Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Gratis

0
0
103
2 weeks ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PROSES PERCABANGAN BIENAYMÉ-GALTON-WATSON DAN PENERAPANNYA DALAM BIOLOGI Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Vania Mitzi Dinata NIM: 153114008 PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2019 i

(2) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BIENAYMÉ-GALTON-WATSON BRANCHING PROCESS AND ITS APPLICATIONS IN BIOLOGY Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains in Mathematics By : Vania Mitzi Dinata NIM: 153114008 MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2019 ii

(3) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

(4) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

(5) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 23 Januari 2019 Penulis, Vania Mitzi Dinata v

(6) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI MOTTO “Like wildflowers; you must allow yourself to grow in all the places people never thought you would.”-E.V. “once in a blue moon” vi

(7) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk: Kemuliaan Tuhan, kedua orangtua dan keluargaku, serta almamaterku. vii

(8) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Vania Mitzi Dinata Nomor Mahasiswa : 153114008 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: PROSES PERCABANGAN BIENAYMÉ-GALTON-WATSON DAN PENERAPANNYA DALAM BIOLOGI beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal:23 Januari 2019 Yang menyatakan (Vania Mitzi Dinata) viii

(9) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI KATA PENGANTAR Ucapan Puji dan Syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang dengan murah hati mencurahkan segala kebaikan-Nya melalui orang-orang sekitar dan dari setiap peristiwa yang penulis alami sehingga skripsi ini dapat selesai tepat waktu. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia membantu dalam menghadapi berbagai macam kesulitan, tantangan dan hambatan. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi. 2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik. 3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika. 4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiamoko, M.Sc, dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan. 5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah. 6. Kedua orang tua, Adriel dan keluarga yang telah membantu serta mendukung penulis selama proses pengerjaan skripsi. 7. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015, teman-teman MASDHA FM, serta teman-teman baik yang mendukung penulis dalam mengerjakan skripsi: Lawi, Dini, Selly, Nevi, Kak Ambar, Ce Monic, Kak Eka,Rani, Ayu, Arel, Gita, Rio, Anton, Dimas, Arga. 8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses penulisan skripsi ini. ix

(10) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik yang membangun dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang baik. Yogyakarta, 23 Januari 2019 Penulis, Vania Mitzi Dinata x

(11) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ABSTRAK Proses stokastik percabangan Bienaymé-Galton-Watson (BGW) merupakan sebuah proses stokastik yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton, dan Watson. Proses BGW termasuk jenis rantai Markov waktu diskret. Proses BGW dapat diterapkan di dalam beberapa bidang, salah satunya yang dibahas di dalam skripsi ini adalah penerapan di dalam bidang biologi. Proses stokastik percabangan tepat digunakan dalam contoh kasus pembelahan patogen dan sel punca. Pembelahan patogen dalam proses penyembuhan memungkinkan munculnya patogen mutan yang kebal obat. Di lain pihak, dalam kasus pembelahan sel punca yang sudah rusak akan memungkinkan muncul penyakit kanker. Oleh karena itu, penulis membahas model matematika yang berhubungan dengan menghitung peluang dari kedua contoh permasalahan dalam bidang biologi tersebut. Pembahasan dari penerapan proses stokastik tersebut menggunakan asumsi yang diberikan diawal masing-masing kasus. Model matematika dari proses percabangan dalam bidang biologi tersebut digunakan untuk menghitung peluang keadaan populasi di waktu yang akan datang. Pertama akan dihitung model pertumbuhan populasi menggunakan fungsi pembangkit momen serta distribusi peluang keturunan. Selanjutnya, dihitung juga peluang dari munculnya mutasi dari populasi awal. Setelah menyesuaikan dengan asumsi awal pada masing-masing kasus biologi, akan didapatkan model matematika dari proses percabangan BGW. Kata kunci: proses stokastik , proses percabangan BGW, pembelahan patogen, sel punca, patogen mutan, sel kanker. xi

(12) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ABSTRACT The Bienaymé-Galton-Watson (BGW) branching stochastic process is a discrete time stochastic process that was introduced by Bienaymé, Galton, and Watson. The BGW process is a type of discrete Markov chain. The BGW branching stochastic process can be applied in several subject, one of which is discussed in this paper is the application in biology. The branching stochastic process is used correctly in the case of pathogenic cleavage and stem cells. Cleavage of pathogens in the healing process allows the emergence of drug-resistant mutant pathogens. On the other hand, in the case of division of damaged stem cells it will allow cancer to appear. Therefore, the author discuss mathematical models related to calculating the opportunities of both examples of problems in biology. The discussion of the application of the stochastic process uses the assumptions that given at the beginning of each case. The mathematical model of the branching process in biology is used to calculate the probability of future population conditions. First, the population growth model will be calculated using the generating function and the probability offspring distribution. Furthermore, the probability for the emergence of mutations from the initial population is also calculated. After adjusting to the initial assumptions in each case of biology, a mathematical model of the BGW branching process will be obtained. Keywords:: stochastic process, BGW branching process, pathogenic cleavage, stem cells, mutant pathogen,cancer cells. xii

(13) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv HALAMAN KEASLIAN KARYA .......................................................................v MOTTO ................................................................................................................ vi HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... viii KATA PENGANTAR .......................................................................................... ix ABSTRAK ............................................................................................................ xi ABSTRACT ......................................................................................................... xii DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................1 A. Latar Belakang ..............................................................................................1 B. Rumusan Masalah .........................................................................................3 C. Batasan Masalah............................................................................................3 D. Tujuan Penulisan ...........................................................................................3 E. Manfaat Penulisan .........................................................................................4 F. Metode Penulisan ..........................................................................................4 G. Sistematika Penulisan ...................................................................................4 BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK ................................6 A. Teori Peluang ................................................................................................6 B. Proses Stokastik ..........................................................................................25 C. Sifat-sifat dari Kalkulus ..............................................................................29 BAB III PROSES PERCABANGAN BGW ......................................................34 A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW ...........................34 B. Persamaan Total Distribusi Keturunan .......................................................50 C. Peluang Muncul Mutasi ..............................................................................56 xiii

(14) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga ................................58 BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI ..............................................................................................................63 A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat 63 B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker .....................77 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................85 A. Kesimpulan .................................................................................................85 B. Saran ............................................................................................................86 DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................88 xiv

(15) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB I PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan. A. Latar Belakang Proses stokastik seringkali muncul di dalam masalah-masalah pada bidang biologi dan fisika. Untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan proses stokastik diperlukan beberapa cabang matematika, di antaranya statistika, teori peluang, kalkulus, dan analisis. Proses stokastik adalah koleksi dari peubah acak {𝑋𝑡 (𝑠) ∶ 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑠 ∈ 𝑆 }, dengan T adalah himpunan indeks waktu dan S adalah ruang sampel bersama dari peubah acak. Untuk setiap t, 𝑋𝑡 (𝑠) menyatakan satu peubah acak yang terdefinisi pada S. Untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑋𝑡 (𝑠) berkorespondensi dengan fungsi yang terdefinisi pada T dan disebut lintasan sampel atau realisasi dari proses stokastik. Proses percabangan (branching process) merupakan sebuah proses stokastik waktu diskret yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton, dan Watson sehingga dikenal juga dengan nama proses Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Proses BGW banyak digunakan pada model pertumbuhan dan peluruhan populasi. Populasi dapat berupa gen mutan, neutron pada reaksi rantai nuklir, ataupun hewan dengan siklus kelahiran tahunan. Pertumbuhan populasi menyebabkan munculnya keturunan. Banyaknya keturunan dari setiap individu berbeda tetapi memiliki pola distribusi peluang yang identik. Pola yang dimiliki yakni efek percabangan. Pola distribusi peluang yang identik dapat digunakan untuk menghitung peluang dari sifat-sifat keturunan maupun proses secara keseluruhan. Pada tugas akhir ini, penerapan proses percabangan di bidang biologi akan difokuskan pada perhitungan peluang munculnya gen kanker dalam suatu jaringan dan peluang munculnya patogen yang kebal terhadap obat. Secara sederhana, penyakit 1

(16) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 kanker muncul karena keadaan hormon yang tidak normal dalam tubuh sehingga merangsang sel punca yang rusak dalam tubuh sehingga tidak dapat dihancurkan. Sel punca adalah sumber untuk sel-sel baru dan terus diproduksi oleh tubuh. Pada saat sel punca membelah, mereka dapat memperbanyak diri sendiri atau menjadi jenis sel yang baru. Tugas khusus dari sel punca adalah untuk berkembang menjadi sel-sel lain yang lebih spesifik. Pada penderita kanker, ketidakteraturan hormon itu mengakibatkan sel-sel punca yang rusak masih ada dan terus bertambah banyak. Pada patogen yang kebal obat, patogen bertambah banyak dengan cara membelah diri. Populasi patogen terus bertumbuh sehingga memiliki kemungkinan munculnya patogen yang kebal terhadap obat selama proses penyembuhan. Kedua kasus biologi tersebut memiliki kemiripan yaitu berkembang biak dengan membelah diri dan perkembangbiakan individu satu dengan lain tidak saling memengaruhi (independent). Dengan memperhatikan hal-hal tersebut, proses percabangan BGW cukup tepat untuk mempelajari kedua masalah dalam bidang biologi itu. Sebagai contoh, dengan menggunakan proses percabangan BGW dapat dilakukan perhitungan peluang saat satu gen mutasi mulai muncul di tengah-tengah populasi. Dalam menghitung peluang mutasi yang digunakan dalam proses percabangan, perlu ditentukan dulu persamaan dan distribusi total keturunan secara umum dan khusus. Topik yang akan dibahas pada skripsi ini adalah teori dasar proses percabangan BGW dan penerapannya pada masalah perhitungan peluang munculnya mutasi penyebab penyakit kanker dan patogen yang kebal terhadap obat. Menggunakan proses percabangan BGW akan didapatkan model sederhana untuk masalah peluang risiko penyakit kanker yang muncul dan peluang imbas munculnya patogen yang kebal obat selama proses pengobatan. Model dapat digunakan untuk memperkirakan peluang dari

(17) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3 banyaknya sel mutan yang mengakibatkan kanker dan patogen yang kebal terhadap obat di masa depan. B. Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana definisi dan sifat-sifat dasar proses percabangan BGW? 2. Bagaimana penerapan proses percabangan BGW dalam mempelajari (memodelkan dan menganalisis) dua masalah dalam bidang biologi yaitu masalah penyebab munculnya patogen yang kebal obat selama proses pengobatan dan risiko munculnya gen kanker? C. Batasan Masalah Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut: 1. Proses stokastik yang dibahas ialah proses percabangan BGW dengan waktu diskret. 2. Model yang digunakan adalah model sederhana dari proses percabangan BGW dengan dua parameter. 3. Kasus dalam bidang biologi difokuskan pada munculnya mutasi gen penyebab penyakit kanker dan patogen yang kebal terhadap obat. D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini untuk mengetahui, mempelajari teori dasar dan penerapan proses percabangan BGW dalam masalah biologi. Tugas akhir ini akan difokuskan pada penerapan proses percabangan BGW dalam mencari model matematika sederhana dalam masalah risiko munculnya sel kanker dan munculnya patogen yang kebal obat selama proses pengobatan. Model tersebut dapat digunakan dalam perhitungan peluang muncul atau tidak mutasi dalam kedua kasus biologi tersebut.

(18) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4 E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah dapat mempelajari penerapan proses percabangan dalam masalah di bidang biologi, mendapatkan model sederhana pada masalah peluang risiko penyakit kanker yang muncul dan peluang imbas munculnya patogen yang kebal obat selama pengobatan menggunakan proses percabangan. Selain itu juga dapat diperkirakan perilaku populasi berdasarkan perhitungan peluang dari model proses BGW. F. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini merupakan metode studi pustaka, yakni dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan proses percabangan dan penerapannya dalam bidang biologi. G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK A. Teori Peluang B. Proses Stokastik C. Sifat-sifat dari Kalkulus BAB III PROSES PERCABANGAN BGW

(19) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 5 A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW B. Persamaan Total Distribusi Keturunan C. Peluang Muncul Mutasi D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA

(20) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK Dalam bab ini akan dipaparkan landasan teori yang digunakan dalam skripsi, yaitu teori peluang dan proses stokastik. A. Teori Peluang Untuk menyelesaikan permasalahan dalam skripsi ini, perlu diingat kembali mengenai konsep dasar teori peluang. Definisi 2.1.1 Sebuah percobaan dikatakan acak apabila hasil dari percobaan tidak dapat ditentukan secara pasti sampai percobaan tersebut selesai dilakukan. Hasil percobaan acak tidak dapat diprediksi sebelumnya, namun dapat ditentukan himpunan peluang hasil dari percobaan. Definisi 2.1.2 Himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan acak disebut sebagai ruang sampel dari percobaan tersebut dan dinotasikan dengan S. Contoh 2.1.2: Jika hasil dari sebuah percobaan adalah klasifikasi jenis kelamin bayi yang baru lahir maka 𝑆 = {𝑙, 𝑝}, dengan hasil l mengidentifikasikan bahwa laki- laki dan p adalah perempuan. Definisi 2.1.3 Anggota dari ruang sampel disebut sebagai titik sampel. Contoh 2.1.3: Titik sampel dari ruang sampel S pada contoh 2.1.2 adalah l dan p. 6

(21) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7 Definisi 2.1.4 Setiap subhimpunan dari ruang sampel disebut sebagai kejadian. Dengan kata lain, kejadian adalah sebuah himpunan yang memuat peluang hasil dari percobaan. Kejadian seringkali dinotasikan dengan E. Contoh 2.1.4 Jika 𝐸 = {𝑝} maka E adalah kejadian jenis kelamin bayi yang baru lahir adalah perempuan. Definisi 2.1.5 Untuk setiap dua kejadian E dan F dari sebuah ruang sampel S, didefinisikan 𝐸 ∪ 𝐹 memuat semua hasil yang ada di E atau di F atau di E dan F. Himpunan 𝐸 ∪ 𝐹 disebut gabungan dari kejadian E dan F. Contoh 2.1.5 Jika kejadian 𝐸 = {𝑙} dan 𝐹 = {𝑝} maka 𝐸 ∪ 𝐹 = {𝑙, 𝑝}. Definisi 2.1.6 Untuk setiap dua kejadian E dan F, didefinisikan 𝐸 ∩ 𝐹 adalah kejadian yang memuat semua hasil yang berada di E dan sekaligus di F. Himpunan 𝐸 ∩ 𝐹 disebut irisan dari kejadian E dan F. Contoh 2.1.6 Dilakukan percobaan acak melempar sebuah koin setimbang sebanyak 2 kali. Titik sampel dari percobaan adalah gambar yang dinotasikan dengan G dan angka yang dinotasikan dengan A. Jika E = {(G,G), (G,A), (A,G)} adalah kejadian dengan setidaknya 1 gambar muncul dan F = {(G,A), (A,G), (A,A)} adalah kejadian dengan setidaknya 1 angka muncul maka 𝐸 ∩ 𝐹 = {(𝐺, 𝐴), (𝐴, 𝐺))} adalah kejadian dengan tepat 1 gambar dan 1 angka muncul.

