PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

122 

Full text

(1)

S TR U KTU R M ED AN GALOIS

Skr ipsi

Diajukan un tuk Mem enuh i Salah Satu Syarat Mem p eroleh Gelar Sarjana Sain s

Program Studi Matem atika

Oleh

LAM H OT

98 31140 15

J URUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA

(2)
(3)
(4)
(5)

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Mei 2007 Penulis

(6)
(7)

ABSTRACT

There exists a finite field of order p, namely Zp, for any prime p. According to Galois, a finite field of order a power of a prime could be constructed if an irreducible polynomial of positive degree over Zp could be found. In fact, an irreducible polynomial of positive degree over Zp can be found. Thus for any prime p and any positive integer

(8)

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kemampuan yang telah diberikan-Nya kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana. Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun skripsi ini mulai dari mempersiapkan bahan, mendapatkan ide, mengolah kreativitas, hingga terbentuknya skripsi ini menjadi sebuah karya ilmiah. Maka dengan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1. Romo Frans Susilo sebagai Pembimbing skripsi dan akademik. Terima kasih atas koreksi-koreksinya yang indah, juga ketelitiannya yang memberikan banyak masukan kepada penulis.

2. Bapak Aris Dwiatmoko sebagai Dekan FMIPA yang selalu menjadi bapak bagi mahasiswa-mahasiswanya.

3. Bapak Y.G. Hartono sebagai Kaprodi Matematika yang siap setiap saat menjadi mediator bagi mahasiswa, juga banyak memberikan diskusi yang baik.

4. Ibu Any Herawati yang memberikan banyak koreksi dan masukan kepada penulis. 5. Bapak Andy Rudhito yang memberikan banyak koreksi dan masukan kepada

penulis.

6. Perpustakaan USD dan Sekretariat FMIPA yang banyak membantu mengolah data dan kepentingan penulis.

7. Keluargaku tercinta yang dengan sabar mendampingi penulis selama mengikuti pendidikan hingga selesai. Curahan kasih sayang, doa, dan bekal moral yang diberikan sungguh menjadi pegangan hidup bagi penulis.

8. Bapak Y. Suroto dan Ibu Harum Juwita yang selalu memberikan semangat kepada penulis.

9. Dik Tanti yang selalu mendampingi penulis dengan doa dan kebersamaan. Suka duka yang telah kami alami bersama memberikan banyak pelajaran berharga kepada penulis.

10. Adik-adikku Reni, Adi Nugroho, dan Vanda yang memberikan banyak senyum dan kelucuan sebagai penghibur kepada penulis.

(9)

Tak ada gading yang tak retak, demikian pula skripsi ini tidak akan pernah menjadi sempurna. Namun demikian penulis bersyukur karena telah ikut berpartisipasi dalam mencerdaskan bangsa. Kesempatan yang penulis dapatkan sungguh sangat berharga dan penulis berharap kelak dapat ambil bagian dalam mengembangkan pendidikan. Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat.

(10)

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERSEMBAHAN

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

ABSTRAK

ABSTRACT

PRAKATA

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Perumusan Masalah 1

1.3. Tujuan Penulisan 1

1.4. Metode Penulisan 2

1.5. Sistematika Pembahasan 2

BAB II GRUP DAN GELANGGANG 3

2.1. Operasi Biner 3

2.2. Grup dan Teorema Lagrange 4

2.3. Gelanggang dan Medan 20

2.4. Bilangan Bulat Modulo n 28

2.5. Ideal dan Teorema Isomorfisma 32

(11)

BAB III STRUKTUR MEDAN GALOIS 72

3.1. Perluasan Medan 72

3.2. Ruang Vektor 87

3.3. Medan Galois 93

BAB IV PENUTUP 109

(12)

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Teori Galois merupakan salah satu teori besar dan elegan dalam aljabar abstrak. Teori ini diberi nama demikian sebagai penghargaan atas ide dan hasil kerja dari seorang matematikawan muda berkebangsaan Perancis, Evariste Galois (1811−1832).

Teorema Fundamental Galois masih menjadi topik menarik dalam banyak diskusi saat ini. Karena merupakan teori besar, ruang lingkup teori Galois cukup luas. Salah satunya adalah teori Galois pada medan berhingga (kemudian disebut sebagai medan Galois) yang menjadi pembicaraan dalam tulisan ini.

Diawali dengan dibuktikannya Zp = {[0], [1], [2], …, [p − 1]} medan, kemudian dapat dikonstruksi medan dengan 4 elemen, sampai pada akhirnya dapat dikonstruksi medan dengan pn elemen untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat n> 1. Pertanyaan menarik untuk ditanyakan adalah berapa banyak medan dengan pn elemen? Apakah ada medan berhingga lainnya selain medan dengan pn elemen? Dan hal utama untuk diselidiki pada struktur suatu sistem aljabar adalah berapa banyak submedan dari medan dengan pn elemen?

1.2. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

(13)

1.3. Tujuan Penulisan

Tujuan tulisan ini adalah untuk mengenal lebih jauh teori medan yang sudah dipelajari dalam perkuliahan dan memperkenalkan medan Galois. Selain itu tulisan ini juga mendeskripsikan beberapa konsep berkaitan dengan teori Galois.

1.4. Metode Penulisan

Penyusunan skripsi ini murni menggunakan metode studi pustaka.

1.5. Sistematika Pembahasan

(14)

GRUP DAN GELANGGANG

2.1. Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan takkosong B adalah aturan yang mengaitkan setiap dua anggota dalam B dengan tepat satu anggota dalam B. Lebih tepatnya, operasi biner

pada B adalah sebuah pemetaan µ : B × BB. Berarti µ memetakan (mengawankan) setiap anggota pasangan terurut (x, y) dari anggota-anggota dalam B dengan suatu anggota µ(x, y) dalam B.

Elemen (anggota) µ(x, y) dinyatakan dalam bentuk xy. Karena x y B untuk

x, y B, maka himpunan B dikatakan bersifat tertutup terhadap operasi ∗. Selanjutnya himpunan B yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ ditulis (B, ∗).

Contoh 2.1.1.

Pada himpunan semua bilangan real R, operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian adalah operasi-operasi biner sebab jika aR dioperasikan dengan bR, masing-masing menghasilkan tepat satu a + b, a b, ab dalam R. Sedangkan operasi pembagian bukanlah operasi biner pada R, karena hasil bagi a b tidak terdefinisi untuk

b= 0.

Contoh 2.1.2.

(15)

2.2. Grup dan Teorema Lagrange

Dalam membicarakan sistem aljabar, tidak ada aturan untuk mulai dari mana dulu. Namun idealnya dimulai dari grup. Kemudian sistem aljabar lainnya seperti gelanggang, daerah integral, dan medan hanyalah memperluas definisi sebelumnya.

Definisi 2.2.1.

Himpunan (G, ∗) disebut grup jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat (i) operasi biner (disingkat operasi) ∗ bersifat asosiatif, yaitu

(ab) ∗c=a∗ (bc), ∀a, b, cG

(ii) terdapat elemen identitaseG G dengan sifat

xeG =eG x= x, ∀xG

(iii) setiap elemen xG mempunyai inversx−1∈G dengan sifat

x−1∗x=xx−1=eG.

Definisi 2.2.2.

Operasi ∗ dikatakan bersifat komutatif jika dan hanya jika ab = ba, ∀a, bG. Grup (G, ∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika operasi ∗ bersifat komutatif.

Contoh 2.2.1.

(16)

Misalkan G grup dan xG, maka untuk nZ didefinisikan (i) x0=eG.

(ii) Jika n> 0, maka xn=xn−1∗x.

