SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Gratis

0
0
176
9 months ago
Preview
Full text

  

OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Yolenta Asri Astuti Prany

  

NIM : 023114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  

ABSTRAK

Secara umum, permasalahan optimasi dalam kehidupan sehari – hari lebih

sering menggunakan pemrograman linear, karena lebih mudah untuk diselesaikan

dari pada dengan menggunakan pemrograman tak linear. Karena pemrograman

tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penanganan analitik dan numerik

(teknik konvensional), bahkan untuk fungsi dua variabel pun terkadang sulit untuk

diselesaikan. Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik yang dapat dipilih

untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman tak linear tersebut, karena

Algoritma Genetika merupakan teknik pencarian stokastik dengan sistem

pencarian berdasarkan mekanisme genetika dalam biologi.

  Pada skripsi ini, generasi baru (anak) terbentuk dari rekombinasi dan mutasi

dengan menggunakan metode pemotongan satu titik. Pemilihan anak pada proses

rekombinasi atau mutasi dilakukan secara acak. Dari percobaan, solusi optimal

akan lebih mendekati dengan nilai konvensionalnya pada probabilitas rekombinasi

0.5 dengan probabilitas mutasi 0.08. Namun, probabilitas tersebut tidak mutlak,

karena Algoritma Genetika menggunakan teknik pencarian secara acak.

  

ABSTRACT

Generally, the optimization problems in daily life is more regular using the

linear programming, because it is easier to solved than nonlinear programming.

Because nonlinear programming are difficultly in analytic handling and numeric

(conventional technique), even for two variables function it is difficult to be

solved, sometimes. Genetic Algorithm are one of technique that could be chosen

to solved it, because Genetic Algorithm are stochastic search techniques based on

the mechanism of genetic on biology.

  On this mini thesis, a new generation (offspring) formed of crossover or

mutation with one cut point method. Selection of new generation by crossover and

mutation conducted at random. According to the experiments, it is visible to get

the optimal solution close to a value by conventional with crossover probabilities

0.5 and mutation probabilities 0.08. But, that is not absolute, because the

searching technique of Genetic Algorithm are randomly.

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kepada Bapa di Surga dan Bunda Maria yang memberikan

kasih-Nya dan melimpahkan karunia-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat

diselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka menyelesaikan pendidikan tingkat

Sarjana Strata Satu Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal sampai akhir mendapatkan

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

  1. Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  2. Bapak Drs. HJ Haris Sriwindono, M.Kom selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Y.G Hartono, S.Si selaku Dosen Pembimbing II yang dengan sabar telah banyak membimbing dan memberikan petunjuk dalam penyusunan skripsi ini.

  3. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan ilmu dan pengetahuan selama masa perkuliahan.

  4. Staff fakultas MIPA terima kasih atas dorongan dan pelayanan yang telah diberikan.

  5. Bapak dan Mama yang telah memberikan kasih, dorongan semangat, serta doa yang melimpah selama kehidupanku di dunia ini.

  

6. Abang dan adikku (Yacobus dan Ade (Nenek Lampir)) terima kasih untuk

“kata-kata” yang membuatku semakin termotivasi .

  

7. Keluarga besarku yang tersebar di berbagai kota. Terima kasih atas doa

dan bantuan yang telah kalian berikan.

  

8. T Agusta Dwi Handaru yang telah menambah warna dalam kehidupanku.

  Terima kasih atas kesabaran dan cinta mu.

  

9. Sahabat-sahabatku nan jauh di sana: Yulia, Maria, dan Uthe terima kasih

buat persahabatan, perhatian dan dukungannya.

  

10. Teman-teman angkatan 2002: Ngq, Debby, Lia, Ika, Sari, Aan, Tato, Bani,

Lili, Taim, Ijup, Markus, Felix, Vida (Ipid), Retno, Priska, Galih, Aning, Desy, Rita, Wuri, Deon, Cheea, Nunung, Dani , Palma, dan Asih. Esp. Debby, Lia, dan Ijup yang selalu menemaniku ketika masa-masa ngantukku dengan chating bersama.

  

11. Teman-teman kostku (Wisma Lestari) esp. Lia, Kawat (thanks atas

printernya), M`Nchis, dan M`Mitha yang menjadi setan serta malaikat ketika skripsi ini dibuat. Thanks untuk hari-hari ceria yang telah kita lewati bersama.

  

12. Teman seperjuanganku dalam menyusun skripsi (Ipid Manyiiit), terima

kasih atas bantuan dan perhatiannya.

  

13. Teman-teman kost (tumpangan) ku, Ipid (namamu paling banyak

terucap…), Endra, Primtul, M`Lina, Ine, Maria, Lili. Terima kasih atas tumpangannya, tanpa kalian entah bagaimana nasibku.

  14. Teman-teman KKN ku, yang berlomba-lomba untuk menyelesaikan skripsi. Serta warga Caben. Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah kalian berikan.

  15. Teman-teman P3W Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah kalian berikan.

  16. Teman-Teman Pondok Baca Kota Baru, tempatku menghilangkan kepenatan belajar. Teruslah berusaha mengembangkan Pondok Baca, upah kalian besar di Surga.

  17. Semua pihak yang telah turut membantu hingga skripsi ini selesai yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  Penulis menyadari masih ada kekurangan, kekeliruan, dan masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kemajuan yang akan datang.

  Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

  Yogyakarta, Juli 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL..................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... ii HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v ABSTRAK .................................................................................................... vi ABSTRACT.................................................................................................. vii KATA PENGANTAR .................................................................................. viii DAFTAR ISI................................................................................................. xi DAFTAR TABEL......................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR……………………………………………………… xxi

  BAB I PENDAHULUAN................................................................... 1 A. Latar Belakang. .....................................................................

  1 B. Perumusan Masalah ..............................................................

  4 C. Pembatasan Masalah .............................................................

  4 D. Tujuan Penulisan...................................................................

  4 E. Metode Penulisan ..................................................................

  5 F. Manfaat Penulisan.................................................................

  5 G. Sistematika Penulisan ...........................................................

  5

  BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA..........................

  7 A. Optimasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan

  Kalkulus ................................................................................ 7

  B. Optimasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus...................................................................

  21 BAB III ALGORITMA GENETIKA.................................................. 50 A. Latar Belakang Biologi .........................................................

  50 B. Struktur Umum Algoritma Genetika.....................................

  51 C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika. .............

  56 1. Teknik Penyandian..........................................................

  56 2. Prosedur Inisialisasi ........................................................

  57

  3. Fungsi Evaluasi (fitness function) ................................... 58

  4. Seleksi ............................................................................. 59 4.1. Seleksi Roda Rolet .................................................

  59

  4.2. Seleksi Rangking.................................................... 60

  4.3. Seleksi Turnamen................................................... 61 5. Operator Genetika ...........................................................

  62

  5.1. Rekombinasi (crossover) ....................................... 62

  5.2. Mutasi..................................................................... 63 6. Penentuan Parameter .......................................................

  64

  BAB

  

IV ALGORITMA GENETIKA UNTUK OPTIMASI

FUNGSI TANPA KENDALA...............................................

  66 BAB V PENUTUP............................................................................... 112

  A. Kesimpulan ........................................................................... 112

  B. Saran...................................................................................... 113

  DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 114 LAMPIRAN ............................................................................................... 116

  DAFTAR TABEL Tabel 3.2.1 Tabel Istilah dalam Algoritma Genetika ............................

  53 Tabel 3.3.1.1 Pemetaan nilai biner ke nilai real .......................................

  57 Tabel 3.4.2.1 Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness baru..................................................................................... 61 2 2 Tabel 4.1 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x x 2 x x x

  ( ) + + 1 2 = 1 1 2 2 dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas

  mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 2 2

  70 Tabel 4.2 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x x 2 x x x

  ( ) = + + 1 2 1 1 2 2

  dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 2 2

  71 Tabel 4.3 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x = x 2 x x x + +

  ( ) 1 2 1 1 2 2

  dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 2 2

  72 Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi f ( x , x ) = x 1 2 1 + + 2 x x x 1 2 2 dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 .......................................................

  73

  • Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi f ( + x , x ) = x
  • 1 2 1 2 2 x x x 1 2 2 2 dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 .......................................................

      74

      2 2 Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x x

      2 x x x

      ( ) = 1 2 1 1 2 + + 2 dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas

      mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 2 2

      75 Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x = x + + 2 x x x

      ( ) 1 2 1 1 2 2

      dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 2 2

      76 Tabel 4.8 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x = x 2 x x x + +

      ( ) 1 2 1 1 2 2

      dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 .........................................................................

      77 Tabel

      4.9 Tabel nilai maksimum fungsi 2 3 2

      f x , x = ( ) + 1 2 3 x x1 2 9 xx 2 1 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

      83 Tabel

      4.10 Tabel nilai maksimum fungsi 2 3 2 ,

      3

      9 1 dengan probabilitas

      f ( x x ) + = x xxx 1 2 1 2 2 1

      rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

      84 Tabel

      4.11 Tabel nilai maksimum fungsi

      3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

      ( ) = − − 1 2 1 2 2 2 3 1 2 rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

    • f x , x

      85 Tabel

      4.12 Tabel nilai maksimum fungsi

      3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 86

      ( ) = − − 1 2 1 2 2 2 3 1 2 + f x , x Tabel

      4.13 Tabel nilai maksimum fungsi 2 3 2 +

      f x , x =

      3 x x − 9 xx 1 dengan probabilitas

      ( ) 1 2 1 2 2

    1

    rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

      87 Tabel

      4.14 Tabel nilai maksimum fungsi

      3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

    • f x , x =

      ( ) 1 2 1 2 2

    1

      rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

      88 Tabel

      4.15 Tabel nilai maksimum fungsi

      f x , x =

      3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

    • rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

      ( ) 1 2 1 2 2

    1

      89 Tabel

      4.16 Tabel nilai minimum fungsi

    • f ( x , x ) =
    • 1 2 3 x x1 2 2 9 xx 2 3 1 2 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

        90 Tabel

        4.17 Tabel nilai minimum fungsi

        3

        9 1 dengan probabilitas

        f ( x x ) = x xxx 1 2 1 2 2 2 3

      1

      2 rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

      • ,

        91 Tabel

        4.18 Tabel nilai minimum fungsi

        3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

        ( ) = − − 1 2 1 2 2 2 3

      1

      2 rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

      • f x , x

        92 Tabel

        4.19 Tabel nilai minimum fungsi 1 2 1

        3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

        ( ) = − − 2 2 2 3

      1

      2 rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

      • f x , x

        93 Tabel

        4.20 Tabel nilai minimum fungsi

        f x , x =

        3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

      • rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

        ( ) 1 2 1 2 2

      1

        94 Tabel

        4.21 Tabel nilai minimum fungsi 2 3 2

        f x , x =

        ( ) 1 2 1 2 2

      1

        3 x x − 9 x x − + 1 dengan probabilitas

        rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

        95 Tabel

        4.22 Tabel nilai minimum fungsi

        3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

      • f x , x =

        ( ) 1 2 1 2 2

      1

      rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

        96 Tabel

        4.23 Tabel nilai maksimum fungsi 2 3 2

        f ( x , x ) + = 1 2 3 x x1 2 9 xx 2 1 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............

        97 Tabel

        4.24 Tabel nilai minimum fungsi 2 + ,

        3

        9 1 dengan probabilitas

        f ( x x ) = x xxx 1 2 1 2 2 3

      1

      2 rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............

        98 2 2

        − ( ) 1 2 Tabel 4.25 Tabel nilai maksimum fungsi f x = x e dengan ( )

      • x x

        1

        probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 101 2 2

        − ( ) 1 2 f x x e

      • x x

      Tabel 4.26 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) = dengan

        1

        probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 102

        − ( ) 1 2 x

        2 2

      • x x

      Tabel 4.27 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 102 2 2

        − ( ) 1 2 Tabel 4.28 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

      • x x

        1

        probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 103 2 2

        − ( ) 1 2 x

      • x x

      Tabel 4.29 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 103

        − ( ) 1 2 2 2 Tabel 4.30 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

      • x x

        1

        probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 104

        − ( ) 1 2 2 2 x

      • x x

      Tabel 4.31 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 104 2 2

        x x − + ( ) 1 2 Tabel 4.32 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan

        ( ) =

        1

        probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 105

        x x − ( ) 1 2 + 2 2 f x x e

      Tabel 4.33 Tabel nilai maksimum fungsi = dengan

        ( )

        1

        probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 105

        − ( ) 1 2 x

        2 2

      • x x

      Tabel 4.34 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas mutasi 0.03 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 106 2 2

        − ( ) 1 2 Tabel 4.35 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

      • x x

        1

        probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 106 2 2

        − ( ) 1 2 x

      • x x

      Tabel 4.36 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 107

        − ( ) 1 2 2 2 Tabel 4.37 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

      • x x

        1

        probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 107

        − ( ) 1 2 2 2 x

      • x x

      Tabel 4.38 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 108 2 2

        x x − + ( ) 1 2 Tabel 4.39 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan

        ( ) =

        1

        probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 108

        x x − ( ) 1 2 + 2 2 f x x e

      Tabel 4.40 Tabel nilai maksimum fungsi = dengan

        ( )

        1

        probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 109

        − ( ) 1 2 x

        2 2

      • x x

      Tabel 4.41 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

        ( )

        1

        probabilitas mutasi 0.1 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 109

        DAFTAR GAMBAR

        8 = − − 3 2 *

      • Gambar 2.1.1 Grafik f ( x ) x x x 2 .............................................

      Gambar 2.1.2 x titik batas dari I atau f (x ′

        )

        .................................... 9 =

      Gambar 2.1.3 Grafik fungsi f ( x ) 7 x 3 x 5 ..................................... 11

        = − 2 Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b]. .......................... 12

      Gambar 2.1.5 Fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b]......................... 14Gambar 2.1.6 Grafik fungsi f ( x ) = x −

        2 + 2 4 x 2 5 ....................................... 20

      Gambar 2.2.1 Grafik fungsi f ( x , y ) = x y − x − y

        3 + + 3 1 ....................... 33

      Gambar 2.2.2 Grafik fungsi f ( x , x ) = x x −

        1 2 1 2 3 x1 12 x 2 + + 20 .......... 47 Gambar 3.2.1. Ilustrasi Algoritma Genetika ..............................................

        54 Gambar 3.3.1.1 Representasi string bit .......................................................

        56 Gambar 3.3.1.2 Representasi panjang kromosom .......................................

        57 Gambar 3.4.1.1 Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette..............

        59 Gambar 3.5.1.1 Rekombinasi satu titik........................................................ 2 2

        62 Gambar 4.1 Grafik fungsi f ( x , x ) = + + x 1 2 1 2 x x x .......................... 67 1 2 2 Gambar 4.2 Grafik terjadinya nilai maksimum 2 2 , 2 dengan probabilitas

        f ( x x ) = + + x x x x 1 2 1 1 2

      2

      rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

        70

      • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1…................................................................................... 71
      • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

      • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
      • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..
      • x x x x x x f + =
      • = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1...
      • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08. ...........

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        76 Gambar 4.9 Grafik terjadinya nilai maksimum

        2 , x x x x x x f

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        4.8 Grafik terjadinya nilai maksimum

        dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. 75 Gambar

        2 ,

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        4.7 Grafik terjadinya nilai maksimum

        74 Gambar

        4.6 Grafik terjadinya nilai maksimum

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        73 Gambar

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        4.5 Grafik terjadinya nilai maksimum

        72 Gambar

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        4.4 Grafik terjadinya nilai maksimum

        Gambar

        ( )

      2

      2

      2 1 2 1 2 1

        4.3 Grafik terjadinya nilai maksimum

        Gambar

        77

      Gambar 4.10 Grafik fungsi f x , x 3 x x 9 x x 1 ................... 78

        

      ( ) = − −

      1 2

      1

      2 2 3 1 2 +

        2 Gambar

        4.11 Grafik terjadinya nilai maksimum fungsi f x , x = 3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan

      • probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1...........................................................................

        ( ) 1 2 1 2 2 1

        83 Gambar 4.12 Grafik terjadinya nilai maksimum

        f x , x =

        3 x x2 + 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

        ( ) 1 2 1 2 2

      1

      rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

        84 Gambar

        4.13 Grafik terjadinya nilai maksimum

      • f ( x , x ) =
      • 1 2 3 x x1 2 2 9 xx 2 3 1 2 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

          85 Gambar

          4.14 Grafik terjadinya nilai maksimum

          3

          9 1 dengan probabilitas

          f ( x x ) = x xxx 1 2 1 2 2 2 3

        1

        2 rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

        • ,

          86 Gambar

          4.15 Grafik terjadinya nilai maksimum 1 2 1

          3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

          ( ) = − − 2 2 2 3

        1

        2 rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

        • f x , x

          87 Gambar

          4.16 Grafik terjadinya nilai maksimum

          3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

          ( ) = − − 1 2 1 2 2 2 3

        1

        2 rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

        • f x , x

          88 Gambar

          4.17 Grafik terjadinya nilai maksimum 2 3 2 +

          f x , x =

          3 x x − 9 xx 1 dengan probabilitas

          ( ) 1 2 1 2 2

        1

        rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

          89 Gambar

          4.18 Grafik terjadinya nilai minimum

          3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan

        • fungsi f x , x =

          ( ) 1 2 1 2 2 1

          probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1...........................................................................

          90 Gambar

          4.19 Grafik terjadinya nilai minimum 2 3 2

          f x , x ) = ( + 1 2 3 x x1 2 9 xx 2 1 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

          91 Gambar

          4.20 Grafik terjadinya nilai minimum

        • f ( x , x ) =
        • 1 2 3 x x1 2 2 9 xx 2 3 1 2 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

            92 Gambar

            4.21 Grafik terjadinya nilai minimum

            3

            9 1 dengan probabilitas

            f ( x x ) = x xxx 1 2 1 2 2 2 3

          1

          2 rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

          • ,

            93 Gambar

            4.22 Grafik terjadinya nilai minimum

            3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

            ( ) = − − 1 2 1 2 2 2 3

          1

          2 rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

          • f x , x

            94 Gambar

            4.23 Grafik terjadinya nilai minimum

            3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

          • f x , x =

            ( ) 1 2 1 2 2

          1

            rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

            95

            Gambar

            4.24 Grafik terjadinya nilai minimum

            f x , x =

            3 x x2 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

          • rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

            ( ) 1 2 1 2 2 1

            96 Gambar

            4.25 Grafik terjadinya nilai maksimum 2 +

            f x , x =

            3 x x − 9 xx 3 2 1 dengan probabilitas

            ( ) 1 2 1 2 2 1 rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 .............

            97 Gambar

            4.26 Grafik terjadinya nilai minimum

          • f x , x =
          • 1 2 3 x x1 2 2 9 xx 2 3 1 2 1 dengan probabilitas ( ) rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 .............

              98

              − x x 2 2

            • ( )
            • 1 2 Gambar 4.27 grafik fungsi f x , x x e .............................. 99 ( ) =

                1

                2

                1 − x x 2 2

              • ( )
              • 1 2 x

                Gambar 4.28 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

                  ( )

                  1

                  probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 103

                  − x x 2 2

                • ( )
                • 1 2 Gambar 4.29 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

                    1

                    probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 103 2 2

                    − ( ) 1 2 x

                  • x x

                  Gambar 4.30 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

                    ( )

                    1

                    probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 104

                    − x x 2 2

                  • ( )
                  • 1 2 x

                    Gambar 4.31 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

                      ( )

                      1

                      probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 104 2 2

                      − + x x ( ) 1 2 Gambar 4.32 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

                      1

                      probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 105

                      − x x 2 2

                    • ( )
                    • 1 2 x

                      Gambar 4.33 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

                        ( )

                        1

                        probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 105 1 2 +

                        x x − ( ) 2 2 Gambar 4.34 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e

                        ( ) =

                        1

                        dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 106

                        − x x 2 2

                      • ( )
                      • 1 2 x

                        Gambar 4.35 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

                          ( )

                          1

                          probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 106

                        • x x
                        • 2 2 ( ) 1 2 Gambar 4.36 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

                            1

                            dengan probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 107

                          • x x
                          • 2 2 ( ) 1 2 f x x e

                            Gambar 4.37 Grafik nilai maksimum fungsi =

                              ( )

                              1

                              dengan probabilitas mutasi 0.03 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 107

                              − x x 2 2

                            • ( )
                            • 1 2 x

                              Gambar 4.38 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e

                                ( )

                                1

                                dengan probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 108

                                − x x 2 2

                              • ( )
                              • 1 2 Gambar 4.39 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

                                  1

                                  dengan probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 108

                                  − x x 2 2

                                • ( )
                                • 1 2 x

                                  Gambar 4.40 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

                                    ( )

                                    1

                                    probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 109

                                    − ( ) 1 2 2 2 Gambar 4.41 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

                                  • x x

                                    1

                                    dengan probabilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 109

                                  • x x
                                  • 2 2 ( ) 1 2 x

                                    Gambar 4.42 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e

                                      ( )

                                      1

                                      dengan probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 110 2 2

                                      − + x x ( ) 1 2 Gambar 4.43 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

                                      1

                                      dengan probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 110

                                    • x x
                                    • 2 2 ( ) 1 2 f x x e

                                      Gambar 4.44 Grafik nilai maksimum fungsi =

                                        ( )

                                        1

                                        dengan probabilitas mutasi 0.1 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 111

                                      BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Teori optimasi secara klasik dibangun dengan menggunakan

                                        kalkulus diferensial untuk menentukan nilai minimum atau maksimum (optimum) dari fungsi dengan kendala atau tanpa kendala. Untuk fungsi

                                      tanpa kendala, f(x) harus memenuhi setiap x yang memenuhi pembatas-

                                      n pembatas: x ≥ dimana f(x) adalah fungsi yang bernilai real dari R . Jika ada beberapa atau semua fungsi dari f(x) adalah tidak linear maka masalah tersebut dikatakan pemrograman tak linear.

                                        Secara matematis, suatu titik dikatakan pembuat maksimum apabila * * * * * *

                                      *

                                      terdapat suatu titik x = x , x , x ,..., x yang memenuhi f ( x ) ≥ f ( x ) ,

                                      1 2

                                      3 n

                                      ( ) atau pembuat minimum apabila f ( x ) ≤ f ( x ) .

