Feedback

Satu-Faktorisasi Bebas K-Cycle Dari Graph Lengkap

Informasi dokumen
SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP TESIS Oleh ASTRI SYAFRIANTY 097021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 Universitas Sumatera Utara SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Oleh ASTRI SYAFRIANTY 097021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 Universitas Sumatera Utara Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi : : : : SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP Astri Syafrianty 097021003 Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua Ketua Program Studi (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Marwan Ramli, M.Scı) Anggota Direktur (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc) Tanggal lulus: Universitas Sumatera Utara Telah diuji pada Tanggal PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si 2. 3. Universitas Sumatera Utara ABSTRAK jhgadj Kata kunci: Satu-faktorisasi. i Universitas Sumatera Utara ABSTRACT ajdb Keyword: ii Universitas Sumatera Utara KATA PENGANTAR Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkatNya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa, B, M.Sc selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Marwan Ramli, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan iii Universitas Sumatera Utara Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Armaini Lubis dan ayahanda Buyung Damanik yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebi yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, Penulis, Astri Syafrianty iv Universitas Sumatera Utara RIWAYAT HIDUP Alfred Hasiholan Silalahi dilahirkan di Batu V Pematangsiantar pada tanggal 31 Oktober 1969 dari pasangan Bapak St. Maruli Silalhi, BA & Ibu Tiomina br. Simanjuntak dan merupakan anak ke empat dari delapan bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) HKBP Batu IV Pematangsiantar tahun 1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP) HKBP Batu IV Pematangsiantar tahun 1984, Sekolah Menengah Atas (SMA) PGRI 29 Perumnas Batu VI Pematangsiantar tahun 1987. Pada tahun 1987 memasuki Perguruan Tinggi Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar jurusan PMIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Diploma III Proyek Pengembangan Pendidikan Tenaga Kependidikan (P 3TK) dan lulus tahun 1990. Kemudian pada tahun 1990 penulis melanjutkan perkuliahan ke jenjang Strata Satu (S-1) pada Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar dan lulus tahun 1991. Pada tahun 1990 1993, penulis menjadi guru honorer pada SMP HKBP Batu IV Pematangsiantar. Kemudian pada tahun 1993 1995, penulis bekerja sebagai Mechanic - A pada PT. Budi Bora Jaya Duri Riau. Pada tahun 1995 1997, penulis bekerja sebagai Lead Mechanic pada PT. Timbul Permata Jaya Duri Riau. Pada tahun 1997 1999, penulis merantau ke Jakarta dan bekerja sebagai guru honorer pada SMP Negeri 70 Tanah Abang, SMK Negeri 9 Pinangsia Jakarta Barat, SMK Corpotarin Jakarta Timur, SMK TIO Bekasi, dan part time sebagai Debt Collector pada Astra Credit Company (ACC) Jakarta. Pada tahun 1998, penulis mengikuti Test CPNS di Jakarta dan Lulus, kemudian pada tanggal 1 Maret 1998, penulis diangkat menjadi CPNS dan ditempatkan pada SLTP Negeri 1 Sabu Barat Kabupaten Kupang Nusa Tenggara Timur, tetapi penulis baru pergi ke NTT untuk melaksanakan tugas pada bulan Juli 1999 dan langsung mendapat nota tugas sebagai guru