mekanika dan bahan dan 1

 2  9  460  2018-10-09 12:01:10 Laporkan dokumen yang dilanggar

GEFIE & TIMDSHENKD

  (Pembaca dapat menemukan biografi ringkas dari Timoshenko di dalam rnjukan pertama di bagianbelakang buku ini.) Penulis menyadari bahwa untuk menyampaikan penghargaan kepadasemua orang yang berkontribusi dalam penyusunan buku ini adalah sesuatu yang tidak mungkin. Penulis secara khusus berterima kasih pada Mary Thomas Stone, yang merupakan penyunting untuk bukuini dan memberikan komentar, pandangan, dan bantuan yang jauh melebihi yang penulis duga.

8 Delta

Rhozs SigmaH 1}Eta T r Taue () Thetay V Upsilon I Iota(/>cp PhiK K: Kappa X XChi A A-Lambda IJ' If/Psi M J1Mu Q Q) Omega ZetaLa

1 TARIK

  Bencta pactat yang ctitinjau ctalam buku inimeliputi batang (bars) ctengan beban aksial, poros (shafts) yang mengalami torsi, balok (beams) yang mengalami lentur, ctan kolom (columns) yangmengalami tekan. Apabila kita ctapat memperoleh besaran-besaran ini untuk semua harga beban hingga mencapai beban yang menyebabkan kegagalan, maka kitaakan ctapat mempunyai gambaran lengkap mengenai perilaku mekanis pacta struktur tersebut.

1 Tarik. Tekan. dan Geser

  Bagian pertamatercapai dengan mempelajari penurunan rumus, pembahasan dan contoh­ contoh yang ada di setiap bab sedangkan bagian kedua tercapai denganmemecahkan soal-soal di akhir setiap bab. l:trl Ci:drk1l ll'I ,LII):tl p.tdtr I�L'I I � Mekanika Bahan 3kekecualian adalah soal-soal yang melibatkan profil baja struktural yang umum diperdagangkan karena besaran dari profil ini ditabelkan dalamLampiran hanya dalam satuan USCS.

B. Selain memuat daftar prosedur rekayasa yang baik, Lampiran B juga

  Dengan perkataan lain, distribusi tegangan di dalam Gambar 1-2d terbagi rata pada jarak atau lebih besarddari ujung-ujungnya, dimana d adalah diameter batang dan distribusi tegangan di batang pendel (Gambar 1 -3) terbagi rata pada jarak b ataulebih besar dari ujung yang diperbesar, dengan b adalah lebar batang. Selanjutnya, kita samakan momen M, dan M, yang diperoleh dari gay a P (Persamaan a dan b) dengan m omen yang diperoleh dari teganganyang terdistribusi (Persamaan c dan d): Py= ay dA Px = dA I CJKarena tegangan terbagi rata, maka kita ketahui bahwa nilainya konstan di seluruh penampang A dan dapat diletakkan di luar tanda integrasi.

60 B ke

  1 - 1 2 Diagram tegangan­Gambarregan gan untuk baj a struktural Adanya titik lu1uh yang je1as yang diikuti dengan regangan plastis tipikal yang mengalami tarikmerupakan karakteristik penting dari baja struktural yang kadang-kadang (digambar berskala)digunakan dalam desain (lihat, sebagai contoh, pembahasan perilaku elastoplastis dalam Subbab 2. Apabila suatu bahan seperti aluminium tidak mempunyai titik luluh yang jelas dan mengalami reg imgan besar sesudah limit proporsionalGambar 1 -1 4 Tegangan luluharbiter metode t�{f­dilampaui, tegangan luluh dapat ditentukan dengansembarang yang ditentukan dengan set.metode offset Suatu garis lurus ditarik pada kurva tegangan-regangan yang sejajar 16Bab Persentase perpanjangan= · Lo B) akan sama dengan tegangan ulti 1 - 16)dilampaui.

4 E

  beban izin Dengan demikian, dalam keempat kasus di atas, (juga disebut beban yang diperbolehkan atau beban aman) sama dengan teganganizin dikalikan dengan luas di mana beban tersebut bekerja: =Beban izin (Tegangan izin) (Luas) ( 1 -28) Untuk batang yang mengalami tarik dan tekan langsung (tidak acta tekuk),persamaan di atas menjadi ( 1 -29) pizin = <Jizin A di mana adalah tegangan normal izin dan A adalah luas penampang <Yizin batang. : mendapatkan komponen vertikal RA v dari reaksi diRAV + Rev - 2,7 kN - 2,7 ki\ = 0Rev 3,060 kN = Dengan diketahuinya komponen vertikal dan horizontal dari reaksi di maka kita A, dapat menghitung reaksi itu sendiri:Karena kita akan mengabaikan berat sendiri batang AB, maka gaya reaksi ini sama dengan gaya tarik FA8 pada batang tersebut: 5,5 1 6 kNFAB = Gaya geserVc yang bekerja di sendi di C sama dengan reaksi Re (Gambar 1 -34a).

H. Jika pada tabel didapatkan suatu interval, ambillah

  ELASTISITAS DAN P LASTISITAS Sebuah batang bundar yang mempunyai 1 .4-1 Sebuah batang yang terbuat dari baja struktural panjang 3 m dan diameter 10 mm terbuat dari senyawa yang mempunyai kurva tegangan-regangan seperti terlihataluminium yang hubungan tegangan-regangannya dapat dalam gambar mempunyai panjang 4 ft. Tentukan tekanan tumpu p = Turunkan rumus untuk pertambahan volume AV pada batang prismatis yang mempunyai panjang L dantergantung secara vertikal akibat berat sendiri (W Beban vertikal P yang bekerja di roda sebuah 1 .6-3 Dua garis yang saling tegak lurus terdapat pacta suatu blok bahan.

X- X

  SekarangKunci tersebut setengahnya masuk di tuas dan pembaca harus membuat dua pengukuran: ( I ) panjangsetengahnya lagi di batang (jadi slot di sama dengan bllengan engkol (crank arm), dan (2) jari-jari roda rantai.(a) Dengan menggunakan dimensi ini, hitung1ah gaya tarik T di rantai akibat gaya 800 N yang diterapkan disatu pedal. Tegangan izinnya adalah sebagai berikut: tegangan tekan di gelagar: yang diizinkan jika faktor keamanan sebesar 3 terhadap kegagalan sendi digunakan?1 .7-7 Dua batang datar yang dibebani tarik oleh gaya P 40 mm, dan tegangan geser ultimate di sendi yang berdiameter 5 mm adalah 3 1 0MPa?

75 MPa, tegangan geser di sendi: 50 MPa, dan tegangan tumpu antara sendi dan plat penghubung: 120 MPa

  Tegangan tarik izin di potongan melintang neto dari 1 .8-1 0=Sebuah kolom baja dari penampang lingkaran batang (di sepanjang bidang ab dan cd) adalah a1 1 1 2= yang berlubang terletak pada p1at landasan baja lingkaran MPa, tegangan geser izin di sendi adalah r2 64 MPa, dan bantalan beton (lihat gambar). Perpanjangan pada suatu batang prismatis yang mengalami be ban 8 tarik Jika beban bekerja melalui pusat berat P terlihat dalam Gambar 2-5.penampang ujung, maka tegangan normal terbagi rata di penampang yang jauh dari ujung dapat dinyatakan dengan rumus = PIA, di mana A a adalah luas penampang.

2 E/emen Struktur yang Dibebani Secara Aksial

  Suatu struktur yang terlihat dalam Gambar 2-8a terdiri atas balok horizontal ABC yang ditumpu oleh dua batang vertikal BD dan 2Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial Dengan demikian, kita harus mencari perubahan panjang batang BD dan CE, dengan menggunakan persamaan umum Karena batang CE mempunyai sendi di kedua ujungnya, maka ini merupakan elemen "dua-gaya" dan hanya menyalurkan gaya vertikal FBDLBD := EABD= CE Perpendekan elemen BD adalah bekerja ke atas. Perpanjangan do pada elemen diferensial (Gambar 2- 1 lc) dapat dihitung dari persamaan o = PUEA dengan memasukkan N(x) untuk P, dx untuk dan A(x) L, untuk A, sebagai berikut:N(x)dx do = EA(x) Perpanj angan batang secara keseluruhan dapat dihitung dengan mengintegrasi persamaan di seluruh panjang:(2-6) Jika ekspresi untuk N(x) dan A(x) tidak begitu rumit, maka integrasi ini o dapat dilakukan secara analitis dan rumus untuk dapat diperoleh, seperti digambarkan dalam Contoh 2-4.