                                        Secara umum, optimasi pemrograman tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penangan analitis dan numerik, dan lebih sulit dari

                                      pemrograman linear. Walaupun dalam kasus dimana semua kendala adalah

                                      linear dan hanya fungsi tujuannya yang tak linear, tetap saja sulit untuk diselesaikan. Oleh sebab itu diperlukan teknik lain yang dapat menyelesaikan masalah optimasi dalam pemrograman tak linear.

                                        Algoritma Genetika tergolong dalam algoritma yang bersifat heuristik, sehingga dapat memberikan banyak kemungkinan penyelesaian dan

                                        2 Sejak tahun 1960, mulai berkembang perhatian dalam menirukan

                                      kehidupan makhluk hidup untuk menyelesaikan masalah optimasi yang

                                      sulit. Saat ini, terdapat tiga topik utama dalam penelitian yang menirukan

                                      kehidupan makhluk hidup, yaitu Algoritma Genetika, Pemrograman

                                      Evolusi, dan Strategi Evolusi. Diantara ketiga topik tersebut, yang paling

                                      sering digunakan adalah Algoritma Genetika.

                                        Algoritma Genetika banyak dipakai pada aplikasi bisnis, teknik,

                                      maupun bidang keilmuan lainnya. Algoritma Genetika dapat dipakai untuk

                                      mendapatkan solusi yang tepat untuk masalah optimasi yang kompleks dan

                                      sulit diselesaikan.

                                        Menurut Goldberg (1989) Algoritma Genetika adalah teknik

                                      pencarian stokastik berdasarkan mekanisme seleksi alam dan sifat

                                      genetika. Pada dasarnya, Algoritma Genetika merupakan implementasi

                                      dari teori evolusi dan teori genetika yang dikemukakan oleh Darwin dalam

                                      konsep biologi. Seperti proses evolusi di alam, Algoritma Genetika

                                      umumnya terdiri dari tiga operator, yaitu operator reproduksi, operator

                                      persilangan (crossover), dan operator mutasi. Suatu individu mempunyai

                                      sifat tertentu ditentukan dengan susunan gen dalam kromosom individu

                                      tersebut. Dalam Algoritma Genetika, teori genetika tersebut digunakan

                                      untuk merepresentasikan setiap solusi dari masalah yang ada. Karena tiap

                                      kromosom merupakan solusi dari masalah yang akan diselesaikan,

                                      kromosom yang terbaik merupakan pendekatan dari solusi optimal dari

                                        3 Darwin, dalam menyelesaikan suatu masalah, Algoritma Genetika

                                      memulai pekerjaannya dengan sekumpulan solusi yang disebut populasi.

                                        

                                      Setiap individu pada populasi disebut kromosom yang menggambarkan

                                      suatu solusi dari masalah yang akan diselesaikan. Kromosom-kromosom

                                      terus berkembang terus menerus yang disebut generasi. Pada setiap

                                      generasi, kromosom dievaluasi dengan menggunakan alat ukur yang

                                      disebut fitness (tingkat kesesuaian). Nilai fitness dari suatu kromosom

                                      akan menunjukkan kualitas kromosom dalam populasi tersebut.

                                        

                                      Kromosom yang terpilih membentuk kromosom baru, yaitu anak atau

                                      keturunan (offspring) yang terbentuk dari gabungan dua kromosom

                                      generasi sekarang yang bertindak sebagai induk (parent) dengan

                                      menggunakan operator penyilangan (crossover) atau dengan mengubah

                                      suatu kromosom dengan menggunakan operator mutasi. Generasi baru

                                      dibentuk dengan cara menyeleksi nilai fitness dari kromosom induk dan

                                      nilai fitness dari kromosom anak serta menghilangkan kromosom lainnya

                                      sehingga ukuran populasi konstan. Setelah melalui beberapa generasi,

                                      algoritma ini akan konvergen ke arah kromosom yang terbaik dengan

                                      harapan kromosom tersebut merupakan solusi optimal dari masalah yang

                                      diselesaikan.

                                        Sistem pencarian untuk mendapatkan nilai yang paling optimum

                                      pada Algoritma Genetika diharapkan dapat memberikan penyelesaian yang

                                      terbaik, dan semakin memudahkan menyelesaikan masalah Optimasi

                                        4 B. Perumusan Masalah

                                        Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah :

                                        

                                      1. Bagaimana cara Algoritma Genetika dalam mencari nilai optimum dari

                                      masalah optimasi fungsi tanpa kendala?

                                        

                                      2. Bagaimana mendapatkan nilai optimum fungsi tanpa kendala dengan

                                      menggunakan Algoritma Genetika? C. Pembatasan Masalah

                                        Pembatasan mengenai optimasi fungsi tanpa kendala pada skripsi ini hanya untuk program tak linear dengan dua variabel. Penulis akan

                                      menggunakan software aplikasi MATLAB untuk menyelesaikan masalah

                                      optimasi tanpa kendala tersebut.

                                        D. Tujuan Penulisan Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk

                                      memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika. Selain itu

                                      skripsi ini bertujuan untuk:

                                        1. Lebih memahami penerapan Algoritma Genetika dalam menyelesaikan masalah optimasi fungsi tanpa kendala.

                                        2. Mendapatkan nilai yang paling optimum dari masalah optimasi fungsi tanpa kendala dengan menggunakan Algoritma Genetika.

                                        5 E. Metode Penulisan

                                        Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu de-

                                      ngan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang

                                      telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

                                        F. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah semakin memperdalam pemahaman akan Algoritma Genetika dalam

                                      menyelesaikan masalah optimasi, terutama dalam menyelesaikan masalah

                                      optimasi fungsi tanpa kendala, dan dapat mencari nilai optimum dengan

                                      menggunakan Algoritma Genetika.

                                        G. Sistematika Penulisan

                                        BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I dipaparkan mengenai latar belakang skripsi ini, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, dan manfaat penulisan.

                                        BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA Bab II dengan judul Optimasi Fungsi Tanpa Kendala terdiri atas dua subbab. Dalam bab ini dibahas mengenai optimasi fungsi satu variabel tanpa kendala dengan kalkulus dan optimasi fungsi beberapa variabel

                                        6

                                        BAB III ALGORITMA GENETIKA Bab III dengan judul Algoritma Genetika terdiri atas empat subbab. Dalam bab ini dibahas mengenai latar belakang biologi, struktur umum

                                      Algoritma Genetika, dan komponen–komponen utama Algoritma

                                      Genetika. BAB IV OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA GENETIKA Bab IV dengan judul Algoritma Genetika Untuk Optimasi Fungsi tanpa kendala Tanpa Kendala merupakan inti permasalahan yang diangkat

                                      dalam skripsi ini. Dalam bab ini akan diperlihatkan contoh – contoh

                                      permasalahan optimasi tanpa kendala disertai dengan penyelesainnya

                                      menggunakan teknik konvensional (kalkulus) dan dengan menggunakan Algoritma Genetika.

                                        BAB V PENUTUP Bab V merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini berisi kesimpulan dari skripsi ini dan saran yang diharapkan berguna untuk perkembangan penelitian mengenai optimasi dengan Algoritma Genetika selanjutnya.

                                      BAB II OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA A. Optimisasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus Definisi 2.1.1 Misalkan f(x) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada selang I.

                                        (Selang I dapat terbatas atau tidak terbatas, tertutup atau terbuka, atau

                                      • * setengah terbuka). Suatu titik x di I adalah :

                                        a. Pembuat minimum mutlak (global) untuk f(x) pada I jika f ( x ) f ( x ) ≤ * untuk setiap x di I;

                                      • * b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) pada I jika ( x ) <

                                        f f ( x ) untuk

                                        setiap x di I dan x ≠ ; x

                                        c. Pembuat minimum relatif (lokal) untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

                                        ≤ * sedemikian hingga f ( x ) f ( x ) untuk setiap x di I dimana

                                      • x x x ;
                                        • * * − δ < < δ *

                                          d. Pembuat minimum relatif tegas untuk f(x) jika ada bilangan positif δ sedemikian hingga f ( x ) < f ( x ) untuk setiap x di I dimana

                                        • * * *

                                          x − δ + < <

                                        • * x x δ dan xx ;

                                          e. Pembuat maksimum mutlak untuk f(x) pada I jika ( x ) ≥

                                          f f ( x ) untuk

                                        • * setiap x di I;

                                          f. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) pada I jika ( ) ( ) un-

                                        • * f x > f x

                                          tuk setiap x di I dan x x ; ≠

                                        • * g. Pembuat maksimum relatif untuk f(x) jika ada bilangan positif

                                          δ sedemikian hingga f ( x ) ≥ f ( x ) untuk setiap x di I dimana

                                        • * *

                                          x − δ < + x < x δ ;

                                          h. Pembuat maksimum relatif tegas untuk f(x) jika ada bilangan positif δ * sedemikian hingga f ( x ) f ( x ) untuk setiap x di I dimana

                                        • * * *

                                          >

                                          x x x dan x x ;

                                          − < + < ≠ * δ δ i. Titik kritis dari f(x) jika f ′ ( x ) ada dan sama dengan nol.

                                          Contoh 2.1.1 3 2 +

                                        Gambar 2.1.1 Grafik f ( x ) x x x

                                          2 = − −

                                        • Pada gambar grafik di atas terlihat bahwa setiap x di [-3, 4]. Titik x = -2
                                        • adalah Pembuat minimum mutlak tegas. Titik x = 3 adalah pembuat

                                          1

                                        • maksimum mutlak. Titik x =

                                          − adalah pembuat maksimum relatif tegas,

                                          3

                                        • dan titik x = 1 adalah pembuat minimum relatif tegas.

                                          ▲

                                          Teorema 2.1.1

                                        • Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang I. Jika x adalah pembuat minimum relatif atau pembuat maksimum relatif pada f(x), maka salah satu dari yang berikut berlaku:
                                        • *

                                          i. x adalah titik batas/akhir dari I ii. ( ) .

                                          fx

                                          = =f(x)

                                          y

                                          I Titik batas dan maksimum

                                        • ( fx ( ) ≠ ) * pembuat mini- x x mum fx ( ) = *
                                        • * Gambar 2.1.2 x titik batas dari I atau f (x) = Bukti :

                                          Misalkan x adalah pembuat minimum relatif dari f(x) dan x bukan titik dalam

                                          ∗ ∗ dari I. Berdasarkan hipotesa f ′ ( x ) ada. Akan dibuktikan f ′ ( x ) = 0.

                                        • * f ( x ) f ( x )

                                          −

                                        • * f

                                          ( x ) lim …(1) = xx * *

                                          xx

                                          Karena f(xf(x) untuk x mendekati x ) , f(x) - f(x ) adalah tak negatif untuk

                                          setiap x mendekati x . Oleh karena itu, karena xx > 0 untuk x < x, dan

                                        • *

                                          xx < 0 untuk x > x, dapat terlihat f ( x ) − f ( x )

                                          ≥

                                        • untuk x < x, *

                                          x x

                                          − dan

                                        • * f ( ) −

                                          x f ( x )

                                        • *

                                          ≤

                                          untuk x > x,

                                          x x

                                          −

                                        • selama x mendekati x . Berdasarkan persamaan (1) dan persamaan di atas * * diperoleh 0 fx ( ) dan fx ( ) . Hal ini membuktikan bahwa

                                          ≥ ≤ =

                                          ■

                                        • * * fx ( ) . Untuk x pembuat maksimum relatif, bukti analog.

                                          Definisi 2.1.2

                                        • * *

                                        • Bila x suatu titik dalam daerah asal f dan bila f ( ) atau f ′ ( x ) tidak

                                          ′ x

                                          =

                                        • ada, maka x dikatakan titik kritis dari f.

                                          Contoh 2.1.2 2 +

                                          Misalkan 5 f ( x ) = 7 x − 3 x . Maka f ′ ( x ) 14 x 3 . Ditentukan

                                          = −

                                          fx ( )

                                          = 14 x

                                          3 − = 3

                                        x .

                                        3 = 14 Titik kritis dari f(x) adalah . 14 ▲

                                        Gambar 2.1.3 grafik fungsi f ( x ) =

                                          7 x − 3 x

                                          2 +

                                          5 Maka f ′ ( x ) = 14 x − 3 . Ditentukan

                                          

                                        fx ( ) =

                                          14 x

                                          3 − = 3

                                        x .

                                        3 = 14 Titik kritis dari f(x) adalah . 14

                                          Teorema 2.1.2 (Teorema Nilai Ekstrim)

                                          Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai mini- mum mutlak dan maksimum mutlak pada selang [a, b].

                                          Bukti diluar jangkauan penulis. Lihat buku Analisis Real.

                                          Teorema nilai ekstrim dapat tercapai apabila terjadi pada: i. Selang tertutup; dan ii. Fungsi bersifat kontinu pada selang tersebut.

                                          Jika kondisi (i) dan (ii) tidak terpenuhi, maka titik ekstrim belum tentu ada. Jika domain suatu fungsi adalah selang tertutup, untuk menentukan ekstrim mutlak, fungsi tersebut harus diuji tidak hanya pada titik kritis tapi juga pada titik batas selang. Teorema titik kritis menjamin bahwa ekstrim mutlak terjadi di dalam selang.

                                          f (c)

                                          (a)

                                          f a c

                                        d

                                        b

                                        Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b].Gambar 2.1.4 dapat dilihat bahwa titik batas selang terjadi pada x = a dan b, sedangkan titik kritis terjadi pada x = c dan d. Nilai maksimum mutlak terjadi

                                          pada titik kritis c, dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik batas selang a. Maka baik nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak terletak dalam selang tertutup [a, b].

                                          Teorema 2.1.3 (Teorema Rolle)

                                          Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat: 1. f kontinu pada selang tertutup [a, b].

                                          2. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b). 3. f(a) = f(b) = 0. Maka ada suatu c ∈(a, b) sehingga f ′ (c ) = 0.

                                          Bukti :

                                          Jika f(x) = 0 untuk semua x pada selang [a, b], maka f ′ (x ) = 0 untuk semua x pada (a, b), sehingga setiap bilangan di antara a dan b dapat diambil sebagai c.

                                          Jika f(x) tidak nol untuk suatu x pada selang terbuka (a, b) dan karena f kon- tinu pada selang tertutup [a, b], maka menurut teorema 2.1.2, f mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b]. Dari (3) diketahui

                                          

                                        f (a) = 0 dan f(b) = 0. Selanjutnya f(x) tidak nol untuk suatu x pada (a, b). Maka

                                          akan mempunyai nilai maksimum mutlak yang positif untuk suatu pada

                                          f c 1

                                          (a, b) atau mempunyai nilai minimum mutlak yang negatif di suatu c pada 2 (a, b), atau dua-duanya terjadi. Jadi untuk c = atau c = atau kedua-

                                          c c 1 2

                                          duanya, terdapat ekstrim mutlak di titik dalam selang [a, b]. Oleh karena itu ekstrim mutlak f(c) juga ekstrim relatif. Karena f ′ (c ) ada berdasarkan hipotesis, maka menurut teorema 2.1.1, f ′ (c ) = 0.

                                          ■

                                          Teorema 2.1.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)

                                          Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat: 1. f kontinu pada selang tertutup [a, b].

                                          2. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b).

                                          f ( b ) − f ( a ) Maka ada suatu c ∈(a, b) sehingga f ′ ( c ) = . ba

                                          Bukti : f (x) y

                                          B

                                        • y=g (x) A
                                        • x a x b

                                          Gambar 2.1.5 fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b] .

                                          Misalkan fungsi f(x) untuk [ , ] seperti ditunjukkan pada gambar 2.1.5

                                          xa b

                                          Fungsi g(x) adalah persamaan garis yang melalui titik A dan B. Dibentuk fungsi s(x) yaitu s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) untuk setiap x ∈ [ b a , ] . Karena garis ini

                                          f ( b ) f ( a )

                                          − mempunyai kemiringan dan melalui (a, f(a)), maka bentuk titik

                                          ba

                                          kemiringan untuk persamaannya adalah

                                          f ( b ) f ( a )

                                          −

                                          g ( x ) f ( a ) ( x a ) atau

                                          − = −

                                          b a

                                          −

                                          f ( b ) f ( a )

                                          −

                                          = −

                                        • g ( x ) f ( a ) ( x a )

                                          b a

                                          −

                                          s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) f ( b ) f ( a )

                                          −

                                          s ( x ) f ( x ) f ( a ) ( x a )

                                          ⇔ = − − −

                                          ba

                                          Perhatikan bahwa s(b) = s(a) = 0 dan bahwa untuk x dalam (a, b)

                                          f ( b ) f ( a )

                                          −

                                        s ′ ( x ) f ′ ( x ) .

                                        = −

                                          ba

                                          Menurut teorema 2.1.2 fungsi s harus mencapai nilai maksimum atau nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut adalah 0, maka s(x) secara identik adalah 0 pada [a, b], akibatnya sx ( ) untuk semua x dalam (a, b).

                                          = Jika salah satu nilai maksimum atau minimum tidak sama dengan 0, maka nilai tersebut tercapai pada suatu titik dalam c. Karena s(a) = s(b) = 0. Dan s mempunyai turunan di setiap titik dari (a, b), sehingga menurut teorema 2.1.3 sc ( ) .

                                          = Karena diketahui terdapat suatu bilangan c dalam (a, b) yang memenuhi

                                          sc ( ) , maka

                                          =

                                          f ( b ) − f ( a )

                                          = f ′ ( c ) − atau

                                          ba f ( b ) − f ( a ) f ′ ( c ) =

                                          ■

                                          ba

                                          Teorema 2.1.5 Misalkan ) f ( x ), f ′ ( x ), f ′′ ( x ada pada selang tertutup [a, b].

                                        • Jika x , x adalah dua titik yang berbeda pada [a, b], maka terdapat titik z tepat
                                        • berada di antara x dan x sehingga
                                        • * * f ′′ ( z ) * 2 * f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) .

                                          ′ = − − + +

                                          2 Bukti : Misalkan suatu fungsi * * * * 2

                                          ′

                                          f ( x ) f ( x ) f ( x )( xx ) R ( xx ) …(2)

                                          = + + Pandang F(x), * * * * 2

                                          ( ) ( ) ( ) ′ ( )( ) ( ) …(3)

                                          F x = f xf xf x xxR xx Maka dari (2) diperoleh F(x) = 0. Karena F(x) = 0, maka F(a) = F(b) = 0.

                                          ′ ′′

                                          f ( x ), f ( x ), f ( x ) kontinu pada selang tertutup [a, b], maka penjumlahan dan

                                          pengurangan fungsi – fungsi (F(x)) tersebut juga kontinu pada selang tertutup [a, b], dan * *

                                          ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) 2 ( ) …(4)

                                          F x f x f x R x x

                                          = − − − terlihat bahwa F(x) mempunyai turunan. Karena ketiga syarat dari teorema Rolle dipenuhi, maka menurut teorema Rolle, terdapat bilangan z antara x dan

                                          1

                                        • * *

                                          x ( x z x ) sedemikian sehingga 1

                                          < < ′ z ( ) …(5a)

                                          F = 1 Dari (4) diperoleh

                                          ′ x

                                          

                                        F ( ) = …(5b)

                                          (5a) dan (5b) menunjukkan bahwa F ′ (x ) memenuhi teorema Rolle dalam (x,

                                          

                                        z ). Jadi terdapat bilangan z antara x dan z sedemikian sehingga F ′′ z ( ) = ,

                                          1

                                          1

                                          dan dari (4) diperoleh F ′′ ( x ) f ′ ( x )

                                          2 R . Karena F ′′ z ( ) , maka 1 = − = R f ′′ ( z ) .

                                          = 2 Substitusi R dalam (2), maka * * * * 1 2 f ( x ) = f ( x ) f ′ ( x )( xx ) f ′′ ( z )( xx ) . + + 2

                                        • Definisi 2.1.1 merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik x di I adalah minimum atau maksimum mutlak atau relatif di I. Namun pada definisi
                                        • 2.1.1 tidak diketahui apakah memang benar titik x tersebut adalah pembuat minimum / maksimum mutlak tegas atau pembuat minimum / maksimum relatif tegas. Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang lebih baik, yaitu teorema 2.1.6, yang dapat menentukan apakah pembuat maksimum / minimum (baik mutlak ataupun relatif) tersebut tegas atau tidak.

                                          Teorema 2.1.6

                                        • Misalkan ) f ( x ), f ′ ( x ), f ′′ ( x kontinu pada selang I dan xI adalah titik kritis dari f(x).
                                        • a. Jika f ′′ x ( ) ≥ untuk setiap xI, maka x

                                          adalah pembuat minimum mutlak dari f(x) di I.

                                          b. Jika 0 f ′′ x ( ) > untuk setiap xI sedemikian hingga xx , maka x adalah Pembuat minimum mutlak tegas dari f(x) di I.

                                          ′′ x c. Jika 0 f ( ) > , maka x adalah pembuat minimum relatif tegas dari f(x).

                                        • d. Jika 0 f ′′ x ( ) ≤ untuk setiap xI, maka x adalah pembuat maksimum mut- lak dari f(x) di I<

                                          ′′ x

                                        e. Jika f ( ) untuk setiap x x x , maka x < ∈I sedemikian hingga ≠ adalah Pembuat maksimum mutlak tegas dari f(x) di I.

                                        • f. Jika 0 ( ) , maka x adalah pembuat maksimum relatif tegas dari f(x).

                                          ′′ x

                                          f

                                          &lt;

                                          Bukti :

                                        • * *

                                          Bukti (a): Jika xI dan x x , maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

                                          f ′ ( x ) =0 menghasilkan f ′′ ( z )

                                        • * *
                                        • 2

                                          f ( x ) f ( x ) = ( xx ) , …(6)

                                            −

                                            2

                                          • dimana z adalah titik yang berada tepat di antara x dan x. Karena itu, jika

                                            f ′′ x ( ) untuk setiap x f ( x ) f ( x ) untuk setiap x 2 *

                                            ≥ ∈I, maka ≥ ∈I karena *

                                            (x - x ) ≥ untuk setiap x∈I.

                                            2

                                          • * Bukti (b): Jika x , maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

                                          • * f ′ ( x ) =0 menghasilkan

                                            ∈I dan x x

                                            ′′

                                          • * * f ( z )
                                          • 2 f ( x ) − f ( x ) = − ( x x ) , …(7)

                                              2

                                            • dimana z adalah titik yang berada tepat di antara x dan x. Karena itu, jika

                                              f ( ) untuk setiap x f ( x ) f ( x ) untuk setiap x

                                              ′′ x

                                            • * 2 *

                                              &gt; ∈I, maka &gt; ∈I karena (x - x ) &gt; untuk setiap x∈I.

