DISTRIBUSI SUHU KEADAAN TAK TUNAK PADA BENDA PADAT KOMPOSIT DUA DIMENSI DENGAN SALAH SATU DARI DUA BAHANNYA BERBANGKIT ENERGI

Gratis

0
0
98
5 months ago
Preview
Full text

  

DISTRIBUSI SUHU KEADAAN TAK TUNAK

PADA BENDA PADAT KOMPOSIT DUA DIMENSI

DENGAN SALAH SATU DARI DUA BAHANNYA

BERBANGKIT ENERGI

TUGAS AKHIR

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  

Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

Jurusan Teknik Mesin

  DISUSUN OLEH :

LISTA KURNIA

  NIM : 005214016

  

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

JURUSAN TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2006

  UNSTEADY – STATE TEMPERTURE DISTRIBUTIONS OF TWO - DIMENSIONAL COMPOSITE SOLID WITH ENERGY GENERATING AT ONE OF IT’S TWO MATERIALS FINAL PROJECT As Partial Fulfilment of Requirements to Obtain the Sarjana Teknik Degree In Mechanical Engineering By:

LISTA KURNIA

  NIM : 005214016 MECHANICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM MECHANICAL DEPARTMENT SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2006

  

HALAMAN PERSEMBAHAN

KUPERSEMBAHKAN TULISAN INI KEPADA :

TUHAN YESUS, MAMAK, BAPAK, MARINA, RIO, MONIKA, DAN DINA.

  Perkataan ini deras menembus relung hatiku:

  ™ Tuhan takkan terlambat juga takkan lebih cepat. Semuanya itu, Dia jadikan indah pada waktu-Nya.(Pengkhotbah 3:1-15) ™ Sebab rancanganKu bukanlah rancanganmu dan jalanKu bukanlah jalanmu.

  Seperti tingginya langit dari bumi demikianlah tingginya jalanKu dari jalanmu dan rancanganKu dari rancanganmu. (Yesaya 55:8-9) ™ Bagi kemuliaan Tuhan.

  

Pernyataan Keaslian Karya

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang telah dinyatakan dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, Desember 2006 Penulis

KATA PENGANTAR

  Atas berkat dan karunia dari Allah Bapa di surga maka sudah terlaksana penulis menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul Distribusi Suhu Keadaan Tak Tunak Pada Benda Padat Komposit Dua Dimensi Dengan Salah Satu Dari Dua Bahannya Berbangkit Energi.

  Tugas Akhir ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana pada Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih pada :

  1. Tuhan yang telah menyertai dan memberi kekuatan selama penulis menyelesaikan Tugas Akhir.

  2. Bapak Ir. PK. Purwadi. M.T. , pembimbing Tugas Akhir, yang telah dengan sabar membimbing dan membantu menyelesaikan Tugas Akhir dari awal hingga akhir.

  3. Bapak Ir. YB. Lukiyanto. M.T. , pembimbing akademik, yang juga mendorong untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini.

  4. Romo Ir. Gregorius Heliarko, SJ, S.S., B.S.T, M.A., M.Sc., selaku dekan fakultas Teknik.

  5. Bapak Yosef Agung Cahyanto, S.T., M.T., selaku ketua jurusan Teknik Mesin.

  6. Bapak dosen pengajar yang telah memberikan teori-teori sebagai dasar pembuatan Tugas Akhir ini.

  7. Bapak dan mamak yang selalu memberikan dukungan baik material maupun spiritual dan yang selalu berdoa untuk penulis.

  8. Marina, Rio dan Monika yang selalu mendukung dan berdoa untuk penulis.

  9. Semua teman-teman, serta semua pihak yang telah memberikan dukungan penuh hingga selesainya Tugas Akhir ini.

  10. Mbah kakung, mbah putri dan semua saudara yang telah mendukung dan selalu mendoakan penulis.

  Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tugas Akhir ini masih banyak kekurangan sehingga jauh dari sempurna. Dengan demikian kritik dan saran diharapkan penulis guna menyempurnakan tulisan ini. Akhir kata penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca.

  ` Penulis

  

ABSTRAK

  Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui (1) pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi (2) pengaruh perubahan

  • nilai energi pembangkitan ( q ) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi (3) pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi. Penelitian dilakukan dengan metode komputasi numerik, dengan memakai metode beda hingga cara eksplisit. Di analisis dalam dua dimensi.

  Penelitian dilakukan pada benda padat komposit. Benda uji berbentuk balok dengan lebar 14 cm (0,14 m), tinggi 14 cm (0,14 m) dan panjang 1 m. Kondisi awal

  o

  benda merata. Suhu awal benda T i = 100

  C. Penelitian dilakukan dengan memvariasikan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h), nilai energi

  • pembangkitan ( q ) dan bahan yang di luar.

  Hasil penelitian yang pada kasus ditinjau menunjukkan bahwa semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi (proses pemanasan) dan suhu semakin cepat menyesuaikan dengan

  • lingkungan sekitar. Semakin besar nilai energi pembangkitan ( q ) maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konduksi (k) pada bahan di bagian luar maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi.

  

DAFTAR ISI

  Halaman Judul …………………………………………………………………... i Halaman Persetujuan ……………………………………………………………. ii Halaman Pengesahan ……………………………………………………………. iii Halaman Persembahan …………………………………………………………... iv Pernyataan Keaslian Karya ……………………………………………………… v Kata Pengantar …………………………………………………………………... vi Abstrak …………………………………………………………………………... viii Daftar Isi ………………………………………………………………………… x Daftar Gambar …………………………………………………………………… xiii Daftar Tabel ……………………………………………………………………... xvi

  BAB I PENDAHULUAN

  1.1. Latar Belakang ………………………………………………………... 1

  1.2. Batasan Masalah ……………………………………………………… 2

  1.3. Perumusan Masalah …………………………………………………... 2

  1.4. Tujuan ………………………………………………………………… 7

  1.5. Manfaat ……………………………………………………………….. 8

  BAB II DASAR TEORI

  2.1. Perpindahan Panas ……………………………………………………. 9

  2.1.1. Perpindahan Panas Konduksi …………………………………… 9

  2.1.2. Perpindahan Panas Konduksi ……….………………………….. 12

  2.2. Metode Beda Hingga …………………………………………………. 21

  2.2.1. Beda Maju ………………………………………………………. 22

  2.2.2. Beda Mundur …………………………………………………… 23

  2.2.3 Beda Tengah …………………………………………………….. 24

BAB III PERSAMAAN PADA SETIAP TITIK

3.1. Model Matematika ……………………………………………………. 26

  3.2. Persamaan Pada Setiap Titik …………………………………………... 28

  3.2.1. Kasus 1 ………………………………………………………….. 31

  3.2.2. Kasus 2 ………………………………………………………….. 32

  3.2.3. Kasus 3 ………………………………………………………….. 34

  3.2.4. Kasus 4 ………………………………………………………….. 36

  3.2.5. Kasus 5 ………………………………………………………….. 38

  3.2.6. Kasus 6 ………………………………………………………….. 40

BAB IV HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN

  4.1. Hasil Perhitungan ……………………………………………………... 42

4.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h Yang Divariasikan …….. 42

  2o

  4.1.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 1000 W/m C …. 43

  2o

  4.1.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 2000 W/m C …. 46

  2o

  4.1.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 5000 W/m C …. 47

  2o

  4.1.1.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 10000 W/m C … 48

  2o

  4.1.1.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 20000 W/m C … 49

  • 4.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q Yang Divariasikan …….. 51
  • 3

  4.1.2.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 20 MW/m …….. 51

  • 3

  4.1.2.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 50 MW/m …….. 52

  • 3

  4.1.2.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 75 MW/m …….. 53

  • 3

  4.1.2.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 100 MW/m …… 54

  • 3

  4.1.2.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 125 MW/m …… 55

4.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan 1 Divariasikan ……. 58

  4.1.3.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Baja Karbon 0,5% C …………………………………………… 58

  4.1.3.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Nikel ……….. 59

  4.1.3.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Seng ………... 60

  4.1.3.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Tembaga …… 61

  4.1.3.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Perak …….………… 62

4.2. Pembahasan …………………………………………………………… 65

4.2.1. Distribusi Suhu Dengan Variasi h ………………………………. 65

  • 4.2.2. Distribusi Suhu Dengan Variasi q ……………………………… 66

  4.2.3. Distribusi Suhu Dengan Variasi Bahan Pada Bagian Luar ……... 67

BAB V PENUTUP

  5.1. Kesimpulan …………………………………………………………… 69

  5.2. Saran …………………………………………………………………… 69 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………… 70 LAMPIRAN ……………………………………………………………………... 71

  DAFTAR GAMBAR

  1. Gambar 1.1. Benda padat komposit dengan energi pembangkitan pada benda bagian dalam ……………………………………………………… 3

  2. Gambar 2.1. Sketsa yang melukiskan perjanjian tentang tanda untuk aliran panas konduksi ……………………………………………………. 10

  3. Gambar 2.2. Perpindahan panas konduksi ………………………………. 10

  4. Gambar 2.3. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat padat terhadap suhu ……………………………………………………………………… 11

  5. Gambar 2.4. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat cair terhadap suhu ……………………………………………………………………… 11

  6. Gambar 2.5. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat gas terhadap suhu ……………………………………………………………………… 12

  7. Gambar 2.6. Perpindahan panas konveksi ………………………………. 13

  8. Gambar 2.7. Sketsa batas aliran laminar, transisi, dan turbulen pada bidang datar ……………………………………………………………… 17

  9. Gambar 3.1. Sketsa yang melukiskan koordinat untuk penurunan persamaan konduksi panas umum dalam koordinat Cartesius …………… 27

  10. Gambar 3.2. Gambar titik-titik pada benda uji …………………………… 30

  11. Gambar 3.3. Volume kontrol pada kasus 1 ……………………………… 31

  12. Gambar 3.4. Volume kontrol pada kasus 2 ……………………………… 32

  13. Gambar 3.5. Volume kontrol pada kasus 3 ……………………………… 34

  14. Gambar 3.6. Volume kontrol pada kasus 4 ……………………………… 36

  …………………………………... 54

  21. Gambar 4.5. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk h = 20000 W/m

  

3

  25. Gambar 4.9. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk

  …………………………………... 53

  

3

  24. Gambar 4.8. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk

  …………………………………... 52

  

3

  23. Gambar 4.7. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk

  22. Gambar 4.6. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk semua harga h pada saat t = 15 s ………………… 50

  C ..……………………………… 49

  2o

  C ..……………………………… 48

  15. Gambar 3.7. Volume kontrol pada kasus 5 ……………………………… 38

  2o

  20. Gambar 4.4. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk h = 10000 W/m

  C ………………………………… 47

  

2o

  19. Gambar 4.3. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk h = 5000 W/m

  C ………………………………… 46

  

2o

  18. Gambar 4.2. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk h = 2000 W/m

  C ………………………………… 45

  

2o

  17. Gambar 4.1. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk h = 1000 W/m

  16. Gambar 3.8. Volume kontrol pada kasus 6 ……………………………… 40

  • q = 20 MW/m
  • q = 50 MW/m
  • q = 75 MW/m

  26. Gambar 4.10. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk

  • q = 100 MW/m
  • q = 125 MW/m

  3

  ………………………………….. 55

  27. Gambar 4.11. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk

  3

  ………………………………….. 56

  28. Gambar 4.12. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk semua

  • q pada saat t = 7s ………………………... 57

  29. Gambar 4.13. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk besi .............................................................…

  59

  30. Gambar 4.14. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk nikel ……………………………………………... 60

  31. Gambar 4.15. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk seng ………….…………………………………... 61

  32. Gambar 4.16. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk magnesium. …..…………………………………... 62

  33. Gambar 4.17. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk aluminium . …..…………………………………... 63

  34. Gambar 4.18. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu untuk semua bahan pada saat t = 15 s …………………. 64

  DAFTAR TABEL

  1. Tabel 2.1. Bilangan Nusselt untuk dinding vertikal ……………………... 14

  2. Tabel 2.2. Konstanta persamaan permukaan isotermal ………………….. 16

  3. Tabel 2.3. Nilai – nilai koefisien perpindahan panas konveksi untuk berbagai keadaan ………………………………………………………… 19

  4. Tabel 2.4. Konstanta C dan n untuk perpindahan panas dari silinder ……. 20

  5. Tabel 2.5. Konstanta C dan n untuk perpindahan panas dari silinder tak Bundar …………………………………………………………………… 20

  6. Tabel 4.1. Nilai sifat-sifat logam ………………………………………… 41

  2o

  7. Tabel 4.2. Hasil perhitungan dengan nilai h = 1000 W/m C …………… 45

  2o

  8. Tabel 4.3. Hasil perhitungan dengan nilai h = 2000 W/m C …………… 46

  2o

  9. Tabel 4.4. Hasil perhitungan dengan nilai h = 5000 W/m C …………… 47

  2o

  10. Tabel 4.5. Hasil perhitungan dengan nilai h = 10000 W/m C ………….. 48

  2o

  11. Tabel 4.6. Hasil perhitungan dengan nilai h = 20000 W/m C …………. 49

  • 3

  12. Tabel 4.7. Hasil perhitungan dengan nilai q = 20 MW/m ……………… 51

  • 3

  13. Tabel 4.8. Hasil perhitungan dengan nilai q = 50 MW/m ……………… 52

  • 3

  14. Tabel 4.9. Hasil perhitungan dengan nilai q = 75 MW/m ……………… 53

  • 3

  15. Tabel 4.10. Hasil perhitungan dengan nilai q = 100 MW/m …………… 54

  • 3

  16. Tabel 4.11. Hasil perhitungan dengan nilai q = 125 MW/m …………… 55

  17. Tabel 4.12. Hasil perhitungan untuk bagian luar : besi …………………. 58

  • q = 20 MW/m
  • q = 20 MW/m

  3

  o

  C, komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m

  2o

  C, T i = 30

  o

  C,

  ∞ T = 100 o

  C …………………………………………………… 67

  26. Tabel 4.21. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100

  o

  C, h = 5000W/m

  2o

  C, dan

  , T i = 30

  C …….. 66

  o

  C,

  ∞ T = 100

o

  C ………………………………….. 68

  27. Tabel 4.22. waktu yang diperlukan node sudut benda mencapai 100

  o

  C, h = 5000W/m

  2o

  C, dan

  

3

  , T i = 30

  o

  C,

  ∞ T = 100 o

  25. Tabel 4.20. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100

  ∞ T = 100 o

  C …………. 68

  65

  18. Tabel 4.13. Hasil perhitungan untuk bagian luar : nikel ………………… 59

  19. Tabel 4.14. Hasil perhitungan untuk bagian luar : seng …………………. 60 20. Tabel 4.15. Hasil perhitungan untuk bagian luar : magnesium ……….

  61

  21. Tabel 4.16. Hasil perhitungan untuk bagian luar : aluminium ………….. 62

  22. Tabel 4.17. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100

  o

  C , komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan

  3

  , T

  i

  = 30

  o

  C,

  ∞ T = 100 o C ……...

  23. Tabel 4.18. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100

  C,

  o

  C, komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan

  3

  , T i = 30

  o

  C,

  ∞ T = 100 o

  C ……………………………….…………………… 66

  24. Tabel 4.19. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 7 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100

  o

  C, komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m

  2o

  C, T i = 30

  o

  • q = 20 MW/m
  • q = 20 MW/m

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

  Perpindahan panas dapat kita jumpai baik dalam kehidupan sehari-hari atau dalam industri. Pada kehidupan sehari-hari perpindahan panas dapat kita jumpai pada heater, setrika listrik, panci yang dipanaskan, dan lain-lain. Sedangkan pada industri dapat kita jumpai pada pengolahan logam.

  Benda berbangkit energi adalah benda yang mampu memberikan atau membangkitkan energi. Contohnya : kawat berarus listrik, elemen pemanas air (heater), elemen setrika listrik, kompor listrik, dan lain-lain.

  Di kehidupan sehari-hari sering kita jumpai suatu benda terdiri dari dua atau lebih bahan, contoh kabel terdiri dari kawat dan isolator, heater terdiri dari elemen dan isolator, atau tembok yang terdiri dari batubata dan semen, dan lain-lain.

  Untuk mengetahui distribusi suhu pada suatu benda dapat dilakukan dengan beberapa cara, seperti eksperimen atau dengan metode analisis. Pada penelitian ini digunakan metode komputasi numerik, untuk kasus tertentu sesuai dengan persoalan yang ditinjau.

  1.2. Batasan Masalah

  Menghitung dan menganalisa perubahan suhu dari waktu ke waktu pada benda padat komposit 2 dimensi dengan energi pembangkitan pada bahan yang di dalam, keadaan tak tunak. Benda padat komposit tersusun dari dua bahan yang berbeda.

  Pada analisis ini diambil beberapa titik tertentu dan titik pusat sebagai wakil untuk dianalisis. Nilai h selama proses berlangsung (pada keadaan tak tunak) dianggap bernilai tetap dan merata. Penyelesaian dilakukan dengan metode komputasi numerik, cara beda hingga dengan metode eksplisit.

  1.3. Perumusan Masalah

  Benda uji yaitu benda dengan bahan komposit (dua bahan) yang memiliki suhu mula-mula merata T =T , kemudian secara tiba-tiba dicelupkan pada fluida yang

  i

  bergerak yang mempunyai suhu T = T yang tetap dipertahankan selama proses tak

  ∞

  tunak berlangsung, dengan nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h yang nilainya tetap. Energi pembangkitan dihidupkan tepat pada saat benda uji dicelupkan pada fluida (pada bahan yang didalam). Pencarian distribusi suhu dari waktu ke waktu diselesaikan dengan model matematik yang sesuai.

a. Model matematika

  • 2

  2 ∂ T ( x , y , t ) ∂ T ( x , y , t ) q 1 ∂ T ( x , y , t )

  • = , (1.1)

  2

  2 x y kt

  ∂ ∂ α B B a b ab

  ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ < x < a − , t > 0

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  a ba b

  ⎛ − ⎛ ⎞ ⎞ < y < a − , q = q

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  2

  2

  ∂ T ( x , y , t ) ∂ T ( x , y , t ) 1 ∂ T ( x , y , t ) = + •

  , (1.2)

  2

  2

  ∂ xy α ∂ t

  A

  0 < x < a, t > 0 0 < y < a

  a b ab

  ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ kecuali pada < x < a − , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  a b ab

  ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ dan < y < a − , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  y

, h

  (0,a) T

  2 (a,a) ∞

  k

  A, α A

  k α

B, B

  • T , h A B q b a T , h

  1 3 ∞

  ∞

  b (0,0) a (a,0) x

  

, h

T

  4 ∞

Gambar 1.1. Benda padat komposit, dengan ada energi pembangkitan pada benda bagian dalam.