(22) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8 Definisi 2.1.7 Untuk setiap kejadian E, didefinisikan kejadian baru 𝐸 𝑐 yang memuat semua hasil dalam ruang sampel S yang tidak berada di E. Kejadian 𝐸 𝑐 akan muncul jika dan hanya jika E tidak muncul. Kejadian 𝐸 𝑐 disebut komplemen dari ke- jadian E. Contoh 2.1.7 Dilakukan percobaan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali. Jika kejadian 𝐸 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, maka 𝐸 𝑐 akan muncul saat jumlahan dadu tidak sama dengan 7. Definisi 2.1.8 Kejadian E dan F dikatakan saling asing apabila memenuhi Contoh 2.1.8 𝐸 ∩ 𝐹 = ∅. Kejadian A merupakan munculnya sisi gambar dan B munculnya sisi angka apabila sebuah koin dilempar sekali. Kejadian A dan B saling asing karena 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. Definisi 2.1.9 Peluang adalah sebuah fungsi dari ruang sampel S ke ℝ yang memenuhi tiga sifat di bawah ini: 1. ℙ(𝐴) ∈ [0,1] ∀𝐴 ⊆ 𝑆 2. ℙ(𝑆) = 1, dan 3. untuk barisan berhingga atau tak hingga yang saling asing 𝐴𝑖 di dalam S berlaku ℙ (⋃ 𝐴𝑖 ) = ∑ ℙ(𝐴𝑖 ), 𝑖 𝑖

(23) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 9 Karena |𝑆| = 𝑛 dan telah diketahui ∀𝐴 ⊆ 𝑆, peluang suatu kejadian A dapat dihitung yaitu: Contoh 2.1.9 ℙ(𝐴) = |𝐴| . |𝑆| Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6 sebanyak satu kali, terdapat 6 titik sampel dalam ruang sampel {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yaitu muncul sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian-kejadian yang mungkin saja terjadi misalnya: munculnya mata dadu ganjil, munculnya mata dadu genap, munculnya mata dadu prima, dan sebagainya. Bila pada percobaan diinginkan muncul mata dadu 2, 3 dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel dari ruang sampel 3 6, maka peluang kejadian muncul mata dadu prima adalah . 6 Definisi 2.1.10 Peluang bersyarat dari kejadian E dengan syarat kejadian F didefinisikan sebagai berikut Definisi 2.1.11 ℙ(𝐸|𝐹) = ℙ(𝐸 ∩ 𝐹) , ℙ(𝐹) ≠ 0. ℙ(𝐹) Kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika diketahui ℙ(𝐸|𝐹) = ℙ(𝐸). Sebagai akibatnya, E dan F saling bebas jika dan hanya jika ℙ(𝐸 ∩ 𝐹) = ℙ(𝐸)ℙ(𝐹).

(24) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10 Contoh 2.1.11 Pada pelemparan dua keping koin sekali, M munculnya sisi angka pada koin pertama, dan N munculnya sisi gambar pada koin kedua adalah kejadian sal1 1 1 ing bebas; 𝑆 = {𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺}, ℙ(𝑀) = , ℙ(𝑁) = , ℙ(𝑀 ∩ 𝑁) = , 2 1⁄ 1 ℙ(𝑀|𝑁) = 1⁄4 = 2 = ℙ(𝑀). 2 2 4 Aturan Bayes merupakan perluasan dari peluang bersyarat. Teorema 2.1.12 (Aturan Bayes) Untuk dua kejadian E dan F berlaku ℙ(𝐹|𝐸) = Contoh 2.1.12 = ℙ(𝐸|𝐹)ℙ(𝐹) ℙ(𝐹 ∩ 𝐸) = ℙ(𝐸) ℙ(𝐸 ∩ 𝐹) + ℙ(𝐸 ∩ 𝐹 𝐶 ) ℙ(𝐸|𝐹)ℙ(𝐹) ℙ(𝐸|𝐹)ℙ(𝐹) + ℙ(𝐸|𝐹 𝐶 )ℙ(𝐹 𝐶 ) Diketahui populasi suatu kota terdiri dari 45% wanita dan 55% pria dan diketahui juga 70% dari pria dan 10% dari wanita adalah seorang perokok. Keterangan: P= kejadian yang terpilih adalah pria, W= kejadian yang terpilih adalah wanita, R= kejadian yang terpilih adalah perokok. Peluang kejadian seorang perokok dipilih secara acak, maka dengan menggunakan aturan Bayes diperoleh ℙ(𝑃|𝑅) = ℙ(𝑅|𝑃)ℙ(𝑃) ℙ(𝑅|𝑃)ℙ(𝑃) + ℙ(𝑅|𝑊)ℙ(𝑊) 70 55 . 100 100 ℙ(𝑃|𝑅) = = 0,895. 10 45 70 55 . + . 100 100 100 100 Teorema 2.1.13 (Hukum Peluang Total) Diketahui 𝐹1 , 𝐹2 , … , 𝐹𝑘 adalah partisi dari ruang sampel S, yakni

(25) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11 (1) 𝐹𝑖 ∩ 𝐹𝑗 = ∅, untuk 𝑖 ≠ 𝑗 (2) 𝐹1 ∪ 𝐹2 ∪ … ∪ 𝐹𝑘 = 𝑆 untuk setiap kejadian 𝐸 ⊆ 𝑆 berlaku Contoh 2.1.13 𝑘 𝑘 𝑖=1 𝑖=1 ℙ(𝐸) = ∑ ℙ(𝐴 ∩ 𝐹𝑖 ) = ∑ ℙ(𝐴|𝐹𝑖 )ℙ(𝐹𝑖 ). Dari hasil penelitian sebuah negara didapatkan bahwa 7% penduduk pria dan 0,4% penduduk wanita mengidap buta warna. Prosentase penduduk dalam negara tersebut yakni, tersebut 49% pria dan 51% wanita. Seorang penduduk dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa seseorang tersebut buta warna. Keterangan : C= kejadian orang yang terpilih buta warna; P= kejadian orang yang terpilih adalah pria; W=kejadian orang yang dipilih adalah wanita. Menurut Teorema 2.1.13, berlaku ℙ(𝐶) = ℙ(𝐶|𝑃)ℙ(𝑃) + ℙ(𝐶|𝑊)ℙ(𝑊) = 0,07 ∙ 0,49 + 0,004 ∙ 0,51 Definisi 2.1.14 = 0,03634. Diberikan S adalah ruang sampel dan T adalah himpunan terhitung. Peubah acak diskret X adalah fungsi dari S ke T. Distribusi dari peubah acak X adalah barisan nilai peluang ℙ(𝑋 = 𝑘) untuk setiap 𝑘 ∈ 𝑇. Contoh 2.1.14 Pada satu kali pelemparan sekeping koin setimbang, X bernilai 0 saat kejadian muncul angka dan bernilai 1 saat kejadian muncul gambar. Peluang

(26) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 12 1 X bernilai 1 dan X bernilai 0 masing-masing adalah . Tiga koin setimbang 2 dilempar dan menghasilkan 8 kemungkinan yaitu {𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺|𝐴 = sisi angka, 𝐺 = sisi gambar}, sehingga peluang 1 3 X bernilai 0 yang ditulis ℙ(𝑋 = 0) adalah . Selanjutnya ℙ(𝑋 = 1) = 8, ℙ(𝑋 = 2) = 3 1 , ℙ(𝑋 = 3) = . 8 8 8 Definisi 2.1.15 Distribusi dari peubah acak X adalah himpunan nilai-nilai dari X beserta peluangnya. Distribusi peubah acak diskret ditentukan oleh fungsi masa peluang (fmp). Jika X dan Y peubah acak diskret, maka fmp gabungannya ℙ(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦). Peluang bersyarat dari Y apabila diketahui 𝑋 = 𝑥 adalah Contoh 2.1.15 ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥) = ℙ(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) . ℙ(𝑋 = 𝑥) Diberikan satu kotak yang berisi sembilan bola yang terdiri dari dua bola merah, 3 bola biru dan 4 bola putih. Tiga bola diambil secara acak tanpa dikembalikan. Tentukan fmp bersyarat dari banyaknya bola biru yang terambil jika diketahui banyaknya bola merah yang terambil adalah satu. Keterangan: Y= banyak bola biru yang terambil dengan 𝑌 = 𝑦 dan 𝑦 ∈ {0,1,2}; X= banyak bola merah yang terambil. Menurut definisi distribusi bersyarat berlaku

(27) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13 4 3 2 ) ( )( )( 𝑦 1 2−𝑦 4 3 9 ) ) ( ( ( ) ℙ(𝑌 = 𝑦, 𝑋 = 1) 𝑦 2−𝑦 3 ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 1) = = = 2 7 ℙ(𝑋 = 1) 21 ( )( ) 1 2 9 ( ) 3 Definisi 2.1.16 2 , 7 4 = , 7 1 {7 , 𝑦=0 𝑦 = 1. 𝑦=2 Nilai harapan peubah acak diskret X, dilambangkan dengan 𝔼(𝑋), didefinisi- kan sebagai jumlah hasil kali nilai peubah acak dengan masing-masing peluangnya: 𝔼(𝑋) = ∑ 𝑥ℙ(𝑋 = 𝑥). ∀𝑥 Contoh 2.1.16 Peluang seseorang menembak tepat sasaran adalah 0,6. Jika dia melakukan tembakan sebanyak 100 kali maka nilai harapan seseorang menembak mengenai sasaran adalah Definisi 2.1.17 𝔼(𝑋) = 100 ∙ 0,6 = 60. Nilai harapan bersyarat dari peubah acak Y apabila diberikan 𝑋 = 𝑥 adalah 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑦ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥). ∀𝑦 Beberapa sifat nilai harapan bersyarat: 1. Untuk setiap peubah acak X, Y dan Z dan konstanta a dan b berlaku

(28) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14 𝔼(𝑎𝑌 + 𝑏𝑍|𝑋 = 𝑥) = 𝑎𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) + 𝑏𝔼(𝑍|𝑋 = 𝑥) 2. Jika g adalah sebuah fungsi, maka nilai harapan bersyarat untuk peubah acak diskret 𝑔(𝑌) adalah 𝔼(𝑔(𝑌)|𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑔(𝑦)ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥) ∀𝑌 3. Jika X dan Y saling bebas, maka 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = 𝔼(𝑌) 4. Jika 𝑌 = 𝑔(𝑋), maka 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = 𝑔(𝑥). Contoh 2.1.17 Diberikan nilai peluang dari = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}: ℙ(1,1) = 0,5, ℙ(1,2) = 0,1, ℙ(2,1) = 0,1, ℙ(2,2) = 0,3 Dapat dihitung peluang ber- syarat X bila diberikan 𝑌 = 1. Diketahui ℙ𝑌 (1) = ∑ ℙ(𝑥, 1) = ℙ(1,1) + ℙ(2,1) = 0,6 sehingga diperoleh 𝑋 ℙ𝑋|𝑌 (1|1) = ℙ(𝑋 = 1|𝑌 = 1) = ℙ𝑋|𝑌 (2|1) = Definisi 2.1.18 ℙ(2,1) 1 = . ℙ𝑌 (1) 6 ℙ(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) ℙ(1,1) 5 = = ℙ(𝑌 = 1) ℙ𝑌 (1) 6 Diberikan peubah acak Y dan 𝐴1 , 𝐴2 ,… , 𝐴𝑘 adalah partisi dari ruang sampel S. Berlaku 𝔼(𝑌) = ∑𝑘𝑖=1 𝔼(𝑌|𝐴𝑖 )ℙ(𝐴𝑖 ). Jika X dan Y dua peubah acak yang mempunyai distribusi bersama, maka 𝔼(𝑌) = ∑ 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥)ℙ(𝑋 = 𝑥). 𝑋