(iii) Jika n< 0, yaitu n=−m dengan m> 0, maka xn= (x−1)m.

Teorema 2.2.1.

(i) Hukum Kanselasi

Jika ab =ac, maka b = c untuk setiap a, b, c dalam grup G. Demikian juga jika ba=c a, maka b=c.

(ii) Penyelesaian Tunggal dalam Persamaan Linear

Jika xa =b, maka x=ba−1 untuk setiap a, b dalam grup G. Juga jika ax=b, maka x=a−1∗b.

(iii) Ketunggalan Identitas

Grup G hanya mempunyai satu elemen identitas. (iv) Ketunggalan Invers

Setiap elemen dalam grup G mempunyai tepat satu invers. (v) Sifat-sifat Invers

Jika G grup, maka untuk setiap a, bG berlaku 1. (ab)−1=b−1∗a−1.

(17)

(vi) Hukum Eksponen

Jika G grup dan aG, maka untuk m, nZ berlaku 1. aman=am+n.

2. (am)n=amn.

BUKTI.

(i) Ambil sembarang a, b, cG sedemikian sehingga ab = ac. Maka menurut Definisi 2.2.1(iii), ada a−1∈ G sedemikian sehingga a−1∗ (ab) =a−1∗ (ac). Dengan Definisi 2.2.1, didapat b = c. Dengan cara yang sama, jika ba = ca

maka b=c.

(ii) Jika xa =b, maka dengan Definisi 2.2.1(i) dan (iii), x= (xa) ∗ a−1=ba−1. Dengan cara yang sama, jika ax=b maka x=a−1∗b.

(iii) Misalkan eG dan fG elemen-elemen identitas dalam G. Maka xeG = eG x= x

dan xfG =fG x=x, untuk setiap xG. Jadi eG =eG fG =fG.

(iv) Ambil sembarang aG. Misalkan a1−1 dan a2−1 invers-invers dari a dalam G. Maka a1−1∗ a=aa1−1= eG dan a2−1∗a =aa2−1= eG. Jadi a1−1= a1−1∗ eG=

a1−1∗ (aa2−1) = (a1−1∗a) ∗a2−1=eG a2−1=a2−1.

(v) 1. (ab) ∗ (b−1∗a−1) =a∗ (bb−1) ∗a−1= eG. Jadi b−1∗ a−1 invers dari ab

(ketunggalan invers).

2. Menurut Definisi 2.2.1(ii) dan (iii), eG eG = eG = eG eG−1. Dengan hukum kanselasi, maka eG =eG−1.

(18)

1. Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n= 0, maka aman=ama0=ameG =am=am+0=am+n. Langkah Untuk n> 0, diasumsikan benar untuk n=k, yaitu amak=am+k.

Dibuktikan benar untuk n=k+ 1.

amak+1=amaka=am+ka=am+k+1.

Untuk n < 0, misalkan n = −p dengan p > 0. Sehingga aman = amap = a−(−m)ap= (a−1)−m∗ (a−1)p= (a−1)−m+p=a−(−m+p)=amp=am+n.

Jadi aman=am+n.

2. Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n= 0, maka (am)n= (am)0=eG =a0=a m0=amn. Langkah Untuk n> 0, diasumsikan benar untuk n=k, yaitu (am)k=amk.

Dibuktikan benar untuk n=k + 1.

(am)k+1= (am)kam=amkam=amk+m=am(k+1).

Untuk n < 0, misalkan n =−p dengan p> 0.Maka (am)n= (am)−p= ((am)−1)p= (am)p=amp=am(p)=amn.

Jadi (am)n=amn.

Grup Z mempunyai takhingga banyak anggota. Himpunan ({0}, +) juga grup, tetapi hanya mempunyai satu anggota. Jadi banyaknya anggota dalam suatu grup dapat berhingga atau takhingga. Banyaknya anggota dalam grup G atau bilangan kardinal G

(19)

Definisi 2.2.4.

Misalkan G grup dan HG. Himpunan H disebut subgrup dari G (ditulis HG) jika dan hanya jika (H, ∗) grup di mana ∗ adalah operasi pada G.

Definisi 2.2.4 di atas mengatakan bahwa jika HG, maka (H, ∗) bersifat tertutup, hukum asosiatif berlaku, mempunyai elemen identitas eH = eG (ketunggalan elemen identitas), dan setiap elemen dalam H mempunyai invers. Jelas {eG} dan G merupakan subgrup-subgrup dari G.

Teorema 2.2.2 (Uji Subgrup).

Jika G grup dan HG, maka HG jika dan hanya jika (i) H≠∅,

(ii) (∀h1, h2 ∈H) h1 ∗h2 ∈H, (iii) (∀hH) h−1∈H.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika HG, maka menurut Definisi 2.2.4, (i), (ii), dan (iii) terpenuhi.

( ⇐ ) Karena HG dan berlaku (ii), maka H bersifat tertutup dan berlaku asosiatif. Kemudian jika hH, maka dari (ii) dan (iii), hh−1 = eH H dan h−1 ∈ H.

Menurut Definisi 2.2.4, HG.

Teorema 2.2.3.

(20)

Karena a0= eG, maka eG ∈〈a〉 sehingga 〈a〉≠∅. Ambil sembarang am, an∈ 〈a〉 untuk suatu m, nZ. Maka aman=am+n∈〈a〉 dan (am)−1=am∈〈a〉. Dari Teorema 2.2.2,

a〉 subgrup dari G. ■

Subgrup 〈a〉 di atas dinamakan subgrup siklik dari grup G yang dihasilkan atau

dibangun oleh aG. Teorema berikut menjelaskan apa yang terjadi jika dua elemen pangkat dari aG sama.

Teorema 2.2.4.

Jika G grup dan aG sedemikian sehingga ar = as untuk suatu r, sZ dengan rs, maka

(i) terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga an=eG, (ii) jika tZ, maka at=eG jika dan hanya jika n adalah faktor dari t,

(iii) 〈a〉= {eG, a, a2, …, an−1} di mana eG, a, a2, …, an−1 adalah elemen-elemen yang saling berbeda.

BUKTI.

(i) Jika ar=as dan r>s, maka aras=eG ars=eG. Misalkan n= r s> 0, maka

an= eG. Menurut prinsip bilangan bulat, terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga an=eG. Analog untuk s>r.

(21)

dengan 0 ≤ r<n. Maka eG =at=anq+r= anqar= (an)qar= (eG)qar= ar. Padahal dari (i) diketahui bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga an=eG, maka haruslah r= 0. Ini menunjukkan bahwa

t=nq.

( ⇐ ) Jika n adalah faktor dari t, maka t=nw. Jadi at=anw= (an)w= (eG)w=eG. (iii) Ambil sembarang am ∈ 〈a〉 untuk suatu mZ. Menurut algoritma pembagian

pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat u dan v sedemikian sehingga m= nu + v dengan 0 ≤ v < n. Maka am= anu+v =anuav = (an)uav=

(eG)uav=av. Jadi am sama dengan tepat salah satu dari a0, a1, a2, …, an−1.

Untuk menunjukkan bahwa elemen-elemen a0, a1, a2, …, an−1 saling berbeda, misalkan av = aw di mana 0 ≤ v< n dan 0 ≤ w < n. Jika vw, maka avw = eG dengan vw ≥ 0. Dan menurut (ii), n adalah faktor dari v w. Tetapi perhatikan bahwa 0 ≤vw<n, maka haruslah vw= 0, yaitu v= w. Demikian juga analog untuk wv.

Jadi 〈a〉= {eG, a, a2, …, an−1}. ■

Definisi 2.2.5 (Order Elemen).

Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga an = eG, maka n

disebut order a dalam grup G, dinotasikan ο(a). Tetapi jika tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil yang dimaksud di atas, maka a dikatakan berorder takhingga.

Akibat 2.2.5.

(22)

Jika ο(a) = n, maka menurut Teorema 2.2.4(iii), 〈a〉 = {eG, a, a2, …, an−1}, sehingga

a = n = ο(a). Jika a berorder takhingga, maka tidak terdapat bilangan bulat positif

terkecil n sedemikian sehingga an= eG. Jadi aras untuk setiap bilangan bulat r dan s,

sehingga 〈a〉 takhingga. ■

Definisi 2.2.6.

Jika aG dan G=〈a〉, maka grup G disebut grup siklik yang dibangun atau dihasilkan oleh a.

Contoh 2.2.2.

Grup Z adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 1 atau −1. Perhatikan bahwa di sini 1n adalah 1 + 1 + … + 1 =n1.

Jika G grup siklik yang dihasilkan oleh aG, maka setiap elemen dalam G

berbentuk ak untuk suatu kZ. Jika G berorder n, maka G = {eG, a, a2, …, an−1}. Selanjutnya faktor persekutuan terbesar dari k dan n ditulis (k, n).

Teorema 2.2.6 (Sifat-sifat Grup Siklik).

Jika G grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh aG dan 1 ≤k<n, maka (i) G grup komutatif.

(23)

(iv) Jika (k, n) = 1, maka ak membangun G.

(v) Jika kn, maka G mempunyai tepat satu subgrup berorder k.

BUKTI.

(i) Ambil sembarang elemen-elemen am, anG. Maka aman=am+n=an+m=anam

untuk suatu m, nZ. Menurut Definisi 2.2.2, G grup komutatif.

(ii) Ambil sembarang HG. Jelas H = {eG} adalah subgrup siklik. Jika H ≠ {eG}, maka terdapat akH untuk suatu bilangan bulat positif k. Misalkan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga amH. Selanjutnya akan ditunjukkan H=〈am〉, yaitu setiap elemen dalam H adalah pangkat dari am.

Ambil sembarang bH, maka b =at untuk suatu t∈ {0, 1, …, n − 1}. Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat

q, r sedemikian sehingga t=mq+r dengan 0 ≤r<m. Maka at=amq+r= (am)qar ⇔ ((am)q)−1∗ at = ar. Perhatikan bahwa am, atH, sehingga arH. Kemudian, karena 0 ≤r<m dan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga

amH, maka haruslah r= 0. Jadi b=at=amq= (am)q.

(iii) Jika G adalah grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh aG, maka an= eG. Perhatikan bahwa 〈ak〉 merupakan bilangan bulat positif terkecil s sedemikian sehingga (ak)s =aks= eG. Menurut Teorema 2.2.4(ii), aks =eG jika dan hanya jika

ks

(24)

) , (k n

n .

(iv) Jika (k, n) = 1, maka dari (iii), 〈ak〉 = n 1 =n= G , sehingga 〈ak〉=G.

(v) Jika kn, maka n=ku untuk suatu bilangan bulat positif u dan (u, n) =u. Dari (iii),

au membangun subgrup berorder n u =k. Jadi G mempunyai subgrup berorder k. Akan ditunjukkan subgrup berorder k tunggal. Misalkan L dan M subgrup-subgrup berorder k. Maka L = M . Jelas L= M untuk L = M = 1. Dari (ii), L dan M

adalah siklik, yaitu L=〈ar〉 dan M=〈as〉 untuk suatu bilangan bulat positif r dan s. Karena eG = an, maka an dalam 〈ar〉 dan 〈as〉. Ini berarti an adalah pangkat dari ar

dan as, sehingga rn dan sn. Jadi (r, n) = r dan (s, n) = s. Maka menurut (iii),

〉 〈 r

a = n (r,n) = n r dan 〈as〉 = n (s,n) = n s. Jadi jika 〈ar〉 = 〈as〉, maka

r

n = n sr=s, sehingga 〈ar〉=〈as〉 atau L=M. ■

Jadi dari teorema di atas, berarti banyaknya subgrup dari grup siklik berhingga G

adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi order G. Selanjutnya Lagrange membuktikan bahwa order subgrup dari grup berhingga harus membagi order grupnya. Dibahas dahulu tentang suatu subhimpunan dari grup yang dinamakan koset.

Teorema 2.2.7.

Misalkan G grup dan HG. Jika relasi ∼ pada G didefinisikan dengan

(25)

BUKTI.

Akan dibuktikan ∼ bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Karena aa−1= eG H, maka aa, yaitu ∼ refleksif. Jika ab, maka ba−1∈ H, sehingga (ba−1)−1=ab−1∈H, yaitu ba. Berarti ∼ simetris. Jika ab dan bc, maka ba−1∈H dan cb−1∈H. Maka (cb−1) ∗ (ba−1) =ca−1∈H. Jadi ac,

sehingga ∼ transitif. ■

Kelas-kelas ekivalensi dari ∼ dinamakan koset kanan dari H dalam G. Jika ba−1

diganti dengan a−1∗ b, maka kelas-kelas ekivalensi dari ∼ dinamakan koset kiri dari H

dalam G.

Akibat 2.2.8 (Bentuk Koset).

Misalkan G grup dan HG. Setiap koset kanan dari H berbentuk Ha= {ha : hH} dan koset kiri dari H berbentuk aH= {ah : hH}, untuk suatu aG.

BUKTI.

Misalkan K adalah koset kanan dari H dalam G, maka K adalah kelas ekivalensi dari ∼ yang memuat suatu elemen aG, yaitu K= {bG : ab} = {bG : ba−1∈H}. Selanjutnya akan dibuktikan K= Ha. Ambil sembarang xK, maka xa−1= hH, sehingga x= haHa. Kemudian jika xHa, maka x= ha untuk suatu hH, berarti xa−1=hH, sehingga xK. Jadi xK jika dan hanya jika xHa untuk ∀x, sehingga K= Ha. Dengan cara yang sama, maka setiap koset kiri dari H dalam G pasti

(26)

Misalkan G grup, HG dan a, bG. Maka Ha=Hb jika dan hanya jika ba−1∈H.

BUKTI.

( ⇒ ) Karena bHb, yaitu b = eH b dan Ha= Hb, maka bHa. Ini berarti untuk suatu hH, b=haba−1=h. Jadi ba−1∈H.

( ⇐ ) Diasumsikan ba−1∈H. Akan dibuktikan Ha= Hb. Ambil sembarang elemen dalam Ha katakanlah ha dengan hH. Karena ba−1∈H, maka (ba−1)−1

= ab−1 ∈H, sehingga ha = (hab−1) ∗ bHb. Jadi HaHb. Untuk sembarang hbHb, maka hb = (hba−1) ∗ aHa. Jadi HbHa,

sehingga Ha=Hb. ■

Misalkan H subgrup dari grup G dan ∼ adalah relasi ekivalensi pada G yang didefinisikan dalam Teorema 2.2.7. Maka kelas-kelas ekivalensi dari ∼ membentuk suatu partisi dari G, yaitu subhimpunan-subhimpunan takkosong dari G yang saling asing (atau saling lepas, tidak saling tumpang tindih) dan G harus merupakan gabungan dari subhimpunan-subhimpunan tersebut. Jadi partisi dari G yang ditimbulkan oleh kelas-kelas ekivalensi dari ∼ terdiri dari koset-koset kanan dari H dalam G. Di bawah ditunjukkan bahwa H berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya. Jadi jika G

berhingga, maka banyaknya elemen dalam G kelipatan dari banyaknya elemen dalam H.

Lema 2.2.10.

(27)

BUKTI.