  Keterangan : A : bahan 1, bahan dengan nilai k , ukuran luar a x a dengan lubang di tengah b x b

  A

  B : bahan 2, bahan dengan nilai k B , ukuran b x b o T 1 = T 2 = T 3 = T

4 = T = suhu fluida sekitar benda uji (

C).

  ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 o h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m

  C)

  o

  k = α x x c , koefisien perpindahan panas konduksi bahan 1 (W/m

  C)

  A A ρ A A o

  k = α x x c , koefisien perpindahan panas konduksi bahan 2 (W/m

  C)

  B B ρ B B

  • 3

  q = energi pembangkitan (W/m )

  2 α A = difusivitas termal bahan 1 (m /s).

  3

  = kerapatan (density) bahan 1(kg/m ) ρ A

  o c A = panas jenis bahan1 (J/kg

  C)

  2

  α B = difusivitas termal bahan 2 (m /s).

  3

  ρ B = kerapatan (density) bahan 2 (kg/m )

  o c B = panas jenis bahan 2 (J/kg

  C)

  b. Kondisi awal

  T(x,y,0) = Ti , ≤ x

  a, ≤ y

  a, t = 0 (1.3)

  c. Kondisi batas

1. Kondisi batas dinding permukaan samping kiri

  ⎡ ⎤ ∂ A T ( x , y , t )

  − − − k hA ( T ( x , y , t ) T )

  ⎢ ∞

1 ⎥

∂ 2 y y = y

  VT ( x , y , t ) ⎢ ⎥ = ρ c (1.4)

  ⎢ ⎥ 2 ∂ t ∂ ∂

  A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t ) ⎢ ⎥

  k k ⎢ ∂ ∂ ⎥ 2 y

  2 x

  • y = yy

  ⎣ ⎦

  x = 0, 0 < y < a, t > 0

  2. Kondisi batas dinding permukaan atas

  ⎡ ⎤ AT ( x , y , t )

  • − −

  k hA ( T T ( x , y , t )) ∞

  2 ⎢ ⎥ ∂

  2 xx = x

  V T ( x , y , t ) ⎢ ⎥ = ρ (1.5) c

  ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ 2 t

  A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t ) − + k k ⎢ ⎥

  ∂ ∂ 2 x 2 y x = xx

  ⎣ ⎦

  • y = a, 0 < x < a, t > 0

  3. Kondisi batas dinding permukaan samping kanan

  ⎡ ⎤ ∂ A T ( x , y , t )

  k hA ( T T ( x , y , t )) ∞

  3 ⎢ ⎥ ∂

  2 y y = y

  ⎢ ⎥

  V T ( x , y , t ) =

  ρ c (1.6)

  ⎢ ⎥ ∂ 2 t ∂ ∂

  A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t ) ⎢ ⎥ − kk ⎢ ⎥ ∂ ∂

  2 y 2 x

  • y = yy

  ⎣ ⎦

  x = a, 0 < y < a, t > 0

  4. Kondisi batas dinding permukaan atas

  ⎡ ∂ ⎤ A T ( x , y , t ) khA ( T ( x , y , t ) − T )

  ∞

  

4

⎢ ⎥ 2 ∂ x

  VT ( x , y , t ) x = x

  ⎢ ⎥ =

  ρ c (1.7)

  ⎢ ⎥ 2 ∂ t AT ( x , y , t ) AT ( x , y , t )

  − + k k

  ⎢ ⎥ ∂ ∂ 2 x 2 y x = xx

  ⎣ ⎦

  • y = 0, 0 < y < a, t > 0

  5. Kondisi batas sudut kiri atas permukaan

  ⎡ A A ⎤ − − − + h ( T ( x , y , t ) T ) h ( T T ( x , y , t ))

  ∞ 1 ∞

  2 ⎢

  ⎥ ∂

  V T ( x , y , t )

  2

  2 ⎢ ⎥ = ρ (1.8) c

  ∂ ∂ A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t ) ∂

  4 t ⎢ ⎥

  k k

  ⎥ 2 ∂ x 2 ∂ y

  ⎦

  x = 0, y = a, t > 0

  )

  V c ∂ ∂

  ρ (1.10) x = a, y = 0, t > 0

  8. Kondisi batas sudut kiri bawah permukaan

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ∂ ∂

  ∞ ∞ y T t y x A k x

  T t y x A k T t y x T A

  T h t y x T A h

  ) , , (

  2 ) , , ( 2 ) ) , , ( (

  2 ) ) , , ( (

  2

  1

  4 t T t y x

  = ) , , (

  = ) , , (

  4

  ρ (1.11) x = 0, y = 0, t > 0 Keterangan

  α = k / ρ c , difusivitas termal (m

  2 /s).

  ρ = kerapatan (density) (kg/m

  3

  )

  c = panas jenis (J/kg o

  C)

  h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m 2 o C).

  k = koefisien perpindahan panas konduksi (W/m

  o

  C) t = waktu (s) A = luas volume kontrol (m

  2

  4

  V c ∂ ∂

  = ) , , (

  ρ (1.9) x = a, y = a, t > 0

  T t y x A k T t y x T A

  T h t y x T A h

  ) , , (

  2 ) , , ( 2 )) , , ( (

  2 )) , , ( (

  2

  3

  2 t T t y x

  V c ∂ ∂

  3 t T t y x

  4

  7. Kondisi batas sudut kanan bawah permukaan

  ∂ − − + −

  ∂ ∂ − ∂

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ∞ ∞ y T t y x A k x

  T t y x A k T t y x T A

  T h t y x T A h

  ) , , (

  6. Kondisi batas sudut kanan atas permukaan

  2 )) , , ( (

  2

  4

  ∞ ∞ y T t y x A k x

  • ∂ ∂ − − − −

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ∂ ∂

  2 ) , , ( 2 ) ) , , ( (

  • − − − −
  • ∂ ∂
Dilakukan variasi pada : 1. Nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h).

  • 2. Nilai energi pembangkitan q .

  ⎛ ⎞

  ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3. Bahan yang tidak berbangkit energi (bahan yang di luar).

  Dengan asumsi :

  1. Sifat-sifat bahan tetap ( ρ ,c,k : tetap) atau tidak berubah terhadap perubahan suhu.

  2. Sifat bahan merata, atau tidak merupakan fungsi posisi.

  3. Benda dianggap tidak mengalami perubahan bentuk dan volume.

  4. Besar energi pembangkitan: q, bersifat merata dan tetap (tidak berubah terhadap waktu) untuk benda di bagian dalam.

  5. Benda uji merupakan benda padat komposit dua dimensi.

1.4. Tujuan

  Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :

  1. Mendapatkan pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi.

  2. Mendapatkan pengaruh perubahan nilai energi pembangkitan (q) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi.

3. Mendapatkan pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda

  komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi.

1.5. Manfaat

  Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah :

  1. Mengetahui pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak.

  2. Mengetahui pengaruh perubahan nilai energi pembangkitan (q) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak.

  3. Mengetahui pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak.

  4. Mengetahui dan dapat memilih bahan yang sesuai saat merancang atau membuat suatu benda.

BAB II DASAR TEORI

2.1. Perpindahan Panas

  Perpindahan panas atau kalor yaitu berpindahnya energi dari satu daerah ke daerah yang lain akibat dari adanya perbedaan suhu antara daerah-daerah tersebut.

  Panas berpindah dari suhu yang tinggi ke suhu yang lebih rendah. Perpindahan panas ada tiga macam yaitu konduksi, konveksi, dan radiasi.

2.1.1. Perpindahan Panas Konduksi

  Hubungan dasar untuk perpindahan panas dengan cara konduksi diusulkan oleh ilmuan Perancis, J.B.J. Fourier,pada tahun 1882. Hubungan ini menyatakan bahwa q

  

yaitu laju aliran panas dengan cara konduksi dalam suatu bahan, sama dengan

  hasilkali dari tiga buah besaran berikut : 1. k adalah konduktivitas termal bahan.

2. A adalah luas penampang melalui mana panas mengalir dengan cara konduksi, yang harus diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas.

  3. dT/dx adalah gradien suhu pada penampang tersebut, yaitu laju perubahan suhu T terhadap jarak dalam arah aliran panas x.

  Menurut hukum kedua termodinamika panas mengalir dari titik yang bersuhu lebih tinggi ke titik yang lebih rendah, maka aliran panas akan menjadi positif bila grdien suhu negatif (Gambar 2.1).

Gambar 2.1. Sketsa yang melukiskan perjanjian tentang tanda untuk aliran panas konduksi

  (F. kreith, Prinsip – prinsip perpindahan panas, Halaman: 8) A k q

  T

  2

x

1 T

  Dari beberapa hal diatas, dapat ditulis persamaan :

  dx dTkA q = (2-1)

  Dengan : q = laju aliran panas (W) A = Luas perpindahan panas (m

Gambar 2.2. Perpindahan panas konduksi

  ) k = konduktivitas termal benda (W/m

  o

  C)

  dx dT

  = gradien suhu (

  o

  C/m)

  

2

Gambar 2.3. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat padat terhadap suhu.

  (Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 105) Gambar 2.4. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat cair terhadap suhu.

  (J.P. Holman, Heat Transfer, Halaman: 9)

Gambar 2.5. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat gas terhadap suhu.

  (J.P. Holman, Heat Transfer, Halaman: 8)

2.1.2. Perpindahan Panas Konveksi

  Hubungan dasar untuk perpindahan panas dengan cara konveksi diusulkan oleh ilmuan Inggris, Isaac Newton, pada tahun 1701. Laju perpindahan panas dengan cara konveksi antara suatu permukaan dan suatu fluida dapat dihitung dengan hubungan :

  q = hA ( TT )

  (2-2)

  w

  T

  h q A T w

Gambar 2.6. Perpindahan panas konveksi

  Dengan q = laju aliran panas (W)

  2 A = Luas perpindahan panas (m ) 2o

  h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m

  C)

  o T = suhu benda (

  C)

  ∞ o

  T w = suhu fluida (

  C)

  Cara mendapatkan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h)

1. Perpindahan panas konveksi bebas

  Perpindahan panas konveksi bebas ditandai dengan adanya fluida yang bergerak yang dikarenakan beda massa jenisnya. Jadi pergerakan aliran fluida tidak disebabkan adanya alat bantu pergerakan (seperti : fan, kipas angin, pompa, blower, dan lain- lain). Untuk mencari nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) dapat dicari dari Bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt merupakan fungsi dari bilangan Rayleigh (Ra), maka bilangan Ra dicari dulu. Rayleigh number (Ra) Bilangan Rayleigh dinyatakan dengan persamaan :

  3 g ( TT )

  β δ

  s

  Ra = Gr Pr = Pr (2.3)

  2 v

  • 1 T T

  s

  β = dengan T =

  f

2 T

  f

  dengan

  2

  g = Percepatan gravitasi (9,8 m/s ) = Panjang karakteristik (

  δ δ = L), m T s = Suhu dinding, K

  T = Suhu fluida, K ∞

  T f = Suhu film, K

  2 v = Viskositas kinematik, m /s

  Pr = Bilangan Prandtl Gr = Bilangan Grashof Bilangan Nusselt (Nu)

Tabel 2.1. Bilangan Nusselt untuk dinding vertikal:

  Geometri Panjang Ra Nusselt (Nu) Karakteristik

  4 T s

  10 s.d

  9 1/4

  10 Nu = 0,59Ra

  4

  10 s.d

  9 1/3

  δ L

  =

  10 Nu = 0,1Ra

  2 Untuk 1 /

  6

  ⎡ ⎤ , 387 Ra semua

  Nu , 825

  = + ⎢ ⎥

  8 /

  27

  16 Ra ⎢ ⎥

  1 ( , 492 / Pr )

  • 9 /

  [ ]

  ⎣ ⎦

  • kompleks, tetapi lebih akurat (Sumber: Diktat Praktikum Perpindahan Kalor)
Dari bilangan Nusselt dapat diperoleh nilai koefisien perpindahan panas konveksi :

  h δ Nu . k Nu = atau h =

  (2.4)

  k

  δ dengan

  2 o

  h = Koefisien perpindahan panas konveksi, W/m C.

  δ = Panjang karakteristik, m.

  o

  k = Koefisien perpindahan panas konduksi dari fluida, W/m C.

2. Perpindahan panas konveksi bebas melewati permukaan

  Perpindahan panas konveksi bebas melewati permukaan seperti pada permukaan silinder vertikal, silinder horizontal dan bola.

  Koefisien perpindahan panas konveksi bebas rata-rata untuk berbagai situasi, dapat dinyatakan sebagai berikut:

  m

  Nu f = C (Gr f Pr f ) (2.5)

  Di mana subskrip f menunjukkan bahwa sifat-sifat untuk gugus tak berdimensi dievaluasikan pada suhu film

  • T T

  w

  T =

  (2.6)

  f

2 Perkalian antara angka Grashof dan angka Prandtl disebut angka Rayleigh:

  Ra = Gr Pr (2.7)

a. Konveksi bebas melewati silinder vertikal

  Rumus yang berlaku

  1 /

  6

  , 387 Ra

  • 1

  12 Nu = , 825

  • 1/2

  10 < Ra L < 10 (2.8)

  8 /

  27

  16

  1 , 492 / Pr

  • 9 /

  ( ) [ ]

Tabel 2.2. Konstanta persamaan permukaan isotermal

  (Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 304)

  b. Konveksi bebas melewati silinder horisontal Rumus yang berlaku

  1 /

  6

  ⎧ ⎫

  Gr Pr

  ⎪

  12 Nu = ,

  60 , 387 10 < Gr Pr < 10 (2.9) ⎨

  • 1/2 ⎪ -5

  16 / 9 ⎬

  16

  1 ( , 559 / Pr ) ⎪⎩ [ ] ⎪⎭

  • 9 /

  c. Konveksi bebas melewati bola Rumus yang berlaku

  • bola dengan udara

  1/4

  5 Nu = 2 + 0,392 Gr 1 < Gr < 10 f f f /4

  Nu f = 2 + 0,43 (Gr f Pr f )1 (2.10)

  • bola dengan air

  /4

  5

  8 Nu f = 2 + 0,50 (Gr f Pr f )1 3 x 10 < GrPr < 8 x 10 (2.11)

3. Perpindahan panas konveksi paksa

  Proses perpindahan panas konveksi paksa ditandai dengan adanya fluida yang bergerak yang dikarenakan adanya alat bantu. Untuk mencari nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) dapat dicari dari bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt yang dipilih harus sesuai dengan kasusnya, karena setiap kasus mempunyai bilangan Nusselt sendiri.

  Ada dua bilangan Nusselt yaitu bilangan Nusselt lokal dan bilangan Nusselt rata- rata. Bilangan Nusselt lokal untuk mencari nilai h pada jarak x yang ditinjau.

  Sedangkan bilangan Nusselt rata-rata untuk menghitung nilai h rata-rata dari x = 0 sampai dengan jarak x yang ditinjau.

  Bilangan Nusselt (Nu) untuk bidang datar

Gambar 2.7. Sketsa batas aliran laminar, transisi, dan turbulen pada bidang datar

  (Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 353)

  Untuk aliran laminar

  Syarat aliran laminar Re < 100000, Bilangan Reynold dirumuskan sebagai berikut:

  x

  U x

  ρ

  ∞

  Re x = (2.12)

  µ Berlaku persamaan Nusselt Lokal Nu pada jarak x, untuk Pr > 0,6

  1

  1 h x x

  2

3 Nu = = (0,332) Re Pr

  (2.13)

  x x k f

  Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L

  1

  1 hL

  2

3 Nu = = (0,664) Re Pr

  (2.14)

  L k f

  Dengan Re = Bilangan Reynold

  3

  = Massa jenis fluida, kg/m ρ

  U = Kecepatan fluida, m/s ∞

  Nu = Bilangan Nusselt

  2

  µ = Viskositas, m /s

  o

  k = Koefisien perpindahan panas konduksi fluida, W/m C

  f 2 o

  h = Koefisien perpindahan panas konveksi, W/m C Pr = Bilangan Prandtl L = Panjang dinding, m

  Untuk turbulen

  7 Syarat aliran turbulen : 500000 < Re < 10

  Berlaku persamaan Nusselt Lokal Nu pada jarak x, untuk ,

  6 Pr

  60 ≤ ≤

  4

  1 h x x

  5

3 Nu x = = (0,0296) Re Pr

  (2.15)

  x k f Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L

  4

  1 hL

  5

3 Nu = = (0,037) Re Pr

  (2.16)

  L k f

  Untuk kombinasi laminar dan turbulen

  Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L

  4

  1 hL

  5

3 Nu = = ( , 037 Re − 871 ) Pr

  (2.17)

  L k f

  Dengan syarat , 6 ≤ Pr ≤

  60 Tabel 2.3. Nilai-nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) untuk berbagai keadaan.

  2o

  No Tipe konveksi Nilai kisaran h, W/m C Konveksi bebas

  1 2 –25

  • untuk fluida gas 1 – 1000
  • untuk fluida cairan Konveksi paksa

  2 25 – 250

  • untuk fluida gas 50 – 20.000
  • untuk fluida cairan

  3 Konveksi dengan perubahan fase 2500 – 100.000

  • untuk proses pendidihan dan pengembunan (Sumber: Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 30)

4. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan benda

  Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan seperti pada permukaan silinder dan bola.

a. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan silinder

  Koefisien perpindahan panas konveksi paksa rata-rata untuk gas dan zat cair, dapat dinyatakan sebagai berikut:

  n ⎛ ⎞ hd u d 1 /

  3 ∞ ⎜ ⎟

  Nu = = C Pr (2.18)

  ⎜ ⎟ k v f f

  ⎝ ⎠

Tabel 2.4. Konstanta C dan n untuk Perpindahan panas dari silinder

  Re df C n 0,4 - 4 0,989 0,330 4 – 40 0,911 0,385

  40 – 4000 0,683 0,466 4000 – 40.000 0,193 0,618 40.000 – 400.000 0,0266 0,805

  (Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 268)

2. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan silinder tak bundar

  n ⎛ ⎞ hd u d

  1 /

  3 ∞ ⎜ ⎟

  Nu = Pr (2.19)

  = C ⎜ ⎟ k v f f

  ⎝ ⎠

Tabel 2.5. Konstanta C dan n untuk Perpindahan panas dari silinder tak bundar

  (Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 271)

5. Benda berbangkit energi

  Benda berbangkit energi adalah benda yang mampu memberikan/ membangkitkan energi. Contoh benda berbangkit energi yaitu kawat berarus listrik, elemen pemanas air, elemen setrika listrik, reaktor nuklir dan lain-lain. Besar energi pembangkitan pada alat pemanas dapat dihitung dengan persamaan:

  • P

  VI q = =

  (2.20)

  2 v

  ⎛ π DL

  ⎜⎜ ⎟⎟

  4 ⎝ ⎠

  Dengan

  • 3

  q = energi pembangkitan (W/m )

  P = Daya alat pemanas (W)

  3

  v = volume alat pemanas (m ) V = tegangan (volt) I = arus (A) D = diameter alat pemanas (m) L = panjang alat pemanas (m)

2.2. Metode Beda Hingga

  Metode beda hingga merupakan salah satu metode komputasi numeric yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Banyak cara dari metode komputasi numeric yng mampu menyelesaikan, tetapi hasil yang didapat dari masing- masing metode itu tidak begitu jauh berbeda. Pada umumnya perbedaan itu terletak pada akurasi dan waktu penyelesaian. Untuk permasalahan ini menggunakan metode beda hingga cara eksplisit.