N;L;

  Namun, integrasi yang akan dilakukan akan sedikit lebih mudah kalau kita memilih titikawal koordinat dengan meneruskan sisi-sisi batang yang meruncing hingga bertemu di titik 0, seperti terlihat dalam Gambar 2- 13b.ke ujung A dan B mempunyai rasio Jarak LA dan L8 dari titik awal= LA dA (a) LBdB yang diperoleh dari segitiga sebangun dalam Gambar 2- 13b. Catatan 1 : Kesalahan yang umum terjadi adalah mengasumsikan bahwa perpanjangan suatu batang yang meruncing dapat ditentukan dengan menghitung perpanjangan batang prismatis yang mempunyai luas penampang sama denganluas penampang di potongan tengah batang yang meruncing tersebut.

d. Hasilnya adalah yang kita ketahui memang benar adanya

  Jika kita memisahkan batang tersebut dari tumpuannya (Gambar 2-1 6b), Gambar 2-15Batang statis tak ten tu kita dapatkan bahwa batang tersebut bebas di kedua ujungnya dan dibebani B (a) (b)Gambar 2-1 6 Selanjutnya, perubahan panjang segmen atas dan bawah batang masing-masing adalahD - RAa Ae - EA Juga, kita dapat memperoleh tegangan di kedua segmen batang secara langsung dari gaya aksial internal (misalnya<YAe = RA/A = PhiAL). Hubungan antara gaya-gaya yang bekerja di batang dan perubahan panjang dikenal dengan Untuk memecahkan Persamaan (a) dan (b), kita harus menyatakan persamaan keserasian dalam gaya yang belum diketahuiRA dan R8.

45 GPa, diameter d2 3,0 mm, dan panjang L2 0,30 m. Tegangan izin di

  Di dalam diagram ini T1 dan T2 adalah gaya tarik yang belum diketahui pada kawat-kawat dan RH dan Rv adalah komponenreaksi dalam arah masing-masing horizontal dan vertikal di tumpuan. Sekarang kita pecahkan persamaan keseimbangan dankeserasian (Persamaan a dan untuk mendapatkan reaksi f) RA dan RB: (2- 1 5)Dari hasil-hasil ini kita peroleh tegangan termal pada batang: a7 (2-16) Catatan 1 : Di dalam contoh ini, reaksi tidak bergantung pada panjang batangdan tegangan tidak bergantung pada panjang dan Iuas penampang (Iihat Persamaan 2- 15 dan 2-16).

2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksia/

  Susunan selongsong dan baut dengan peningkatan temperaturseragam berapakah tegangan llT, diletakkan di sekeliling sebuah baut dan dan terletak di antara plat-plat antara di setiapujungnya (Gambar 2-25a). Gaya-gaya ini terlihat dalam Gambar 2-25c, di mana Ps menunjukkan gaya tekan di selongsong dan P menunjukkan gaya tarik di baut.

E,A

  Dengan memasukkan harga-harga ab dan Eb ke dalam Persamaan (2-17), (2-18a) dan (2-19), kita dapatkan 0 = 0Hasil-hasil ini cocok dengan yang ada di Contoh 2-8 yang meninjau suatu batang yang ditahan oleh tumpuan kaku di kedua ujungnya (bandingkan Persamaan 2-1 5dan 2-16, dan dengan Persamaan b). Tegangan di muka sebaliknya cd adalah sama dengan yang ada di muka ab, beUntuk muka kita masukkan (J = 25° - 90° = -65° ke dalam Persamaan (2-23a dan b) dan mendapatkan= =a9 -13,4 1:9 -28,7 MPa MPa Tegangan-tegangan yang sama ini juga berlaku di muka sebaliknya, ad, sebagaimana dapat diverifikasi dengan memasukkan (J = 25° 90° = 1 15° ke Keadaan tegangan secara lengkap ditunjukkan dengan elemen tegangan dalam Gambar 2-35c.

2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial

  Ini dapat dihitung dengan memasukkan limit proporsional aP1 ke dalam Persamaan(2-38a): 2= O"pl (2-39) u r 2E =30.000 psi dan Sebagai contoh, bahan baja lunak yang mempunyai aP1 = = x E 30 1 06 psi mempunyai modulus resiliensi 15 psi (atau 1 03 kPa).ur Catat bahwa modulus resiliensi sama dengan luas di bawah kurva tegangan­ regangan sampai limit proporsional. Sejum1ah kerja yang sama yang diberikan pada ketiga batang akan menghasilkan tegangan yang terbesar pada batang yang ketiga karena batang ketigamempunyai kapasitas serap energi yang paling sedikit.

2 E/emen Struktur yang Dibebani Secara Aksial

  L1= Peralihan rangka batang yang me­ mikul beban tunggal P Mekanika Bahan 1 1 1Solusi Karena hanya ada satu beban yang beketja pada rangka batang ini, maka kita dapat mencari peralihan yang berkaitan dengan beban tersebut dengan menyamakanketja yang dilakukan beban tersebut dengan energi regangan pada batang-batang. Dari keseimbangan gaya yang beketja pada jointB kita lihat bahwa gaya aksial F di masing-masing batang adalah F = 2 cos f3(p) Juga, dari geometri rangka batang kita lihat bahwa panjang setiap batang adalah H!cos {3, di mana H adalah tinggi rangka batang dan f3 adalah sudut yang ditunjukkan dalam gambar.

EA EA EA

  Perpanjangan maksimum untuk kondisi ini diperoleh dari Persamaan sama dengan nol;(2-46) dengan menetapkanhjadi, (2-54) Dari persamaan ini kita lihat bahwa beban yang diterapkan tiba-tibamenyebabkan perpanjangan dua kali lebih besar dibandingkan perpanjangan yang disebabkan oleh beban yang sama yang diterapkan secara statik. (b) Tegangan maksimum yang dihasilkan oleh jatuhnya benda diperoleh dari Persamaan (2-48) sebagai berikut:E8maks = (210 GPa)(1,79 mm) = = a 1 88 MPa ..maks L 2,0 mmTegangan ini dapat dibandingkan dengan tegangan statik, yaitu " wrn/ Mg= (20 kg)(9,81 s2)a = = = 1,1 1 MPaA A (n/4)(15 mm)2 , = 1 6 Rasio terhadap adalah 188/1, 1 1 9 yang merupakan faktor kejut yang amaks a,1 sama dengan untuk perpanjangan.

Bab 2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial

  Dalam hal ini peralihan statik adalah perpendekan batang akibat beratblok yang diterapkan sebagai beban tekan di batangJadi, faktor kejut adalah 8 = WL = MgL '' Faktor kejut = 8maks = EAv2 8,,Mg2L (2-57) (2-58) .. Beban kejut pada batang horizontal Batang horizontal AB yang panjangnya L ditumbuk di ujung bebasnya oleh blok berat yang massanya M yang bergerak dalam arah horizontal dengan kecepatan v(Gambar 2-5 1).

EA EA

  Mekanika Bahan 1 1 9 Sebuah elevator yang beratnya W dipikul oleh kabel yang tergulung pacta drum yang berputar (Gambar 2-52). (Misalkan adalah rigiditas aksial kabel dan L adalah panjang kabel yang diekspos pacta saat drum terkunci.) Solusiuntuk kabel Analisis kabel dan elevator sangat berbeda dengan semua analisis yang disebutkan di atas karena kita tidak dapat secara benar mengasumsikan bahwa kabel tidakbertegangan sebelum drum terkunci.

81 Misalkan adalah jarak tempuh elevator ke bawah sesudah drum terkunci. Jarak

  Selanjutnya, tinjau sistem beban yang berbeda tetapi ekivalen secara statis, yang bekerja pada daerah kecil yang sama dari batang ("Ekivalen secara statis" berarti bahwa kedua sistem gaya mempunyai resultan gaya yang sama dan resultan momen yang sama.) Sebagai contoh,beban yang terdistribusi secara merata yang terlihat dalam Gambar 2-58b ekivalen secara statis dengan sistem beban terpusat yang terlihat dalamGambar 2-58a. Ten tu saja, "prinsip" ini bukan merupakan hukummekanika yang teliti melainkan pengamatan yang didasarkan common-sense Gambar 2-58 Ilustrasi prinsipSaint-Venant: (a) sistem beban tepusat yang bekerja pada daerahkecil di suatu batang, dan (b) sistem yang ekivalen secara statik (a) (b)Prinsip Saint-Venant mempunyai sang at ban yak arti penting yang praktis di dalam desain dan analisis batang, balok, dan struktur lain yangumum dijumpai dalam mekanika bahan.