Didefinisikan µ : HHa dengan aturan µ(h) =ha, ∀hH. Pemetaan µ terdefinisi dengan baik sebab untuk sembarang h1, h2 ∈ H dengan h1 =h2, maka h1 ∗ a = h2 ∗ a, yaitu µ(h1) =µ(h2). Kemudian jika µ(h1) =µ(h2), maka h1 ∗a=h2 ∗a, sehingga h1 =h2. Jadi pemetaan µ injektif. Jelas pemetaan µ surjektif sebab jika xHa, maka x= ha

untuk suatu hH. Jadi pemetaan µ bijektif, sehingga H = Ha. Dengan cara yang

sama, maka H = aH .

Terbukti Ha = H = aH . ■

Teorema 2.2.11 (Teorema Lagrange).

Jika G grup berhingga dan HG, maka order H membagi order G.

BUKTI.

Grup G adalah gabungan koset-koset kanan dari H yang saling asing, yaitu

U

k

i i Ha G

1 =

=

di mana Hai Haj =∅, ij. Menurut Lema 2.2.10, Hai = H untuk setiap i. Maka

G = Ha1 + Ha2 + … + Hak = H + H + … + H =k H . Jadi G H =k. ■

Akibat 2.2.12.

(i) Jika G grup berhingga, maka order a membagi order G dan aG =eG, aG. (ii) Grup G berorder prima adalah grup siklik yang dihasilkan oleh setiap aeG G

(28)

(i) Dari Akibat 2.2.5, ο(a) = 〈a〉. Karena 〈a〉 subgrup, maka 〈a〉 membagi G . Jadi

ο(a) membagi G . Kemudian dari Teorema 2.2.4(ii), aG =eG untuk aG.

(ii) Diasumsikan G berorder prima p. Pilih aeG G. Menurut (i), ο(a) = 〈a〉 = p,

sehingga G = 〈a〉. Berarti G grup siklik yang dihasilkan oleh setiap aeG G. Kemudian jika HG, maka haruslah H = 1 atau H =p (Teorema Lagrange). Jadi subgrup-subgrup yang memenuhi hanyalah {eG} dan G. ■

Sudah terbukti jika HG, maka G =k H . Jadi bilangan k ini adalah banyaknya

koset kanan dari H sebab setiap koset kanan dari H mempunyai H elemen.

Definisi 2.2.7.

Jika G grup dan HG, maka banyaknya koset kanan dari H dalam G disebut indeks

dari H dalam G, dinotasikan (G:H).

Definisi 2.2.8.

Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal (dinotasikan N<G) jika dan hanya jika (∀gG) (∀nN) g ng−1∈N.

Teorema 2.2.13.

(29)

BUKTI.

Terlebih dahulu dibuktikan bahwa operasi • dalam G N terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang Na1, Na2, Nb1, Nb2 ∈ G N sedemikian sehingga Na1 =Na2 dan Nb1 = Nb2. Akan ditunjukkan N(a1 ∗b1) =N(a2 ∗b2). Jika Na1 =Na2 dan Nb1 =Nb2, maka menurut Lema 2.2.9, a2 ∗ a1−1= n1 ∈N dan b2 ∗b1−1=n2 ∈N untuk suatu n1, n2 ∈N. Sehingga

a2 =n1 ∗a1 dan b2 =n2 ∗b1. Perhatikan bahwa

a2 ∗b2 = (n1 ∗a1) ∗ (n2 ∗b1)

= n1 ∗ (a1 ∗n2 ∗a1−1) ∗a1 ∗b1

= n1 ∗n3 ∗a1 ∗b1 (N<G)

= n4 ∗ (a1 ∗b1).

Sehingga (a2 ∗b2) ∗ (a1 ∗b1)−1=n4 ∈N. Menurut Lema 2.2.9, N(a1 ∗b1) =N(a2 ∗b2). Selanjutnya ambil sembarang Na, Nb, NcG N. Maka NaNb= N(ab) ∈ G N

sebab G grup. Berarti • bersifat tertutup. Kemudian, (NaNb) •Nc= N(ab) •Nc= N(abc) =NaN(bc) = Na• (NbNc). Sehingga • bersifat asosiatif. Terdapat identitas NeG G N sebab berlaku NaNeG =N(aeG) =Na=N(eG a) =NeG Na. Akhirnya, NaNa−1=N(aa−1) = NeG = N(a−1∗ a) =Na−1•Na. Dan ini berarti Na−1

invers dari Na.

Terbukti G N grup.

(30)

Grup koset-koset kanan dari subgrup normal N dalam grup G (ditulis G N) disebut

grup faktor.

Lema 2.2.14.

Jika G grup komutatif dan NG, maka N<G dan G N grup komutatif.

BUKTI.

Ambil sembarang aG dan nN. Maka ana−1=naa−1 =nN sebab G

grup komutatif. Menurut Definisi 2.2.8, N<G. Dan karena N normal dalam G, maka terdapat grup faktor G N. Selanjutnya ditunjukkan G N komutatif. Ambil sembarang

Na, NbG N. Maka NaNb = N(ab) = N(ba) = NbNa. Dengan demikian

N

G grup komutatif. ■

Teorema 2.2.15.

Jika G grup berhingga dan N<G, maka G N = G N .

BUKTI.

Teorema Lagrange telah membuktikan bahwa G = (G:N) N di mana (G:N) adalah

(31)

2.3. Gelanggang dan Medan

Dalam grup didefinisikan sebuah operasi bersifat umum, dapat berupa operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, komposisi, dan sebagainya. Jadi jika G adalah grup terhadap operasi penjumlahan, maka operasi tersebut yang dipakai.

Dalam gelanggang didefinisikan dua buah operasi, yaitu operasi + (penjumlahan) dan operasi ⋅ (perkalian), bahkan kombinasi dari kedua operasi tersebut. Ini membuat gelanggang sedikit lebih sulit daripada grup, tetapi hal ini justru membuat obyek-obyek gelanggang kurang bervariasi dibandingkan grup, dalam arti grup lebih mudah untuk dieksplorasi.

Definisi 2.3.1.

Himpunan (R, +, ⋅) disebut gelanggang jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat (i) (R, +) grup komutatif,

(ii) operasi ⋅ bersifat asosiatif,

(iii) kombinasi operasi + dan ⋅ bersifat distributif, yaitu

(a+b) ⋅c= (ac) + (bc) dan c⋅ (a+b) = (ca) + (cb) untuk ∀a, b, cR.

Dari definisi gelanggang di atas, akan diuraikan sifat (i) di mana R adalah grup aditif (grup dengan operasi penjumlahan) yang komutatif. Untuk setiap a, b, cR, maka sifat asosiatif berarti (a+b) +c=a + (b +c), sifat komutatif berarti a+b=b+ a, kemudian elemen identitas adalah 0 di mana a+ 0 =a, dan invers aditif dari a adalah −a

di mana (−a) + a = 0. Selanjutnya dari definisi pangkat suatu elemen, maka di sini an

(32)

Gelanggang (R, +, ⋅) disebut gelanggangkomutatif jika dan hanya jika operasi ⋅ bersifat komutatif.

Contoh 2.3.1.

Himpunan semua bilangan bulat (Z, +, ⋅), himpunan semua bilangan rasional (Q, +, ⋅), himpunan semua bilangan real (R, +, ⋅), himpunan semua bilangan kompleks (C, +, ⋅) adalah gelanggang-gelanggang komutatif.

Gelanggang R merupakan grup aditif. Jika operasi ∗ dalam Teorema 2.2.1 diganti dengan operasi +, maka dalam R berlaku hukum kanselasi aditif, penyelesaian tunggal dari persamaan linear aditif, ketunggalan elemen identitas, ketunggalan invers aditif,

sifat-sifat invers aditif, dan hukum eksponen aditif.