                                              2

                                            • ) untuk setiap x ∈I sedemikian hingga *
                                            • adalah satu - satunya pembuat minimum relatif dari f(x). Bukti (d): Jika x
                                              • &lt; &lt; − * *

                                            • * , maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

                                              , …(8) dimana z adalah titik yang berada tepat di antara x

                                              f untuk setiap x ∈I, maka ) ( ) ( * &lt; x f x f untuk setiap xI karena

                                              ) ( &lt; ′′ x

                                              = − , …(9) dimana z adalah titik yang berada tepat di antara x

                                              − ′′

                                              z f x f x f

                                              ) ( ) ( x x

                                              2 ) (

                                              ) (

                                              x f ′ =0 menghasilkan * 2 *

                                              ) ( *

                                              Bukti (e): Jika xI dan x x

                                              ) ( ) ( * ≤ − x f x f untuk setiap x ∈I.

                                              ≤ x f x f untuk setiap xI karena

                                              ) ( ≤ ′′ x f untuk setiap x ∈I, maka ) ( ) ( *

                                              ′′ = −

                                              x x z f x f x f

                                              ) ( ) (

                                              2 ) (

                                              ) (

                                              x f ′ =0 menghasilkan * 2 *

                                              ) ( *

                                              ∈I dan x x

                                              x x x , dimana x

                                              ≠ x x , δ δ

                                              δ . Namun persamaan (7) menunjukkan bahwa f(x) &gt; f(x

                                              δ &lt; x &lt; x

                                              ) (x f ′′ &gt; 0 untuk setiap xI sedemikian hingga x

                                              ′′ x f , kekontinuitas dari ) (x f ′′ mengimplikasikan bahwa ada δ &gt; 0 sehingga

                                              Bukti (c): Jika ) ( * &gt;

                                            • dan x. Karena itu, jika
                                            • * , maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa
                                            • dan x. Karena itu, jika

                                              ) ( ) ( * ≤ − x f x f untuk setiap x ∈I.

                                            • Bukti (f): Jika ′′ x

                                              ( ) , kekontinuitasan dari f ′′ (x ) mengimplikasikan

                                              f &lt;

                                            • bahwa ada f ′′ (x ) &lt; 0 untuk setiap xI sedemikian hingga x
                                              • * *

                                              δ &gt; 0 sehingga

                                              ) untuk + δ &lt; x &lt; x δ . Namun persamaan (9) menunjukkan bahwa f(x) &lt; f(x * *

                                              setiap x ∈I sedemikian hingga ≠ +

                                              x x x , dimana x adalah x , x − &lt; &lt; δ δ satu - satunya pembuat maksimum relatif dari f(x).

                                              ■

                                              Contoh 2.1.3 2 +

                                              Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f ( x ) = x − 4 x 5 pada selang [1,4]. 2 +

                                            Gambar 2.1.6 grafik fungsi f ( x ) = x −

                                              4 x 5 . i. Mencari titik kritis

                                              ′ x

                                              

                                            f ( ) =

                                              2 x − 4 =

                                              

                                            x =

                                              2 ii. Mengevaluasi f(x) pada titik akhir dan titik kritis

                                              1 ) = 1 − 2 4 ×

                                              1 5 =

                                            • f (

                                              2 2 +

                                              f (

                                              2 ) = 2 − 4 ×

                                              2 5 =

                                              1

                                              4

                                              4

                                              4

                                              5

                                              5

                                              f = − × =

                                              2 + ( 4 )

                                              Dari langkah 9, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada titik (4, 5), dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik (2,1).

                                              ▲

                                            B. Optimisasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus

                                              Perluasan dari fungsi satu variabel adalah fungsi lebih dari satu variabel den- gan mengkombinasikan beberapa teori kalkulus dengan aljabar linear. Oleh sebab itu, untuk permulaan akan dibahas beberapa terminologi dan notasi.

                                              n

                                              Vektor pada R adalah pasangan terurut n-tupel x = (x , x , …, x ) dari bilan-

                                              1 2 n

                                              gan real x yang disebut dengan komponen dari x. Vektor x = (x , x , …, x )

                                              i 1 2 n

                                            x

                                              ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟

                                              

                                            x

                                              ⎜ 2 ⎟ disebut vektor baris, dan vektor x disebut vektor kolom. =

                                              ⎜ ⎟ M

                                              ⎜⎜ ⎟⎟

                                              

                                            x

                                            n

                                              ⎝ ⎠ Maka dapat dilihat bahwa fungsi f(x , x , …, x ) dari n variabel sebagai fungsi

                                              1 2 n f (x) dari vektor tunggal variabel x = (x , x , …, x ).

                                              

                                            1

                                            2 n Definisi 2.2.1

                                              Didefinisikan penjumlahan dari dua vektor x = (x , x , …, x ) dan y = (y , y ,

                                              1 2 n

                                              1

                                              2 n

                                              …, y ) pada R dengan

                                              n x + y = (x + y , x + y , …, x + y ),

                                              1

                                              1

                                              2 2 n n

                                              dan perkalian dari x dan bilangan real λ dengan , , …, ).

                                              λ x = ( λ x

                                              1 λ x 2 λ x n

                                              Definisi 2.2.2 n

                                              Jika x = (x , x , …, x ) dan y = (y , y , …, y ) adalah vektor-vektor di R ,

                                              1 2 n

                                              

                                            1

                                            2 n

                                              maka perkalian titik atau perkalian dalam xy didefinisikan sebagai n • = + + + x y x y x y ... x y = x y . 1 1 2 2 n n k k

                                              ∑ k = 1 Akibat 2.2.1

                                              Perkalian titik adalah linear pada kedua variabel; yaitu, ( x y ) z ( x z ) ( y z ),

                                              α β = α β

                                              

                                            x ( y z ) ( x y ) ( x z )

                                            α β = α β ,

                                              n untuk semua vektor x, y, z pada R dan bilangan real α , β .

                                              Bukti :

                                              K K ( x y ) z = ( α x β y , α x β y , , α x β y ) ( z , z , , z ) α β • + + • + + 1 1 2 2 n n 1 2 n

                                              K = x y . z x y . z x y . z

                                              ( ( α β ) ( α β ) ( α β ) ) + + + + + + 1 1 1 2 2 2 n n n . . . . K . .

                                              = ( α β α β α β ) + + + + + +

                                              x z y z x z y z x z y z 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n . . K . . . K .

                                              = ( ( α x z α x z α x z ) ( β y z β y z β y z ) ) 1 1 2 2 n n n n 1 1 2 2 + + + + + + +

                                              x . z x . z K x . z y . z y . z K y . z

                                              = ( α ( ) ( β ) ) 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n + + + + + + + ( x z ) ( y z )

                                              = α β • + •

                                              x ( y z ) ( x , x , K , x ) y z , y z , K , y z

                                            • α β = ( α β α β α β )
                                            • 1 2 n 1 1 2 2 n n

                                                

                                              x . y z x . y z K x . y z

                                                = ( ( α β ) ( α β ) ( α β ) ) 1 1 1 2 2 2 n n n + + + + + +

                                                . . . . K . . = ( x α y x β z x α y x β z x α y x β z ) 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n + + + + + + +

                                                x . y x . y K x . y x . z x . z K x . z

                                                = ( α α α β β β ) + + + + + + + 1 1 2 2 n n n n 1 1 2 2

                                                x . y x . y K x . y x . x x . x K x . x

                                                = ( α ( ) ( β β β ) ) 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n + + + + + + + = α β + • • ( x y ) ( x z ) .

                                                ■

                                                Definisi 2.2.3 Dua vektor x dan y adalah ortogonal jika xy = 0. Definisi 2.2.4

                                                Norm atau panjang x pada vektor x = (x , x , …, x ) adalah fungsi real pada

                                                1 2 n n

                                                R dengan syarat: n 1. x untuk setiap vektor di R .

                                                ≥ 2. x = 0 jika dan hanya jika x adalah vektor nol 0.

                                                3. α = x α x untuk setiap vektor di R dan semua bilangan real

                                                n α .

                                                n 4. x y x y untuk semua vektor x, y di R (ketidaksamaan segitiga).

                                                ≤ + +

                                                Contoh 2.2.1 x pada vektor x = (x , x , …, x ) adalah

                                                1 2 n 2 2 2 1 / 2 1 / 2

                                              x = ( x x ... x ) = ( x x ) .

                                              1 2 n + • + +

                                                Definisi 2.2.5

                                                2

                                                3 Untuk vektor tak nol x dan y di R atau R , perkalian titik xy secara umum

                                                didefinisikan

                                                x y x y cos …(1)

                                                = θ • dimana [ , ] adalah sudut antara x dan y.

                                                θ ∈ π x

                                                θ

                                                y n

                                                Untuk vektor x dan y di R dengan n &gt; 3, formula (1) untuk perkalian titik

                                                n

                                                θ tetap dapat digunakan jika cos didefinisikan. Untuk x, y R didefinisikan

                                              • x y

                                                cos θ =

                                                x y Teorema 2.2.1

                                                Pertidaksamaan Cauchy – Schwarz untuk setiap vektor x dan y,

                                              • x y x y

                                                ≤

                                                Bukti :

                                                Apabila x dan y adalah vektor nol, maka 00, dimana hal tersebut adalah benar untuk setiap x dan y. Jika x atau y (salah satunya) vektor tak nol, maka dari persamaan (1) didapatkan

                                              • x y x y cos x y ,

                                                = θ ≤ karena cos 1 untuk setiap nilai pada θ ≤ θ .■

                                                Pada pertidaksamaan Cauchy – Schwarz, 1 cos 1 dan cos 1 jika − ≤ θ ≤ θ = hanya jika terdapat satu vektor yang merupakan kelipatan vektor lainnya.

                                                Definisi 2.2.6 n

                                                Jika x dan y adalah vektor di R , panjang atau jarak d ( y x , ) di antara x dan y didefinisikan sebagai: n 2 1 ⎛ ⎞ 2

                                                d ( x , y ) = xy = ⎜ ( xy ) ⎟ i ii = 1

                                                ⎝ ⎠

                                                Definisi 2.2.7

                                                Bola ) B x ( r , yang berpusat pada x dengan radius r adalah himpunan semua

                                                n

                                                vektor y di R , dimana jarak dari x kurang dari r, maka n

                                              B ( x , r ) = yR yx &lt; r .

                                                { } Definisi 2.2.8 n

                                                Titik x pada sub himpunan D di R adalah titik dalam dari D jika terdapat r &gt;

                                                o

                                                0, dimana bola B x ( r , ) dalam D. Bagian dalam D pada D adalah himpunan

                                                n o

                                                dari semua titik dalam dari D. Himpunan G di R terbuka jika G = G , artinya,

                                                n

                                                jika semua titik dalam himpunan adalah titik – titik dalam. Himpunan F di R

                                                (k)

                                                tertutup jika F mencangkup setiap titik x sehingga terdapat barisan {x } di F ( ) k dengan lim x x . k → ∞ − =

                                                Definisi 2.2.9 n

                                                Himpunan D di R adalah terbatas jika terdapat suatu konstanta M &gt; 0 se- hingga x &lt; M untuk setiap xD, artinya, D adalah terbatas jika dan hanya jika D termasuk dalam bola besar B(0, M) dengan pusat 0.

                                                Contoh 2.2.1

                                              2 Pada R , himpunan F dengan komponennya adalah titik – titik tak nega-

                                                2 tif, yaitu x ( , ) , , adalah tertutup tapi tidak terba-

                                                F = = x xR xx ≥ { } 1 2 1

                                              2

                                                tas. Titik x = (x , x ) pada F adalah titik dalam dari F jika dan hanya jika x &gt;

                                                1

                                                2

                                                1

                                                0, x karena bola B(x, r) termasuk di dalam F walaupun r adalah bilangan 2 &gt; positif terkecil dari x , x .

                                                1

                                                2

                                                ▲

                                                Definisi 2.2.10

                                                Misalkan (x ) adalah fungsi yang bernilai real didefinisikan pada sub him-

                                                f

                                              • * n
                                                • * punan D di R . Titik x di D adalah: a Pembuat minimum mutlak untuk f (x ) pada D jika f ( x ) f ( x ) untuk

                                                  ≤ setiap xD;

                                                • * b Pembuat minimum mutlak tegas untuk f (x ) pada D jika f ( x ) f ( x )

                                                  &lt; * untuk setiap xD, dimana ≠ ;

                                                  x x c Pembuat minimum relatif untuk f (x ) jika terdapat bilangan positif δ se- *

                                                • * hingga f ( x ) f ( x ) untuk setiap x x B ( x , δ ) ;

                                                  ≤ ∈D dimana ∈ d Pembuat minimum relatif tegas untuk f (x ) jika terdapat bilangan positif

                                                • * * *

                                                  δ sehingga

                                                  f ( x ) &lt; f ( x ) untuk setiap xD dimana xB ( x , ) dan

                                                  δ

                                                  x ≠ ; x

                                                • * e Pembuat maksimum mutlak untuk f (x ) pada D jika f ( x ) f ( x ) untuk

                                                  ≥ setiap xD;

                                                • * f Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f (x ) pada D jika f ( x ) f ( x )

                                                  &gt; * untuk setiap xD, dimana x x ≠ ; * * g Pembuat maksimum relatif untuk f (x ) jika terdapat bilangan positif

                                                  δ sehingga ) f ( x ) ≥

                                                  f ( x untuk setiap xD dimana xB ( x , ) ;

                                                  δ h Pembuat maksimum relatif tegas untuk f (x ) jika terdapat bilangan positif

                                                • * * δ sehingga f ( x ) f ( x ) untuk setiap x x B ( x , ) dan *

                                                  &gt; ∈D dimana ∈ δ

                                                  x x

                                                  ≠ ;

                                                • * i Titik kritis untuk f (x ) jika turunan parsial pertama dari f (x ) ada pada x
                                                  • *f dan ( x ) = , i = 1, 2, …, n.

                                                    x

                                                    ∂ i

                                                    Teorema 2.2.2

                                                    Misalkan f (x ) adalah fungsi yang bernilai real dimana semua turunan parsial

                                                  • * n

                                                    pertama dari (x ) ada pada sub himpunan D di R . Jika x adalah titik dalam

                                                    f

                                                  • * dari D yang adalah pembuat minimum relatif dari f (x ) , maka x adalah titik
                                                    • * f

                                                      ∂ kritis dari f (x ) , yaitu, ( x ) , i = 1, 2, …, n.

                                                      = ∂ x i

                                                      Bukti :

                                                    • * * * *

                                                      Karena adalah pembuat minimum relatif untuk (x ) dan

                                                      

                                                    x ( x , x ,..., x ) f

                                                      = 1 2 n

                                                    • * titik dalam dari D, terdapat bilangan positif r sehingga bola B(x , r) term
                                                    • * *

                                                      di dalam D dan f ( x ) f ( x ) untuk setiap x , r). Akan ditunjukkan ≤ ∈ B(x *

                                                      ∂ f ( x ) = ;

                                                      ∂ x i *f

                                                      Akan ditunjukkan ( x ) = dengan menggunakan fungsi satu variabel, * * * * * *x i yaitu f ( x , x , x ,..., x ) . Dimana x , x ,..., x adalah variabel tetap fungsi 2 3 n 2 3 n tersebut.

                                                      Misalkan fungsi satu variabel g (x ) didefinisikan sebagai * * * *

                                                      

                                                    g ( x ) f ( x , x , x ,..., x )

                                                      = 2 3 n adalah terdiferensialkan dan memenuhi g ( x ) g ( x ) untuk setiap x

                                                    • * * *
                                                    • 1 ≤ sedemikian sehingga x r x x r . Oleh sebab itu, x adalah pembuat 1 − &lt; &lt; + 1 * * 1
                                                      • * minimum relatif untuk g (x ) pada I = ( x − +
                                                      • 1

                                                        r , x r ). 1 Karena itu, jika x bukan titik akhir dari I, berdasarkan teorema 2.1.1 maka
                                                        • * 1

                                                          gx

                                                          ( ) = . Tetapi jika 1

                                                          f f

                                                          ∂ ∂ * * * * *

                                                          

                                                        g ( x ) x , x ,..., x ( x )

                                                          ′ 1 = =

                                                          ( 1 2 ) n x x

                                                          ∂ ∂ 1 1

                                                          ∂ ff * * maka ( x ) = . Dengan cara yang sama dapat dibuktikan ( x ) = un-

                                                          ∂ x ix i tuk i = 1, 2, …, n .

                                                          ■

                                                          Teorema 2.2.3

                                                        • * n

                                                          Misalkan x , x adalah titik pada R dan f(x) adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada suatu himpunan terbuka termasuk segmen garis

                                                        • *

                                                          [ x , x ] = * * n * { wR | w = x t ( xx ); ≤ t ≤ 1 } . Maka terdapat z ∈[ x , x] sedemikian hingga * * * * * 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x x ) ( x x ) ( z )( x x ) .

                                                          f = ff − − Hf

                                                        • 2 Bukti : Jika dari formula Taylor
                                                          • * * * * f ′′ ( z )
                                                          • 2 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) …(2)

                                                              = ′ − − + +

                                                              2 dapat ditunjukkan korespodensi formula Taylor untuk fungsi beberapa varia- bel, maka formula tersebut berlaku untuk fungsi beberapa variabel. Akan dimulai dengan kasus fungsi dua variabel.

                                                              2 Misalkan f(x) = f(x ,x ) adalah fungsi yang didefinisikan pada R dan bahwa * * *

                                                              1

                                                              2 x ( x , x ) dan x = (x ,x ) adalah titik tetap. Didefinisikan (t ) untuk t

                                                              = 1 2

                                                              1 2 ϕ ∈R

                                                              dengan

                                                            • * * * * * * ( t ) f ( x t ( x x )) f ( x t ( x x ), x t ( x x )) …(3)

                                                              ϕ 1 1 1 2 + + + = − = − − 2 2 Maka ) (t ϕ adalah fungsi dari satu variabel t untuk t = 0 dan t = 1 sedemikian hingga

                                                            • * * * ϕ ( ) =

                                                              f ( x ) = f ( x , x ) ; 1

                                                            2

                                                              ϕ ( 1 ) = f ( x ) = f ( x , x ) . 1 2 Jika (t ) (t )

                                                              ϕ ′ and ϕ ′′ adalah kontinu, maka dapat diimplikasikan formula Tay-

                                                            • lor (2) untuk (t ) pada titik t = 0, t = 1. Dengan menggantikan

                                                              ϕ * * * f ( ) dengan ( t ) dan f ( ) dengan ( s ) sehingga dihasilkan

                                                              ′ x ′′ x ϕ′ ϕ ′′

                                                              ′′ ( s ) ϕ 2 *

                                                              ( x ) ( x ) ′ ( )( 1 ) ( 1 ) , …(4)

                                                              f = f ϕ − −

                                                              2 dimana s adalah titik di antara 0 dan 1. Jika f(x) mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua, maka (t ) mempunyai turunan pertama dan

                                                              ϕ

                                                              turunan parsial kedua dimana dapat dihitung dengan menggunakan aturan rantai sebagai berikut:

                                                              ∈R dan = − * * ( t ) f ( w )

                                                            • Jika t w x t ( x x ) , maka

                                                              ϕ = * * + )) f ( x t ( x x

                                                              = − * * * = + + f ( x t ( xx ), x t ( xx )) . 1 1 1 2 2 2 berdasarkan aturan rantai, * *

                                                              ( t ) f ( x t ( x x )) + = − ϕ

                                                              f f

                                                              ∂ ∂ ′ ( ) ( x )( ) ( x )( )

                                                              ϕ t = xx xx 1 1 + * * 2 2

                                                              x x

                                                              ∂ ∂ 1 2 * = f ∇ • ( w ) ( xx ) , …(5)

                                                            • − ∂
                                                            • − ⎥ ⎦ ⎤
                                                            • − ∂

                                                              . Seperti yang terlihat, gradien ) (

                                                            • *x f memainkan peranan seperti turunan pertama dan
                                                            •   x x x x

                                                                1 ( ) ( x x x x t

                                                                ϕ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                ∂ ∂

                                                                ∂ ∂ ∂

                                                                ∂ ∂ ∂

                                                                ∂ ∂

                                                                (w) x f (w) x x f

                                                                (w) x x f (w) x f 2 2 2 1 2 2

                                                              2

                                                              1 2 2 1 2

                                                                ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                − − * 2 2 * 1 1

                                                                )) )( ( ( ) ( * *

                                                                ϕ ′′ dapat ditunjukkan dengan formula matriks:

                                                                x x w x x

                                                                − • − =

                                                                Hf , …(6)

                                                                dimana Hf(w) adalah matriks simetris 2 x 2 dari semua pasangan turunan par- sial kedua terurut yang dievaluasi pada w.

                                                                Gunakan (5) dan (6) untuk memperlihatkan (4) sebagai berikut: ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

                                                              • * *
                                                              • 2 1 * * *

                                                                  x x z x x x x x x x

                                                                  − • − + − • ∇ + = Hf f f f , …(7) dimana ) (

                                                                • * *

                                                                  − x x x z + = s dan

                                                                  ≤ s 1 ≤ . Formula Taylor ini berlaku untuk fungsi dua variabel. Hal ini benar untuk sembarang x dan x

                                                                  2

                                                                  jika f(x) mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R

                                                                  2

                                                                  2 ,

                                                                  ϕ Untuk ) (t

                                                                  ∂

                                                                  ⎢ ⎣ ⎡

                                                                  = ∇ ) ( ), ( ) ( 2 1

                                                                  ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) (

                                                                  ∂ ∂

                                                                  ∂ ∂

                                                                  ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                  dimana ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                  ∂ =

                                                                  − ⎥ ⎦ ⎤

                                                                  − ∂

                                                                  w w w x f x f f adalah gradien dari f(x) yang dievaluasi

                                                                  ∂

                                                                  ∂ ∂

                                                                  ∂

                                                                  ⎢ ⎣ ⎡

                                                                  − ∂

                                                                  ∂

                                                                  ∂ ∂

                                                                  ∂ = ′

                                                                  pada w. Dengan menggunakan aturan rantai, didapatkan . ) )( (

                                                                • − ∂

                                                                  ) )( )( ( )( 2 ) (

                                                                • − − ∂ ∂

                                                                  2 * 2 2 2 2 2

                                                                • * 2
                                                                • 2 * 1 1 2 1 2 2 * 1 1 2 2
                                                                  • * 2
                                                                  • 2

                                                                    *

                                                                    2

                                                                    2 2 * 1 1 1 2 * 1 1

                                                                    *

                                                                    2

                                                                    2 2 * 1 1 1 1 1 x x x f x x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x x f x x x f x t

                                                                      − ∂

                                                                      ∂

                                                                      w w w w w w w

                                                                    • 1
                                                                    • 2
                                                                      • − − = ′′ )

                                                                    • * di R

                                                                      1 2 2 ≤ + y x .