pada SMA Negeri 1 Atambua Kabupaten Belu NTT untuk mengatasi jumlah siswa pengungsi yang membludak akibat korban jajak pendapat di Timor-Timur. Pada Tahun 2000, penulis pulang ke Medan untuk menikah dengan isteri tercinta Delima Christin Rajagukguk, SE. Tuhan mengaruniakan 2 anak perempuan bernama Gracia Monica Silalahi & Anasthasya Silalahi dan 1 anak laki-laki bernama Yehezkiel Silalahi. Pada tahun 2004, penulis dan keluarga pindah ke Pematangsiantar dan mendapat tugas sebagai guru di SMA Negeri 2 Bandar Kabupaten Simalungun. Pada v Universitas Sumatera Utara tahun 2006 sekarang, penulis menjabat sebagai Wakil Kepala Sekolah Urusan Kurikulum pada SMA Negeri 2 Bandar Kabupaten Simalungun. Selama melaksanakan tugas, penulis telah banyak mengikuti Pendidikan dan Pelatihan (Diklat) yang berhubungan dengan peningkatan kompetensi Guru baik pada tingkat kabupaten maupun provinsi. Pada tahun 2008, penulis mendapat beasiswa dari Pemerintah Provinsi Sumatera Utara untuk melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. vi Universitas Sumatera Utara DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 BAB 3 SATU-FAKTORISASI DARI GRAPH LENGKAP DAN PERKEMBANGANNYA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Graph Lengkap dan Graph Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Subgraph dan Spanning Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4 Satu-Faktorisasi dan Graph Lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5 Satu-Faktorisasi K2r , r > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5.1 Strategi Shift and Rotate (S-R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5.2 Strategi Butterfly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5.3 Metode Lain untuk Menghitung Satu-Faktorisasi K2r , r>1 . 13 3.5.4 Metode MIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 vii Universitas Sumatera Utara 3.5.5 Metode RAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.6 Satu-Faktorisasi Bebas k-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 BAB 4 HASIL UTAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1 Satu-faktorisasi dari K2m untuk m = 2r , r ≥ 2 . . . . . . . . . . . 23 4.1.1 Metode Silang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 viii Universitas Sumatera Utara BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri dari himpunan titik-titik berhingga tak kosong V yang disebut verteks dari G dan himpunan garis E yang menghubungkan verteks-verteks yang anggotanya disebut edge dari G dan dinotasikan dengan G(V, E), (Gross dan Yellen, 2006). Suatu edge dari verteks u ke v dinotasikan dengan (u, v). Suatu walk dari u ke v dengan panjang m adalah barisan edge dalam bentuk u = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = v dengan v0 = u dan vm = v. Suatu walk dari u ke v disingkat sebagai uv-walk. Suatu uv−walk dikatakan terbuka bila u 6= v dan dikatakan tertutup bila sebaliknya. Suatu uv − path adalah suatu uv − walk yang tidak mengandung verteks berulang kecuali mungkin u = v. Suatu uv − path tertutup disebut cycle. Graph Lengkap Kn adalah suatu graph dengan n verteks, yang setiap dua verteks berbeda dihubungkan oleh satu edge. Graph lengkap Kn mempunyai edge sebanyak E(Kn ) = 1 n(n 2 − 1) dan setiap verteksnya mempunyai derajat (n−1), (Deo N, 1986). Graph Regular adalah suatu graph yang semua verteksnya berderajat sama. Graph regular yang semua verteksnya berderajat k disebut k − regular. Graph lengkap