  Pendekatan secara numerik dengan metode beda hingga untuk derivatif suatu fungsi terhadap variable bebasnya menggunakan persamaan dari deret Taylor. Untuk mendapatkan derivatif pertama dari suatu fungsi, pendekatan dilakukan dengan cara pemotongan deret ketiga dan keempat, dan seterusnya dari deret Taylor, yang harganya dapat diabaikan. Pendekatan dapat dilakukan dengan cara beda maju, beda mundur, atau beda tengah.

2.2.1. Beda Maju

  Bila fungsi f(x) analitik, maka f(x + ∆ x ) dapat dinyatakan dengan deret Taylor sebagai berikut :

  2

  2

  3

  3

  ∂ f ( ∆ x ) ∂ f ( ∆ x ) ∂ f

  

f ( x x ) f ( x ) ( x ) ... (2.21)

  • ∆ = ∆

  2

  3

  ∂ x 2 ! ∂ x 3 ! ∂ x atau dapat ditulis,

  n n

  ( ) ∂ fxf

  • f ( xx ) = f ( x ) ( ∆ + x )

  (2.22)

  

n

x n !

  ∂ n 2 ∂ x =

  dari persamaan (2.22) diperoleh,

  ∞ ∂ f f ( xx ) − f ( x ) ( ∆ x ) ∂ f = −

  • n n

  (2.23)

  n

  ∂ xx n ! ∂ x n =

  2

  atau dapat ditulis, ∂ + f f ( xx ) − f ( x )

  • = ( ∆ x ) (2.24) ∂ xx atau dapat dinyatakan dalam bentuk,

  ∂ f ff

  i 1 i = ( ∆ x )

  (2.25)

  ∂ xx i Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut,

  2

  2

  3

  3

  ∂ f ( ∆ x ) ∂ f ( ∆ x ) ∂ f

  • f ( xx ) = f ( x ) ( ∆ + x ) ... (2.26)

  2

  3 x

  2 ! x 3 ! x ∂ ∂ ∂ bila f(x + 2 ∆ x) diekspansikan dengan deret Taylor, menghasilkan persamaan berikut,

  2

  2

  3

  3

  ∂ f ( 2 ∆ x ) ∂ f ( 2 ∆ x ) ∂ f ( 2 ) ( ) ( 2 ) ... (2.27)

  f xx = f xx

  2

  3

  ∂ x 2 ! ∂ x 3 ! ∂ x bila f(x + 2 ∆ x) - 2f(x + ∆ x) menghasilkan,

  2

  3 2 ∂ ff

  3 f ( x

  

2

  3

  2 ∆ x ) 2 f ( xx ) = − f ( x ) ( ∆ x ) ( ∆ x ) ... (2.28) + + + − + +

  ∂ xx dari persamaan (2.18) dapat diperoleh,

  2

  ∂ f f ( x 2 ∆ x ) − 2 f ( xx ) − f ( x ) + + = + ( ∆ x ) (2.29)

  2

  2

  ∂ x ( ∆ x ) atau dapat dinyatakan dengan,

  2 f 2 f f

  ∂ f − − i 2 i 1 i

  • = ( ∆ x )

  (2.30)

  2

  2 ∂ x ( ∆ x ) i

2.2.2. Beda Mundur

  Bila fungsi f(x) analitik, maka f(x- ) dapat dinyatakan dengan deret Taylor

  ∆ x

  terhadap x sebagai berikut :

  2

  2

  3

  3

  ∂ f ( ∆ x ) ∂ f ( ∆ x ) ∂ f

  • f ( x − ∆ x ) = f ( x ) − ( ∆ x ) − ... (2.31)

  2

  3

  ∂ x 2 ! x 3 ! x ∂ ∂ atau dapat ditulis,

  n n

  ⎡ ∆ ⎤ ∂ f ( x ) ∂ f

  f x − ∆ x = f x − ∆ x ± n

  • ( ) ( ) ( ) , (2.32)

  ∑ ⎢ ⎥ ∂ x n 2 n ! ∂ x

  = ⎣ ⎦

  bila n genap : +, bila n ganjil : - dari persamaan (2.32) diperoleh,

  ∂ f f ( x ) − f ( x − ∆ x )

  • = ( ∆ x )

  (2.33) ∂ xx atau dapat dinyatakan dalam bentuk,

  f ff

  1 − ( x )

  (2.34)

  = ∆ ∂ xx i

  • i i

  Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x, dapat dilakukan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor fungsi f(x- ∆ x ) dan bila f(x-2 ∆ x).

  2

  2

  3

  3

  ∂ f ( ∆ x ) ∂ f ( ∆ x ) ∂ f

  f ( x x ) f ( x ) ( x ) ... (2.35)

  − ∆ = − ∆ − + +

  2

  3

  ∂ x 2 ! ∂ x 3 ! ∂ x

  2

  2

  3

  3

  ∂ f ( 2 ∆ x ) ∂ f ( 2 ∆ x ) ∂ f

  f ( x

  2 ∆

  x ) = f ( x ) −

  ( 2 ∆ x ) ... (2.36) −

  2

  3

  ∂ x 2 ! ∂ x 3 ! ∂ x bila f(x-2 ) - 2f(x-

  ∆ x ∆ x), diperoleh turunan kedua dari fungsi f terhadap x, yang

  dapat dinyatakan dengan persamaan berikut,

  ∂ f f ( x ) − 2 f ( x − ∆ x ) f ( x − 2 ∆ x )

  • 2
  • = ( ∆ x ) (2.37)

  2

  2

  ( ) ∂ xx atau dapat dinyatakan dengan,

  ∂ f f − 2 f f i i 1 i

  • 2

  2 − −

  (2.38)

  = + ( ∆ x )

  2

  2 ∂ x ( ∆ x ) i

2.2.3. Beda Tengah

  Dengan memanfaatkan ekspansi dari fungsi f(x+ ∆ x ) dan f(x- ∆ x ), dapat diperoleh turunan pertama f terhadap x dengan cara beda tengah :

  n n

  ∂ f ( ∆ x ) ∂ f

  • f ( xx ) = f ( x ) ( ∆ x )

  (2.39)

  n

  ∂ x n 2 n ! ∂ x =

  3

  ∆ − = ∆ −

  ∂ ∂ ∆

  ∂ ∆ −

  2

  2

  2

  3

  3

  (2.45) bila f(x+ x ∆ ) + f(x- x ∆ ), menghasilkan persamaan yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

  ) ( ) ( ) (

  2 ) (

  !

  3 ) (

  (2.44) ... !

  x f x x f x x f x x f x x f

  ∂ ∆ + = ∆ +

  ∂ ∆

  x f x x f x x f x x f x x f

  2

  2

  2

  ∂ ∂ − +

  ∆ + ∆ − − =

  2 x x f f f x f i i i i

  2 ) ( ) (

  2

  1

  1

  2

  (2.46) atau dapat dinyatakan dengan,

  2

  ∂ ∂

  ∆ − − − ∆ + =

  ∆ + ∆

  x x x x f x f x x f x f

  ) ( ) ( 2 ) 2 (

  ) ( ) (

  2

  2

  ∂ ∆

  2

  (2.47)

  3

  2

  (2.41) dari persamaan (2.41), didapat,

  x

f x

x f x x x f x x f

  ∂ ∆ = ∆ − − ∆ +

  ∂ ∆

  3

  

3

  2 ( 2 ) ) (

  2 ) ( ) (

  3 ) (

  (2.40) bila f(x+ x ∆ ) - f(x- x ∆ ), diperoleh, ... !

  ) ( ) ( ) ( n n

n n

x f n x x f x x f x x f

  2 ! ) (

  ∂ ∆ − = ∆ −

  ⎣ ⎡ ∆ ± + ∂

  

  ∑ ∞ =

  ) (

  x x x x f x x f x f

  2

  (2.43) Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x, dapat dilakukan dengan menambahkan persamaan f(x+ x ∆ ) dengan f(x- x ∆ ).

  3

  3

  3

  ) ( ) ( ) (

  2 ) (

  !

  3 ) (

  ... !

  ∂ ∂ − +

  ∆ + ∆

  ∆ + ∆ − =

  2 x x f f x f i i i

  1 ) (

  1

  2

  (2.42) atau dapat dinyatakan dalam bentuk,

  ∂ ∂

  ∆ − − ∆ + =

  • ∂ ∂

BAB III PERSAMAAN PADA SETIAP TITIK Pada penelitian ini menggunakan metode numerik, dengan memilih metode

  beda hingga cara eksplisit

3.1. Model Matematika

  Untuk mendapatkan model matematika dari persoalan yang sesuai dengan permasalahan didapat dari kesetimbangan energi pada volume kontrol yang dinyatakan sebagai berikut : Untuk 3 dimensi keadaan tak tunak

  Seluruh energi Energi yang Seluruh energi yang masuk dibangkitkan yang keluar Perubahan ke dalam + di dalam = dari dalam + energi dalam volume kontrol volume kontrol volume kontrol selama t ∆ selama t ∆ selama t ∆ selama t

  Atau secara aljabar

  • ) ( ) ( ) ( ) (
    • = +

  ρ (3.1)

  ∂ ∂

  t T dxdydz c q q q dxdydz q q q q dz z dy y dx x z y x

  − =

  ∂ ∂

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎠ ⎞

  dxdy z T k q z

  − = ( 3.2)

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  Energi yang masuk ke dalam volume kontrol dydz x

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  dxdz y T k q y

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎠ ⎞

  T k q x

  − =

  • ⎟ ⎠ ⎞
  • dxdz dy y T k y y T k q
  • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

  • (3.3)

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  − ∂

  ∂

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  − =

  dxdydz x x T k q q dx x x

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ⎟ ⎠ ⎞

  ∂ ∂

  ∂ = −

  dy y y ∂ ⎟⎟

  ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

  ∂ ∂ = −

  dxdydz z z T k q q dz z z

  ∂ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  ⎢ ⎣ ⎡

  dxdy dz z T k z z T k q dz z

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎛ ∂ ∂ − =

Gambar 3.1. Sketsa yang melukiskan koordinat untuk penurunan persamaan konduksi panas umum dalam koordinat Cartesius

  (F. Kreith, Prinsip - Prinsip Perpindahan Panas, Halaman: 78)

  Energi yang keluar dari dalam volume kontrol dydz dx x

  T k x x T k q dx x

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  − ∂

  ∂

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  − =

  dy y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛ ∂ ∂

  − ∂ ∂

  • ⎟ ⎠ ⎞
  • Kurangkan energi yang masuk ke volume kontrol dengan energi yang keluar dari volume kontrol, kita memperoleh
  • dxdydz y y T k q q
  • (3.4)

  ∂ = −

Masukkan rumus-rumus ini ke dalam kesetimbangan energi dan bagilah tiap suku dengan dx dy dz, maka akan diperoleh

  ∂ ∂ T ∂ ⎛ ∂ T ⎞ ∂ ∂ TT ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  • k k k q = c (3.5) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ xxyyzzt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ⎝ ⎠

  jika sistemnya homogen dan panas jenis (specific heat) c serta kerapatan (density) ρ tidak tergantung pada suhu. Jika k dianggap konstan dan persamaan (3.5) dibagi k, maka persamaannya menjadi

  • 2

  2

2 T T T q

  1 T ∂ ∂ ∂ ∂

  • = +

  (3.6)

  2

  2

  2 ∂ xyz k α ∂ t

  2 di mana konstanta = k / c disebut difusivitas termal dengan satuan m /s.

  α ρ Untuk kasus 2 dimensi keadaan tak tunak seperti kasus dalam penelitian ini, maka persamaannya adalah

  • 2

  2 ∂ TT q 1 ∂ T

  • = +

  (3.7)

  2

  2

  α

  ∂ xy kt

3.2. Persamaan Pada Setiap Titik

  Penyelesaian dilakukan metode beda hingga cara eksplisit. Oleh karena itu diperlukan persamaan numerik pada setiap node. Pada kasus yang ditnjau, ada enam persamaan utama :

1. Titik di sudut benda A Yaitu titik 0, 14, 210 dan 224.

  2. Titik di permukaan benda A Yaitu titik 1 sampai 13, 15, 29, 30, 44, 45, 59, 60, 74, 75, 89, 90, 104, 105, 119, 120, 134, 135, 149, 150, 164, 165, 179, 180, 194, 195, 209 dan 211 sampai 223.

  3. Titik di dalam benda A Yaitu titik 16 sampai 28, 31 sampai 43, 46 sampai 58, 61 sampai 63, 71 sampai 73, 76 sampai 78, 86 sampai 88, 91 sampai 93, 101 sampai 103, 106 sampai 108, 116 sampai 118, 121 sampai 123, 131 sampai 133, 136 sampai 138, 146 sampai 148, 151 sampai 153, 161 sampai 163, 166 sampai 178, 181 sampai 193 dan 196 sampai 208.

  4. Titik di sudut antara benda A dengan benda B Yaitu titik 64, 70, 154 dan 160.

  5. Titik di permukaan antara benda A dengan benda B Yaitu titik 65 sampai 69, 79, 85, 94, 100, 109, 115, 124, 130, 139, 145 dan 155 sampai 159.

  6. Titik di dalam benda B Yaitu titik 80 sampai 84, 95 sampai 99, 110 sampai 114, 125 sampai 129 dan 140 sampai 144.

  

210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224

195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209

180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194

165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179

150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

90 91 92 93

  94

  95

  96

  

97

98 99 100 101 102 103 104

  75 76 77 78

  79

  80

  81

  

82

  83

  84

  85

  86

  87

  88

  89

  60 61 62 63

  64

  65

  66

  

67

  68

  69

  70

  71

  72

  73

  74

  45 46 47 48

  49

  50

  51

  

52

  53

  54

  55

  56

  57

  58

  59

  30 31 32 33

  34

  35

  36

  

37

  38

  39

  40

  41

  42

  43

  44

  15 16 17 18

  19

  20

  21

  

22

  23

  24

  25

  26

  27

  28

  29 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  10

  11

  12

  13

  14 Gambar 3.2. Gambar titik – titik pada benda uji

3.2.1. Kasus 1 (Titik di sudut benda A, misal titik 0)

  q , T , h

  c2

  T T

  i,j i+1,j T , h q c1 q k1 ∆ y

  ∞

  T i,j-1 q k2

  ∆ x

Gambar 3.3. Volume kontrol pada kasus 1

  = volume kontrol q = energi yang masuk ke volume kontrol ∂

  • T

  [ q c1 + q c2 + q k1 + q k2 ] + [ q V ] = cV (3.8) ρ

  ∂ t

  n n n n

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  TT TT

  1 , j i , j i , j 1 i , j y n x n y x

  • i

  ⎛ ∆ ⎞ ⎛ ∆ ⎞ ⎛ ∆ ⎞ ⎛ ∆ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  h ( )

1 T − T h ( )

  1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  ( ∞ i , j ) ( ∞ i , j )

  1 TT k ( ) 1 k ( ) + + +

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  2

  2 2 ∆ x 2 ∆ y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  • n 1 n

  ⎛ ⎞

  TT i , j i , j x y

  ⎛ ∆ ⎞ ⎛ ∆ ⎞ ⎜ ⎟

  = c ( ) 1 (3.9) ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  ⎜ ⎟

  2 2 t

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ∆ x = ∆ y = l

  n 1 n

  2

  • TT

  ⎛ ⎞

  i , j i , j hl n hl n k n n k n n ρ cl

  ⎜ ⎟

  

TT TT TT TT = (3.10

  , , 1 , , , 1 , ( ∞ i j ) ( ∞ i j ) ( i j i j ) ( i ji j )

  • 2

  ⎜ ⎟

  2

  2

  2 4 t

  ⎝ ⎠ )

  • n 1 n

  2

  ⎛ T T ⎞ −

  k k cl i , j i , j n n n n n ρ

  ⎜ ⎟

  

hl TT TT TT = (3.11)

  i , j i 1 , j i , j i , j 1 i , j ( ∞ ) ( ) ( − )

  • 2

  ⎜ ⎟

  2 4 ∆ t ⎝ ⎠

4 Persamaan (3.11) dikali , maka

  k

  n n

  • 1

  ⎛ T T ⎞ − 4 hl

  c i , j i , j n n n n n ρ

  2

  ⎜ ⎟

  TT

2 T − T = l (3.12)

  i , j i 1 , j i , j i , j 1 i , j ( ∞ ) ( ) ( − )

  2 TT + +

  • k

  ⎜ ⎟

  kt

  ⎝ ⎠

  • − + ∞
  • − + ∞
  • − + ∞

  • ∞ − +
  • (3.17)

  1 ≥ − − k hlF

  4

  4

  Dengan syarat stabilitas

  ∞ − +

  − − + + + =

  ⎜ ⎝ ⎛

  2 ⎟ ⎠ ⎞

  2 (

  4 1 )

  4

  1 ,

  1

  T T F T , , 1 ,

  T k hlF F T k hl

  n j i o

o

n j i n j i o n j i

  (3.16)

  T T F

  T T k hlF T F T T k hl

  = − − + + + n j i n j i o n j i o n j i n j i n j i o

  2

  F o o

  ) 1 (

  4

  n j i T

  ∆ x

  y ∆ q k2 T i,j-1

  k1

  q

  k3

  q

  T , 1 +

  T

,

n j i

  , 1 −

n

j i

  , h

  F o

  T

  c, ∞

  q

  (3.18)

