PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PENJADWALAN PENERBANGAN PADA BANDAR UDARA SUPADIO

Gratis

0
0
124
9 months ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PENJADWALAN PENERBANGAN PADA BANDAR UDARA SUPADIO MAKALAH Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh : Margaretha Agnes Oktaviani 103114008 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014

(2) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI INTEGER LINEAR PROGRAMMING TO SOLVE AIRCRAFT SCHEDULING PROBLEM IN SUPADIO AIRPORT PAPER Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program By : Margaretha Agnes Oktaviani 103114008 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2014

(3) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iii

(4) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iv

(5) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI v

(6) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI vi

(7) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MOTTO DAN PERSEMBAHAN If God had wanted us to fly, wouldn't He have given us wings ? Ku persembahkan tugas akhir ku ini untuk : Tuhan Yesus yang sangat mencintaiku dan kuncintai, Bunda Maria yang selalu menjadi penolong dan penenangku, Bapak dan Ibu yang sangat kusayangi dan kucintai Mbak Ajeng dan Dek Anggit yang sangat kusayangi Dan untuk semua Sahabat terbaikku vii

(8) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRAK Peran utama Air Traffic Controller ialah menjaga kelancaran lalu lintas udara. Salah satu cara untuk menjaga kelancaran lalu lintas udara ialah dengan mengatur pendaratan atau lepas landas suatu pesawat. Pada tugas akhir ini akan digunakan program linear bilangan bulat dan program linear bilangan bulat campuran untuk menyelesaikan masalah pendaratan. Untuk masalah pendaratan yang melibatkan lebih dari satu landasan pacu, perhitungan dilanjutkan dengan menggunakan model partisi himpunan. Pada bagian akhir tugas akhir ini, akan dilakukan penerapan dari program linear bilangan bulat pada data real, yakni data penerbangan Bandar Udara Supadio Pontianak dari tanggal 20 Januri 2014 – 26 Januari 2014. Kata Kunci : ATC, program linear bilangan bulat, model partisi himpunan, program linear bilangan bulat campuran. viii

(9) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRACT The main role of Air Traffic Controller is to maintain air traffic running smooth. One way to control air traffic running smooth is done by regulate the landing or taking off an aircraft. In this paper, it will be used an integer linear programming and a mixed integer linear programming to solve the aircraft scheduling problem. For aircraft scheduling problem involving more than one runway, the aircraft scheduling problem is formulated as a set partitioning problem. In this paper also present the implementation of integer linear programming in Supadio Airport. The data used are data in Supadio Airport Pontianak, from January 20, 2014 until January 26, 2014. Keywords : ATC, integer linear programming, set partitioning model, mixed integer linear programming. ix

(10) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis haturkan kepada Yesus Kristus dan Bunda Maria atas berkatNya yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini tepat waktu. Kesulitan dan hambatan yang penulis alami selama penulisan tugas akhir ini, penulis percayai sebagai suatu proses untuk membuat penulis menjadi lebih kuat, tidak gampang menyerah dan selalu berserah kepadaNya dalam menjalani hidup ini. Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima atas segala bimbingan, dorongan, semangat, sehingga tugas akhir ini terselesaikan dengan baik, kepada : 1. Bapak Johanes Eka Priyatma, M.Sc., Ph.D., selaku Rektor Universitas Sanata Dharma. 2. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma. 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, sekaligus menjadi dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran, kesungguhan hati serta memberikan banyak ide serta masukan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 4. Bapak Y. G . Hartono Ph.D., yang telah memberikan ide dan masukan untuk menulis tugas akhir ini. x

(11) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 5. Seluruh Dosen Program Studi Matematika serta karyawan Fakultas Sains dan Teknologi. Terima kasih atas bimbingan, doa dan pelajaran yang diberikan selama berkuliah di Universitas Sanata Dharma. 6. Bapak Fajar selaku Distrik Manager PPNPI Distrik Pontianak yang telah mengizinkan penulis untuk mengambil data mengenai proses pendaratan dan lepas landas suatu pesawat pada Bandar Udara Supadio. 7. Om Yasid dan Mas Rahmat yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 8. Keluargaku yang tercinta, my big boss, Yohanes Untung Sadjoko dan Ibu Murwani Sulistiati yang senantiasa memberi dukungan, semangat dan mendoakan anaknya yang selalu bikin panik ini. Terima kasih atas kesabaran dan kasih sayang dalam mendidik anak-anaknya. Kakak penulis, Bertha Ajeng Aryati dan adik penulis Albertus Anggito Pramudito, terima kasih atas doa dan dukungannya selama ini. 9. Keluarga Besar Mbah Citro (kakung dan putri) dan Mbah Prapto (kakung dan putri) dan keluarga-keluarga yang lain, terima kasih atas doa dan dukungannya. 10. Sahabat-sahabat penulis di Program Studi Matematika, Dini, Leny, Sari, Marsel, Yosi, Selly, Astri, Ayu, Arga, Tika, Ratri, Pandu, Roy, Yohan, yang selalu setia mendengar keluh kesah, menemani dan memberi semangat untuk penulis yang sangat berarti. 11. Keluarga Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas segala dukungan dan bantuannya kepada penulis. xi

(12) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 12. Sahabat terbaik, Ellies yang setia mendengar keluh kesah dan selalu membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini, 13. Teman-teman sekaligus keluarga penulis, Keluarga Besar Bu Marno Gerbang Tengah : Mbak Niken, Dea, Mela, terima kasih atas semangat, dukungan, doa, serta kebersamaannya. Banyak suka dan duka telah kita lewati bersama selama ini. 14. Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Terima kasih banyak atas semua bantuannya. Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini memiliki berbagai kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca. Semoga tugas akhir ini dapat menjadi referensi bagi rekan-rekan dalam mengembangkan ilmu pengetahuan. Yogyakarta, 19 Juli 2014 Penulis xii

(13) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI COVER .................................................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ iv LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH……………………v MOTTO DAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vi ABSTRAK ........................................................................................................... viii ABSTRACT ........................................................................................................... ix KATA PENGANTAR ............................................................................................ x DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii BAB I : PENDAHULUAN ..................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 4 C. Batasan Masalah........................................................................................... 4 D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 4 E. Metode Penulisan ......................................................................................... 5 F. Manfaat penulisan ........................................................................................ 5 G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 5 BAB II : PROGRAM LINEAR .............................................................................. 7 A. Matriks dan Operasi Baris Elementer .......................................................... 7 B. Program Linear........................................................................................... 12 C. Metode Simpleks........................................................................................ 18 D. Metode Pencabangan dan Pembatasan....................................................... 29 BAB III : MASALAH PENDARATAN PESAWAT ........................................... 41 A. Perumusan Masalah Pendaratan Pesawat Dengan Program Linear ........... 44 B. Model Partisi himpunan ............................................................................. 62 C. Program Linear Bilangan Bulat Campuran ................................................ 71 xiii

(14) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV : APLIKASI PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DALAM PENJADWALAN PENERBANGAN PADA BANDAR UDARA SUPADIO ............................................................................................. 81 BAB V : PENUTUP .......................................................................................... 107 A. KESIMPULAN ........................................................................................ 107 B. SARAN .................................................................................................... 108 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 109 xiv

(15) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pemandu lalu lintas udara atau yang lebih dikenal dengan Air Traffic Controller adalah suatu lembaga yang berjasa dalam menyediakan layanan pengatur lalu–lintas udara. Air Traffic Controller (ATC) bertugas untuk mencegah pesawat terlalu berdekatan satu sama lain dan menghindarkan pesawat dari tabrakan. Tugas lain dari ATC ialah mengatur kelancaran lalu lintas udara, membantu pilot dalam menangani keadaan darurat, dan memberikan informasi yang dibutuhkan pilot, seperti informasi cuaca, informasi lalu lintas udara, navigasi dan sebagainya. ATC adalah rekan terdekat pilot dalam menerbangkan pesawat. Ini dikarenakan segala aktivitas yang akan dilakukan oleh pilot harus mendapat persetujuan dari ATC, yang nantinya ATC akan memberikan informasi, instruksi dan izin kepada pilot sehingga tercapai tujuan keselamatan penerbangan. Semua komunikasi yang dilakukan oleh ATC dan pilot haruslah menggunakan peralatan yang sesuai dan memenuhi aturan. Adapun aturan-aturan yang terkait dengan keselamatan penerbangan diatur Penerbangan Sipil (PKPS). pada dokumen Peraturan Keselamatan

(16) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Peraturan Keselamatan Penerbangan Sipil juga mengatur tentang layanan lalu lintas udara yang diberikan oleh ATC. Adapun pelayanan lalu lintas udara yang diberikan oleh ATC sesuai dengan PKPS terdiri dari 3 layanan, yakni aerodrome control service, approach control service, dan area control service. Aerodrome control service memberikan layanan lalu lintas kepada pilot yang sedang berada di area bandar udara dan sekitarnya, seperti layanan lepas landas (take off), pendaratan (landing), perjalanan pesawat dari/menuju apron (taxiing). Approach control service adalah layanan yang diberikan saat pesawat berada di udara, baik yang baru saja melakukan penerbangan atau yang akan melakukan pendaratan. Area control services adalah layanan yang diberikan saat penerbangan melakukan penjelajahan, teruma penjelajahan yang terkontrol. Pada tulisan ini akan dipaparkan mengenai masalah terkait aerodrome control service, khususnya mengenai pendaratan pesawat. Pendaratan dilakukan pada waktu yang ditentukan, dibatasi oleh waktu terawal dan waktu paling lambat untuk mendarat. Waktu terawal menunjukkan waktu tercepat suau pesawat dapat melakukan pendaratan, yakni jika pesawat melakukan penerbangan dengan kecepatan penuh. Begitupula dengan waktu terlama menunjukkan waktu paling lambat suatu pesawat diperbolehkan melakukan pendaratan, jika pesawat terbang dengan kecepatan standar. Hal lain yang harus diperhatikan adalah mengenai waktu yang dibutuhkan pesawat-pesawat dan petugas-petugas untuk mempersiapkan proses pendaratan dalam satu waktu. Perlu diketahui bahwa setiap pesawat membutuhkan waktu yang berbeda-beda untuk melakukan pendaratan. Sedikit saja waktu yang tidak 2

(17) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI sesuai, akan mempengaruhi penjadwalan pendaratan pesawat berikutnya, karena penjadwalan ini sangat mempengaruhi satu sama lain. Terlebih jika pada bandar udara tersebut memiliki tingkat kesibukan yang sangat tinggi. Pada tugas akhir ini, akan dibahas mengenai layanan ATC tentang aerodrom control service di Bandar Udara Supadio Pontianak yang dikhususkan pada penjadwalan waktu pendaratan suatu pesawat agar tidak terjadi ‘tabrakan’ waktu. Penjadwalan waktu pendaratan pesawat ini harus diperhatikan dengan baik, karena proses pendaratan tidak dapat dilakukan pada satu waktu yang bersamaan, mengingat Bandar Udara Supadio hanya memiliki satu landasan pacu. Konsep yang digunakan dalam melakukan penjadwalan ini adalah meminimumkan total deviasi waktu dari waktu mendarat yang ditargetkan untuk setiap pesawat. Adapun deviasi waktu disini ialah penyimpangan waktu pendaratan pesawat dari target waktu yang telah ditentukan. Dimisalkan suatu pesawat A memiliki target waktu pendaratan pada pukul 12.00, namun pada kenyataannya pesawat mendarat pada pukul 12.15. ini berarti deviasi waktu pendaratan pesawat terhadap taget waktunya ialah 15 menit. Berdasarkan kendala-kendala umum yang terdapat pada suatu proses penjadwalan penerbangan, maka dalam tugas akhir ini akan dilakukan penjadwalan penerbangan pada Bandar Udara Supadio Pontianak sebagai masalah program linear bilangan bulat. 3

(18) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI B. Rumusan Masalah a. Bagaimana merumuskan masalah pendaratan pesawat dengan program linear bilangan bulat ? b. Bagaimana menyelesaikan masalah pendaratan pesawat dengan menggunakan model partisi himpunan ? c. Bagaimana merumuskan masalah pendaratan pesawat dengan program linear bilangan bulat campuran ? d. Bagaimana menentukan penjadwalan dalam proses pendaratan dan lepas landas pada Bandar Udara Supadio Pontianak dengan metode program linear bilangan bulat? C. Batasan Masalah a. Model yang digunakan adalah model statis, yakni tidak adanya tambahan pesawat dalam keadaan darurat (penjadwalan khusus untuk penerbangan yang sudah terjadwal). b. Keterlambatan pesawat (delay) yang terjadi masih dalam interval waktu yang diperbolehkan. D. Tujuan Penulisan a. Memahami bagaimana mencari penyelesaian dari permasalahan penjadwalan penerbangan dengan menggunakan program linear bilangan bulat. 4

(19) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI b. Menentukan penjadwalan penerbangan dengan menggunakan program linear bilangan bulat. E. Metode Penulisan Metode penulisan dilakukan dengan studi pustaka dan studi kasus, dengan mengambil data waktu penerbangan pada Bandar Udara Supadio Pontianak. F. Manfaat penulisan a. Dapat mengaplikasikan program linear bilangan bulat untuk masalah penjadwalan penerbangan. b. Membantu berbagai pihak dalam menentukan penjadwalan yang salah satunya menggunakan program linear bilangan bulat. G. Sistematika Penulisan I. Bab 1 : Pendahuluan a. Latar Belakang b. Batasan Masalah c. Rumusan Masalah d. Tujuan Penulisan e. Metode Penulisan f. Manfaat Penulisan g. Sistematika Penulisan 5

(20) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI II. Bab II : Dasar Teori a. Matriks dan Operasi Baris Elementer b. Program Linear c. Metode Simpleks d. Metode Pencabangan dan pembatasan III. Bab III IV. Bab IV : Masalah Pendaratan : Aplikasi Program Linear Bilangan Bulat Dalam Penjadwalan Penerbangan Pada Bandar Udara Supadio V. Bab V : Penutup 6

(21) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB II Program Linear A. Matriks dan Operasi Baris Elementer Matriks merupakan suatu susunan bilangan-bilangan (real maupun kompleks) yang berbentuk segi empat dan ditulis diantara tanda kurung. Tanda kurung yang biasa digunakan ialah ( ) ataupun , -. Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang terdapat pada matriks tersebut. Misalkan jumlah baris pada matriks tersebut adalah m dan jumlah kolom pada matriks tersebut adalah n, maka matriks tersebut berukuran . Ukuran matriks ini untuk seterusnya disebut sebagai ordo matriks. Penamaan matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalam matriks ditulis dengan huruf kecil. Bila A merupakan suatu matriks dan merupakan elemen- elemen dalam matriks, maka secara umum matriks A dapat dituliskan sebagai berikut : [ ] Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear. Dalam menyelesaikan program linear, suatu matriks haruslah diubah bentuknya menjadi matriks eselon ataupun menjadi bentuk matriks eselon tereduksi dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE).