Proposisi 2.3.1.

Misalkan R gelanggang dengan elemen identitas 0 dan a, b, cR. Maka berlaku (i) 0 ⋅a=a ⋅ 0 = 0.

(ii) a ⋅ (−b) = (−a) ⋅b=−(a b). (iii) (−a) ⋅ (−b) =a b.

BUKTI.

(33)

(ii) (ab) + (a⋅ (−b)) =a⋅ (b+ (−b)) =a⋅ 0 = 0. Jadi a⋅ (−b) adalah invers aditif dari

ab, yaitu −(ab) =a⋅ (−b). Dengan cara yang sama, maka −(ab) = (−a) ⋅b. (iii) Dari (ii) dan sifat invers aditif, maka didapat (−a) ⋅ (−b) =−(a ⋅ (−b)) =−(−(ab))

=ab.

Definisi 2.3.3.

Misalkan R gelanggang dan SR. Himpunan S disebut subgelanggang dari R jika dan hanya jika (S, +, ⋅) gelanggang di mana + dan ⋅ adalah operasi pada R.

Teorema 2.3.2 (Uji Subgelanggang).

Jika R gelanggang dan SR, maka S subgelanggang dari R jika dan hanya jika (i) S≠∅,

(ii) (∀a, bS) a+bS dan abS, (iii) (∀aS) −aS.

BUKTI.

( ⇒ ) Definisi 2.3.3.

( ⇐ ) Karena SR dan berlaku (ii), maka operasi + dan ⋅ bersifat asosiatif, tertutup, dan kombinasinya bersifat distributif. Jika diambil sembarang aS, maka dari (ii) dan (iii), a+ (−a) = 0 ∈S dan −aS. Di sini S grup aditif komutatif sebab operasi + pada R bersifat komutatif.

(34)

Elemen 1R dalam gelanggang R disebut elemensatuan jika dan hanya jika untuk setiap

aR berlaku a ⋅ 1R = 1R ⋅ a = a. Jika R mempunyai elemen satuan, maka R disebut

gelanggang dengan elemen satuan.

Jadi elemen satuan merupakan elemen identitas terhadap operasi ⋅. Jika elemen identitas 0 adalah elemen satuan 1R, maka gelanggang R menjadi gelanggang nol {0}. Untuk selanjutnya gelanggang R dengan elemen satuan diasumsikan bukan {0}.

Definisi 2.3.5.

Misalkan R gelanggang dengan elemen satuan 1R. Elemen u ≠ 0 dalam R disebut unit, jika mempunyai invers multiplikatif u−1 sedemikian sehingga u−1⋅u =uu−1= 1R. Jika setiap elemen taknol dalam R merupakan unit, maka R disebut gelanggang pembagian.

Lema 2.3.3 (Ketunggalan Elemen Satuan dan Invers Multiplikatif).

Jika R gelanggang pembagian, maka elemen satuan tunggal. Juga invers multiplikatif dari setiap elemen taknol dalam R.

BUKTI.

(35)

1R. Karena elemen 1R tunggal, maka u1−1=u1−1⋅ 1R =u1−1⋅ (uu2−1) = (u1−1⋅u) ⋅u2−1= 1R ⋅u2−1=u2−1.

Terbukti elemen satuan dan invers multiplikatif tunggal. ■

Definisi 2.3.6.

Misalkan R adalah gelanggang. Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga na =a + a + … + a = 0 untuk ∀aR, maka n disebut karakteristik dari R. Jika tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil n yang demikian itu, maka R dikatakan berkarakteristik 0.

Lema 2.3.4 (Karakteristik Gelanggang dengan Elemen Satuan).

Gelanggang R dengan elemen satuan berkarakteristik n jika dan hanya jika n1R = 0.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika R berkarakteristik n, maka na= 0 untuk ∀aR. Jadi n1R = 0.

( ⇐ ) Jika diasumsikan n1R= 0, maka na=a +a + … +a = (1R+ 1R+ … + 1R) ⋅a =

(n1R) ⋅a= 0 ⋅a= 0. ■

Selanjutnya definisi gelanggang diperluas lagi untuk mendapatkan struktur baru. Pada gelanggang R sudah didefinisikan R adalah grup aditif komutatif dan ditambahkan sifat asosiatif pada operasi ⋅ dan bersifat distributif (kombinasi + dan ⋅). Kemudian jika

(36)

Misalkan F adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Maka F disebut medan

jika dan hanya jika setiap elemen taknol dalam F mempunyai invers multiplikatif.

Dari definisi di atas, dapat dikatakan (dengan cara lebih baik) bahwa F adalah medan jika dan hanya jika

(i) (F, +) grup komutatif

1. Operasi + bersifat asosiatif dan komutatif. 2. Terdapat elemen identitas 0.

3. Setiap elemen a mempunyai invers −a. (ii) (F#, ⋅) dengan F#=F− {0} grup komutatif

1. Operasi ⋅ bersifat asosiatif dan komutatif. 2. Terdapat elemen satuan 1F.

3. Setiap elemen u mempunyai invers u−1. (iii) Kombinasi operasi + dan ⋅ bersifat distributif.

Contoh 2.3.2.

Gelanggang-gelanggang Q, R, dan C semuanya adalah medan. Tetapi gelanggang Z

bukan medan sebab unit-unit dalam Z hanyalah −1 dan 1.

Definisi 2.3.8.

(37)

Definisi 2.3.9.

Gelanggang komutatif D dengan elemen satuan disebut daerah integral jika dan hanya jika D tidak memuat pembagi nol (berarti jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0 untuk setiap a, bD).

Contoh 2.3.3.

Gelanggang komutatif Z merupakan gelanggang dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol, sehingga Z adalah daerah integral. Juga gelanggang-gelanggang

Q, R, dan C semuanya adalah daerah integral.

Definisi 2.3.10.

Misalkan a, b, c dalam gelanggang R dengan a ≠ 0. Hukum kanselasi multiplikatif

(disingkat kanselasi) dikatakan berlaku dalam R yaitu jika ab = ac, maka b = c, demikian pula jika ba=ca, maka b=c.

Teorema 2.3.5.

Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah daerah integral jika dan hanya jika dalam R berlaku kanselasi.

BUKTI.

(38)

persamaan ab = 0 = a ⋅ 0 mengakibatkan b = 0, karena diasumsikan dalam R

berlaku kanselasi. Jadi R adalah daerah integral. ■

Sudah dibuktikan bahwa dalam daerah integral berlaku kanselasi. Berikutnya akan dibuktikan bahwa dalam medan juga berlaku kanselasi sehingga setiap medan adalah daerah integral.

Teorema 2.3.6.

Setiap medan F adalah daerah integral.

BUKTI.

Ambil sembarang a, b, cF. Dari Definisi 2.3.7, a≠ 0 mempunyai invers multiplikatif

a−1. Berarti jika ab =ac, maka b= c. Maka dari Definisi 2.3.10 dan Teorema 2.3.5,

F adalah daerah integral. ■

Teorema 2.3.7.

Jika D daerah integral, maka D berkarakteristik prima atau 0.

BUKTI.

(39)

4 Ini menunjukkan bahwa D berkarakteristik s atau t. Terdapat suatu kontradiksi dengan

D berkarakteristik n. Jadi haruslah n prima.