Kn disebut juga (n − 1) − regular. Suatu graph G1 dikatakan subgraph dari graph G jika semua verteks dan edge dari G1 ada dalam graph G, dan setiap edge dari G1 mempunyai verteks ujung yang sama dengan edge dari graph G. Suatu subgraph G1 yang memuat semua verteks disebut spanning subgraph dari G. Suatu spanning subgraph k − regular dari graph G disebut k − f aktor dari graph G, (Gross dan Yellen, 2006). Satu − f aktor dari suatu graph G adalah suatu spanning subgraph regular berderajat satu. Satu − f aktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan F = {F1, F2, ., Fn} dari edge-disjoint satu-faktor sedemikian hingga E(G) = Sn i=1 E(Fi ). Dengan kata lain, gabungan dua edge-disjoint satu-faktor adalah Universitas Sumatera Utara 1 2 dua-faktor yang terdiri dari cycle-cycle dengan panjang genap, (Gross dan Yellen, 2006). Satu-faktorisasi F = {F1 , F2, ., Fn} dari G dikatakan bebas k-cycle jika gabungan dari dua satu-faktor tidak memuat panjang-panjang cycle dari himpunan S, khususnya jika S = {4, 6, ., k} maka F disebut bebas k-cycle. Dengan perkataan lain, F mempunyai cycle dengan panjang k jika ada dua satu-faktor pada F , (Meszka M, 2009). Penelitian ini menentukan untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan. 1.2 Perumusan Masalah Andaikan graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan. Masalah dalam penelitian ini apa syarat perlu atau syarat cukup dari graph yang demikian. 1.3 Tujuan Penelitian Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah menentukan syarat perlu atau syarat cukup dari graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang satu faktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap. 1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk mencari syarat perlu atau syarat cukup dari graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan dilakukan dengan pendekatan sebagai berikut : Universitas Sumatera Utara 3 1. Mencari bentuk satu-faktorisasi dari suatu graph lengkap 2. Mencari satu atau lebih satu-faktorisasi yang lain dari suatu graph lengkap sedemikian hingga mempunyai mempunyai satu edge persekutuan dengan satu-faktorisasi sebelumnya. 3. Membuat metode yang tepat untuk membentuk satu-faktorisasi 4. Menggabungkan dua satu-faktor dari satu-faktorisasi yang pertama dan kedua yang mempunyai satu edge persekutuan sedemikian hingga bebas kcycle. 5. Menentukan pola dari graph yang telah diperoleh kemudian membuat formulanya dan disusun menjadi syarat perlu atau syarat cukup dari graph tersebut. Universitas Sumatera Utara BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Istilah-istilah baku graph dalam tulisan ini diambil dari Gross dan Yellen (2006). Mendelsohn dan Rosa (1985) menemukan jumlah tepat N(2m) untuk 2m ≤ 14, antara lain N(4) = N(6) = 1, N(8) = 6, N(10) = 396 dengan N adalah semua pasangan berurut dari satu-faktorisasi tak-isomorfik pada graph lengkap K2m dan m adalah banyaknya edge dari graph lengkap. Kemudian Dinitz, et. al. (1994) menemukan untuk N(12) = 526, 915, 620. Oleh karena itu, banyak investigasi (termasuk enumerasi) berkenaan dengan satu-faktorisasi pada K2m yang dianggap layak jika dibatasi suatu subclass yang memenuhi beberapa sifat tambahan. Suatu pertanyaan timbul berkenaan dengan keberadaan dari keseragaman (sempurna) satu-faktorisasi. Satu-faktorisasi dikatakan sempurna jika gabungan dari dua satu-faktor adalah isomorfik dengan cycle Hamilton. Satu-faktorisasi sempurna dari