan pengurasan pada tanki. 3. Terjadi kesalahan pengujian yang disebabkan daya fungsi alat sudah tidak maksimal atau kesalahan dari petugas QC, sehingga hasil pengukuran tingkat kekeruhan air dan TDS tidak sesuai dengan kenyataan. 4. Kebersihan ruang pengujian masih kurang, sehingga air yang diuji tercemar oleh debu atau kotoran yang mengakibatkan tingkat kekeruhan sampel air tidak sesuai dengan kenyatan.

(95) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN Untuk memahami grafik T2 Hotelling diperlukan pemahaman tentang grafik pengendali univariat (grafik pengendali dan S), nilai dan vektor eigen, konsep-konsep penting dalam statistika univariat (nilai harapan dan variansi variabel random, kovariansi dan independensi dua variabel random, dan sifat-sifat nilai harapan dan kovariansi), konsep-konsep penting dalam statistika multivariat (vektor dan matriks random, vektor rata-rata dan matriks kovariansi, menyekat matriks kovariansi, vektor rata-rata dan matriks kovariansi untuk kombinasi linear variabel random, menyekat vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel, sampel random dan nilai harapan dari rata-rata dan matriks kovariansi sampel, variansi yang diperumum, distribusi Normal Multivariat, dan fungsi densitas Normal Bivariat), metode fungsi pembangkit momen, distribusi sampling yang berhubungan dengan distribusi normal, distribusi T 2 Hotelling, dan daerah kepercayaan elips. Grafik pengendali T2 Hotelling dapat digunakan untuk menganalisis apakah suatu proses terkendali atau tidak berdasarkan variabel bivariat yang relevan. Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh pada PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA), dapat disimpulkan bahwa aplikasi grafik pengendali T 2 Hotelling 80

(96) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 81 Bivariat untuk karakteristik mutu pH dan kekeruhan air dalam tank penampungan bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 5, 14, dan 16 berada diluar batas pengendali. Sedangkan pada grafik pengendali untuk karakteristik mutu kekeruhan air dan TDS dalam tank penampungan bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 3, 4, dan 13 berada diluar batas pengendali. Penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali dapat disebabkan oleh beberapa kemungkinan diantaranya adalah faktor cuaca, kebersihan tanki dan ruangan, dan kesalahan pengujian. B. SARAN Berdasarkan hasil penelitian, pembahasan dan kesimpulan, maka penulis mencoba memberikan saran untuk penulis berikutnya, bahwa sebaiknya dibahas lebih jauh tentang grafik pengendali T2 Hotelling Multivariat dan aplikasinya.

(97) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR PUSTAKA Batarfie, Mutia Umar Ahmad. 2006. Analisis Pengendalian Mutu pada Proses Produksi Air Minuum Dalam Kemasan (AMDK) SBQUA (Studi Kasus di PT. Sinar Bogor Qua, Pajajaran-Bogor). Skripsi Sarjana pada Fakultas Ekonomi dan Manajemen Institut Pertanian Bogor: tidak diterbitkan. Gito Sudarmo, Indriyo. Reksohadiprodjo, Sukanto. 1984. Management Produksi, ed. 3. Yogyakarta. BPFE Yogyakarta. Johnson, Richard. Dean Wichern. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis, 3rd ed. New Jersey: Prentice Hall. Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Prihantoro, Rudy. 2012. Konsep Pengendalian mutu. Bandung. Remaja Rosdakaryo. Seber, G.A.F. 1984. Multivariate Observations. USA: John Wiley & Sons, inc. Wackerly, Dennis.D. William Mendenhall III. Richard L. Scheaffer. 2008. Mathematical Statistics with Applications, 7th ed. USA: Thomson Brooks/Cole. 82

(98) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

(99) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 1. Faktor-Faktor untuk Membuat Grafik Pengendali Variabel Sumber: Montgomery, D. C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control 83

(100) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 2. Distribusi, Fungsi Probabilitas, Rata-Rata, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen Sumber: Wackerly, Dennis D. William Mendenhall III. Richard L. S. 2008. Mathematical Statistics with Applications. 84