(22) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.1.1 Suatu matriks A dikatakan dalam bentuk eselon jika : 1. Elemen tak nol pertama pada sembarang baris taknol harus diletakkan disebelah kanan entri yang pertama di baris di atasnya. Elemen tak nol pertama dalam setiap baris disebut sebagai elemen kunci. 2. Baris yang semua elemennya nol dikelompokkan di baris akhir pada matriks. Definisi 2.1.2 Suatu matriks A dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi jika semua kondisi di bawah dipenuhi : 1. Matriks A berbentuk matriks eselon 2. Semua elemen kunci dari A adalah 1. 3. Semua elemen di atas elemen kunci adalah 0. Definisi 2.1.3 Matriks yang diperluas (augmented matrix) pada suatu sistem persamaan linear adalah matriks yang dibentuk dari matriks koefisien dan diberikan kolom tambahan untuk nilai koefisien pada sisi kanan sistem persamaan linear. 8

(23) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.1.4 Misalkan Suatu vektor * + merupakan himpunan vektor dari matriks . disebut bergantung linear pada S jika terdapat skalar dari sedemikian sehingga : Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear. Contoh 1.1 : Misalkan . / . / adalah vektor-vektor di . w merupakan kombinasi linear dari v, jika w dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari v . / . / Karena w dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari v maka w merupakan kombinasi linear dari v Definisi 2.15 Matriks A dan B dikatakan ekivalen baris jika matriks B dapat diperoleh dengan mengenakan operasi baris elementer pada matriks A. 9

(24) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.1.6 Operasi baris elementer merupakan operasi yang dilakukan untuk mengubah matriks biasa menjadi matriks eselon ataupun matriks eselon baris tereduksi, dengan langkah-langkah : 1. Menukar baris i dengan baris j 2. Mengalikan setiap elemen pada baris i dengan suatu skalar k 3. Mengubah baris i dengan cara menjumlahkan elemen-elemen pada baris i dengan perkalian baris j dengan skalar k. Operasi baris elementer ini tidak mengubah sistem persamaan linear itu sendiri. Artinya, penyelesaian yang dihasilkan oleh operasi baris elementer akan sama hasilnya dengan penyelesaian sistem persamaan linear sebelumnya. Hal ini dijamin oleh teorema berikut ini : Teorema 2.1 : Andaikan matriks A dan B merupakan matriks ekuivalen baris. Maka sistem yang dimiliki oleh matriks A sebagai matriks yang diperluas memiliki himpunan penyelesaian yang sama seperti sistem yang dimiliki matriks B sebagai matriks yang diperluas. Bukti : Jika dikenakan sebuah operasi baris elementer pada matriks A, maka diperoleh matriks A1, dimana matriks tersebut merupakan suatu matriks yang diperluas untuk sistem yang baru. Asumsikan bahwa sistem yang baru memiliki himpunan penyelesaian yang sama seperti sistem asli dengan matriks yang diperluas A. Untuk melihat bahwa sistem yang baru memiliki himpunan 10

(25) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI penyelesaian yang sama seperti sistem aslinya, catat bahwa setiap baris dari A1 adalah kombinasi linear baris dari matriks asli. Maka untuk setiap persamaan pada sistem yang baru merupakan kombinasi linear dari persamaan pada sistem asli, dimana persamaan pada sistem baru menunjukkan bahwa setiap penyelesaian dari sistem asli juga merupakan suatu penyelesaian lainnya. Sebaliknya, setiap penyelesaian dari sistem yang baru juga merupakan penyelesaian asli. Hal ini dikarenakan dapat dibaliknya operasi baris elementer. Dampak yang ditimbulkan dari penjumlahan perkalian dari baris yang diberikan ke baris lainnya dapat dibatalkan dengan mengurangkan perkalian yang sama pada baris yang diberikan. Pembagian dengan bilangan tak nol dapat membatalkan dampak yang ditimbulkan dari perkalian konstanta tak nol pada suatu baris. Maka dari matriks A1 dapat ditransformasikan kembali pada matriks A menggunakan operasi baris elementer. Uraian yang sama pada sebelumnya sekarang menunjukkan bahwa setiap penyelesaian dari sistem yang baru juga merupakan suatu penyelesaian dari sistem asli. Sehingga dari uraian membuktikan bahwa sistem yang baru memiliki himpunan penyelesaiana yang sama seperti sistem asli dengan matriks yang diperluas A adalah benar. Sekarang karena B ekuivalen baris dengan A, maka terdapat urutan dari suatu matriks, dimana , dan untuk setiap i , dihasilkan dengan mengenakan operasi baris elementer pada . Sistem pada matriks yang diperluas Ai disebut sistem i, sehingga untuk matriks A dimana matriks maka sistem untuk matiks A disebut matriks 0, begitupula untuk matriks B memiliki sistem n. Dari uraian sebelumnya, himpunan penyelesaian dari 11

(26) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI sistem 0 memiliki himpunan penyelesaian yang sama dengan sistem 1, himpunan penyelesaian untuk sistem 2 sampai himpunan penyelesaian sistem n juga memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Sehingga uraian ini membuktikan teorema 2.1. B. Program Linear Program Linear (Linear Programming) merupakan salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang menggunakan model matematika. Program Linear (PL) bertujuan untuk mencari, memilih, dan menentukan alternatif yang terbaik diantara sekian alternatif layak yang tersedia. Pada tahun 1947, Dr. George Dantzig, matematikawan Amerika Serikat mengembangkan suatu metode yang efisien, yaitu metode simpleks untuk menyelesaikan program linear. Sejak pengembangan metode simpleks oleh Dr. George Dantzig, program linear sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang ada di kehidupan sehari-hari, baik di bidang ekonomi, industri, militer, maupun sosial. Salah satu ciri khas dari program linear ialah masalah yang hendak diselesaikan dengan program linear harus memenuhi lima macam asumsi dasar, yakni : 1. Linearitas Yakni fungsi tujuan dari kendala haruslah berbentuk linear 2. Proporsionalitas Perubahan nilai pada fungsi objektif akan sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan yang dilakukan. 12

(27) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3. Aditivitas Asumsi ini menganggap nilai tujuan dari masing-masing kegiatan tidak saling mempengaruhi 4. Divisibilitas Nilai pada variabel keputusan dapat berupa pecahan maupun berupa bilangan bulat. 5. Deterministik Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat pada program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dipenuhi secara tepat Dalam program linear akan ditemukan beberapa istilah yang akan mendukung penyelesaian dari program linear, yakni: Definisi 2.2.1 Variabel keputusan (decision variable) merupakan suatu unsur yang perubahannya berdampak pada pengambilan keputusan penyelesaian masalah. Variabel keputusan biasanya dinotasikan sebagai dengan Definisi 2.2.2 Variabel pengetat (slack variable) merupakan variabel tambahan yang mengubah suatu sistem pertidaksamaan menjadi sistem persamaan, dengan cara menambahkan variabel pengetat tersebut pada ruas kiri suatu pertidaksamaan. Variabel pengetat ini digunakan pada pertidaksamaan ( ) yang berbentuk . 13

(28) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.2.3 Variabel Surplus merupakan variabel tambahan yang menjadikan suatu sistem pertidaksamaan menjadi sistem persamaan, dengan cara mengurangkan variabel pengetat tersebut pada ruas kiri suatu pertidaksamaan. Variabel surplus ini digunakan pada pertidaksamaan yang berbentuk ( ) . Definisi 2.2.4 Fungsi objektif adalah fungsi dari variabel keputusan yang dibuat dengan tujuan memaksimalkan keuntungan atau meminimumkan kerugian. Definisi 2.2.5 Batasan-batasan yang dikenakan pada variabel keputusan yang dapat berupa persamaan atau pertidaksamaan disebut kendala. Kendala inilah yang akan mempengaruhi pengambilah keputusan. Definisi 2.2.6 Koefisien teknis (technological coefficient) adalah koefisien yang dimiliki oleh variabel keputusan. Disebut koefisien teknis karena koefisien ini mempengaruhi teknologi yang akan digunakan dalam penyelesaian program linear. Definisi 2.2.7 Sebuah fungsi ( sembarang konstanta ( ) disebut fungsi linear jika dan hanya jika untuk , dapat ditulis sebagai : ) 14

(29) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.2.8 Jika suatu fungsi linear pada sisi kiri bernilai sama atau melebihi fungsi atau konstanta pada sisi kanan, maka kondisi ini disebut pertidaksamaan linear dan direpresentasikan dalam bentuk: dengan ( ( ) ) merupakan fungsi linear. Sama halnya, jika fungsi pada sisi kirinya bernilai kurang dari atau sama dengan fungsi atau konstanta pada sisi kanan. Kondisi ini direpresentasikan dalam bentuk: dengan ( ( ) ) merupakan fungsi linear. Definisi 2.2.9 Konstanta yang berada pada sisi kanan suatu persamaan pada kendala menunjukkan sumber daya yang tersedia. Sisi sebelah kanan ini biasa dinotasikan dengan RHS (Right Hand Side). Program linear adalah suatu masalah optimasi yang mana fungsi objektif dari permasalahan ini berbentuk linear, serta variabel dan kendala yang terdapat pada program linear terdiri dari persamaan dan pertidaksamaan linear. Adapun bentuk umum dari masalah program linear ialah : 15

(30) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Minimumkan/maksimumkan Yang memenuhi kendala sebagai berikut : dengan , dimana z adalah fungsi objektif, koefisien teknis, merupakan variabel keputusan, adalah adalah RHS. Secara umum bentuk di atas dapat dituliskan sebagai : Minimumkan/maksimumkan ∑ yang memenuhi kendala sebagai berikut : ∑ dengan 16

(31) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Bila semua kendala pada masalah memaksimumkan berbentuk ∑ maka bentuk program linear tersebut dikatakan bentuk maksimum baku. Definisi 2.2.10 Penyelesaian dalam program linear berarti himpunan nilai variabel-variabel keputusan yang memenuhi kendala-kendala. Definisi 2.2.11 Penyelesaian optimal merupakan penyelesaian yang memaksimumkan/ meminimumkan fungsi objektif . Adapun dalam penyelesaian program linear, terdapat tiga kemungkinan penyelesaian, yakni : 1. Program linear tidak memiliki penyelesaian 2. Program linear memiliki penyelesaian tunggal 3. Program linear memiliki penyelesaian tak hingga banyak Dalam menyelesaikan program linear banyak metode yang dapat digunakan, diantaranya metode grafik dan metode simpleks. Pada tugas akhir ini akan dibahas mengenai metode simpleks untuk menyelesaikan permasalahan program linear. 17

(32) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI C. Metode Simpleks Metode simpleks dikembangkan oleh George Dantzing pada tahun 1947. Metode simpleks merupakan suatu metode yang digunakan untuk mencari penyelesaian program linear dengan didasari teknik eliminasi eselon baris tereduksi dalam penentuan penyelesaian optimalnya dan memerlukan perhitungan yang berulang-ulang. Metode simpleks ini memiliki keunggulan dibandingkan dengan metode grafik, yakni masalah program linear yang dapat diselesaikan tidak hanya terbatas pada dua variabel keputusan saja, melainkan dapat mencakup lebih dari dua variabel keputusan. Pada tugas akhir ini, masalah program linear yang akan dibahas memiliki kendala berbentuk campuran. Kendala berbentuk campuran yang dimaksud adalah pada kendala memiliki beberapa bentuk pertidaksamaan maupun berbentuk persamaan, ( yakni ) ( ) , ( ) , dan . Oleh karena itu, metode simpleks yang akan dibahas pada tugas akhir ini menggunakan kendala campuran. Adapun untuk memudahkan pembaca dalam memahami metode simpleks, maka digunakanlah prinsip memaksimumkan, karena prinsip memaksimumkan dalam metode simpleks lebih mudah dipahami daripada prinsip meminimumkan. Tahapan-tahapan yang harus dilakukan dalam menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks yakni : 1. Mengubah masalah program linear bentuk umum menjadi bentuk kanonik, dengan cara mengubah kendala berbentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan. 18

(33) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Beberapa hal yang harus dilakukan pada tahapan ini ialah : a. ) untuk kendala yang berbentuk pertidaksamaan linear ( sisi kiri pertidaksamaan dijumlahkan dengan variabel pengetat sehingga b. pertidaksamaan ) ( berubah menjadi persamaan ( ) , sisi kiri untuk setiap kendala yang berbentuk pertidaksamaan dikurangi dengan suatu variabel surplus ditambah dengan variabel semu menjadi c. sehingga pertidaksamaan berubah ) ( dan jika RHS suatu masalah program linear bernilai negatif ( ), maka setiap suku pada kendala terkait haruslah dikali -1 agar diperoleh . 2. Membuat tabel awal simpleks Tabel awal simpleks ini berisi koefisien-koefisien fungsi objektif dan kendala pada masalah program linear kanonik. Misalkan bentuk kanonik dari masalah program linear dengan kendala campuran dituliskan sebagai : Maksimumkan : ∑ ∑ ∑ ∑ dengan kendala 19

(34) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ) ( ) ( ) ( ) dengan : :koefisien variabel keputusan, : variabel keputusan, : koefisien fungsi objektif, : RHS, : variabel pengetat, : variabel surplus, ( : variabel semu, ) Maka tabel awal metode simpleks ini ialah : Tabel 2.3.1. Tabel awal simpleks … VND 0 … … 0 0 … … 0 -M … … -M … VD 0 1 … 0 0 … 0 0 … 0 20

(35) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI … 0 -M ( )… ( ) … -M 0 … 0 … … 0 … 0 -1 … 0 0 … 0 0 … -1 0 0 … 0 0 … 0 -M 0 … 0 0 … 0 0 0 .. 0 1 0 0 1 … 0 … 0 … 1 … -M … Z 0 Definisi 2.2.11 Variabel dasar (VD) merupakan variabel yang nilainya positif dan hanya muncul satu kali pada tabel simpleks dan nilainya ialah +1. Banyaknya variabel dasar akan sama dengan banyaknya kendala. Pada penyelesaian awal variabel pengetat merupakan variabel dasar. Sedangkan variabel non dasar (VND) merupakan variabel yang nilainya nol pada sembarang iterasi. 3. Melakukan uji optimalitas Setelah dilakukan pengubahan bentuk program linear menjadi bentuk kanonik, maka yang dilakukan selanjutnya ialah uji optimalitas. Uji optimalitas ini bertujuan untuk menentukan apakah variabel dasar sudah mengoptimalkan nilai fungsi objektif atau belum. Pada tahapan ini nilai merupakan indikator yang menunjukkan penambahan nilai (fungsi objektif) yang masih memungkinkan untuk terjadi. Langkah-langkah yang 21

(36) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dilakukan dalam melakukan uji optimalitas adalah menyelidiki semua nilai , kemudian perhatikan tiga hal berikut ini : a. Nilai menunjukkan masih dimungkinkan untuk terjadi penambahan nilai z pada perhitungan selanjutnya. b. Apabila semua maka penyelesaian yang ada sudah bernilai optimal, maka pencarian dihentikan. Hal ini dikarenakan sudah tidak ada penambahan nilai 4. yang dapat terjadi. Mencari variabel dasar yang akan keluar dan variabel non dasar yang akan masuk ke dalam tabel simpleks. Langkah-langkah yang dilakukan pada tahapan ini ialah : a. Menentukan kolom kunci Kolom kunci diperoleh dengan menentukan maksimum dari . Hal ini dipilih karena tujuan utama dari masalah program linear adalah memaksimumkan nilai , maka untuk mencari kolom kunci dicari penambahan nilai b. yang terbesar. Menyelidiki kolom kunci Hal yang perlu diperhatikan pada tahapan ini ialah : i) Jika pada semua elemen pada kolom kunci bernilai negatif, maka perhitungan dihentikan, karena pada masalah program ini tidak memiliki penyelesaian. ii) Namun apabila tidak semua elemen kunci bernilai negatif, maka perhitungan dilanjutkan pada langkah selanjutnya. 22