  ≤ ∆ α

  x t

  4

  ) 1 (

  ( )

  4 4 ) 2 (

  1

  1 , , , , , 1 ,

  2

  t F o

  ) ( x

  2

  α (3.13)

  ∆ = − + − + −

  4 −

  4

  2

  2

  2

  = α

  , 1 , , 1 ,

  1 , 2 ,

  ,

  T k hl

  T T t l T T T T T k hl

  ( ) n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  ρ α = maka persamaan (3.12) menjadi

  c k

  Bila

  (3.15)

  ∆ ∆

  , maka diperoleh

  (3.14)

  4 − = − + + −

  4

  2

  2

  4

  1 , , , 1 , 1 ,

  ,

  T T T F T F T F T k hlF T k hlF

  ( ) n j i n j i o n j i n j i n j i n j i

  n j i n j i n j i o n j i o n j i o n j i o o

  4 − = − + + −

  4

  2

  2

  4

  1

  1

, ,

, 1 , 1 ,

  ,

  T k hl

  T T

F

T T T T k hl

1 Bi

2 Bi

3.2.2. Kasus 2 (Titik di permukaan benda A, misal titik 1)

2 V

  • − ∆

  ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  = volume kontrol q = energi yang masuk ke volume kontrol [q c + q k1 + q k2 + q k3 ] +

  ⎥⎦ ⎤

  ⎢⎣ ⎡

  q = t T cV

  ∂ ∂

  ρ (3.19)

  ( ) ( )

  ( ) ( ) ( )

  1

  1 ,

  , , 1 ,

, 1 , ,

  T T y T k T x h n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  − − + ∞ x T T y k y T T x k x

  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
  • t T T y x c
  • − − + ∞
  • − − + ∞

  ∆ −

  2

  (3.25)

  2 − = − + + + −

  2

  2

  4

  1 ,

  1 , , , 1 , 1 ,

  ,

  

T T T F T F T F T F T

k hlF T k hlF

  n j i n j i n j i o n j i o n j i o n j i o n j i o o

  (3.24)

  2 − = − + + + −

  2

  4

  1 2 4 )

  1

  1 ,

  1

, , ,

1 , 1 ,

  ,

  T k hl

  T T F T T T T T k hl

  ( ) n j i n j i o

n

j i

n j i n j i n j i n j i

  , maka diperoleh

  = α

  ∆ ∆

  t F o

  ) ( x

  2

  1 , , , , , 1 , 1 ,

  2 2 (

  ∆ = − + − + − + −

  ∞ − − +

  (3.28)

  ≤ ∆ α

  2 Bi x t

  2 ) (

  ) 2 (

  F o

  1 Bi

  2

  ⇒ ) 2 (

  F o o

  4 1 ≥ − − k hlF

  2

  Dengan syarat stabilitas

  − − + + + + =

  = − − + + + + n j i n j i o n j i o n j i n j i n j i n j i o

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  4 1 ) 2 2 (

  2

  1 ,

  1

  1 , 1 ,

  T T T F T

, ,

  T k hlF F T k hl

  n j i o o n j i n j i n j i o n j i

  (3.26)

  T T T F

  T T k hlF T F T T k hl

  α (3.23)

  2 −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  = − + − + − + −

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  = l y x ∆ = ∆ ( ) ( ) ( )

  (3.20)

  2 ) ( ρ

  1

  1 ,

  n j i n j i ,

  ∆

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ,

  = ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  2 ( 1 )

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  2 ( 1 )

  1

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎟ ⎠ ⎞

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  t T T cl T T

k

T T k T T k T T hl n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  1 , 2 , ,

  2

  , 1 , ,

1 ,

1 ,

  2

  2

  , 1 , , 1 , 1 ,

  1 , 2 , ,

  ,

  T k hl

  T T t l T T T T T T T k hl

  ρ α = maka persamaan (3.22) menjadi

  c k

  (3.22) Bila

  2 ρ

  2

  ) (

  , 1 , ,

1 ,

1 ,

  1 , 2 , ,

  ,

  t T T l k c T T T T T T T T k hl n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  = − + − + − + −

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( ) ( ) ( )

  2 , maka

  k

  (3.21 Persamaan (3.21) dikali

  2 ρ

  2

  2 ) (

  • − − + ∞
  • − − + ∞
  • − − + ∞
  • ∞ − − +
  • (3.27)
  • ≤ ⇒

  ( ) n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

3.2.3. Kasus 3 (Titik di dalam benda A, misal Titik 17)

  T i,j+1 q k2 T i-1,j q k1 T i,,j q k3 T i+1,j y ∆ q k4

  T i,j-1

  x

Gambar 3.5. Volume kontrol pada kasus 3

  = volume kontrol q = energi yang masuk ke volume kontrol ∂ T

  [q k1 + q k2 + q k3 + q k4 ] + qV = cV (3.29)

  [ ] ρ

  ∂ t

  n n n n n n n n

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  TT TT TT TT i 1 , j i , j i , j 1 i , j i 1 , j i , j i , j 1 i , j

  −

  −

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  k ( ∆ y ) ( )

  1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  1 k ( )( ) ∆ x 1 k ( ∆ y ) ( ) 1 k ( )( ) ∆ x + + +

  ∆ xyxy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  1 n

  • n

  ⎛ ⎞

  TT i , j i , j

  ⎜ ⎟ = c ( ∆ x ) ( )( ) ∆ y

  1 (3.30)

  ρ ⎜ ⎟

  ∆ t ⎝ ⎠

  ∆ x = ∆ y = l

  n 1 n

  • TT

  ⎛ ⎞

  i , j i , j n n n n n n n

  2

  ⎜ ⎟

  k TT k TT k TT k ( TT ) = cl (3.31)

  ρ

  ( − + + i 1 . j i , j ) ( i , j 1 i , j ) ( i 1 , j i , j ) i , j − 1 i , j

  ⎜ ⎟ ∆ t

  ⎝ ⎠

  • − + + −
  • − + + −

  • +

    − + + −
  • − + + −
  • − + + −
  • (3.37)

  = − + + + + n j i

n

j i o

n j i n j i n j i n j i n j i o

  1 ( 4 )

  1 , 1 ,

  1

, , ,

, 1 ,

  (3.35)

  1 − 4 − = + + +

  1 , , , 1 ,

  1 , 1 ,

  T T T F T F T F T F T F ,

  n j i n j i

n

j i o

n j i o n j i o n j i o n j i o

  (3.34)

  1 − 4 − = + + +

  1

  1 , 1 ,

  T T F T T T T T F

  

( )

n j i o n j i n j i n j i n j i o n j i

  (3.36)

  4

  ∆ ≤ ∆

  2 x t

  4 ) (

  α

  o F

  1 ≤

  o F

  T F T T T T F T , , 1 ,

  4 1 ≥ −

  Dengan syarat stabilitas

  − + + −

  1 ,

4

( 1 ) − + + + + =

  1

  1 , 1 ,

  

1

, , , 1 ,

  

T T

F T T T T T ,

  ( ) n j i n j i o n j i n j i n j i n j i n j i

  (3.32) Bila

  Persamaan (3.31) dikali

  k

  1 , maka

  ( ) ( ) ( )

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  = − + − + − + −

  t T T l k c T T T T T T T T n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  ,

  1 , 2 ,

  , 1 , , 1 , , 1 , ,

  1

  ) ( ρ

  c k

  , maka diperoleh

  = − + − + − + −

  = α

  ∆ ∆

  t F o

  ) ( x

  2

  α (3.33)

  − ∆

  ρ α = maka persamaan (3.32) menjadi

  1

  , 1 , , 1 , , 1 , ,

  1 , 2 ,

  ,

  T T t l T T T T T T T T

  ( ) n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  (3.38)

3.2.4. Kasus 4 (Titik di sudut antara benda A dengan benda B, misal titik 64)

  ] + ⎥⎦ ⎤

Gambar 3.6. Volume kontrol pada kasus 4

  k6

  k5

  k4

  k3

  k2

  k1

  = volume kontrol q = energi yang masuk ke volume kontrol [q

  k

  2 T i,j-1 ∆ x

  q = t T cV

  k5

  q

  k6

  q k3 T i-1,j q k1 T i,j T i+1,j q q k4 y ∆ q

  1 q k2

  T i,j+1 k

  • q
  • q
  • q
  • q
  • q

  ρ (3.39)

4 V

  ⎢⎣ ⎡

  • +

    ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  • − −
  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎟ ⎠ ⎞

  ∆ −

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  = ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  y x q y T T x k y T T x k

n

j i

n j i n j i n j i

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ) 1 (

  = l y x ∆ = ∆

  (3.40)

  2 ) )( ( ρ ρ

  2

  1

  2

  2

  1

  − ⎟ ⎠ ⎞

  1

  2 , 1 ,

  2

  1 ,

  t T T y x c t T T y x y x c n j i n j i n j i n j i ,

  − ∆ ∆

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎝ ⎛ ∆

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  , ,

  T T y k n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  x T T y k x T T y

k

y T T x k x

  ∆ − ∆

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  2 , ,

  − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ⎝ ⎛ ∆

  ∆ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( ) ( ) ( )

  1

  1

  ∂ ∂

  1 , 1 ,

  ⎝ ⎛ ∆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  1 , 1 ,

  2

,

1 ,

  1

  2

  1

  2

  2

  ( ) ( ) ) 1 (

  1

  2

  1

  1

  1

  1 , ,

  2 ) ( 1 )( ( 1 )

  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  • = + − +

  • = + − +
  • − + − + − + −
  • = + − + −

  2 ρ ρ

  1

  1

  1 , 1 ,

  

1

1 , 1 1 ,

  1 2 , 1 ,

  2 ,

  T k T k T k T k T k T k T k T k T k 1 , 2 ,

  n j i n j i n j i n j i n

j i

n j i n j i n j i n j i

  (3.42)

  1

  ( 3 )

  2

  2 , 1 ,

  2

  1

  1

  2

  2

  1

,

  ,

  t T T T c c l ql T k n j i

n

j i

n j i n j i

  2

  2

  2

  1 ,

  2

  3

  2

  1 ,

  2 , 1 1 ,

  2

  1

  

1

  2

  2

  ,

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  t T T T c c l ql k T k T k n j i n j i n j i n j i n j i

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  

( )

  4

− + + + −

  4

  4

  4

  2

  ∆ −

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  2 ρ ρ

  1 , , 1 , 1 ,

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( )

  − + − + − + − + − − + + + −

  T T k T T k T T k

  T T k T T k

  1 n j i n j i n j i n j i

n

j i

n j i n j i n j i n j i n j i

  1

  1

  T T k n j i n j i n j i n j i

  2 , ,

  1

  2 , ,

  2 ) ( , 1 ,

  2

  2 ) (

  ( ) ( ) ) (

  (3.43)

  2 ,

  n j i n j i n j i n j i n j i

  t T T c c l ql

  ,

  − + + + − ( )

  (3.41) Persamaan (3.41) dikali 4, maka

  T T k T T k T T k T T k T T k

− + − + − + − + −

  1 n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  1

  , 1 , 1 ,

  1 , 2 , 1 1 ,

  , 2 ,

  4 , 1 ,

  4

  2 ( 2 )

  ( ) ( ) ) ( ( 2 )

  2 ρ ρ

  1 ,

  4 ) (

  4

  3

  1

  2 , 1 ,

  2

  1

  1

  2

  2

  2

4 T ql k k T k k T k k T k T k

  • − + + + + +
  • t T T c c l
  • =

  ,

  • + − + + −

  • ∆ − ⎟ ⎟ ⎠

  ) 3 ( ) 3 (

  2

  1 1 , 1 ,

  1

  1

  1 ,

  4

  2 1 , 2

1 ,

  1 ) 3 (

  ) ( ( 2 )

  2

  4

  4 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  1

  1

  − + + −

  2

  T l c c T k k T t l c c T ql k k T k k T k T k t

  ρ ρ ρ ρ

  (3.46)

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k k T k T k T t ,

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  ∆ =

  ) 3 ( ) 3 (

  (3.47) Dengan syarat stabilitas

  2

  1

  l c c k k t

  ρ ρ +

  (3.48)

  2

  2

  1

  2

  ) 3 ( ) 3 (

  2

  1

  1

  ) 3 (

  4 ) 3 (

  l k k l c c t

  ≤ ∆ ρ ρ

  4

  1

  ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  2

  4

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1 ≥

  2

  l c c k k t

  ρ ρ

  2

  2

  2

  1

  1

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  4

  =

  2

  2

  3 ρ ρ

  (3.44)

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  T T l c c T k k t l c c T ql k k T k k T k T k t

  1 ,

  2

  1

  1

  1 ,

  2

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  4 ) 12 ( ( ( 2 )

  2

  1 1 ,

2

1 ,

  1

  2

  1 1 , 1 ,

  1

  1 )

  2

  2

  4

  − + + − ( )

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  n j i n j i ,

  1 ,

  1

  2 1 , 2 1 ,

  • − + + −

  2

  2

  1

  2 1 , 2 1 ,

  1 ) 3 (

  )

  4 12 ( ) 3 (

  ) ( ( 2 )

  2

  1 ,

  2

  1

  2

  4

  1 ,

  1

  (3.45)

  ρ ρ ρ ρ

  ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  4 − =

  4

  2

  ) ( ( 2 )

  4 12 ( ) 3 (

  )

  1 ) 3 (

  1

  1 1 , 1 ,

  2

  1 1 , 1 ,

  • ∆ − + ⎟ ⎟ ⎠
  • ρ ρ ρ ρ
  • ∆ −
  • ∆ ≥

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1 ,

3.2.5.Kasus 5(Titik dipermukaan antara benda A dengan benda B,misal titik 65)

2 T i,j-1 x ∆

  q = t T cV

  T i,j+1 k

  1 q k1

  q k6 q k2 T i-1,j T i,j T i+1,j q k5 q q k3 y ∆ k

Gambar 3.7. Volume kontrol pada kasus 5

  = volume kontrol q = energi yang masuk ke volume kontrol [q k1 + q k2 + q k3 + q k4 + q k5 + q k6 ] +

  ρ (3.49)

2 V

  ⎢⎣ ⎡

  ∂ ∂

  ⎥⎦ ⎤

  T T y k x

  1

  1

  , 1 , 2 , ,

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  − ⎟ ⎠ ⎞

  T T x k n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  − ⎟ ⎠ ⎞

  T T y k y

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  − ∆ − + + + y T T x k x

  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
  • +

    ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  t T T y x c t T T y x c n j i n j i n j i n j i ,

  = ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  ∆

  1 ,

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  

2

  2 , 1 ,

  1

  1

  ) 1 (

  2

  1

  2 ρ ρ

  (3.50)

  = l y x ∆ = ∆

  ( ) ( ) ( )( )

  y x q x T T y k x T T y k

n

j i

n j i n j i n j i

  − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  2

  ∆ − ∆ + ⎟

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  2 , ,

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  1 , 1 ,

  1

  1

  1

  2 ) 1 (

  2 ( 1 ) ( ) ( ) ( )

  • − −
  • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ) 1 (

  1

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  1

  2 , ,

  1

  1 , ,

  1

  2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛ ∆ ∆ + ⎟

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ ∆

  2

  • = + − +

  2

  1 2 , 2 1 ,

  T k T k T k T k T k T k T k T k T k ,

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  (3.52)

  ) ( ρ ρ

  1

  1

  2 , ,

  1

  1 ,

  1

  2

  2

  1

,

  ,

  t T T T c c l ql T k n j i

n

j i

n j i n j i

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  2 ,

2 ,

1 2 ,

  1 1 , 1 1 ,

  − − + + + ( )

  ,

  1 1 ,

  2 , 1 ,

  2

  1

  1

  

2

  2

  1 ,

  t T T T c c l ql k T k T k n j i n j i n j i n j i n j i

  1

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( )

  2 − − + + +

  2

  2

  2

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  T T k T T k T T k T T k T T k

− + − + − + − + −

  ρ ρ (3.53)

  1

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( )

  

− + − + − + − + −

− − + + +

  T T k T T k

  T T k T T k T T k

  1 n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  1 , 1 ,

  2 , ,

  1 n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  1

  2 , , 2 , 1 ,

  1

  2 , ,

  2 ) ( 2 ) (

  ( ) ( ) ) (

  2 , 2 1 ,

  n j i n j i n j i n j i n j i

  ∆ −

  t T T c c l ql

  T T k n j i n j i n j i n j i

  ,

  1 ,

  1 , 2 , 1 1 ,

  1 2 , , 2 , 1 ,

  2 , ,

  ( ) ( ) ) ( ) ( ( 2 )

  (3.51) Persamaan (3.51) dikali 2,maka

  2 ρ ρ

  2 ) (

  2

  1

  1

  2 , ,

  2

  1

  1

  2

  2

  1 ,

  • +

  • = + − +
  • − + − + − + −
  • = + − + −

  2

2 T ql k k T k k T k T k k T k

  • − + + + + + +
  • t T T c c l
  • =

  • − − + +
  • ∆ − ⎟ ⎟ ⎠

  1

  2

  1 1 , 2 ,

  1

  2

  1 1 ,

  1

  1

  1

  1 , ) ( ) (

  4

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  2 ,

  2

  1

  2

  T l c c T k k T t l c c T ql k k T k T k k T k t

  ρ ρ ρ ρ

  (3.56)

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k T k k T k T t ,

  2

  (3.57) Dengan syarat stabilitas

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  − − + + + ρ ρ ρ ρ

  4

  ) ( ) (

  2

  4

  1

  l c c k k t

  ρ ρ +

  ) (

  4 ) (

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1 k k l c c t

  ≤ ∆ ρ ρ

  ) ( ) (

  2

  ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  2

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1 ≥

  1

  l c c k k t

  ρ ρ

  2

  2

  2

  1

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  2

  =

  2

  ρ ρ (3.54)

  n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  T T l c c T k k t l c c T ql k k T k T k k T k t

  ,

  1 ,

  2

  1 ,

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  2 ,

  4 ) 4 ( ( ( 2 )

  2

  1 1 , 2 ,

  1

  2

  1 1 ,

  1 )

  − − + + ( )

  2

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  n j i n j i ,

  1 ,

  2

  1

  1

  1

  

2

  2

  2

  1

  1

  2 ,

  1

  1 1 , 2 ,

  1 ,

  1

  2

  1 1 ,

  1 ) ( )

  4 4 ( ) ( ) (

  ( 2 )

  2

  2

  

2

  ( 2 )

  1 1 , 2 ,

  1

  2

  1 1 ,

  1 ) ( )

  4 4 ( ) ( ) (

  2 − =

  1 ,

  ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ρ ρ ρ ρ

  (3.55)

  • − − + +
  • ∆ − + ⎟ ⎟ ⎠
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟ ⎟ ⎠
  • ∆ −
  • ∆ ≥ (3.58)

  1 ,

  2

  2

  1

3.2.6. Kasus 6 (Titik di dalam benda B, misal titik 80)

  ) )( 1 )( ( y x q ∆ ∆ + = ( )( )

  − + + − y T T x k x

  T T y k y T T x k x

  T T y k n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  , , 1 , , , 1 , , 1 ,

  1

  1 ( 1 )

  1 ( 1 )

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  ∆ ∆

  n j i n

j i ,

  

1

,

  ( 1 ) ρ

  (3.60)

  = l y x ∆ = ∆

  ∆

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  T i,j+1 q k1 T i-1,j q k4 T i,j q k2 T i+1,j q y ∆ q

  ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

  k3

  T i,j-1 x

Gambar 3.8. Volume kontrol pada kasus 6

  = volume kontrol q = energi yang masuk ke volume kontrol [q k1 + q k2 + q k3 + q k4 ] +

  [ ] qV = t T cV

  ∂ ∂

  ρ (3.59)

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ∆ −

  • t

    T T

    y x c
  • − + + −

  • − + + −
  • − + + −

  ,

  4

  1

  1 , 1 ,

  1 , , , 2 , 1 ,

  (3.65)

  − 4 − = + + + +

  1

  1 , 1 ,

  1 , , 2 , 1 ,

  T T T F F k ql T F T F T F T F

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  n j i n j i n j i o o n j i o n j i o n j i o n j i o

  (3.64)

  1 − 4 − = + + + +

  1

  1 , 1 ,

  1 , , 2 , 1 ,

  T T T T ,

  T T

F

T k ql

  ( ) n j i n j i

o

n j i n j i n j i n j i n j i

  = − + ⎟⎟ ⎠ ⎞

  n j i n j i o n j i n j i n j i n j i n j i o

  = α

  Dengan syarat stabilitas

  ∆ ≤ ∆

  2 x t

  4 ) (

  α

  o F

  1 ≤

  4

  o F

  4 1 ≥ −

  − + + −

  T T F T k ql T T T T F

  ⎛

  4

  1 ,

  1

  2 , 1 , 1 , 1 ,

  ,

  T F k ql T T T T F T

  ( ) n j i o n j i n j i n j i n j i o n j i

  (3.66)

  , maka diperoleh

  ∆ ∆

  (3.68)

  , 1 , .