(101) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 85

(102) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 3. Titik Presentase Distribusi F Sumber: Douglas C. Montgomery (200 86

(103) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 87

(104) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 88

(105) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 89

(106) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 90

(107) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 91 Lampiran 4. Total pemakaian air dan total produksi AMDK pada bulan Januari hingga April 2006

(108) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 5. Proses Produksi Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) SBQUA 92

(109) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 6. Tabel Perhitungan pH dan Kekeruhan Air No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6,50 6,50 7,20 6,60 6,80 7,00 7,10 6,60 6,40 6,30 6,50 7,00 7,10 7,30 7,50 pH 6,50 6,40 7,30 7,40 6,60 7,30 7,10 6,80 6,50 6,40 6,70 6,90 7,10 7,20 7,30 0,18 0,08 0,37 0,32 0,24 0,30 0,46 0,52 0,52 1,38 0,94 0,31 0,21 0,24 0,19 Kekeruhan 0,10 0,33 0,22 0,82 0,21 0,41 0,24 0,66 0,57 1,98 1,21 0,17 0,55 0,09 0,14 7,30 6,40 6,60 7,40 7,30 7,30 6,70 6,80 6,40 6,80 6,50 6,60 7,00 7,20 7,40 16 6,40 6,40 17 18 19 20 6,60 6,80 6,90 7,00 6,80 6,90 6,20 6,80 0,25 0,28 0,32 0,13 0,31 0,39 0,31 0,48 0,99 1,54 0,70 0,06 0,33 0,08 0,15 phbar 6,77 6,43 7,03 7,13 6,90 7,20 6,97 6,73 6,43 6,50 6,57 6,83 7,07 7,23 7,40 k bar 0,18 0,23 0,30 0,42 0,25 0,37 0,34 0,55 0,69 1,63 0,95 0,18 0,36 0,14 0,16 6,40 0,10 0,30 0,15 6,40 0,18 6,50 7,10 6,50 7,40 Rata-Rata 0,09 0,00 0,14 0,19 0,10 0,10 0,30 0,10 0,12 0,05 0,41 0,24 6,63 6,93 6,53 7,07 6,84 0,10 0,05 0,28 0,18 0,38 S²1k 0,213 0,003 0,143 0,213 0,130 0,030 0,053 0,013 0,003 0,070 0,013 0,043 0,003 0,003 0,010 1,2E30 0,023 0,023 0,123 0,093 S²2k 0,006 0,018 0,006 0,127 0,003 0,003 0,013 0,009 0,067 0,097 0,065 0,016 0,030 0,008 0,001 0,0108 0,000 0,003 0,018 0,005 S12k 0,029 -0,007 -0,009 0,041 0,019 0,010 0,005 0,003 -0,006 -0,006 0,026 0,025 0,002 0,005 0,003 2,47E32 -0,001 0,003 -0,031 0,020 T² 68,698 5531,579 2,996 1,227 83128,103 533,603 1,649 17,556 157,843 51,906 269,568 61,732 48,641 87538,823 5228,363 4,87123E+29 1395,390 154,715 10,628 314,594 93