2 E/emen Struktur yang Dibebani Secara Aksiaf

  Jika regangan di seluruh panjang batang seragam, sebagaimana yang terjadi pacta batang prismatis dengan gaya aksial konstan, integrasiPersamaan (2-65) menghasilkan perubahan panjangeL (2-66) = yang sesuai dengan Persamaan 1 -2 dalam Subbab 1 .2. seperti terlihat dalam Gambar Bahan batang ini adalah paduan aluminium A yang mempunyai kurva tegangan-regangan nonlinier yang mengikuti persamaanRamberg-Osgood (Persamaan 2-69): l a a1 t:X ( )w a di mana mempunyai satuan psi.

P/A

  + • 21 32 Bab Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial Ketiga harga yang dihitung menggambarkan prinsip penting mengenai struktur OBPada struktur nonlinier, yang terbuat dari bahan yang berperilaku tidak linier.peralihan yang dihasilkan oleh dua (atau lebih) beban yang bekerja secara simultan tidak sama dengan jumlah dari peralihan yang dihasilkan oleh masing-masingbeban yang bekerja secara terpisah. AB Dari keseimbangan batang kita peroleh P (kN) persamaan berikut: =F 1 b F b b = ( ) i2 ) - Q(3 ) a tau F1 + 2F2 3Q 60 kN (a)Gaya-gaya F1 dan F2 adalah anu di dalam persamaan ini (perhatikan bahwa gaya­ gaya dinyatakan dalam satuan kN).

AB A

  Hasilnya adalah persamaan berikut yang mengandung 3 1 ,90 mm oB = 301 = 47,85 mmJuga, gaya tarik F1 dan F2 di kabel dihitung dari Persamaan (d) dan (e): F; =1'381 = 1 4,66 kNl + 0,02681 F - 1,382 2 - 1 + 0,02682Jadi, semua besaran didapatkan dan analisisnya telah selesai. Mu1a-mula, kita masukkan F 1 dan F2 dariPersamaan (d) dan (e) ke dalam Persamaan (a), mendapatkan persamaan dengan 01 dan 02 134 8ab 2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial ANALISIS ELASTOPLASTIS I Di dalam subbab sebelum ini kita telah membahas perilaku struktur apabilategangan di bahan melebihi limit proporsional.

Bab 2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial

  peralihan ke bawah di setiap titik di sepanjang balok sebanding dengan jaraknya A.dari titik Jadi, persamaan keserasian adalah (h) 82 81 dimana adalah perpanjangan batang 2 dan adalah perpanjangan batang l . (a) Jika beban P kecil dan tegangan-tegangan pada bahan berada dalam daerah elastis linier, hubungan antara gaya-peralihankedua batang adalah = F2L 8 - F.,L8 (i) I - 2 EA EA Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di atas dengan kondisi keserasian(Persamaan h), maka FzL F.,L = 2 atau= 2F., (j) F2 EA EA Sekarang dengan memasukkannya ke persamaan keseimbangan (Persamaan g), kita dapatkan_ 3 P F, F.

2. Harga-harga ini juga ditunjukkan dalam diagram beban-peralihan

  ke plastis sebagian dari ke dan plastis penuh dari ke SOAL-SOAL BAB 2 I Lembar PERUBAHAN PANJANG PADA 2.2-1 Sebuah kawat baja dan kawat tembaga mem­ Ke ia� ELEMEN STRUKTUR VANG DIBEBANI punyai panjang sama dan memikul beban sama P (lihat Mekanika Bahan 1 39= x = x masing-masing adalah Es 29 1 06 psi dan Ec 1 8 ton, berapakah faktor keamanan terhadap kegaga1an106. (a) Jika kedua kawat mempunyai diameter sama, kabel? 2.2-3Sebuah kabel baja dengan diameter 1 ,0 in (lihat Tabel 2- 1 ) digunakan dalam konstruksi untuk mengangkat potongan jembatan yang beratnya 12 ton,seperti terlihat dalam gambar.

Bab 2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksia/

  Jarak 400 200 = antara pegas adalah L 350 mm, dan pegas di kanan = digantung pada tumpuan yang berjarak h80 mm di x bawah titik tumpuan untuk pegas kiri. Pada= jarak P berapakah dari pegas kiri beban 1 8 !\ harus di­ letakkan agar batang ini terletak horizontal·?/� Batanghtembaga 2.2-10 Rangka batang ABC yang terlihat dalam gambar = mempunyai bentang L3 m dan terbuat dari pipa baja = : ang mempunyai luas penampang A 3540 mm2 dan = modulus P elastisitas E 200 GPa.

75 GPa

  Dengan menga'>umsikan bahwa kedua bagian 2.2-13 dari Balok kaku horizontal ABCD dipikul oleh batang batang vertikal ABC terbuat bahan yang sama, carilah1 = = vertikal BE dan CF dan dibebani oleh gaya vertikal P1 rumus untuk rasio P.; P sedemikian hingga peralihan (�� lOO k dan P2 90 k yang masing-masing bekerja di vertikal titik C akan no!. atakan hasilnya di dalam senaa, titik A dan D (lihat gambar). Pipa ini mempunyai panjang 1 2 ft, dan jarak a = = 2.2-1 4 b c = Sebuah plat setengah 1ingkaran ACBD yang antara titik-titik beban ada1ah 3 ft, dan 6 ft.= = = = = Bebannya adalah P1 4 k, P2 3 k, dan P3 3 k, dan beratnya W 500 N dan jari-jarinya R 1 ,0 m ditumpu2 di titik A, B, dan D oleh tiga kawat identik (lihat gambar).

88 Oc

  mana absisnya adalah jarak x dari tumpuan kiri dan ordi-2h T T h 1 1 Mekanika Bahan 1 47 hingga balok akan tetap horizontal apabila beban P di B. Berapa beban P yang dapat dipikul jika tegangan izin di kawatbaja adalah 220 MPa dan di kawat aluminium adalah 80 MPa?

70 GPa.)

  Sebuah pipa baja lingkaran = 15 kN/mk1 BD dengan luas penampang A3 memikul batang tersebut 7b dan tingginya 3b (lihat gambar) mempunyai tumpuan sendi di C dan ditumpu di A dan D oleh kawat-kawatvertikal yang identik. Kabel-kabel ini identik kecuali panjangnya-kabel BD mempunyaipanjang h dan kabel CD mempunyai panjang 1,5h (yang berarti panjang batang adalah L berapakah pegas di A mengalami tarik?2.4-1 8 Sebuah batang kaku AB dipikul oleh dua kabel x x 2.4-20Sebuah rangka persegi panjang yang lebarnya dari titik A. (a) Plotlah grafik yang menunjukkan bagaimana gaya FA, F8, dan Fe diketiga pegas bervariasi terhadap jarak x.

T8D

  Th 1 dan 6bl T3b TeE di kabel akibat bebas P yang bekerja di titik 2.4-1 9 Sebuah batang kaku BD mempunyai ujung sendi di B dan dipikul oleh kabel AC dan AD (lihat gambar). Sesudah as masing-masing bahan adalah Es = 210 GPa, Eb = 1 00 dirakit, silinder dan tabung ditekan di antara plat-platGPa, dan Ec = 1 20 GPa.

a, P sama dengan 1 2 kN. dipikul oleh tabung tembaga

  Bab 2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial 1 502.5-8 Sebuah batang baja bundar AB (diameter d1 = (Gunakan besaran bahan sebagai berikut: untuk perunggu,X X 1 5ah = 1 1 w·�t°F dan Eh = 1 5 mm, panjang L1 = 1 100 mm) mempunyai selubungX x 1 06 psi; untuk baja, as perunggu (diameter luar d2 = 21 mm, panjang L2 = 400 = 6.5 10-6/oF dan Eh = 30 106 psi.mm) yang pas benar seperti terlihat dalam gambar. Luas penampang a = 6640 mm2 dan beban aksial P = 1 52 22,5°, psi untuk tarik dan 100 x 10-6/oc danE = 3,0 GPa.) b) Gambarlah elemen tegangan yang berorientasi bidang pq dan tunjukkan semua tegangan yang bekerja di semua muka elemen.2.6-13 Sebuah batang perunggu lingkaran yang diametemya d terdiri atas dua segmen yang disambungpada bidang pq sehingga membentuk sudut a = 36° dengan sumbu batang (lihat gambar).