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( ) ( ) ( )

  1 , maka

  k

  Persamaan (3.61) dikali

  ) ( ρ (3.61)

  1

  2 ,

, 1 , ,

1 ,

  t T T l k c k ql T T T T T T T T n j i n j i n j i

n

j i

n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  2

  1 ,

  ,

  t T T T cl ql T k T T k T T k T T k n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i j i

  = + − + − + − + −

  ∆ −

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ( ) ( ) ( )

  = + − + − + − + −

  ,

  t F o

  1 ,

  ) ( x

  2

  α (3.63)

  = + − + − + − + −

  − ∆

  1

  , 1 , ,

  2 , , 1 , , 1 ,

  2

  ,

  1 ,

  T T t l k ql T T T T T T T T

  ( ) n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i

  ρ α = maka persamaan (3.62) menjadi

  c k

  (3.62) Bila

  ) ( ρ

  1

  , 1 , ,

  2 , , 1 , , 1 ,

  2

  • − + + −
  • − + + −
  • − + + −
  • (3.67)
  • =
  • 1 −

    ⎟⎟

    ⎜⎜ ⎝

BAB IV HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Perhitungan

  Untuk penganalisaan, grafik yang akan dianalisis adalah perjalanan suhu titik yang terletak pada satu baris (diambil titik 105 sampai dengan 119). Hal ini dimaksudkan agar pada grafik yang akan dibuat dan dianalisis dapat terlihat jelas perjalanan suhunya sampai dengan keadaan yang telah ditentukan (suhu pada tepi

  o

  mencapai 100

  C), sekaligus waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai keadaan tersebut (karena diantara titik 105 – 119 terdapat titik 112 yang merupakan titik pusat dari benda).

4.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h Yang Bervariasi

  Fluida yang berada disekeliling benda memiliki h tertentu, harga h tersebut

  • 3

  divariasikan. Dengan nilai energi pembangkitan q = 20 MW/m . Bahan A pada benda adalah seng, sedangkan bahan B adalah baja karbon 0,5% C. Sifat-sifat logam yang perlu diketahui dapa dilihat pada tabel 4.1.

Tabel 4.1. Nilai sifat-sifat logam

  ρ

  

Logam c p k α

3 o o

  2 kJ/kg. C W/m. C m /s kg/m

  • 5

  Baja karbon 0,5%C 7833 0,465 54 1,474 x 10

  • 5

  Aluminium 2707 0,896 204 8,418 x 10

  • 5

  Nikel 8906 0,4459 90 2,266 x 10

  • 5

  Magnesium 1746 1,013 171 9,708 x 10

  • 5

  Seng 7144 0,3843 112,2 4,106 x 10

  • 5

  Besi 7897 0,452 73 2,034 x 10 Sumber : J.P. Holman, Perpindahan Kalor, halaman 581

  2o

  4.1.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 1000W/m C Kondisi awal : o

  Suhu awal benda merata, sebesar Ti = 30

  C, dinyatakan dalam model matematik :

  o

  T(x,y,0) = Ti = 30 C ,

  a,

  a, t = 0

  ≤ x ≤ ≤ yKondisi batas

  Pada kondisi batas, pada saat t > 0, terdapat fluida yang memiliki suhu

  o 2o T = T = T = T = T = 100

C. Harga h = 1000W/m C

  1

  2

  3

  4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤

  AT ( x , y , t ) − − − k hA ( T ( x , y , t ) T )

  

  1 ⎢ ⎥ ∂

  2 y = y y

  ⎢ ⎥

  V T ( x , y , t ) = 1.

  ρ c (4.1)

  ⎢ ⎥ 2 ∂ t ∂ ∂

  A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t ) ⎢ ⎥

  k k ⎢ ⎥ 2 ∂

  2 ∂ y x

  = + y yy ⎣ ⎦

  x = 0, 0 < y < a, t > 0

  ⎡ ∂ ⎤ A T ( x , y , t )

  − + k hA ( TT ( x , y , t )) ∞

  2 ⎢ ⎥ ∂

  2 x ∂ ( , , ) x = x

  V T x y t ⎢ ⎥ =

  2.

  ρ c (4.2)

  ⎢ ⎥ 2 ∂ t AT ( x , y , t ) AT ( x , y , t )

  − + k k

  ⎢ ⎥ ∂ ∂ 2 x 2 y x = xx

  ⎣ ⎦

  • y = a, 0 < x < a, t > 0

  ⎡ ⎤ AT ( x , y , t )

  − + k hA ( T T ( x , y , t ))

  ⎢ ∞ 3 ⎥ ∂ 2 y y = y

  VT ( x , y , t ) ⎢ ⎥ =

  3.

  ρ c (4.3)

  ⎢ ⎥ 2 ∂ t ∂ ∂

  A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t ) ⎢ ⎥ − − k k

  ⎢ ⎥ 2 ∂ y 2 ∂ x y = yy

  ⎣ ⎦

  • x = a, 0 < y < a, t > 0

  ⎡ ∂ ⎤ A T ( x , y , t )

  − − k hA ( T ( x , y , t ) T )

  ∞

  

4

⎢ ⎥ 2 ∂ x = VT ( x , y , t ) x x

  ⎢ ⎥ =

  4.

  ρ c (4.4)

  ⎢ ⎥ 2 ∂ t AT ( x , y , t ) AT ( x , y , t )

  k k ⎢ ⎥ ∂ ∂

  2 x 2 y = ∂ + x x x

  ⎣ ⎦

  y = 0, 0 < y < a, t > 0

  ⎡ A A ⎤ − − − + h ( T ( x , y , t ) T ) h ( T T ( x , y , t ))

  ∞ 1 ∞

  2 ⎢

  ⎥ ∂ ( , , )

  2

  2 V T x y t ⎢ ⎥ = 5.

  ρ c (4.5)

  ∂ ∂ A T ( x , y , t ) A T ( x , y , t )

  4 ∂ t ⎢ ⎥ − + k k

  ⎢ ⎥ ∂ ∂

  2 x 2 y ⎣ ⎦

  x = 0, y = a, t > 0

  ⎡ A A

  • − −

  h ( T T ( x , y , t )) h ( T T ( x , y , t )) ∞ 2 ∞

  3 ⎢

  ⎥ ∂

  2

  2 V T ( x , y , t ) ⎢ ⎥ = 6.

  ρ c (4.6)

  AT ( x , y , t ) AT ( x , y , t ) ∂ 4 t

  ⎢ ⎥ − − k k

  ⎢ ⎥ ∂ ∂

  2 x 2 y ⎣ ⎦

  x = a, y = a, t > 0

  ⎡ A Ah ( TT ( x , y , t )) − h ( T ( x , y , t ) − T )

  ∞ ∞

  3

  4 ⎢

  ⎥ ∂

  2

  2 V T ( x , y , t ) ⎢ ⎥ = 7.

  ρ c (4.7)

  AT ( x , y , t ) AT ( x , y , t ) ∂ 4 t

  ⎢ ⎥

  k k

  ⎥ ∂ ∂ 2 x 2 y

  ⎦

  x = a, y = 0, t > 0

  ⎡ A A ⎤ − h ( T ( x , y , t ) − T ) − h ( T ( x , y , t ) − T ) ∞ 4 ∞

  1 ⎢

  ⎥ ∂

  V T ( x , y , t )

  2

  2

  8. ⎢

  ⎥ = ρ c (4.8) ∂ ( , , ) ∂ ( , , ) A T x y t A T x y t

  4 t ⎢ ⎥

  k k

  ⎥ ∂ ∂ 2 x 2 y

  ⎦

  x = 0, y = 0, t > 0 Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.2. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.1.

  2o

Tabel 4.2. Hasil perhitungan dengan nilai h = 1000 W/m C

  o Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 26,75 det 1 105 30 52,234 66,120 78,691 104,679

  2 106 30 48,619 63,719 77,452 105,872 3 107 30 46,428 62,715 77,714 108,838 4 108 30 45,868 63,395 79,807 113,997 5 109 30 47,235 66,194 84,249 122,031 6 110 30 54,549 76,752 97,570 141,246 7 111

  30 56,603 81,043 103,617 150,770 8 112 30 56,966 82,128 105,309 153,617 9 113 30 56,603 81,043 103,617 150,770

10 114 30 54,549 76,752 97,570 141,246

  

11 115 30 47,235 66,194 84,249 122,031

12 116 30 45,868 63,395 79,807 113,997

13 117 30 46,428 62,715 77,714 108,838

14 118 30 48,619 63,719 77,452 105,872

15 119 30 52,234 66,120 78,691 104,679

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o

  3 Ti = 30

C, T = 100

  C, q = 20 MW/ m 2o

  Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 1000 W/m C 160 140 120

  C) 100 o

  (

  80 u h

60 Su

  40

  20

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 26,75 s

Gambar 4.1. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  2o

4.1.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 2000W/m C

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.3. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.2.

  2o

Tabel 4.3. Hasil perhitungan dengan nilai h = 2000 W/m C

  o Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 23,6 det 1 105 30 63,345 76,933 87,791 103,123

  2 106 30 57,419 73,293 86,110 104,266 3 107 30 52,925 70,802 85,644 106,855 4 108 30 50,093 69,757 86,740 111,330 5 109 30 49,214 70,586 89,898 118,339 6 110 30 54,947 78,512 100,778 134,975 7 111

  30 56,676 81,746 105,479 142,704 8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922 9 113 30 56,676 81,746 105,479 142,704 10 114 30 54,947 78,512 100,778 134,975

11 115 30 49,214 70,586 89,898 118,339

  

12 116 30 50,093 69,757 86,740 111,330

13 117 30 52,925 70,802 85,644 106,855

14 118 30 57,419 73,293 86,110 104,266

15 119 30 63,345 76,933 87,791 103,123

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o

C, T = 100

  C, q = 20 MW/ m 2o

  3 Ti = 30

  Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 2000 W/m C 160 120

  C) o

  80 uhu ( S

  40

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 10 s t = 15 s t =23,6 s

t = 5 s

Gambar 4.2. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  2o

4.1.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 5000W/m C

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.4. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.3.

  2o

Tabel 4.4. Hasil perhitungan dengan nilai h = 5000 W/m C

  o Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 20,1 det 1 105 30 79,448 89,125 95,948 103,504

  2 106 30 70,697 84,538 94,431 102,516 3 107 30 63,110 80,723 93,779 104,553 4 108 30 57,007 77,998 94,368 108,077 5 109 30 52,751 76,778 96,687 113,695 6 110 30 55,715 81,267 105,118 126,866 7 111

  30 56,825 82,933 108,215 132,229 8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922 9 113 30 56,825 82,933 108,215 132,229 10 114 30 55,715 81,267 105,118 126,866

11 115 30 52,751 76,778 96,687 113,695

  

12 116 30 57,007 77,998 94,368 108,077

13 117 30 63,110 80,723 93,779 104,553

14 118 30 70,697 84,538 94,431 102,516

15 119 30 79,448 89,125 95,948 103,504

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o

C, T = 100

  C, q = 20 MW/ m 2o

  3 Ti = 30

  Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m C 160 120

  C) o

  ( u

  80 h Su

  40

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 20,1 s

Gambar 4.3. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  2o C

4.1.1.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 10000W/m

  o

Tabel 4.5. Hasil perhitungan dengan nilai h = 10000 W/m

  2o

  C

  Suhu ( o

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 18,3 det 1 105

  30 88,563 94,522 98,589 100,756 2 106 30 78,596 89,785 97,508 101,633 3 107 30 69,480 85,616 97,109 103,298 4 108 30 61,596 82,342 97,798 106,225 5 109 30 55,384 80,365 100,064 110,996 6 110 30 56,352 83,068 107,579 122,110 7 111 30 56,958 83,783 109,910 126,109 8 112 30 57,108 83,945 110,402 127,052 9 113 30 56,958 83,783 109,910 126,109 10 114 30 56,352 83,068 107,579 122,110 11 115 30 55,384 80,365 100,064 110,996 12 116 30 61,596 82,342 97,798 106,225 13 117 30 69,480 85,616 97,109 103,298 14 118 30 78,596 89,785 97,508 101,633 15 119 30 88,563 94,522 98,589 100,756

  

Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.5. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.4.

C, T = 100

  C) t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 18,3 s Ti = 30 o

  Titik S uhu ( o

  C, q = 20 MW/ m

  3 Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 10000 W/m 2o C

Gambar 4.4. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  80 120 160 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

  40

  2o

4.1.1.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 20000W/m C

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.6. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.5.

  2o

Tabel 4.6. Hasil perhitungan dengan nilai h = 20000 W/m C

  o Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 17,25 det 1 105 30 94,030 97,325 99,561 100,385

  2 106 30 83,499 92,636 98,880 101,182 3 107 30 73,592 88,395 98,768 102,618 4 108 30 64,716 84,934 99,651 105,173 5 109

  30 57,355 82,646 102,028 109,414 6 110 30 56,877 84,320 109,146 119,226 7 111 30 57,076 84,415 111,055 122,369 8 112 30 57,160 84,394 111,385 123,027 9 113 30 57,076 84,415 111,055 122,369 10 114 30 56,877 84,320 109,146 119,226 11 115 30 57,355 82,646 102,028 109,414

12 116 30 64,716 84,934 99,651 105,173

  

13 117 30 73,592 88,395 98,768 102,618

14 118 30 83,499 92,636 98,880 101,182

15 119 30 94,030 97,325 99,561 100,385

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o

C, T = 100

  C, q = 20 MW/ m 2o

  3 Ti = 30

  Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 20000 W/m C 160 140 120

  C) 100 o

  (

  80 uhu

60 S

  40

  20

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 17,25 s

Gambar 4.5. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t = 15 detik dapat dilihat pada Gambar 4.6.

  

Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

  20

  40

  60

  80 100 120 140 160 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

  Titik S u hu ( o

  C) h = 1000 W/m h = 2000 W/m h = 5000 W/m h = 10000 W/m h = 20000 W/m

  Ti = 30 o

  o

C, T = 100

  C, q = 20 MW/ m

  3 Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, t = 15 s

Gambar 4.6. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  • q Yang Bervariasi

4.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan

  Harga energi pembangkitan pada benda 2 (benda di dalam) divariasi. Dengan nilai koefisien perpindahan panas konveksi h = 5000 W/m

  2o

  C. Bahan A pada benda adalah seng, sedangkan bahan B adalah baja karbon 0,5%C.

  • q = 20 MW/m

  3 Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.7. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.7.

4.1.2.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan

  • q = 20 MW/m

Tabel 4.7. Hasil perhitungan dengan nilai

  3 Suhu ( o

  C) No Titik t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 20,1 det 1 105 30 68,578 79,448 83,894 101,504

  2 106 30 55,827 70,697 77,010 102,516 3 107 30 46,400 63,110 70,988 104,553 4 108 30 40,404 57,007 66,141 108,077 5 109 30 37,407 52,751 62,113 113,695 6 110 30 40,415 55,715 66,023 126,866 7 111 30 40,866 56,825 67,321 132,229 8 112 30 40,906 57,053 67,644 133,632 9 113 30 40,866 56,825 67,321 132,229

  

10 114 30 40,415 55,715 66,023 126,866

11 115 30 37,407 52,751 62,113 113,695

12 116 30 40,404 57,007 66,141 108,077

13 117 30 46,400 63,110 70,988 104,553

14 118 30 55,827 70,697 77,010 102,516

15 119 30 68,578 79,448 83,894 101,504

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o o

  Ti = 30

C, T~ = 100

  C, h = 5000 W/m2 C

  3 Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 20 MW/m 160 120

  C) o

  80 hu ( u S

  40

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 20,1 s

  Gambar 4.7.Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu

  • 3

4.1.2.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 50 MW/m

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.8. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.8.