(29) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 Contoh 2.1.18 Sebuah koin setimbang dilambungkan berkali-kali. Dinotasikan A= kejadian muncul angka, G= kejadian muncul gambar. Koin dilambungkan sekali dengan kemungkinan hasil A dan G, dilambungkan dua kali dengan kemungkinan 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺 dan seterusnya sehingga didapatkan S = {𝐴, 𝐺, 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺, 𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐴𝐺, … }. Andaikan S dipartisi menjadi 3 partisi: S1 = {lambungan 1: A}; S2 = {lambungan 1 dan 2: GA}; 𝑆3 = {lambungan 1 dan 2: GG} dengan S1 terjadi saat diperlukan setidaknya 3 kali pelambungan, S2 terjadi saat diperlukan setidaknya 4 kali pelambungan dan S3 terjadi saat diperlukan hanya 2 kali pelambungan. Tentukan nilai harapan dari Y= banyaknya pelambungan yang dilakukan untuk mendapat dua gambar berurutan. Menurut Definisi 2.1.18 𝔼(𝑌) = 𝔼(𝑌|S1)ℙ(𝑆) + 𝔼(𝑌|𝑆2 )ℙ(𝑆) + 𝔼(𝑌|S3 )ℙ(𝑆3 ) karena pelambungan bersifat saling bebas, berlaku dan 𝔼(𝑌|S1) = 1 + 𝔼(𝑌), 𝔼(𝑌|S2 ) = 2 + 𝔼(𝑌) 1 1 1 𝔼(𝑌) = (1 + 𝔼(𝑌)) + (2 + 𝔼(𝑌)) + 2 ∙ 2 4 4 4𝔼(𝑌) = 2 + 2𝔼(𝑌) + 2 + 𝔼(𝑌) + 2 Definisi 2.1.19 𝔼(𝑌) = 6. Misal X adalah suatu peubah acak dengan 𝔼(𝑋) = 𝑈. Variansi peubah X, dengan simbol 𝑉𝑎𝑟(𝑋), didefinisikan sebagai

(30) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16 𝑡 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼[(𝑋 − 𝑈)2 ] = ∑(𝑥𝑖 − 𝑈)2 ℙ(𝑥𝑖 ). 𝑖=1 Variansi peubah X merupakan rata-rata nilai harapan dari deviasi kuadrat. Teorema 2.1.20 Apabila X suatu peubah acak dengan rata-rata 𝔼(𝑋) = 𝑈 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎 2 , maka Contoh 2.1.20 𝜎 2 = 𝔼(𝑋 2 ) − [𝔼(𝑋)]2 = 𝔼(𝑋 2 ) − 𝑈 2 . Banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama satu minggu adalah sebanyak X. Peluang terjadinya 𝑋 = 𝑥 adalah ℙ(𝑋). Dihitung rata-rata banyaknya pesanan yang diharapkan dan variansinya, dengan diketahui data sebagai berikut. X 0 1 2 3 ℙ (X) 0,125 0,375 0,375 0,125 Dihitung terlebih dahulu nilai harapan dari kasus diatas 𝔼(𝑋) = 0 ∙ ℙ(0) + 1 ∙ ℙ(1) + 2 ∙ ℙ(2) + 3 ∙ ℙ(3), 𝔼(𝑋) = 0 ∙ 0,125 + 1 ∙ 0,375 + 2 ∙ 0,375 + 3 ∙ 0,125, 𝔼(𝑋) = 1,5. Selanjutnya dihitung variansinya, 𝑡 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝑈)2 ℙ(𝑥𝑖 ) 𝑖=1 = (0 − 1,5)2 ∙ 0,125 + (1 − 1,5)2 ∙ 0,375

(31) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17 +(2 − 1,5)2 ∙ 0,375 + (3 − 1,5)2 ∙ 0,125 = 0,75. Definisi 2.1.21 Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan nilai bilangan bulat positif. Fungsi pembangkit momen dari peubah acak didefinisikan sebagai berikut 𝑔𝑋 (𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑥 ) = ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 = 𝑛) 𝑛≥0 Jelas bahwa, 𝑔𝑋 (𝑠) adalah sebuah deret pangkat dan berlaku |𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 = 𝑛)| ≤ |𝑠|𝑛 , 𝑠 ∈ (−1,1]. Proposisi 2.1.22 Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling asing, maka 𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = 𝑔𝑋 (𝑠)𝑔𝑌 (𝑠). Bukti: Menurut definisi 𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 + 𝑌 = 𝑛) 𝑛≥0 di lain pihak, 𝑛 ℙ(𝑋 + 𝑌 = 𝑛) = ∑ ℙ(𝑋 = 𝑘; 𝑌 = 𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 𝑛 = ∑ ℙ(𝑋 = 𝑘)ℙ(𝑌 = 𝑛 − 𝑘), 𝑘=0 di mana persamaan terakhir didapatkan dari X dan Y yang saling bebas. Jadi 𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = ∑𝑛≥0 𝑠 𝑛 ∑𝑘≥0 ℙ(𝑋 = 𝑘)ℙ(𝑌 = 𝑛 − 𝑘) = ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 = 𝑛) ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑌 = 𝑛) 𝑛≥0 = 𝑔𝑋 (𝑠)𝑔𝑌 (𝑠). 𝑛≥0

(32) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 Proposisi 2.1.23 Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi pembangkit momen 𝑔𝑋 dan 𝑔𝑌 . Diasumsikan |𝑠| < 1 Jika 𝑔𝑋 (𝑠) = 𝑔𝑌 (𝑠) maka X dan Y memiliki distribusi yang sama. Berikut akan dijelaskan beberapa contoh peubah acak diskret yang akan sering digunakan. 1. Peubah Acak Bernouli Diberikan percobaan dengan dua hasil yang mungkin: sukses dan gagal. Kita notasikan 𝑋 = 1 bila percobaan berhasil dan 𝑋 = 0 bila percobaan gagal. Nilai 0 dan 1 adalah nilai peubah acak Bernoulli. Dinotasikan ℙ(𝑋 = 1) = 𝑝 dan ℙ(𝑋 = 0) = 𝑞 = 1 − 𝑝. Kita mempunyai dan 𝔼(𝑋) = 1 ∙ 𝑝 + 0 ∙ (1 − 𝑝) = 𝑝, 𝔼(𝑋 2 ) = 1 ∙ 𝑝 + 02 ∙ (1 − 𝑝) = 𝑝. Sehingga, 𝔼(𝑋) = 𝑝 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼(𝑋 2 ) − [𝔼(𝑋)]2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝𝑞. 2. Peubah Acak Binomial Dipandang n peubah acak Bernoulli yang saling bebas dan berdistribusi identik 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 . Diberikan p adalah peluang kesuksesan. Untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 ℙ(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝. Apabila B adalah peubah acak yang memberikan jumlah sukses dengan n ulangan (trial), dengan i merupakan sukses jika 𝑋𝑖 = 1 dan gagal jika 𝑋𝑖 = 0, maka menurut Proposisi 2.1.23

(33) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19 𝐵 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 . Peubah acak B dikatakan mempunyai distribusi Binomial dengan parameter n dan p yang dapat dibuktikan dengan Proposisi 2.2.23 fungsi pembangkit momen dari B sama dengan distribusi Binomial. Sehingga didapatkan ℙ(𝐵 = 𝑘) untuk 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛. Secara umum, jumlah peluang untuk sukses sebanyak k dalam n kali percobaan adalah 𝑛! 𝑛 ( )= . 𝑘 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! Untuk masing-masing kemungkinan memiliki peluang 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 dan masing-masing kemungkinan saling bebas. Jadi, untuk k=0,1,…,n berlaku 𝑛 distribusi binomial ℙ(𝐵 = 𝑘) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 . 𝑘 Nilai harapan dari distribusi Binomial adalah 𝔼(𝐵) = 𝔼(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = 𝔼(𝑋1 ) + 𝔼(𝑋2 ) + ⋯ + 𝔼(𝑋𝑛 ) = 𝑛𝑝. Variansi distribusi Binomial adalah 𝑉𝑎𝑟(𝐵) = 𝔼(𝐵2 ) − [𝔼(𝐵)]2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞. 3. Peubah Acak Geometri Diasumsikan peluang percobaan p adalah sukses dan 𝑞 = 1 − 𝑝 adalah gagal. X adalah peubah acak yang berdistribusi Geometri, jika distribusi dari X diberikan oleh ℙ(𝑋 = 𝑘) = 𝑞 𝑘−1 𝑝 untuk semua 𝑘 ≥ 1. Dari jumlahan deret Geometri ∑ 𝑥𝑘 = 𝑘≥0 1 untuk semua 𝑥 ∈ (−1,1), 1−𝑥 dengan menurunkan jumlahan di atas didapatkan

(34) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20 ∑ 𝑘𝑥 𝑘−1 = 𝑘≥1 1 . (1 − 𝑥)2 Penerapan rumus tersebut mendapatkan nilai harapan 𝔼(𝑋) = ∑ 𝑘𝑞 𝑘−1 𝑝 = 𝑝 𝑘≥1 Variansi dari distribusi Geometri adalah 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼(𝑋 2 ) − [𝔼(𝑋)]2 = Definisi 2.1.24 1 1 = . (1 − 𝑞)2 𝑝 (1 − 𝑝) 1+𝑞 1 − = . 𝑝2 𝑝2 𝑝2 Peubah acak N dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter 𝜆 jika ℙ(𝑁 = 𝑘) = 𝑒 −𝜆 dan 𝜆 merupakan parameter dari N. 𝜆𝑘 untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑘! Selanjutnya dihitung nilai harapan dari peubah acak Poisson N dengan pa- rameter 𝜆: ∞ 𝔼(𝑁) = ∑ 𝑘ℙ(𝑁 = 𝑘) 𝑘=0 ∞ = ∑ 𝑘𝑒 𝑘=1 =𝑒 −𝜆 =𝑒 −𝜆 −𝜆 ∞ 𝜆𝑘−1 𝜆∑ (𝑘 − 1)! 𝑘=1 ∞ 𝜆∑ 𝑘=0 = 𝑒 −𝜆 𝜆𝑒 𝜆 = 𝜆. 𝜆𝑘 𝑘! 𝜆𝑘 𝑘!

(35) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21 Nilai harapan dan variansi distribusi Poisson dihitung sebagai berikut. Dimisalkan terlebih dahulu 𝔼(𝑁 2 ) = 𝔼(𝑁 2 ) − 𝔼(𝑁) + 𝔼(𝑁) = 𝔼[𝑁 2 − 𝑁] + 𝔼(𝑁) = 𝔼[𝑁(𝑁 − 1)] + 𝔼(𝑁), selanjutnya ∞ 𝔼[𝑁(𝑁 − 1)] = ∑ 𝑘(𝑘 − 1)ℙ(𝑁 = 𝑘) 𝑘=0 ∞ = ∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝑒 𝑘=2 ∞ = ∑ 𝑘(𝑘 − 1) 𝑘=2 2 ∞ =𝜆 ∑ karena 𝑘=2 −𝜆 𝜆𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜆 𝜆2 𝜆𝑘−2 𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)! 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘−2 (𝑘 − 2)! ∞ sehingga Oleh karena itu, 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘−2 =1 ∑ (𝑘 − 2)! 𝑘=2 𝔼[𝑁(𝑁 − 1)] = 𝜆2 . 𝔼(𝑁 2 ) = 𝔼[𝑁(𝑁 − 1)} + 𝔼(𝑁) 𝔼(𝑁 2 ) = 𝜆2 + 𝜆. Variansi dari distribusi Poisson adalah 𝑉𝑎𝑟(𝑁) = 𝔼(𝑁 2 ) − [𝔼(𝑁)]2 = 𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2 = 𝜆.

(36) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22 Perluasan dari Distribusi Poisson Diasumsikan N memiliki distribusi Poisson dengan parameter 𝜆. Jika 𝑁 = 0 maka 𝑁1 = 0. Misalkan 𝑛 ≥ 1, dan diberikan 𝑁1 adalah binomial dengan parameter n dan p. Dengan demikian, dapat ditulis jumlahan 𝑛 𝑁𝑖 = ∑ 𝑋𝑖 𝑖=1 yang merupakan peubah acak Bernoulli dengan distribusi ℙ(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝 dan ℙ(𝑋𝑖 = 0) = 1 − 𝑝. Diasumsikan N memiliki distribusi Poisson dengan parameter 𝜆. 𝑛 ℙ(𝑁1 = 𝑘|𝑁 = 𝑛) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 . 𝑘 ∞ ℙ(𝑁1 = 𝑘) = ∑ ℙ(𝑁1 = 𝑘|𝑁 = 𝑛)ℙ(𝑁 = 𝑛). 𝑛=𝑘 ∞ 𝜆𝑛 𝑛 = ∑ ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒 −𝜆 . 𝑘 𝑛! 𝑛=𝑘 ∞ ∞ 1 1 = 𝑝𝑘 𝜆𝑘 𝑒 −𝜆 ∑ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝜆𝑛−𝑘 . (𝑛 𝑘! − 𝑘)! 𝑛=𝑘 ∞ 1 1 ∑ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝜆𝑛−𝑘 = ∑ (1 − 𝑝)𝑛 𝜆𝑛 = 𝑒 𝜆(1−𝑝) . (𝑛 − 𝑘)! 𝑛! 𝑛=𝑘 ℙ(𝑁1 = 𝑘) = 𝑛=𝑘 (𝜆𝑝)𝑘 1 𝑘 𝑘 −𝜆 𝜆(1−𝑝) 𝑝 𝜆 𝑒 𝑒 = 𝑒 −𝜆𝑝 . 𝑘! 𝑘! Didapatkan fungsi pembangkit momen dari 𝑁1 𝑔𝑁1 (𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑁1 ) = ∑ 𝔼(𝑠 𝑁1 |𝑁 = 𝑛)ℙ(𝑁 = 𝑛), 𝑛≥0

(37) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23 digunakan nilai rata-rata untuk nilai harapan. Distribusi peubah acak Binomial adalah jumlahan dari peubah acak Bernoulli yang saling bebas. Sehingga 𝑛 𝔼(𝑠 𝑁1 |𝑁 = 𝑛) = 𝔼(𝑠 ∑𝑖=1 𝑋𝑖 ) = 𝔼(𝑠 𝑋 )𝑛 . Oleh karena itu didapatkan, 𝑔𝑁1 (𝑠) = ∑ 𝔼(𝑠 𝑋 )𝑛 ℙ(𝑁 = 𝑛) = 𝑔𝑁 (𝐸(𝑠 𝑋 )). 𝑛≥0 Karena N adalah peubah acak Poisson dengan parameter 𝜆 dimiliki 𝑔𝑁 (𝑠) = 𝑒 𝜆(−1+𝑠) . Karena X adalah peubah acak Bernoulli dimiliki 𝔼(𝑠 𝑋 ) = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑠. Sehingga 𝑔𝑁1 (𝑠) = 𝑔𝑁 (𝔼(𝑠 𝑋 )) = exp(𝜆(−1 + 1 − 𝑝 + 𝑝𝑠)) = exp(𝜆𝑝(−1 + 𝑠)). Terbukti bahwa parameter distribusi Poisson dari N adalah 𝜆. Hal tersebut menunjukkan juga bahwa fpm menyederhanakan perhitungan. Jumlahan Peubah Acak Poison Diasumsikan bahwa 𝑁1 dan 𝑁2 adalah peubah acak Poisson yang saling bebas dengan parameter 𝜆1 dan 𝜆2 . Misalkan 𝑛 ≥ 0. Dimiliki 𝑛 {𝑁 = 𝑛} = ⋃{𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘}. 𝑘=0 Hal itu dikarenakan jika 𝑁 = 𝑛 maka 𝑁1 haruslah sebarang k. Jika 𝑁1 = 𝑘 maka 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘. Jadi, kejadian {𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘} untuk 𝑘 = 0, . . 𝑛 saling asing. Didapatkan 𝑛 ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ ℙ( 𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘). 𝑘=0