Bab 2 Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksiaf

  Torsi izin untuk batang berlubang adalah= = rmakJp rmaks (0,4352nR" ) = 0 4352 R' , n R R dan untuk batang solid adalah 4 rmakJp 3 rmaks(0,5nR= = ) - 0 5 Ts RBerat batang sama dengan luas penampang dikalikan dengan panjang L dikalikan dengan berat jenis y dari bahan:Jadi, rasio kekuatan terhadap berat SH dan S5 masing-masing untuk batang berlubang dan solid adalah R R = 0 68 r maks 0.5 rmaks S , S= = = !..tt_ !i_ .. Karena motor memberikan di ujung A dari batang (Gambar50 kW pacta 10 Hz, maka akan terjadi torsi TA 3-31 b) yang dapat kita hitung dengan Persamaan (3-40).p T 50 kW - 796 N A = = ·m 27rf 27r(IO Hz) - TB dan T c yang diterapkan oleh Dengan cara sama, kita dapat menghitung torsi gigi ke batang: p 35 kW = 557 N·m27rf 27r(10 Hz)- ___!_ T 1 5 kW - 239 N ·mc - 27rf 27r(IO Hz) - Torsi ini ditunjukkan dalam diagram benda bebas batang (Gambar 3-3 1 b).

1/ J AB

GI P(SO GPa) 32 mm) 7r / )Q ' 4( - Besaran tersebut untuk segmen adalah BC 16TBc 1 6(239 N·m)= r = = 9 7 MPa BC 1rd3 7r(50 mm)3 ' TBcLBc

1/ J 0.0058 rad

  BCGIP (80 mm)4 = Jadi, tegangan geser maksimum di batang terjadi di segmen dan sama dengan AB 32,4 MPa rmaks Juga, sudut puntir total antara motor di dan gigi di adalah A C = 0,01 62 rad 0,0058 rad 0,0220 rad 1 ,26° 1/JAB1/JAc 1/JBc Sebagaimana telah diterangkan, baik gigi maupun batang berputar pada arah yang sama sehingga sudut puntir saling memperbesar. Sebagai contoh, diameter batangsolid diberi notasi d1 dan diameter luar tabung diberi notasi d2• Ada celah kecil di antara batang dan tabung sehingga diameter dalam dari tabungsedikit lebih besar daripada d1• Apabila torsi T diterapkan pada ujung batang, maka plat ujung berotasi dengan sudut kecil dan torsi dan timbul di batang solid dan tabung </J T1 T2 (lihat Gambar 3-32c dan d, yang menunjukkan batang solid dan tabung yang dipisahkan satu sama lain).

1/ JI =

  Tegangan geser maksimum di setiap bagian batang diperoleh secara langsung dari rumus torsi:Dengan memasukkan Persamaan (3-45a) dan (3-45b) maka (3-47a,b) •Dengan membandingkan hasil kali dan LAd8, kita dapat segera menentukan LEflA segmen mana yang mengalami tegangan lebih besar. Dalamkasus tersebut di mana batang terdiri atas segmen-segmen prismatis dengan torsi konstan di setiap segmen (lihat Gambar 3-14a da1am Subbab 3.4),kita dapat menentukan energi regangan di setiap segmen dan menjumlah­ kannya untuk mendapatkan energi regangan batang:n U =(3-52)p; L i=l di mana adalah energi regangan segmen dan adalah banyaknyaU; i nsegmen.

T/L;

  Di dalam Contoh 3-10 energi regangan didapatkanuntuk batang yang mengalami torsi murni dengan segmen-segmen prismatis, dan di dalam Contoh 3- 1 1 dan 3-12 energi regangan diperolehuntuk batang dengan torsi yang bervariasi dan dimensi penampang yang bervariasi pula. Gaya-gaya ini diperoleh dengan mengali­ kan tegangan dengan luas di mana tegangan tersebut bekerja: Fb = rbtbdx Fe = rctcdx di mana tb dan tc adalah tangen terhadap garis Mekanika Bahan 209median penampang di elemen ds.) Torsi total T yang dihasilkan oleh tegangan geser diperoleh dengan mengintegrasikan di sepanjang garismedian penampang: = T ds (a)di mana Lm menunjukkan panjang garis median.

TP (3-80)

  (Perhatikan bahwa regangan Ymaks adalah regangan geser maksimum di batang, yaitu regangan di permukaan luar.) Hasil penurunan Gambar 3-52Diagram tegangan­ yang panjang ini, yang diberikan dalam latihan Saal adalah 3.12-6regangan untuk batang pada kondisi v torsi elastoplastisnr 3 ' dan T,. (b) Jika laju puntir izin maksimum adalah 0, 1 5°/ torsi murni akibat T (lihat gambar) mempunyai radius ftdan regangan gcser maksimum dipertahankan sebesar x luar r2 'ama dengan dua kali radiu s dalam r 1 • 400 I 0-6 dengan menyesuaikan torsi berapa radius Mekanika Bahan 2213.3-2 Sebuah batang aluminium dengan penampanglingkaran solid dipuntir oleh torsi T yang bekerja di a ujung-ujungn> t lihat gambar).

80 GPa. Untuk torsi yang diterapkan dalam gambar. Tegangan geser izin di perunggu adalah

  r2 tegangan geser di permukaan luar, (b) tegangan geser r1 di permukaan dalam, dan (c) laju puntir f) (sudut puntir(a) = 60 mmd1 Mekanika Bahan 223 sebuah lubang yang diametemya mm dibor secara menyalurkan torsi dan daerah luar menyalurkan torsi 1 5 T1 = + longitudinal melalui batang, seperti terlihat pada bagian di mana (a) Turunkan rumus untuk rasio T2, T1 T2 T. (a) Jika diameter batang adalah d= 3,0 in., berapa tegangan geser maksimum B 4 ft.) Motor 3.7-8 Berapa daya maksimum yang dapat disalurkan oleh batang propeller berlubang (diameter luar 50 mm,diameter dalam 40 mm, dan modulus geser elastisitas 80 GPa) yang berputar pada 600 rpm jika tegangan geserizin adalah 1 00 MPa dan laju puntir izin adalah 3°/m?

L�--1

  Pegasditarik, dipasang ke ujung-ujung batang, dan selanjutnya dilepaskan, sehingga menyebabkan batang dan tabung ' :r1m1.------ --- ----- '75(1berotasi dengan sudut kecil Dapatkan rumus untuk {3.-�- torsi di tabung. (Abaikan lentur batang.)T /���� :nm :'0 [ �- (I 1 166-m-;; �75mm-+ 3.8-1 1 Sebuah batang baja solid dengan diameter 2,0 in.ditutupi oleh tabung baja dengan diameter luar 3,0 in.dan diameter dalam 2,5 in. (c) Tentu­ kan kekakuan torsional batang gabungan terscbut.kT Gunakan Persamaan 3-44a dan b untuk (Petunjuk:AB yang panj angnya 3.8-9 Sebuah batang lingkaran mcncari torsi.) L dijepit di kedua uj ung dan dihebani oleh torsi yang terdistrihusi t( x) yang bervariasi secara linier dengan B intensitas dari no!

75 Ts Tb

  geser izin ada1ah = 65 MPa dan = 25 MPa, masing- Selongsong baja (b)Batang bundar tembaga ENERGI REGANGAN DALAM KONDISI TORSI 3.9-1x Sebuah batang 1ingkaran solid dari tembaga (G = 6,0 1 06 psi) dengan panjang = 2,0 ft dan diameter L Mekanika Bahan 231bekeija di ujung-ujungnya. 8 untuk ini apabila sudut puntirnya adalah 3,0°.mendapatkan torsi reaksi.) 1+--� 1�---� I3.9-4 Batang bertangga yang terlihat dalam gambar 3.9-8 Sebuah batang bertangga statis tak tentu ACBmempunyai panjang L = 1 ,2 m, diameter 30 mm, d2 = dijepit di ujung A dan B dan dibebani torsi T di C (lihatdan diameter d1 = 25 mm.