(37) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI c. Menentukan baris kunci Baris kunci diperoleh dengan uji rasio, yakni dengan menentukan ( * d. . Menentukan elemen kunci Elemen kunci adalah perpotongan antara baris kunci dan kolom kunci. Elemen kunci inilah yang menjadi variabel dasar yang baru. e. Mengubah elemen pada pivot menjadi +1 dan mengubah elemenelemen terkait menggunakan operasi baris elementer. Hal ini dilakukan karena elemen-elemen dari kolom variabel dasar selalu direpresentasikan dengan vektor dasar standar. 5. Setelah nilai pada baris bernilai tak positif, maka penyelesaian telah optimal. Perhitungan dihentikan. Hasil akhir dilihat dari nilai terdapat pada perhitungan, dalam hal ini baris yang . Namun, jika nilai pada masih ada yang bernilai positif, maka perhitungan dilanjutkan pada langkah ke-4. Dari langkah-langkah di atas didapatkan algoritma untuk metode simpleks yakni : 1. Ubah pertidaksamaan pada fungsi objektif dan kendala ke dalam kanonik 2. Membuat tabel simpleks awal 3. Jika semua nilai tak positif maka perhitungan dihentikan. Namun jika ada yang bernilai positif, perhitungan dilanjutkan. 23

(38) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 4. Tentukan : a. kolom kunci dengan menentukan i) ( ), jika : semua elemen kolom kunci bernilai negatif, perhitungan dihentikan ii) tidak semua elemen kolom kunci bernilai negatif, perhitungan dilanjutkan ( * dimana b. baris kunci dengan menentukan c. elemen kunci dengan cara mencari perpotongan kolom kunci dan baris kunci 5. Lakukan operasi baris elementer pada elemen yang terkait elemen kunci dan kembali ke langkah 4 Berikut akan diberikan contoh penyelesaian program linear dengan metode simpleks: Contoh 2.3.1 : Maksimumkan Kendala : Penyelesaian : Iterasi 1 Tahap ke-1 : mengubah bentuk persamaan menjadi bentuk kanonik 24

(39) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Maksimalkan Kendala : Tahap ke-2 : membuat tabel awal simpleks 3 2 0 0 0 2 5 1 0 9 9/2 0 4 2 0 1 9 9/4 0 0 0 0 0 3 2 0 0 Peubah bebas Tahap ke-3 : uji optimalitas Menyelidiki nilai , karena nilai maka perhitungan dilanjutkan Tahap ke-4 a. : menentukan variabel dasar mana yang akan keluar Menentukan kolom kunci dengan mencari maksimum dari yakni , 3 yang terdapat pada kolom 25

(40) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI b. Menyelidiki kolom kunci dengan melihat nilai pada kolom kunci. Karena pada kolom kunci nilai pada elemen-elemennya bernilai positif, maka perhitungan dilanjutkan. c. d. Menentukan kunci ( * dengan mencari , yakni minimum dari . Elemen kunci pada masalah ini adalah perpotongan antara kolom dan baris e. baris . Mengubah elemen kunci menjadi +1 dan mengubah elemen-elemen terkait menggunakan operasi baris elementer. Sehingga didaptkan tabel seperti di bawah ini: 3 2 0 0 0 0 4 1 -1/2 9 9/8 3 1 0.5 0 1/4 9/4 9/2 3 3/2 0 3/4 -27/4 0 1/2 0 -3/4 Peubah bebas Karena pada tabel masih terdapat nilai , maka perhitungan dilanjutkan kembali pada langkah 4. Iterasi 2 : Tahap ke-4 : menentukan variabel dasar mana yang akan keluar 26

(41) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI a. Menentukan kolom kunci, yakni kolom b. Karena nilai pada elemen-elemen kolom kunci bernilai positif, maka perhitungan dilanjutkan. c. Menentukan baris kunci, yakni baris d. Pivot pada masalah ini adalah perpotongan antara kolom e. Mengubah elemen pada pivot menjadi +1 dan mengubah elemen-elemen dan baris . terkait manggunakan operasi baris elementer. Sehingga didapatkan tabel seperti di bawah ini : 3 2 0 0 2 0 1 1/4 -1/8 9/8 3 1 0 -1/8 5/16 27/16 3 2 1/8 11/16 117/16 0 0 -1/8 -11/16 Peubah bebas Karena nilai maka perhitungan dihentikan, karena telah diperoleh peyelesaian optimal. Berdasarkan tabel, diperoleh dan , . Penyelesaian yang didapatkan dengan metode simpleks ini sama dengan hasil yang diperoleh pada Software QM for windows 2, yakni : 27

(42) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari keluaran tersebut didapatkan penyelesaian untuk masalah program linear adalah dan dengan nilai z = 7.3125. Metode simpleks yang telah dipaparkan di muka merupakan metode simpleks yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear maksimisasi. Untuk menyelesaikan program linear minimisasi, langkah yang digunakan sama dengan langkah masalah program linear maksimisasi, hanya saja koefisien pada fungsi objektif dikali dengan -1. Penyelesaian yang diperoleh dengan masalah maksimisasi ini akan sama dengan penyelesaian masalah minimumnya. Hanya saja nilai dari fungsi objektif dari masalah program linear minimum ini merupakan negatif dari nilai fungsi objektif masalah program linear maksimum. Berikut akan diberikan contoh untuk masalah minimisasi : Contoh 2.3.2 : minimumkan kendala : 28

(43) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Pertama, langkah yang harus dilakukan adalah mengalikan fungsi objektif dengan -1: Kemudian ubah kendala berbentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk kanonik: Dengan cara yang sama seperti masalah maksimisasi menggunakan metode simpleks didapatkan dengan z = -100. Sehingga penyelesaian dari masalah program linear minimisasi di atas yakni , dengan nilai dari fungsi objektif masalah minimisasi adalah D. ( ) . Metode Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound) Pada masalah program linear, penyelesaian yang didapatkan dapat berupa bilangan pecahan maupun bilangan bulat. Namun pada kasus-kasus tertentu dibutuhkan penyelesaian yang berupa bilangan bulat. Sebagai contoh, dalam penentuan jumlah mobil yang akan dijual pada suatu perusahaan otomotif agar penjualan menghasilkan keuntungan yang maksimal, tidak mungkin jumlah mobil yang harus diproduksi dalam bentuk desimal. Tentu saja jumlah mobil haruslah 29

(44) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI berupa bilangan bulat. Maka dari itu penyelesaian program linear bilangan bulat dibutuhkan pada kasus-kasus tertentu. Program linear yang penyelesaiannya berupa bilangan bulat inilah yang untuk seterusnya disebut sebagai program linear bilangan bulat (Integer Programming). Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan program linear bilangan bulat, diantaranya metode pencabangan dan pembatasan, metode pemotongan bidang (cutting plane), dan metode heuristic. Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai metode pencabangan dan pembatasan. Metode pencabangan dan pembatasan diusulkan pertama kali oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada tahun 1960. Metode pencabangan dan pembatasan merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat. Ide dasar dari metode pencabangan dan pembatasan ini ialah membagi penyelesaian dari masalah program linear menjadi beberapa submasalah. Proses pembagian penyelesaian ini biasa disebut dengan pencabangan (branching). Tujuan dari pencabangan ini sendiri ialah untuk memudahkan dalam menyelesaikan masalah program linear. Prinsip kerja dari metode ini ialah mencabangkan penyelesaian dari soal program linear yang tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat. Percabangan dilakukan sampai ditemukan penyelesaian yang berbentuk bilangan bulat. Dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode pencabangan dan pembatasan ini, dilakukan 3 langkah utama, yakni : 30

(45) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI a. Pencabangan (Branching) Pada langkah ini, pencabangan dilakukan pada penyelesaian yang belum berbentuk bilangan bulat. Pencabangan dilakukan dengan memecah masalah program linear awal menjadi dua bagian, kemudian menambahkan kendala baru. Dalam pencabangan, kendala yang ditambahkan merupakan pembulatan ke atas dan pembulatan ke bawah dari penyelesaian yang masih berbentuk pecahan. Sehingga dari pencabangan tersebut menghasilkan kendala baru untuk masing-masing pencabangannya, yakni : i. ⌈ ⌉, dimana ⌈ ⌉ merupakan pembulatan ke atas dari penyelesaian program linear yang berbentuk pecahan, dan ii. ⌊ ⌋, dimana ⌊ ⌋ merupakan pembulatan ke bawah dari penyelesaian program linear yang berbentuk pecahan. Proses pencabangan ini terus dilakukan hingga diperoleh penyelesaian bilangan bulat yang pertama. b. Penetapan Batas (Bounding) Langkah penetapan batas ini dilakukan setelah diselesaikannya proses pencabangan. Penetapan batas ini merupakan langkah untuk membatasi penyelesaian, agar didapatkan penyelesaian yang optimal. Pada metode pencabangan dan pembatasan ini terdapat dua batas yaitu: i. Batas Atas (upper bound) Batas atas ini digunakan dalam menyelesaikan masalah program linear yang berbentuk minimum. Batas atas merupakan penyelesaian fungsi 31

(46) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI objektif pertama yang berbentuk bilangan bulat. Sehingga apabila dalam pencabangan diperoleh penyelesaian optimal dengan nilai lebih besar dari batas atas ini, maka penyelesaian tersebut diabaikan. Namun apabila dalam pencabangan selanjutnya diperoleh penyelesaian yang lebih kecil dari batas atas, maka penyelesaian tersebut dijadikan batas atas yang baru, dan batas lama diabaikan. Pembatasan dilakukan terus hingga tidak dimungkinkan untuk dilakukan pencabangan lagi. Sehingga penyelesaian optimal yang diperoleh dari masalah program linear adalah penyelesaian bilangan bulat yang menjadi batas terkahir. ii. Batas bawah (lower bound) Batas bawah ini digunakan dalam menyelesaikan masalah program linear yang berbentuk maksimum. Batas bawah merupakan penyelesaian fungsi objektif pertama yang berbentuk bilangan bulat. Apabla dalam pencabangan selanjutnya diperoleh penyelesaian bilangan bulat yang lebih kecil dari batas bawah, maka penyelesaian diabaikan. Namun apabila dari pencabangan selanjutnya diperoleh penyelesaian bilangan bulat yang lebih besar dari batas bawah, maka penyelesaian yang baru ini dijadikan batas bawah yang baru, dan batas bawah lama diabaikan. Pembatasan ini dilakukan terus menerus hingga tidak dimungkinkan lagi dilakukan pencabangan. Sehingga secara umum, penyelesaian optimal dari masalah program linear yang berbentuk maksimum adalah batas bawah terakhir. 32

(47) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI c. Penghentian pencabangan (Fathoming) Pencabangan atau pencarian penyelesaian pada suatu sub masalah dihentikan jika : 1. Infeasible atau tidak memiliki daerah layak 2. Semua variabel keputusan yang harus bernilai bilangan bulat sudah bernilai bilangan bulat. 3. Pada masalah maksimisasi, penghentian pencabangan pada suatu sub masalah dilakukan jika fungsi objektif dari sub masalah tersebut tidak lebih besar atau sama dengan nilai batas bawah. Sedangkan pada masalah minimisasi penghentian pencabangan sub masalah dilakukan jika fungsi objektif tidak lebih kecil atau sama dengan nilai batas atas. Adapun cara langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan program linear menggunakan metode pencabangan dan pembatasan adalah : 1. Menyelesaikan masalah program linear awal ( penyelesaiannya. Apabila penyelesaian berbentuk ), kemudian lihat bilangan bulat, perhitungan dihentikan. Namun, jika penyelesaian berupa bilangan pecahan maka perhitungan dilanjutkan pada langkah selanjutnya. 2. Lakukan pencabangan, dengan cara memecah program linear baru yakni dan Adapun kendala baru tersebut adalah menjadi dua masalah dengan menambahkan kendala baru. ⌈ ⌉ dan ⌊ ⌋. 33

(48) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3. Lakukan penetapan batas dengan cara mengambil salah satu penyelesaian yang berbentuk bilangan bulat pertama yang dihasilkan dari penyelesaian. 4. Setelah didapatkan batas atas dan bawah, menjadi 5. dan ⌈ ⌉ dan dapat dilengkapi ⌊ ⌋ Kemudian selesaikan masalah program linear baru tersebut. Apabila dalam penyelesaian masih berupa bilangan pecahan, lakukan perhitungan yang sama untuk setiap cabang dan kembali pada langkah 2. Kondisi optimal dalam penyelesaian program linear bilangan bulat menggunakan metode pencabangan dan pembatasan ini tercapai, jika : 1. Tidak ada ada lagi submasalah yang perlu dicabangkan lagi 2. Pada masalah maksimisasi penyelesaian optimal merupakan penyelesaian submasalah yang saat ini menjadi batas bawah 3. Pada masalah minimisasi penyelesaian optimal merupakan penyelsaian submasalah yang saat ini menjadi batas atas. Berikut akan diberikan contoh penyelesaian proglam linear dengan metode pencabangan dan pembatasan : Contoh 2.4.1 Maksimumkan Kendala : 𝐿𝑃 34

(49) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Penyelesaian : Iterasi 1: Langkah 1 : menyelesaikan Dengan bantuan software QM for windows 2 diperoleh penyelesaian : Langkah ke-2 : melakukan pencabangan : Untuk baru adalah didapatkan 2 pencabangan, yakni dan dan . Dimana kendala . Langkah ke-3 : melakukan penetapan batas Karena belum diperoleh penyelesaian bilangan bulat, maka batas bawah belum bisa ditetapkan. Langkah ke-4 : melengkapi masalah program linear baru 35

(50) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Masalah program linear baru dapat dituliskan dengan : Maksimumkan Kendala : 𝐿𝑃 dan Maksimumkan Kendala : 𝐿𝑃 Langkah ke-5 : mencari penyelesaian dan . Setelah dilakukan perhitungan dengan bantuan software QM for windows 2, didapatkan penyelesaian sebagai berikut : Untuk diperoleh : 36

(51) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Untuk diperoleh : Dapat dilihat, pada pnyelesaian penyelesaian sudah optimal, karena semua nilai dari variabel keputusan sudah berbentuk bilangan bulat. Namun, untuk , masih ada variabel keputusan yang berbentuk desimal, maka untuk dilakukan perhitungan kembali untuk . Maka perhitungan kembali pada langkah 2. Iterasi ke-2 : Langkah ke-2 : melakukan pencabangan Untuk kendala baru adalah didapatkan 2 pencabangan, yakni dan dan . Dimana . Langkah ke-3 : melakukan penetapan batas 37

(52) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Karena pada diperoleh penyelesaian bilangan bulat, maka ditetapkan sebagai batas bawah. Langkah ke-4 : melengkapi masalah program linear baru Sehingga masalah program linear baru dapat dituliskan dengan : Maksimumkan Kendala : 𝐿𝑃 Maksimumkan Kendala : 𝐿𝑃 38

(53) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Langkah ke-5 : mencari penyelesaian dan . Setelah dilakukan perhitungan dengan bantuan software QM for windows 2, didapatkan penyelesaian sebagai berikut : Untuk tidak diperoleh penyelesaian Untuk diperoleh : Dapat dilihat, pada tidak memiliki penyelesaian, sehingga digunakan sebagai penentu nilai optimal dari . tidak dapat Namun, untuk , masih terdapat variabel keputusan yang berbentuk desimal, maka untuk dilakukan perhitungan kembali untuk . Maka perhitungan kembali pada langkah 2. Dengan cara yang sama dengan iterasi-iterasi sebelumnya, maka akan diperoleh penyelesaian optimal dari masing-masing submasalah yakni : Untuk diperoleh : Untuk diperoleh : 39

(54) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Untuk diperoleh : dari penyelesaian tersebut, didapatkan penyelesaian optimal adalah . Nilai ini dipilih karena nilai yang didapatkan merupakan batas bawah terakhir dalam penyelesaian program linear ini. Sehingga tidak ada penyelesaian lain yang lebih besar dari . 40