graph lengkap diperkenalkan oleh Kotzig (1964). Kemudian Anderson (1973) menemukan class dari satu-faktorisasi sempurna ketika m prima. Hal yang sama juga ditemukan oleh Bryant, et. al. (2006) ketika 2m − 1 adalah prima. Satu-faktorisasi sempurna sangat jarang ditemukan diantara semua satu-faktorisasi. Pernyataan ini didukung oleh hasil penelitian yang dilakukan oleh Seah (1991) yang menemukan P (2m), yaitu untuk P (4) = P (6) = P (8) = P (10) = 1, P (12) = 5 dengan P adalah pasangan berurut dari satu-faktorisasi sempurna tak-isomorfik. Meszka dan Rosa (2003) melakukan penelitian yang sama dan menemukan P (16) ≥ 88. Faktanya, hanya ada tiga klasifikasi tak berhingga dari satu-faktorisasi dan contoh-contoh yang jarang dari satu-faktorisasi seragam tidak-sempurna. Gopal, et. al. (2007) menemukan metode untuk menghitung satu-faktorisasi dari graph lengkap dengan jumlah verteks merupakan perpangkatan 2. Metode tersebut juga dapat digunakan untuk memperoleh satu-faktorisasi dari graph lengkap dengan jumlah verteks kelipatan 4 atau graph lengkap dengan mn verteks jika satu-faktorisasi dari Km dan satu-faktorisasi dari Kn diketahui. Dinitz, et. al. (2005) menginvestigasi panjang-panjang cycle yang mungkin muncul dari gabungan sebarang dua satu-faktor pada graph lengkap. Dalam penelitian tersebut ditemukan untuk m ≥ 3 dan k genap sedemikian hingga Universitas Sumatera Utara 4 5 4 ≤ k ≤ 2m, satu faktorisasi dari graph lengkap terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika k/2 | 2m − 1 atau k − 1 | 2m − 1. Oleh karena itu, diperoleh beberapa klasifikasi tak berhingga dari satu-faktorisasi bebas k-cycle. Selanjutnya Meszka (2009) menentukan untuk setiap m ≥ 3 dan untuk setiap k ≥ 4 dengan k 6= 2m, maka terdapat satu-faktorisasi dari graph lengkap K2m sedemikian hingga sebarang dua satu-faktor dari K2m bebas dari k−cycle. Untuk 2m 6= p + 1, p prima atau 2m 6≡ 6, 12, 18(mod24), maka satu-faktorisasi dari K2m bebas 2m−cycle. Universitas Sumatera Utara BAB 3 SATU-FAKTORISASI DARI GRAPH LENGKAP DAN PERKEMBANGANNYA Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan dan mendukung untuk satu-faktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap. Materi tersebut akan dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun materi-materi tersebut mencakup pengertian graph, contoh graph, pengertian graph lengkap, pengertian satu-faktorisasi, beberapa metode untuk membangun satu-faktorisasi dari graph lengkap, dan fakta-fakta tentang satufaktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap. 3.1 Graph Secara sederhana suatu graph adalah kumpulan titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Secara matematis suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri atas dua himpunan, yakni : Himpunan berhingga tak kosong V . Unsur dari V disebut verteks dari G. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut dari unsur-unsur di V . Unsur dari E disebut edge dari G. Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan dengan G(V , E). " " 5 < " 6 < " " 5 ! " < " 5 1 6 < " ! " 5 " '"21 5 3 + 53 " " 5 " -69 5 " . - ( ' " + 53 '"21 5 46 " " 5 ( < " " 3 5 " 5 6 /6 + 07 4= 5 " -6% 354 " < " 3 16 6 " / " ! 5 " " # 5 6 < " " 354 96: 4= . 3 − .4 - -69 . . 3 − .4 = 3(43( − .4 = % - " " 6 " ( .- 5 ! 4 . " 3$ 4 J 5 " < " " " " < " 3 $ . . 4'4 1 3 3 " . - - 5 < " 2 5 " ! ≥$ " < " −.6 1 < " $ "5 = ! 5 "5 " ) ! " 5 5 # 46 4 6 7 5 " 5 " " 5 2 − . ' − - − ( . − ( < " ! 