40 GPa. Tentukan energi regangan U batang

  Kemudian dan oleh torsi yang terdistribusi kontinu dengan intensitassamakan energi regangan tersebut dengan kerja yang konstant per panjang satuan di sepanjang sumbu batang. Garismedian penampang adalah lingkaran dengan radius r, dan tebalnya dinyatakan dengan persamaant = t0 ( 1 + sin �) di mana t0 adalah tebal di potongan di mana e = 0.

I/J1

  Jika tegangan geser izin memperoleh hasil pendekatan dengan menerapkan rumus r adalah 6.000 psi, tentukan tebal dinding yang diperlukan tabung prismatis berdinding tipis pada elemen diferensial dengan menggunakan (a) teori pendekatan untuk tabung dari tabung yang meruncing, untuk selanjutnya meng­berdinding tipis, dan (b) teori torsi eksak untuk batang integrasikannya di sepanjang sumbu.) lingkaran. Beban yang berubah mempunyai intensitas yang berubah beban yang bervariasi terhadap jarak di sepanjang sumbu balok; misalnya, secara linier dalam Gambar 4-2b mempunyai intensitas yang bervariasi kopel, yang secara linier dari q1 ke q2• Beban lain dari beban adalahdiilustrasikan sebagai kopel dari momen M1 yang bekeija di bagian overstek Pir beton dari balok (Gambar 4-2c).

HA, MA

  gaya vertikal RA, dan kopel arah horizontal menghasilkanH 5?-; A1 3 dan keseimbangan dalam arah vertikal menghasilkan 1 2?-; ql + q2= b R( ) 1 3 2 Dalam mencari reaksi ini kita perlu mengingat fakta bahwa resultan dari beban terdistribusi sama dengan luas diagram beban trapesium. Setiap segitiga beban dapat diganti dengan suatu resultan, yang merupakan gaya yang besamya sama dengan luas segitiga, danmempunyai garis kerja yang melalui pusat berat segitiga.

Bab 4 Gaya Geser dan Momen Lentur

  240di mana adalah gaya resultan (sama dengan luas diagram bebanq1bl2 -segitiga) dan 2b/3 adalah lengan momen (terhadap titik akibat A)L resultan tersebut. Momen di bagian segitiga atas diperoleh dengan prosedur yang sama, dan persamaan akhir keseimbangan m omen (berlawanan jarum jam adalahpositif) adalah = _ O =M (12P, ) a _ q1b(L _ 2b) q2b(L _ !?_) A 13 2 3 2 3 sehinggaKarena persamaan ini memberikan hasil positif, maka momen reaksi MAbekerja dalam arah sama dengan yang diasumsikan, yaitu berlawanan jarum jam.

RA MA

  F = vert yang menghasilkan gaya geser: p = - 4 LHasil ini membuktikan bahwa apabila P dan M0 bekerja dalam arah seperti terlihat dalam Gambar 4-7a, maka gaya geser (di lokasi yang dipilih) adalah negatif danbekcrja dalam arah berlawanan dengan arah positif yang diasumsikan dalam Gambar 4-7b. Dari dua persamaan keseimbangan, yang pertama untuk gaya dalam arah vertikal dan yang kcdua untuk momen tcrhadap sumbu yang melalui potongan,kita pcroleh !_ 4 LHasil ini mcnunjukkan bahwa apabila potongan digeser dari kiri ke kanan kopel maka gaya geser tidak berubah (karena gaya vertikal yang bekerja di benda V = (d,e) ..

3 A dan dijepit di ujung B mengalami

  Sebagai contoh, jika tidak ada beban terdistribusi di segmen balok (artinya, jika maka maka dV!dx = dan gaya geser adalah konstan di bagian balok yang itu. Juga, jika beban terdistribusi adalah seragam di seluruhbagian balok (q = konstan), maka dV!dx juga konstan dan gaya geser berubah secara linier di bagian balok tersebut. Momen lentur maksimum positif dan negatif di suatu balok dapat terjadi di lokasi-lokasi sebagai berikut: ( 1 ) penampang di mana beban terpusatditerapkan dan gaya geser berubah tanda (lihat Gambar 4- 1 1 dan 4- 1 3),(2) penampang di mana gaya geser sama dengan nol (lihat Gambar 4- 1 2),(3) titik tumpuan di mana terdapat reaksi vertikal, dan (4) penampang di mana kopel diterapkan.

3 Balok kantilever AB yang memikul beban terbagi rata dengan intensitas konstan

  SOAL-SOAL BAB 4 I4.3-1 4.3-2 Tentukan gaya geser V dan momen lentur M di Hitunglah gaya geser V dan momen lentur di M titik tengah balok sederhana AB yang terlihat dalam penampang yang terletak 0,5 m dari tumpuan jepit Agambar.pada balok kantilever AB yang terlihat dalam gambar. Beban ini terdiri atas kopel = 4 kN-m yang bekerja M0terbagi rata dengan intensitas q bekerj a di bagian AB dan A di ujung dan beban terpusat P = 8 kN yang bekerja di beban segi tiga dengan intensitas maksimum 2q bekerjaujung oerstek.

L/-:\

  Balok 8 yang mengalami lentur murni Perhatikan bahwa untuk tu juan praktis k.ita dapat menganggap sin e dan e (radian) secara numerik sama karena merupakan sudut yang sangat kecil. e Sekarang kita masukkan ke dalam Persamaan (5-5) untuk mendapatkan defleksi= = 8 = (4800 in.)(l - 0,999800) 0,960 in.p(l - cos 8) Defleksi ini sangat kecil dibandingkan dengan panjang balok, sebagaimana terlihat dengan rasio panjang bentang terhadap defleksi:!::._ ( 1 6 ft)(1 2 in./ft) = = 200 0,960 in.

1 TEGANGAN NORMAL Dl BALOK (BAHAN ELASTIS LINIER)

  Mekanika Bahan 279 Catatan: Karena jari-jari drum jauh lebih besar dibandingkan dengan diameter kawat, maka kita dapat dengan aman mengabaikan d dibandingkan dengan 2R0 M pada penyebut di dalam rumus untuk dan Selanjutnya Persamaan (5-22) rmaks· dan (5-23) menghasilkanM = 5,03 N·m a 800 MPa maks = Hasil ini ada pada si si konservatif dan berbeda kurang dari 1% dengan harga yang lebih teliti. Akhimya, kita tentukan tegangan tarik dan tekan maksimum a1 dan dari Persamaan (5-16): ac (c)M ( 152 k-ft)(l 2 in./ft) p = = 1 720 si a1 a2 = S = 1 063 in.3 =s Karena momen lentur adalah positif, maka tegangan tarik maksimum terjadi ( a1) di bawah balok dan tegangan tekan (a ) terjadi di atas.(d) Gambar 5-1 4Contoh 5-3.

IA; A1

  2 A 2 = (6 mm)(331 2 mm = 18 48 mm' kN.m= = 3312 mm2 + 2(960 mm2 ) h - 80 mm - 18,48 mm = 61 ,52 mm c2 c1Jadi, posisi sumbu netral (sumbu z) telah ditentukan. Untuk menghitung tegangan dari rumus lentur kita harus (d) Dimulai dengan area A 1, kita peroleh momen inersia /_ terhadap sumbu z ,, Gambar 5-1 5 5-4.

T2 T2

  Iz, = z: dan d1 adalah jarak dari sumbu berat area ke sumbu A 1. i Y ) J i clt = l 2 mm ' .d1 = c1 - t/2 = 1 8,48 mm - 6 mm = 12,48 mm 1- Dengan demikian, momen inersia area A1 terhadap sumbu z (dari Persamaan c) h = adalah 12 mm /_ .,, = 39,744 mm4 + (33 1 2 mm2)(12,48)2 = 555.600 mm4b = 300 mm Dengan melakukan ha!