(38) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24 Sehingga 𝑁1 dan 𝑁2 saling bebas untuk setiap k ℙ(𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘) = ℙ(𝑁1 = 𝑘)ℙ( 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘). Oleh karena itu, 𝑛 ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ ℙ( 𝑁1 = 𝑘)ℙ( 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘). 𝑘=0 Digunakan distribusi Poisson 𝑁1 dan 𝑁2 untuk mendapatkan 𝑛 ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ 𝑒 −𝜆1 𝑘=0 𝜆1𝑘 −𝜆 𝜆1𝑛−𝑘 𝑒 2 . (𝑛 − 𝑘)! 𝑘! Dengan menggunakan pembagian dan perkalian 𝑛! didapatkan 𝑛 1 1 𝑛 ℙ(𝑁 = 𝑛) = 𝑒 −𝜆1 −𝜆2 ∑ ( ) 𝜆1𝑘 𝜆1𝑛−𝑘 = 𝑒 −𝜆1 −𝜆2 (𝜆1 + 𝜆2 )𝑛 , 𝑘 𝑛! 𝑛! 𝑘=0 di mana persamaan terakhir menggunakan teorema Binomial. Persamaan di atas menunjukkan 𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2 adalah distribusi Poisson, dengan parameter 𝜆1 + 𝜆2 . Diasumsikan X dan Y adalah peubah acak Poisson yang saling bebas dengan nilai 𝜆 dan µ. Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dari X diperoleh. 𝑘 −𝜆 𝑔𝑋 (𝑠) = ∑ 𝑠 𝑒 𝑘≥0 Menggunakan Proposisi 2.2.22 didapatkan 𝜆𝑘 = 𝑒 𝜆(𝑠−1) . 𝑘! 𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = 𝑔𝑋 (𝑠)𝑔𝑌 (𝑠) = 𝑒 𝜆(𝑠−1) 𝑒 𝜇(𝑠−1) = 𝑒 (𝜆+𝜇)(𝑠−1) . Fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson dengan parameter 𝜆 + 𝜇. Sehingga dapat disimpulkan distribusi dari 𝑋 + 𝑌 adalah distribusi Poisson dengan parameter 𝜆 + 𝜇.

(39) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 B. Proses Stokastik Pada subbab ini akan dipelajari lebih lanjut mengenai proses stokastik dengan fokus pada rantai Markov. Proses stokastik adalah koleksi dari peubah acak {𝑋𝑡 (𝑠) ∶ 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑠 ∈ 𝑆 }, dimana T adalah himpunan indeks waktu dan S adalah ruang sampel bersama dari peubah acak. Untuk setiap t, 𝑋𝑡 (𝑠) menyatakan satu peubah acak yang terdefinisi pada S. Untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑋𝑡 (𝑠) berkorespondensi dengan fungsi yang terdefinisi pada T dan disebut lintasan sampel (realisasi, trayektori dari proses stokastik). Proses stokastik terbagi dalam 2 klasifikasi waktu: 1. Jika T adalah himpunan diskret (terhitung) maka (𝑋𝑡 )𝑡∈𝑇 disebut proses stokastik waktu diskret. 2. Jika T adalah himpunan kontinu (tak terhitung) maka (𝑋𝑡 )𝑡∈𝑇 disebut proses stokastik waktu kontinu. Proses stokastik yang digunakan dalam skripsi ini hanya proses stokastik waktu diskret. Definisi 2.2.1 Rantai Markov merupakan proses stokastik waktu diskret (𝑋𝑛 )𝑛≥0 = (𝑋0 , 𝑋1 , 𝑋2 , … ) dengan nilai di dalam 𝐾 sehingga berlaku ℙ(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑥0 , 𝑋1 = 𝑥1 , … , 𝑋𝑛−1 = 𝑥𝑛−1 , 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 ) = ℙ(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖) untuk setiap Himpunan 𝐾 disebut sebagai ruang keadaan (state space) dari rantai Markov.

(40) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26 Sifat rantai Markov secara umum adalah peluang kejadian saat ini hanya dipengaruhi oleh kejadian tepat satu satuan waktu sebelumnya dan tidak dipengaruhi oleh kejadian di masa lampau. Definisi 2.2.2 Rantai Markov dikatakan homogen waktu apabila peluang bersyarat tidak bergantung pada n. Notasi 𝒫𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa proses akan berada di keadaan j apabila diketahui sebelumnya berada di keadaan i. Rantai Markov dapat direpresentasikan dalam matriks 𝒫 yang elemen-elemennya adalah 𝒫𝑖𝑗 = ℙ(𝑋1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) 𝒫11 𝒫12 … 𝒫1𝑛 𝒫 𝒫22 ⋯ 𝒫2𝑛 ) 𝒫 = ( 21 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝒫𝑛1 𝒫𝑛2 … 𝒫𝑛𝑛 Matriks ini disebut matriks transisi peluang untuk rantai Markov. Contoh 2.2.2 Rantai Markov yang mendeskripsikan perubahan cuaca, direpresentasikan oleh matriks 𝑐 𝑏 ℎ 𝑐 0,2 0,6 0,2 𝒫 = 𝑏 0,1 0,8 0,1 ( ) ℎ 0,1 0,6 0,3 Notasi c=cerah, b=berawan, dan h=hujan. Keadaan cuaca hari ini hanya dipengaruhi oleh keadaan cuaca kemarin dan tidak dipengaruhi oleh cuaca hari-hari sebelumnya. (𝑋𝑛 )𝑛≥0 = (𝑋0 , 𝑋1 , 𝑋2, … ). Peluang transisi 1 langkah dari perubahan cuaca adalah ℙ(𝑋1 = 𝑏|𝑋0 = 𝑐) = 0,6.

(41) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27 Peluang transisi n-langkah Diberikan keadaan i dan j, 𝑛 ≥ 1 ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimulai di i akan berada di j setelah n langkah. Matriks dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j adalah ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) disebut matriks transisi n-langkah dari rantai Markov. Persamaan Chapman-Kolmogorov Persamaan Chapman-Kolmogorov digunakan untuk menghitung peluang transisi 𝑛 + 𝑚 langkah, yakni untuk ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ0 = ℕ ∪ {0} berlaku 𝒫 𝑚+𝑛 = 𝒫 𝑚 𝒫. Dengan kata lain, (𝒫 𝑚+𝑛 )𝑖𝑗 = ∑(𝒫 𝑚 )𝑖𝑘 + (𝒫 𝑛 )𝑘𝑗 , ∀𝑖𝑗. Jadi, ℙ(𝑋𝑛+𝑚 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) = ∑ ℙ(𝑋𝑚 = 𝑘|𝑋0 = 𝑖)ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑘) 𝑘 = ∑ ℙ(𝑋𝑚 = 𝑘|𝑋0 = 𝑖) ℙ(𝑋𝑛+𝑚 = 𝑗|𝑋𝑚 = 𝑘). Definisi 2.2.3 𝑘 Vektor 𝕊 = (𝕊1 𝕊2 … 𝕊𝑛 ) disebut vektor peluang jika ∑𝑛𝑖=1 𝕊𝑖 = 1. Contoh 2.2.3 Diberikan vektor peluang cuaca besok bila hari ini cerah, 𝑐𝑒𝑟𝑎ℎ 1 𝕊= ( 2 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑛 0 𝕊𝑐𝑒𝑟𝑎ℎ + 𝕊𝑏𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑛 + 𝕊ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 = Jadi, vektor 𝕊 adalah vektor peluang. ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 1 ), 2 1 1 + 0 + = 1. 2 2

(42) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28 Definisi 2.2.4 Diberikan rantai Markov (𝑋𝑛 )𝑛≥0 = (𝑋0 , 𝑋1, 𝑋2, … ). 1. ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗) disebut distribusi rantai Markov pada waktu ke-n, 2. untuk 𝑛 = 0, ℙ(𝑋0 = 𝑗) disebut distribusi awal dari rantai Markov, 3. vektor peluang 𝕊 = (𝕊1 𝕊2 … 𝕊𝑛 ) disebut distribusi stasioner dari rantai Markov jika 𝒫 ∙ 𝕊 = 𝕊. Peluang Rantai Markov Diberikan rantai Markov (𝑋𝑛 )𝑛≥0 . Didefinisikan: 𝑓𝑖𝑖𝑛 adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimiliki dari keadaan i akan kembali ke keadaan i untuk pertama kalinya tepat setelah n transisi. 𝑓𝑖 adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimulai dari keadaan i akan kembali ke i setelah sejumlah hingga transisi. Jadi 𝑓𝑖 = ∑𝑛 𝑓𝑖𝑖𝑛 . Definisi 2.2.5 Diketahui rantai Markov (𝑋𝑛 )𝑛≥0 dengan ruang keadaan 𝐾 dan 𝑛 𝑝𝑖𝑗 = (ℙ𝑛 )𝑖𝑗 = ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖). (absorbing) apabila 𝑝𝑖𝑖 = 1. Keadaan i dikatakan menyerap

(43) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29 C. Sifat-sifat dari Kalkulus Di bagian ini akan diberikan beberapa sifat dari kalkulus yang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya. Lemma 2.3.1 𝑛 Untuk |𝑥| < 1 berlaku 1 − √1 − 𝑥 = ∑∞ 𝑛=1 𝑐𝑛 𝑥 dengan untuk 𝑛 ≥ 1. 𝑐𝑛 = (2𝑛 − 2) − 1)! 22𝑛−1 𝑛! (𝑛 Bukti: Pembuktian menggunakan deret MacLaurin untuk fungsi √1 − 𝑥. Ingat: ∞ 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑛! 𝑛=0 1 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2 , 𝑓(0) = 1 Jadi 1 1 𝑓 ′ (𝑥) = − (1 − 𝑥)−2 2 3 1 𝑓′′(𝑥) = − (1 − 𝑥)−2 4 5 3 𝑓 ′′′ (𝑥) = − (1 − 𝑥)−2 8 7 15 𝑓 (4) (𝑥) = − (1 − 𝑥)−2 16 𝑓(𝑥) = (1 − dan 1 𝑥)2 ∞ =∑ 𝑛=0 1 2 1 , 𝑓′′(0) = − 4 3 , 𝑓′′′(0) = − 8 15 , 𝑓 (4) (0) = − 16 , 𝑓′(0) = − 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑥 𝑛! 1 1 1 3 1 15 1 4 = 1 − 𝑥 − ∙ 𝑥2 − ∙ 𝑥3 − ∙ 𝑥 −⋯ 2 4 2! 8 3! 16 4! 1 1 1 3 1 15 1 4 ∙ 𝑥 + ⋯. 1 − √1 − 𝑥 = 𝑥 + ∙ 𝑥 2 + ∙ 𝑥 3 + 2 4 2! 8 3! 16 4!

(44) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30 Diperhatikan barisan koefisien 1 − √1 − 𝑥 yaitu memiliki pola 1 1 3 15 , , , , …, 2 4 8 16 Jadi, 22𝑛−1 (𝑛 (2𝑛 − 2)! . − 1)! 1 − √1 − 𝑥 = 1 1 1 3 1 15 1 4 𝑥 + ∙ 𝑥2 + ∙ 𝑥3 + ∙ 𝑥 +⋯ 2 4 2! 8 3! 16 4! ∞ =∑ 𝑛=1 ∞ (2𝑛 − 2)! 𝑥𝑛 − 1)! 22𝑛−1 𝑛! (𝑛 = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ∎ 𝑛=1 Teorema 2.3.2 (Teorema Nilai Ekstrem) Jika diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dengan sifat: 1. f terdiferensial di 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), dan 2. c adalah pembuat maksimum atau minimum dari f, maka 𝑓 ′ (𝑐) = 0. Bukti: Akan dibuktikan maksimum lokal, yakni c adalah pembuat maksimum lokal dari f. Secara khusus, jika 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) ≤ 0. Diambil 𝑥 > 𝑐 dengan 𝑦 < 𝑐. 𝑚𝑔 = 𝑚𝑙 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) ≥0 𝑐−𝑦 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) ≤0 𝑐−𝑦