                                                                      n

                                                                      ∂ ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂

                                                                      2 2 1

                                                                    2

                                                                    1 2 2 2

                                                                    2

                                                                    2

                                                                    2

                                                                    1 2 2 1 2 2

                                                                    1

                                                                    2

                                                                    2 1 2 n n n n n n x f

                                                                    x x

                                                                    f

                                                                    x x f x x f

                                                                    x

                                                                    f

                                                                    x x f x x f

                                                                    x x

                                                                    f

                                                                    x f

                                                                      L M O M M L , maka formula Taylor benar untuk semua pilihan x dan x

                                                                      n .

                                                                      Jika fungsi f(x) tidak terdefinisi pada semua titik di R

                                                                      , maka formula Taylor tetap bernilai benar untuk x dan x

                                                                      ∂ ∂ ∂

                                                                      mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua pada suatu himpunan terbuka termasuk segmen garis [x

                                                                      } ( 1 ); | { ] , [ * * *

                                                                      ≤ ≤ − + = = t t x x x w w x x .

                                                                      ■

                                                                      Contoh 2.2.2

                                                                      Tentukan maksimum dan minimum dari fungsi , 1 ) ( 2 2

                                                                      y x y x y x f

                                                                      pada cakram D yaitu

                                                                      ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂ ∂

                                                                      Hessian Hf(z) berperan seperti turunan kedua dalam teorema Taylor satu variabel.

                                                                      dan jika gradien f ∇ dari f(x) adalah n vektor ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                      Jika f(x) = f(x

                                                                      1

                                                                      , x

                                                                      2

                                                                      ,…, x

                                                                      n

                                                                      ) adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R

                                                                      n

                                                                      ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                      ∂ ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂

                                                                      ∂ ∂

                                                                      = ∇ n

                                                                      x f x f x f f ,..., , 2 1

                                                                      , sementara Hessian Hf dari f(x) adalah matriks n x n = Hf

                                                                      ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                      ∂ ∂

                                                                    • * pada R
                                                                    • * pada domain dari f(x), asalkan f(x)
                                                                    • * , x], yaitu
                                                                      • − − + =

                                                                    Gambar 2.2.1 grafik fungsi

                                                                      x x f

                                                                      ∂ diparameterkan dengan π , 2 ), cos (sin ) (

                                                                      , 1 ) {( 2 2 ≤ + = y x y x U . ii. Batas U

                                                                      Sehingga (x, y) = ( 2 1 2 1 , ) adalah titik kritis dari cakram terbuka }

                                                                      1 = y 2 − 2 1 = y .

                                                                      y y f

                                                                      ∂ ∂

                                                                      2 − =

                                                                      1

                                                                      1 = x 2 − 2 1 = x .

                                                                      ∂ ∂

                                                                      , 1 ) ( 2 2 + − − + = y x y x y x f i. Menentukan titik kritis

                                                                      2 − =

                                                                      1

                                                                      .

                                                                      y f x f

                                                                      ∂

                                                                      = ∂

                                                                      = ∂ ∂

                                                                      ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                      ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                      ≤ ≤ = t t t t c . Sehingga 2 2

                                                                      f c ( ( t )) sin t cos t sin t cos t

                                                                      1 = − − + + 2 sin cos

                                                                      = − tt = g (t ) .

                                                                      Untuk menentukan maksimum dan minimum dari f pada U ∂ , gt ( ) = hanya jika

                                                                    • g ′ ( t ) = − cos t sin t = − + cos t sin t cos t sin t ,

                                                                      =

                                                                      5 π π yaitu pada saat t = , . Jadi nilai ekstrim dari f pada U ∂ adalah pada 5

                                                                      4

                                                                      4

                                                                      π π

                                                                      titik – titik c ( ), c ( ) , dan titik akhir c ( ) c ( 2 ) . 4 4 = π iii. Menentukan nilai f. 1 1 1 2 1 2 1 1 1

                                                                      f ( , ) ( ) ( )

                                                                      1 2 2 2 2 = − − = 2 2 + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2

                                                                      π f ( c ( )) ( , ) ( ) ( )

                                                                      1

                                                                      2

                                                                      2 5 4 = f = − − = − 2 2 2 2 2 2 + + 2 2 2 2 2 2 2 2

                                                                      π f ( c ( )) = f ( − , − ) = ( − ) ( − ) 4 2 2 2 2 + + + + + 2 2 1 =

                                                                      2

                                                                      2 dan 2 2

                                                                      f ( c ( )) = f ( c (

                                                                      2 )) = f ( , 1 ) = ( ) ( 1 ) − −

                                                                      1 π iv. Bandingkan semua nilai, maka didapatkan minimum mutlak yang terletak 1 1 pada titik ( , ) dan maksimum mutlak yang terletak pada titik 2 2 2 2 ( , ) .

                                                                      1 + + 1 =

                                                                      − − 2 2

                                                                    • n

                                                                      Teorema 2.2.2 merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik x di R

                                                                    • adalah titik kritis. Namun pada teorema 2.2.2 tidak diketahui apakah titik x tersebut adalah pembuat minimum / maksimum mutlak (tegas) atau pembuat minimum / maksimum relatif (tegas). Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang lebih baik, yaitu teorema 2.2.4 yang dapat menentukan apakah pembuat maksimum / minimum (baik mutlak ataupun relatif) tersebut tegas atau tidak.
                                                                      • * Teorema 2.2.4

                                                                        Andaikan x adalah titik kritis pada fungsi f(x) dengan turunan pertama dan

                                                                        n

                                                                        turunan parsial kedua pada R , maka: * a x adalah pembuat minimum mutlak untuk f(x) jika

                                                                      • * *

                                                                        ( x x ) Hf ( z )( x x ) − − ≥

                                                                        n *

                                                                      • * untuk setiap xR dan setiap z ∈ [x

                                                                        , x]; b x adalah pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) jika

                                                                      • * * ( x x ) Hf ( z )( xx ) &gt;

                                                                        − • *

                                                                        n * *

                                                                        untuk setiap x sedemikian hingga x x dan setiap z , x]; ∈ R ≠ ∈ [x c x adalah pembuat maksimum mutlak untuk f(x) jika

                                                                      • * *

                                                                        − − ≤

                                                                      • * n

                                                                      • ( x x ) Hf ( z )( x x )
                                                                        • * untuk setiap x dan setiap z

                                                                        , x]; ∈ R ∈ [x d x adalah pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) jika

                                                                      • * *

                                                                        

                                                                      x ) Hf ( z )( xx ) &lt;

                                                                      • ( x

                                                                        n * *

                                                                        untuk setiap xR sedemikian hingga xx dan setiap z ∈ [x , x].

                                                                      • * Bukti :

                                                                        Karena x adalah titik kritis pada f(x), turunan parsial pertama pada f(x) * * adalah nol pada x , maka f ( x ) = 0. Oleh karena itu, jika x adalah ∇

                                                                        n *

                                                                        sembarang titik pada R selain x (berdasarkan teorema 2.2.3) maka * * * 1

                                                                        

                                                                      f ( x ) = f ( x ) ( xx ) Hf ( z )( xx ) ≥ ,

                                                                      2 • +

                                                                      • * dimana z ∈ [x

                                                                        , x]. Persamaan ini menghasilkan setiap pernyataan yang ada pada teorema 2.2.4.

                                                                        Pada pernyataan (a) teorema di atas didapatkan 1 * * *

                                                                        ff = − Hf − ≥ 2

                                                                      • * n

                                                                      • ( x ) ( x ) ( x x ) ( z )( x x ) ,

                                                                        dan juga, f(x) x ) untuk setiap x .

                                                                        ≥ f( ∈ R Pada pernyataan (b) teorema di atas didapatkan 1 * * *

                                                                        f ( x ) − f ( x ) = ( xx ) Hf ( z )( x − • 2 x ) &gt; , n * *

                                                                        dan juga, f(x) &gt; f( x ) untuk setiap xR sedemikian hingga xx .

                                                                        Pada pernyataan (c) teorema di atas didapatkan 1 * * * *

                                                                        

                                                                      f ( x ) f ( x ) ( x x ) Hf ( z )( x x ) ,

                                                                      2 • − = − − ≤ n dan juga, f(x) x ) untuk setiap x .

                                                                        ≤ f( ∈ R Pada pernyataan (d) teorema di atas didapatkan 1 * * *

                                                                        

                                                                      f ( x ) − f ( x ) = ( xx ) Hf ( z )( xx ) &lt; ,

                                                                      2
                                                                      • * * n

                                                                        dan juga, f(x) x ) untuk setiap x sedemikian hingga x x .

                                                                        &lt; f( ∈ R ≠ ■ Pada pembuktian teorema 2.2.3 telah diketahui bahwa Hessian Hf(x) dari fungsi f(x) pada n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua adalah matriks simetris n x n. Sehingga sembarang matriks (A) simetris n x n

                                                                        n

                                                                        menentukan fungsi Q (y) pada R disebut bentuk kuadrat yang berhubungan

                                                                        A

                                                                        dengan A

                                                                      Q y A y , y R .

                                                                      A = ∈ n

                                                                      • Jika f(x) adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua, dan jika H = Hf(z) adalah Hessian dari f(x) yang dievaluasi pada titik z,
                                                                        • * n

                                                                          maka H adalah matriks simetris n x n. Untuk x, xR , bentuk kuadrat Q

                                                                        • * H

                                                                          yang berhubungan dengan H dievaluasi pada x − adalah x H * * *

                                                                        Q ( x x ) ( x x ) Hf ( z )( x x ) .

                                                                          − = − − Hal ini tepat sama dengan pernyataan yang terdapat dalam teorema 2.2.4.

                                                                          Definisi 2.2.11

                                                                          = kuadrat yang berhubungan dengan A. Maka A dan Q disebut:

                                                                        • Andaikan A adalah matriks simetris n x n dan Q y A y adalah bentuk A

                                                                          A

                                                                          a. Semidefinit positif jika Q y A y , untuk setiap y R ; A = ≥ ∈ n

                                                                          b. Definit positif jika Q y A y , untuk setiap yR , 0 y ≠ ; A = &gt; n n

                                                                          c. Semidefinit negatif jika Q = y A y ≤ • , untuk setiap yR ; A n

                                                                        • d. Definit negatif jika Q = y A y &lt; , untuk setiap yR , 0 y ≠ ; A n
                                                                        • e. Tidak definit jika Q = y A y &gt; , untuk suatu yR dan Q ( y ) &lt; un- n A A tuk yR lainnya.
                                                                        • * Teorema 2.2.5

                                                                          Andaikan x adalah titik kritis dari fungsi f(x) dengan turunan pertama dan

                                                                          n

                                                                        • * turunan parsial kedua pada R dan bahwa Hf(x) adalah Hessian dari f(x). Maka

                                                                          x adalah:

                                                                          a. Pembuat minimum mutlak untuk f(x) jika Hf(x) adalah semidefinit positif

                                                                          n

                                                                          pada R ;

                                                                          b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) jika Hf(x) adalah definit positif

                                                                          n

                                                                          pada R ;

                                                                          c. Pembuat maksimum mutlak untuk f(x) jika Hf(x) adalah semidefinit nega-

                                                                          n

                                                                          tif pada R ;

                                                                          d. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) jika Hf(x) adalah definit

                                                                          n negatif pada R .

                                                                          Bukti : Hf (x ) adalah Hessian dari f(x), maka:

                                                                          (a) berdasarkan definisi 2.2.11 Hf (x ) adalah semidefinit positif jika * * * A H = • ≥ • *

                                                                          Q y A y , karena Q ( xx ) = ( xx ) Hf ( z )( xx ) , maka berdasarkan teorema 2.2.4 x adalah pembuat minimum mutlak.

                                                                        • * (b) berdasarkan definisi 2.2.11 Hf (x ) adalah definit positif jika

                                                                          , maka berdasarkan teorema 2.2.4 adalah pembuat

                                                                          Q = • A y A y &gt; x minimum mutlak tegas.

                                                                        • * (c) berdasarkan definisi 2.2.11 Hf (x ) adalah semidefinit negatif jika

                                                                          Q = • y A yA , maka berdasarkan teorema 2.2.4 x adalah pembuat maksimum mutlak.

                                                                          (d) berdasarkan definisi 2.2.11 Hf (x ) adalah definit negatif jika *

                                                                        • Q = y A y &lt; , maka berdasarkan teorema 2.2.4 x adalah pembuat A maksimum mutlak tegas.

                                                                          ■

                                                                          Teorema 2.2.6 a a

                                                                          ⎛ ⎞ 11 12 Matriks simetris 2 x 2 A adalah: =

                                                                          ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                          a a 12 22

                                                                          ⎝ ⎠

                                                                          a. Definit positif jika dan hanya jika

                                                                          

                                                                        a a

                                                                          ⎛ 11 12 ⎞

                                                                          

                                                                        a &gt; , det &gt; ;

                                                                        11

                                                                          ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                          

                                                                        a a

                                                                        12

                                                                        22

                                                                          ⎝ ⎠

                                                                          b. Definit negatif jika dan hanya jika

                                                                          

                                                                        a a

                                                                          ⎛ ⎞ 11 12 , det .

                                                                          a &lt; &gt; 11

                                                                          ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                          

                                                                        a a

                                                                        12

                                                                        22

                                                                          ⎝ ⎠

                                                                          Bukti : A adalah matriks simetris 2 x 2

                                                                        a a

                                                                          ⎛ ⎞ 11 12 A =

                                                                          ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                          

                                                                        a a

                                                                        12 22

                                                                          ⎝ ⎠ maka bentuk asosiasi kuadrat dari A adalah 2 2 Q ( x ) x A x a x 2 a x x a x . A = = 11 1 12 1 2 + + • 22 2

                                                                        2 Untuk setiap , baik dengan atau

                                                                          x ≠ di R x = ( x , ) xx = ( x , x )

                                                                        1

                                                                        1 1 2

                                                                          dengan . Akan dianalisa untuk 2 kasus berikut:

                                                                          x2 Kasus I. x ( , ) dengan .

                                                                          = x x1 1 2 Pada kasus ini, Q ( x ) a x maka Q ( x ) jika dan hanya jika a , A A = &gt; &gt; 11 1 11 sedangkan ( x ) jika dan hanya jika .

                                                                          Q &lt; a &lt; A 11 Kasus II. x ( x , x ) dengan x .

                                                                          = ≠ 1 2 2 Pada kasus ini, x tx untuk suatu bilangan real t dan 1 = 2 2 2 2 Q ( x ) a t 2 a t a x ( t ) x , 2 A [ = = ϕ 11 12 + + 22 ] 2 2 dimana ( t ) a t 2 a t a . Karena x , dapat dilihat bahwa

                                                                          ϕ = ≠ 11 12 + + 22 2 Q ( x ) untuk setiap x jika dan hanya jika ( t ) &gt; untuk setiap tR. A &gt; ϕ ′

                                                                          ϕ = + ( t ) 2 a t 11 2 a , 12

                                                                          ′′ ( t ) 2 a , ϕ = 11

                                                                        • * a
                                                                        • 12 sehingga t = − adalah titik kritis dari ϕ dan titik kritis tersebut adalah (t )

                                                                            a 11

                                                                            pembuat minimum tegas jika a &gt; dan pembuat maksimum tegas jika 11

                                                                            a . Jika a dan jika t R 11 &lt; &gt; ∈ , maka 11 2 a a

                                                                            ⎛ aa 1 ⎛ ⎞ ϕ ≥ ϕ = ϕ − = − = +

                                                                            ( t ) ( t ) a det . …(8) 12 12 22 11 12 * ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            

                                                                          a a a a a

                                                                          11 11 11 12 22

                                                                            ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

                                                                            a a

                                                                            ⎛ ⎞ 11 12 Jadi, jika a dan det , maka ( t ) untuk setiap t R 11 &gt; &gt; ϕ &gt; ∈ ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            a a 12 22

                                                                            ⎝ ⎠ dan membuat Q ( x ) untuk setiap x ( x , x ) dengan x . Dengan A &gt; = ≠ 1 2 2 kata lain, jika untuk setiap x, maka ( t ) untuk setiap

                                                                            Q ( x ) &gt; ϕ &gt; tR A

                                                                            dan sehingga dan diskriminan dari (t )

                                                                            a &gt; ϕ 11 a a 211 12 ⎞ 4 a12 4 a a = − 11 22 4 det

                                                                            ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            a a 12 22

                                                                            ⎝ ⎠

                                                                            a a

                                                                            ⎛ 11 12 ⎞ adalah negatif, yaitu a &gt; dan det &gt; . 11 ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            a a

                                                                          12

                                                                          22

                                                                            ⎝ ⎠

                                                                            a a

                                                                            ⎛ ⎞ 11 12 Jika a pada (8) dan det , maka ( t ) untuk setiap 11 &lt; &gt; ϕ &lt; ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            a a 12

                                                                          22

                                                                            ⎝ ⎠

                                                                            

                                                                          t ∈ dan membuat R Q ( x ) &lt; untuk setiap x = ( x , x ) dengan x ≠ . den-

                                                                          A 1 2 2

                                                                            gan kata lain jika Q ( x ) &lt; untuk setiap x, maka ϕ ( t ) &lt; untuk setiap tR A (t ) dan sehingga a &lt; dan diskriminan dari ϕ 11

                                                                            a a

                                                                            ⎛ ⎞ 4 a 4 a a 4 det 12 + 2 11 22 = 11 12

                                                                            ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            a a 12 22

                                                                            ⎝ ⎠

                                                                            

                                                                          a a

                                                                            ⎛ 11 12 ⎞ adalah positif, yaitu a &lt; dan det &gt; . 11 ■ ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            

                                                                          a a

                                                                          12

                                                                          22

                                                                            ⎝ ⎠

                                                                            Definisi 2.2.12

                                                                            Misalkan A adalah matriks simetris n x n. Didefinisikan Δ adalah determinan k dari sudut atas-tangan kiri submatriks k x k dari A untuk 1 k n . Determi-

                                                                            ≤ ≤ nan Δ disebut principal minor ke-k dari A. k

                                                                            , Δ = a 1 11

                                                                            a a a L a

                                                                            ⎛ ⎞ 11 12 13 1 n ⎜ ⎟

                                                                            

                                                                          a a a L a a a

                                                                            ⎛ ⎞ ⎜ 12 22 23 2 n 11 12 det ,

                                                                            Δ = 2 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            A = a a a L a , dengan a a 13 23 33 3 n 12 22

                                                                            ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

                                                                            M M ⎜ ⎟

                                                                            M ⎜ ⎟

                                                                            a a a L a 1 n 2 n 3 n mn

                                                                            ⎝ ⎠ det A .

                                                                            Δ = n

                                                                            Teorema 2.2.7

                                                                            Jika A adalah matriks simetris n x n dan jika Δ adalah principal minor ke-k k dari A untuk 1 k n , maka:

                                                                            ≤ ≤ a A adalah definit positif jika hanya jika untuk k 1 , 2 ,..., n ;

                                                                            Δ &gt; = k k b A adalah definit negatif jika hanya jika ( 1 ) untuk k = 1 , 2 ,..., n . − Δ &gt; k

                                                                            Bukti :

                                                                            Untuk membuktikan teorema ini digunakan metode induksi matematis, yaitu

                                                                            1 adalah benar. Pada pem- = hingga = k buktian ini cukup dibuktikan untuk dan , maka

                                                                          • dengan dibuktikannya untuk n k n

                                                                            

                                                                          n =

                                                                            2 n = 3 n = adalah k benar.

                                                                            Untuk 2 n = adalah benar berdasarkan teorema 2.2.6, maka akan dibuktikan untuk n 3 . =

                                                                            a a a

                                                                            ⎛ 11 12 13 ⎞ ⎜ ⎟

                                                                            Misalkan A a a a adalah matriks simetris 3 x 3 dan = 12 22 23

                                                                            ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

                                                                            a a a 13 23 33

                                                                            ⎝ ⎠

                                                                            3

                                                                          x = ( x , x , x ) adalah vektor tak nol pada R . Maka salah satu dari kedua ka-

                                                                          1 2 3

                                                                            sus ini harus dipenuhi:

                                                                            Kasus I.

                                                                            a a x

                                                                            ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 11 12 1 Jika 0 x = , maka x Ax = ( x , x ) dan ( x , x ) ≠ ( , ) , se- 3 1 2 • • 1 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                            a a x

                                                                          12

                                                                          22 2

                                                                            ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ hingga berdasarkan teorema 2.2.6 menunjukkan a. x A jika untuk setiap x x jika dan

                                                                          • x &gt; ≠ sedemikian sehingga =
                                                                          • 3 hanya jika , ; Δ &gt; Δ &gt; 1 2

                                                                              b. x A jika untuk setiap x x = jika dan

                                                                            • x &lt; ≠ sedemikian sehingga
                                                                            • 3 hanya jika , .

                                                                                Δ &lt; Δ &gt; 1 2 Kasus II.

                                                                                Jika 0 x ≠ dan x = tx , x = sx untuk setiap bilangan real s, t, maka 3 2 2 3 1 2 3 2

                                                                                xx A = x a s a t a

                                                                                2 a st 2 a s + + + + + 2 a t . 3 ( ) 11 22

                                                                              33

                                                                              12 13 23 Sebagai akibatnya, karena x ≠ diikuti dengan xx A &gt; untuk setiap 3

                                                                                x ≠ sedemikian sehingga x ≠ jika dan hanya jika 2 3 2

                                                                                ( , )

                                                                                2

                                                                                2

                                                                                2 ϕ = + + + + +

                                                                                

                                                                              s t a s a t a a st a s a t &gt;

                                                                              11 22 33 12 13 23

                                                                                untuk setiap bilangan real s, t. Pada penambahan, xx A &lt; untuk setiap

                                                                                

                                                                              x ≠ sedemikian sehingga x = jika daan hanya jika ϕ ( s , t ) &lt; untuk

                                                                              3 setiap bilangan real s, t.