I,, I,

  Di penampang di mana terjadi momen lentur maksimum, tegangan tarik terbesar terjadi di bawah balok( a2) dan tegangan tekan terbesar terjadi di atas (a1). Jadi, dari Persamaan (5-14bJ dan (5-14a) kita dapatkan = M = = = 1 ,898 kN·m a, a 47,3 MPa 2 52 40.

a, 25 3 MP a

  282 Sebagai contoh, jika balok mempunyai penampang simetris ganda dan tegangan izin yang sama untuk tarik dan tekan, kita dapat menghitungmodulus yang diperiukan dengan membagi momen lentur maksimum dengan tegangan lentur izin untuk bahan (lihat Persamaan 5-16): (5-24) Tegangan izin didasarkan atas besaran bahan dan faktor keamanan yangdikehendaki. Dalam menyelesaikan contoh-contoh dan soal-soal yang Catatan: membutuhkan pemilihan balok dari tebal dalam lampiran, kita meng­ gunakan aturan sebagai berikut: Jika beberapa pilihan tersedia di dalam paling ringan tabel, pilih balok yang yang akan memberikan modulus Mekanika Bahan285 Sebuah balok kayu yang ditumpu scdcrhana dengan bentang L = I 2 fl memikul = beban terbagi rata q 420 lb/ft ( Gambar 5 - 1 9).

5.8 PERSEGI PANJANG

  Kita ambil dua penampang mn yang berdekatan dan yang jaraknya satu sama lain dan m 1n 1 dx, Mekanika Bahan293 Vdi muka kiri elemen masing-masing diberi notasi dan Karena momen Mlentur dan gaya geser dapat bervariasi apabila kita berjalan di sepanjang sumbu balok, maka besaran terse hut di muka kanan diberi notasi M dM Karena adanya momen lentur dan gaya geser (Gambar 5-28a), maka elemen tersebut mengalami tegangan normal dan geser di kedua mukapenampang. Tampak samping balok Tampak samping elemen(b) (a)dx _ _ _ _ , - - - - - - __ ____ __ _Q � jGambar 5-28 Tegangan Tampak samping Potongan melintanggeser di sualu balok dengan subelemen (penampang) balok 294 Bab mn Jika momen lentur di potongan dan (Gambar 5-28b) sama m 1n1 (artinya, jika balok ini mengalami lentur mumi), maka tegangan normal dan yang bekerja di sisi dan dari subelemen (Gambar 5- a1 mp m1p1 a2 28c) juga akan sama.

1 Tentu saja, hasil yang sama ini dapat diperoleh dari integrasi dengan

  Catatan: Di dalam contoh ini, tegangan normal maksimum dan tegangan geser maksimum tidak terjadi di lokasi sama di balok - tegangan normal mencapaimaksimum di daerah tengah balok di tepi atas dan bawah penampang, dan tegangan geser mencapai maksimum di dekat tumpuan di sumbu netral penampang. Untuk menggunakan rumus geser, kita membutuhkan besaran berikutGambar 5-34 Tegangan geser untuk penampang lingkaran yang mempunyai radiusr:yang bekerja di penampang balok yang berbentuk lingkaran= I h Q = Ay = = = (5-4 1 a,b) 2r( )( J Rumus untuk momen inersia I diambil dari Kasus 9 dalam Lampiran D dan rumus untuk momen pertama (statis momen) Q didasarkan atas rumus untuk setengah lingkaran (Kasus 1 1 , Lampiran D).

E- 1 , Lampiran E) adalah sebagai berikut:

  304 Untuk menentukan tegangan geser maksimum dan mimmum, kita masukkan harga-harga besaran bahan ke dalam Persamaan (5-48a dan b)dan mendapatkan: V 2 2 rmaks= dan Untuk menekankan hal ini, tinjaulah pertemuan badan dan flens atas (y1 = h /2), di mana lebar penampang berubah secara mendadak dari t menjadi b. )f ydA dx dx I Dengan mengganti dM/dx dengan gaya geser V dan menulis integral dengan Q, kita dapatkan f = maka gaya geser per satuan jarak sama dengan VQ I (5-52)Persamaan ini memberikan aliran geser yang bekerja di bidang horizontal pp1 yang ditunjukkan dalam Gambar 5-40a.

V, Q

  Distribusi akhir tegangan normal diperoleh dengan menggabungkan tegangan-tegangan yang dihasilkan oleh gaya aksial dan momen lentur,sebagai berikut: (5-53) Perhatikan bahwa N adalah positif apabila menimbulkan tarik dan M adalahpositif menurut perjanjian tanda momen lentur (momen lentur positif menghasilkan tekan di bagian atas balok dan tarik di bagian bawah). Karena gaya aksial N di sembarang penampang sama dengan danP, (b)karena momen lentur M sama dengan maka tegangan normal di sembarang titik di batang (dari Persamaan 5-53) adalah (5-54)di mana A adalah luas penampang dan I adalah momen inersia terhadap z.

h. Apabila e kecil, maka sumbu netral nn terletak di luar kolom dalam

  Gambar 5-48 _ _ N My (5 1 1 0 lb-in.)(3,0 in.) (a) Balok dan pembebanan yang = = 0 = _177 psiA I 86,67 in.4diidealisasi, (b) diagram gay a ' aksial, (c) diagram gay a geser, dan Jadi, tegangan tekan maksimum adalah (d) diagram momen lentur = -299 psi ( aclmaks dan terjadi di atas balok di kiri titik C. Tegangan nominal= dihitung dari rumus lentur denganh/2 dan I = bhf/12; jadi, y My 6M (]- -- = = nom (5-59) I bh2 I KTegangan maksimum sama dengan faktor konsentrasi tegangan dikalikan tegangan nominal: (5- = <Jmaks Kanom 60) KGambar 5-50 Faktor konsentrasi tegangan untuk balok bertakikanKdengan penampang persegi panjang = yang mengalami lentur murni (h tinggi balok, tebal balok, tegak 0,05 0, 10 0, 1 5 0,20 0,25 0,30b =lurus bidang gambar).

AB M0

  Panjang balok adalah L = 5.4-1 Tentukan regangan normal maksimum yang 1 ,2 m dan regangan normal longitudinal di permukaan £maks timbul di kawat baja dengan diameter d = 1116 in., apabila atas adalah 0,0008. Tentukan L = 1 3 m dan jarak antara titik angkat adalah s = 4 m.tegangan lentur maksimum di balok, dengan O'maks Tentukan tegangan lentur maksimum di pipa akibat berat mengasumsikan bahwa berat jenis air adalahy = 9,81 sendirinya.

Bab 5 Tegangan Di Ba/ok (Topik Dasar)

  Setiap rangka mempunyai bentang L = 5,46 m dan tinggi h 320 h5.5-13 dan Dapatkan rumus untuk tegangan normal maksimum amaks (akibat momen lentur oleh momen M) pada balok yang mempunyai penampang sebagai berikut(lihat gambar): (a) inti lingkaran yang diametemya d dengan sudut f3 = 45°, dan (b) heksagon dengan sisi-sisiyang panjangnya b. Tentukan tegangan lentur maksi­mum amaks akibat beban roda jika balok adalah balok yang mempunyai modulus penampang S = 16,2 in.3 Mekanika Bahan 3215.5-1 8 5.5-21 Sebuah balok penampang T dipikul dan dibebaniSebuah balok kantilever AB dengan penampang = segitiga mempunyai panjang L 0,8 m, lebar b = 80 seperti terlihat dalam gambar.

d. Tentukan harga minimum d berdasarkan atas tegangan

  Balok :rub terbuat dari baja dengan tegangan lentur izin 1 .25 in Tentukan diameter perlu balok ini dengan meninjau drnin1 6 in pengaruh berat sendiri balok.z 1 .5 in 16 in5.6-1 3 Sebuah balok ABCD (lihat gambar) ditumpu di titik A, B, dan D dan mempunyai sambungan ( dinyatakan 5.6-1 6 Sebuah balok yang mempunyai penampang 8 ftdengan sambungan sendi di titik C. Jika lebar bervariasi secara linier terhadapx menurut Persamaan bx q Sebuah balok kantilever AB yang mempunyai penampang persegi panjang dengan lebar bervariasi bxdan tinggi bervariasi hx mengalami beban terbagi rata dengan intensitas 5.7-8 X I q Mekanika Bahan 3295.8-2 Hitunglah tegangan geser maksimum dan gaya geser maksimum) pada titik yang terletak di 114 in., rmaks tegangan lentur maksimum pada balok kayu yang 112 in., 3/4 in., dan l in.