(45) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31 Ambil barisan (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ dan (𝑦𝑛 )𝑛∈ℕ dengan 𝑥𝑛 > 𝑐 dan 𝑦𝑛 > 𝑐 ∀𝑛∈ℕ sehingga 𝑥𝑛 → 𝑐 dan 𝑦𝑛 → 𝑐 Sebagai contoh: 𝑥𝑛 = 𝑐 + 1 𝑛 Karena f terdiferensial di c, maka 𝑦𝑛 = 𝑐 − 1 𝑛 𝑓(𝑦𝑛 ) − 𝑓(𝑐) 𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑐) = 𝑓 ′ (𝑐) = lim ≥0 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑦𝑛 − 𝑐 𝑥𝑛 − 𝑐 0 ≥ lim Jadi, 0 ≤ 𝑓′(𝑐) ≤ 0, artinya 𝑓’(𝑐) = 0. ∎ Teorema 2.3.3 (Teorema Rolle) Misalkan f kontinu pada selang [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada selang terbuka (𝑎, 𝑏). Jika 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), maka terdapat minimal satu bilangan c dalam (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓’(𝑐) = 0. Bukti: Misalkan 𝑓(𝑎) = 𝑑 = 𝑓(𝑏). Kasus 1. Misalkan 𝑓(𝑥) < 𝑑 untuk beberapa x dalam (𝑎, 𝑏). Berdasarkan Teorema 2.3.2, diketahui bahwa f memiliki nilai minimum pada c dalam selang tersebut. Lebih jauh, karena 𝑓(𝑐) < 𝑑, nilai minimum tidak terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai minimum dalam selang terbuka (𝑎, 𝑏). Hal ini mengakibatkan 𝑓(𝑐) merupakan nilai minimum lokal dan c merupakan pembuat minimum dari f. Sehingga, karena f terdiferensial pada c, dapat disimpulkan bahwa 𝑓’(𝑐) = 0. Kasus 2. Misalkan 𝑓(𝑥) > 𝑑 untuk beberapa x dalam (𝑎, 𝑏). Berdasarkan Teorema 2.3.2, diketahui bahwa f memiliki nilai maksimum pada c dalam selang tersebut. Selanjutnya, karena 𝑓(𝑐) > 𝑑, nilai maksimum ini tidak

(46) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 32 terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai maksimum dalam selang buka (𝑎, 𝑏). Hal ini mengakibatkan 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum lokal dan c merupakan pembuat maksimum dari f. Oleh karena itu, karena f terdiferensial pada c, dapat ditarik kesimpulan bahwa 𝑓’(𝑐) = 0. Kasus 3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑑 untuk semua x dalam [𝑎, 𝑏], maka f konstan pada selang tersebut dan 𝑓’(𝑥) = 0 untuk semua x dalam (𝑎, 𝑏). ∎ Lemma 2.3.4 Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ merupakan fungsi kontinu dan 𝑓(𝑎) < 0, 𝑓(𝑏) > 0, maka terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓(𝑐) = 0. Teorema 2.3.5 (Teorema Nilai Antara) Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ merupakan fungsi kontinu dan 𝑦 ∈ ℝ dengan 𝑓(𝑎) < 𝑦 < 𝑓(𝑏) atau 𝑓(𝑏) < 𝑦 < 𝑓(𝑎), maka terdapat 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑦. Bukti: 1. Jika 𝑓(𝑎) < 𝑦 < 𝑓(𝑏), maka didefinisikan 𝑔(𝑥) ≔ 𝑓(𝑥) − 𝑦 jelas bahwa 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ fungsi kontinu. 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑦 < 0 dan 𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑦 > 0 menurut Lemma 2.3.4 terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑔(𝑐) = 0 ⟺ 𝑓(𝑐) − 𝑦 = 0 ⟺ 𝑓(𝑐) = 𝑦. 2. Jika 𝑓(𝑏) < 𝑦 < 𝑓(𝑎), maka didefinisikan ℎ(𝑥) ≔ 𝑦 − 𝑓(𝑥) jelas bahwa ℎ: [𝑎, 𝑏] → ℝ fungsi kontinu. ℎ(𝑎) = 𝑦 − 𝑓(𝑎) < 0 dan h(𝑏) = 𝑦 − 𝑓(𝑏) > 0 menurut Lemma 2.3.4 terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga ℎ(𝑐) = 0 ⟺ 𝑦 − 𝑓(𝑐) = 0 ⟺ 𝑓(𝑐) = 𝑦. ∎

(47) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33 Teorema 2.3.6 (Teorema Nilai Rata-Rata) Jika f kontinu pada selang tertutup [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏), maka ada suatu bilangan c dalam (𝑎, 𝑏) sedemikian sehingga 𝑓 ′ (𝑐) = Bukti: Didefinisikan dengan ℎ = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) . 𝑏−𝑎 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ sebagai 𝑔(𝑥): = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏) − ℎ(𝑥 − 𝑏) 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 . Dalam hal ini, g kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑏). Diperoleh juga 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) − 𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 (𝑎 − 𝑏) = 0 dan (𝑏 − 𝑏) = 0 sehingga didapatkan 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏). Jadi, menurut hipotesis dalam Teorema Rolle, haruslah terdapat suatu titik c dalam (𝑎, 𝑏) sedemikian hingga 𝑔’(𝑐) = 0. Karena 𝑔′ (𝑐) = 𝑓’(𝑐) − 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) = 𝑏−𝑎 , sehingga diperoleh 𝑓’(𝑐) − 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 .∎ 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 = 0, dan didapatkan 𝑓’(𝑐) =

(48) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB III PROSES PERCABANGAN BGW A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW Proses percabangan (branching process) merupakan sebuah proses stokastik dalam waktu diskret yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton dan Watson sehingga dikenal juga dengan nama proses Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Proses BGW banyak digunakan pada model pertumbuhan dan peluruhan populasi. Populasi dapat berupa gen mutan, neutron pada reaksi rantai nuklir, ataupun hewan dengan siklus kelahiran tahunan. Pertumbuhan populasi disebabkan karena individu-individu di dalam populasi menghasilkan keturunan. Banyaknya keturunan dari setiap individu berbeda tetapi memiliki pola distribusi yang identik. Pola yang dimiliki yakni percabangan. Pola distribusi yang identik dapat digunakan untuk menghitung peluang dari sifat-sifat keturunan maupun proses secara keseluruhan. Proses percabangan digunakan untuk mendeskripsikan evolusi terhadap waktu diskret dari satu generasi ke generasi berikutnya dalam suatu populasi. Terdapat beberapa asumsi dasar yang sudah disepakati dan digunakan dalam proses BGW. Jumlah individu awal pada generasi pertama diberi notasi 𝑍0 . Generasi awal diberi label 0 dan memiliki 1 anggota individu (ancestor). Hasil keturunan dari generasi pertama disebut generasi kedua, hasil keturunan generasi kedua disebut generasi ketiga dan seterusnya. Banyak atau total individu pada generasi ke-n dinotasikan dengan 𝑍𝑛 , 𝑛 ≥ 0. Banyaknya keturunan dari setiap generasi populasi bersifat acak, dan mengikuti suatu distribusi peluang (𝑝𝑘 )𝑘≥0 yang disebut distribusi keturunan (offspring 34

(49) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35 generation). Dalam proses percabangan BGW, ruang keadaan 𝕊 merupakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Untuk setiap 𝑛 ≥ 0, 𝑍𝑛 merupakan peubah acak. Peubah acak Y yang berdistribusi (𝑝𝑘 )𝑘≥0 mendeskripsikan banyaknya keturunan dari setiap anggota pada setiap generasi dari populasi bersifat saling bebas atau independen. Jadi, untuk setiap individu pada setiap generasi menghasilkan Y keturunan pada generasi berikutnya, dengan Y adalah peubah acak yang bernilai ℕ0 dengan distribusi peluang (𝑝𝑘 )𝑘≥0 . Dengan kata lain, ℙ(𝑌 = 𝑘) = 𝑝𝑘 , 𝑘 = 0, 1, … Sesuai dengan asumsi awal, banyak keturunan dari setiap individu akan saling bebas menurut distribusi (𝑝𝑘 )𝑘≥0. Proses percabangan BGW adalah sebuah rantai Markov dengan peluang transisi 1 langkah diberikan oleh 𝑝(𝑖, 𝑗) = ℙ(𝑍𝑛+1 = 𝑗|𝑍𝑛 = 𝑖). Jadi, bilangan 𝑝(𝑖, 𝑗) adalah peluang bersyarat 𝑍𝑛+1 = 𝑗 bila diketahui 𝑍𝑛 = 𝑖. Sehingga mudah dilihat 𝑝(0, 𝑖) = 0, 𝑖 ≥ 1 dan 𝑝(0,0) = 1. Proses percabangan BGW (𝑍𝑛 )𝑛≥0 mempunyai 0 sebagai keadaan menyerap. Perhatikan bahwa 𝑖 𝑝(𝑖, 𝑗) = ℙ(𝑍𝑛+1 = 𝑗|𝑍𝑛 = 𝑖) = ℙ (∑ 𝑌𝑘 = 𝑗) 𝑘=1 dengan (𝑌𝑘 )1≤𝑘≤𝑖 adalah barisan dari distribusi peubah acak saling bebas identik dengan distribusi (𝑝𝑘 )𝑘≥0 . Hal tersebut menunjukkan bahwa distribusi dari 𝑍𝑛+1 dihitung hanya dengan menggunakan 𝑍𝑛 . Dalam menghitung

(50) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36 distribusinya tidak diperlukan perhitungan mulai dari awal keturunan, hanya diperlukan 1 keturunan sebelumnya. Sifat itu tidak lain adalah sifat Markov dari proses percabangan BGW. Untuk 𝑍𝑛 = 𝑖, dapat ditulis ∞ 𝑍𝑛+1 = ∑ 𝑌𝑘,𝑛 = 𝑗, 𝑘=1 (𝑌𝑘,𝑛 )1≤𝑘≤𝑖 dengan indeks n digunakan untuk mengindikasikan barisan saling bebas berbeda untuk setiap n. Notasi n pada ruas kiri dapat diabaikan untuk menghindari pengulangan indeks. Menurut definisi nilai harapan peubah acak diskret diperoleh: 𝔼(𝑋) = ∑ 𝑘. ℙ(𝑋 = 𝑘), 𝑘 dalam proses BGW diperoleh juga ∞ ∞ 𝑘 𝑘 𝑚 = ∑ 𝑘. ℙ(𝑋 = 𝑘) = ∑ 𝑘. 𝑝𝑘 . Jadi, nilai rata-rata banyaknya keturunan dalam proses BGW adalah ∞ 𝑚 = ∑ 𝑘. 𝑝𝑘 𝑘=0 dengan 𝑚 ∈ [0, ∞].

(51) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37 Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan. Diberikan q adalah peluang proses BGW yang dimulai dengan 1 individu yang akan punah. Fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan: ∞ 𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑘 . 𝑠 𝑘 untuk |𝑠| ≤ 1 𝑘=0 Proses dikatakan bertahan (survive) jika terdapat setidaknya satu individu pada setiap generasi. Secara matematis, bertahan hidup ekivalen dengan kondisi Teorema 3.1.1 {𝑍𝑛 ≥ 1, untuk semua n ≥ 0}. Misal (𝑍𝑛 )𝑛≥0 adalah proses percabangan BGW dengan distribusi keturunan (𝑝𝑘 )𝑘≥0 . Diasumsikan 𝑝0 + 𝑝1 < 1. 1. Jika 𝑚 ≤ 1 , maka ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1, ∀𝑛 ≥ 0|𝑍0 = 1) = 0. 2. Jika 𝑚 > 1, maka terdapat 𝑞 ∈ [0,1), ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1, ∀𝑛 ≥ 0|𝑍0 = 1) = 1 − 𝑞 > 0, dengan peluang kepunahan q adalah nilai tunggal di dalam [0,1) yang memenuhi persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 saat 𝑚 > 1. Bukti Teorema 3.1.1: Dalam pembuktian teorema ini diperlukan beberapa sifat dari fungsi pembangkit momen. Diingat kembali fungsi pembangkit momen dari peluang distribusi (𝑝𝑘 )𝑘≥0 adalah

(52) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38 𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑘 𝑠 𝑘 . 𝑘≥0 Telah diketahui di awal bahwa fungsi pembangkit momen terdefinisi pada (−1,1). Fungsi f terdefinisi pada 1 dan hanya akan dilakukan perhitungan dalam bilangan positif, sehingga domain dari f adalah [0,1]. Lemma 3.1.2 Misalkan (𝑏𝑛 )𝑛≥0 barisan bilangan real positif dan 𝑔(𝑡) = ∑𝑛≥0 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 . Asumsikan g ada pada [0,1), maka lim− 𝑔(𝑡) = ∑𝑛≥0 𝑏𝑛 . 𝑡→1 Bukti: Pembuktian dapat dillihat di buku Theoretical Probability for Applications, Proposisi A1.9 Appendix karya SC.Port. ∎ Dari Lemma 3.1.2 ini didapat lim 𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑛 = 1 𝑠→1− 𝑛≥0 dan 𝑓(1) = 1. Jadi, f merupakan fungsi kontinu di 1 dari kiri dan f kontinu pada [0, 1]. Fungsi f juga terdiferensial pada (0, 1) dengan 𝑓 ′ (𝑠) = ∑ 𝑛𝑝𝑛 𝑠 𝑛−1 . 𝑛≥1 Dari Lemma 3.1.2 lim 𝑓′(𝑠) = ∑ 𝑛𝑝𝑛 = 𝑚 𝑠→1− 𝑛≥0 dengan lim− 𝑓′(𝑠) dan m keduanya tak hingga. 𝑠→1

(53) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39 Selanjutnya, kembali lagi pada proses BGW dan perhitungan fungsi pembangkit momen dari 𝑍𝑛 . Proposisi 3.1.3 Misalkan 𝑓1 = 𝑓 dan 𝑓𝑛+1 = 𝑓 ∘ 𝑓𝑛 untuk 𝑛 ≥ 1. Untuk 𝑛 ≥ 1, fungsi pembangkit momen dari 𝑍𝑛 dengan 𝑍0 = 1 adalah 𝑓𝑛 . Bukti: Akan dibuktikan menggunakan induksi matematis. Misal 𝑔𝑛 adalah fungsi pembangkit momen 𝑍𝑛 dan diketahui 𝑍0 = 1. Telah dimiliki 𝑔1 (𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑍1 |𝑍0 = 1) = 𝔼(𝑠 𝑌 ) = 𝑓(𝑠) = 𝑓1 (𝑠), untuk 𝑛 = 1 diasumsikan 𝑔𝑛 = 𝑓𝑛 . Diberikan 𝑍𝑛 = 𝑘, distribusi 𝑍𝑛+1 sama dengan distribusi dari ∑𝑘𝑖=1 𝑌𝑖 dimana 𝑌𝑖 berdistribusi (𝑝𝑘 )𝑘≥0 maka 𝑘 𝔼(𝑠 𝑍𝑛+1 |𝑍𝑛 = 𝑘) = 𝔼 (𝑠 ∑𝑖=1 𝑌𝑖 ) = 𝔼(𝑠 𝑌1 )𝔼(𝑠 𝑌2 ) … 𝔼(𝑠 𝑌𝑘 ) = (𝔼(𝑠 𝑌1 )) Menggunakan sifat Markov 𝑘 = 𝑓(𝑠)𝑘 . 𝑔𝑛+1 = 𝔼(𝑠 𝑍𝑛+1 |𝑍0 = 1) ∞ = ∑ 𝔼(𝑠 𝑍𝑛+1 |𝑍𝑛 = 𝑘)ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1) 𝑘=0