2.4. Bilangan Bulat Modulo n

Hanya ada dua metode standar untuk mengonstruksikan medan, yaitu medan hasil bagi daerah integral (misalnya, medan semua bilangan rasional adalah medan yang dikonstruksi dari daerah integral semua bilangan bulat) dan bilangan bulat modulo prima p (nanti akan ditunjukkan bahwa terdapat medan berhingga berorder p). Medan hasil bagi daerah integral, yaitu medan semua anggotanya direpresentasikan sebagai hasil bagi anggota-anggota dari daerah integral, khusus untuk mengkonstruksi medan takhingga. Karena tulisan ini akan membahas medan Galois (medan berhingga), maka kita akan akrab dengan bilangan bulat modulo p dalam mengoperasikan elemen-elemen dari medan Galois.

Definisi 2.4.1.

Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Bilangan-bilangan bulat a dan b dikatakan

kongruenmodulon (ditulis ab mod n) jika dan hanya jika ab=kn, k Z.

Teorema 2.4.1.

(40)

Akan dibuktikan relasi kongruensi modulo n bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Ambil sembarang bilangan-bilangan bulat u, v, w.

Karena uu= 0 = 0n, maka uu mod n. Jadi relasi bersifat refleksif. Jika uv mod n, maka uv= kn, kZ, sehingga vu = −kn, −kZ. Maka vu mod n. Jadi relasi bersifat simetris. Jika uv mod n dan vw mod n, maka uv= rn dan vw = sn

untuk r, sZ. Ini berarti (uv) + (vw) =rn + snuw= (r + s)n, r+ sZ, sehingga uw mod n. Jadi relasi bersifat transitif. ■

Kelas-kelas ekivalensi dari relasi kongruensi modulo n disebut kelas kongruensi modn. Kelas kongruensi mod n yang memuat suatu aZ adalah

[a] = {bZ : ba mod n} = {bZ : ba=kn untuk suatu kZ}.

Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga a =qn+r dengan 0 ≤r<n. Ini menunjukkan bahwa

ar mod n dan [a] = [r]. Maka bilangan bulat a kongruen modulo n dengan tepat salah satu bilangan bulat 0, 1, 2, …, n − 1. Misalkan juga [a] = [s] dengan 0 ≤s<n, maka [r]

= [s], sehingga rs=kn. Karena 0 ≤rs<n, maka haruslah rs= 0, yaitu r=s. Jadi jika rs, maka [r] ≠ [s], artinya kelas-kelas kongruensi [0], [1], [2], …, [n − 1] saling berbeda. Misalkan Zn menyatakan himpunan kelas-kelas kongruensi mod n, maka

Zn = {[0], [1], [2], …, [n− 1]}

(41)

Contoh 2.4.1.

Untuk n= 3, maka terdapat 3 kelas kongruensi mod 3, yaitu [0] = [−9] = [30] = [18] = {…, −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, …} ⊆Z

[1] = [−2] = [−8] = [28] = {…, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, …} ⊆Z

[2] = [11] = [47] = [−1] = {…, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, …} ⊆Z

sehingga Z3 = {[0], [1], [2]}.

Teorema 2.4.2.

Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka Zn adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan

[a] + [b] = [a+b] dan [a] ⋅ [b] = [ab] untuk setiap [a], [b] ∈Zn.

BUKTI.

Ditunjukkan dahulu kedua operasi terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang [a1], [a2], [b1], [b2] ∈Zn dengan [a1] = [a2] dan [b1] = [b2]. Akan ditunjukkan [a1+b1] = [a2+b2] dan [a1b1] = [a2b2]. Karena [a1] = [a2] dan [b1] = [b2], maka

a1 =a2 +sn dan b1 =b2 +tn untuk suatu s, tZ.

Sekarang, a1 +b1 =a2 +s n+b2 +tn=a2 +b2 + (s+t)n=a2 +b2 +un, uZ, sehingga (a1+b1) ≡ (a2+b2) mod n, yaitu [a1+b1] = [a2+b2].

Kemudian, a1b1 = (a2 +sn) (b2 + tn) = (a2b2) + (a2tn) + (b2sn) + (tnsn) = (a2b2) + (a2t+

(42)

bahwa ([a] + [b]) + [c] = [a+b] + [c] = [a+b+c] = [a] + ([b] + [c]) dan ([a] ⋅ [b]) ⋅ [c]

= [ab] ⋅ [c] = [abc] = [a] ⋅ ([b] ⋅ [c]). Berarti kedua operasi bersifat asosiatif. Kedua operasi bersifat komutatif, yaitu [a] + [b] = [a +b] = [b +a] = [a] + [b] dan [a] ⋅ [b] = [ab] = [ba] = [b] ⋅ [a]. Kombinasi kedua operasi bersifat distributif, yaitu ([a] + [b]) ⋅ [c]

= [a +b] ⋅ [c] = [(a+b)c] = [ac+bc] = [ac] + [bc] = ([a] ⋅ [c]) + ([b] ⋅ [c]) dan [c] ⋅ ([a]

+ [b]) = [c] ⋅ [a + b] = [c(a + b)] = [ca+ cb] = [ca] + [cb] = ([c] ⋅ [a]) + ([c] ⋅ [b]). Elemen identitas adalah [0] sebab [a] + [0] = [a+ 0] = [a]. Invers aditif dari [a] adalah [−a] sebab [−a] = [0] + [−a] = [n] + [−a] = [na] sehingga [a] + [−a] = [a] + [na] = [n] = [0]. Elemen satuan adalah [1] sebab [a] ⋅ [1] = [a1] = [a].

Terbukti Zn adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Di atas sudah dibuktikan bahwa Zn gelanggang. Gelanggang Z6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} bukan medan sebab [2] dan [3] adalah pembagi nol, yaitu [2] ⋅ [3] = [0]. Mudah dipahami bahwa Z2, Z3, Z5, Z7 tidak mempunyai pembagi nol. Secara umum, teorema berikut membuktikan bahwa Zn adalah medan untuk setiap bilangan prima n.

Teorema 2.4.3.

Zn adalah medan jika dan hanya jika n prima.

BUKTI.

(43)

Padahal [s] ≠ [0] dan [t] ≠ [0], berarti [s] dan [t] adalah pembagi nol dalam Zn. Kontradiksi dengan Zn medan. Jadi haruslah n prima.

( ⇐ ) Ambil sembarang [a] ≠ [0] dalam Zn dan n prima. Akan ditunjukkan bahwa [a] mempunyai invers multiplikatif. Karena n prima dan n bukan faktor dari a, maka faktor persekutuan terbesar dari n dan a adalah 1. Sehingga dari sifat bilangan bulat, 1 adalah kombinasi linear dari n dan a. Jadi terdapat bilangan bulat r dan s

sedemikian sehingga 1 =ra+sn. Berarti 1 ≡ra mod n. Jadi pada bilangan bulat modulo prima n, [1] = [ra] = [r] ⋅ [a]. Jadi jika n prima, maka [a] ≠ [0] dalam Zn mempunyai invers multiplikatif [r], sehingga Zn medan.

2.5. Ideal dan Teorema Isomorfisma

Untuk mengkonstruksi medan nantinya, diperlukan suatu subgelanggang khusus (menjadi salah satu kunci dari tujuan yang hendak dicapai) yang dinamakan ideal.

Definisi 2.5.1.

Misalkan R adalah gelanggang. Subgelanggang I dari R disebut ideal jika dan hanya jika

raI dan arI untuk ∀aI, ∀rR.

Teorema 2.5.1 (Uji Ideal).

Misalkan R gelanggang dan IR. Maka I ideal dalam R jika dan hanya jika (i) I≠∅,

(ii) (∀a1, a2 ∈I) a1 + (−a2) ∈I,

(44)

( ⇒ ) Definisi 2.5.1.