(110) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 7. Tabel Perhitungan Kekeruhan Air dan TDS No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,18 0,08 0,37 0,32 0,24 0,30 0,46 0,52 0,52 1,38 0,94 0,31 0,21 0,24 0,19 0,10 0,09 0,00 0,14 0,19 Kekeruhan 0,10 0,25 0,33 0,28 0,22 0,32 0,82 0,13 0,21 0,31 0,41 0,39 0,24 0,31 0,66 0,48 0,57 0,99 1,98 1,54 1,21 0,70 0,17 0,06 0,55 0,33 0,09 0,08 0,14 0,15 0,30 0,15 0,10 0,12 0,10 0,05 0,30 0,41 0,10 0,24 Rata-Rata 68,50 63,00 65,01 65,00 66,00 65,00 63,00 59,50 58,00 60,00 68,00 62,50 64,00 64,00 64,00 52,00 52,00 62,50 59,00 62,00 TDS 66,00 63,00 65,00 65,01 59,00 63,01 64,00 59,50 60,00 59,00 73,00 63,00 64,01 64,01 64,00 56,00 60,00 64,00 53,00 70,00 66,00 64,00 65,00 65,00 60,00 63,00 64,00 58,00 59,00 56,00 62,00 63,00 64,00 64,00 63,00 56,00 59,00 63,00 55,00 63,00 k bar 0,18 0,23 0,30 0,42 0,25 0,37 0,34 0,55 0,69 1,63 0,95 0,18 0,36 0,14 0,16 0,18 0,10 0,05 0,28 0,18 0,38 tds bar 66,83 63,33 65,00 65,00 61,67 63,67 63,67 59,00 59,00 58,33 67,67 62,83 64,00 64,00 63,67 54,67 57,00 63,17 55,67 65,00 62,16 S²1k 0,006 0,018 0,006 0,127 0,003 0,003 0,013 0,009 0,067 0,097 0,065 0,016 0,030 0,008 0,001 0,011 0,000 0,003 0,018 0,005 S²2k 2,083 0,333 0,000 0,000 14,333 1,327 0,333 0,750 1,000 4,333 30,333 0,083 0,000 0,000 0,333 5,333 19,000 0,583 9,333 19,000 S12k 0,004 0,025 0,000 0,002 -0,018 -0,066 -0,062 0,055 0,025 0,013 1,400 -0,033 0,001 0,000 0,005 0,167 0,045 0,038 -0,303 -0,275 T² 55,096 23,092 1703841,676 10242503,189 18,049 123,965 158,848 141,425 37,013 60,064 628,905 20,564 2529288,078 381309,730 297,961 32,415 1632,342 5184,180 46,202 74,249 94

(111) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 95 Lampiran 8. Program MATLAB untuk Daerah Kepercayaan Elips x=input('Masukkan data dalam bentuk matriks ='); pcy=input('Masukkan kepercayaan elips (dalam persen) ='); f=input('Masukkan nilai distribusi F2,n-p,alfa ='); m=input('Masukkan myu='); [p,n]=size(x); xbar=mean(x')%vektor x bar %Mencari MAtriks Variansi Kovariansi s11=sum((x(1,:)-xbar(1)).^2)/n; s22=sum((x(2,:)-xbar(2)).^2)/n; b1=x(1,:)-xbar(1); b2=x(2,:)-xbar(2); s12=sum(b1.*b2)/n; s21=s12; S=[s11 s12;s21 s22] invs=inv(S)%Invers dari S [v,d]=eig(S);%Nilai Eigen S (Lamda) lamda1=d(1,1); lamda2=d(2,2); e1=[v(1,1);v(1,2)];%Vektor eigen dari Lamda1 e2=[v(2,1);v(2,2)];%Vektor Eigen dari Lamda2 r1=sqrt(lamda1)*sqrt(((2*(n-1))/(n*(n-2)))*f);%Panjang jari-jari mayor elips r2=sqrt(lamda2)*sqrt(((2*(n-1))/(n*(n-2)))*f);%Panjang jari-jari minor elips %Menggambar Daerah Kepercayaan Elips t = linspace(0,2*pi,1000); theta0=atan(r1/r2); a=r2; b=r1; g = a*sin(t+theta0)+xbar(1,1); h = b*cos(t)+xbar(1,2); plot(g,h) grid on hold on e=m(1,1); f=m(1,2); plot(xbar(1,1),xbar(1,2),'r*') plot(e,f,'bo') hold off axis equal %PErhitungan dan kesimpulan apakah myu berada di dalam daerah kepercayaan %elips atau tidak y=n*(xbar-m)*invs*(xbar-m)' z=(2*(n-1)/(n-2))*f if y<=z disp('DATA TERKENDALI'); else disp('DATA TIDAK TERKENDALI'); end

(112)

Dokumen baru