90 MP a, dan (b) tegangan geser izin

  Mekanika Bahan 3335.10-12 5.1 1 -2 Balok T yang tergambar mempunyai dimensi Sebuah girder baja yang dilas dengan dimensi penampang sebagai berikut: 220 mm, 1 5 mm, penampang seperti terlihat dalam gambar terdiri atas dua b = t = h x mm x 300 mm, dan 275 mm. ·5.1 0-13 Hitunglah tegangan geser maksimum di rmaks badan balok T yang terlihat dalam gambar jika 10 b = in., 0,6 in., 8 in., 7 in., dan gaya geser t = h = h1 = V =1 25 mm 6000 lb.

5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)

334 5.11-5 Sebuah balok boks yang terdiri atas empat papan penampang adalah 872 N dan setiap paku dapat memikul x u:•u

1 Jengan ukuran 6 in. in. (dimensi aktual) gaya geser 400 N, berapa jarak paku izin maksimum s?

  2,8 Berapa jarak baut s yang diperlukan dalam arah longitu­ = dinal jika gaya geser V 40 kips?5.1 1 -6 Dua boks kayu (balok A dan B) mempunyai y x dimensi luar sama (200 mm 360 mm), dan tebal sama(t = 20 mm), seperti terlihat dalam gambar. Berat pohon dapat diuraikan menjadi dua gaya resultan, yaitu gaya P1 = 900 lb yang bekerja di titik 12 ft dari dasar, dan gaya P2 = 100 lb yang bekerja di puncak pohon yang panjangnya ft.

Bab 5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)

  (Petunjuk: Tentukan tegangan tekandi potongan melintang yang terletak pada jarak x, yang diukur di sepanjang sumbu batang, dari tumpuan B. Lalu,ambil turunan terhadap x, dan tentukan lokasi penampang 23 Ye 336 3 5.1 2·7 Karena penurunan (settlement) pondasi, sebuah :J:lC'Ilara lingkaran menjadi miring dengan sudut·. (b) Untuk balok dengan dua 0,50; 0,75, 1 ,00 1 adalah = 60 ksi, dan momen lentur adalah M = 600takikan identik (di dalam tinggi h = 1,25 in.) tentukan O'maks tegangan maksimum untuk jari-jari takikan R = 0,05,lb-in.

28 Untuk balok dengan dua takikan

6 TEGANGAN Dl BALOK

  (TOPIK L ANJ UT)PENGANTAR Di dalam bab ini kita teruskan tinjauan kita tentang lentur di balok dengan mempelajari beberapa topik khusus, termasuk analisis balok komposit(yaitu balok dengan lebih dari satu bahan), balok dengan beban miring, balok tak simetris, tegangan geser di balok berdinding tipis, pusat geser,lentur elastoplastis, dan lentur nonlinier. Jika balok dilenturkan dengan kelengkungan positif, maka regangan£X akan bervariasi seperti terlihat dalam Gambar 6-3c, di mana adalah EAregangan tekan di atas balok (dinyatakan dengan huruf A), E8 adalah (c)regangan tarik di bawah (dinyatakan dengan huruf dan Ec adalah B),regangan di pemmkaan kontak (dinyatakan dengan huruf Tegangan C).

2 I £1 £

  Tegangan tekan di atas dan bawah balok adalah = = E1 EA 0'8 E2E8.dan tegangan tarik di bawah adalah Di permukaan kontak, tegangan di kedua bahan berbeda karena masing-masing modulusnya 2berbeda. Di bahan I tegangannya adalah 0'1 c = dan di bahan = E 1 Ec 0'2c E2Ecadalah Gambar 6-2Balok sand11 ichdengan (a) inti plaslik, (b) inti honeycomb, dan (c) inticorrugated( I: I Bab Tegangan Di Balok (Topik Lanjut)3 ;l 2 61'E CJA = EIEA .

2. Dengan bantuan persamaan ini, kita ctapat menentukan lokasi sumbu netral ctan memperoleh hubungan momen-kelengkungan

  (Seanctainya acta lebih ctari = Tegangan normal (atau tegangan lentur) di balok tersebut diperoleh dengan memasukkan rumus untuk kelengkungan (Persamaan 6-5) ke dalam rumusuntukax1danax2 Persamaan ini adalah hubungan momen-kelengkungan untuk balok dari dua bahan (bandingkan dengan Persamaan 5- 1 2 untuk balok dengan satubahan). (Meskipun tegangan gesermaksimum dan regangan geser maksimum lebih besar daripada harga rata-ratanya, harga rata-rata sering digunakan di dalam desain.) G (,' c c(6- l Oa,b)di m ana bhrata-rata V V(J' Jika kedua muka adalah tipis dibandingkan dengan tebal inti (yaitu jikat kecil dibandingkan dengan h ), maka kita dapat mengabaikantegangan geser di muka dan mengasumsikan bahwa inti memikul semua tegangan geser.

h: 200 mm (150 mm)3

  Sebagai catatan awal, kita akan mengevaluasi suku-suku di pembilang dalam persamaan­persamaan tersebut (yaitu, rigiditas lentur balok komposit): X x + =EJ1 + Ei2 (72 GPa)(l 2,01 7 1 06 mm4) (800 MPa)(56,250 106 mm4) =9 1 0.200 N·m2 Tegangan tarik dan tekan maksimum di muka aluminium diperoleh dari Persamaan (6-6a):M ( h /2)(£1 ) + = + = ±19,0 MPa .. Di dalam teori pendekatan, kita mengabaikan tegangan normal di intidan mengasumsikan bahwa muka memikul keseluruhan momen lentur.

Bab 6 Tegangan Di Balok (Topik Lanjut)

  Untuk membuktikan bahwaini memang demikian, kita perhatikan bahwa tegangan di balok tertransfor­ masi (karena balok ini hanya terdiri atas bahan 1 ) dinyatakan denganPersamaan (5-7) dalam Subbab 5.5: Dengan menggunakan persamaan ini, dan juga dengan mengikuti prosedursama seperti untuk balok dengan satu bahan (lihat Subbab 5.5), kita dapat memperoleh hubungan momen-kelengkungan untuk balok tertransformasi:= - cL4. Tegangan di balok tertransformasi (Persamaan 6- 1 5) harus n dikalikan dengan rasio modular untuk mendapatkan tegangan di bahan2 pacta balok semula: = - ll Mv - - (6- 17)O"x2 Ir Kita dapat menyelidiki kebenaran rumus ini dengan memperhatikan bahwa apabila Persamaan (6-1 6) untuk IT disubstitusikan ke dalam Persamaan (6- 1 7), kita dapatkan(b) yang sama dengan Persamaan (6-6b).

E/E2

  (Catatan: Ini adalah balok yang sama dengan yang telah dianalisis sebelum ini di dalam Contoh 6-1 £1= 1500 ksi dan Sebuah balok komposit yang terlihat dalam Gambar 6-1 Oa dibentuk dari balok kayu (dimensi aktual 4,0 in. x 6,0 in.) dan plat penguat baja (lebar 4,0 in. Juga, perlu diingat bahwa momen 1entur yang terlihat dalam Gambar 6- 1 3 bekerja pada mukaxpositif dari segmen balok, yaitu, di muka yang mempunyai normal ke x.luar arah positif sumbu Tegangan Lentur I Tegangan normal yang berkaitan dengan momen lentur M'" dan yangM: bekerja secara terpisah diperoleh dari rum us lentur (Persamaan 5- 1 3 ).

11 Beban

M2/Y

  Beban terbagi rata q yang bekerja di arah vertikal dapatpanjang yang berfungsi sebagaizydiuraikan menjadi dua komponen da\am arah dan (Gambar 6-1 7a):gording=q cos a (6-24a,b) qY q, = q sin a Momen lentur maksimum terjadi di titik tengah balok dan diperoleh dari rumus = umum M qL2/8; jadi, 2 2sinqL2 a M \' M l = qL cos a L2 = !!..::...__q, L = (6-25a,b) 8 8 8 8 zKedua momen ini positif karena vektornya ada di arah positif sumbu y dan (Gambar 6- 1 7b).y Momen inersia. Jadi, tegangan normal yang bekerja di elemen luasdA Modulus elastisitas dan kelengkungan adalah konstanta pada setiap penampang, sehingga(6-32) Karena balok ini mengalami lentur mumi, maka gaya resultan harus sama dengan no!; jadi,f�xdA = -tEKyYdA = Gaya-gaya yang bekerja di elemen luasdAadalaha,dA,dan gaya resultan yang bekerja di seluruh penampang adalah integral dari gayaelemental ini di seluruh luas penampang A.