(55) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III MASALAH PENDARATAN PESAWAT Perkembangan teknologi pada masa kini, menyebabkan peningkatan produksi di berbagai sektor kehidupan. Begitu pula halnya dengan sektor penerbangan. Pada sektor ini, terjadi peningkatan dalam produksi pesawat terbang. Tentu saja hal ini sangat membantu masyarakat untuk melakukan mobilitas dengan mudah. Namun peningkatan jumlah pesawat terbang ini juga mengakibatkan permasalahan baru, yakni terbatasnya penggunaan landasan pacu yang tidak sepadan dengan jumlah pesawat terbang yang ada. Hal ini merupakan masalah yang sangat besar dalam lalu lintas udara, karena landasan pacu memiliki peran yang sangat penting dalam proses pendaratan maupun lepas landas. Saat jumlah pesawat terbang yang akan menggunakan landasan pacu melebihi kapasitas penggunaan landasan pacu, maka akan ada sejumlah pesawat terbang yang tidak dapat mendarat pada waktu pendaratan yang telah ditentukan. Jika ini terjadi, tentu saja akan ada nilai pinalti yang diterima maskapai tersebut, terutama penggunaan bahan bakar yang berlebihan jika melakukan penerbangan dengan kecepatan tinggi. Maskapai juga akan mempertimbangkan nilai pinalti yang berbeda untuk setiap penundaan penerbangan. Bergantung pada jumlah penundaan yang terjadi, mungkin akan ada penumpang yang memilih untuk berganti maskapai untuk mengejar ketinggalan pesawat sebelumya. Para awak

(56) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pesawat tentunya akan dibutuhkan untuk penerbangan selanjutnya, sehingga penjadwalan ulang penugasan sangat diperlukan dan tentunya akan menyebabkan penundaan penerbangan kembali. Terdapat banyak nilai pinalti yang akan diakibatkan oleh masalah ini, diantaranya nilai pinalti yang dihasilkan dari penundaan penerbangan, pembayaran lembur para awak pesawat dan lainnya (Min, 2005). Tentu saja masalah pendaratan pesawat ini harus diselesaikan, karena ini merupakan hal yang sangat penting dalam kegiatan lalu lintas udara. Penyelesaian permasalahan ini dilakukan dengan meminimumkan total nilai pinalti yang terjadi, sehingga menghasilkan penjadwalan yang efektif. Diberikan sebuah himpunan pesawat dengan waktu mendarat yang telah ditargetkan dan selang waktu pesawat untuk mendarat. Fungsi objektif dari Masalah Pendaratan Pesawat (MPP) ini ialah meminimumkan total deviasi waktu dari waktu mendarat yang ditargetkan untuk setiap pesawat. Terdapat biaya yang dikenakan untuk setiap pesawat jika mendarat sebelum atau sesudah waktu yang telah ditargetkan. Setiap pesawat yang akan melakukan pendaratan haruslah memenuhi kriteria-kriteria pendaratan yang diberikan, yakni selang waktu pendaratan dan jeda waktu antar pesawat saat melakukan pendaratan. Saat memasuki jangkauan radar Air Traffic Control (ATC), suatu pesawat membutuhkan penugasan tentang waktu yang diberikan untuk melakukan pendaratan. Waktu pendaratan haruslah sesuai dengan selang waktu yang dberikan, dimana selang waktu tersebut dibatasi oleh waktu terawal dan waktu 42

(57) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI terlambat suatu pesawat diperbolehkan mendarat. Selang waktu ini akan berbeda untuk setiap pesawatnya. Waktu tercepat menunjukkan waktu yang ditempuh suatu pesawat jika terbang dengan kecepatan maksimum. Kemudian, untuk waktu terlambat menunjukkan waktu yang ditempuh suatu pesawat jika melakukan penerbangan dengan bahan-bakar yang efisien. Setiap pesawat juga akan memiliki kecepatan paling ekonomis, yaitu kecepatan standar. Kecepatan ekonomis disini merupakan kecepatan yang mengeluarkan biaya minimal untuk penggunaan bahan bakarnya. Kecepatan ekonomis (standar) inilah yang nantinya akan menjadi ‘patokan’ dalam penentuan waktu pendaratan pesawat atau yang disebut waktu yang ditergetkan. Jika ATC meminta suatu pesawat untuk terbang dalam kecepatan lambat, sedang atau cepat, maka akan ada suatu nilai pinalti yang dikenakan. Gambar 3.1 menggambarkan variasi nilai pada suatu selang waktu pendaratan suatu pesawat. Nilai Pinalti terawal terlambat target waktu Gambar 3.1: variasi nilai pinalti pada suatu selang waktu pendaratan pesawat (Min, 2005) Pada gambar dijelaskan bahwa nilai pinalti dari suatu pesawat akan nol jika waktu mendarat dari pesawat tersebut sesuai dengan waktu yang ditargetkan. 43

(58) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Sedangkan untuk waktu yang mendarat selain waktu yang ditargetkan akan dikenakan nilai pinalti. A. Perumusan Masalah Pendaratan Pesawat Dengan Program Linear Pada paparan sebelumnya, dijelaskan bahwa saat suatu pesawat hendak melakukan pendaratan, pesawat membutuhkan informasi mengenai waktu yang diijinkan untuk melakukan pendaratan. Waktu pendaratan haruslah sesuai dengan selang waktu yang diberikan, dimana selang waktu tersebut dibatasi oleh waktu terawal dan waktu terlambat suatu pesawat diperbolehkan mendarat. Setiap selang waktu akan berbeda antara suatu pesawat dengan pesawat lainnya. Dengan kata lain dapat dituliskan : (3.1) [ ] [ ] [ ] Dimisalkan P merupakan himpunan urutan pendaratan pesawat-pesawat dengan P={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{3,1},{2,3},{3,2},{1,2,3},{1,3,2}}, dan dimisalkan : : waktu pendaratan tercepat pesawat ke: waktu pendaratan yang ditargetkan pesawat ke: waktu pendaratan terlambat pesawat keMaka pertidaksamaan (3.1) dapat ditulis secara sistematis sebagai berikut : (3.2) 44

(59) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Pada kenyataan di lapangan, terkadang waktu yang ditargetkan suatu pesawat untuk melakukan pendaratan tidak selalu terpenuhi. Sehingga muncullah istilah waktu pendaratan, yakni waktu pendaratan pesawat pada keadaan real. Waktu pendaratan ini juga dibatasi oleh waktu pendaratan terawal ( ) dan waktu pendaratan terlambat ( ). Jika dinotasikan dalam bentuk yang lebih sederhana, menjadi : ] [ misal ] [ [ ] (3.3) merupakan waktu pendaratan pesawat ke- , maka secara matematis, pertidaksamaan (3.3) dapat ditulis : (3.4) Waktu pendaratan antar pesawat tidak diperbolehkan saling berdekatan. Waktu pendaratan tersebut haruslah diberi jeda waktu tertentu. Jeda waktu tersebut ditentukan oleh kebutuhan masing-masing pesawat. Dimisalkan pesawat yang melakukan pendaratan sebelumnya, dan adalah adalah pesawat yang melakukan pendaratan setelahnya, maka jeda waktu antara waktu pendaratan pesawat dan dapat dinotasikan dengan . Di muka telah dijelaskan bahwa permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini ialah permasalahan satu landasan pacu, maka tidak diperbolehkan sama dengan 0. Kemudian, karena merupakan jeda waktu, maka secara matematis menjadi pesawat haruslah lebih besar dari nol atau dapat ditulis 0. Dengan demikian, estimasi waktu pendaratan ( ) haruslah lebih besar dari hasil penjumlahan waktu pendaratan 45

(60) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pesawat ( ) dengan jeda waktu pendaratan antar pesawat. Sehingga dapat dituliskan menjadi : [ ] [ ] [ ] (3.5) pertidaksamaan (3.5) dapat dituliskan : (3.6) dengan ialah himpunan pasangan terurut yang menunjukkan urutan dari pendaratan pesawat. Pada penjabaran di muka telah dijelaskan bahwa pada kenyataannya, tidak selalu terpenuhi. Sehingga suatu pesawat terkadang mendarat sebelum atau sesudah , namun tetap dalam selang waktu yang ditentukan. Dalam permasalahan ini, yang akan diminimumkan ialah beda waktu antara Karena dapat terjadi sebelum atau sesudah dua kendala baru, yakni jika disimbolkan dengan tersebut disimbolkan dengan . , maka di sini dapat didefinisikan terjadi sebelum . Kemudian jika dan maka beda waktu tersebut terjadi sesudah maka beda waktu . Beda waktu ini menunjukkan seberapa cepat pesawat akan mendarat sebelum atau sesudah , sehingga dapat dituliskan : (3.7) [ ] [ ] [ ] dan 46

(61) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI (3.8) [ ] ] [ [ ] Secara matematis, persamaan (3.7) dan (3.8) dapat ditulis : (3.9) (3.10) Dalam hal ini, dan interval yang dibatasi oleh berada pada suatu interval waktu tertentu, yakni atau , dan . Beda waktu ini harus lebih dari nol. Sehingga, jika ditulis dalam bentuk interval menjadi : 0 (3.11) 0 (3.12) Kendala-kendala ini tentu saja menjamin ataupun akan selalu lebih besar dari nol. Jika dilihat secara keseluruhan kendala-kendala yang ada, dan cukup memberikan pengaruh penting dalam penentuan penjadwalan. Rentang minimum nilai-nilai inilah yang akan ditentukan agar memberikan hasil penjadwalan. Fungsi objektif untuk Masalah Pendaratan Pesawat ini ialah meminimumkan deviasi waktu dari ialah dan . Karena nilai yang yang menunjukkan deviasi waktu dari , maka dapat dituliskan rumusan untuk fungsi objektifnya adalah : ∑ 3.13 47

(62) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dimana dan merupakan nilai pinalti untuk setiap pesawat jika melakukan pendaratan sebelum atau sesudah waktu yang ditentukan. Berdasarkan pemaparan di muka, dapat dilihat bahwa pada kasus ini memiliki kendala-kendala yang harus dipenuhi, yang merupakan pertidaksamaan linear. Pada kasus ini juga terdapat suatu fungsi yang akan dioptimalkan dengan cara diminimumkan. Dengan demikian kasus ini dapat dirumuskan sebagai masalah program linear. Karena variabel dan menunjukkan beda waktu yang berbentuk bilangan bulat, maka masalah pendaratan pesawat ini dapat diselesaikan dengan program linear bilangan bulat dimana salah satu metode untuk menyelesaikannya ialah metode pencabangan dan pembatasan. Pada tugas akhir ini, akan diberikan contoh soal penjadwalan dengan 1 landasan pacu dan dengan 2 landasan pacu. Contoh 3.1 : Diberikan sebuah contoh dari masalah pendaratan, dimana terdiri dari 3 pesawat dan 1 landasan pacu. Selang waktu dan nilai pinalti pendaratan masingmasing pesawat diberikan pada Tabel 3.1.1. Jeda waktu antar pesawat juga telah ditetapkan, yakni menit. Tabel 3.1.1 : Data pendaratan 3 pesawat (dalam menit) Pesawat 1 70 88 100 3 1 2 80 97 117 3 1 3 90 105 125 3 1 48

(63) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Berdasarkan data di atas, dapat dicari seluruh kemungkinan urutan. Karena pada contoh ini, data yang ada merupakan data pendaratan 3 pesawat pada bandar udara yang memiliki 1 landasan pacu, maka keseluruhan kemungkinan urutan dapat dicari dengan rumus : dengan n merupakan jumlah pesawat yang ada, dimana merupakan permutasi i dari n. Jadi berdasar rumusan tersebut, maka dari ke tiga pesawat ini akan menghasilakan : ( ) Namun dari ke enam urutan tersebut tidak semua dapat digunakan untuk menentukan urutan yang optimum. Hal ini dikarenakan ada beberapa urutan yang tidak memenuhi kendala pada masalah mendaratan pesawat ini. Sebagai contoh, untuk pendaratan yang dimulai dari pesawat 3 kemudian dilanjutkan dengan pendaratan pesawat 2, dan dilanjutkan lagi dengan pendaratan pesawat 1 yang disimbolkan dengan {3 → 2 → 1), tidak dapat digunakan. Ini karena berdasarkan data pada Tabel 3.1.1, diketahui bahwa waktu terawal untuk pesawat 3 adalah pada menit ke 90 dengan jeda waktu antar pesawat ( ) =10 menit. Dimisalkan 49

(64) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pesawat 3 mendarat pada waktu terawal, yakni pada menit ke 90, maka paling cepat pesawat 2 dapat mendarat pada menit ke 100 ( ). Waktu pendaratan pesawat 2 masih dipenuhi dalam selang waktu yang ditentukan. Kemudian, jika dilanjutkan, maka pesawat 1 minimal dapat mendarat pada menit ke 110 ( ), Padahal diketahui pada Tabel 3.1.1 pesawat 1 hanya dapat mendarat pada selang waktu [70,100]. Tentu saja waktu pendaratan untuk pesawat 1 ini tidak memenuhi kendala pada masalah pendaratan pesawat, maka untuk urutan {3 2 1} tidak dapat digunakan. Sehingga dari hasil perhitungan yang sama didapatkanlah urutan penerbangan yang memungkinkan adalah sebagai berikut : Tabel 3.1.2 : Data urutan pendaratan pesawat yang memungkinkan Urutan Pendaratan Urutan 1 {1 → 2 → 3} Urutan 2 {2 → 1 → 3 } Urutan 3 {2 → 3 → 1 } Urutan 4 {3 → 1 → 2 } Pada urutan 1 ditulis {1 → 2 → 3}, yang menandakan bahwa pesawat pertama yang melakukan pendaratan adalah pesawat 1, kemudian disusul oleh pendaratan pesawat 2, kemudian disusul lagi oleh pendaratan pesawat 3. Begitu 50

(65) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI juga untuk urutan-urutan selanjutnya. Berdasarkan urutan-urutan pendaratan pesawat yang memungkinkan tersebut, setiap urutan memiliki nilai pinalti yang berbeda. Sebagai contoh, untuk mengetahui nilai pinalti dari urutan 1 maka kita menggunakan metode Pencabangan dan pembatasan dan diselesaikan dengan bantuan Software QM for Windows 2, dengan kendala-kendala sebagai berikut: 1) 13) 2) 14) 3) 15) 4) 10 16) 5) 10 17) 6) 18) 7) 19) 8) 20) 9) 21) 10) 22) 11) 12) Kemudian kendala-kendala dimasukan pada software QM for wondow 2 sebagai berilut : 51

(66) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dan menghasilkan keluaran sebagai berikut : 52

(67) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dari keluaran tersebut diketahui bahwa untuk urutan 1 → 2 → 3 memiliki . dengan demikian sebaiknya pesawat mendarat pada menit ke 88, 98 dan 108 dengan nilai pinalti sebesar 4. Dengan cara yang sama dilakukan perhitungan untuk mencari nilai pinalti untuk setiap urutan, dan dituliskan pada tabel di bawah ini : Tabel 3.1.3 : Tabel Pendaratan pesawat beserta nilai pinaltinya Urutan Pendaratan Waktu Pendaratan Nilai Pinalti (dalam menit) Urutan 1 {1 → 2 → 3} {88,98,110} 4 Urutan 2 {2 → 1 → 3 } {90,100,110} 38 Urutan 3 {2 → 1 → 3 } {80,90,100} 108 Urutan 4 {3 → 1 → 2 } {90,100,110) 70 Setelah diketahui nilai pinalti untuk setiap urutan, diketahui nilai pinalti yang paling minimum adalah nilai pinalti untuk urutan {1 → 2 → 3}, yakni 4. Sehingga penjadwalan yang dianjurkan adalah {1 → 2 → 3}, yakni pendaratan dimulai dari pesawat 1, dilanjutkan pesawat 2, kemudian dilanjutkan kembali dengan pesawat 3. Contoh 3.2 : Diberikan sebuah contoh dari masalah pendaratan, dimana terdiri dari 3 pesawat dan 2 landasan pacu. Selang waktu dan nilai pinalti pendaratan asingmasing pesawat diberikan pada Tabel 3.1.1. Jeda waktu antar pesawat juga telah ditetapkan, yakni menit (Min, 2005). 53