(54) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 ∞ = ∑ ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1)𝑓(𝑠)𝑘 𝑘=0 = 𝑔𝑛 (𝑓(𝑠)) Dengan demikian menggunakan hipotesis induksi dapat diperoleh, 𝑔𝑛+1 = 𝑔𝑛 ∘ 𝑓 = 𝑓𝑛 ∘ 𝑓 = 𝑓𝑛+1 . ∎ Setelah mendapatkan Lemma 3.1.2 dan Proposisi 3.1.3, akan dibuktikan Teorema 3.1.1 yang dibagi menjadi dua kasus.  Kasus 𝑚 < 1. Untuk perubah acak X yang bernilai di ℕ berlaku. 𝔼(𝑋) = ∑ 𝑘ℙ(𝑋 = 𝑘) ≥ ∑ ℙ(𝑋 = 𝑘) = ℙ(𝑋 ≥ 1). 𝑘≥1 𝑘≥0 Sehingga ℙ(𝑋 ≥ 1) ≤ 𝔼(𝑋), digunakan pertidaksamaan dan Proposisi 3.1.3 untuk mendapatkan Karena 𝑚 < 1 ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 1) ≤ 𝔼(𝑍𝑛 |𝑍0 = 1) = 𝑚𝑛 . lim ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 1) = 0 𝑛→∞ dan karena konvergensinya bersifat cepat secara eksponensial. Diingat juga, karena 0 merupakan keadaan menyerap untuk (𝑍𝑛 )𝑛≥0 , maka barisan kejadian {𝑍𝑛 ≥ 1} akan menurun, yakni {𝑍+1 ≥ 1} ⊂ {𝑍𝑛 ≥ 1}. Dengan kata lain, jika 𝑍𝑛+1 ≥ 1 maka haruslah 𝑍𝑛 ≥ 1.

(55) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41 Pada Proposisi 3.1.3 di atas lim ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 1) = ℙ (⋂{𝑍𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 1}) 𝑛→∞  𝑛≥0 ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1 untuk setiap 𝑛 ≥ 0| 𝑍0 = 1) = 0. Kasus 𝑚 = 1 dan 𝑚 > 1. Untuk ℕ, perubah acak X didapatkan 𝑔𝑋 pada [0,1] ∞ 𝑔𝑋 (𝑠) = ∑ ℙ(𝑋 = 𝑘)𝑠 𝑘 . 𝑘=0 Misalkan 𝑠 = 0, 𝑔𝑋 (0) = ℙ(𝑋 = 0). Karena 𝑓𝑛 adalah fungsi pembangkit momen dari 𝑍𝑛 dengan kondisi {𝑍0 = 1} didapatkan ℙ(𝑍𝑛 = 0|𝑍0 = 1) = 𝑓𝑛 (0) dan karena barisan kejadian {𝑍𝑛 = 0} naik. Menurut Proposisi 3.1.3 lim 𝑓𝑛 (0) = ℙ (⋃{𝑍𝑛 = 0}|𝑍0 = 1) 𝑛→∞ 𝑛≥1 Misalkan q adalah peluang dari kepunahan. Didefinisikan 𝑞 = ℙ(𝑍𝑛 = 0 untuk setiap n ≥ 1|𝑍0 = 1). Perhatikan bahwa {𝑍𝑛 = 0 untuk setiap n ≥ 1} = ⋃𝑛≥1{𝑍𝑛 = 0}. Jadi, menurut (3.1) (3.1)

(56) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 𝑞 = ℙ(𝑍𝑛 = 0 untuk setiap 𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 0) = ℙ (⋃ {𝑍𝑛 = 0}|𝑍0 = 1) 𝑛≥1 = lim 𝑓𝑛 (0). 𝑛→∞ Oleh karena itu, 𝑞 = lim 𝑓𝑛 (0). (3.2) 𝑓𝑛+1 (0) = 𝑓(𝑓𝑛 (0)) (3.3) 𝑛→∞ Sekarang didapatkan karena 𝑓𝑛+1 (0) dan 𝑓𝑛 (0) keduanya konvergen ke q dan f kontinu pada [0,1]. 𝑓(𝑞) = 𝑞 dengan mengambil 𝑛 → ∞ pada (3.3). Jadi, q adalah titik tetap pada f. Bergantung pada m, akan didapat 𝑞 = 1 (punah) atau 𝑞 < 1 (peluang bertahan hidup bernilai positif). Pertama diperhatikan kasus 𝑚 = 1. Berlaku 𝑓 ′ (𝑠) = ∑ 𝑘𝑝𝑘 𝑠 𝑘−1 < ∑ 𝑘𝑝𝑘 = 𝑚 = 1 untuk 𝑠 < 1. 𝑘≥1 𝑘≥1 Untuk setiap 𝑠 < 1, menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, terdapat 𝑐 ∈ (𝑠, 1) sehingga 𝑓(1) − 𝑓(𝑠) = 𝑓 ′ (𝑐)(1 − 𝑠) < 1 − 𝑠, dan untuk setiap 𝑠 < 1

(57) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43 𝑓(𝑠) > 𝑠. Jadi, tidak terdapat solusi dari persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 di interval [0,1] selain 𝑠 = 1. Oleh karena itu haruslah 𝑞 = 1. Ini adalah akhir bukti untuk Teorema 3.1.1 untuk kasus 𝑚 = 1. Selanjutnya diamati untuk kasus 𝑚 > 1. Untuk 𝑠 ∈ [0,1) berlaku 𝑓 ′ (𝑠) ∞ = ∑ 𝑘𝑝𝑘 𝑠 𝑘−1 . 𝑘=1 Dengan Lemma 3.1.2 diperoleh lim 𝑓 𝑠→1 ′ (𝑠) ∞ = ∑ 𝑘𝑝𝑘 = 𝑚. 𝑘=1 Jadi, terdapat 𝜂 > 0, jika 𝑠 ≥ 1 − 𝜂 maka 1 < 𝑓 ′ (𝑠) < 𝑚. Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, untuk semua s pada (1 − 𝜂, 1) terdapat 𝑐 ∈ (𝑠, 1) sehingga 𝑓(1) − 𝑓(𝑠) = (1 − 𝑠)𝑓 ′ (𝑐). Karena 𝑓(1) = 1 dan 𝑓 ′ (𝑐) > 1 (𝑐 > 𝑠 > 1 − 𝜂), kita memiliki 1 − 𝑓(𝑠) > 1 − 𝑠. Jadi, ada 𝜂 > 0 sehingga 𝑓(𝑠) < 𝑠 untuk semua 𝑠 pada (1 − 𝜂, 1). Misalkan 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑓(𝑥). Fungsi ini kontinu pada [0, 1]. Berdasarkan (3.4) 𝑔(𝑠) > 0 untuk semua 𝑠 > 1 − 𝜂. Lebih jauh, 𝑓(0) ≥ 0 dan sebagai akibatnya, 𝑔(0) ≤ 0.

(58) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44 Menurut Teorema Nilai Antara didapatkan sekurang-kurangnya satu solusi di [0, 1 − 𝜂) ⊂ [0,1) untuk persamaan 𝑔(𝑠) = 0 atau 𝑓(𝑠) = 𝑠. Sebut solusi ini 𝑠1 . Akan ditunjukkan ketunggalan solusi persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 pada [0,1). Menggunakan kontradiksi, diandaikan ada 𝑡1 ∈ [0,1) adalah solusi lain 𝑠1 < 𝑡1 . Karena 𝑓(1) = 1 , didapatkan 3 solusi pada persamaan 𝑔(𝑠) = 0 pada [0,1] . Menggunakan Teorema Rolle [𝑠1 , 𝑡1 ] dan [𝑡1 , 1] untuk mendapatkan 𝜉1 pada (𝑠1 , 𝑡1 ) dan 𝜉2 pada ( 𝑡1 , 1). 𝑔′ (𝜉1 ) = 𝑔′ (𝜉2 ) = 0. 𝑓 ′ (𝜉1 ) = 𝑓 ′ (𝜉2 ) = 1. Diamati 𝑓"(𝑠) = ∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝑝𝑘 𝑠 𝑘−2 , 𝑘≥2 karena 𝑝0 + 𝑝1 < 1 dimiliki 𝑝𝑘 > 0 untuk setidaknya sebuah 𝑘 ≥ 2. Jadi, 𝑓"(𝑠) > 0 Untuk setiap (0,1) dan f’ naik tegas pada (0,1). Oleh karena itu, tidak mungkin 𝜉1 < 𝜉2 dan 𝑓 ′ (𝜉1 ) ≤ 𝑓 ′ (𝜉2 ) ≤ 1. Kontradiksi. Terbukti ada satu solusi tunggal dari persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 pada [0,1]. Sampai di sini kita tahu, 𝑞 = 𝑠1 atau 𝑞 = 1 karena ini adalah dua solusi dari 𝑓(𝑠) = 𝑠 pada [0,1].

(59) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45 Andaikan 𝑞 = 1. Menggunakan (3.2) lim 𝑓𝑛 (0) = 𝑞 = 1. Jadi, untuk n yang 𝑛→∞ cukup besar, 𝑓𝑛 (0) > 1 − 𝜂. Menggunakan (3.4) dan dengan memisalkan 𝑠 = 𝑓𝑛 (0), didapatkan 𝑓(𝑓𝑛 (0)) < 𝑓𝑛 (0). Jadi, 𝑓𝑛+1 (0) < 𝑓𝑛 (0). Kontradiksi dengan (𝑓𝑛 (0))𝑛≥1 adalah barisan naik. Jadi, nilai q tidak sama dengan 1 dan haruslah merupakan solusi tunggal dari 𝑓(𝑠) = 𝑠 yang kurang dari 1. ∎ Proses BGW dikatakan subkritis, kritis atau superkritis berturut-turut bergantung pada 𝑚 < 1, 𝑚 = 1, atau 𝑚 > 1. Proses BGW bertahan selamanya jika dan hanya jika 𝑚 > 1. Parameter dari distribusi keturunan untuk bertahan adalah m. Bagaimanapun juga, peluang 1 − 𝑞 dari selamanya bertahan bergantung pada keseluruhan distribusi (𝑝𝑘 )𝑘≥1 melalui fungsi pembangkit momen. Representasi grafik akan memudahkan pemahaman tentang proses (𝑍𝑛 )𝑛≥0 , lihat Gambar 3.1. Gambar 3.1 menjelaskan tentang bertahannya proses berkorespondensi pada pohon berkorespondensi dengan pohon berhingga. takhingga. Kepunahan proses

(60) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 46 Gambar 3.1 Pohon Berhingga Contoh: 1. Diketahui proses BGW dengan distribusi keturunan ℙ(𝑌 = 0) = 1 1 1 , ℙ(𝑌 = 1) = , dan ℙ(𝑌 = 2) = . 6 2 3 Pertama dihitung rata-rata keturunan tiap individu. 𝑚 = 𝔼(𝑌) = 7 > 1. 6 Jadi peluang bertahan hidup 1 − 𝑞 pada kasus ini bernilai positif. 2 1 1 1 𝑠 𝑠2 1 𝑓(𝑠) = ∑ 𝑠 𝑘 ℙ(𝑌 = 𝑘) = 𝑠 0 + 𝑠1 + 𝑠 2 = + + . 2 3 6 2 3 6 𝑘=0 Peluang punah q adalah solusi yang lebih kecil dari1 dari persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠. 𝑓(𝑠) = 𝑠 1 𝑠 𝑠2 + + =𝑠 6 2 3 1 𝑠 𝑠2 + −𝑠+ =0 6 2 3

(61) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 47 1 1 𝑠2 − 𝑠+ =0 6 2 3 1 1 1 − 𝑠 + 𝑠2 = 0 6 2 3 1 1 (𝑠 − 1) (𝑠 − ) = 0 2 3 𝑠 = 1 atau 𝑠 = 1 1 2 q adalah solusi pada [0, 1), sehingga 𝑞 = . Dengan kata lain, dengan berawal 2 1 dari sebuah individu tunggal ada peluang untuk proses BGW akan bertahan 2 selamanya. 2. Lotka menggunakan distribusi Geometri untuk menyelesaikan keturunan dari 1 populasi laki-laki di Amerika dengan 𝑝0 = ℙ(𝑌 = 0) = dan 𝑝𝑖 = ℙ(𝑌 = 𝑖) 3 𝑖−1 1 =( ) 5 5 2 untuk 𝑖 ≥ 1, dengan Y mempresentasikan jumlah anak laki-laki dari seorang pria selama hidup. Perlu diingat, ∑ 𝑥𝑛 = 𝑛≥0 1 1 , ∑ 𝑛𝑥 𝑛−1 = untuk |𝑥| < 1. (1 − 𝑥)2 1−𝑥 𝑛≥1 Jadi 3 −1 1 𝑚 = ∑ 𝑛𝑝𝑛 = ∑ 𝑛 ( ) 5 5 𝑛≥1 𝑛≥1 dengan menggunakan deret Geometri didapatkan 1 1 1 ∙ = ∙ 2 2 5 3 2 5 ( ) (1 − ) 5 5 1