  3 Tabel 4.8. Hasil perhitungan dengan nilai q = 50 MW/m o

  Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 12,05 det 1 105 30 69,229 83,103 89,850 103,836

  2 106 30 56,986 76,390 86,098 106,406 3 107 30 48,765 72,077 84,647 111,563 4 108 30 45,116 71,053 86,460 120,466 5 109 30 46,221 74,390 92,762 134,645 6 110 30 55,879 91,747 114,508 167,881 7 111

  30 57,157 96,592 121,782 181,350 8 112 30 57,264 97,450 123,339 184,828 9 113 30 57,157 96,592 121,782 181,350 10 114 30 55,879 91,747 114,508 167,881

11 115 30 46,221 74,390 92,762 134,645

  

12 116 30 45,116 71,053 86,460 120,466

13 117 30 48,765 72,077 84,647 111,563

14 118 30 56,986 76,390 86,098 106,406

15 119 30 69,229 83,103 89,850 103,836

C, T~ = 100

  3 Gambar 4.8 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu

  20

  40

  60

  80 100 120 140 160 180 200

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

  

Titik

S u hu ( o

  C)

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 12,05 s

Ti = 30 o

  

o

  C, h = 5000 W/m2 o

  C

Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 50 MW/m

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

  • q = 75 MW/m

Tabel 4.9. Hasil perhitungan dengan nilai q = 75 MW/m

  3 Suhu ( o

  C) No Titik t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 9,8 det 1 105 30 69,771 86,148 94,814 105,651

  2 106 30 57,951 81,134 93,672 109,434 3 107 30 50,735 79,550 96,030 117,019 4 108 30 49,042 82,759 103,392 130,099 5 109

  30 53,566 92,422 117,669 150,881

6 110 30 68,765 121,773 154,912 198,675

7 111 30 70,733 129,731 167,167 216,895

8 112 30 70,896 131,114 169,753 221,324

9 113 30 70,733 129,731 167,167 216,895

10 114 30 68,765 121,773 154,912 198,675

  11 115 30 53,566 92,422 117,669 150,881 12 116 30 49,042 82,759 103,392 130,099

13 117 30 50,735 79,550 96,030 117,019

  

14 118 30 57,951 81,134 93,672 109,434

15 119 30 69,771 86,148 94,814 105,651

  3 Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.9. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.9.

4.1.2.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o o

  Ti = 30

C, T~ = 100

  C, h = 5000 W/m2 C

  3 Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 75 MW/m 250 200

  C) 150 o hu ( u

  100 S

  50

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 9,8 s

Gambar 4.9 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu

  • 3

4.1.2.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 100 MW/m

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.10. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.10.

  3 Tabel 4.10. Hasil perhitungan dengan nilai q = 100 MW/m o

  Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 8,5 det 1 105 30 70,314 89,194 99,777 107,183

  2 106 30 58,917 85,877 101,246 112,031 3 107 30 52,706 87,022 107,413 121,828 4 108 30 52,969 94,464 120,324 138,769

5 109 30 60,910 110,455 142,576 165,679

  

6 110 30 81,652 151,800 195,316 226,474

7 111 30 84,309 162,870 212,551 248,308

8 112 30 84,527 164,778 216,166 253,320

9 113 30 84,309 162,870 212,551 248,308

  

10 114 30 81,652 151,800 195,316 226,474

11 115 30 60,910 110,455 142,576 165,679

12 116 30 52,969 94,464 120,324 138,769 13 117

  30 52,706 87,022 107,413 121,828 14 118 30 58,917 85,877 101,246 112,031

15 119 30 70,314 89,194 99,777 107,183

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o o

  Ti = 30

C, T~ = 100

  C, h = 5000 W/m2 C

  3 Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 100 MW/m 280 240 200

  C) o 160 hu (

  120 u S

  80

  40 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Titik

t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 8,5 s

Gambar 4.10 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu

  • 3

4.1.2.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan q = 125 MW/m

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.11. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.11.

  3 Tabel 4.11. Hasil perhitungan dengan nilai q = 125 MW/m o

  Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 7,65 det 1 105

  30 70,856 92,239 104,741 108,627 2 106 30 59,883 90,621 108,819 114,486 3 107 30 54,676 94,495 118,795 126,393 4 108 30 56,895 106,170 137,257 147,021

  5 109 30 68,255 128,487 167,484 179,784 6 110 30 94,538 181,826 235,721 252,596 7 111 30 97,884 196,010 257,936 277,419 8 112 30 98,159 198,442 262,579 282,841 9 113 30 97,884 196,010 257,936 277,419

10 114 30 94,538 181,826 235,721 252,596

  

11 115 30 68,255 128,487 167,484 179,784

12 116 30 56,895 106,170 137,257 147,021

13 117 30 54,676 94,495 118,795 126,393 14 118

  30 59,883 90,621 108,819 114,486 15 119 30 70,856 92,239 104,741 108,627

  

Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

o o o

  Ti = 30

C, T~ = 100

  C, h = 5000 W/m2 C

  3 Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 125 MW/m 300 250 200

  C) o

  150 hu ( u S

  100

  50 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 Titik t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 7,65 s

Gambar 4.11 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t = 7 detik dapat dilihat pada Gambar 4.12.

  

Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

  50 100 150 200 250 300

  105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 Titik Su h u ( o

  C) q = 20 MW/m3 q = 50 MW/m3 q = 75 MW/m3 q = 100 MW/m3 q = 125 MW/m3

  Ti = 30 o

  o

C, T~ = 100

  C, h = 5000 W/m 2o

  C, Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, t = 7 s

Gambar 4.12 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu

4.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan 1 Bervariasi

  Bahan pada benda 2 (benda di dalam) harganya divariasi. Dengan nilai koefisien perpindahan panas konveksi h = 5000 W/m

  2o

  C dan energi pembangkitannya

  • q = 20 MW/m

  3

  . Bahan B pada benda adalah baja karbon 0,5%C sedangkan bahan A divariasi.

4.1.3.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Besi

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.12. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.13.

Tabel 4.12. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : Besi

  Suhu ( o

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 24,5 det 1 105 30 84,416 90,047 94,299 100,974

  2 106 30 73,917 83,310 90,518 101,871 3 107 30 63,997 76,868 87,182 103,577 4 108 30 54,898 70,952 84,583 106,563 5 109 30 46,991 65,971 83,158 111,457 6 110 30 50,501 70,632 90,056 123,690 7 111 30 51,528 72,390 92,702 128,919 8 112 30 51,702 72,818 93,374 130,334 9 113 30 51,528 72,390 92,702 128,919

  

10 114 30 50,501 70,632 90,056 123,690

11 115 30 46,991 65,971 83,158 111,457

12 116 30 54,898 70,952 84,583 106,563

13 117 30 63,997 76,868 87,182 103,577

14 118 30 73,917 83,310 90,518 101,871

15 119 30 84,416 90,047 94,299 100,974

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

C, T~ = 100

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.13. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.14.

  

10 114 30 52,772 74,988 96,145 126,747

11 115 30 48,482 69,184 87,480 112,532

12 116 30 55,030 72,783 87,503 107,256

13 117 30 63,007 77,549 88,942 104,017

14 118 30 72,042 83,050 91,320 102,162

15 119 30 81,862 89,014 94,302 101,212

  2 106 30 72,042 83,050 91,320 102,162 3 107 30 63,007 77,549 88,942 104,017 4 108 30 55,030 72,783 87,503 107,256 5 109 30 48,482 69,184 87,480 112,532 6 110 30 52,772 74,988 96,145 126,747 7 111 30 54,108 77,249 99,581 132,929 8 112 30 54,350 79,819 100,474 134,624 9 113 30 54,108 77,249 99,581 132,929

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 23,05det 1 105 30 81,862 89,014 94,302 101,212

  Suhu ( o

Tabel 4.13. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : nikelGambar 4.13. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  40

  3 Bahan A = Besi, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m 2o C

  C, q = 20 MW/m

  

o

  C)

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 24,5 s

Ti = 30 o

  

Titik

S uhu ( o

  80 120 160

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

4.1.3.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Nikel

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa o o

  3 Titik Ti = 30

C, T~ = 100

  C, q = 20 MW/m

Bahan A = Nikel, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000

2o

  

W/m C

160 120

  C) o

  80 uhu ( S

  40

  10

  10

  10

  10

  10

  11

  11

  

11

  11

  11

  11

  11

  11

  11

  11

  5

  6

  7

  8

  9

  1

  

2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9 Titik

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 23,05

Gambar 4.14. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

4.1.3.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Seng

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.14. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.15.

Tabel 4.14. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : seng

  o Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 20,1 det 1 105 30 79,448 89,125 95,948 103,504

  2 106 30 70,697 84,538 94,431 102,516 3 107 30 63,110 80,723 93,779 104,553 4 108 30 57,007 77,998 94,368 108,077 5 109 30 52,751 76,778 96,687 113,695 6 110 30 55,715 81,267 105,118 126,866 7 111

  30 56,825 82,933 108,215 132,229 8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922 9 113 30 56,825 82,933 108,215 132,229 10 114 30 55,715 81,267 105,118 126,866

11 115 30 52,751 76,778 96,687 113,695

  

12 116 30 57,007 77,998 94,368 108,077

13 117 30 63,110 80,723 93,779 104,553

14 118 30 70,697 84,538 94,431 102,516

15 119 30 79,448 89,125 95,948 103,504

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o

  3 Ti = 30

C, T = 100

  C, q = 20 MW/ m Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000

2o

  W/m C 160 120

  C) o

  (

  80 uhu S

  40

  10

  10

  10

  10

  10

  11

  11

  

11

  11

  11

  11

  11

  11

  11

  11

  5

  6

  7

  8

  9

  1

  

2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9 Titik

t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 20,1 s

Gambar 4.15. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

4.1.3.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Magnesium

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.15. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.16.

Tabel 4.15. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : magnesium

  o Suhu (

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 17,85 det 1 105 30 74,419 88,724 98,097 102,162

  2 106 30 67,660 85,915 97,992 103,250 3 107 30 62,740 84,383 99,084 105,553 4 108 30 60,007 84,465 101,746 109,474 5 109

  30 59,761 86,523 106,432 115,530 6 110 30 59,629 89,233 115,475 128,394 7 111 30 59,834 89,715 118,315 133,081 8 112 30 59,907 89,780 118,911 134,197 9 113 30 59,834 89,715 118,315 133,081 10 114 30 59,629 89,233 115,475 128,394 11 115 30 59,761 86,523 106,432 115,530 12 116 30 60,007 84,465 101,746 109,474

13 117 30 62,740 84,383 99,084 105,553

  

14 118 30 67,660 85,915 97,992 103,250

15 119 30 74,419 88,724 98,097 102,162

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

C, T~ = 100

  80 120 160 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

  Titik S uhu ( o

  C) t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 17,85 s Ti = 30 o

  

o

  C, q = 20 MW/m

  3 Bahan A = Magnesium, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m 2o C

Gambar 4.16. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  40

4.1.3.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Aluminium

  Suhu ( o

  C) No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 15,45det 1 105

  30 72,425 90,525 103,170 104,104 2 106 30 66,663 89,052 104,723 105,881 3 107 30 63,446 89,775 108,297 109,665 4 108 30 63,514 93,431 114,609 116,175 5 109 30 67,961 101,145 124,774 126,523

  6 110 30 114,785 150,224 175,330 177,188 7 111 30 139,574 176,450 202,469 204,396 8 112 30 142,285 184,655 210,983 212,933 9 113 30 139,574 176,450 202,469 204,396

  

10 114 30 114,785 150,224 175,330 177,188

11 115 30 67,961 101,145 124,774 126,523

12 116 30 63,514 93,431 114,609 116,175 13 117

  30 63,446 89,775 108,297 109,665 14 118 30 66,663 89,052 104,723 105,881 15 119 30 72,425 90,525 103,170 104,104

Tabel 4.16. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : aluminium

  Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.16. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.17.

  

Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik

o o

  3 Ti = 30

C, T~ = 100

  C, q = 20 MW/m 2o

  Bahan A = Aluminium, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m C 250 200

  C) 150 o uhu (

  100 S

  50 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 Titik t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 15,45 s

Gambar 4.17. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

  Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t = 15 detik dapat dilihat pada Gambar 4.18

  Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik o o 3, 2o

  Ti = 30

C, T~ = 100

  C, q = 20 MW/m h = 5000 W/m

  C, t = 15 s 250 200 150

  C) o

  ( u h

  100 Su

  50 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 Titik Besi - Baja karbon 0,5%C Nikel - Baja karbon 0,5%C

  Seng - Baja karbon 0,5%C Magnesium - Baja karbon 0,5%C Aluminium - Baja karbon 0,5%C

Gambar 4.18. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu

4.2. Pembahasan

4.2.1. Distribusi Suhu Dengan Variasi Nilai h

  Dari Gambar 4.6. dapat dilihat perjalanan suhu pada beberapa titik (titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) yang berbeda. Untuk nilai h yang lebih besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada suhu dengan nilai h yang lebih kecil. Semakin besar nilai h maka suhu semakin tinggi dan suhu semakin cepat menyesuaikan lingkungan di sekitarnya (pada proses pemanasan). Hal ini dapat di lihat dalam tabel 4.17. dan 4.18.

Tabel 4.17. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di

  o

  sudut benda mencapai 100 C , komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan

  • 3 o o

  q = 20 MW/m , T i = 30

C, T = 100 C

  ∞ o

  Suhu (

  C) Titik h = 1000 h = 2000 h = 5000 h = 10000 h = 20000

  2o 2o 2o 2o 2o W/m C W/m C W/m C W/m C W/m C

78,691 87,791 95,948 98,589 99,561

  105 77,452 86,110 94,431 97,508 98,880 106 77,714 85,644 93,779 97,109 98,768 107

79,807 86,740 94,368 97,798 99,651

108

84,249 89,898 96,687 100,064 102,028

109 97,570 100,778 105,118 107,579 109,146 110 103,617 105,479 108,215 109,910 111,055 111 105,309 106,765 106,765 110,402 111,385 112 103,617 105,479 108,215 109,910 111,055 113 97,570 100,778 105,118 107,579 109,146 114

84,249 89,898 96,687 100,064 102,028

115

79,807 86,740 94,368 97,798 99,651

116

77,714 85,644 93,779 97,109 98,768

117

77,452 86,110 94,431 97,508 98,880

118

78,691 87,791 95,948 98,589 99,561

119

  • q = 20 MW/m
  • q

4.2.2. Distribusi Suhu Dengan Variasi Nilai

  • q ) yang
  • q yang lebih besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada
  • q yang lebih kecil. Semakin besar nilai
  • q maka suhu yang dihasilkan semakin tinggi. Hal ini dapat di lihat dalam tabel 4.19.dan 4.20.

  C,

  ∞ T = 100 o

  C

  Suhu ( o

  C) Titik • q

  = 20 MW/m

  3

  3

  = 50 MW/m

  = 75 MW/m

  3

  = 100 MW/m

  3

  = 125 MW/m

  3 105 83,894 89,850 94,814 99,777 104,741 106 77,010 86,098 93,672 101,246 108,819 107 70,988 84,647 96,030 107,413 118,795 108 66,141 86,460 103,392 120,324 137,257 109 62,113 92,762 117,669 142,576 167,484 110 66,023 114,508 154,912 195,316 235,721 111 67,321 121,782 167,167 212,551 257,936 112 67,644 123,339 169,753 216,166 262,579 113 67,321 121,782 167,167 212,551 257,936 114 66,023 114,508 154,912 195,316 235,721 115 62,113 92,762 117,669 142,576 167,484 116 66,141 86,460 103,392 120,324 137,257 117 70,988 84,647 96,030 107,413 118,795 118 77,010 86,098 93,672 101,246 108,819 119 83,894

  88,332 94,814 99,777 104,741

  o

  2o

  C, komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m

  C,

Tabel 4.18. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100

  o

  C, komposisi bahan seng – baja karb0n 0,5%C, dan

  3

  , T i = 30

  o

  ∞ T = 100 o

  o

  C No h (W/m

  2o

  C) Waktu (detik) 1 1000 26,75 2 2000 23,6 3 5000 20,1 4 10000 18,3 5 20000 17,25

  Dari Gambar 4.12. kita dapat melihat perjalanan suhu pada beberapa titik (titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan energi pembangkitan (

  berbeda. Untuk nilai

  suhu dengan nilai

Tabel 4.19. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 7 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100

C, T i = 30

  • q
  • q
  • q
  • q

Tabel 4.20. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100

  o

  C, komposisi bahan seng - aluminium, dan h = 5000 W/m

  2o

  C, T i = 30

  o

  C,

  ∞ T = 100 o

  C No

  • q ( MW/m

  3 )

  Waktu (detik) 1 20 20,1 2 50 12,05 3 75 9,8 4 100 8,5 5 125 765

4.2.3. Distribusi Suhu Dengan Variasi Bahan Pada Bagian Luar

  Dari Gambar 4.18. kita dapat melihat perjalanan suhu pada beberapa titik (titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan koefisien perpindahan panas konduksi (k) yang berbeda. Untuk nilai k (bahan yang di bagian luar) yang lebih besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada suhu dengan nilai k yang lebih kecil. Semakin besar nilai k maka suhu semakin tinggi. Hal ini dapat di lihat dalam tabel 4.21. dan 4.22.

  • q = 20 MW/m

Tabel 4.22. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100

  114

  90,056 96,145 105,118 115,475 175,330

  115

  83,158 87,480 96,687 106,432 124,774

  116

  84,583 87,503 94,368 101,746 114,609

  117

  87,182 88,942 93,779 99,084 108,297

  118

  90,518 91,320 94,431 97,992 104,723

  119

  94,299 94,302 95,948 98,097 103,170

  o

  113

  C, h = 5000W/m

  2o

  C, dan

  3

  , T i = 30

  o

  C,

  

T = 100 o

  C No Bahan Waktu (detik)

  1 Besi - Baja karbon 0,5%C 24,5

  2 Nikel – Baja karbon 0,5%C 23,05

  3 Seng – Baja karbon 0,5%C 20,1

  4 Magnesium – Baja karbon 0,5%C 17,85

  92,702 99,581 108,215 118,315 202,469

  93,374 100,474 106,765 118,911 210,983

  5 Aluminium - Baja karbon 0,5%C 15,45

  Besi – Baja karbon

Tabel 4.21. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100

  o

  C, h = 5000W/m

  2o

  C, dan

  3

  , T i = 30

  o

  C,

  ∞ T = 100 o

  C Suhu (

  o

  C) Titik

  0,5% C Nikel –

  112

  Baja karbon 0,5% C

  Seng – Baja karbon

  0,5% C Magnesium-

  Baja karbon 0,5% C

  Aluminium- Baja karbon 0,5% C

  105

  94,299 94,302 95,948 98,097 103,170

  106 90,518 91,320 94,431 97,992 104,723 107 87,182 88,942 93,779 99,084 108,297 108 84,583 87,503 94,368 101,746 114,609 109

  83,158 87,480 96,687 106,432 124,774

  110

  90,056 96,145 105,118 115,475 175,330

  111

  92,702 99,581 108,215 118,315 202,469

  • q = 20 MW/m

BAB V PENUTUP

5.1. KESIMPULAN

  Dari hasil perhitungan untuk beberapa kasus yang ditinjau ,diperoleh kesimpulan :

  1. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) maka suhu di dalam benda semakin tinggi (proses pemanasan) dan suhu semakin cepat menyesuaikan dengan lingkungan sekitar.