5 "5 6 6 ( 5 ) J & −. " 5 " -6& − 666 & $ ( . ' # = $ . - 666 6 / 4 ' ! " ! .$" - " 3 . # +. 4 − 666 − 6 ≠ $ − $ " < " " / 5 " − − ) ) − − - − - − . − ) − ' ' 6 0 . . - - ' ( ) ) % 9 ( ' /6 + 0 ; .1 5 , 0 + 53 '+3!6!"2 , " " * -!62+ 53 " " 6 */5.'/'" " * " + 53 + 53 " < " ! < " ! * " " .' 5 " -68 5 " " " 5 " . " " " - ' ! - 5 - 5 " " " 3 46 0 . 0 . ( - . ( - ' " " ' " 4 ! 5 " 6 < " 2+ 53 " ! " " " 1 6 / " " " 5 ! 1 '+3!6!"26 " 5 1 5 ! " 5 5 2 5 - " " " ( 2+ 53 '+3!6!"2 3 6 . + 53 , " !62+ 53 < " " 5 0 ' /6 + 0< " - " 5 " " 5 5 " -6.$6 5 " ! 5 1*/5*"'"6 5 " " 5 ! ! " 1 1 1 6 1 .( - 3 4 . " 5 ' . . 1 1 ( 354 " 5 - 1 1 ) - ' /6 + 0 9 : + 53 '+3!6!"2 96: * " < " " 3 3 -4 -4 6 " . . -4 ∪ J 3 3 . -4 ∪ JH . 3 3 -4 6 3 .4 =H . ' ( - < " - 5 .4 ∪ 5 " -6. 1 '+3!6!"2 5 < " 3 + 53 . " . ∪ -4 5 - ' )G ∪H . " J 3 .4 ∪ #1 1 " )G 3 ( - 1 - (G J ' H . ∪ . 3 - =H ' 3 .4 - " ( . " - (G ' )G6 ) ) . ( - . ( ' - . . ' " */5.'/'" < " ! < " ( - - /6 + 0 3 4= 3 4 .4 -4 5 -4 3 ' . 6!"2 " " ∪ - + 53 1 < " " 6 ! .) < " 6 ! ! " " " 1 " 3 4= 3 4− 3 4 " @1 1 " < " 1 3 ! 4= . 3 − .4 6 - 5 " -6.-6 - . . ' ) 7 0 ' ( /6 + 0 + 53 , " " 5 " 1 .6 / " -6 " *3*" 9 ) " 5 " 5 " 5 ! 0 " ∪ " " 46 3 " 46 1 1 ( # 1 1 1 1 " 5 5 " 3 ( 6 " 5 5 5 " : ! " */5.'/'""( " " " ( 1 5 " 1 #1 1 5 " " 1 1 5 " -6.'6 " ! " 6 " ! 5 .% 3 4 354 /6 + 0 " *3*" , " 0 3 4 1 1 8< " 354 ! '*+'/ ( 1 0 0 " 1 1 1 ! " < " 5 6 !1 $ = 5 5 2 ! " 5 6 1 1 " " " < " 6 " 5 "5 < " 5 " ! ! 1 " 1" 5 '*+'/ -6'6.6 5 5 "5 ! 5 " ( " < " ! 6 ф 0 0 / < " " & " 5 "5 " 1 1 6 ! " 6 .9 !1 $ = " " 5 5 " 6 ! " " ! " 5 5 3 &4 ! ! ! ( " 6 / " 5 2 '*+'/ " &6 " ! " ( < " 5 "5 " < " < " " 5 ( 1 1 6 ф 0 0 1 1 < " ! −. " 6 5 " 3 !1 $ = # " =.- ' ( 5 2 1" ! < " 5 # " # 6 " 5 < " 6 # 1" ! . −- 5 " < " " 1 - 6 . 1 5 " -6.( 5 " ! 6 ! −. ! " 6 1 ! − " 6/ 6 1 ; - D # " 5 1 1 1 " 6 " " 1 1 -6'6. 5 # 5 " 5 " -6.' 35446 6 1 1 < " 1" " " − ! < " " 5 < " ф .& - . # /6 + 0 '*+'/ *3*" ,'"2 " '+ '1- 0 0 " " 5 < " −. " 5 1 1 6 !1 $ = " " 5 5 2 ( ( < " ! # " # 5 "5 5 1 ! 1 L ! ( 5 #1 1 " −. 6 ## 5 2 " 5 " < " " −. ! # 5 5 ( < " " " " 5 1 " " 6 ф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∈ G 6 , " " 5 1 " < " 3 " 6, " " " ,$ /' '+ " # 3 4= ! 3 ∈ 3 4 H 3 4 ∈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∈ GJ - # 3 4= 3 % AH 3 4 ∈ G J ' - ) ( /6 + 0 '" + . , +$ " 5 " -6-.4 " " " 1 + 53 '/6 + "2 3% 9 4 " " 5 " 3% 9 4 3 " " 5 " 3% 9 4 -% 5 2 # 1 5 " -6--4 #≠ = . - 666 % ! 3% 9 4 3 3 3% 944 = < " " # # " 5 " < " # 3% 9 4 #≠ = . - 666 % " 6 3% 9 4 @1 1 5 " ! 5 " 5 " 5 " 5 " 39 &4 -6-(6 0 . - % ' 9 ) ( /6 + 0 < " 5 " -6-( # " 5 -6- 5 " 39 &4 + 53 '/6 + "2 " < " 6 " " " 5 " " " 39 &4 5 " 39 &4 -9 6'. 0 1-'" +$-$ - , " '+ '1- 1-'" +$1 , +$ + 53 '/6 + "2 , " " , " 3 39 &4 J " . 3 .4 J ' 9 - 3 -4J ' ( ' 3 '4 J ' 9 ( 3 (4J ' ) 3 )4 J - . - 9 % 3 %4J - . ' ( 9 3 94J ' . ' ( - 9 39 &4 . % ' 9 ) ( /6 + 0 1-'" +$1 $2+ 53 , +$ + 53 '/6 + "2 39 &4 39 &4 -& " + 3 4 J H 3 4 ∈ G J % ) /6 + 0 '" + . , +$ " 5 " -6-(4 " " 5 2 # 5 " -6-(4 #≠ " 1 #≠ ! " 1 " 5 " 39 &4 3 " " 5 " 39 &4 39 &4 5 " -6-)4 " < " 39 &4 " 39 &4 3 3 39 &44 = = . - 666 9 + 53 '/6 + "2 " < " 5 " 39 &4 3 # # 3 # = . - 666 9 5 " -6-)46 0 1-'" +$1 $2+ 53 , +$ * + 53 $" "2 " ! < " $ " # = . - ' 666 $8 3 < " " 4 =H . - . 666 - 666 3 4 =H . - 666 −. G < " −. −. G $ " . = $ . −.6 " 0 < " " # . #=$ - # = . - ' 666 5 5 " 6 3 #4 = " 7 " # = . - ' 666 " < " " 3 # 4 J -6 " < " −. ! 3 $ 4 J .6 ! ! # 5 2 < " $ < " $ " < " < " −. 