(68) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tabel 3.2.1 : Data pendaratan 3 pesawat (dalam menit) (Min, 2005) Pesawat 1 50 88 95 3 1 2 88 95 105 3 1 3 75 100 120 3 1 Berdasarkan data yang diberikan pada Tabel 3.1.1, dapat dicari seluruh kemungkinan urutan yang dapat digunakan untuk pendaratan pesawat. Adapun banyaknya urutan pendaratan pesawat yang mungkin terjadi dapat dicari dengan menggunakan rumus : dengan n merupakan jumlah pesawat yang ada, dimana merupakan permutasi i dari n. Jadi berdasar rumusan tersebut, maka dari ke-3 pesawat ini akan menghasilakan : ( ) ( ) ( ) 54

(69) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Namun dari ke-15 urutan tersebut, tidak semua dapat digunakan untuk menentukan urutan pendaratan yang paling optimum. Hal ini dikarenakan ada beberapa urutan yang tidak memenuhi kendala pada masalah pendaratan pesawat ini. Sebagai contoh untuk urutan pendaratan pesawat 2 kemudian dilanjutkan pendaratan pesawat 1, yang disimbolkan dengan {2 1}, tidak dapat digunakan. Ini karena berdasarkan data pada Tabel 3.1.1, diketahui bahwa waktu terawal untuk pesawat 2 adalah pada menit ke 88 dengan jeda waktu antar pesawat =10 menit. Dimisalkan pesawat 2 mendarat pada waktu terawal, yakni pada menit ke 88, maka paling cepat pesawat 1 dapat mendarat pada menit ke 98( ). Padahal diketahui pada Tabel 3.1.1 pesawat 1 hanya dapat mendarat pada selang waktu [50,95]. Tentu saja waktu pendaratan untuk pesawat 1 ini tidak memenuhi kendala pada masalah pendaratan pesawat, maka untuk urutan {2 1} tidak dapat digunakan. Sehingga urutan pendaratan {2 1} tidak termasuk dalam ruang solusi S, dimana S merupakan himpunan dari keseluruhan urutan pendaratan yang diijinkan. Dengan cara yang sama, diperoleh urutan pendaratan pesawat yang memungkinkan seperti didata dalam Tabel 3.2.2. Tabel 3.2.2 : Urutan pendaratan pesawat yang memungkinkan Urutan Pendaratan Urutan 1 {1} Urutan 2 {2} 55

(70) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Urutan 3 {3} Urutan 4 {1 } Urutan 5 {1 } Urutan 6 {3 } Urutan 7 {2 } Urutan 8 {3 } Urutan 9 {1 } Urutan 10 {1 } Pada Tabel 3.2.2, pada urutan pertama hanya muncul 1 pesawat dalam urutan tersebut. Hal ini berarti hanya pesawat 1 saja yang mendarat pada landasan pacu tersebut. Sehingga dalam konteks urutan pertama ini pesawat 2 dan pesawat 3 tidak mendarat. Hal ini juga berlaku pada urutan ke-2 dan urutan ke-3. Untuk urutan ke-4, yakni {1 } berarti hanya pesawat 1 dan 2 saja yang mendarat, yang dimulai dengan pendaratan pesawat 1 dan kemudian disusul oleh pendaratan pesawat ke-2. Hal ini juga berlaku untuk urutan 5 sampai urutan 8. Kemudian untuk urutan ke-9, yakni {1 }, berarti ke-3 pesawat mendarat pada landasan pacu yang sama, dimulai dari pendaratan pesawat 1, kemudian disusul dengan pendaratan pesawat ke-2 dan diakhiri dengan pendaratan pesawat ke-3. Urutan-urutan pendaratan yang ditulis dalam Tabel 3.1.2, tentu saja memiliki nilai pinalti untuk setiap urutannya. Untuk menentukan total nilai pinalti yang terjadi dalam suatu pendaratan, maka akan dihitung berdasarkan fungsi 56

(71) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI objektifnya. Sebagai contoh, untuk memperoleh total nilai pinalti dari urutan 4, yakni {1 } maka total nilai pinalti ini dapat diperoleh dengan menyelesaikannya dengan metode pencabangan dan pembatasan menggunakan bantuan software QM. Maka fungsi objektif dan kendala-kendala yang terjadi untuk urutan 4 ini, ialah : Minimum : ( ) ( ) dengan kendala : 1) 9) 2) 10) 3) 10 11) 4) 12) 5) 13) 6) 14) 7) 15) 8) Kemudian kendala-kendala ini diselesaikan dengan bantuan Software QM for Windows 2 : 57

(72) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dan diperoleh hasil : Disini dapat dilihat bahwa, untuk penjadwalan (khusus untuk urutan {1 }) didapatkan untuk Dengan demikian, waktu pendaratan pesawat 1 dan pesawat 2 ialah pada menit ke 88 dan 98, dengan total nilai pinalti yang diakibatkan oleh penjadwalan ini ialah 3. 58

(73) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Begitupula halnya dengan urutan ke-10, yang melibatkan 3 pesawat. Untuk menentukan total nilai pinalti yang terjadi dari urutan 10, yakni {1 )} maka total nilai pinalti ini dapat diperoleh dengan menyelesaikannya dengan cara yang sama. Maka fungsi objektif dan kendala-kendala yang dibangun untuk urutan 10 ini, ialah : Minimum : ) ( ) ( ( ) dengan kendala : 1) 13) 2) 14) 3) 15) 4) 10 16) 5) 10 17) 6) 18) 7) 19) 8) 20) 9) 21) 10) 22) 11) 23) 12) Kemudian kendala-kendala diselesaikan dengan bantuan software QM for wondow 2 sebagai berilut : 59

(74) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dan menghasilkan keluaran sebagai berikut : 60

(75) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dari keluaran tersebut dapat kita ketahui bahwa penjadwalan untuk urutan {1 } didapatkan . Dengan demikian, waktu pendaratan pesawat 1, 3 dan 2 yang disarankan adalah pada menit 85, 95 dan 105 dengan nilai pinalti sebesar 34. Di bawah ini diberikan Tabel 3.2.3 yang memuat keseluruhan perhitungan dari semua urutan yang ada. Tabel 3.2.3 : Tabel waktu pendaratan pesawat beserta nilai pinalti Urutan Waktu Nilai Pendaratan Pendaratan Pinalti Urutan 1 {1} {88} 0 Urutan 2 {2} {95} 0 Urutan 3 {3} {100} 0 Urutan 4 {1 } {88, 98} 3 Urutan 5 {1 } {88,100} 0 Urutan 6 {3 } {85,95} 52 Urutan 7 {2 } {95,105} 5 Urutan 8 {3 } {95,105} 25 Urutan 9 {1 } {88, 98, 108} 11 Urutan 10 {1 } {85,95,105} 34 61

(76) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Pada Tabel 3.2.3 ini, diperoleh informasi mengenai nilai pinalti untuk setiap urutan pendaratan. Pada tabel diketahui, untuk urutan pendaratan pertama pesawat yang diperbolehkan melakukan pendaratan hanyalah pesawat nomor 1, dengan waktu pendaratan yang optimal ialah pada menit ke 88. Sehingga dengan waktu pendaratan pada menit ke 88, nilai pinalti yang terjadi adalah 0. Begitupula halnya dengan urutan ke-2 dan ke-3. Kemudian untuk urutan ke-4, lambang {1 } menyatakan pesawat 1 mendarat terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan pendaratan pesawat ke-2, dengan waktu pendaratan yang optimal ialah pada menit ke 88 untuk pesawat 1 dan pada menit ke 98 untuk pesawat 2. Dengan urutan tersebut nilai pinalti yang terjadi adalah 3. Begitupula halnya dengan informasi untuk urutan-urutan selanjutnya. Untuk mencari penjadwalan yang efektif untuk masalah pendaratan dengan 2 landasan pacu atau lebih, dibutuhkan model partisi himpunan yang akan dibahas pada subbab berikutnya. B. Model Partisi himpunan Dalam menyelesaikan masalah penjadwalan penerbangan dengan landasan pacu yang berjumlah satu, masalah penjadwalan dapat diselesaikan cukup dengan menggunakan program linear bilangan bulat saja. Namun untuk penjadwalan penerbangan yang terdiri dari dua atau lebih landasan pacu, maka dibutuhkan model partisi himpunan untuk menyelesaikannya. Berdasarkan informasi yang didapatkan dari urutan pendaratan yang memungkinkan, serta hubungan urutan pendaratan dengan nilai pinalti yang ada, masalah pendaratan dapat dirumuskan sebagai suatu model partisi himpunan. Dengan memodelkan masalah ini ke dalam 62

(77) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI model partisi himpunan akan didapatkan rumusan yang lebih baik, daripada hanya mempertimbangkan program linear bilangan bulat saja dalam masalah pendaratan ini. Model partisi himpunan itu sendiri banyak digunakan untuk memodelkan masalah optimisasi. Sebagai contoh, model partisi himpunan dapat digunakan untuk memodelkan masalah penjadwalan penerbangan, penjadwalan penugasan awak pesawat, dan sebagainya. Sebelum membahas mengenai model partisi himpunan, akan dibahas terlebih dahulu mengenai partisi himpunan. Secara umum, partisi himpunan didefinisikan sebagai berikut : Misalkan * + * + dan misalkan Maka P didefinisikan sebagai partisi dari I jika : 1. 2. * +. ⋃ Adapun contoh untuk partisi himpunan adalah sebagai berikut : 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 Gambar 3.1 : Contoh partisi himpunan (Larsen,2010) Pada gambar, setiap elemen yang merupakan subset , merupakan bagian dari partisi P. 63

(78) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Berdasarkan partisi himpunan yang telah diuraikan sebelumnya, maka dibentuk suatu model partisi himpunan. Misalkan dengan . Maka ∑ merupakan biaya yang terkait merupakan biaya dari suatu partisi P. Pada model partisi himpunan, fungsi objektif yang diberikan bertujuan untuk meminimalkan biaya dari partisi P* dari I. Model Partisi Himpunan ini juga dapat dinyatakan sebagai matriks. Untuk setiap vektor (kolom) dari suatu matriks menyatakan subset . Vektor-vektor tersebut haruslah bernilai 0 atau 1. Ukuran dari vektor tersebut akan sama dengan nilai m. Elemen-elemen pada matriks tersebut (misalkan i) merupakan subset dari bernilai 1 jika i dan bernilai 0 untuk kemungkinan lainnya. Representasi matriks untuk model partisi himpunan pada Gambar 3.1 Dituliskan sebagai berikut : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 c1 c2 c3 c4 c5 c6 = = = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c7 c8 c9 c10 c11 64

(79) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Misalkan kolom-kolom tersebut kita anggap sebagai matriks A, maka : 1. Terdapat korespondensi satu-satu antara 2. Variabel 3. Dapat ditulis kendala sebagai dan kolom j. dengan nilai 0 dan 1 terkait dengan kolom j. ( Sehingga penyelesaian dari matriks diatas adalah Secara umum, model partisi himpunan ( ) dapat digunakan ). untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Adapun rumusan model partisi himpunan untuk menyelesaikan masalah optimisasi adalah : 3.14 dengan kendala : ( dimana * + merupakan biaya dari variabel j, ) 3.15 3.16 =1 jika kolom j terdapat dalam kolom i , dan bernilai 0 untuk lainnya. Dalam masalah pendaratan pesawat, partisi himpunan ini sangat membantu dalam pengelompokkan pesawat dan landasan pacu yang sama. Dengan demikian saat menentukan penjadwalan dengan partisi himpunan ini akan memberikan hasil yang optimal untuk suatu penjadwalan tanpa perlu memilah kembali penggunaan landasan pacu untuk suatu pesawat. Dalam menyelesaikan masalah penerbangan dengan menggunakan partisi himpunan, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Misalkan pada Contoh 3.2, terdapat urutan pesawat {1 }. Di dalam model partisi himpunan, urutan 65

(80) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI tersebut ditulis dalam bentuk [ 1 1 0 ], artinya yang melakukan pendaratan adalah pesawat 1 dan pesawat 2 pada landasan pacu yang sama. Untuk selanjutnya [1 1 0] disebut sebagai kolom. Adapun bentuk kolom dari semua urutan pendaratan pesawat pada Contoh 3.2 adalah sebagai berikut: Tabel 3.2.4 : Tabel urutan pendaratan pesawat dalam bentuk kolom Urutan Kolom Nilai Pendaratan Pendaratan Pinalti Urutan 1 {1} [1 0 0] 0 Urutan 2 {2} [0 1 0] 0 Urutan 3 {3} [0 0 1] 0 Urutan 4 {1 } [1 1 0] 3 Urutan 5 {1 } [1 0 1] 0 Urutan 6 {3 } [1 0 1] 52 Urutan 7 {2 } [0 1 1] 5 Urutan 8 {3 } [0 1 1] 25 Urutan 9 {1 } [1 1 1] 11 Urutan 10 {1 } [1 1 1] 34 Dalam tabel di atas, dapat dilihat bahwa ada beberapa urutan pendaratan yang terdiri dari beberapa pesawat yang sama, namun memiliki nilai yang berbeda. Sebagai contoh terdapat urutan pendaratan {1 pendaratan {3 } dan urutan } dengan nilai pinalti masing-masing 0 dan 52. Dalam 66

(81) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI perhitungan pada partisi himpunan, urutan yang terdiri dari pesawat yang sama yang dipertimbangkan hanyalah urutan yang memiliki nilai paling minimum. Dalam hal ini urutan yang memiliki nilai paling minimum adalah urutan {1 }. Pesawat-pesawat yang dicakup pada kolom yang sama, harus mendarat pada landasan pacu yang sama. Selain itu, kendala yang berkaitan dengan jumlah landasan pacu perlu ditambahkan. Beberapa notasi tambahan yang diperlukan pada model partisi himpunan adalah sebagai berikut : S : himpunan semua urutan pendaratan yang memungkinkan ) : bernilai 1 jika pesawat i muncul pada urutan s ( bernilai 0 jika pesawat i tidak muncul pada urutan s. : nilai pinalti dari keseluruhan urutan pendaratan, dan dituliskan sebagai : : urutan pendaratan pesawat yang memungkinkan dengan nilai pinalti yang minimum antar kolom yang sama, dimana merupkan bilangan biner yang bernilai 1 jika urutan pendaratan s dipilih dan bernilai 0 jika urutan pendaratan s tidak dipilih : banyaknya landasan pacu yang tersedia ∑( ) Sehingga model partisi himpunan untuk masalah pendaratan ini ialah : 67