                                                                                Titik kritis dari ( t s , ) adalah solusi dari persamaan

                                                                                ϕ

                                                                                ∂ ϕ 2 a s 2 a t 2 a ,

                                                                                = = 11 12 + + 13

                                                                                s

                                                                                ∂ ∂ ϕ

                                                                                , = = 2 a s 12 + + 2 a t 22 2 a 23

                                                                                t

                                                                                ϕ . …(10)

                                                                                t a s a t s a t a s a .

                                                                                ( ) *

                                                                              13

                                                                              * * 12 2 * 11

                                                                                = + +

                                                                                s a t s a s a ( ) *

                                                                              23

                                                                              2 * 22 * * 12

                                                                                = + + t a t a t s a dan menambahkan kedua persamaan tersebut hingga menghasilkan

                                                                                ( ) ( ) * 23 2 * 22 * * 12 * 13 * * 12 2 * 11

                                                                                = + + + + + t a t a t s a s a t s a s a

                                                                                ( ) ( )

                                                                                2 * 23 * 13 * * 12 2 * 22 2 * 11 = + + + +

                                                                                Akibatnya, 33 * 23 * 13 * * ) , ( a t a s a t s + + =

                                                                                . …(9) Jika persamaan 13 * 12 * 11

                                                                                ϕ , dan sehingga (9) diimplikasikan bahwa jika 2 ≠ Δ , maka

                                                                                

                                                                              2

                                                                              3

                                                                              2 33 23 13 23 22 12 13 12 11 * *

                                                                                det ) det , (

                                                                                Δ Δ

                                                                                = Δ

                                                                                = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                                ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                                =

                                                                                A a a a a a a a a a t s

                                                                                = + + a t a s a dikalikan dengan s

                                                                                a a a a t a a a a s

                                                                                yaitu, 13 12 11

                                                                                = Δ

                                                                                − a t a s a = +

                                                                                , 23 22 12

                                                                                a t a s a

                                                                                − = + . Persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik ) , ( * *

                                                                                t s jika dan hanya jika

                                                                                det

                                                                                2 22 12 12 11 ≠ ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                a a a a

                                                                                1

                                                                                , dan solusi unik ini didapatkan dari Aturan Cramer`s yaitu ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                − −

                                                                                Δ =

                                                                                ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                − −

                                                                                Δ = 23 12 13 11 2 * 22 23 12 13 2 * det

                                                                                1 , det

                                                                              • dan persamaan
                                                                              • 23 * 22 * 12 = + + a t a s a dikalikan dengan
                                                                              • :

                                                                                2 a 2 a ⎛ ⎞ 11 12 Karena H ( s , t ) = det = 4 Δ , berdasarkan teorema 2.2.6 dan teo-

                                                                                ϕ 2 ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                                2

                                                                                2

                                                                                a a 12 22

                                                                                ⎝ ⎠ * * rema 2.2.5 yaitu ( s , t ) adalah pembuat minimum mutlak tegas untuk

                                                                              • * *
                                                                              • * * ( s , t ) jika dan hanya jika , . Dengan cara yang sama, ( s , t )

                                                                                ϕ Δ &gt; Δ &gt; 1 2 * * adalah pembuat maksimum mutlak tegas untuk ( s , t ) jika dan hanya jika ϕ Δ &lt; , Δ &gt; . 1 2 Jika 0 Δ &gt; , Δ &gt; , Δ &gt; , maka kesimpulan (a) pada kasus I menunjukkan 1 2 3 bahwa jika x ≠ dan x = , maka xx A &gt; ; dengan kata lain, pada kasus 3 II menunjukkan bahwa jika x ≠ dan x ≠ , x = tx , x = sx , maka 3 2 3 1 3

                                                                                Δ

                                                                              • x A x x ( s , t ) x ( s , t ) x .

                                                                                = ϕ ≥ ϕ = &gt; 3 2 3 2 * * 3 2 3 Δ 2 Oleh karena itu, xx A &gt; untuk setiap x ≠ jika Δ &gt; , Δ &gt; , Δ &gt; . 1 2 3 Dengan kata lain, jika xx A &gt; untuk setiap x ≠ , maka kesimpulan (a) * * * dari kasus I menunjukkan bahwa , . Juga, jika x ( s , t ,

                                                                                Δ &gt; Δ &gt; = 1 2 1 ) , maka (10) menghasilkan Δ

                                                                              • ( , ) x x ,
                                                                              • 3 = ϕ s t = A &gt; * * Δ 2 maka 0 Δ &gt; . Hal ini membuktikan bagian (a) pada teorema 2.2.7. 3 pembuktian bagian (b) pada teorema 2.2.7, bukti analog.

                                                                                  ■

                                                                                  Teorema 2.2.8

                                                                                  Misalkan fungsi f(x) dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada

                                                                                  n suatu himpunan D di R .

                                                                                • * * * Misalkan x adalah titik dalam dari D dan x adalah titik kritis dari f(x). *

                                                                                  Maka x adalah: * a Pembuat minimum relatif tegas dari f(x) jika Hf( x ) adalah definit positif. b Pembuat maksimum relatif tegas dari f(x) jika Hf( x ) adalah definit nega- tif.

                                                                                  Bukti :

                                                                                • * Didefinisikan ) Δ (x adalah principal minor ke-k dari Hf (x ) . Dari hipotesa k diketahui 0 Δ x k

                                                                                  ( ) &gt; untuk k = 0, 1, 2, …,n. Karena turunan kedua dari f(x) adalah kontinu, maka setiap Δ (x ) adalah fungsi dari x yang kontinu. Karena k * Δ x k ( ) &gt; , dari kekontinuitasan ditunjukkan bahwa terdapat suatu bilangan *

                                                                                  r pada setiap k sedemikian sehingga ( ) jika x x r . Him- k k k &gt; Δ x &gt; − &lt; * punan r min r , r ,..., r dan perhatikan bahwa untuk setiap k = 0, 1, 2, …,n

                                                                                  = { } 1 2 n didapatkan 0 Δ x ( ) &gt; jika xx &lt; k r . Oleh karena itu, berdasarkan teorema * * 2.2.6, matriks Hf(x) adalah definit positif jika − &lt;

                                                                                  x x r . Jika x x r , maka berdasarkan teorema 2.2.3 didapatkan

                                                                                  &lt; − &lt; * * * * 1 *

                                                                                  

                                                                                f ( ) f ( x ) ∇ f ( x ) ( xx ) ( xx ) Hf ( z )( xx )

                                                                                x = 2

                                                                                • * *

                                                                                  dimana z berada pada segmen garis x dan x . Karena x x r , maka dida- − &lt; *

                                                                                • * patkan z x r .

                                                                                  − &lt; Oleh sebab itu Hf(z) adalah definit positif. Akibatnya, jika &lt; xx &lt;

                                                                                • * *

                                                                                  r ,

                                                                                • * maka positif ( x ) ( x ) bilangan . Sehingga x x dan x x

                                                                                  

                                                                                f = f − &lt; r

                                                                                  • * *

                                                                                    menyatakan bahwa f ( x ) f ( x ) , dimana x adalah pembuat minimum &gt; * relatif tegas dari f(x).

                                                                                    Untuk x pembuat maksimum relatif tegas, bukti analog.

                                                                                    ■

                                                                                    Contoh 2.2.4 3 3 f ( x , x ) = x x1 2 1 2 3 x1 12 x 2 + +

                                                                                    20

                                                                                    3 3 Gambar 2.2.2 grafik fungsi f ( x , x ) x x

                                                                                    3 x 12 x

                                                                                    20 2 1 2 = − − 1 2 1 2 + + ⎛ 3 x1 3 ⎞

                                                                                    ⎜ ⎟ ( )

                                                                                    ∇ f x = 2 ⎜ ⎟ 3 x2

                                                                                    12 ⎝ ⎠

                                                                                    1 ( − + − = − − ϕ

                                                                                    x x x x x x

                                                                                    Berdasarkan definisi 2.2.11

                                                                                    A x x x A

                                                                                    ϕ ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                    ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                    ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                    ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                    6

                                                                                    6 ) , (

                                                                                    ) 6 , ) 6 ( , ( 2 2 2 1 2 1

                                                                                    2 2 ± =

                                                                                    6 = 6 x x +

                                                                                    Untuk: 3 3 2 .

                                                                                    6 1 . 6 ) 2 ,

                                                                                    1 (

                                                                                    12 1 . 6 ) 2 ,

                                                                                    ϕ 1 ( − + = − = 42 − ≤ 0, semidefinit negatif. 3 3 2 .

                                                                                    12 ) 1 .( 6 ) 2 ,

                                                                                    − 1 ( + − = ϕ 42 = ≥ 0, semidefinit positif. 3 3 ) 2 .(

                                                                                    12 ) 1 .( 6 ) 2 ,

                                                                                    x

                                                                                    x

                                                                                    ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                    ∂ ∂

                                                                                    ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                    = 2 1

                                                                                    6

                                                                                    6 ) (

                                                                                    x x Hf x

                                                                                    Menentukan titik kritis, ) ( = ∂

                                                                                    ∂

                                                                                    x i x f

                                                                                    , i = 1, 2, maka ) ( 1 =

                                                                                    x x f

                                                                                    1 1 ± =

                                                                                    ) ( 2 = ∂

                                                                                    ∂

                                                                                    x x f

                                                                                    3

                                                                                    3 2 1 = −

                                                                                    x

                                                                                    12

                                                                                    3 2 2 = −

                                                                                    x

                                                                                  • = ) (
                                                                                  • =
                                                                                  • 2 1 2 1 2 1<
                                                                                  • x x x x =
                                                                                  • 3 2 3 1<

                                                                                    • = ϕ 54 = ≥ 0, semidefinit positif.
                                                                                    • 3 3 ) 2 .(

                                                                                      = 54 − ≤ 0, semidefinit negatif. Mencari nilai optimum:

                                                                                      3 2 ) ) 1 ( 2 ,

                                                                                      Pembuat minimum relatif terjadi pada titik (1,2) dan (-1,2). Pembuat mak- simum relatif terjadi pada titik (1,-2) dan (-1,-2).

                                                                                      f

                                                                                      = + − − − − − + − = − −

                                                                                      ) 1 ( 2 , 1 ( 3 3

                                                                                      1 .( 3 ) ) 2 (

                                                                                      38 20 ) 2 .( 12 )

                                                                                      f

                                                                                      1 ( 3 3 = + − − − + − = −

                                                                                      20 2 . 12 ) 1 .(

                                                                                      2

                                                                                      6

                                                                                      1 ) 2 , 1 ( 3 3 = + − − − − + = − f

                                                                                      12 1 . 3 ) 2 (

                                                                                      34 20 ) 2 .(

                                                                                      2 1 ) 2 , 1 ( 3 3 = + − − + = f

                                                                                      3

                                                                                      12 1 .

                                                                                      20 2 .

                                                                                      ▲

                                                                                    BAB III ALGORITMA GENETIKA Algoritma Genetika adalah algoritma pencarian heuristik yang didasarkan atas

                                                                                      mekanisme evolusi biologis. Algoritma genetika pertama kali dikembangkan oleh John Holland (1975), dan mempunyai ciri-ciri istimewa, yaitu : (1) representasi string bit, (2) seleksi yang seimbang (proporsional), dan (3) rekombinasi (crossover) sebagai metode utama untuk menghasilkan individu baru.

                                                                                    A. Latar Belakang Biologi

                                                                                      Semua makhluk hidup terdiri dari sel-sel, dimana setiap selnya terdapat kumpulan kromosom yang sama. Kromosom adalah untaian dari DNA dan membentuk model yang akan membedakan makhluk hidup yang satu dengan makhluk hidup yang lain. Sebuah kromosom terdiri dari gen-gen yang merupakan blok-blok dari DNA. Setiap gen terbentuk dari protein tertentu, yang mengkodekan sebuah trait (ciri bawaan), misalnya : warna mata, warna kulit, dan lain-lain. Kemungkinan untuk mengatur sebuah trait disebut allele, misalnya mengatur warna untuk mata. Setiap gen mempunyai posisi tersendiri pada kromosom, disebut dengan locus. Kumpulan dari materi-materi gen (pada semua kromosom) disebut genome. Kumpulan yang terdiri dari gen-gen pada genome, disebut genotipe (genotype).

                                                                                      Sebelum melakukan reproduksi, pertama kali yang akan muncul adalah rekombinasi (crossover atau rekombinasi). Gen-gen pada induk (parents) akan membentuk kromosom baru, yang merupakan kombinasi dari kromosom- kromosom kedua induk, yang akan membentuk anak (offspring) yang dapat bermutasi. Mutasi merupakan penggantian suatu gen pada suatu elemen di dalam DNA. Perubahan tersebut mungkin dikarenakan kesalahan penggandaan gen-gen dari induknya.

                                                                                      Untuk menyelesaikan masalah yang ada, maka dicari solusi terbaik dari semua kemungkinan solusi yang ada. Kumpulan semua solusi yang memungkinkan tersebut berada dalam ruang pencarian (search space). Setiap titik di dalam ruang pencarian merupakan satu solusi yang memungkinkan (feasible solution). Setiap solusi yang memungkinkan dapat diberi pengenal dalam bentuk nilai atau fitness dari permasalahan yang ada. Proses pencarian solusi menjadi rumit karena tidak diketahui dimana harus mencari. Banyak metode yang dikenal untuk menemukan solusi yang layak, diantaranya adalah Algoritma Genetika (Genetic Algorithm) yang dibuat berdasarkan analogi mekanisme yang terjadi terhadap proses evolusi.

                                                                                    B. Struktur Umum Algoritma Genetika

                                                                                      Algoritma Genetika merupakan metode optimasi yang berdasarkan pada fenomena alam yang dalam penelusurannya mencari titik optimal berdasarkan ide yang ada pada genetika dan teori Darwin (1809-1882) yaitu “survival of

                                                                                      

                                                                                    the fittest ” yang menyatakan bahwa evolusi jenis-jenis spesies makhluk hidup

                                                                                      dan ekosistemnya terjadi karena seleksi alam. Individu yang lebih kuat (fit) akan memiliki tingkat survival dan tingkat reproduksi yang lebih tinggi jika dibandingkan dengan individu yang kurang fit.

                                                                                      Berbeda dengan teknik konvensional, algoritma genetika dimulai dengan memberikan himpunan awal (inisialisasi) dari solusi-solusi secara acak yang disebut populasi. Setiap individu pada populasi disebut kromosom (solusi yang masih berbentuk simbol), yang memodelkan sebuah solusi dari permasalahan yang ada. Kromosom yang berkembang setelah melalui beberapa iterasi disebut generasi. Setiap generasi kromosom dievaluasi dengan menggunakan alat ukur yang disebut dengan fitness. Generasi yang terbentuk dari gabungan dua kromosom dari generasi sekarang dengan menggunakan operator rekombinasi atau dengan memodifikasikan kromosom dengan menggunakan operator mutasi disebut anak (offspring). Populasi generasi yang baru dibentuk dengan cara menyeleksi nilai fitness dari kromosom induk dan nilai fitness dari kromosom anak, serta menolak kromosom-kromosom yang lainnya sehingga ukuran (jumlah kromosom) populasi konstan. Kromosom yang paling fit atau kromosom yang mempunyai nilai fitness yang paling besar (untuk permasalahan maksimum) atau nilai fitness yang paling kecil (untuk permasalahan minimum), yang mempunyai probabilitas paling tinggi yang akan dipilih.

                                                                                      Istilah-istilah yang digunakan dalam algoritma genetika, dijelaskan dalam tabel dibawah ini: Istilah dalam algoritma Keterangan. genetika Populasi Himpunan beberapa solusi.

                                                                                      Kromosom Solusi. Gen Bagian dari kromosom. Induk (parent) Solusi yang akan dikenakan proses rekombinasi atau mutasi.

                                                                                      Anak (Offspring) Solusi baru yang dihasilkan melalui proses rekombinasi atau mutasi. Rekombinasi Proses yang melibatkan dua solusi untuk mendapatkan solusi baru. Mutasi Proses yang melibatkan satu solusi untuk mendapatkan solusi baru. Seleksi Pemilihan kromosom yang baik Tabel 3.2.1 Tabel istilah dalam Algoritma Genetika.

                                                                                      Struktur umum algoritma genetika (Mitsuo Gen dan Runwei Cheng, 1997) dapat pula dideskripsikan seperti pada gambar 3.2.1 berikut:

                                                                                    Gambar 3.2.1. Ilustrasi Algoritma Genetika

                                                                                      mutation 00110

                                                                                      1 1001

                                                                                      00110 1001 crossover

                                                                                      110010 1010

                                                                                      101110 1110

                                                                                      1100101110

                                                                                      1011101010 solutions evaluation

                                                                                      1100101110 1011101010 0011001001 offspring fitness computation decoding

                                                                                      1100101010 1011101110 0011011001 1100110001 chromosomes selection solutions encoding new population Keterangan gambar 3.2.1.

                                                                                      Dalam menyelesaikan masalah, algoritma genetika diawali dengan menginisialisasikan himpunan solusi yang dibangkitkan secara acak.

                                                                                      Himpunan solusi ini disebut populasi. Setiap individu pada populasi disebut kromosom yang menggambarkan sebuah solusi dari masalah yang akan diselesaikan. Sebuah kromosom dapat dinyatakan dalam simbol string misalnya kumpulan string bit. Kromosom-kromosom dapat berubah terus menerus disebut dengan regenerasi. Pada setiap generasi, kromosom dievaluasi dengan mengunakan alat ukur yang disebut fungsi fittnes (tingkat kesesuaian). Untuk membuat generasi berikutnya, kromosom-kromosom baru yang disebut offspring (keturunan) terbentuk dengan cara menggabung dua kromosom dari generasi sekarang dengan menggunakan operator crossover (rekombinasi) atau mengubah sebuah kromosom dengan menggunakan operator mutasi. Generasi baru dibentuk dengan cara seleksi yang dilakukan terhadap induk dan anak berdasarkan nilai fitness-nya dan menghilangkan yang lainnya. Kromosom-kromosom yang lebih sesuai memiliki probabilitas untuk dipilih. Setelah beberapa generasi, algoritma ini akan konvergen ke arah bentuk kromosom yang terbaik, dengan harapan dapat menyatakan solusi optimal dari permasalahan yang diselesaikan.

                                                                                    C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika 1. Teknik Penyandian

                                                                                      

                                                                                    n

                                                                                    (n=ketepatan angka) ukuran selang.

                                                                                      0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Pengkodean nilai untuk variabel x

                                                                                      

                                                                                    1

                                                                                    Pengkodean nilai untuk variabel x

                                                                                      2 Gambar 3.3.1.1 Representasi string bit Pertama, variabel keputusan dikodekan ke dalam bentuk string biner.

                                                                                      Panjang dari string tergantung pada ketepatan angkanya. Contohnya, domain dari x

                                                                                      j

                                                                                      adalah [a

                                                                                      j , b j ] dan ketepatan angkanya adalah 4 angka setelah desimal.

                                                                                      Ketepatan tersebut diperlukan karena pada selang domain dari setiap variabel harus terbagi sedikitnya (b

                                                                                      Teknik penyandian meliputi penyandian gen dari kromosom. Satu gen biasanya akan mewakili satu variabel, dan dapat direpresentasikan dalam bentuk: string bit, pohon, array, bilangan real, daftar aturan, elemen permutasi, elemen program, atau representasi lainnya yang dapat diimplementasikan untuk operator genetika. Gambar 3.3.1.1 menunjukan representasi string bit. Biasanya penyandian kromosom menggunakan string biner. Setiap bit dalam string dapat merepresentasikan beberapa karateristik dari solusi.

                                                                                    • a

                                                                                      ) ×10

                                                                                      j

                                                                                      Keharusan berapa bit (dinotasikan dengan m

                                                                                      j

                                                                                      ) yang diperlukan untuk sebuah variabel dihitung dengan cara sebagai berikut : ]

                                                                                      1 10 ) log[( 2 + − = n j j j

                                                                                      a b m

                                                                                      j

                                                                                      mj

                                                                                    1 n mj

                                                                                      2 ( b a )

                                                                                      10

                                                                                      2 1 . &lt; − × ≤ − j j

                                                                                      Pemetaan dari string biner ke bilangan real untuk variabel x secara

                                                                                      j

                                                                                      sederhana dan lengkap ditunjukkan sebagai berikut:

                                                                                      ba j j

                                                                                    • x a desimal ( substring )
                                                                                    • j j j = × mj

                                                                                        2

                                                                                        1 − dimana desimal (substring ) menunjukkan nilai desimal dari substring untuk

                                                                                        j j variabel keputusan x . j n

                                                                                        Panjang kromosom keseluruhan adalah bit (dimana j adalah

                                                                                        m jj = 1

                                                                                        banyaknya variabel yang digunakan) dan direpresentasikan sebagai berikut: 33 bit

                                                                                        v 000001010100101001 101111011111110 j

                                                                                        18 bit 15bit

                                                                                      Gambar 3.3.1.2 representasi panjang kromosom

                                                                                        Nilai biner Nilai desimal

                                                                                        x 000001010100101001 5417

                                                                                        1 x 101111011111110 24318

                                                                                        2 Tabel 3.3.1.1 pemetaan nilai biner ke nilai real

                                                                                      2. Prosedur Inisialisasi

                                                                                        Ukuran populasi tergantung dari permasalahan yang akan diselesaikan dan jenis operator genetika yang akan diimplementasikan. Setelah ukuran populasi ditentukan, kemudian dilakukan inisialisasi terhadap kromosom yang terdapat dalam populasi tersebut. Inisialisasi kromosom dilakukan secara acak, namun harus tetap memperhatikan domain solusi dan kendala permasalahan yang ada.

                                                                                      3. Fungsi Evaluasi (fitness function)

                                                                                        Secara umum, fungsi evaluasi diturunkan dari fungsi objektif (fungsi tujuan) dengan nilai yang tidak negatif. Apabila ternyata fungsi tujuan memiliki nilai negatif, maka perlu ditambahkan suatu konstanta C agar nilai fitness yang terbentuk menjadi tidak negatif.

                                                                                        Proses dari penentuan fitness dari sebuah kromosom terdiri dari tiga langkah, yaitu:

                                                                                        1. Tukar kromosom genotip ke kromosom penotip. Artinya, tukar string biner ke nilai real relatif x = (x , x ), k = 0, 1, 2, …, ukuran populasi.

                                                                                        k

                                                                                        

                                                                                      1

                                                                                        2 2. Hitung fungsi tujuan f(x ). k

                                                                                        3. Tukar nilai dari fungsi tujuan ke fitness. Untuk permasalahan maksimum, nilai fitness sebanding dengan nilai fungsi tujuannya,

                                                                                        eval ( v ) = f ( x ), k = , k k 1 , 2 , ..., ukuran populasi .