5 " " - " 5 " " . " " < " " " 6 / < " # '$ 0 , " 1$6 " " 5 #=$ , " " " < " 7 '6. " ! " " $8 3 < " " ! " " 3 " 3 44 = H " $ " < " 3 #4 "1 7 5 " 6 3 . −. 6 - ! #≠ 6 −. - 666 = . - ' 666 4 < " " −. G −. 44 = # # " 5 = . - ' 666 '6. < " = . - ' 666 " ! < " " " −. " < " " −. < " " . $ # " $ 3 " " < " < " < " #≠ −. = . - ' 666 " 0 −. < " −. = . - ' 666 = . - ' 666 " < " " # = . - ' 666 6 = # # " = . - ' 666 5 " #≠ " " ! ! $ # = . - ' 666 # = . - ' 666 # < " $ # 6 −. −. $ < " #≠ 6 '. 5 " #1 1 ) " 5 " '6- 3 " " " " 5 " '6.46 )0 . ( $ - ' /6 + 0 < " # " ) " ) 5 " < " "1 5 " '6-6 " " " ! " + 53 $" "2 " 5 # # = $ . - 666 ( " < " < " 5 " " ) " " " < " '6. 5 < " 3 )4 " ! ! 5 " ) '- 6'. 0 1-'" +$-$ - , " '+ '11-'" +$1 , +$ $" "2 , " + 53 ) , " " 3 )4 $ " $ 3 $4J . . 3 .4 J - - ' ( - 3 -4J - . ' ( ' 3 '4 J - . - ( ( 3 (4J - . - ' . - ' ( . ( ' - /6 + 0 1-'" +$1 $2+ 53 , +$ + 53 $" "2 " 5 5 " '6" @1 1 "1 5 2 3 5 " " " " )4 3 5 " $ ) /6 + 0 ' ( + 53 $" "2 " )4 ) = 3 )4 6 5 " '6'6 % - . ) % '' < " # " % " 5 " ! % " " < " < " 5 " " < " "1 " 5 " " " " < " '6- 5 < " # = $ . - 666 ) # " " 3 %4 " ! ! % 5 " 5 " '6(6 6'. 0 1-'" +$-$ - , " '+ '11-'" +$1 , +$ , " + 53 $" "2 , " " % 3 %4 $ " $ . . - ' ( . - - ' ( ) - - . ' ( ) ' - . - ( ) ( - . - ' ) ) - . - ' ( ) . - ) ' ∪ C4 adalah super edge magic. Wallis mengajukan untuk nilai n yang bagaimana agar K2 ∪ Cn adalah super edge magic. Apakah untuk nilai n yang genap atau ganjil. Teorema berikut akan menunjukkan Sumatera Utara genap (n 6= 10). bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge magic jika n adalah Universitas 23 Teorema 3.2.1 jika n adalah genap (n 6= 10) maka K2 ∪ Cn adalah super edge magic graf. Bukti. Andaikan v0, v1, . . . , vn−1 , v0 adalah vertex dari Cn serta u dan w adalah vertex dari K2 . Kemudian andaikan n = 2m untuk m bilangan bulat positif. V (G) = {v0, v1, . . . , vn−1 , u, w} dan E(G) = {vi vi+1 |0 ≤ i ≤ n − 2} ∪ {vn−1 v0} ∪ {uw}. Sehingga diperoleh pelabelan λ : V ∪ E → {1, 2, . . . , v + 3} sebagai berikut : ambil n ≥ 6: Case m ≡ 0( mod 6).    m + 2 + i/2     λ(vi ) = (i + 1)/2       (3m + 8)/2 Untuk m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka    (i + 3)/2         m + 2 + i/2        (i + 5)/2 λ(vi ) =    m + 3 + i/2        (i + 1)/2        m + 4 + i/2 untuk i = 0, 2, ., m − 2 untuk i = 1, 3, ., m − 1 untuk i = m untuk i ≡ 1 (mod 6) untuk i ≡ 2 (mod 6) untuk i ≡ 3 (mod 6) untuk i ≡ 4 (mod 6) untuk i ≡ 5 (mod 6) untuk i ≡ 0 (mod 6) λ(u) = (m + 2)/2 λ(w) = (3m + 4)/2 Untuk label edgenya dapat diperoleh dengan :    4m − i + 3 untuk 0 6 i 6 m − 2 λ(vi vi+1 ) =   3m + 2 untuk i = m − 1 Universitas Sumatera Utara 24 Gambar 3.3 : Graf untuk n = 12 Untuk m ≤ i ≤ n − 2, maka    4m + 2 − i     λ(vi vi+1 ) = 4m + 1 − i       4m − i jika i ≡ 1 (mod 3) jika i ≡ 2 (mod 3) jika i ≡ 2 (mod 3) λ(v0vn−1 ) = 3m + 4 λ(uw) = 3m + 3 Gambar 3.3 sebagai ilustrasi. Dapat dilihat bahwa λ adalah super edge magic dari G dengan magic number 5m + 6. Case m ≡ 3( mod 6)    m + 2 + i/2     λ(vi ) = (i + 1)/2       (m + 5)/2 untuk i = 0, 2, ., m − 1 untuk i = 1, 3, ., m − 2 untuk i = m Universitas Sumatera Utara 25 Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka    (i + 3)/2         m + 2 + i/2        (i + 5)/2 λ(vi ) =    m + 3 + i/2        (i + 1)/2        m + 4 + i/2 untuk i ≡ 1 (mod 6) untuk i ≡ 2 (mod 6) untuk i ≡ 3 (mod 6) untuk i ≡ 4 (mod 6) untuk i ≡ 5 (mod 6) untuk i ≡ 0 (mod 6) m+1 2 3m + 5 λ(w) = 2 λ(u) = λ(vi vi+1 ) =    4m − i + 3   3m + 2 untuk 0 6 i 6 m − 