(82) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3.17 ∑ dengan kendala : ∑ 3.18 ∑ 3.19 3.20 merupakan bilangan biner dimana R merupakan jumlah landasan pacu yang digunakan. Pada persamaan 3.17, fungsi objektif berperan dalam meminimalkan akumulasi nilai pinalti dari semua urutan pendaratan. Kendala 3.18 memastikan bahwa setiap pesawat akan mendarat tepat pada satu landasan pacu. Sedangkan kendala 3.19 menunjukkan batasan dari jumlah landasan pacu yang tersedia. Kendala 3.20 berperan dalam menyatukan kendala pada variabel keputusan . Contoh 3.3 : Sebelum menyelesaikan masalah pendaratan pada Contoh 3.2 dengan model partisi himpunan, urutan-urutan pendaratan yang telah diketahui nilai pinaltinya dipilih urutan mana yang memiliki nilai pinalti terkecil untuk urutan yang terdiri dari pesawat yang sama. Sebagai contoh, untuk pesawat 1 dan pesawat 3, terdapat 2 kemungkinan urutan, yakni urutan {1 } dan urutan {3 pinalti masing-masing 0 dan 52. Karena urutan {1 yang terkecil, maka urutan {1 } dengan nilai } memiliki nilai pinalti } dipilih untuk pertimbangan dalam menyelesaikan masalah pendaratan ini dengan menggunakan partisi himpunan. 68

(83) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Sehingga untuk keseluruhan nilai minimum dari urutan-urutan yang akan termasuk dalam bagian partisi himpunan adalah sebagai berikut : Tabel 3.3.1 : Informasi lengkap untuk model partisi himpunan Variabel Urutan Pendaratan Waktu Pendaratan 0 [1 0 0] {1} {88} 0 [0 1 0] {2} {95} 0 [0 0 1] {3} {100} 3 [1 1 0] {1 } {88, 98} 0 [1 0 1] {1 } {88,100} 5 [0 1 1] {1 } {88, 98, 108} 11 [1 1 1] {1 } {85,95,105} Berdasarkan model partisi himpunan yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya dan informasi nilai pinalti dari semua urutan pendaratan, maka dapat dibentuk model partisi himpunan untuk contoh kasus masalah pendaratan ini dengan menggunakan 2 landasan pacu : dengan kendala 69

(84) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Model partisi himpunan untuk masalah pendaratan ini diselesaikan dengan bantuan Software QM for Windows 2 dan menghasilkan : Berdasarkan hasil yang diperoleh di atas, masalah pendaratan ini memiliki penyelesaian optimal, , - dengan nilai pinalti sebesar 0. Dari hasil ini memberikan informasi kepada kita bahwa untuk mendapatkan urutan pendaratan yang optimum ialah dengan mengkombinasikan urutan yang terdapat pada variabel dan pada 2 landasan pacu. Jika dirangkum, dapat dituliskan sebagai : Tabel 3.3.2 : Tabel hasil akhir Contoh 3.3 Kolom Urutan Landasan Pacu Nilai Pinalti pendaratan Pendaratan 1 [0 1 0] {2} 2 [1 0 1] {1 Total nilai pinalti dalam pendaratan 0 } 0 0 70

(85) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tabel 3.3.2 ini menjelaskan bahwa untuk pesawat 2 mendarat pada landasan pacu pertama pada menit ke 95, dan pesawat 1 dan 3 mendarat pada landasan pacu kedua pada menit ke 88 dan 100. Berdasarkan perhitungan dengan model partisi himpunan, urutan inilah yang paling optimal jika dibandingkan dengan kombinasi urutan-urutan lainnya. C. Program Linear Bilangan Bulat Campuran Berdasarkan pemaparan di atas, masalah pendaratan dapat diselesaikan dengan program linear bilangan bulat saja, kemudian diperluas lagi menggunakan model partisi himpunan. Namun, untuk masalah yang berskala besar bila menggunakan metode sebelumnya untuk menyelesaikan masalah ini, maka akan memakan banyak waktu, karena terdapat banyak sekali kemungkinan urutan kolom. Suatu model matematika dapat dibentuk untuk menentukan nilai pinalti minimum tanpa menentukan urutan pendaratan terlebih dahulu. Rumusan masalah optimasi ini dapat diperoleh dengan menambahkan beberapa kendala pada masalah program linear awal. Penambahan kendala tersebut berupa penambahan variabel baru yakni pesawat i mendarat sebelum pesawat j dan , dimana bernilai 1 jika bernilai 0 jika sebaliknya. Kendala ini dibuat untuk memastikan bahwa pesawat i mendarat sebelum maupun sesudah pesawat j. Adapun kendala tersebut secara matematis dapat dituliskan dengan : 3.21 dengan merupakan himpunan pesawat yang muncul pada kolom 71

(86) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Kemudian ditambahkan pula suatu kendala untuk mengatur jeda waktu antar pesawat, dimana untuk pendaratan pesawat yang dimulai dari pesawat i terlebih dahulu dan dilanjutkan dengan pendaratan pesawat j, maka waktu pendaratan pesawat j setidaknya merupakan penjumlahan dari waktu pendaratan pesawat i dan jeda waktu antar pesawat, atau dapat dituliskan sebagi berikut : [ ] [ ] [ 3.22 ] atau secara matematis dapat dituliskan : 3.23 Untuk pendaratan pesawat yang dimulai dari pendaratan pesawat j kemudian dilanjutkan dengan pendaratan pesawat i, maka waktu pendaratan pesawat j setidaknya merupakan penjumlahan dari waktu pendaratan pesawat i dengan selisih waktu pendaratan terlambat pesawat i dan waktu pendaratan terawal pesawat j, atau dapat dituliskan sebagai berikut : 3.24 [ ] [ ] [( ) ( )] atau secara metematis dituliskan : ( ) Sehingga kendala 3.23 dan kendala 3.25 3.25 jika dituliskan secara metematis menjadi: 72

(87) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( dengan : ) 3.26 { Dengan demikian, maka rumusan model untuk masalah program linear bilangan bulat adalah sebagai berikut : ∑ 3.27 3.28 3.29 ( ) 3.30 3.31 3.32 0 3.33 0 3.34 3.35 3.36 merupakan bilangan biner 3.37 Rumusan persamaan linear bilangan bulat campuran ini digunakan untuk mendapatkan nilai pinalti yang minimum, meskipun urutan pendaratan belum diketahui. Di bawah ini akan diberikan contoh mengenai masalah pendaratan 73

(88) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pesawat yang diselesaikan dengan menggunakan program linear bilangan bulat campuran : Contoh 3.4 : Berdasarkan pada Contoh 3.2, dapat diketahui himpunan pesawat yang akan muncul pada kolom a adalah sebagai berikut : ** + * + * + * Pada himpunan +* +* +* ++ tidak diketahui urutan pendaratan pesawat. Misalnya untuk {1,2}, tidak diketahui pesawat mana yang akan melakukan pendaratan terlebih dahulu. Ada kemungkinan pesawat 1 mendarat terlebih dahulu, ada juga kemungkinan pesawat 2 yang melakukan pendaratan terlebih dahulu, kemudian disusul oleh pesawat 1. Program linear bilangan bulat campuran akan memberikan informasiinformasi mengenai waktu pendaratan dan nilai pinalti dari setiap anggota himpunan. Sebagai contoh, untuk anggota himpunan {1,2} dapat diketahui urutan yang menghasilkan nilai pinalti paling optimal jika diselesaikan dengan program linear bilangan bulat campuran. Dengan menggunakan data pada Contoh 3.2, maka dapat dirumuskan masalah program linear bilangan bulat campuran sebagai berikut : Minimum : ( ) ( ) 74

(89) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dengan kendala : 1) 10) 2) 11) 3) 12) 4) 5) 6) ( ( 10 ) ) 13) 14) 15) 7) 16) 8) 17) 9) 18) Kemudian kendala-kendala tersebut diselesaikan dengan bantuan Sofware QM for Windows 2, sebagai berikut : dan menghasilkan keluaran sebagai berikut : 75

(90) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari keluaran di atas didapatkan . Hasil ini menunjukkan bahwa urutan pendaratan yang optimum untuk {1,2} adalah pendaratan yang dimulai dari pesawat 1, kemudian disusul oleh pendaratan pesawat 2 atau biasa ditulis dengan {1 }, dimana waktu pendaratan yang menghasilkan nilai pinalti paling optimum untuk pendaratan pesawat 1 adalah pada menit ke 88, dan pendaratan pesawat 2 ialah pada menit ke 98. Hal yang sama juga dilakukan untuk mengetahui urutan penjadwalan yang melibatkan 3 pesawat. Dalam hal ini, kendala yang dipertimbangkan akan lebih banyak bila dibandingkan dengan penjadwalan pendaratan yang hanya melibatkan 2 pesawat saja. Adapun fungsi objektif dan kendala-kendala yang dirumuskan untuk menentukan urutan penjadwalan yang melibatkan 3 pesawat adalah sebagai berikut : Minimum : ( ) ( ) ( ) 76

(91) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dengan kendala : 1) 17) 2) 18) 3) 19) 4) 20) 5) 21) 6) 22) 7) 8) 9) 10) ( 23) ) 25) ) 27) ( ) 24) ( ) 26) ) 28) ( 12) ( 13) ( 10 14) 10 11) ) 29) 30) 15) 31) 16) 32) Kemudian kendala-kendala diselesaikan dengan bantuan Software QM for Windows 2 : 77

(92) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dan menghasilkan keluaran sebagai berikut : Dari keluaran di atas diketahui bahwa nilai . Berdasarkan hasil yang diperoleh ini dapat diketahui urutan dengan nilai pinalti minimum adalah urutan pendaratan pesawat yang dimulai oleh pesawat 1, kemudian disusul oleh pendaratan pesawat 2, dan diakhiri dengan pendaratan 78

(93) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pesawat 3 atau biasa ditulis {1 }, dimana waktu pendaratan yang menghasilkan nilai pinalti paling optimum untuk pendaratan pesawat 1 adalah pada menit ke 88, pendaratan pesawat 2 pada menit ke 98 dan pendaratan pesawat 3 pada menit ke 108. Dengan cara yang sama, dilakukan perhitungan terhadap semua anggota himpunan yang lainnya, sehingga keseluruhan hasil untuk masalah pendaratan dengan program linear bilangan bulat campuran ini ialah : Tabel 3.4.1 : Penyelesaian Masalah Pendaratan dengan Program Linear Bilangan Bulat Campuran Waktu Urutan Nilai Variabel Pendaratan Pendaratan Pinalti (dalam menit) {1} {1} {88} 0 {2} {2} {95} 0 {3} {3} {100} 0 {1,2} {1 } {88, 98} 3 {1,3} {1 } {88,100} 0 {2,3} {2 } {88, 98, 108} 5 {85,95,105} 11 {1,2,3} {1 } Berdasarkan hasil yang diperoleh pada Tabel 3.2.7, diketahui bahwa hasil pada Tabel 3.2.7 sama dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 3.3. Hal ini menunjukkan bahwa meskipun diselesaikan dengan metode yang berbeda, hasil 79

(94) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI yang diperoleh tetap sama. Perbedaannya terletak pada proses pengerjaannya. Keunggulan program linear bilangan bulat campuran pada masalah pendaratan ini ialah dapat diketahui urutan penerbangan yang menghasilkan nilai pinalti minimum tanpa perlu mengetahui kemungkinan-kemungkinan pendaratan yang melibatkan beberapa pesawat. Namun, kelemahan yang dari program linear bilangan bulat campuran ini ialah diperlukan kendala yang sangat banyak jika masalah pendaratan pesawat yang akan diselesaikan merupakan masalah pendaratan dengan skala besar. 80

(95) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV APLIKASI PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DALAM PENJADWALAN PENERBANGAN PADA BANDAR UDARA SUPADIO Pada pemaparan di muka telah dijelaskan mengenai masalah pendaratan yang digunakan untuk menentukan penjadwalan penerbangan pada suatu bandar udara. Untuk mengetahui apakah masalah pendaratan ini efektif untuk diterapkan pada bandara udara, maka diambil data asli dari Bandar Udara Supadio Pontianak. Pada Bandar Udara ini setiap harinya melayani setidaknya 67 penerbangan. Bandar udara ini selalu menggunakan metode antrian First Come First Served (FCFS). Pelayanan didahulukan untuk pesawat yang pertama kali melakukan kontak pada ATC untuk melakukan pendaratan ataupun lepas landas. Pada Bandar Udara Supadio ini, pelayanan juga didahulukan untuk pesawat yang hendak melakukan pendaratan. Sehingga jika terdapat beberapa pesawat yang antri untuk melakukan pendaratan, maka pesawat yang hendak melakukan keberangkatan pada waktu yang bersamaan harus mengalah pada pesawat yang akan melakukan pendaratan. Setiap aktivitas keberangkatan atau kedatangan suatu pesawat, ada beberapa data yang dicatat oleh ATC. Data-data tersebut dapat berupa data waktu, data

(96) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI asal/tujuan penerbangan, data ketinggian jelajah, maupun data mengenai landasan pacu yang digunakan. Namun, karena pada tugas akhir ini membahas mengenai penjadwalan, maka data yang digunakan berupa data waktu saja. Data waktu yang dicatat pada data keberangkatan dan data kedatanganpun berbeda. Adapun data-data yang dicatat oleh ATC ialah sebagai berikut : 1. Data kedatangan Data kedatangan yang dicatat berupa : a. First contact, yakni kontak pertama pilot dengan ATC pada saat pesawat berada 10 mil dari landasan pacu, atau bila dinyatakkan dalam satuan menit sekitar 4-5 menit. b. Estimated time, yakni perkiraan waktu kedatangan (pendaratan) suatu pesawat dihitung berdasarkan waktu keberangkatannya dari bandar udara asal. c. Actual time arrival, yakni waktu kedatangan sesungguhnya suatu pesawat. Data dicatat saat pesawat pertama kali menyentuh landasan. 2. Data keberangkatan Data keberangkatan yang dicatat berupa : a. Start, yakni waktu pertama kali mesin pesawat dinyalakan b. Taxiing, yakni waktu pertama kali pesawat berjalan dari apron (tempat parkir) menuju landasan pacu c. Actual time departure, yakni waktu keberangkatan sesungguhnya yang dilakukan pesawat tersebut. Pencatatan dihitung dari pesawat memulai lepas landas. 82

(97) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Untuk menyesuaikan data pada Bandar Udara Supadio dengan metode yang digunakan pada tugas akhir ini, maka ada beberapa data yang diperoleh dari datadata tersebut di atas, sehingga memenuhi kriteria yang dibutuhkan dalam metode ini, yakni : 1. Untuk proses kedatangan, maka waktu tercepat dari suatu pesawat diperbolehkan mendarat ( ) adalah waktu dimana pesawat berada dalam kecepatan maksimum. Adapun khusus untuk kasus ini, berdasarkan informasi yang diperoleh dari ATC Bandar Udara Supadio, untuk pesawat boeing dengan kecepatan maksimum, maka waktu tempuh pesawat rata-rata 10 menit lebih cepat dari waktu perkiraannya. Sedangkan untuk pesawat jenis ATR dengan kecepatan maksimum, maka waktu tempuh pesawat ratarata lebih cepat 2 menit dari waktu perkiraannya, atau dapat ditulis secara matematis : Waktu perkiraan Waktu perkiraan menit untuk pesawat boeing menit untuk pesawat ATR Kemudian untuk proses keberangkatan, waktu tercepat ( ) disini didefinisikan dengan pesawat mulai melakukan perjalanan menuju landasan pacu (taxiing). 2. Untuk proses kedatangan, target waktu ( ) disini merupakan waktu perkiraan yang terdapat pada data yang telah dicatat oleh ATC, dan dituliskan sebagai : 83