  • 2. Semakin besar nilai energi pembangkitan ( q ) maka suhu di dalam benda semakin tinggi.

3. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konduksi (k) pada bahan di bagian luar maka suhu di dalam benda semakin tinggi.

5.2. SARAN

  Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat dapat dilakukan dengan memperbanyak node ( x diperkecil )

  ∆

DAFTAR PUSTAKA

  Cangel, Yunus A. 1998. Heat Transfer A Practical Approach. USA. McGraw-Hill Companies. Holman, J.P. 1988. Perpindahan Kalor. Jakarta. Erlangga. Kreith, F. 1986. Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas. Jakarta. Erlangga.

  • 2. ( )
  • 3. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 4.
  • 2 ( − − + + + =
  • 5.
  • 6.
  • 7. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 8. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 9. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 10. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 11. ( )
  • 2 ( − − + + + =

  • 12. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 13. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 14.
  • 2 ( − − + + + =
  • 15.
  • 16. ( )
  • 17. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 18. ( )
  • 19. ( )
  • 20. ( )
  • 21. ( )
  • 22. ( )
  • 23. ( )
  • 24.

  29

  1

  14

  4

  4 1 ) 2 (

  2 − − + + + =

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  15

  30

  16

  1

  15

  4 1 )

  2

  2

  ∞

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  16

  17

  31

  15

  1

  1

  16

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  13

  T BiF F BiT T T F T

  14

  2

  1

  11

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  12

  2

  26

  11

  1

  12

  4 1 )

  ( ) n o o n n o n

  2

  ∞

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  13

  14

  28

  12

  1

  13

  2

  4 1 ) 2 2 (

  − − + + + + =

  ∞

  17

  32

  18

  37

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  21

  22

  36

  20

  6

  1

  21

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  22

  23

  21

  20

  7

  1

  22

  4 ( 1 ) − + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  23

  24

  38

  22

  8

  1

  23

  4 ( 1 )

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1

  16

  n o n n n n o n

  2

  1

  17

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  18

  19

  33

  17

  3

  1

  18

  4 ( 1 ) − + + + + =

  T F T T T T F T

  5

  19

  20

  34

  18

  4

  1

  19

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  20

  21

  35

  19

  10

  26

  12

  4

  T BiF F BiT T T T F T

  3

  4

  18

  2

  1

  3

  2

  4 1 ) 2 2 (

  − − + + + + =

  ∞

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  5

  ∞

  19

  3

  1

  4

  2

  4 1 ) 2 2 (

  − − + + + + =

  ∞

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  5

  6

  20

  4

  ( ) n o o n n n o n

  2

  5

  16

  1. ( )

  n o o n n o n

  T BiF F BiT T T F T

  1

  15

  1

  4

  4 1 ) 2 (

  = 2 − − + + +

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  1

  2

  1

  4 1 )

  1

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  2

  3

  17

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  11

  2

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  9

  10

  24

  8

  1

  9

  2

  4 1 )

  ∞

  1

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  10

  11

  25

  9

  1

  10

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  8

  7

  4 1 )

  n o o n n n o n

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  6

  7

  21

  5

  1

  6

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  T BiF F BiT T T T F T

  23

  7

  8

  22

  6

  1

  7

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  8

  9

  − + + + + =

  • 26. ( )
  • 27. ( )
  • 28.
  • 29.
  • 30.
  • 31. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 32. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 33. ( )
  • 34. ( )
  • 35. ( )
  • 36. ( )

  • 37. ( )
  • 38.
  • 39.
  • 40. ( )
  • 41. ( )
  • 42. ( )
  • 43. ( )
  • 44. ( )
  • 45. ( )
  • 46. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 47. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 48.

  T F T T T T F T

  39

  40

  54

  38

  24

  1

  39

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  40

  41

  55

  39

  25

  1

  40

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  41

  42

  56

  40

  26

  1

  41

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  − + + + + =

  4 ( 1 )

  52

  T F T T T T F T

  36

  37

  51

  35

  21

  1

  36

  4 ( 1 ) − + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  37

  38

  36

  38

  22

  1

  37

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  38

  39

  53

  37

  23

  1

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  42

  45

  46

  30

  1

  45

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  46

  47

  61

  31

  45

  1

  46

  4 ( 1 ) − + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  47

  48

  62

  46

  32

  1

  47

  4 ( 1 )

  60

  T BiF F BiT T T T F T

  43

  1

  57

  41

  27

  1

  42

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  43

  44

  58

  42

  28

  43

  n o o n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  44

  59

  43

  29

  1

  44

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  35

  29

  T F T T T T F T

  27

  28

  42

  26

  12

  1

  27

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  28

  43

  4 ( 1 ) − + + + + =

  27

  13

  1

  28

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  29

  44

  28

  14

  1

  ( ) n o n n n n o n

  25

  2

  25

  25. ( )

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  24

  25

  39

  23

  9

  1

  24

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  26

  1

  40

  24

  10

  1

  24

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  26

  27

  41

  25

  11

  29

  4 1 )

  1

  34

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  33

  34

  48

  32

  18

  1

  33

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  35

  1

  49

  33

  19

  1

  34

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  35

  36

  50

  34

  20

  32

  17

  2

  n o n n n n o n

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

  30

  45

  46

  15

  1

  30

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  T F T T T T F T

  31

  31

  32

  46

  30

  16

  1

  31

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T

  32

  33

  47

  − + + + + =

  1 n n n n n

  • n

  4 F ) T

  48 o

  33

  47

  63 49 o

  48

  49. T = F ( T T T T ) ( + + + + 1 −

  • n

  1 n n n n n

  4 F ) T

  49 o

  34

  48

  64 50 o

  49 ( )

  50. T = F ( T T T T ) ( + + + + 1 −

  • n

  1 n n n n n

  4 F T

  50 o

  35

  49

  65 51 o

  50

  51. T = + + F ( T T T T ) + + 1 −

  • n

  1 n n n n n

  52. ( )

  1

  51 o

  36

  50

  66 52 o

  51

  4 T = F T T T T ( + + − + F ) + T

  1 n n n n n

  • n

  53. T F ( T T T T )

  1

  4 F T = ( − ) + + + +

  52 o

  37

  51

  67 53 o

  52

  1 n n n n n

  • n

  54. T = F ( T T T T ) 1 −

  4 F T

  ( )

  53 o

  38

  52

  68 54 o

  53

  1 n n n n n

  • n

  55. T = F ( T T T T ) 1 −

  ( ) + +

  4 F T

  54 o

  39

  53

  69 55 o

  54 ( ) + + +

  n 1 n n n n n

  56. T = F ( T T T T ) 1 −

  4 F T

  55

  40

  54

  70

  56

  55 o o

  1 n n n n n

  • n

  4 F ) T

  56 o

  41

  55

  71 57 o

  56

  57. T F ( T T T T ) ( = + + + + 1 −

  n 1 n n n n n

  58. T = F ( T T T T )

  ( ) + + +

  1 −

  4 F T

  57 o

  42

  56

  72 58 o

  57

  1 n n n n n

  • n

  4 F ) T

  58 o

  43

  57

  73 59 o

  58

  59. T = F ( T T T T ) ( + + + + 1 −

  • n

  1 n n n n

2 T T

  2 BiT ) ( 1 −

  4 F

  2 BiF ) T

  59 o

  44

  58 74 o o

  60. T F ( T = + + + +

  59 ∞

  • n

  1 n n n n

  61. T = F ( T

  2 T T

  4 F

  2 BiF ) T

  60 o

  45

  61 75 o o

  2 BiT ) ( + + + + 1 −

  60 ∞

  n n n n n n

  • 1

  62. T F ( T T T T )

  1

  4 F T = ( − ) + + + +

  61 o

  46

  60

  76 62 o

  61

  1 n n n n n

  • n

  63. T F ( T T T T )

  1

  4 F T = ( − ) + + + +

  62 o

  47

  61

  77 63 o

  62 ( ) + + +

  n 1 n n n n n

  64. T = F ( T T T T ) 1 −

  4 F T

  63 o

  48

  62

  78 64 o

  63 n n n n

  2 ⎛ 4 k T 4 k T 2 ( k k ) T 2 ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 ∆ t ( 3 k k ) ⎞ + + + + + + +

  1 n

  1

  63

  1

  49

  1

  2

  65

  1

  2

  79

  1 2 n

  65. T t

  64

  64

  

2

  1 T = ∆ −

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( 3 ρ c ρ c ) l ( 3 ρ c ρ c ) l

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠ n n n n

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T + + 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 ∆ t ( k k ) ⎞ + + + + +

  1

  1

  50

  1

  2

  64

  2

  80

  1

  2

  66

  1 2 n 66.

  T = ∆ t 1 − T

  • n

  65

  65

  2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ρ ρ ρ ρ

  • ( c c ) l ( c c ) l

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠ n n n n

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 t ( k k ) ⎞

  1

  1

  51

  1

  2

  65

  2

  81

  

1

  2

  67

  1 2 n 67.

  T = ∆ t 1 − T

  • n

  66

  66

  2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  • ( ρ c ρ + c ) l ( ρ c ρ c ) l

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ ⎞

  4 ∆ t ( k k )

  • n n n n

  n

  1

  1

  52

  1

  2

  66

  2

  82

  1

  2

  68

  1 2 n 68.

  T = ∆ t 1 − T

  67

  67

  2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( c c ) l ( c c ) l ρ ρ ρ ρ + +

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝

  ⎠

  • ρ ρ ρ ρ 70.
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • ρ ρ ρ ρ 71.
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • ρ ρ ρ ρ 72.
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 73.
  • 74. ( )
  • 75. ( )

  • 76. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 77. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 78. ( )
  • 79. ( )
  • 80.
  • ρ ρ ρ ρ
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 82. ( )
  • 83. ( )
  • 84. ( )
  • 85. ( )

  T ql k k T k T k k T k T t

  T l c c k k t l c c

  n n n n n n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  78

  1

  63

  77

  93

  79

  78

  T F T T T T F T

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  77

  79

  2

  2

  1

  80

  1

  2

  94

  2

  1

  2

  2

  2

  

2

  1

  2

  1

  1

  1

  62

  76

  T BiF F BiT T T T F T

  75

  1

  60

  76

  90

  75

  n o o n n n o n

  4 1 )

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  74

  1

  2

  2

  92

  1

  78

  77

  T F T T T T F T

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  76

  61

  ∞

  75

  91

  77

  76

  T F T T T T F T

  n o n n n n o n

  2

  2

  64

  82

  2

  2

  83

  T F k ql T T T T F T

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  1

  98

  67

  81

  97

  83

  2

  2

  84

  82

  T F k ql T T T T F T

  2

  84

  1

  69

  83

  99

  85

  2

  68

  84

  T F k ql T T T T F T

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  83

  1

  82

  n o n n n n o n

  1

  ⎝ ⎛

  2

  80

  T F k ql T T T T F T

  n o n n n n o n

  81. ( )

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  81

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  4

  79 ) ( ) (

  1

  1

  78

  2

  95

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  2

  81

  1

  66

  80

  96

  82

  2

  79

  81

  T F k ql T T T T F T

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  80

  1

  65

  59

  88

  89

  1

  1

  2

  2

  

2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  69

  T ql k k T k T k k T k T t

  T l c c k k t l c c

  1

  70

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  ⎝ ⎛

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  4

  69 ) ( ) (

  1

  54

  2

  1

  2

  68

  2

  84

  

1

  n n n n n n

  ⎝ ⎛

  n n n n n n

  2

  2

  

2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  68

  T ql k k T k T k k T k T t

  T l c c k k t l c c

  n n n n n n

  69.

  2

  1

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  1

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  4

  68 ) ( ) (

  1

  1

  53

  2

  2

  67

  2

  83

  

1

  2

  69

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  T l c c k k t l c c

  74

  4 ( 1 )

  87

  73

  72

  T F T T T T F T

  ( ) n o n n n n o n

  − + + + + =

  71

  57

  1

  56

  70

  86

  72

  71

  71

  1

  ( ) n o n n n n o n

  72

  T BiF F BiT T T T F T

  n o o n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  73

  1

  58

  88

  72

  74

  73

  T F T T T T F T

  n o n n n n o n

  − + + + + =

  4 ( 1 )

  T F T T T T F T

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  T ql k k T k k T k T k T t

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  

2

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  70

  71

  1

  ⎝ ⎛

  ) 3 (

  4 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  4

  2

  ( 2 )

  1 ) 3 ( ) (

  4

  70 ) 3 (

  85

  1

  1

  55

  1

  69

  1

  2

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  • ρ ρ ρ ρ
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 88. ( )
  • 89. ( )
  • 90. ( )
  • 91. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 92. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 93.
  • 94.
  • 95.

  • ρ ρ ρ ρ
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 97. ( )
  • 98. ( )
  • 99. ( )
  • 100. ( )
  • 101.
  • ρ ρ ρ ρ
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 103. ( )
  • 104. ( )

  T F k ql T T T T F T

  96

  2

  2 111

  97

  81

  95

  1

  96

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  2

  97

  2 112

  98

  82

  96

  1

  97

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  98

  2

  2 113

  n o n n n n o n

  95

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  4

  2 109

  2

  

1

  95

  2

  79

  2

  1

  93

  1

  1

  94 ) ( ) (

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  1

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  96. ( )

  n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  95

  2

  2 110

  96

  80

  94

  99

  97

  83

  n o n n n n o n

  99

  2

  85

  2 1 101

  1

  1 100 ) ( ) (

  4

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  102. ( )

  T F T T T T F T 100 116 101 102

  2

  86

  1 101

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 101 117 102 103

  87

  1 102

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 102 118 103 104

  88

  1 103

  1

  2 115

  1

  n n n n n n

  98

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  99

  2

  2 114 100

  84

  98

  1

  99

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  T l c c k k t l c c

  1

  T ql k k T k T k k T k T t 100

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  

2

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  86

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  87. ( )

  n

o

n n n n o n

  T F T T T T F T

  86 87 101

  85

  71

  1

  4 ( 1 ) − + + + + =

  85 ) ( ) (

  n

o

n n n n o n

  T F T T T T F T

  87 88 102

  86

  72

  1

  87

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n

o

n n n n o n

  T F T T T T F T

  88 89 103

  87

  4

  1

  1

  

2

  86.

  n n n n n n

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k T k k T k T t

  85

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2 100

  2

  

1

  84

  2

  70

  2

  1

  86

  73

  88

  2

  4 ( 1 )

  91

  77

  1

  92

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  ( ) n

o

n n n n o n

  T F T T T T F T 93 94 108

  92

  78

  1

  93

  − + + + + =

  T F T T T T F T

  n n n n n n

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k T k k T k T t

  94

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  

2

  92 93 107

  ( ) n

o

n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  91

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

89 104

  88

  74

  1

  89

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T

90 105

  75

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1

  90

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n

o

n n n n o n

  T F T T T T F T 91 92 106

  90

  76

  1

  91

  4 ( 1 ) − + + + + =

  • 106. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 107. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 108.
  • 109.
  • 110.
  • ρ ρ ρ ρ 111.
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 112.
  • 113.

  • 114.
  • 115.
  • 116.
  • ρ ρ ρ ρ
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 118. ( )
  • 119. ( )
  • 120.
  • 121.
  • 122.
  • 123. ( )
  • 124. ( )

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  

2

  2

  2

  1

  1

  2 130 2 1 114

  2 100

  2 1 116

  1

  1 115 ) ( ) (

  4

  2

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k T k k T k T t 115

  1 113

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  113

  2

  2 112 114 128

  98

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  n n n n n n

  ( ) n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  114

  2

  2 113 115 129

  99

  1 114

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  ⎝ ⎛

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  T F T T T T F T 106 120 136 121 122

  T BiF F BiT T T T F T 105 121 120 135

  1 120

  2

  4 1 ) 2 2 (

  − − + + + + =

  ∞

  

( )

n o n n n n o n

  1 121

  ∞

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 107 121 137 122 123

  1 122

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 108 122 138 123 124

  1 123

  ( ) n o o n n n o n

  − − + + + + =

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1 117

  117. ( )

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 101 115 131 116 117

  1 116

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 102 116 132 117 118

  4 ( 1 ) − + + + + =

  4 1 ) 2 2 (

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 103 117 133 118 119

  1 118

  4 ( 1 ) − + + + + =

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T 104 118 119 134

  1 119

  2

  1 112

  97

  2 111 113 127

  

( )

n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  

( )

n o n n n n o n

  T F T T T T F T 106 122 107 108

  92

  1 107

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  T F T T T T F T 107 123 108 109

  91

  93

  1 108

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  n n n n n n

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k T k k T k T t 109

  1 106

  T F T T T T F T 105 121 106 107

  2

  2

  105. ( )

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T 103 104 119

  89

  1 104

  2

  4 1 )

  ∞

  n o n n n n o n

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T 106 105 120

  90

  1 105

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  2

  2

  2

  T F k ql T T T T F T

  110

  2

  2 109 111 125

  95

  1 110

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  111

  ( ) n o n n n n o n

  2

  2 110 112 126

  96

  1 111

  4 ( 1 ) − + + + + + =

  ( ) n o n n n n o n

  T F k ql T T T T F T

  112

  T F k ql T T T T F T

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  1

  1

  2

  1

  

2

  2

  2

  1

  2 124 2

1 110

  ⎝ ⎛

  2

  94

  2 1 108

  1

  1 109 ) ( ) (

  4

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n n n n

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 t ( k k ) ⎞

  1 1 123

  1 2 109 2 125

  1 2 139

  1 2 n 125.