2 untuk i = m − 1 Gambar 3.4 : Graf untuk n = 18 Jika m ≤ i ≤ n − 2, maka    4m + 2 − i     λ(vi vi+1 ) = 4m + 1 − i       4m − i jika i ≡ 1 (mod 3) jika i ≡ 2 (mod 3) jika i ≡ 0 (mod 3) λ(v0 vn−1 ) = 3m + 4 λ(uw) = 3m + 3 Universitas Sumatera Utara 26 Dari gambar 3.4 dilihat bahwa λ adalah super edge magic dari G dengan magic number 5m + 6. Case m ≡ 1( mod 6), maka    m + 2 + i/2     λ(vi ) = (i + 1)/2       (m + 5)/2 Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka    (i + 1)/2         m + 4 + i/2        (i + 3)/2     λ(vi ) = m + 2 + i/2       (i + 5)/2         m + 3 + i/2        (m + 3)/2 jika i = 0, 1, ., m − 1 jika i = 1, 3, ., m − 2 jika i = m jika i ≡ 1 (mod 6) jika i ≡ 2 (mod 6) jika i ≡ 3 (mod 6) jika i ≡ 4 (mod 6) jika i ≡ 5 (mod 6) jika i ≡ 0 (mod 6) jika i ≡ m + 2 (m + 1) 2 (3m + 5) λ(w) = 2 λ(u) =    4m − i + 3     λ(vi vi+1 ) = 3m + 2       2m + i − 1 Jika m + 3 ≤ i ≤ n − 2, maka    4m + 1 − i     λ(vi vi+1 ) = 4m − i       4m + 2 − i jika 0 6 i 6 m − 2 jika i = m − 1 jika m 6 i 6 m + 2 jika i ≡ 1 ( mod 3) jika i ≡ 2 ( mod 3) jika i ≡ 0 ( mod 3) λ(v0vn−1 ) = 3m + 4 λ(uw) = 3m + 3 Universitas Sumatera Utara 27 Gambar 3.5 : Graf untuk n = 14 Dari gambar 3.5 dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan super edge magic dari graf G dengan magic number 5m + 6. Case m ≡ 4( mod 6), maka    m + 2 + i/2     λ(vi ) = (i + 2)/2       3m/2 + 4 Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka    (i + 1)/2         m + 4 + i/2        (i + 3)/2     λ(vi ) = m + 2 + i/2       (i + 5)/2         m + 3 + i/2        3m/2 + 3 Jika m + 3 ≤ i ≤ n − 2, maka    4m + 1 − i     λ(vi vi+1 ) = 4m − i       4m + 2 − i jika i = 0, 2, ., m − 2 jika i = 1, 3, ., m − 2 jika i = m jika i ≡ 1 (mod 6) jika i ≡ 2 (mod 6) jika i ≡ 3 (mod 6) jika i ≡ 4 (mod 6) jika i ≡ 5 (mod 6) jika i ≡ 0 (mod 6) jika i ≡ m + 2 jika i ≡ 1 ( mod 3) jika i ≡ 2 ( mod 3) Universitas jika i ≡ 0 ( mod 3)Sumatera Utara 28 Gambar 3.6 : Graf untuk n = 20 λ(v0vn−1 ) = 3m + 4 λ(uw) = 3m + 3 Dengan melihat gambar 3.6 maka dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan super edge magic dari graf G edge magic number 5m + 6. Case m ≡ 2( mod 6) λ(vi ) =    m + 2 + i/2         (i + 1)/2        3m/2 + 4    (2m − i + 7)/2        3m/2 + 3        2m − i/2 + 8 Jika i = m + 5, m + 7 ≤ i ≤ n − 1, maka    (i + 5)/2         m + 3 + i/2        (i + 1)/2 λ(vi ) =    m + 4 + i/2        (i + 3)/2        m + 2 + i/2 jika i = 0, 2, ., m − 2 jika i = 1, 3, ., m − 1 jika i = m jika i = m + 1, m + 3 jika i = m + 2 jika i = m + 4, m + 6 jika i ≡ 1 (mod 6) jika i ≡ 2 (mod 6) jika i ≡ 3 (mod 6) jika i ≡ 4 (mod 6) jika i ≡ 5 (mod 6) jika i ≡ 0Universitas (mod 6) Sumatera Utara 29 (m + 2) 2 (3m + 4) λ(w) = 2 λ(u) = Gambar 3.7 : Graf untuk n = 16    4m − i + 3        3m + 2     λ(vi vi+1 ) = 2m + i − 1       3m − 2        2m + i − 9 Jika m + 7 ≤ i ≤ n − 2, maka    4m − i     λ(vi vi+1 ) = 4m + 2 − i       4m + 1 − i jika 0 6 i 6 m − 2 jika i = m − 1 jika m 6 i 6 m + 2 jika i = m + 3 jika m + 4 6 i 6 m + 6 jika i ≡ 1 ( mod 3) jika i ≡ 2 ( mod 3) jika i ≡ 0 ( mod 3) Universitas Sumatera Utara 30 Case m ≡ 5( mod 6) λ(vi ) =    m + 2 + i/2         (i + 1)/2        (m + 5)/2 jika i = 0, 2, ., m − 1 jika i = 1, 3, ., m − 2 jika i = m    (4m − i + 10)/2 jika i = m + 1, m + 3        (m + 3)/2 jika i = m + 2        (2m − i + 13)/2 jika i = m + 4, m + 6 Jika i = m + 5, m + 7 ≤ i ≤ n − 1, maka    (i + 5)/2         m + 3 + i/2        (i + 