( ⇐ ) Ambil sembarang a, bI. Maka a + (−a) = 0 sebab R gelanggang dan IR. Berarti dari (ii), 0 ∈I, sehingga I≠∅. Karena 0 ∈I, maka dari (ii), 0 + (−a) =

aI. Dan a + (−(−b)) = a + bI. Kemudian dari (iii), abI. Menurut Teorema 2.3.2, I subgelanggang dari R. Dari (iii), I ideal dalam R. ■

Teorema 2.5.2.

Jika R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, maka (a) = {ra : rR} ideal dalam R, untuk ∀aR.

BUKTI.

Karena 1R ∈R dan a= 1R ⋅a, maka a ∈ (a), sehingga (a) ≠∅. Jika r1 ⋅a, r2 ⋅a ∈ (a), maka (r1 ⋅ a) + (−(r2 ⋅ a)) = (r1 + (−r2)) ⋅ a ∈ (a) untuk suatu r1, r2 ∈ R. Jika diambil sembarang rR, maka r⋅ (r1⋅ a) = (rr1) ⋅a ∈ (a) dan (r1⋅ a) ⋅ r= (r1⋅r) ⋅ a ∈ (a) sebab R gelanggang komutatif. Menurut Teorema 2.5.1, (a) ideal dalam R.

Definisi 2.5.2.

Ideal (a) = {ar : rR} dari gelanggang komutatif R dengan elemen satuan disebut

ideal utama yang dihasilkan oleh aR.

Contoh 2.5.1.

(45)

Teorema 2.5.3.

Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah medan jika dan hanya jika ideal dalam R hanyalah {0} dan R.

BUKTI.

( ⇒ ) Jelas R mempunyai ideal trivial {0}. Misalkan I ideal taktrivial dalam R. Akan ditunjukkan I= R. Pilih a ≠ 0 ∈ I. Karena diasumsikan R medan, maka untuk setiap xR, x= a ⋅ (a−1 ⋅ x) ∈ I, sehingga RI. Karena IR, maka I = R. Terbukti ideal dalam R hanyalah {0} dan R.

( ⇐ ) Ambil sembarang a ≠ 0 dalam R. Akan ditunjukkan bahwa a mempunyai invers multiplikatif. Menurut Teorema 2.5.2, (a) ideal dalam R. Karena a ∈ (a), maka (a) ≠ {0}. Karena diasumsikan ideal dalam R hanya {0} dan R, maka (a) = R, sehingga 1R ∈ (a), yaitu 1R =ab. Jadi ∃bR sedemikian sehingga ab= 1R.

Terbukti R medan. ■

Definisi 2.5.3.

Jika R gelanggang komutatif, maka ideal I dalam R disebut idealprima jika dan hanya jika IR dan jika abI, maka aI atau bI, untuk ∀a, bR.

Definisi 2.5.4.

(46)

komutatif R, sehingga dapat dibentuk grup faktor R I dengan operasi penjumlahan dan bersifat komutatif (Lema 2.2.14). Elemen-elemen dalam R I adalah koset-koset kanan dari I dalam R yang berbentuk I+ r dengan rR. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa R I adalah gelanggang. Seperti halnya grup faktor, maka syarat supaya R I

gelanggang adalah I ideal dalam R. Dengan perkataan lain, jika I ideal dalam R, maka

I

R gelanggang.

Teorema 2.5.4.

Jika R gelanggang dan I ideal dalam R, maka R I = {I+ r : rR} adalah gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan

(I+a) + (I+b) = I+ (a+b) (I+a) ⋅ (I+b) = I+ (ab) untuk setiap I+a, I+bR I.

BUKTI.

Sudah ditunjukkan R I grup komutatif terhadap operasi +. Tinggal ditunjukkan operasi

⋅ bersifat tertutup dan asosiatif, dan berlaku hukum distributif. Ditunjukkan dahulu operasi ⋅ pada R I terdefinisi dengan baik, yaitu jika I+a1 =I+ a2 dan I+b1 =I+b2, maka I+ (a1 ⋅b1) =I+ (a2 ⋅b2). Jika I+a1 =I+a2 dan I+b1 =I+b2, maka a1 =n1 +a2 dan b1 =n2 +b2 untuk suatu n1, n2 ∈I. Sekarang, a1 ⋅b1 = (n1 +a2) ⋅ (n2 +b2) = (n1 ⋅n2)

(47)

Maka (a1 ⋅b1) + (−(a2 ⋅b2)) = n3 ∈I sebab I ideal. Karena R grup aditif, maka menurut Lema 2.2.9, I+ (a1 ⋅b1) =I+ (a2 ⋅b2). Ambil sembarang I+a, I+b, I+cR I. Jelas di sini operasi ⋅ pada R I bersifat tertutup. Dan operasi ⋅ pada R I bersifat asosiatif, yaitu ((I+a) ⋅ (I+b)) ⋅ (I+c) = (I+ (ab)) ⋅ (I+c) =I+ ((ab) ⋅c) =I+ (a⋅ (bc)) = (I+a) ⋅ (I+ (bc)) = (I+a) ⋅ ((I+b) ⋅ (I+c)). Selanjutnya, ((I+a) + (I+b)) ⋅ (I+c) = (I+ (a +b)) ⋅ (I+c) =I+ ((a+b) ⋅c) =I+ ((ac) + (bc)) = (I+ (ac)) + (I+ (bc))

= ((I+a) ⋅ (I+c)) + ((I+b) ⋅ (I+c)). Secara analog, maka (I+c) ⋅ ((I+a) + (I+b)) = ((I+c) ⋅ (I+a)) + ((I+c) ⋅ (I+b)), sehingga dalam R I berlaku hukum distributif. ■

Definisi 2.5.5.

Gelanggang R I = {I+r : rR} disebut gelanggangfaktor.

Lema 2.5.5.

Jika R gelanggang komutatif dan I ideal dalam R, maka R I komutatif.

BUKTI.

Ambil sembarang I+r1, I+r2∈ R I untuk suatu r1, r2∈R. Didapat (I+r1) ⋅ (I+r2) =

I+ (r1 ⋅r2) =I+ (r2 ⋅r1) = (I+r2) ⋅ (I+r1). Jadi R I komutatif. ■

Teorema 2.5.6.

(48)

( ⇒ ) Ambil sembarang M + aR M dengan M + aM + 0. Maka aM. Kemudian ditunjukkan bahwa M + a mempunyai invers multiplikatif. Misalkan

N= {(ra) +m : rR dan mM}. Akan dibuktikan bahwa N ideal dalam R. Karena 0 = 0 ⋅a+ 0 ∈N, maka N≠∅. Jika (r1 ⋅a) +m1, (r2 ⋅a) +m2 ∈N, maka ((r1 ⋅ a) + m1) + (−((r2 ⋅a) + m2)) = ((r1 + (−r2)) ⋅a) + (m1 + (−m2)) ∈ N untuk suatu r1, r2 ∈R dan m1, m2 ∈M. Untuk sembarang rR, maka r⋅ ((r1 ⋅a) +m1)

= ((rr1) ⋅ a) + (rm1) ∈N. Dan karena R komutatif, maka ((r1 ⋅a) + m1) ⋅r=

((r1 ⋅ r) ⋅ a) + (m1 ⋅ r) ∈ N. Jadi N ideal dalam R (Teorema 2.5.1). Perhatikan bahwa untuk ∀mM, (0 ⋅a) + m=mN. Lagipula aM tetapi (1R ⋅a) + 0 =

aN. Ini menunjukkan bahwa MN. Padahal M ideal maksimal dalam R, maka haruslah N=R. Jadi 1R ∈N, sehingga 1R = (ra) +m. Sekarang, M+ 1R =

M+ ((ra) +m) = (M+ (ra)) + (M+ m) =M+ (ra) = (M+r) ⋅ (M+a). Ini berarti ∃M + rR M sedemikian sehingga (M + r) ⋅ (M + a) = M + 1R. Terbukti R M medan.