                                                                                        Dari penghitungan tersebut, akan dapat dilihat kromosom yang terkuat, mempunyai nilai fitness paling besar dan kromosom yang paling lemah, mempunyai nilai fitness yang paling kecil.

                                                                                      4. Seleksi

                                                                                        Tujuan dari seleksi adalah untuk menentukan individu-individu mana saja yang akan dipilih untuk dilakukan rekombinasi dan mutasi. Metode seleksi yang paling sering digunakan adalah Rank-based assignment, Roulette

                                                                                        

                                                                                      wheel selection (seleksi roda roulette), dan tournament selection (seleksi

                                                                                        dengan turnamen). Seleksi akan menentukan individu-individu mana saja yang akan dipilih untuk dilakukan rekombinasi dan bagaimana anak terbentuk dari individu-individu terpilih tersebut.

                                                                                        4.1. Seleksi Roda Rolet (roulette-wheel) Metode seleksi roda rolet merupakan metode yang paling sederhana, dan sering juga dikenal dengan nama stochastic sampling

                                                                                        with replacement. Metode ini menirukan permainan roulette-wheel di

                                                                                        mana masing-masing kromosom menempati potongan lingkaran pada roda rolet secara proporsional sesuai dengan nilai fitnessnya. Kromosom yang mempunyai nilai fitness lebih besar menempati potongan lingkaran yang lebih besar dibandingkan dengan kromosom bernilai fitness rendah.

                                                                                      Gambar 3.4.1.1 ilustrasi sebuah contoh penggunaan metode roda roulette.

                                                                                        Kromosom Nilai Fitness Probabilitas K1 1 0.25 K2 2 0.5 K3 0.5 0.125 K4 0.5 0.125

                                                                                        Jumlah 4 Gambar 3.4.1.1 Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette.

                                                                                        K3 K4 K1 K2 Kromosom K1 mempunyai probabilitas 25% untuk dipilih setiap kali suatu kromosom dipilih (setiap roda diputar). Probabilitas masing- masing individu dapat dicari dari pembagian fitness masing-masing individu dengan total fitness dalam populasi.

                                                                                        Seleksi dengan roda rolet berdasarkan skala fitness. Karena terpilihnya suatu kromosom dalam populasi untuk dapat berkembang biak adalah sebanding dengan fitnesnya, maka akan terjadi kecenderungan kromosom yang baik akan terpelihara terus sehingga dapat membawa ke hasil optimum lokal (konvergensi dini) ke suatu hasil yang bukan optimum global. Sebaliknya, jika semua kromosom dalam populasi mempunyai fitness yang hampir sama, maka seleksi ini akan menjadi seleksi yang bersifat acak.

                                                                                        4.2. Seleksi Ranking Seleksi dengan roda rolet sebelumnya memiliki kelemahan ketika fitness yang tersebar dalam populasi berbeda jauh misalnya jika fitness dari kromosom terbaik dalah 90% dari keseluruhan roda rolet, maka kromosom lain akan mempunyai kesempatan yang kecil untuk terpilih.

                                                                                        Pada seleksi ranking, pertama dilakukan merangkingkan kromosom dalam populasi kemudian setiap kromosom menerima nilai fitness dari ranking tersebut. Kromosom yang terjelek akan mendapatkan nilai fitness 1, terjelek kedua mendapat nilai fitness 2 dan seterusnya sampai yang terbaik mendapatkan nilai fitness N (jumlah kromosom dalam populasi). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada tabel.

                                                                                        Kromosom Fitnes Fitnes Baru B

                                                                                        5

                                                                                        1 D

                                                                                        5

                                                                                        2 E

                                                                                        5

                                                                                        3 C

                                                                                        10

                                                                                        4 A

                                                                                        15

                                                                                        5 Tabel 3.4.2.1 Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness baru

                                                                                        4.3. Seleksi Turnamen Seleksi turnamen merupakan jenis seleksi yang divariasi berdasarkan seleksi roda rolet dan seleksi ranking. Sejumlah k kromosom tertentu dari populasi dengan n kromosom (k

                                                                                        ≤ n) dipilih secara acak dengan probabilitas yang sama. Dari k kromosom yang terpilih tersebut kemudian dipilih suatu kromosom dengan fitness terbaik, yang diperoleh dari hasil pengurutan rangking fitness kromosom-kromosom yang dipilih tersebut.

                                                                                        Perbedaan dengan seleksi roda Roulette adalah bahwa pemilihan kromosom yang akan digunakan untuk berkembang biak tidak berdasarkan skala fitness dari populasi. Untuk k = 1, seleksi turnamen ini akan sama dengan seleksi secara acak karena hanya melibatkan satu kromosom. Untuk k = 2, maka dua kromosom dalam populasi akan dipilih secara acak, kemudian dari dua kromosom tersebut dipilih satu kromosom dengan fitness tersebut. Biasanya yang sering digunakan adalah untuk k = 2 tergantung dari ukuran populasi.

                                                                                      5. Operator Genetika

                                                                                        Ada 2 operator genetika, yaitu:

                                                                                        5.2 Rekombinasi (crossover) Pada skripsi ini operator rekombinasi yang akan digunakan adalah rekombinasi bernilai biner. Rekombinasi bernilai biner terdiri dari : rekombinasi satu titik, rekombinasi banyak titik, dan rekombinasi seragam. Rekombinasi yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah rekombinasi satu titik. Pada rekombinasi satu titik, posisi rekombinasi k,(k = 1, 2, …, N-1) dengan N = panjang kromosom, diseleksi secara random. Variabel-variabel ditukar antar kromosom pada titik tersebut untuk menghasilkan anak (Gambar 3.5.1.1). induk anak

                                                                                        0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

                                                                                        1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 Gambar 3.5.1.1 Rekombinasi satu titik.

                                                                                        Pertama, ditentukan terlebih dahulu probabilitas rekombinasi, pada skripsi ini probabilitas rekombinasi adalah 0.25 dengan harapan 25% dari kromosom akan mengalami rekombinasi. Dibangkitkan bilangan dari selang [0, 1] secara acak sebanyak jumlah populasi, jika bilangan tersebut kurang dari 0.25, maka bilangan tersebut terpilih untuk menjadi induk. Bilangan tersebut akan menentukan populasi ke-berapa yang akan menjadi induk. Setelah induk terpilih, bangkitkan posisi rekombinasi atau pos secara acak dari selang [1, panjang kromosom-1]. Tukar kromosom dari induk1 ke induk2 pada

                                                                                        

                                                                                      pos yang telah ditentukan. Hasil yang didapat dinamakan anak.

                                                                                        5.2 Mutasi Setelah mengalami proses rekombinasi, pada anak dapat dilakukan mutasi. Variabel anak dimutasi dengan menambahkan nilai random yang sangat kecil, dengan probabilitas rendah. Peluang mutasi (p ) didefinisikan sebagai presentasi dari jumlah total gen

                                                                                        m

                                                                                        pada populasi yang mengalami mutasi. Kromosom hasil mutasi harus diperiksa, apakah masih berada dalam domain solusi, dan bila perlu bisa dilakukan perbaikan. Mutasi berperan untuk menggantikan gen yang hilang dari populasi akibat proses seleksi yang memungkinkan munculnya kembali gen yang tidak muncul pada inisialisasi populasi.

                                                                                        Mutasi terdiri dari mutasi bernilai real dan mutasi bernilai biner. Mutasi yang akan digunakan pada skripsi ini adalah mutasi biner.

                                                                                        Langkah-langkah dari mutasi biner adalah ; i. Hitung jumlah gen pada populasi (panjang kromosom dikalikan dengan ukuran populasi). ii. Tentukan probabilitas mutasi. Pada skripsi ini probabilitas yang digunakan adalah 0.01, sehingga diharapkan 1% dari jumlah gen mengalami mutasi. iii. Secara acak tentukan posisi mutasi, nomor kromosom, nomor bit, dan bilangan dari selang [0, 1]. iv. Ganti nilai gen (0 ke 1, atau 1 ke 0) dari kromosom yang akan dimutasi tersebut.

                                                                                        Hasil dari mutasi disebut anak. Hasil dari mutasi dan rekombinasi dimasukkan ke dalam populasi baru yang kemudian akan dihitung nilai fitness-nya. Nilai fitness yang terbaik akan masuk ke dalam populasi sebelumnya Agar populasi tetap konstan, maka kromosom yang mempunyai nilai fitness yang terburuk akan digantikan dengan kromosom anak yang mempunyai nilai fitness terbaik.

                                                                                      6. Penentuan Parameter

                                                                                        Yang dimaksud dengan parameter disini adalah parameter kontrol Algoritma Genetika, yaitu ukuran populasi (popsize), peluang rekombinasi (P ), dan peluang mutasi (P ). Nilai parameter ditentukan dengan

                                                                                        c m

                                                                                        berdasarkan permasalahan yang akan diselesaikan. Ada beberapa rekomendasi yang bisa digunakan, antara lain: i. Untuk permasalahan yang memiliki kawasan solusi cukup besar, De Jong merekomendasikan untuk nilai parameter kontrol: (uk_populasi; p ; p ) = (50; 0.6; 0.001).

                                                                                        

                                                                                      c m

                                                                                        ii. Bila rata-rata fitness setiap generasi digunakan sebagai indikator, maka Grefenstette merekomendasikan: (uk_populasi; p ; p ) = (30; 0.95; 0.01).

                                                                                        c m

                                                                                        iii. Bila fitness dari individu terbaik dipantau pada setiap generasi, maka diusulkan: (uk_populasi; p ; p ) = (80; 0.45; 0.01).

                                                                                        c m

                                                                                        iv. Ukuran populasi sebaiknya tidak lebih kecil dari 30, untuk sembarang jenis permasalahan.

                                                                                      BAB IV OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA GENETIKA Pada bab ini akan diberikan contoh-contoh dari permasalahan optimasi pe-

                                                                                      • =

                                                                                        4 2 ≤ ≤ x

                                                                                        4 2 ≤ ≤ x

                                                                                        9 5 .

                                                                                        10 1 . 1 ≤ ≤ x ,

                                                                                        ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                        Temukan nilai optimum dengan menggunakan Algoritma Genetika dan de- ngan teknik konvensional.

                                                                                        9 5 .

                                                                                        10 1 . 1 ≤ ≤ x

                                                                                        2 , x x x x x x f

                                                                                        

                                                                                      ( )

                                                                                      2 2 2 1 2 1 2

                                                                                      1

                                                                                        Permasalahan optimasi tanpa kendala diberikan sebagai berikut: Maksimumkan

                                                                                        Contoh 4.1

                                                                                        mrograman tak linear fungsi dua variabel tanpa kendala. Permasalahan-perma- salahan tersebut akan diselesaikan dengan teknik konvensional menggunakan kalkulus, serta dengan Algoritma Genetika.

                                                                                      a) Dengan Teknik Konvensional (Kalkulus).

                                                                                      • 2 , x x x x x x f + = , dengan

                                                                                        2 2 Gambar 4.1 grafik fungsi f x , x x

                                                                                        2 x x x

                                                                                        ( ) = + + 1 2 1 1 2 2 Menentukan titik kritis:

                                                                                        2 x1 2 ⎞

                                                                                      • 2 x

                                                                                        ∇ f = ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                                      • 2 x
                                                                                      • 1 2 x 2 ⎝ ⎠

                                                                                          2

                                                                                          2 ⎛ ⎞

                                                                                          Hf =

                                                                                          ⎜⎜ ⎟⎟

                                                                                          2

                                                                                          2 ⎝ ⎠

                                                                                          f

                                                                                          ∂ ( x )

                                                                                          = ∂

                                                                                          ∂ ff

                                                                                          ( x ) = 1 2 x 1 2 x ( x ) = 2 2 2 x 1 + + 2 x 2

                                                                                          ∂ ∂

                                                                                          2 x 2 x 2 x = 1 2 = 1 2

                                                                                        • 2 x

                                                                                          x x x x 1 = − 2 1 = − 2 Titik kritis tidak diketahui.

                                                                                          Berdasarkan teorema 2.1.2, maka

                                                                                          Untuk f(0.1, 4.5) 2 2 2 f x = ( . 1 ) 2 ( . 1 ) ( 4 . 5 ) ( + + 4 . 5 )

                                                                                          ( ) .

                                                                                          01 .

                                                                                          9 20 .

                                                                                          25 = + + 21 .

                                                                                          16 =

                                                                                          Untuk f(10, 9) 2 2 2

                                                                                          f x (

                                                                                          10 ) 2 ( 10 ) ( 9 ) ( 9 )

                                                                                          ( ) =

                                                                                        • 100 180

                                                                                          81 = + +

                                                                                          361 = Nilai maksimum 361, dan nilai minimum 21.16.

                                                                                        b) Dengan Algoritma Genetika.

                                                                                          Representasi Masalah Misalkan ketepatan angka untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di atas adalah empat tempat setelah desimal. Dan iterasi yang akan dicapai adalah 100 iterasi. Jumlah populasi yang akan terjadi adalah 10, akan ditentu- kan berapa bit yang harus digunakan untuk variabel x dan x :

                                                                                          1

                                                                                          2

                                                                                          10 4 1 ] = log [( 2 1 − . 1 )

                                                                                          10 4 1 ] = 16.59 ≈

                                                                                        • m log[( batas bawah batas atas )
                                                                                        • 1 2 − + =

                                                                                            17

                                                                                            4

                                                                                            (10-0.1) = 99,000 16 ×10 17 2 2 &lt; 99 , 000 ≤ 4

                                                                                            2 2 4

                                                                                            m = log[( batas bawah − batas atas ) 1

                                                                                            10 1 ] = log [( 9 − 4 . 5 )

                                                                                            16

                                                                                            10 + + 1 ] = 15.45 ≈

                                                                                            4

                                                                                            (9-4.5) ×10 = 45,000

                                                                                            15 16

                                                                                            2 45 , 000

                                                                                            2 &lt; ≤

                                                                                            Total bit dalam tiap kromosom (panjang kromosom) adalah (17 + 16)bit = 33 bit.

                                                                                            Untuk rekombinasi dan mutasi akan diuji pada probabilitas rekombinasi antara 0.2 hingga 0.5, dan mutasi pada probabilitas 0.01 hingga 0.1. Sehingga, rekombinasi kromosom akan terjadi apabila bilangan acak rekombinasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan probabilitas rekombinasinya. Begitu pula dengan mutasi, apabila bilangan acak mutasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan pro- babilitas mutasi, maka mutasi kromosom akan terjadi. Dari 10 percobaan akan dicari nilai maksimum yang mempunyai selisih 5% dari teknik konvensional. Setiap percobaan diuji pada 100 generasi.

                                                                                            Untuk permasalahan maksimum:

                                                                                            Dari tabel 4.1 dan gambar 4.2 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.07.

                                                                                            0.1 tidak terjadi

                                                                                            

                                                                                          dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                          0.1.

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          Gambar 4.2 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

                                                                                          0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

                                                                                          0.1 Probabilitas M utas i B an yak P e rco b aan

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          Tabel 4.1 Tabel nilai maksimum fungsi

                                                                                            0.09

                                                                                            Pc = 0.2

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            0.05

                                                                                          tidak ada yang memenuhi

                                                                                          0.06 348.1101 (9.9578, 8.6999) 1

                                                                                          0.07 347.9697 (9.9578, 8.6999) 2

                                                                                          0.08 348.1439 (9.9587, 8.6953) 1

                                                                                            0.04

                                                                                            0.03

                                                                                            0.02

                                                                                            0.01

                                                                                            Titik Percobaan

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
                                                                                          • 2 , x x x x x x f + =
                                                                                          Dari tabel 4.2 dan gambar 4.3 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.09.

                                                                                            

                                                                                          dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                          0.1.

                                                                                            0.08

                                                                                          tidak ada yang memenuhi

                                                                                          0.09 343.7628 (9.9587, 8.6999) 2 0.1 tidak terjadi

                                                                                            2 , x x x x x x f

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          Gambar 4.3 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.08 0.09 0.1 Probabilitas M utas i B an yak P er co b aan

                                                                                            2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          Tabel 4.2 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                            0.07

                                                                                            Pc = 0.25

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            0.06

                                                                                            0.05

                                                                                            0.04

                                                                                            0.03

                                                                                            0.02

                                                                                            0.01

                                                                                            Titik Percobaan

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
                                                                                          • =
                                                                                          Pc = 0.3

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            Titik Percobaan

                                                                                            0.01

                                                                                            0.02

                                                                                            0.03

                                                                                            0.04

                                                                                            0.05

                                                                                          tidak ada yang memenuhi

                                                                                          0.06 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.07 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.08 348.1491 (9.9587, 8.7001) 2 0.09 335.6864 (9.3393, 8.9824) 1

                                                                                            

                                                                                          0.1 347.5269 (9.9421, 86999) 1

                                                                                          Tabel 4.3 Tabel nilai maksimum fungsi dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                          Gambar 4.4 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + =

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                            dengan probabilitas rekombinasi

                                                                                            0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                            Dari tabel 4.3 dan gambar 4.4 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                            Dari tabel 4.4 dan gambar 4.5 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.09.

                                                                                            0.1 348.1439 (9.9568, 8.6999) 2

                                                                                            dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          Gambar 4.5 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

                                                                                          0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

                                                                                          0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                            2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                            1 0.07 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.08 tidak terjadi 0.09 348.2313 (9.9610, 8.6999) 3

                                                                                            Pc = 0.35 Nilai Terbesar Pada Banyak Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            0.05 tidak ada yang memenuhi 0.06 358.67 (9.9574, 8.9812)

                                                                                            0.04

                                                                                            0.03

                                                                                            0.02

                                                                                            0.01

                                                                                            Titik Percobaan

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
                                                                                          • 2 , x x x x x x f + =
                                                                                          Pc = 0.4

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            Titik Percobaan

                                                                                            0.01

                                                                                            0.02

                                                                                          tidak ada yang memenuhi

                                                                                          0.03 343.6813 (9.8762, 8.6624) 1 0.04 tidak ada yang memenuhi 0.05 348.1439 (9.9587, 8.6999) 2 0.06 tidak ada yang memenuhi 0.07 346.3638 (9.9484, 8.6624) 1 0.08 358.6958 (9.9581, 8.9812) 2 0.09 348.096 (9.9574, 8.6999)

                                                                                            1 0.1 348.1468 (9.9588, 8.6999)

                                                                                            1 Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                          Gambar 4.6 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + =

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                            

                                                                                          dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                          0.1.

                                                                                            Dari tabel 4.5 dan gambar 4.6 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                            Pc = 0.45

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            Titik Percobaan

                                                                                            0.01

                                                                                            0.02

                                                                                            0.03

                                                                                            0.04

                                                                                          tidak ada yang memenuhi

                                                                                          0.05 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.06 348.2249 (9.9433, 8.7175) 1 0.07 348.1496 (9.9588, 8.6999) 1 0.08 359.0371 (9.9484, 8.9999) 1 0.09 349.5406 (9.9961, 8.6999) 2 0.1 348.1439 (9.9587, 8.6999)

                                                                                            1 Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                          Gambar 4.7 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                            2 , x x x x x x f

                                                                                          • =

                                                                                            

                                                                                          dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                          0.1.

                                                                                            Dari tabel 4.6 dan gambar 4.7 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                            Pc = 0.5

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pm 10 kali Percobaan

                                                                                            Titik Percobaan 0.01 348.14398 (9.9587, 8.6999) 1

                                                                                            0.02

                                                                                            0.03

                                                                                            0.04

                                                                                            0.05

                                                                                            0.06

                                                                                            0.07

                                                                                            0.08

                                                                                          tidak ada yang memenuhi

                                                                                          0.09 343.3662 (9.8325, 8.6976) 1 0.1 350.2321 (9.9970, 8.7175)

                                                                                            3 Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                          • 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
                                                                                          • 2 , x x x x x x f + =
                                                                                          Dari grafik-grafik di atas, terlihat bahwa nilai maksimum yang mendekati dengan pencarian teknik konvensional serta mengalami percobaan terbanyak adalah dengan menggunakan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                          Gambar 4.8 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                            ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1

                                                                                            

                                                                                          dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                          0.1.

                                                                                            Dari tabel 4.7 dan gambar 4.8 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.1.

                                                                                            Akan dilihat berdasarkan probabilitas mutasi (pada probabilitas mutasi 0.08).

                                                                                            Pm = 0.08

                                                                                          Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                          Pc Titik 10 kali Percobaan Percobaan

                                                                                            0.2 348.1439 (9.9587, 8.6953)

                                                                                            1 0.25 tidak ada yang memenuhi 0.3 348.1491 (9.9587, 8.7001)

                                                                                            2 0.35 tidak ada yang memenuhi 0.4 358.6958 (9.9581, 8.9812)

                                                                                            2 0.45 359.0371 (9.9484, 8.9999) 2 0.5 tidak ada yang memenuhi

                                                                                          • Tabel 4.8 Tabel nilai maksimum fungsi f ( + x , x ) = x
                                                                                          • 1 2 1 2 2 x x x dengan 1 2 2 2 probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08. 10 n k a P e rc ob a

                                                                                              9 5 6 8 7 B a ny a 1 2 3

                                                                                              4 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i 2 2 Gambar 4.9 Grafik terjadinya nilai maksimum ( + + f x , x ) = x 1 2 1 2 x x x 1 2 2 dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08. Dari tabel 4.8 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.4 dan 0.45 dengan pro- babilitas mutasi 0.08.

                                                                                              Contoh 4.2

                                                                                              Permasalahan optimasi tanpa kendala diberikan sebagai berikut:

                                                                                              3 x x2 9 xx 3 2

                                                                                            • f x , x =

                                                                                              1

                                                                                              ( ) 1 2

                                                                                            1

                                                                                            2 2 1 Temukan nilai optimum dengan menggunakan Algoritma Genetika dan de- ngan teknik konvensional.