1)/2 λ(vi ) =    m + 4 + i/2        (i + 3)/2        m + 2 + i/2 jika i ≡ 1 (mod 6) jika i ≡ 2 (mod 6) jika i ≡ 3 (mod 6) jika i ≡ 4 (mod 6) jika i ≡ 5 (mod 6) jika i ≡ 0 (mod 6) m+1 2 3m + 5 λ(w) = 2 λ(u) = Gambar 3.8 : Graf untuk n = 22 Universitas Sumatera Utara 31    4m − i + 3        3m + 2     λ(vi vi+1 ) = 2m + i − 1       3m − 2        2m + i − 9 Jika m + 7 ≤ i ≤ n − 2, maka     4m − i    λ(vi vi+1 ) = 4m + 2 − i       4m + 1 − i jika 0 6 i 6 m − 2 jika i = m − 1 jika m 6 i 6 m + 2 jika i = m + 3 jika m + 4 6 i 6 m + 6 jika i ≡ 1 ( mod 3) jika i ≡ 2 ( mod 3) jika i ≡ 0 ( mod 3) λ(v0vn−1 ) = 3m + 4 λ(uw) = 3m + 3 Dengan melihat gambar 3.8 dapat ditunjukkan bahwa λ adalah pelabelan super edge magic dengan magic number 5m + 6. Dengan demikian graf G adalah super edge magic.Dari case yang sudah dikerjakan maka dengan demikian teorema 3.2 terbukti.  Universitas Sumatera Utara BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Super edge magic graf dibentuk melalui pelabelan super edge magic. Dengan pembuktian yang sudah diperoleh maka graf G = (n, 2) kite adalah super edge magic graph, begitu pula dengan gabungan graf antara c komplit graf K2 dan cycle graf Cn (K2 ∪ Cn ) adalah super edge magic graf, karena berlaku pelabelan super edge magic. 4.2 Saran Dalam tulisan ini dibahas masalah pelabelan super edge magic untuk mengetahui apakah graph tersebut adalah super edge magic graf . Bagi para pembaca disarankan membahas tentang pelabelan yang lebih luas seperti persoalan pelabelan anti super edge magic. Universitas Sumatera Utara 33 DAFTAR PUSTAKA Adidarma Sepang, et al. 2008. Diakses tanggal 26 Februari 2010. pukul 19.34. Super Edge Magic Total Labeling on Unicyclic Graphs. Journal.ui.ac.id/?hal=detailArtikel&q=366 Anton Kotzig dan Alexander Rosa. 1970. Diakses tanggal 1 Maret 2010. pukul 16.23. Magic Valuations of finite Graphs. www.cms.math.ca/cmb/v13/p451 Deo Narsingh.1980. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. New Delhi: Prentice Hall of India Privated Limited. Kristina Wijaya dan Edy Tri Baskoro. 2008. Diakses tanggal 25 Februari 2010, pukul 00.03. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Hasilkali Dua Graf. personal.fmipa.itb.ac.id Krishnappa, H.K, et al. 2000. Diakses tanggal 20 September 2009, pukul 07.51. Vertex Magic Total Labellings of Complete Graphs. Cstar.iiit.ac.in/ kkishore/vmt1-iwogl.pdf H.Enomoto,et al.1998.Diakses tanggal 1 maret 2010.pukul 16.25. Induced graph theorem Magic valuation.www.cms.math.ca Sin-Min Lee,et al.2007.diakses tanggal 1 maret 2010.pukul 16.30. on the edgemagic indices of (v, v + 1).www.cms.math.ca Gallian Joseph A.1997.Diakses tanggal 20 Februari 2010,pukul 10.30. A dynamic survey of Graph labelling.jgallian@d.umn.edu Nicholas cavenagh,et al.2006.Diakses tanggal 24 Februari 2010,pukul 21.37. Edge- magic group labelling of countable graphs.maths.unsw.edu.au Universitas Sumatera Utara
Satu-Faktorisasi Bebas K-Cycle Dari Graph Lengkap Satu Faktorisasi Bebas K Cycle Dari Graph Lengkap
Aktifitas terbaru
Penulis
Dokumen yang terkait
Tags

Graph Lengkap

Graph Bipartit Lengkap

Graph Pattern Kadar Asam Lemak Bebas

Arus Kas Dari Aktivitas Operasi

Arus Kas Dari Aktivitas Investasi

Faktorisasi Bebas Kcycle Primitive Graph

Sampel Lengkap

Odd Cycle K Pneumonia

Graph Coloring

Promosi K Kalium K

Directed Graph

Graph Bintang

K Nowledge Kunjungan K
Upload teratas

Satu-Faktorisasi Bebas K-Cycle Dari Graph Lengkap

Gratis