( ⇐ ) Diasumsikan R M medan, akan ditunjukkan M ideal maksimal. Andaikan M

bukan ideal maksimal. Maka terdapat ideal N sedemikian sehingga MNR. Jelas M ideal dalam N, sehingga dapat dibentuk gelanggang faktor N M. Akan dibuktikan N M ideal dalam R M . Jika M+ nN M dengan nN, maka sembarang M+rR M dengan rR, (M+r) ⋅ (M+n) =M+ (rn) ∈ N M

sebab N ideal dalam R. Juga (M+n) ⋅ (M+r) ∈ N M. Jadi N M ideal dalam

M

(49)

2.5.3, medan R M hanya memuat ideal-ideal {M+ 0} dan R M . Timbul suatu

kontradiksi. Jadi haruslah M ideal maksimal.

Teorema 2.5.7.

Ideal sejati I dalam gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah ideal prima jika dan hanya jika R I daerah integral.

BUKTI.

( ⇒ ) Sudah dibuktikan bahwa jika I ideal dalam R, maka R I gelanggang komutatif. Akan ditunjukkan bahwa jika I ideal prima, maka R I daerah integral. Ambil sembarang I+ a, I+bR I. Jika (I+ a) ⋅ (I +b) =I+ (ab) = I+ 0, maka haruslah abI. Karena I ideal prima, maka aI atau bI. Ini menunjukkan

I+a=I+ 0 atau I+b=I+ 0. Terbukti R I daerah integral.

( ⇐ ) Ambil sembarang r1, r2 ∈ R. Jika r1 ⋅ r2 ∈I, maka I+ (r1 ⋅ r2) = I+ 0. Karena

I

R adalah daerah integral, maka jika I + (r1 ⋅ r2) = (I + r1) ⋅ (I + r2) = I+ 0, haruslah I+r1 =I+ 0 atau I+r2 =I+ 0. Ini berarti r1 ∈I atau r2 ∈I.

Terbukti I ideal prima. ■

Teorema 2.5.8.

(50)

Jika I ideal maksimal dalam R, maka IR. Dari Teorema 2.5.6, R I medan. Karena medan adalah daerah integral, maka dari Teorema 2.5.7, I ideal prima. ■

Berikutnya didefinisikan pemetaan gelanggang yang merupakan homomorfisma.

Definisi 2.5.6.

Misalkan R dan S adalah gelanggang-gelanggang. Maka pemetaan θ : RS disebut

homomorfisma gelanggang jika dan hanya jika

θ(a+b) =θ(a) +θ(b) dan θ(ab) =θ(a) ⋅θ(b) untuk setiap a, bR.

Contoh 2.5.2.

Didefinisikan θ : ZZndengan aturan θ(a) = [a] untuk setiap aZ. Maka θ adalah pemetaan dari Z ke Zn. Sekarang, θ(a + b) = [a + b] = [a] + [b] = θ(a) + θ(b). Kemudian, θ(ab) = [ab] = [a] ⋅ [b] = θ(a) ⋅ θ(b). Maka pemetaan θ : ZZn adalah homomorfisma gelanggang.

Definisi 2.5.7.

Misalkan θ : RS homomorfisma gelanggang. Maka kernelθ (ditulis Ker(θ)) adalah himpunan elemen-elemen rR sedemikian sehingga θ(r) = 0S. Sedangkan image θ (bayangan homomorfisma dan ditulis Im(θ)) adalah himpunan elemen-elemen sS

(51)

Proposisi 2.5.9.

Jika R, S adalah gelanggang-gelanggang dan θ : RS homomorfisma, maka (i) θ(0R) = 0S dan θ(−r) =−θ(r) untuk ∀rR.

(ii) Ker(θ) = {rR : θ(r) = 0S} ideal dalam R.

(iii) Im(θ) = {sS : s=θ(r), rR} subgelanggang dari S. (iv) θ injektif jika dan hanya jika Ker(θ) = {0R}.

BUKTI.

(i) Karena θ homomorfisma, maka θ(0R) + θ(0R) = θ(0R + 0R) = θ(0R) = θ(0R) + 0S. Dengan kanselasi aditif, maka θ(0R) = 0S. Kemudian untuk sembarang rR, maka

θ(−r) + θ(r) = θ(−r+ r) =θ(0R) = 0S =−θ(r) + θ(r) sebab S gelanggang. Dengan kanselasi aditif, maka θ(−r) =−θ(r).

(ii) Ker(θ) ≠∅ sebab 0R ∈ Ker(θ). Ambil sembarang a, b ∈ Ker(θ). Maka θ(a) = 0S dan θ(b) = 0S, sehingga θ(a+ (−b)) =θ(a) +θ(−b) = θ(a) + (−θ(b)) = 0S + 0S = 0S. Ini berarti a + (−b) ∈ Ker(θ). Kemudian jika rR, maka θ(ra) = θ(r) ⋅θ(a) =

θ(r) ⋅ 0S= 0S dan θ(ar) =θ(a) ⋅θ(r) = 0S⋅θ(r) = 0S, sehingga ra ∈ Ker(θ) dan

ar∈ Ker(θ). Menurut Teorema 2.5.1, Ker(θ) ideal dalam R.

(iii) Jelas Im(θ) ≠ ∅ sebab 0S ∈ Im(θ) menurut (i). Ambil sembarang s1, s2 ∈ Im(θ) sedemikian sehingga s1 =θ(r1) dan s2 =θ(r2), untuk suatu r1, r2 ∈R. Maka s1 + s2

=θ(r1) + θ(r2) = θ(r1 + r2) ∈ Im(θ) dan s1 ⋅ s2 = θ(r1) ⋅ θ(r2) = θ(r1 ⋅ r2) ∈ Im(θ) sebab θ homomorfisma dan R gelanggang. Selanjutnya menurut (i), −s1 =−θ(r1) =

(52)

sehingga Ker(θ) = {0R}.

( ⇐ ) Ambil sembarang r1, r2 ∈R sedemikian sehingga θ(r1) = θ(r2). Maka 0S =

θ(r1) + (−θ(r2)) = θ(r1) + θ(−r2) = θ(r1+ (−r2)). Jadi r1 + (−r2) ∈ Ker(θ). Padahal Ker(θ) = {0R}, ini berarti haruslah r1 + (−r2) = 0R, yaitu r1 = r2.

Terbukti θ injektif. ■

Pada Proposisi 2.5.9 telah dibuktikan bahwa jika θ : RS homomorfisma gelanggang, maka Im(θ) subgelanggang dari S, dan Ker(θ) ideal dalam R. Selanjutnya teorema berikut membuktikan bahwa jika I ideal dalam gelanggang R, maka terdapat suatu pemetaan α : RR I yang merupakan homomorfisma surjektif sedemikian sehingga Ker(α) =I. Pemetaan ini disebut homomorfisma kanonik.

Teorema 2.5.10.

Misalkan R gelanggang dan I ideal dalam R. Maka pemetaan α : RR I dengan aturan α(r) =I+r untuk setiap rR, adalah homomorfisma surjektif dan Ker(α) =I.

BUKTI.

Ditunjukkan dahulu pemetaan terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang r1, r2 ∈ R

sedemikian sehingga r1 = r2. Akan ditunjukkan α(r1) = α(r2). Karena r1 ∈I+ r1, maka

Gambar

Tabel 3.1. Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian untuk medan Z2(α)
Tabel 3 1 Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian untuk medan Z2 . View in document p.105

Referensi

Memperbarui...

Download now (122 pages)
Related subjects : tindakan tidak aman