(62) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48 = = 25 1 ∙ 4 5 5 > 1. 4 Sehingga, peluang punah kurang dari 1 merupakan solusi 𝑓(𝑠) = 𝑠: 𝑓(𝑠) = = = = 3 𝑛−1 1 𝑛 1 + ∑( ) 𝑠 5 5 2 𝑛≥1 1 1 1 + 𝑠∙( ) 3 2 5 1− 𝑠 5 1 1 5 + 𝑠∙( ) 2 5 5 − 3𝑠 𝑠 1 + . 2 5 − 3𝑠 Penyelesaian persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 adalah s yang memenuhi 𝑠 1 + 2 5 − 3𝑠 =𝑠 1 𝑠 + −𝑠 =0 2 5 − 3𝑠 5 1 3 2 11 𝑠 − 𝑠 + = 0, 10 2 5 yakni 𝑠 = 1 atau 𝑠 = adalah penyelesaian. 6 5 Solusi yang bernilai kurang dari 1 adalah 𝑞 = . Jadi, berdasarkan model 6 tersebut, peluang laki-laki untuk memiliki keturunan yang bertahan selamanya 1 adalah . 6

(63) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 49 Proposisi 3.1.2 Asumsikan m ( rata-rata keturunan) berhingga. Berlaku 𝐸(𝑍𝑛 |𝑍0 = 1) = 𝑚𝑛 , ∀𝑛 ≥ 0. Bukti: Akan dibuktikan dengan induksi matematika 𝔼(𝑍1 |𝑍0 = 1) = 𝔼(𝑌) = 𝑚 = 𝑚1 . Rumus untuk 𝑛 = 1, 𝑍𝑛 𝔼(𝑍1 |𝑍0 = 1) = ∑ 𝔼(𝑍𝑛+1 |𝑍𝑛 = 𝑘)ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1) 𝑘≥1 menggunakan sifat Markov diperoleh 𝔼(𝑍𝑛+1 |𝑍0 = 1, 𝑍𝑛 = 𝑘) = 𝔼(𝑍𝑛+1 |𝑍𝑛 = 𝑘). Untuk setiap 𝑘 ≥ 1 𝑘 𝔼(𝑍𝑛+1 |𝑍0 = 1) = 𝔼 (∑ 𝑌𝑖 ) = 𝑘 ∙ 𝑚 𝑖=1 sehingga, 𝔼(𝑍𝑛+1 |𝑍0 = 1) = ∑𝑘≥1 𝑘𝑚 ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1) = 𝑚 ∙ 𝔼(𝑍𝑛 |𝑍0 = 1). Dari hipotesis induksi diperoleh 𝔼(𝑍𝑛 |𝑍0 = 1) = 𝑚𝑛 𝔼(𝑍𝑛+1 |𝑍0 = 1) = 𝑚𝑚𝑛 = 𝑚𝑛+1 . ∎

(64) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50 B. Persamaan Distribusi Total Keturunan Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai proses percabangan BGW. Dalam subbab ini akan dibahas model populasi menggunakan proses percabangan BGW. Dengan menggunakan proses BGW akan dihitung peluang mutasi yang muncul dari suatu populasi. Peluang mutasi yang dimiliki tiap individu yang lahir di dalam populasi dinotasikan dengan µ. 3.1 Persamaan untuk distribusi total keturunan Akan dihitung distribusi peluang dari 𝑋 = ∑ 𝑍𝑛 = 1 + ∑ 𝑍𝑛 . 𝑛≥0 𝑛≥1 Perubah acak X merupakan jumlahan semua kelahiran pada populasi termasuk dengan individu awal yaitu 𝑍0 = 1. Untuk mencari distribusi dari X, akan dicari terlebih dahulu fungsi pembangkit momen dari X. Diberikan 𝑔(𝑠) = ∑ 𝑠 𝑘 ℙ(𝑋 = 𝑘) = 𝔼(𝑠 𝑋 ) 𝑘≥1 jumlahan tersebut dimulai pada 1, dengan kata lain X setidaknya memuat 1. Fungsi pembangkit momen terdefinisi untuk 𝑠 ∈ [0,1]. Didapatkan persamaan untuk generasi awal 𝑍1 sebagai berikut: 𝑔(𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑋 ) = ∑ 𝔼(𝑠 𝑋 |𝑍1 = 𝑘)ℙ(𝑍1 = 𝑘|𝑍0 = 1). 𝑘≥0 Diberikan 𝑍1 = 𝑘, pada waktu 1 dimulai k individu independen BGW. (3.5)

(65) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51 X merupakan jumlahan dari semua individu pada proses BGW. Untuk masing-masing k BGW, total kelahiran memiliki distribusi sama dari X. 𝔼(𝑠 𝑋 |𝑧1 = 𝑘) = 𝔼(𝑠1+𝑋1+𝑋2 +⋯+𝑋𝑘 ) 𝑥𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 adalah peubah acak dengan distribusi X. 𝔼(𝑠 𝑋 |𝑍1 = 𝑘) = 𝑠𝔼(𝑠 𝑋1 )𝐸(𝑠 𝑋2 ) … 𝔼(𝑠 𝑋𝑘 ) 𝑥𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 memiliki distribusi yang sama dengan X, sehingga 𝔼(𝑠 𝑋 |𝑍1 = 𝑘) = 𝑠𝔼(𝑠 𝑋 )𝑘 . Menurut persamaan 3.5 dalam subbab ini, didapatkan 𝑔(𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑋 ) = ∑ 𝑠 𝔼(𝑠 𝑋 )𝑘 ℙ(𝑍1 = 𝑘|𝑍0 = 1) 𝑘≥0 karena Jadi = 𝑠 ∑ 𝑔(𝑠)𝑘 𝑝𝑘 ℙ(𝑍1 = 𝑘|𝑍0 = 1) = ℙ(𝑌 = 𝑘) = 𝑝𝑘 . 𝑔(𝑠) = 𝑠 ∑ 𝑝𝑘 𝑔(𝑠)𝑘 . 𝑘≥0 Diamati fungsi f adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan adalah 𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑘 𝑠 𝑘 . Dengan demikian, 𝑘≥0 𝑔(𝑠) = 𝑠𝑓(𝑔(𝑠)) (3.6)

(66) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52 dengan g merupakan persamaan umum dari distribusi keturunan, tetapi sebagian besar distribusi keturunan tidak dapat diselesaikan secara eksplisit menggunakan persamaan ini. 3.2 Distribusi Total Keturunan dalam Kasus Khusus Kita akan mempelajari (3.6) dalam kasus distribusi keturunan 𝑝0 = 1 − 𝑝 dan 𝑝2 = 𝑝, p adalah parameter pada [0, 1]. Untuk 𝑛 ≥ 0, semua individu pada generasi ke n melahirkan dua individu dengan peluang p dan tidak melahirkan dengan peluang 1 − 𝑝. Dalam kasus ini memuat hingga generasi ke 𝑛 + 1. Secara biologi, dapat diambil contoh dalam perkembangbiakan populasi bakteri atau virus yang akan membelah diri menjadi dua atau mati. Diingat kembali fungsi pembangkit momen dari X: ∞ 𝑔(𝑠) = ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1)𝑠 2𝑛−1 . 𝑛=1 Dipilih nilai ganjil karena keturunan berpasangan dan diawali dengan individu tunggal. Menurut persamaan (3.6) pada subbab 3.1, 𝑔(𝑠) = 𝑠𝑓(𝑔(𝑠)), dengan f adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan, yakni 𝑓(𝑠) = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑠 2 .

(67) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53 Jadi, jika dan hanya jika 𝑔(𝑠) = 𝑠(1 − 𝑝 + 𝑝𝑔(𝑠)2 ) 𝑝𝑠𝑔(𝑠)2 − 𝑔(𝑠) + 𝑠(1 − 𝑝) = 0. Untuk s tetap, misalkan 𝑔(𝑠) = 𝑢 didapatkan 𝑝𝑠𝑢2 − 𝑢 + 𝑠(1 − 𝑝) = 0 dan 𝑢2 − 1 𝑠(1 − 𝑝) 𝑢+ =0 𝑝𝑠 𝑝𝑠 dengan melengkapkan kuadrat sempurna didapatkan 1 𝑠(1 − 𝑝) 1 2 ) − 2 2+ = 0. (𝑢 − 𝑝𝑠 4𝑝 𝑠 2𝑝𝑠 Jadi, 1 2 1 𝑠(1 − 𝑝) 1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) (𝑢 − ) = 2 2− = . 2𝑝𝑠 4𝑝 𝑠 4𝑝2 𝑠 2 𝑝𝑠 Perlu diingat 1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) > 0 jika dan hanya jika 𝑠2 < 1 . 4𝑝(1 − 𝑝) Karena 4𝑝(1 − 𝑝) ≤ 1 untuk p dalam (0, 1) didapatkkan 𝑠 ∈ (0,1) berlaku 1 4𝑝(1−𝑝) ≥ 1. Untuk

(68) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 54 𝑠2 < Terdapat dua solusi untuk 𝑢 = 𝑔(𝑠) 1 . 4𝑝(1 − 𝑝) 1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) 1 √ − 𝑢1 = 4𝑝2 𝑠 2 2𝑝𝑠 atau 1 1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) 1 √ 𝑢𝟐 = + ~ 2𝑝𝑠 4𝑝2 𝑠 2 4𝑝𝑠 dengan notasi 𝑓~𝑔 berarti 𝑓(𝑠) = 1. 𝑠→0 𝑔(𝑠) lim Karena 1 4𝑝𝑠 tidak terbatas pada 0 dan g didefinisikan pada 0 (𝑔(0) = 0) , nilai 𝑢2 tidak memenuhi 𝑔(𝑠), sehingga 𝑔(𝑠) haruslah 𝑢1 . Oleh karena itu didapatkan 1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) 1 𝑔(𝑠) = −√ . 2𝑝𝑠 4𝑝2 𝑠 2 (3.7) Jika ∞ 𝑔(𝑠) = ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1)𝑠 2𝑛−1 𝑛=1 maka persamaan (3.7) akan berguna dalam mencari distribusi X hanya bila dapat ditemukan ekspansi deret pangkat pada persamaan tersebut.

(69) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 55 Dari Lemma 2.3.1 pada Bab 2 dan persamaan (3.7) didapatkan, 𝑔(𝑠) = 1 1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) 1 −√ = (1 − √1 − 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝)) 2 2 2𝑝𝑠 4𝑝 𝑠 2𝑝𝑠 Misalkan 𝑥 = 4𝑝𝑠 2 (1 − 𝑝) dalam Lemma 2.3.1 didapatkan ∞ 1 ∑ 𝑐𝑛 (4𝑝(1 − 𝑝)𝑠 2 )𝑛 𝑔(𝑠) = 2𝑝𝑠 𝑛=1 ∞ =∑ 𝑛=1 (2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 𝑠 2𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)! Ekspansi deret pangkat ini menunjukkan g tidak memiliki singularitas di 𝑠 = 0, terdiferensial tak hingga banyak kali di 𝑠 ∈ (−1,1). Sekarang kita memiliki perluasan deret pangkat untuk g yang akan memberikan distribusi dari X. Dengan demikian didapatkan untuk 𝑛 ≥ 1 bahwa ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = (2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)!

(70) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 56 C. Peluang Muncul Mutasi Pada subbab ini akan dicari peluang munculnya mutasi dalam suatu populasi menggunakan proses percabangan BGW. Beberapa notasi baru yang akan digunakan adalah M untuk kejadian mutasi muncul dalam populasi dan 𝑀𝑐 untuk kejadian mutasi tidak pernah muncul dalam populasi. Diberikan 𝑋 = ∑ 𝑍𝑛 = 1 + ∑ 𝑍𝑛 , 𝑛≥0 𝑛≥1 dimana proses BGW dimulai dengan 1 individu, 𝑍0 = 1. Perlu diingat nilai X dapat mencapai takhingga. Proses (𝑍𝑛 )𝑛≥0 dapat bertahan jika dan hanya jika 𝑋 = +∞. Jika terdapat kelahiran yang takhingga dan masing-masing memiliki peluang µ dari mutasi maka peluang mutasi total dari seluruh kelahiran adalah 1. Jadi, peluang mutasi tidak pernah muncul dalam populasi adalah ℙ(𝑀𝑐 ) = ℙ(𝑀𝑐 : 𝑋 < +∞) menggunakan hukum peluang total diperoleh ℙ(𝑀 𝑐) ∞ = ∑ ℙ(𝑀𝑐 |𝑋 = 𝑘)ℙ(𝑋 = 𝑘) 𝑘=1 ∞ = ∑(1 − 𝜇)𝑘−1 ℙ(𝑋 = 𝑘). Distribusi total keturunan 𝑘=1 ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = (2𝑛 − 1)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)!

(71) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 57 Jadi, ℙ(𝑀 𝑐) ∞ = ∑(1 − 𝜇)2𝑛−2 ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) 𝑛=1 ∞ = ∑(1 − 𝜇)2𝑛−2 𝑛=1 (2𝑛 − 1)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)! Jumlah dari deret ini dapat dihitung menggunakan Lemma 2.3.1 ℙ(𝑀 𝑐) ∞ (2𝑛 − 2)! 1 (4(1 − 𝜇)2 (1 − 𝑝)𝑝)𝑛 . ∑ 2𝑛−1 = 2 2 𝑛! (𝑛 − 1)! 2𝑝(1 − 𝜇) 𝑛=1 Oleh karena itu, ℙ(𝑀 𝑐) ∞ 1 = ∑ 𝑐𝑛 (4(1 − 𝜇)2 (1 − 𝑝)𝑝)𝑛 2𝑝(1 − 𝜇)2 𝑛=1 dengan 𝑐𝑛 sudah didefinisikan pada Lemma 2.3.1 dan diperoleh ℙ(𝑀𝑐 ) = 1 (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 ). 2𝑝(1 − 𝜇)2 (3.8) Persamaan tersebut merupakan peluang tidak ada mutasi dalam suatu populasi. Oleh karena itu, peluang mutasi muncul dalam suatu populasi adalah sebagai berikut ℙ(𝑀) = 1 − ℙ(𝑀𝑐 ).