(98) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Target waktu = waktu perkiraan 4.3 Kemudian untuk proses keberangkatan, target waktu ( ) yang digunakan adalah waktu saat pesawat melakukan taxiing + 4 menit. Hal ini dengan asumsi bahwa rata-rata pesawat berjalan dari apron sampai landasan pacu dan siap untuk melakukan lepas landas adalah . Sehingga target waktu ( ) dapat dituliskan sebagai : Waktu taxiing 4.4 menit Untuk proses kedatangan, waktu terlambat ( ) didefinisikan sebagai rata- 3. rata waktu pendaratan yang sebenarnya dari data-data tanggal 20-26 Januari 2014. Kemudian untuk proses keberangkatan, waktu terlambat ( ) didefiniskan sebagai rata-rata waktu lepas landas yang sesungguhnya dari tanggal 20-26 Januari 2014. Sehingga bedasarkan data-data tersebut, didapatkan data yang akan diolah berdasarkan metode ini adalah sebagai berikut : Tabel 4.1 : Rangkuman data penerbangan pada Bandar Udara Supadio Pontianak NO NOMOR PENERBANGAN 1 2 3 4 5 GIA 501 GIA 500 KLS 948 NAM 9187 KLS 621 6:22 6:30 6:43 6:41 7:04 6:26 6:40 6:46 6:51 7:07 6:27 6:42 6:48 6:54 7:13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 84

(99) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 6 7 8 LNI 711 SJY 185 XAR 831 7:12 7:14 7:16 7:16 7:18 7:20 7:18 7:19 7:21 1 1 1 1 1 1 9 TGN 120 7:18 7:20 7:24 1 1 10 11 12 13 KLS 670 SJY 180 GIA 503 KLS 929 7:22 7:21 7:37 7:43 7:25 7:31 7:41 7:45 7:27 7:34 7:44 7:47 1 1 1 1 1 1 1 1 14 MWG 3813 7:40 7:50 8:01 1 1 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 KLS 941 NAM 9237 LNI 170 KLS 933 SJY 188 TGN 125 LNI 719 SJY 189 XAR 861 GIA 502 GIA 505 LNI 712 XAR 830 KLS 926 SJY 186 GIA 512 LNI 713 NAM9237 XAR 1870 LNI 688 GIA 513 NAM 9187 SJY 187 KLS 927 LNI 689 XAR 1871 KLS 944 7:49 7:49 8:04 8:16 8:09 8:22 9:04 9:22 9:45 9:52 10:24 10:20 10:43 11:33 11:36 11:39 11:52 11:48 12:22 12:27 12:41 12:46 12:48 13:07 13:24 13:25 13:32 7:51 7:53 8:14 8:19 8:19 8:25 9:08 9:26 9:55 10:02 10:28 10:30 10:53 11:36 11:46 11:49 11:56 11:58 12:26 12:37 12:45 12:50 12:52 13:09 13:28 13:35 13:35 7:53 7:54 8:16 8:22 8:24 8:29 9:08 9:26 9:59 10:06 10:30 10:33 10:58 11:39 11:57 11:56 11:58 11:59 12:28 12:45 12:53 12:53 12:57 13:13 13:29 13:31 13:35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 85

(100) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 dengan : GIA 504 LNI 684 LNI 714 GIA 507 LNI 685 GIA 506 GIA 509 KLS 923 KLS 945 TGN 137 LNI 715 KLS 942 SJY 182 KLS 928 TGN 128 KLS 934 GIA 514 SJY 183 GIA 508 GIA 515 GIA 511 KLS 671 GIA 510 LNI 716 SJY 184 LNI 718 14:21 14:36 14:48 15:17 15:44 15:41 16:10 16:12 16:13 16:20 16:21 16:26 16:26 16:36 16:44 16:59 16:58 17:29 17:49 17:58 18:28 18:39 18:44 19:18 19:46 20:56 14:31 14:46 14:58 15:21 15:48 15:51 16:14 16:14 16:15 16:23 16:25 16:29 16:36 16:39 16:46 17:01 17:08 17:33 17:59 18:02 18:32 18:41 18:54 19:28 19:56 21:06 14:31 14:53 15:01 15:24 15:50 15:54 16:15 16:30 16:15 16:40 16:27 16:32 16:40 16:40 16:50 17:05 17:11 17:36 18:01 18:03 18:34 18:45 19:57 19:33 20:12 21:08 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : waktu terawal suatu pesawat diperbolehkan mendarat/ lepas landas : target waktu suatu pesawat tmendarat/lepas landas : waktu terlama suatu pesawat diperbolehkan mendarat/ lepas landas L : landing (pendaratan) 86

(101) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI T : take off (lepas landas) Adapun selang waktu antar penjadwalan berbeda untuk setiap jenisnya (pendaratan/lepas landas). Selang waktu untuk penjadwalan ini diberikan sebagai berikut : 1. Untuk i = j yang menunjukkan pesawat i dan j mendarat, maka jeda waktu antar pesawat i dan j (sij) adalah : 2. a. , dengan pesawat i = pesawat ATR b. , dengan pesawat j = pesawat boeing Untuk i ,dimana i menunjukkan pesawat melakukan pendaratan dan j menunjukkan pesawat yang melakukan lepas landas, maka jeda waktu antar pesawat i dan j (sij) adalah : 3. a. dengan pesawat i = pesawat ATR b. dengan pesawat j = pesawat boeing Untuk i ,dimana i menunjukkan pesawat melakukan lepas landas dan j menunjukkan pesawat yang melakukan pendaratan, maka jeda waktu antar pesawat i dan j (sij) adalah : untuk i dan j semua jenis pesawat 4. Untuk i = j yang menunjukkan pesawat i dan j mendarat, maka jeda waktu antar pesawat i dan j (sij) adalah : a. dengan pesawat i = pesawat ATR b. dengan pesawat j = pesawat boeing 87

(102) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Untuk memudahkan perhitungan, data waktu diubah bentuknya ke dalam total menit yang diukur mulai pukul 00.00 untuk setiap jamnya. Sehingga bentuk baru dari data tersebut adalah sebagai berikut : Tabel 4.2 : Data penerbangan pada Bandara Udara Supadio Pontianak dalam menit NOMOR NO KET WAKTU 386 387 T 2 GIA 500 390 400 402 L 3 KLS 948 403 406 408 T 4 NAM 9187 401 411 414 L 5 KLS 621 424 427 433 T 6 LNI 711 432 436 438 T 7 SJY 185 434 438 439 T 8 TGN 120 438 440 444 L 9 XAR 831 436 440 441 T 10 KLS 670 442 445 447 T 11 SJY 180 441 451 454 L 12 GIA 503 457 461 464 T 13 KLS 929 463 465 467 L 14 MWG 3813 460 470 481 L 06:00 382 07:00 GIA 501 PUKUL 1 PUKUL PENERBANGAN 88

(103) 473 474 T 17 LNI 170 484 494 496 L 18 SJY 188 489 499 504 L 19 KLS 933 496 499 502 T 20 TGN 125 502 505 509 T 21 LNI 719 544 548 548 T 22 SJY 189 562 566 566 T 23 XAR 861 585 595 599 L 24 GIA 502 592 602 606 L 25 GIA 505 624 628 630 T 26 LNI 712 620 630 633 L 27 XAR 830 643 653 658 L 28 KLS 926 693 696 699 T 29 SJY 186 696 706 717 L 30 GIA 512 699 709 716 L 31 LNI 713 712 716 718 T 32 NAM9237 708 718 719 L 33 XAR 1870 742 746 748 T 34 LNI 688 747 757 765 L 35 GIA 513 761 765 773 T 36 NAM 9187 766 770 773 T 08:00 469 09:00 NAM 9237 10:00 16 11:00 L 12:00 473 PUKUL 471 PUKUL 461 PUKUL KLS 941 PUKUL 15 PUKUL PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 89

(104) KLS 927 787 789 793 L 39 LNI 689 804 808 809 T 40 XAR 1871 805 815 811 L 41 KLS 944 812 815 815 T 42 GIA 504 861 871 871 L 43 LNI 684 876 886 893 L 44 LNI 714 888 898 901 L 45 GIA 507 917 921 924 T 46 LNI 685 944 948 950 47 GIA 506 941 951 954 L 48 KLS 923 972 974 990 L 49 GIA 509 970 974 975 T 50 KLS 945 973 975 975 L 51 TGN 137 980 983 1000 T 52 LNI 715 981 985 987 T 53 KLS 942 986 989 992 T 54 SJY 182 986 996 1000 L 55 KLS 928 996 999 1000 T 56 TGN 128 1004 1006 1010 L 57 KLS 934 1019 1021 1025 L T 13:00 38 14:00 T 15:00 777 16:00 772 PUKUL 768 PUKUL SJY 187 PUKUL 37 PUKUL PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 90

(105) SJY 183 1049 1053 1056 T 60 GIA 508 1069 1079 1081 L 61 GIA 515 1078 1082 1083 T 62 GIA 511 1108 1112 1114 T 63 KLS 671 1119 1121 1125 L 64 GIA 510 1124 1134 1197 L 65 LNI 716 1158 1168 1173 L 66 SJY 184 1186 1196 1212 L 67 LNI 718 1256 1266 1268 L 17:00 59 18:00 L 19:00 1031 20:00 1028 PUKUL 1018 PUKUL GIA 514 PUKUL 58 PUKUL PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Agar perhitungan dapat dilakukan dengan lebih mudah, maka penentuan kemungkinan urutan yang memungkinkan dibagi dalam tiap jamnya. Hal ini dapat dilakukan dengan mengabaikan keterkaitan data antar jam. Dalam penentuan urutan, untuk mempermudah dalam penulisan, nomor penerbangan diwakilkan berdasarkan nomor urut dari setiap nomor penerbangan. Berdasarkan data-data pada Tabel 4.2 diperoleh semua urutan pendaratan/lepas landas pesawat yang memungkinkan adalah : Tabel 4.3 : Urutan pendaratan/lepas landas pesawat yang memungkinkan Urutan Pendaratan Pukul 06:00 {1→2→3→4} 91

(106) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI {5} { 6 → 7 → 8} {9 → 10} { 11 → 12} { 13 → 14 → 15 → 16 } { 13 → 14 → 16 → 15 } { 13 → 15 → 14 → 16} { 13 → 15 → 16 → 14 } Pukul 07:00 { 13 → 16 → 14 → 15 } { 13 → 16 → 15 → 14 } { 14 → 13 → 15 → 16 } { 14 → 13 → 16 → 15 } { 14 → 15 → 13 → 16 } { 15 → 13 → 14 → 16 } { 15 → 13 → 16 → 14 } { 15 → 13 → 14 → 16 } { 17 } { 18 → 19 } Pukul 08:00 { 19 → 18 } { 20 } { 21 } Pukul 09:00 { 22 } 92

(107) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI { 23 → 24 } { 24 → 23 } { 25 → 26 } Pukul 10:00 { 26 → 25 } { 27 } { 28 → 29 → 30 → 31 → 32 } { 28 → 29 → 32 → 30 → 31 } { 28 → 29 → 32 → 31→ 30 } {28 → 30 → 29 → 31 → 32} Pukul 11:00 { 28 → 30 → 29 → 32 → 31 } {28 → 30 → 31 → 29 → 32 } { 28 → 30 → 32 → 29 →31} { 28 → 30 → 32 → 31 → 29 } { 33 } { 34 → 35 → 36 →37 } { 34 → 35 → 37 →36 } { 34 → 36 →35 → 37 } Pukul 12 : 00 { 34 → 36 → 37 → 35} { 34 → 37 → 35 → 36 } { 34 → 37 → 36 → 35} { 35 → 34 → 36 → 37 } { 35 → 34 →37 → 36 } 93

(108) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI { 38 } Pukul 13 :00 { 39 → 40 → 41 } { 42 } Pukul 14:00 { 43 → 44 } { 44 → 43 } { 45 } Pukul 15:00 { 46 → 47 } { 47 → 46 } { 48 → 49 → 50 } { 48 → 50 →49 } { 51 → 52 → 53 → 54 →55 } { 51 → 52 →53 → 55 →54 } { 51 → 52 → 54 → 53 →55 } { 51 → 53 →52 → 54 →55 } { 51 → 53 → 52 → 55 → 54 } { 52 → 51 → 53 → 54 → 55 } { 52 → 51 → 53 → 55 → 54 } { 52 → 51 → 54 → 53 → 55 } { 52 → 53 → 51 → 54 → 55 } { 52 → 53 → 51 → 55 → 54 } { 52 → 53 → 54 → 51 → 55 } Pukul 16:00 { 52 → 54 → 53 → 51 → 55 } 94

(109) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI { 56 → 57 → 58 } { 56 → 58 → 57 } { 59 } Pukul 17:00 { 60 } {61 } Pukul 18:00 { 62 } { 63 → 64 } { 65 } Pukul 19:00 { 66 } Pukul 20:00 { 67 } Pada Tabel 4.3, pada urutan pertama hanya terdapat 1 urutan saja, karena urutan lain merupakan urutan yang tidak memungkinkan untuk dipertimbangkan dalam urutan. Pada urutan untuk pukul 07:00, urutan pertama terdapat urutaan {5} saja. Ini menandakan bahwa hanya pesawat nomor 5 saja yang mendarat pada selang waktu tersebut. Ini dikarenakan selang waktu yang diberikan untuk pesawat nomor 5 tidak berkaitan dengan selang waktu pesawat lainnya, sehingga hanya ditentukan pesawat nomor 5 saja yang melakukan lepas landas. Kemudian untuk urutan { 6 → 7 → 8}, menandakan jika urutan lepas landas dimulai dari pesawat nomor 6, dilanjutkan pesawat nomor 7 dan kemudian dilanjutkan lagi oleh pesawat nomor 8. Untuk pesawat 6, 7 dan 8 ini hanya terdapat 1 kemungkinan urutan saja. Begitupula untuk urutan {9 → 10} dan urutan { 11 → 95

(110) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 12}. Untuk pesawat 13 sampai 16 terdapat 12 urutan yang memungkinkan. Sehingga dari semua kemungkinan urutan ini nantinya akan dicari urutan yang memiliki nilai pinalti paling minimum. Hal ini berlaku pula untuk urutan pada kelompok waktu selanjutnya. Urutan-urutan pendaratan pada Tabel 4.3 tentu saja memiliki nilai pinalti untuk setiap urutannya. Untuk menentukkan total nilai pinalti yang terjadi dalam suatu pendaratan, maka akan dihitung berdasarkan fungsi objektifnya. Sebagai contoh, untuk memperoleh nilai pinalti yang dihasilkan pada urutan untuk pukul 06:00 yakni { 1 → 2 → 3 → 4 } maka total nilai pinalti ini dapat diperoleh dengan menyelesaikannya menggunakan Metode Pencabangan dan pembatasan dengan bantuan Sofware QM for Windows 2. Maka kendala-kendala yang terjadi pada urutan ini ialah : Minimum : ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) dengan kendala : 1) 16) 2) 17) 3) 18) 4) 19) 5) 1 20) 6) 4 21) 96

(111) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7) 22) 8) 23) 9) 24) 10) 25) 11) 26) 12) 27) 13) 28) 14) 29) 15) 30) 31) Kemudian kendala-kendala ini diselesaikan dengan bantuan Software QM for Windows 2 : 97

(112) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dan diperoleh hasil : Disini dapat dilihat bahwa penjadwalan untuk urutan { 1 → 2 → 3 → 4 } didapatkan . Dengan demikian waktu pendaratan pesawat 1, pesawat 2, pesawat 3 dan pesawat 4 berturut-turut adalah : 386, 400,406 dan 411 dan nilai pinalti untuk urutan ini ialah 0. Perhitungan untuk urutan lainnya juga dilakukan sama seperti perhitungan untuk urutan {1→2→3→4}, sehingga keseluruhan hasil dari semua kemungkinan urutan dirangkum ke dalam Tabel 4.4 sebagai berikut : 98