                                                                                            • 2
                                                                                            • 3 2 Gambar 4.10 grafik fungsi f x , x = 1 2 3 x x1 2 9 xx 2 1

                                                                                                1

                                                                                                ( )

                                                                                              a) Dengan Teknik Konvensional (Kalkulus)

                                                                                                Menentukan titik kritis:

                                                                                                6 x x 2 x

                                                                                                ⎛ 1 2 1 ⎞f = 2 2

                                                                                                ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x 27 x 12

                                                                                                ⎝ ⎠

                                                                                                f

                                                                                                ∂ ( x )

                                                                                                = ∂

                                                                                                ∂ ff 2 2

                                                                                                ( x ) = 1 6 x x1 2 2 x ( x ) = 1 2 3 x1 27 x 2

                                                                                                ∂ 2 2

                                                                                                x (

                                                                                                3 x 1 )

                                                                                                x

                                                                                                9 x = − 1 2

                                                                                                = − 1 2

                                                                                                1

                                                                                                x = atau x = untuk x = , x = 1 2 1 2

                                                                                                3 1 untuk x = , x

                                                                                                1 . 2 1 = ±

                                                                                                3

                                                                                                f (x) mempunyai tiga titik kritis, yaitu:

                                                                                                1

                                                                                                1

                                                                                                p = ( , ), p = ( 1 2 1 , ), p = ( − 3 1 , )

                                                                                                3

                                                                                                3 Dengan berdasarkan teorema 2.2.6, maka ∂ f

                                                                                                ( x x ) = 1 1 6 x1

                                                                                                2 ∂

                                                                                                ∂ f ( x x ) = 1 2 6 x 1

                                                                                                ∂ ∂ f

                                                                                                ( x x ) 54 x 2 2 = − 2

                                                                                                ∂ ff ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

                                                                                                ∂ x xx x 1 1 1 2 ⎜ ⎟

                                                                                                f x ( )

                                                                                                Δ = ∂ ff

                                                                                                ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

                                                                                                ∂ x xx x 1 2 2 2 ⎝ ⎠ 2

                                                                                                ∂ ff ⎛ ∂ f ⎞ = −

                                                                                                ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ x xx xx x 1 1 2 2 1 2

                                                                                                ⎝ ⎠

                                                                                              • = , dengan ) (x f A Δ =
                                                                                              • =
                                                                                              • 2 1 2 1 1 2 2 1

                                                                                                  4 = 12 x x x x − +

                                                                                                  6

                                                                                                  6

                                                                                                  2

                                                                                                  6 ) , (

                                                                                                  x x x x x x x x

                                                                                                  ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1

                                                                                                  54 6 ,

                                                                                                  6

                                                                                                  2 6 , x x x x x x x x x − + − • = 3 2 2 1 2 2 1

                                                                                                  54

                                                                                                  Berdasarkan definisi 2.2.11, maka Untuk titik )

                                                                                                  − −

                                                                                                  3

                                                                                                  1 , 1 ( :

                                                                                                  ( ) ( )

                                                                                                  6

                                                                                                  3

                                                                                                  1

                                                                                                  54

                                                                                                  4

                                                                                                  3

                                                                                                  1 ( 12 ) 3 &gt; = − + = x A

                                                                                                  54

                                                                                                  ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                                  2 1 2 1

                                                                                                  1 , 1 ( 3

                                                                                                  ) ) 6 ( 54 )(

                                                                                                  2 6 ( x x x − − − = 2 2 1 2 1 108 324

                                                                                                  − 36 x x x x + + = Untuk

                                                                                                  ) ( ), , ( 1 = Δ = x f p ; p

                                                                                                  1 tidak memberikan penyelesaian.

                                                                                                  ( 108 ) ),

                                                                                                  3

                                                                                                  1 , 1 ( 2 &gt; = Δ = x f p ; berdasarkan teorema 2.2.7 ) (x f Δ definit positif.

                                                                                                  ( 108 ) ),

                                                                                                  3

                                                                                                  &lt; − = Δ − =

                                                                                                  ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                                  x f p ; berdasarkan teorema 2.2.7 ) (x f

                                                                                                  Δ definit negatif.

                                                                                                  Pada titik )

                                                                                                  3

                                                                                                  1 ,

                                                                                                  ), 1 (

                                                                                                  3

                                                                                                  1 , 1 ( − akan diuji dengan menggunakan definisi 2.2.11.

                                                                                                  A x x Q A

                                                                                                  ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                                  ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                                  Q adalah pembuat minimum relatif.

                                                                                                  3

                                                                                                  1

                                                                                                  1 Untuk titik ( − 1 , ) : Q ( x ) = A ( ) ( )

                                                                                                  12 4 − 54 = 6 &gt; adalah pembuat

                                                                                                • 1

                                                                                                  3

                                                                                                  3

                                                                                                  3 minimum relatif.

                                                                                                  Mencari nilai optimum

                                                                                                  1 Untuk f ( 1 , )

                                                                                                  3

                                                                                                  3 x x x x 2 9 − 3 2

                                                                                                • f x , x = −

                                                                                                  1

                                                                                                  ( 1 2 ) 1 2 2 1

                                                                                                  1 . − 2 1 3 9 .( ) − 1 3 3

                                                                                                  1 2

                                                                                                • = 3 .

                                                                                                  1 = .

                                                                                                  66

                                                                                                  1 Untuk f ( − 1 , ) 2

                                                                                                  3 3 2

                                                                                                  f x , x

                                                                                                  3 x x 9 x x

                                                                                                  1

                                                                                                  ( ) = + − − 1 2 1 2 2 1

                                                                                                  9 .( ) ( 1 )

                                                                                                  1 = − − − − 2 1 3 1 3 3 2 .

                                                                                                • 3 .( 1 ) .

                                                                                                  66 =

                                                                                                  1

                                                                                                  1 Minimum relatif terjadi pada titik ( 1 , ), ( 1 , ) . −

                                                                                                  3

                                                                                                  3

                                                                                                b) Dengan Algoritma Genetika

                                                                                                  Representasi Masalah Misalkan ketepatan angka untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di atas adalah empat tempat setelah desimal. Dan iterasi yang akan dicapai adalah 100 iterasi. Jumlah populasi yang akan terjadi adalah 10, akan ditentu- kan berapa bit yang harus digunakan untuk variabel x dan x :

                                                                                                  1

                                                                                                  2

                                                                                                  2

                                                                                                4

                                                                                                2 4 m log[( batas bawah batas atas )

                                                                                                  10 1 ] log [(

                                                                                                  1 1 )

                                                                                                  10 1 ] 14.2878

                                                                                                  15 1 = − = = ≈ + + +

                                                                                                  4

                                                                                                  (1+1) = 20,000 14 ×10 15 2 2 &lt; 20 , 000 ≤ 4

                                                                                                  2 2 4

                                                                                                  m log[( batas bawah batas atas ) 2

                                                                                                  10 1 ] log [(

                                                                                                  10 1 ] = 14.2878 ≈

                                                                                                  15

                                                                                                  1 + + = − = + 1 )

                                                                                                  4

                                                                                                  (1+1) ×10 = 20,000 14 15 2 &lt; 20 , 000 ≤

                                                                                                  2 Total bit dalam tiap kromosom (panjang kromosom) adalah (15 + 15)bit = 30 bit.

                                                                                                  Untuk rekombinasi dan mutasi akan diuji pada probabilitas rekombinasi antara 0.2 hingga 0.5, dan mutasi pada probabilitas 0.01 hingga 0.1. Sehingga, rekombinasi kromosom akan terjadi apabila bilangan acak rekombinasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan probabilitas rekombinasinya. Begitu pula dengan mutasi, apabila bilangan acak mutasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan prob- abilitas mutasi, maka mutasi kromosom akan terjadi. Dari 10 percobaan akan dicari nilai maksimum yang mempunyai selisih 0.5% dari teknik konven- sional. Dan nilai minimum yang mempunyai selisih 5% dari teknik konven- sional. Setiap percobaan diuji pada 100 generasi.

                                                                                                  Untuk permasalahan maksimum:

                                                                                                  Pc = 0.2

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9958 (0.0645, 0.0001)

                                                                                                  6 0.02 0.9971 (0.0500, 0.0444) 5 0.03 0.9955 (0.0666, 0.0418) 4 0.04 1 (0.0002, 0.0001) 4 0.05 0.9958 (0.0666, 0.0209) 6 0.06 0.9992 (0.0041, 0.0444) 8 0.07 1 (0.0001, 0.0001) 8 0.08 1 (0.0041, 0.0001) 5 0.09 0.9961 (0.0626, 0.0055) 5 0.1 1 (0.0000, 0.0055)

                                                                                                  6 Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f den- gan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9

                                                                                                0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

                                                                                                0.1 Probabilitas Mutas i B an yak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.11 Grafik terjadinya nilai maksimum fungsi

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1

                                                                                                  x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • − − =

                                                                                                  Dari tabel 4.9 dan gambar 4.11 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.06 dan

                                                                                                  0.07.

                                                                                                  Pc = 0.25

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9957 (0.0666, 0.0165)

                                                                                                  5 0.02 0.9957 (0.0666, 0.0110) 5 0.03 0.9983 (-0.0417, 0.0001) 5 0.04 1 (0.0041, 0.0007) 6 0.05 1 (0.0041, 0.0006) 5 0.06 1 (0.0041, 0.0006) 6 0.07 1 (0.0041, 0.0105) 6 0.08 1 (0.0041, 0.0002) 8 0.09 1 (0.0041, 0.0082) 8 0.1 1 (0.0001, 0.0001)

                                                                                                  3 Tabel 4.10 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f

                                                                                                  

                                                                                                dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.12 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1

                                                                                                  x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • − − =

                                                                                                  Dari tabel 4.10 dan gambar 4.12 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08 dan

                                                                                                  0.09.

                                                                                                  Pc = 0.3

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9989 (0.0334, 0.0110)

                                                                                                  6 0.02 0.9992 (0.0013, 0.0444) 6 0.03 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.04 0.9983 (0.0333, 0.0444) 5 0.05 0.9992 (0.0041, 0.0444) 8 0.06 1 (0.0041, 0.0001) 5 0.07 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.08 1 (0.0000, 0.0001) 8 0.09 1 (0.0041, 0.0001) 4 0.1 0.9992 (0.0041, 0.0444)

                                                                                                  7 Tabel 4.11 Tabel nilai maksimum ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B a ny a k P e rc ob a a n

                                                                                                Gambar 4.13 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1

                                                                                                  x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • − − =

                                                                                                  Dari tabel 4.11 dan gambar 4.13 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.05 dan

                                                                                                  0.08.

                                                                                                  Pc = 0.35

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9971 (0.0500, 0.0444)

                                                                                                  6 0.02 0.9958 (0.0666, 0.0193) 6 0.03 0.9996 (0.0208, 0.0082) 7 0.04 1 (0.0042, 0.0001) 6 0.05 0.9975 (0.0500, 0.0001) 2 0.06 1 (0.0041, 0.0006) 5 0.07 0.9997 (0.0187, 0.0014) 7 0.08 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.09 1 (0.0000, 0.0001) 8 0.1 1 (0.0002, 0.0001)

                                                                                                  7 Tabel 4.12 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f

                                                                                                  

                                                                                                dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.14 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  Dari tabel 4.12 dan gambar 4.14 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.09.

                                                                                                  Pc = 0.4

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9975 (0.0500, 0.0001)

                                                                                                  5 0.02 1 (0.0041, 0.0009) 6 0.03 0.9992 (0.0041, 0.0444) 4 0.04 1 (0.0041, 0.0001) 3 0.05 1 (0.0041, 0.0110) 6 0.06 0.9992 (0.0041, 0.0444) 7 0.07 0.9992 (0.0041, 0.0444) 5 0.08 1 (0.0041, 0.0110) 9 0.09 0.9992 (0.0041, 0.0444) 5 0.1 0.9993 (0.0041, 0.0418)

                                                                                                  6 Tabel 4.13 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f

                                                                                                  

                                                                                                dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B a n y ak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.15 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  Dari tabel 4.13 dan gambar 4.15 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                  Pc = 0.45

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9983 (0.0333, 0.0444)

                                                                                                  4 0.02 1 (0.0020, 0.0006) 6 0.03 1 (0.0041, 0.0002) 7 0.04 1 (0.0041, 0.0014) 4 0.05 1 (0.0002, 0.0001) 8 0.06 0.9989 (0.0333, 0.0110) 2 0.07 1 (0.0002, 0.0004) 7 0.08 0.9999 (0.0040, 0.0165) 9 0.09 0.9989 (0.0332, 0.0105) 7 0.1 1 (0.0041, 0.0110)

                                                                                                  8 Tabel 4.14 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f

                                                                                                  

                                                                                                dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas M utasi Ban yak P e rc o b aan

                                                                                                Gambar 4.16 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  Dari tabel 4.14 dan gambar 4.16 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                  Pc = 0.5

                                                                                                Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0.9976 (0.0500, 0.0082)

                                                                                                  7 0.02 1 (0.0041, 0.0055) 6 0.03 1 (0.0041, 0.0136) 9 0.04 0.9971 (0.0498, 0.0444) 7 0.05 1 (0.0001, 0.0001) 6 0.06 1 (0.0020, 0.0001) 7 0.07 0.9992 (0.0052, 0.0444) 8 0.08 1 (0.0001, 0.0055) 6 0.09 0.9957 (0.0666, 0.0139) 5 0.1 0.9997 (0.0177, 0.0027)

                                                                                                  8 Tabel 4.15 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f

                                                                                                  

                                                                                                dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.17 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  Dari tabel 4.15 dan gambar 4.17 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.03.

                                                                                                  Dari gambar di atas, terlihat bahwa pada probabilitas mutasi 0.08 percobaan lebih banyak terjadi untuk mendapatkan solusi optimal. Untuk permasalahan minimum:

                                                                                                  Pc = 0.2

                                                                                                Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  4 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.04 0.0002 (-1.0000, 0.0001) 5 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.1 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  2 Tabel 4.16 Tabel nilai minimum fungsi ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f den- gan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

                                                                                                0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

                                                                                                0.1 Probabilitas M utas i B an yak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.18 Grafik terjadinya nilai minimum fungsi

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1

                                                                                                  x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • − − =

                                                                                                  Dari tabel 4.1 dan gambar 4.18 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                  Pc = 0.25

                                                                                                Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                Pm Titik

                                                                                                10 kali Percobaan Percobaan

                                                                                                  0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  4 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.05 0.0002 (-1.0000, 0.0001) 3 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.08 0.0004 (-0.9999, 0.0001) 2 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.1 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  3 2 +

                                                                                                Tabel 4.17 Tabel nilai minimum fungsi f ( x , x ) =

                                                                                                  1 2 3 x x1 2 9 xx 3 2 1 2 1 den-

                                                                                                gan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                10 k n P rc a e ob a 5 6 7

                                                                                                  9 8 a B a ny 1 2 3

                                                                                                  4 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutas i

                                                                                                Gambar 4.19 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                  2 3 2

                                                                                                  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan

                                                                                                  ( ) = − − 1 2 1 2 2 1 probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • f x , x

                                                                                                  Dari tabel 4.17 dan gambar 4.19 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.02.

                                                                                                  Pc = 0.3

                                                                                                Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                  Titik Percobaan 0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  5 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.08 0.0413 (-0.9792, 0.0001) 1 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.1 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  6 Tabel 4.18 Tabel nilai minimum ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi B an yak P er co b aan

                                                                                                Gambar 4.20 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                  ( )

                                                                                                  1

                                                                                                  9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1

                                                                                                  x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • − − =

                                                                                                  Dari tabel 4.18 dan gambar 4.20 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.1.

                                                                                                  Pc = 0.35

                                                                                                Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                Pm Titik

                                                                                                10 kali Percobaan Percobaan

                                                                                                  0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  4 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.03 0.0084 (-0.9959, 0.0001) 2 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.05 0.0006 (-0.9998, 0.0001) 2 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.1 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  1 2 +

                                                                                                Tabel 4.19 Tabel nilai minimum fungsi f ( x , x ) =

                                                                                                  1 2 3 x x1 2 9 xx 3 2 1 2 1 den-

                                                                                                gan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                10 k n P rc a e ob a 5 6 7

                                                                                                  9 8 a B a ny 1 2 3

                                                                                                  4 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutas i

                                                                                                Gambar 4.21 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                  2 3 2

                                                                                                  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan

                                                                                                  ( ) = − − 1 2 1 2 2 1 probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                • f x , x

                                                                                                  Dari tabel 4.19 dan gambar 4.21 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                  Pc = 0.4

                                                                                                Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                Pm Titik

                                                                                                10 kali Percobaan Percobaan

                                                                                                  0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                  2 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.03 0.0002 (-1.0000, 0.0001) 3 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.1 0.0063 (-0.9969, 0.0001)

                                                                                                  1

                                                                                                • Tabel 4.20 Tabel nilai minimum fungsi f ( x , x ) =
                                                                                                • 1 2 3 x x1 2 2 9 xx 2 3 1 2

                                                                                                    1

                                                                                                    

                                                                                                  dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                  0.1. 10 P k rc e a ob a n 7 5 6 4 8

                                                                                                    9 B a ny a 1 2 3 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas M utas i

                                                                                                  Gambar 4.22 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                    2 3 2 f ( + x , x ) = 1 2 3 x x1 2 9 xx 2 1 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                    Dari tabel 4.20 dan gambar 4.22 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.04 dan

                                                                                                    0.05.

                                                                                                    Pc = 0.45

                                                                                                  Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                  Pm Titik

                                                                                                  10 kali Percobaan Percobaan

                                                                                                    0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                    3 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.05 0.001 (-0.9334, 0.0001) 3 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.1 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                    2

                                                                                                  • Tabel 4.21 Tabel nilai minimum fungsi f ( x , x ) =
                                                                                                  • 1 2 3 x x1 2 2 9 xx 2 3 1 2

                                                                                                      1

                                                                                                      

                                                                                                    dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                    0.1. 10 P k rc e a ob a n 7 5 6 4 8

                                                                                                      9 B a ny a 1 2 3 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutas i

                                                                                                    Gambar 4.23 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                      2 3 2 f ( + x , x ) = 1 2 3 x x1 2 9 xx 2 1 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                      Dari tabel 4.21 dan gambar 4.23 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                      Pc = 0.5

                                                                                                    Nilai Terkecil Pada Banyak

                                                                                                    Pm 10 kali Percobaan

                                                                                                      Titik Percobaan 0.01 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                      3 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.06 0.0043 (-0.9980, 0.0001) 1 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.1 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                      2 Tabel 4.22 Tabel nilai minimum fungsi ( )

                                                                                                      1

                                                                                                      9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f

                                                                                                      

                                                                                                    dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

                                                                                                    0.1.

                                                                                                      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutas i B a ny a k P e rc oba a n

                                                                                                    Gambar 4.24 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                      ( )

                                                                                                      1

                                                                                                      9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan

                                                                                                      probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                      Dari tabel 4.22 dan gambar 4.24 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.5.

                                                                                                      Dari grafik-grafik di atas, terlihat bahwa nilai maksimum dan minimum yang mendekati dengan pencarian teknik konvensional adalah dengan meng- gunakan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                      Akan dilihat berdasarkan probabilitas mutasi (pada probabilitas mutasi 0.08).

                                                                                                      Pm = 0.08

                                                                                                    Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                    Pc 10 kali Percobaan

                                                                                                      Titik Percobaan 0.2 1 (0.0041, 0.0001)

                                                                                                      5 0.25 1 (0.0041, 0.0002) 8 0.3 1 (0.0000, 0.0001) 8 0.35 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.4 0.9999 (0.0040, 0.0165) 9 0.45 1 (0.0001, 0.0055) 6 0.5 1 (0.0041, 0.0110)

                                                                                                      9 Tabel 4.23 Tabel nilai maksimum fungsi ( )

                                                                                                      1

                                                                                                      9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 .2 0 .2 5 0 .3 0 .3 5 0 .4 0 .4 5 0 .5 Pr o b ab i l i t as R eko mb i nasi

                                                                                                    Gambar 4.25 Grafik terjadinya nilai maksimum

                                                                                                      ( )

                                                                                                      1

                                                                                                      9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5

                                                                                                      dan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                      Pm = 0.08

                                                                                                    Nilai Terbesar Pada Banyak

                                                                                                    Pc 10 kali Percobaan

                                                                                                      Titik Percobaan 0.2 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                      6 0.25 0.0004 (-0.9999, 0.0001) 2 0.3 0.0413 (-0.9792, 0.0001) 1 0.35 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.4 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.45 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.5 0 (-1.0000, 0.0000)

                                                                                                      6 Tabel 4.24 Tabel nilai minimum fungsi ( )

                                                                                                      1

                                                                                                      9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1

                                                                                                      x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                    • − − =

                                                                                                      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Rekom binasi B a n yak P e rc o b a an

                                                                                                    Gambar 4.26 Grafik terjadinya nilai minimum

                                                                                                      ( )

                                                                                                      1

                                                                                                      9 3 , 2 1 3 2 2 2 1 2 1 + − − = x x x x x x f dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5

                                                                                                      dan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                      Dari tabel 4.23 dan gambar 4.24 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.45 dengan probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                      x x e x x x f

                                                                                                      2

                                                                                                      1

                                                                                                      ( ) ) (

                                                                                                    Gambar 4.27 grafik fungsi

                                                                                                      2 2 ≤ ≤ x

                                                                                                      3 1 ≤ ≤ − x

                                                                                                      2

                                                                                                      =

                                                                                                      ,

                                                                                                      ,

                                                                                                      1 2 2 2 1

                                                                                                      2

                                                                                                      1

                                                                                                      ) (

                                                                                                      Permasalahan optimasi tanpa kendala diberikan sebagai berikut: Maksimumkan ( )

                                                                                                      Contoh 4.3

                                                                                                      x x e x x x f

                                                                                                      = Temukan nilai maksimum dengan menggunakan teknik konvensional dan

                                                                                                      1 2 2 2 1

                                                                                                    a) Dengan Teknik Konvensional (Kalkulus)

                                                                                                    • = &na
                                                                                                    • ) (
                                                                                                    • 2 2 1 ) ( 2 1

                                                                                                      1

                                                                                                      2 2 2 1 2 2 2 1

                                                                                                        e x x e x x f

                                                                                                        2 ) 2 (

                                                                                                        2

                                                                                                        1

                                                                                                        3

                                                                                                        1 2 2 2 1

                                                                                                      2

                                                                                                      2

                                                                                                      2 1 2 2 2 1 2 2

                                                                                                      2

                                                                                                      1

                                                                                                        ) 1 ( 4 )

                                                                                                        2 1 (

                                                                                                        2 ) 1 (

                                                                                                        1 ) (

                                                                                                        2

                                                                                                        x x x x x x x x e x x x e x x e x x x e x x x

                                                                                                        Hf

                                                                                                        ) ( =

                                                                                                        ∂ ∂

                                                                                                        x f

                                                                                                        1

                                                                                                        2

                                                                                                      • − + −
                                                                                                      • − + − ) (

                                                                                                        ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                                                        Menentukan titik kritis : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                                                        2

                                                                                                        ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                                                        2

                                                                                                        −

                                                                                                        2 ) 2 ( x x x x

                                                                                                        1

                                                                                                        2

                                                                                                        ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                                                      • − + + − − =
                                                                                                      •   2

                                                                                                          1 ) (

                                                                                                          2

                                                                                                          1 ) (

                                                                                                          1

                                                                                                        • &mi
                                                                                                        • = ∂
                                                                                                        • >&mi
                                                                                                        • =
                                                                                                          • =
                                                                                                          • =

                                                                                                        • − + −
                                                                                                        • − + −
                                                                                                        • − + + − −
                                                                                                        • >&mi
                                                                                                        • − − − + + − − = Berdasarkan definisi 2.2.11, maka Untuk titik (-3, 0)

                                                                                                          4

                                                                                                          −

                                                                                                          2 (

                                                                                                          2 ) 3 ( 2 ) 3 .(

                                                                                                          ) ) ) 3 ( 3 (

                                                                                                          5

                                                                                                          4

                                                                                                          3

                                                                                                          2

                                                                                                          9

                                                                                                          x x e x x x x x x x x x x x x x x

                                                                                                          2 2 (

                                                                                                          2

                                                                                                          2

                                                                                                          A

                                                                                                          8 2 ,

                                                                                                          4

                                                                                                          )

                                                                                                          1 2 2 2 1

                                                                                                          4

                                                                                                          1

                                                                                                          3

                                                                                                          1

                                                                                                          2

                                                                                                          1

                                                                                                          1

                                                                                                          2

                                                                                                          2

                                                                                                          − + − + − − − − = e Q

                                                                                                          9

                                                                                                          

                                                                                                        1

                                                                                                          4

                                                                                                          e = 11 . &gt; adalah pembuat minimum relatif.