  T = ∆ t 1 − T

  • n

  124 124

  

2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  • ( c c ) l ( c c ) l ρ ρ ρ ρ

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠

  2

  n 1 n n n n ql n

  4 F ) T

  125 o 110 124 140 126 o 125 k

  126. T = F ( T T T T ) ( + + + + 1 −

  2

  2

  • n

  1 n n n n n ql

  127. T = F ( T T T T )

  ( ) + + + + +

  1 −

  4 F T

  126 o 111 125 141 127 o 126 k

  2

  2

  1 n n n n ql n

  • n

  4 F ) T

  127 o 112 126 142 128 o 127 k

  128. T = F ( T T T T ) ( + + + + + 1 −

  2

  2

  1 n n n n ql n

  • n

  4 F ) T

  128 o 113 127 143 129 o 128 k

  129. T = F ( T T T T ) ( + + + + + 1 −

  2

  2

  1 n n n n ql n

  • n

  4 F ) T

  129 o 114 128 144 130 o 129 k

  130. T = F ( T T T T ) ( + + + + + 1 −

  2

  2 ⎛

  ⎞ ⎛ ⎞ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql 4 ∆ t ( k k ) + + + + + +

  • n n n n

  n

  1 n

  1 131

  1 2 115 2 129

  1 2 145

  1

  T t

  2 131.

  130 130

  

2

  2 ⎜⎜

  1 T = ∆ −

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( c c ) l ( c c ) l ρ ρ ρ ρ + +

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝

  ⎠

  1 n n n n n

  • n

  4 F T

  

( )

131 o 116 130 146 132 o 131

  132. T = F ( T T T T ) + + + + 1 −

  1 n n n n n

  • n

  4 F )

  132 o 117 131 147 133 o 132 ( ) + + + +

  133. T = F ( T T T T ) ( + + + + T 1 −

  1 n n n n n

  • n

  134. T = F ( T T T T ) 1 −

  4 F T

  133 o 118 132 148 134 o 133

  1 n n n n

  • n

  135. T = F ( T

2 T T

  4 F − + 2 BiF ) + +

  134 o 119 133 149 o o 134 ∞

  2 BiT ) ( + T 1 −

  n 1 n n n n

  136. T = F ( T

  2 BiT ) ( 1 −

  4 F

  2 BiF ) T

  135 o 120 136 150 o o 135 ∞

  2 T T + + +

  1 n n n n n

  • n

  136 o 121 135 151 137 o 136

  137. T = F ( T T T T ) ( + + + 1 − + 4 F ) T

  • n

  1 n n n n n

  4 F ) T

  137 o 122 136 152 138 o 137

  138. T = + + F ( T T T T ) ( + + 1 −

  • n

  1 n n n n n

  4 F ) T

  138 o 123 137 153 139 o 138

  139. T = F ( T T T T ) ( + + + + 1 −

  2 ⎛ + + + 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 ∆ t ( k k ) ⎞ + + +

  • n n n n
  • n

  1 1 138

  1 2 124 2 140

  1 2 154

  1 2 n 140.

  T = ∆ t

  • 1 − T

  139 139

  

2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( c c ) l ( ρ c ρ c ) l ρ ρ + +

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠

  2 ql

  1 n n n n n

  • n

  141. T = ( ) + + + + + F ( T T T T ) 1 −

  4 F T

  140 o 125 139 155 141 o 140 k

  2

  2 ql

  1 n n n n n

  • n

  4 F ) T

  141 o 126 140 156 142 o 141 k

  142. T = F ( T T T T ) ( + + + + + 1 −

  2

  2 ql

  1 n n n n n

  • n

  4 F ) T

  142 o 127 141 157 143 o 142 k

  143. T = F ( T T T T ) ( + + + + + 1 −

  2

  2 ql

  1 n n n n n

  • n

  4 F ) T

  143 o 128 142 158 144 o 143 k

  144. T = F ( T T T T ) ( + + + + + 1 −

  2

  2 ql

  1 n n n n n

  • n

  144 o 129 143 159 145 o 144 k

  145. T = F ( T T T T ) ( + T 1 − + 4 F ) + + +

  2 n n n n

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 t ( k k ) ⎞

  • n

  1 146

  1 2 130 2 144

  1 2 160

  1 2 n 146.

  T = ∆ t 1 − T

  • 1

  145 145

  

2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  • 1
  • ( c c ) l ( c c ) l ρ ρ ρ ρ

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠

  1 n n n n n

  • n

  147. T = F ( T T T T ) ( + + + + 1 − )

  4 F T

  146 o 131 145 161 147 o 146

  n 1 n n n n n

  4 F ) T

  147 o 132 146 162 148 o 147

  148. T = F ( T T T T ) ( + + + 1 −

  n 1 n n n n n

  4 F ) T

  148 o 133 147 163 149 o 148

  149. T = F ( T T T T ) ( + + + 1 −

  • n 1 n n n n

  150. T = + + + + F ( T

  2 T T

  2 BiT ) ( 1 −

  4 F

  2 BiF ) T

  149 o 134 148 164 o o 149 ∞

  • n

  1 n n n n

  2 T T

  2 BiT ) ( 1 −

  4 F

  2 BiF )

  151. T = F ( T + + + + T

  150 o 135 151 165 o o 150 ∞

  • n

  1 n n n n n

  1

  4 F ) T

  151 o 136 150 166 152 o 151

  152. T = F ( T T T T ) ( + − + + +

  1 n n n n n

  • n

  153. T F ( T T T T )

  1

  4 F T = ( − ) + + + +

  152 o 137 151 167 153 o 152

  1 n n n n n

  • n

  4 F T

  ( ) 153 o 138 152 168 154 o 153

  154. T = F ( T T T T ) + + + + 1 −

  2 ⎛ 4 k T 4 k T 2 ( k k ) T 2 ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 ∆ t ( 3 k k ) ⎞ + + + + + +

  • n n n n

  1 n 1 153 1 169

  1 2 139

  1 2 155

  1 2 n

  155. T t

  154 154

  2

  1 T = ∆ −

  2 ( 3 c c ) l ( 3 c c ) l

  ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ρ ρ ρ ρ

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠ n n n n

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T + + + 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 ∆ t ( k k ) ⎞ + + + +

  • n

  1 1 170

  1 2 154 2 140

  1 2 156

  1 2 n 156.

  T t

  • = ∆

  1 − T 155

  155

  

2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( ρ c ρ c ) l ( ρ c ρ c ) l

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠ n n n n

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 t ( k k ) ⎞

  ∆ + +

  1 1 171

  1 2 155 2 141

  1 2 157

  1 2 n 157.

  T = ∆ t 1 − T

  • n

  156 156

  

2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( c c ) l ( c c ) l

  • ρ ρ ρ ρ

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠ n n n n

  2 ⎛ 2 ( )

2 ( )

⎞ ⎛ ⎞ k T k k T k T k k T ql 4 ∆ t ( k k ) + + + + + + +

  n

  1 1 172

  1 2 156 2 142

  1 2 158 n

  1

  T = ∆ t 1 − T

  2 158.

  157 157

  

2

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( c c ) l ( c c ) l ρ ρ ρ ρ + +

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝

  ⎠

  2 ⎛ 2 k T ( k k ) T 2 k T ( k k ) T ql ⎞ ⎛ 4 ∆ t ( k k ) ⎞ + + + + + +

  • n n n n

  n

  1 1 173

  1 2 157 2 143

  1 2 159

  1 2 n

  159. T t

  158 158

  

2

  1 T = ∆ −

  2 ⎜⎜

  ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ( c c ) l ( c c ) l ρ ρ ρ ρ + +

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ⎝

  ⎠ ⎝ ⎠

  • ρ ρ ρ ρ 161.
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • ρ ρ ρ ρ 162.
  • ∆ =
  • ∆ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞
  • 163. ( )

  • 164. ( )
  • 165. ( )
  • 166.
  • 2 ( − − + + + =
  • 167. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 168. ( )
  • 169. ( )
  • 170.
  • 171.
  • 172.
  • 173. ( )
  • 174. ( )
  • 175. ( )
  • 176. ( )
  • 177. ( )
  • 178. ( )
  • 179. ( )
  • 180.
  • 181.

  1 169

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  

( )

n o n n n n o n

  T F T T T T F T 155 169 185 170 171

  1 170

  4 ( 1 )

  − + + + + =

  

( )

n o n n n n o n

  T F T T T T F T 156 170 186 171 172

  1 171

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 157 171 187 172 173

  1 172

  T F T T T T F T 154 168 184 169 170

  4 ( 1 ) − + + + + =

  

( )

n o n n n n o n

  T F T T T T F T 151 165 181 166 167

  1 165

  2

  4 1 )

  2

  ∞

  n o n n n n o n

  1 166

  1 168

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 152 166 182 167 168

  1 167

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 153 167 183 168 169

  4 ( 1 ) − + + + + =

  T F T T T T F T 158 172 188 173 174

  n o n n n n o n

  4 1 ) 2 2 (

  1 178

  4 ( 1 ) − + + + + =

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T 164 178 179 194

  1 179

  2

  − − + + + + =

  n o n n n n o n

  ∞

  ( ) n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T 165 181 180 195

  1 180

  2

  4 1 ) 2 2 (

  − − + + + + =

  T F T T T T F T 163 177 193 178 179

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 173

  T F T T T T F T 160 174 190 175 176

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 159 173 189 174 175

  1 174

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  1 175

  1 177

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 161 175 191 176 177

  1 176

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 162 176 192 177 178

  T BiF F BiT T T T F T 150 166 165 180

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  1 159 ) ( ) (

  4

  1 ) ( ) ( ( 2 )

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  n n n n n n

  2 158

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k k T k T k T t 160

  2

  2

  2

  1

  2 1 174

  2 160 2

1 144

  2

  2

  160.

  n n n n n n

  T l c c k k t l c c

  T ql k k T k T k k T k T t 159

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  

2

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  n

o

n n n n o n

  1 161

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n

o

n n n n o n

  T F T T T T F T 147 161 177 162 163

  1 162

  4 ( 1 ) − + + + + =

  T F T T T T F T 148 162 178 163 164

  ( ) n

o

n n n n o n

  1 163

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o o n n n o n

  T BiF F BiT T T T F T 149 163 164 179

  1 164

  2

  4 1 )

  T F T T T T F T 146 160 176 161 162

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  2 159 2 1 145

  2 1 175 1 161

  1 160 ) 3 (

  ⎝ ⎛

  ) 3 (

  4

  1

)

3 ( ) (

  ( 2 )

  2

  4

  4 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ∞

  • 183. ( )
  • 184. ( )
  • 185.
  • 186.
  • 187.
  • 188. ( )
  • 189. ( )
  • 190. ( )
  • 191. ( )

  • 192. ( )

  • 193. ( )
  • 194. ( )
  • 195.
  • 196.
  • 197. ( )
  • 198. ( )
  • 199. ( )
  • 200. ( )
  • 201. ( )
  • 202. ( )
  • 203. ( )
  • 204. ( )
  • 205.

  4 1 ) 2 2 (

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 197

  T F T T T T F T 182 196 212 197 198

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 196

  T F T T T T F T 181 195 211 196 197

  n o n n n n o n

  ∞

  − − + + + + =

  2

  T F T T T T F T 183 197 213 198 199

  1 195

  T BiF F BiT T T T F T 180 196 195 210

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  − − + + + + =

  4 1 ) 2 2 (

  2

  1 194

  T BiF F BiT T T T F T 179 193 194 209

  ( ) n o o n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  1 198

  4 ( 1 )

  n o n n n n o n

  1 204

  T F T T T T F T 189 203 219 204 205

  ( ) n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 203

  T F T T T T F T 188 202 218 203 204

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 202

  T F T T T T F T 187 201 217 202 203

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 193

  1 201

  T F T T T T F T 186 200 216 201 202

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 200

  T F T T T T F T 185 199 215 200 201

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 199

  T F T T T T F T 184 198 214 199 200

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  T F T T T T F T 178 192 208 193 194

  4 ( 1 ) − + + + + =

  − + + + + =

  4 ( 1 )

  1 185

  T F T T T T F T 170 184 200 185 186

  ( ) n o n n n n o n

  − + + + + =

  4 ( 1 )

  1 184

  T F T T T T F T 169 183 199 184 185

  ( ) n o n n n n o n

  1 183

  T F T T T T F T 171 185 201 186 187

  T F T T T T F T 168 182 198 183 184

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 182

  T F T T T T F T 167 181 197 182 183

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 181

  T F T T T T F T 166 180 196 181 182

  n o n n n n o n

  182. ( )

  ( ) n o n n n n o n

  1 186

  4 ( 1 ) − + + + + =

  n o n n n n o n

  1 192

  T F T T T T F T 177 191 207 192 193

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 191

  T F T T T T F T 176 190 206 191 192

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 190

  T F T T T T F T 175 189 205 190 191

  4 ( 1 ) − + + + + =

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 189

  T F T T T T F T 174 188 204 189 190

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 188

  T F T T T T F T 173 187 203 188 189

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 187

  T F T T T T F T 172 186 202 187 188

  n o n n n n o n

  − + + + + =

  • 207. ( )
  • 208. ( )
  • 209.
  • 210.
  • 211.
  • 212.
  • 213.
  • 2 ( − − + + + =
  • 214.
  • 2 ( − − + + + =
  • 215.
  • 2 ( − − + + + =

  • 216.
  • 2 ( − − + + + =
  • 217.
  • 2 ( − − + + + =
  • 218.
  • 2 ( − − + + + =
  • 219.
  • 2 ( − − + + + =
  • 220.
  • 221.
  • 222.
  • 2 ( − − + + + =
  • 223.
  • 2 ( − − + + + =
  • 224. ( )
  • 2 ( − − + + + =
  • 225. ( )
  • 2 ( − − + + + =

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  − − + + + + =

  4 1 ) 2 2 (

  2

  1 219

  T BiF F BiT T T T F T 218 204 219 220

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  − − + + + + =

  4 1 ) 2 2 (

  2

  1 218

  T BiF F BiT T T T F T 217 203 218 219

  ∞

  ( ) n o o n n n o n

  2

  4 1 )

  2

  1 217

  T BiF F BiT T T T F T 216 202 217 218

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  1 216

  T BiF F BiT T T T F T 215 201 216 217

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  T BiF F BiT T T T F T 219 205 220 221

  1 220

  2

  ∞

  = 2 − − + + +

  4 1 ) 2 (

  4

  1 224

  

T BiF F BiT T T F T

209 224 223

  n o o n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  1 223

  T BiF F BiT T T T F T 222 208 223 224

  n o o n n n o n

  2

  4 1 )

  4 1 )

  2

  1 222

  T BiF F BiT T T T F T 221 207 222 223

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  1 221

  T BiF F BiT T T T F T 220 206 221 222

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  2

  4 1 )

  2

  1 208

  4

  1 210

  

T BiF F BiT T T F T

195 210 211

  ( ) n o o n n o n

  ∞

  − − + + + + =

  4 1 ) 2 2 (

  2

  1 209

  T BiF F BiT T T T F T 194 208 209 224

  ( ) n o o n n n o n

  − + + + + =

  4 ( 1 )

  T F T T T T F T 193 207 223 208 209

  = 2 − − + + +

  ( ) n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 207

  T F T T T T F T 192 206 222 207 208

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 206

  T F T T T T F T 191 205 221 206 207

  n o n n n n o n

  4 ( 1 ) − + + + + =

  1 205

  T F T T T T F T 190 204 220 205 206

  n o n n n n o n

  206. ( )

  4 1 ) 2 (

  ∞

  1 215

  1 213

  T BiF F BiT T T T F T 214 200 215 216

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  1 214

  T BiF F BiT T T T F T 213 199 214 215

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  T BiF F BiT T T T F T 212 198 213 214

  ( ) n o o n n n o n

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  1 212

  T BiF F BiT T T T F T 211 197 212 213

  ( ) n o o n n n o n

  ∞

  2

  4 1 )

  2

  1 211

  T BiF F BiT T T T F T 210 196 211 212

  ∞

Dokumen baru

Tags

Dokumen yang terkait

INTENSITAS DAN LAJU INFEKSI PENYAKIT KARAT DAUN(Phakopsora pachyrhizi Sydow) PADA DUA PULUH SATU GENOTIPE KEDELAI
0
24
14
PENGARUH PEMBERIAN BORON TERHADAP PERTUMBUHAN DAN PRODUKSI DUA VARIETAS MELON (Cucumis melo L.) PADA SISTEM HIDROPONIK MEDIA PADAT
3
50
46
PENGEMBANGAN BUKU PANDUAN MENULIS KARANGAN NARASI DENGAN MEDIA BIG BOOK DUA DIMENSI SISWA KELAS 3 SD
5
33
160
MODEL KAC WALKS UNTUK PERSAMAAN DIFUSI DIMENSI DUA
0
0
24
PENGENALAN WAJAH DUA DIMENSI MENGGUNAKAN MULTI-LAYER PERCEPTRON BERDASARKAN NILAI PCA DAN LDA
0
0
8
BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF
0
0
9
BENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI
0
0
9
SIMULASI SMOOTHED PARTICLE HYCRODYNAMICS DUA DIMENSI DENGAN METODE DETEKSI PARTIKEL PERMUKAAN
0
0
6
ANALISIS KESTABILAN MODEL DUA PEMANGSA DAN SATU MANGSA DENGAN PENERAPAN RACUN
0
0
6
ANALISIS KESULITAN DALAM PENYELESAIAN PERMASALAHAN RUANG DIMENSI DUA
0
0
16
SIMULASI KUAT MEDAN MAGNET DEKAT MAGNET PERMANEN SECARA NUMERIK DENGAN SYARAT BATAS DUA DIMENSI DISEKITAR VAKUM TESIS
0
0
12
PENGARUH JENIS KAYU TERHADAP PERTUMBUHAN DUA JENIS JAMUR SEBAGAI PRAPERLAKUAN PADA PEMANFAATANNYA UNTUK ENERGI
0
0
25
PEMANTAUAN KADAR TUNAK FENITOIN DALAM SERUM PADA REBERAPA PENDERITA EPILEPSI TIPE GRAND MAL DENGAN TERAPI FENITOIN SALAH SATU PRODUK DALAM NEGERI Repository - UNAIR REPOSITORY
0
0
64
ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL DUA MANGSA- SATU PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING DAN PEMANENAN
0
0
8
ANALISA ALGORITMA BOUNDARY FILL 4-CONNECTED DAN 8-CONNECTED PADA IMAGE DUA DIMENSI (2d)
0
0
18
Show more