(113) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tabel 4.4 : Tabel waktu pendaratan beserta nilai pinalti Waktu Pendaratan/ Nilai Lepas Landas Pinalti {1→2→3→4} { 386, 400, 406, 411 } 0 {5} { 427 } 0 { 6 → 7 → 8} { 433, 437, 441 } 5 {9 → 10} { 442, 445 } 0 { 11 → 12} { 451, 461} 0 { 13 → 14 → 15 → 16 } { 464, 467, 471, 474} 5 { 13 → 14 → 16 → 15 } { 465, 468, 472, 473} 5 { 13 → 15 → 14 → 16} { 465, 469, 472, 473 } 4 Pukul { 13 → 15 → 16 → 14 } { 465, 470, 473, 474} 5 07:00 { 13 → 16 → 14 → 15 } { 465, 469, 470, 471 } 4 { 13 → 16 → 15 → 14 } { 465, 470, 471, 474 } 7 { 14 → 13 → 15 → 16 } { 463, 467, 470, 473 } 10 { 14 → 13 → 16 → 15 } { 463, 467, 470, 471 } 12 { 14 → 15 → 13 → 16 } { 460, 464, 467, 473 } 19 { 15 → 13 → 14 → 16 } { 464, 467, 470, 474 } 10 { 15 → 13 → 16 → 14 } { 464, 467, 470, 471 } 13 { 15 → 13 → 14 → 16 } { 464, 467, 470, 471 } 13 { 17 } { 494 } 0 Urutan Pendaratan Pukul 06:00 Pukul 99

(114) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI { 18 → 19 } { 498, 499} 1 { 19 → 18 } { 498, 502 } 4 { 20 } { 505 } { 21 } { 548 } 0 Pukul { 22 } { 566 } 0 09:00 { 23 → 24 } { 595, 602} 0 { 24 → 23 } {595, 599} 11 { 25 → 26 } { 628, 630 } 0 { 26 → 25 } { 626, 630 } 6 { 27 } { 653 } 0 { 28 → 29 → 30 → 31 → 32 } { 698, 706, 710, 716, 718 } 1 { 28 → 29 → 32 → 30 → 31 } { 696,706,711, 715, 716} 13 { 28 → 29 → 32 → 31→ 30 } { 696, 706, 711, 715, 716 } 15 Pukul {28 → 30 → 29 → 31 → 32} { 696,708,712,716,718} 7 11:00 { 28 → 30 → 29 → 32 → 31 } { 696, 706, 710, 714, 718} 13 {28 → 30 → 31 → 29 → 32 } { 696, 709, 713, 714, 718 } 11 { 28 → 30 → 32 → 29 →31} { 696,709,713,717, 718} 18 { 28 → 30 → 32 → 31 → 29 } { 696, 708, 712, 716, 717 } 18 { 33 } { 746 } 0 Pukul { 34 → 35 → 36 →37 } { 757, 766, 770, 774} 3 12 : 00 { 34 → 35 → 37 →36 } { 757, 765, 769, 773} 8 { 34 → 36 →35 → 37 } { 757, 770, 771, 772} 9 08:00 Pukul 10:00 100

(115) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI { 34 → 36 → 37 → 35} { 757, 770, 771, 772 } 6 { 34 → 37 → 35 → 36 } { 757, 768, 769, 770 } 6 { 34 → 37 → 36 → 35} { 757, 769, 770, 771} 7 { 35 → 34 → 36 → 37 } { 764, 765, 769, 773 13 { 35 → 34 →37 → 36 } { 764, 765, 769, 773 } 17 Pukul { 38 } { 789 } 0 13 :00 { 39 → 40 → 41 } { 808, 811, 815 } 4 { 42 } { 871 } 0 { 43 → 44 } { 896, 898 } 0 { 44 → 43 } { 889, 893 } 16 { 45 } { 921 } 0 { 46 → 47 } { 984, 951 } 0 { 47 → 46 } {946, 950} 7 { 48 → 49 → 50 } { 971, 972, 975} 5 { 48 → 50 →49 } { 974, 975, 978} 4 { 51 → 52 → 53 → 54 →55 } { 981, 985, 989, 995, 999 } 3 { 51 → 52 →53 → 55 →54 } { 981, 985, 989, 996, 1000 } 9 { 51 → 52 → 54 → 53 →55 } { 983, 987, 988, 992, 999 } 13 { 51 → 53 →52 → 54 →55 } { 983, 986, 987, 995, 999 } 6 { 51 → 53 → 52 → 55 → 54 } { 986, 987, 999, 1000 } 9 { 52 → 51 → 53 → 54 → 55 } { 981, 985, 990, 995, 999 } 8 { 52 → 51 → 53 → 55 → 54 } { 981, 984, 990, 999, 1000 } 11 Pukul 14:00 Pukul 15:00 Pukul 16:00 101

(116) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI { 52 → 51 → 54 → 53 → 55 } { 983, 987, 988, 992, 999 } 17 { 52 → 53 → 51 → 54 → 55 } { 985, 989, 994, 995, 999 } 12 { 52 → 53 → 51 → 55 → 54 } { 985, 989, 994, 999, 1000 } 15 { 52 → 53 → 54 → 51 → 55 } { 985, 989, 990, 994, 999 } 17 { 52 → 54 → 53 → 51 → 55 } { 985, 986, 990, 995, 1000 } 24 { 56 → 57 → 58 } { 1006, 1021, 1028 } 0 { 56 → 58 → 57 } { 1006, 1021, 1025 } 11 Pukul { 59 } { 1053 } 0 17:00 { 60 } { 1079 } 0 {61 } { 1082 } 0 { 62 } { 1112 } 0 { 63 → 64 } { 1121, 1134 } 0 Pukul { 65 } { 1168 } 0 19:00 { 66 } { 1196 } 0 { 67 } { 1266 } 0 Pukul 18:00 Pukul 20:00 Setelah diperoleh semua nilai pinalti untuk semua urutan, maka dipilihlah urutan yang menghasilkan nilai pinalti paling minimum. Sehingga urutan pendaratan/lepas landas yang optimum berdasarkan Program Linear Bilangan Bulat adalah sebagai berikut : 102

(117) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tabel 4.5 : Penjadwalan optimal dengan Program Linear Bilangan Bulat NO NOMOR PENERBANGAN WAKTU PENDARATAN/ LEPAS LANDAS DALAM MENIT WAKTU PENDARATAN/ LEPAS LANDAS 1 GIA 501 386 6:26 2 GIA 500 400 6:40 3 KLS 948 406 6:46 4 NAM 9187 411 6:51 5 KLS 621 427 7:07 6 LNI 711 433 7:13* 7 SJY 185 437 7:17* 8 TGN 120 441 7:21* 9 XAR 831 442 7:22* 10 KLS 670 445 7:25 11 SJY 180 451 7:31 12 GIA 503 461 7:41 13 KLS 929 465 7:45 14 MWG 3813 472 7:52* 15 KLS 941 469 7:49* 16 NAM 9237 473 7:53 17 LNI 170 494 8:14 18 SJY 188 498 8:18* 19 KLS 933 499 8:19 20 TGN 125 505 8:25 103

(118) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 21 LNI 719 548 9:08 22 SJY 189 566 9:26 23 XAR 861 595 9:55 24 GIA 502 602 10:02 25 GIA 505 625 10:25* 26 LNI 712 630 10:30 27 XAR 830 653 10:53 28 KLS 926 696 11:36 29 SJY 186 706 11:46 30 GIA 512 710 11:50* 31 LNI 713 716 11:56 32 NAM9237 718 11:58 33 XAR 1870 746 12:26 34 LNI 688 797 13:17 35 GIA 513 766 12:46* 36 NAM 9187 770 12:50 37 SJY 187 774 12:54* 38 KLS 927 789 13:09 39 LNI 689 808 13:28 40 XAR 1871 811 13:31* 41 KLS 944 815 13:35 42 GIA 504 871 14:31 43 LNI 684 896 14:46 44 LNI 714 898 14:58 104

(119) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 45 GIA 507 921 15:21 46 LNI 685 948 15:48 47 GIA 506 951 15:51 48 KLS 923 974 16:14 49 GIA 509 978 16:18* 50 KLS 945 975 16:15 51 TGN 137 981 16:21* 52 LNI 715 985 16:25 53 KLS 942 989 16:29 54 SJY 182 995 16:35* 55 KLS 928 999 16:39 56 TGN 128 1006 16:49* 57 KLS 934 1021 17:01 58 GIA 514 1028 17:08 59 SJY 183 1053 17:33 60 GIA 508 1079 17:59 61 GIA 515 1082 18:02 62 GIA 511 1112 18:32 63 KLS 671 1121 18:41 64 GIA 510 1134 18:54 65 LNI 716 1168 19:28 66 SJY 184 1196 19:56 67 LNI 718 1266 21:06 105

(120) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dapat dilihat disini bahwa setelah diselesaikan dengan program linear bilangan bulat, didapatkan waktu pendaratan yang menghasilkan nilai pinalti yang minimum. Tentu saja waktu pendaratan ini tidak semuanya sama dengan target waktu yang diharapkan pada data awal. Pada Tabel 4.5 yang diberi tanda bintang merupakan waktu pendaratan yang berbeda dengan target waktu. Sehingga berdasarkan pada Tabel 4.5, agar penerbangan lebih optimal maka disarankan untuk mengubah target waktu pada penjadwalan menjadi waktu pendaratan yang didapatkan pada Tabel 4.5. 106

(121) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN Peran utama Air Traffic Controller ialah menjaga kelancaran lalu lintas udara. Kelancaran lalu lintas udara itu sendiri salah satunya dilakukan dengan mengatur pendaratan atau lepas landas suatu pesawat. Pengaturan pendaratan dan lepas landas suatu pesawat pada bandar udara kebanyakan menggunakan prinsip seperti pada teori antrian First Come First Served yakni pelayanan diutamakan pada pesawat yang datang terlebih dahulu. Namun pada tugas akhir ini masalah pendaratan dimodelkan secara berbeda, yakni memodelkan masalah pendaratan dengan menggunakan program linear bilangan bulat. Prinsip utama dalam menyelesaikan masalah pendaratan dengan menggunakan program linear bilangan bulat ialah mencari urutan pendaratan yang memiliki nilai pinalti minimum. Dalam tugas akhir ini masalah pendaratan pesawat diselesaikan dengan 2 metode yang berbeda. Pertama, masalah pendaratan pesawat diselesaikan dengan menggunakan program linear bilangan bulat. Untuk masalah pendaratan yang melibatkan lebih dari satu landasan pacu, hasil yang diperoleh dari program linear bilangan bulat, kemudian diselesaikan kembali menggunakan model partisi himpunan agar diperoleh penjadwalan yang efektif tanpa perlu memilah kembali penggunaan landasan pacu untuk suatu

(122) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pesawat. Kedua, masalah pendaratan diselesaikan dengan menggunakan program linear bilangan bulat campuran. Hasilnya akan sama dengan hasil yang diperoleh pada metode pertama. Keunggulan metode kedua ialah dapat diketahui urutan penerbangan yang menghasilkan nilai pinalti minimum tanpa perlu mengetahui urutan pesawat yang akan melakukan pendaratan. Namun, kelemahannya ialah diperlukan kendala yang sangat banyak jika masalah pendaratan pesawat yang akan diselesaikan merupakan masalah pendaratan dengan skala besar. Pada Bandar Udara Supadio Pontianak, untuk menentukan penjadwalan pendaratan yang efektif cukup menggunakan program linear bilangan bulat saja, mengingat pada Bandar Udara Supadio hanya memiliki satu landasan pacu. B. SARAN Dalam menyelesaikan masalah penjadwalan penerbangan ini, sebaiknya dibangun suatu program khusus, agar saat menyelesaikan penjadwalan penerbangan dengan skala yang lebih besar dapat diselesaikan dengan mudah. 108

(123) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Daftar Pustaka Dantzig, George B. dan Mukund N, Thapa. (1997). Linear Programming. New York: Springer. Ignizio,J.P & Cavalier, T.M (1994). Linear Programming. Mac graw Hill Book Company, Inc. Kolman, Bernard dan Robert E. Beck. (1995). Elementary Linear Programming with Application. Elsevier Science & Technology Books. Krieken, M.G.C. Van . (2006). Solving Set Partitioning Problem Using Langrangian Relaxion. Tilburg: Tilburg University Press. Larsen, Jesper. (2010). Set Partitioning and Application. http://www2.imm.dtu.dk/courses/02735/sppintro.pdf . Diakses : 18 Juli 2014. Penney, Richard C. (2004). Linear Algebra : Ideas and Applications. United State : Wiley. Taha, H. (2007). Operation Research 8th edition. New Jersey: Pearson Prentice. Victor.(2010). Metode Branch and Cut untuk Menyelesaikan Permasalahan Rute Kendaraan Berkapasitas. Yogyakarta: Fakultas MIPA, Universitas Sanata Dharma.

(124) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Wen, Min. (2005). Algorithm of Scheduling Aircraft Landing Problem. Denmark: Departement of Informatics and Mathematical Modelling, University of Denmark. 110

(125)

Dokumen baru

Tags

Dokumen yang terkait

TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT
0
8
34
LANDASAN KONSEPTUAL PERENCANAAN DAN PERANCANGAN PERANCANGAN ULANG BANDAR UDARA INTERNASIONAL SUPADIO DI PONTIANAK.
0
2
20
PENDAHULUAN PERANCANGAN ULANG BANDAR UDARA INTERNASIONAL SUPADIO DI PONTIANAK.
0
3
12
TINJAUAN UMUM BANDAR UDARA PERANCANGAN ULANG BANDAR UDARA INTERNASIONAL SUPADIO DI PONTIANAK.
5
57
73
KONSEP PERANCANGAN DAN PERANCANGAN PERANCANGAN ULANG BANDAR UDARA INTERNASIONAL SUPADIO DI PONTIANAK.
0
5
31
PENERAPAN MODEL PROBLEM BASED LEARNING UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN MATEMATIS DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PADA BILANGAN PECAHAN.
0
2
64
MENGKONSTRUKSI PROGRAM TERPAKAI METODE SIMPLEKS FUZZY MENGGUNAKAN A MATHEMATICAL PROGRAMMING LANGUAGE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR FUZZY DAN APLIKASINYA PADA BIDANG EKONOMI.
0
0
1
MENGKONSTRUKSI PROGRAM TERPAKAI METODE SIMPLEKS FUZZY MENGGUNAKAN A MATHEMATICAL PROGRAMMING LANGUAGE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR FUZZY DAN APLIKASINYA PADA BIDANG EKONOMI.
1
8
40
ANALISIS SFC PADA BANDAR UDARA SUPADIO PONTIANAK | rahmawati | JURNAL KAJIAN TEKNIK SIPIL 469 1561 1 PB
0
0
14
PREDIKSI CUACA BERBASIS LOGIKA FUZZY UNTUK REKOMENDASI PENERBANGAN DI BANDAR UDARA RAJA HAJI FISABILILLAH
0
4
15
KEMAMPUAN SISWA SMA TIPE KEPRIBADIAN PHLEGMATIS DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR
0
0
10
STUDI WAKTU PELAYANAN PENUMPANG DARI ARMADA PENERBANGAN PADA TERMINAL DOMESTIK BANDAR UDARA JUANDA SURABAYA
0
1
14
EVALUASI KECUKUPAN RUANG TUNGGU KEBERANGKATAN PENERBANGAN DOMESTIK BANDAR UDARA SOEKARNO-HATTA, JAKARTA
0
0
12
PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL SKRIPSI
0
1
96
METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR
0
1
118
Show more