                                                                                                          −

                                                                                                          32 64 (

                                                                                                          16

                                                                                                          4

                                                                                                          64

                                                                                                          64

                                                                                                          32

                                                                                                          ) 64 512

                                                                                                          8

                                                                                                          6

                                                                                                          5

                                                                                                          2

                                                                                                          )

                                                                                                          6

                                                                                                          6

                                                                                                          5

                                                                                                          9

                                                                                                          6

                                                                                                          ) 2 ( ( 2 (

                                                                                                          ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (

                                                                                                          ) ) ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (

                                                                                                          Q e A

                                                                                                          −

                                                                                                          − − − = e 03 . &gt; = adalah pembuat minimum relatif. Untuk titik (2, 2)

                                                                                                          −

                                                                                                          9 ( 486 54 162

                                                                                                          2

                                                                                                          

                                                                                                        3

                                                                                                          Pada titik (-3, 0) dan (2, 2) atau pada titik batas selang tidak terjadi nilai mak- simum, sehingga pada permasalahan ini pembuat maksimum tidak dapat diketahui.

                                                                                                          − = Titik kritis sulit untuk dicari.

                                                                                                          2

                                                                                                          1 ) (

                                                                                                          2

                                                                                                          1

                                                                                                          2

                                                                                                          1 ) (

                                                                                                          2

                                                                                                          ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛

                                                                                                          ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞

                                                                                                          ⎜⎜ ⎝ ⎛

                                                                                                          ⎟⎟ ⎠ ⎞

                                                                                                          ) ).( ( x x x Hf Q A

                                                                                                          x x e x x

                                                                                                          2

                                                                                                          2

                                                                                                          1 2 2 2 1

                                                                                                          2

                                                                                                          2

                                                                                                          2 ) (

                                                                                                          e x x

                                                                                                          ∂ ) ( 2 1 1 2 2 2 1 ) 2 ( x x

                                                                                                          − = ∂

                                                                                                          e x x x f

                                                                                                          ∂ ) ( 2 2 1 2 2 2 2 1 ( 2 ) x x

                                                                                                          e x x x f

                                                                                                          ) ) 2 ( ( x x

                                                                                                          ) ( 2 1 1 1 2 2 2 1

                                                                                                          2

                                                                                                          1 ) (

                                                                                                          2

                                                                                                          x x

                                                                                                        e x x x e x x

                                                                                                        e x x x e x x x

                                                                                                        x x x x x x x x x x

                                                                                                          2

                                                                                                          1

                                                                                                          3

                                                                                                          2

                                                                                                          1

                                                                                                          3

                                                                                                          2

                                                                                                          3

                                                                                                          1

                                                                                                          2

                                                                                                          3

                                                                                                          ) (

                                                                                                          2 ) , ( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1

                                                                                                          1

                                                                                                          2 ) 1 (

                                                                                                          2 ) 2 (

                                                                                                          2 1 (

                                                                                                          ) 1 ( 4 )

                                                                                                          1

                                                                                                          2

                                                                                                          1

                                                                                                          3

                                                                                                          1

                                                                                                          2

                                                                                                          1

                                                                                                          1

                                                                                                        ) (

                                                                                                          2

                                                                                                        • − − − + + − − =
                                                                                                        • − − − + + − − =

                                                                                                          Berdasarkan teorema 2.1.2, maka akan dilihat titik minimum pada titik batas selang.

                                                                                                          Untuk f(-3, 0) 3 ) ) 2

                                                                                                        • − (( −

                                                                                                          f x = ( −

                                                                                                          3 ) e

                                                                                                          ( )

                                                                                                          = -0.00037 Untuk f(2, 2) 4

                                                                                                        • − ( 4 )

                                                                                                          f x = (

                                                                                                          2 ) e

                                                                                                          ( )

                                                                                                          = 0.00067

                                                                                                        b) Dengan Algoritma Genetika

                                                                                                          Pada permasalahan contoh 4.3 dengan menggunakan teknik konvensional tidak diketahui pembuat nilai maksimumnya, maka dengan Algoritma Ge- netika diharapkan pembuat maksimum dapat diketahui sehingga nilai mak- simum (relatife) dari permasalahan ini dapat dicari.

                                                                                                          Misalkan ketepatan angka untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di atas adalah empat tempat setelah desimal. Dan iterasi yang akan dicapai adalah 100 iterasi. Jumlah populasi yang akan terjadi adalah 10, akan ditentu- kan berapa bit yang harus digunakan untuk variabel x dan x : 2 4 2

                                                                                                          1

                                                                                                          2 4 m log[( batas bawah batas atas )

                                                                                                          10 1 ] log [(

                                                                                                          2 3 )

                                                                                                          10 1 ]

                                                                                                          15.6

                                                                                                          17 1 = − = = ≈ + + +

                                                                                                          4

                                                                                                          (2+3) × 10 = 50,001 16 17

                                                                                                          2 50 , 001

                                                                                                          2 &lt; ≤

                                                                                                          2 4 2 4 m log[( batas bawah batas atas )

                                                                                                          10 1 ] log [( 2 )

                                                                                                          10 1 ]

                                                                                                          14.28

                                                                                                          15 1 = − = − = ≈ + +

                                                                                                          4

                                                                                                          (2-0) = 20,001 14 ×10 15 2 &lt; 20 , 001 ≤

                                                                                                          2 Total bit dalam tiap kromosom (panjang kromosom) adalah (17 + 15)bit = 32 bit.

                                                                                                          Untuk rekombinasi dan mutasi akan diuji pada probabilitas rekombinasi antara 0.2 hingga 0.5, dan mutasi pada probabilitas 0.01 hingga 0.1. Sehingga, rekombinasi kromosom akan terjadi apabila bilangan acak rekombinasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan probabilitas rekombinasinya. Begitu pula dengan mutasi, apabila bilangan acak mutasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan prob- abilitas mutasi, maka mutasi kromosom akan terjadi. Setiap percobaan dilaku- kan untuk 100 generasi. Dari 10 percobaan didapatkan nilai maksimum 0.3679 pada titik (-1, 0) atau (1,0). Pc = 0.2 10 Banyak Pm n

                                                                                                          Percobaan 8 a

                                                                                                          0.01 5 oba 6

                                                                                                          0.02 5 rc e P

                                                                                                          0.03 4 4 k a y

                                                                                                          0.04 4 n 2 a

                                                                                                          0.05 2 B

                                                                                                          0.06 2 0.07 4 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.08 5 Probabilitas Mutasi

                                                                                                          0.09 3 + 0.1 3 ( x x ) 1 2 2 2 Tabel 4.25 Tabel nilai mak-

                                                                                                          =

                                                                                                        Gambar 4.28 Grafik nilai maksimum fungsi f ( ) x x 1 e dengan prob-

                                                                                                          = ( x x ) 1 2 2 2 + simum fungsi f ( ) x x 1 e abilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. dengan probabilitas rekom- binasi 0.2 dan probabilitas 0.01 hingga 0.1. mutasi

                                                                                                          Dari tabel 4.25 dan gambar 4.28 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.01, 0.02, dan

                                                                                                          0.08. Pc = 0.25 10 Banyak Pm

                                                                                                          Percobaan n 8 a

                                                                                                          0.01 4 oba 6

                                                                                                          0.02 5 rc e P

                                                                                                          0.03 3 4 k a

                                                                                                          0.04 4 ny a 2

                                                                                                          0.05 4 B

                                                                                                          0.06 4 0.07 3 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.08 3 Probabilitas Mutasi

                                                                                                          0.09 4

                                                                                                        • + 0.1 4 − ( x x )
                                                                                                        • 1 2 2 2 Tabel 4.26 Tabel nilai mak- + ( x x ) 2 1 2 2 Gambar 4.29 Grafik nilai maksimum fungsi f ( ) = x x e dengan prob- 1 = simum fungsi f ( ) x x 1 e abilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. dengan probabilitas rekom- binasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                            Dari tabel 4.26 dan gambar 4.29 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.02. Pc = 0.3 Banyak Pm Percobaan

                                                                                                            0.01 6 0.02 4 0.03 3 0.04 5 0.05 5 0.06 3 0.07 4 0.08 5 0.09 5 0.1 4 2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi

                                                                                                            0.01 4 0.02 4 0.03 1 0.04 7 0.05 5 0.06 3 0.07 6 0.08 4 0.09 6 0.1 5 2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi

                                                                                                            = x dengan prob- abilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                            1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                          Gambar 4.31 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                            = x den- gan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                            simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                          Tabel 4.28 Tabel nilai mak-

                                                                                                            B a ny a k P e rc oba a n

                                                                                                            Pc = 0.35 Banyak Pm Percobaan

                                                                                                            B a ny a k P e rc oba a n

                                                                                                            Dari tabel 4.27 dan gambar 4.30 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.01.

                                                                                                            = x dengan prob- abilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                            1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                          Gambar 4.30 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                            = x dengan probabilitas rekom- binasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                            simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                          Tabel 4.27 Tabel nilai mak-

                                                                                                            Dari tabel 4.28 dan gambar 4.31 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.04. Pc = 0.4 10 Banyak Pm Percobaan n 8 aa

                                                                                                            0.01 6 b 6

                                                                                                            0.02 4 rco e

                                                                                                            0.03 5 P 4 ak

                                                                                                            0.04 4 y an 2

                                                                                                            0.05 4 B

                                                                                                            0.06 4 0.07 5 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.08 7 Probabilitas Mutasi

                                                                                                            0.09 5

                                                                                                          • + 0.1 2 ( x x )
                                                                                                          • 1 2 2 2 Tabel 4.29 Tabel nilai mak-

                                                                                                            Gambar 4.32 Grafik nilai maksimum fungsi f ( ) x = x e dengan prob-

                                                                                                              1 simum +

                                                                                                              = ( x x ) 2 1 2 2 abilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. fungsi f ( ) x x 1 e dengan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              0.4 dan probabilitas mutasi

                                                                                                              0.01 hingga 0.1.

                                                                                                              Dari tabel 4.29 dan gambar 4.32 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                              Pc = 0.45 10 Banyak Pm Percobaan n 8 a

                                                                                                              0.01 4 oba 6

                                                                                                              0.02 5 rc e P

                                                                                                              0.03 5 4 k a

                                                                                                              0.04 5 ny a 2

                                                                                                              0.05 5 B

                                                                                                              0.06 4 0.07 7 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.08 8 Probabilitas Mutasi

                                                                                                              0.09 3 0.1 6 ( x x ) 1 2 2 2 +

                                                                                                            Tabel 4.30 Tabel nilai mak-

                                                                                                              =

                                                                                                            Gambar 4.33 Grafik nilai maksimum fungsi f ( ) x x 1 e dengan prob- +

                                                                                                              simum − ( x x ) 1 2 2 2 abilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. fungsi f ( ) x = x e den- 1 gan probabilitas rekombi- nasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                              Dari tabel 4.30 dan gambar 4.33 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08. Pc = 0.5 Banyak Pm Percobaan

                                                                                                              0.01 4 0.02 6 0.03 6 0.04 6 0.05 6 0.06 3 0.07 6 0.08 7 0.09 5 0.1 5 2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Probabilitas Mutasi

                                                                                                              Pm = 0.01 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              Dari tabel 4.32 dan gambar 4.35 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.3 atau

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.35 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Tabel 4.32 Tabel nilai mak-

                                                                                                              0.2 5 0.25 4 0.3 6 0.35 4 0.4 6 0.45 4 0.5 4 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B an yak P er co b aan

                                                                                                              Akan dilihat berdasarkan probabilitas mutasi:

                                                                                                              B a n y a k P e rc oba a n

                                                                                                              Dari tabel 4.31 dan gambar 4.34 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.08.

                                                                                                              e x f + − = x dengan pro- babilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

                                                                                                              ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x

                                                                                                            Gambar 4.34 Grafik nilai maksimum fungsi

                                                                                                              0.01 hingga 0.1.

                                                                                                              0.5 dan probabilitas mutasi

                                                                                                              = x dengan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Tabel 4.31 Tabel nilai mak-

                                                                                                              0.4.

                                                                                                              Pm = 0.02 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              0.2 4 0.25 3 0.3 3 0.35 1 0.4 5 0.45 5 0.5 6 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B a ny a k P e rc oba a n

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.03 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.37 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.03 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Tabel 4.34 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Pm = 0.03 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              0.2 5 0.25 3 0.3 4 0.35 4 0.4 4 0.45 5 0.5 6 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Rek om binas i B an yak P e rc o b aa n

                                                                                                              Dari tabel 4.33 dan gambar 4.36 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.5.

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.36 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Tabel 4.33 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Dari tabel 4.3 dan gambar 4.37 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.5. Pm = 0.04 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              0.2 4 0.25 4 0.3 5 0.35 7 0.4 4 0.45 5 0.5 6 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B a ny a k P e rc ob a a n

                                                                                                              0.2 2 0.25 4 0.3 5 0.35 5 0.4 4 0.45 5 0.5 6 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B a ny a k P e rc oba a n

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.39 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Tabel 4.36 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Pm = 0.05 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                            Tabel 4.35 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Dari tabel 4.35 dan gambar 4.38 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.35.

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.38 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                              Dari tabel 4.36 dan gambar 4.39 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.5. Pm = 0.06 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              0.2 2 0.25 4 0.3 3 0.35 3 0.4 4 0.45 4 0.5 3 2 4 6 8 10 0.2

                                                                                                            0.25

                                                                                                            0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B a n y ak P er co b a an

                                                                                                            Tabel 4.38 Tabel nilai mak-

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.41 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              0.07 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                              0.2 4 0.25 3 0.3 4 0.35 6 0.4 5 0.45 7 0.5 6 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Rek om binas i B an yak P er co b aan

                                                                                                            Tabel 4.37 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Pm = 0.07 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              Dari tabel 4.37 dan gambar 4.40 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.25, 0.4, dan 0.45.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.40 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                              Dari tabel 4.38 dan gambar 4.41 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.45. Pm = 0.08 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              0.2 5 0.25 3 0.3 5 0.35 4 0.4 7 0.45 8 0.5 7 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B a n yak P er co b aa n

                                                                                                              0.2 3 0.25 4 0.3 5 0.35 6 0.4 5 0.45 3 0.5 5 2 4 6 8 10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B a ny a k P e rc oba a n

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.43 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Tabel 4.40 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Pm = 0.09 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                            Tabel 4.39 Tabel nilai mak-

                                                                                                              Dari tabel 4.39 dan gambar 4.42 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.45.

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                            Gambar 4.42 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              = x dengan probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                              Dari tabel 4.40 dan gambar 4.43 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.35. Pm = 0.1 Banyak Pc Percobaan

                                                                                                              0.2 3 0.25 4 0.3 4 0.35 5 0.4 2 0.45 6 0.5 5 2 4 6 8 10 0.2

                                                                                                            0.25

                                                                                                            0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Probabilitas Re k om binas i B an yak P er co b aan

                                                                                                            Tabel 4.41 Tabel nilai mak-

                                                                                                              simum fungsi ( ) ) ( 1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                              = x de- ngan probabilitas mutasi

                                                                                                              0.1 dan probabilitas rekombi- nasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                            Gambar 4.44 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) ) (

                                                                                                              1 2 2 2 1 x x e x f + −

                                                                                                              = x dengan pro- babilitas mutasi 0.1 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.

                                                                                                              Dari tabel 4.41 dan gambar 4.44 terlihat bahwa percobaan terbanyak un- tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.45.

                                                                                                              Dari grafik-grafik di atas, terlihat bahwa nilai optimum akan lebih ba- nyak tercipai jika menggunakan probabilitas rekombinasi 0.5 dengan pro- babilitas mutasi 0.08.

                                                                                                            BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Berdasarkan penelitian pada skripsi ini, hasil yang optimum terjadi karena

                                                                                                              ada beberapa kromosom yang terkena mutasi atau rekombinasi serta Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik pencarian optimasi yang baik. Karena hasil yang didapat dengan menggunakan Algoritma Genetika mendekati nilai yang didapat dengan menggunakan teknik konvensional (berkisar antara 0.5% hingga 5%) dan juga ketika dengan teknik konvensional sulit untuk dicari titik kritisnya sehingga nilai optimumnya tidak didapatkan, dengan Algoritma Genetika nilai optimum tetap tercapai namum nilai optimum tersebut belum tentu nilai optimum mutlak.

                                                                                                              Berdasarkan hasil Algoritma Genetika dalam penyelesaian contoh-contoh pada bab IV, nilai optimum mungkin akan lebih cepat tercapai apabila probabilitas rekombinasi untuk memilih apakah terjadi rekombinasi atau tidak sebesar 0.5, dan probabilitas mutasi untuk memilih apakah terjadi mutasi atau tidak sebesar 0.08. Namun probabilitas tersebut belum tentu merupakan yang paling baik, karena Algoritma Genetika merupakan sistem yang dalam prosesnya selalu acak, sehingga hasil yang didapat belum tentu sama untuk setiap percobaan.

                                                                                                              Karena Algoritma Genetika dapat diprogramkan dengan komputer, maka dalam penyelesaiannya tentu saja lebih cepat dari pada teknik konvensional. Dan bila permasalahan optimasi yang terjadi melibatkan banyak variabel (lebih dari dua variabel), jelas terlihat bahwa dengan teknik konvensional permasalahan tersebut sulit diselesaikan. Oleh sebab itu, Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik yang baik untuk menyelesaikannya.

                                                                                                            B. Saran

                                                                                                              Penyelesaian optimasi yang dikaji pada skripsi ini lebih kepada

                                                                                                              2

                                                                                                              permasalahan optimasi untuk R , sehingga penulis menganjurkan untuk

                                                                                                              n mengkaji lebih dalam untuk permalasalahan optimasi di R .

                                                                                                              Algoritma genetika yang digunakan dalam skripsi ini untuk rekombinasi dan mutasi menggunakan metode satu titik, sehingga penulis menganjurkan untuk mencoba metode rekombinasi atau mutasi lain yang mungkin akan menghasilkan nilai optimum yang lebih baik.

                                                                                                            DAFTAR PUSTAKA

                                                                                                              Gen,Mitsuo &amp; Cheng,Runwei. (1997). Genetic Algorithms And Engingering Design . New York: John Wiley &amp; Sons.Inc.

                                                                                                              Griffiths, David F. (1996). An Introduction to MATLAB (version 2.2). Sweden: Department of Mathematics, The University Dundee DD1 4HN.

                                                                                                              Haeussler, Ernest F. &amp; Paul, Richard S. (1996). Introduction Mathematical Analysis For Business, Economics, and the life and social sciences .

                                                                                                              New Jersey: Prentice Hall International Inc. Kusumadewi,Sri. (2003). Artificial Intelligence (Teknik dan Aplikasinya).

                                                                                                              Yogyakarta: Graha Ilmu. Nissen, Volker &amp; Biethan, rg o J &amp;

                                                                                                              &amp; . (1995). Evolutionary Algorithms in Management Applications . Berlin: Springer – Verlag.

                                                                                                              Peressini, Anthony L., Sulivan, Francis E., Uhl, J. J.(1998). The Mathematics of

                                                                                                            Nonlinear Programming . New York: Springer – Verlag.

                                                                                                              Purcel, Edwin J. &amp; Varberg, Dale. (…). Kalkulus dan Geometri Analitis (Edisi

                                                                                                              Kelima) . Jakarta: Erlangga.

                                                                                                              Setya Budi, Wono. (2001). Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya.

                                                                                                              Bandung: ITB. Sriwindono, Haris. (2006). Pengantar Algoritma Genetika. Yogyakarta: FMIPA – Ilmu Komputer, USD. Suyanto. (2005). Algoritma Genetika dalam MATLAB. Yogyakarta: Andi Offset. Taha, Hamdy A. (1976). Operation Research an Introduction (second edition).

                                                                                                              New York: Macmillan Publishing Co., Inc.

Dokumen baru

Tags

Dokumen yang terkait

Diajukan Guna Memenuhi Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Ilmu Sosial dan Ilmu Politik
0
0
17
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan NIKIE RAMSI TAMNGE NIM 20111112047
0
1
17
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar SARJANA PENDIDIKAN
0
0
14
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
0
0
15
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
0
0
17
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan LINDA ROHMAWATI NIM. 20121110045
0
0
13
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
0
1
26
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan DEWI KURNIASIH NIM. 20121110008
0
0
16
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan NUR AZIZAH NIM. 20121113025
0
0
15
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan SITI MULYATI NIM. 20131111105
0
0
14
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
0
0
14
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
0
0
16
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat guna Memperoleh Gelar Sarjana dalam Hukum Islam
0
0
102
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Guna Memperoleh Gelar Sarjana dalam Hukum Islam
0
0
121
Susukan Tahun 2010 ) SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Guna Memperoleh Gelar Sarjana dalam Hukum Islam
0
0
84
Show more