I_ I,

  Dari Gambar 6-34d, kita lihat bahwa tegangan geser di penampang (btr PUSAT GESER PENAMPANG TERBUKA BERDINDING TIPIS Analisis di atas menunjukkan bagaimana tegangan geser di penampang terbuka berdinding tipis dapat diperoleh. Hasil ini juga memberikangambaran lebih lengkap tentang tegangan geser yang bekerja di penampang balok I atau sayap lebar (ingat bahwa di dalam pembahasan sebelum inidi Bab 5, kita hanya menyelidiki tegangan geser di badan). Kita dapat mencari resultan dari te­ gangan-tegangan tersebut jika kita mengetahui tegangan maksimum dir1 flens, tegangan di atas badan, dan tegangan maksimum di badan.r2 rmaks Untuk memperoleh tegangan di flens, kita gunakan Persamaan (6-45)r1dengan Q, sama dengan momen pertama dari luas flens terhadap sumbu z: btfh (a) Qz di mana b adalah lebar flens, adalah tebal flens, dan h adalah tinggi t1 balok.

Bab 6 Tegangan Di Balok (Topik Lanjut)

  Karena momen plastis MP adalah resultan momen dari tegangan yang bekerja di penampang, maka momen tersebut dapat dicari denganmengintegrasi tegangan di seluruh luas penampang A (Gambar 6-43a): = oydA = - a ydA(-av )ydA - MP y avA(yi + Y2) = .= <1,(y1A1 ) - <1,(-Y2A2 ) 2 di mana y adalah koordinat (positif ke atas) elemen luas dA dan y1 dan y2masing-masing adalah jarak dari sumbu netral ke pusat berat c1 (untuk A1) dan c2 (untuk A2). Rasio antara momen plastis terhadap momen luluh semata-mata me­ faktor bentuk f.rupakan fungsi dari bentuk penampang dan disebut (6-79)Faktor ini merupakan ukuran kekuatan cadangan pada balok sesudah luluh 384terletak di de kat sumbu netral ( contohnya, suatu balok yang mempunyai penampang lingkaran solid), dan akan terkecil apabila sebagian besar bahanjauh dari sumbu netral ( contohnya, balok yang mempunyai penampang sayap lebar).

C2 T2

di balok berpenampang persegi tegangan dikali lebar balok panjang dengan inti elastis(My � b:M � Mp)a (d) ec2 T2 = =+b Jadi, momen lentur (lihat Persamaan 6-45c) adalah a

C1 C2

  Harga Z 5\ dan y2 adalah jarak pusat berat Balok elastoplastis dengan profil lain dapat dianalisis dengan cara yang sama dengan yang diuraikan di atas untuk balok persegi panjang dansayap lebar (lihat contoh-contoh berikut dan soal-soal di akhir bab ini). Regangan akan nol di sumbu netral dan sama dengan di atas e1 dan bawah balok.z Gambar 6-52 Balok persegipanjang yang mengalami lentur nonlinier: (a) penampang balokdengan sumbu netral melaluibpusat berat, (b) regangan di Mekanika Bahan 389Tegangan di suatu balok diperoleh dari regangannya dengan menggunakan hubungan tegangan-regangan.

2 Q

  Dengan memberikan notasi Qc dan Q1 untuk masing-masing momen pertama tersebut, maka persamaan di atas menjadi bh; bh2 1 M = - Q Qc (6-97b) 2e2 el Dari Persamaan (6-93) kita Iihat bahwa dua fraksi di dalam persamaan di atas adalah sama; maka, bh 2 bh2 =M =c c (6-98) (Q Q1 ) -;f--(Q Q1 ) e2 e - 2 1 Jadi, kita sekarang mempunyai persamaan untuk menentukan momen lentur di balok, dengan mengasumsikan bahwa kita telah menentukan lokasi fp hp sumbu netral, dan menentukan �. Tent'lftcan tegangan maksimum EP = 1 06 psi dan x 1 1 Ea = 1 500 psi dan di baja ada1ah a:, 6.3-1 2 Sebuah balok kayu diperkuat dengan kanal alu­ 6.4-1 Sebuah balok dengan penampang persegi panjang BALOK DENGAN BEBAN MIRINGDalam memecahlwn soal untuk Subbab 6.4, gambarlah penampang yang memperlihatlwn sumbu netral dan lolwsititik-titik di mana tegangan dicari.

A, 8, D, dan akibat beban P

  (a) Plotlah grafiktegangan CTA di titik 6.4-11 Sebuah balok kantilever dengan profilW 1 2 LENTUR BALOK TAK SIMETRISDalam memecahkan soal-soal untuk Subbab 6.5, gambarlah sketsa penampang yang menunjukkanorientasi sumbu netral dan lokasi titik di mana tegangan dicari. Tentukan orien­mm, t1= 12 mm, tw = 10 mm d = 0,6 m, dan a = 60 mm.tasi sumbu netral dan hitunglah tegangan tarik maksimum dan tegangan tekan maksimum di balok ini jika a, ac6.7-3x x Sebuah balok yang mempunyai penampang siku tersebut adalah 6 1 dan M = 25 k-in.

TIP IS

  (Catatan:Untuk tujuan analisis, anggaplah flens sebagai persegi panjang dengan tebal t1 sama dengan tebal flensrata-rata yang diberikan dalam Tabel E-3, Lampiran 20 k yang bekerja dalam arah sumbu Sebuah balok I tak seimbang diletakkan seperti tergambar dan mengalami gaya geser P y 6.7-5Sebuah balok sayap lebar simetris tunggal meng­ alami gaya geser P yang bekerja melalui pusat geser S yang sejajar dengan sumbu y (lihat gambar). Turunkan rumuse =berikut untuk jarak dari pojok penampang ke pusate Juga, cek rumus untuk kasus khusus profil kanal = geser = = (b1 S: dan =b2 b) dan balok simetris ganda (b1 b2 b/2).be = -- z.,fi ylrylws z �lr 6.8-5 Penampang balok kanal dengan flens ganda dan tebal konstan di seluruh penampang ditunjukkan dalam 6.8-8 Penampang tabung persegi panjang bercelah gambar.

B1 B2

  6.10-9 Data tegangan-regangan untuk Soal O < n < lTegangan (ksi) Regangan 70 0,0024 75 0,0030 6.1 0-8 Distribusi tegangan di pen am pang balok persegi 80 0,0038panjang yang mempunyai lebar b dan tinggi h dinyatakan 90 0,0063dengan persamaan 100 0,0105 2y 1 10 0,0170= 1 - (1 - _Q:_ )m h1 20 0,0274 0'1di mana 0' adalah tegangan pada jarak y dari sumbu netral, 0' adalah tegangan di atas dan bawah balok, dan m adalah 1 �konstanta (m 1 ). 0' =M 1 / (m � 1) [ + + 2(m 1)(m 2) J = =panjang (lebar b 25 mm dan tinggi h 75 mm) terbuat c bh3112.di mana = h/2 dan I = (b) Plotlah grafik yang dari bahan yang mempunyai kurva tegangan-reganganmenunjukkan distribusi tegangan di balok ini untuk yang diidealisasikan tak simetris seperti terlihat dalamberbagai harga m (Plotlah grafik tersebut dalam bentuk gambar.

Informasi dokumen
Dokumen baru
Aktifitas terbaru
Penulis
123dok avatar

Berpartisipasi : 2018-08-08

Dokumen yang terkait
Tags
Silabus Mk Statika Dan Mekanika Bahan Doc 6 Galileo Dan Mekanika Mekanika Bahan

Laporan Praktikum Mekanika Fluida Dan

Jurnal Mekanika Dan Energi Pens

Sains Gaya Dan Mekanika Fluida

Sejarah Dan Perkembangan Mekanika Fluida

Mekanika Tanah Dan Teknik Pondasi

Contoh Soal Dan Mekanika Fluida

Bahan Dan Metode 2 1 Rancangan Penelitian

mekanika dan bahan dan 1

Gratis

Feedback