(72) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58 D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga Pada subbab ini akan dihitung peluang suatu populasi saat total keturunan mencapai takhingga. Diingat kembali distribusi total keturunan pada subbab sebelumnya, 𝑋 = ∑ 𝑍𝑛 = 1 + ∑ 𝑍𝑛 , 𝑛≥0 𝑛≥1 dengan proses BGW (𝑍𝑛 )𝑛≥0 diawali dari satu individu, 𝑍0 = 1. Jika perhitungan distribusi dari X tepat, maka ∑∞ 𝑛=1 ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) haruslah sama dengan 1. Pernyataan tersebut akan dibuktikan. Sudah diketahui persamaan ∑ ∞ ∞ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = ∑ 𝑛=1 𝑛=1 (2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)! Dengan menggunakan Lemma 2.3.1, disusun ulang bentuk persamaan tersebut menjadi (2𝑛 − 2)! (2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 = 2𝑛−1 22𝑛−1 (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛 𝑝−1 2 𝑛! (𝑛 − 1)! 𝑛! (𝑛 − 1)! = Jadi, (2𝑛 − 2)! (4𝑝(1 − 𝑝))𝑛 (2𝑝)−1 . 22𝑛−1 𝑛! (𝑛 − 1)! ∞ ∞ 𝑛=1 𝑛=1 (2𝑛 − 2)! 1 𝑛 ∑ 2𝑛−1 (4𝑝(1 − 𝑝)) ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = 2𝑝 2 𝑛! (𝑛 − 1)!

(73) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 59 ∞ 1 𝑛 = ∑ 𝑐𝑛 (4𝑝(1 − 𝑝)) , 2𝑝 𝑛=1 dengan barisan (𝑐𝑛 )𝑛≥1 didefinisikan dalam Lemma 2.3.1. Misalkan 𝑥 = 4𝑝(1 − 𝑝) didapat ∞ ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = 𝑛=1 1 (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)). 2𝑝 Perhatikan bahwa 1 − 4𝑝(1 − 𝑝) = 1 − 4𝑝 + 4𝑝2 = (1 − 2𝑝)2 . Dengan demikian, √1 − 4𝑝(1 − 𝑝) = √(1 − 2𝑝)2 = |1 − 2𝑝|. Oleh karena itu, ∞ ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = 𝑛=1 1 (1 − |1 − 2𝑝|). 2𝑝 Selanjutnya dari persamaan tersebut dibagi menjadi dua kasus yang akan 1 1 dipelajari lebih lanjut, yaitu saat 𝑝 ≤ dan 𝑝 > . 2 2 1 Jika 𝑝 ≤ maka |1 − 2𝑝| = 1 − 2𝑝 dan 2 ∞ ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = 𝑛=1 1 1 1 (1 − 1 + 2𝑝) = (2𝑝) = 1. 2𝑝 2𝑝 Jika 𝑝 > maka |1 − 2𝑝| = −1 + 2𝑝 dan 2

(74) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 60 ∞ ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = 𝑛=1 1 1 1−𝑝 (2 + 2𝑝) = (1 − (−1 + 2𝑝)) = 2𝑝 2𝑝 𝑝 1 tidak bernilai sama dengan 1 (kecuali untuk 𝑝 = ). 2 Mengingat definisi dari X, diperoleh 𝑋 = ∑ 𝑍𝑛 𝑛≥0 dengan (𝑍𝑛 )𝑛≥0 adalah proses percabangan BGW. Catat bahwa 𝑍𝑛 adalah bilangan bulat positif atau 0. Sehingga X berhingga jika dan hanya jika 𝑍𝑛 = 0 untuk setiap n yang lebih besar dari bilangan bulat tertentu. Pernyataan tersebut ekivalen dengan pernyataan berikut, nilai X berhingga jika dan hanya jika proses BGW (𝑍𝑛 )𝑛≥0 punah. Mudah untuk memeriksa bahwa untuk kepunahan BGW dalam kasus 1 1 ini jika dan hanya jika 𝑝 ≤ . Jika 𝑝 > maka generasi selanjutnya akan 2 2 bertambah banyak dan menuju tak hingga. Diamati X bernilai berhingga dengan peluang ∞ ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1). 𝑛=1 Deret ini tidak memuat kemungkinan bahwa 𝑋 = ∞. Hal tersebut merupakan 1 penyebab saat nilai 𝑝 > , nilai deret pasti kurang dari satu. 2

(75) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 61 Selanjutnya dimiliki ∞ ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = ℙ(𝑋 < +∞|𝑍0 = 1) = 𝑛=1 1 Jika 𝑝 > maka peluang (𝑍𝑛 )𝑛≥0 punah adalah 2 1−𝑝 𝑝 1−𝑝 . 𝑝 . Selanjutnya dihitung peluang mutasi yang muncul saat X takhingga. Dinotasikan M adalah peluang muncul mutasi saat suatu proses dalam (𝑍𝑛 )𝑛≥0 dengan k adalah bilangan bulat positif, berlaku ℙ(𝑀𝑐 ; 𝑋 ≥ 𝑘) = ℙ(𝑀𝑐 |𝑋 ≥ 𝑘)ℙ(𝑋 ≥ 𝑘) ≤ (1 − 𝜇)𝑘−1 ℙ(𝑋 ≥ 𝑘). (3.9) Hal ini benar sebab untuk 𝑋 ≥ 𝑘 terdapat setidaknya 𝑘 − 1 kelahiran pada populasi dan setiap kelahiran secara independen gagal membawa mutasi. Kemudian diamati barisan (𝑋 ≥ 𝑘) untuk 𝑘 ≥ 1 adalah menurun, yakni untuk 𝑘≥1 {𝑋 ≥ 𝑘 + 1} ⊂ {𝑋 ≥ 𝑘}. Oleh karena itu, menggunakan Proposisi 3.1.2 didapatkan lim ℙ(𝑋 ≥ 𝑘) = ℙ (⋂{𝑋 ≥ 𝑘}) . 𝑘⟶∞ 𝑘≥1 Jika 𝑋 ≥ 𝑘 untuk setiap 𝑘 ≥ 1 maka 𝑋 = +∞. Jadi, lim ℙ(𝑋 ≥ 𝑘) = ℙ( 𝑋 = +∞ ). 𝑘⟶∞ Selanjutnya, menggunakan penjelasan yang sama diperoleh

(76) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 62 lim ℙ(𝑀𝑐 ; 𝑋 ≥ 𝑘) = ℙ(𝑀𝑐 ; 𝑋 = +∞ ). 𝑘⟶∞ Saat k menuju takhingga pada persamaan (3.9) didapatkan lim ℙ(𝑀𝑐 ; 𝑋 = +∞) ≤ ℙ(𝑋 = +∞ ) lim (1 − 𝜇)𝑘−1 = 0 . 𝑘⟶∞ karena 0 < 1 − 𝜇 < 1. 𝑘→∞

(77) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat Proses percabangan waktu diskret dapat digunakan untuk memodelkan kemunculan patogen yang kebal terhadap obat selama pengobatan. Pada patogen yang kebal obat, patogen bertambah banyak dengan cara membelah diri. Populasi patogen terus bertumbuh sehingga memiliki kemungkinan munculnya patogen yang kebal terhadap obat selama proses penyembuhan. Resistensi terhadap obat merupakan ancaman konstan terhadap kesehatan individu yang sedang dirawat untuk berbagai penyakit, seperti HIV, tuberkulosis, dan kanker. Ini juga merupakan ancaman bagi keseluruhan populasi karena ada risiko bahwa penyakit yang dapat diobati dapat digantikan oleh yang tidak dapat diobati. Dalam menghitung peluangnya, terlebih dahulu diasumsikan beberapa hal terkait. Peluang patogen dapat mati pada setiap waktu diskret dinotasikan dengan 1 − 𝑝. Sehingga didapatkan peluang patogen membelah diri menjadi dua adalah p. Setiap patogen baru memiliki peluang kebal terhadap obat sebesar μ. Populasi dimulai dengan patogen yang sensitif obat sejumlah N patogen dan tidak ada patogen yang kebal terhadap obat. Diberikan asumsi bahwa pengobatan berhasil, jika semua patogen punah sebelum patogen yang kebal terhadap obat muncul. Poin utama dalam kasus di skripsi ini diasumsikan 63

(78) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 64 bahwa patogen normal akan mudah dengan cepat digantikan oleh patogen yang lebih kuat saat terjadi jeda selama masa pengobatan dan tidak terdapat patogen yang kebal obat selama awal pengobatan. Untuk menghitung peluang patogen kebal obat secara sederhana hanya dengan 2 parameter setidaknya dapat berguna. Di lain pihak, peluang mutasi yang dibawa oleh tiap individu adalah 𝜇. Dalam tulisan ini akan dipelajari lebih lanjut untuk mengevaluasi risiko pengobatan yang berpengaruh terhadap munculnya patogen kebal obat. Pada awal pengobatan diberikan beberapa asumsi, yakni: bahwa tanpa pengobatan, patogen yang kebal terhadap obat akan mati dengan cepat dan tidak bersaing oleh patogen sensitif obat. Namun, dengan adanya obat, patogen yang sensitif obat akan melemah (seberapa banyak dilemahkan tergantung pada kemanjuran obat) dan ini memberikan keunggulan pada patogen yang kebal terhadap obat untuk menapis pengobatan, tetapi hal tersebut berlaku jika patogen mutan muncul sebelum obat mampu membasmi semua patogen. Oleh karena itu, di dalam model matematika ini yang menentukan hasil pengobatan adalah apakah total pembasmian terjadi sebelum munculnya mutasi kebal obat. Model juga dapat digunakan untuk menghitung peluang dari pemberantasan patogen sebelum patogen yang kebal obat muncul. Proses percabangan yang sangat sederhana dapat digunakan untuk memodelkan pergerakan dari patogen yang sensitif obat selama pengobatan. Seperti yang sudah disebutkan, diasumsikan bahwa pada setiap unit waktu, patogen dapat mati dengan peluang 1 − 𝑝 atau menghasilkan keturunan sebanyak dua dengan peluang p. Dengan demikian, keturunan rata-rata tiap

(79) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 65 patogen adalah 2𝑝. Diasumsikan juga bahwa p bernilai dalam selang tertutup antara 0 dan 1. Jika 2𝑝 > 1 maka ada kemungkinan positif untuk pohon keluarga dari satu patogen sensitif obat untuk bertahan hidup selamalamanya. Jika 2𝑝 ≤ 1 maka patogen yang sensitif terhadap obat pasti punah. Parameter p juga merupakan ukuran dari kemanjuran dan efektivitas obat. Semakin kecil nilai p juga dapat diartikan bahwa obat semakin efisien dan semakin besar peluang punahnya patogen yang sensitif obat. Sifat dalam proses percabangan juga digunakan dalam mengasumsikan bahwa jumlah patogen yang baru akan saling bebas dengan patogen-patogen lain yang membelah diri di waktu yang bersamaan. Pertama, untuk menyederhanakan perhitungan diperhatikan terlebih dahulu kasus 𝑁 = 1. patogen. Misalkan Z Pengobatan dimulai ketika hanya dimiliki satu adalah total (acak) jumlah patogen dalam pohon keluarga dari patogen awal tunggal: Z menghitung patogen awal sebagai tambahan untuk semua keturunan yang berurutan. Perhatikan bahwa jika 𝑝 > 1 2 maka ada kemungkinan positif Z tidak terbatas. Namun, agar patogen mutasi yang kebal obat tidak muncul, Z harus terbatas dan tidak ada satu pun dari total keturunan 𝑍 − 1 yang memiliki patogen mutasi yang kebal obat. Diberikan M sebagai jumlah kelahiran (di antara total 𝑍 − 1) dengan patogen mutasi yang kebal terhadap obat. Sesuai asumsi awal, patogen mutan yang terhadap obat terjadi dengan peluang μ pada setiap kelahiran dan mutasi terjadi secara independen satu sama lain, didapatkan ℙ(𝑀𝑐 |𝑍 = 𝑘) = (1 − 𝜇)𝑘−1

(80) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 66 dimana nilai 1 dalam notasi berarti 𝑁 = 1, sehingga ℙ(𝑀𝑐 ) = 𝔼((1 − 𝜇)𝑍−1 ). Melalui persamaan tersebut, diketahui bahwa distribusi dari Z dapat langsung diperhitungkan dan digunakan untuk menghitung peluang di atas. Berdasarkan persamaan (3.8) pada Bab 2, didapatkan ℙ(𝑀𝑐 |𝑍0 = 1) = 1 (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 ) 2𝑝(1 − 𝜇)2 untuk setiap p dalam (0, 1). Jika pada awal pengobatan terdapat N patogen, menggunakan sifat independen didapatkan 𝑁 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) ≡ ℙ𝑁 (𝑀 = 0) = (𝑞(1, 𝜇, 𝑝)) . Diasumsikan bahwa 𝜇 > 0 bernilai sangat kecil dibandingkan parameter lainnya, menggunakan pendekatan, rumus di atas menjadi 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝)~𝑒𝑥𝑝 (− dan 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝)~ ( 1−𝑝 𝑁 𝑝 2𝑝 1−2𝑝 ) 𝑒𝑥𝑝 (−2 𝑁𝜇) untuk 𝑝 < 1−𝑝 2𝑝−1 1 2 1 𝑁𝜇) untuk 𝑝 > . 2 1 Dengan demikian, perilaku q sangat tergantung pada nilai saat 𝑝 < . 2 Untuk 𝑝 < 1 2 yang tetap peluang bahwa pengobatan berhasil hanya bergantung pada parameter ℎ ≡ 𝑁𝜇 dan menurun secara eksponensial saat h meningkat (untuk lebih jelas lihat Gambar 4.1 hal. 68). Jika 𝑝 > 1 2 maka peluang pengobatan akan sukses turun secara eksponensial terhadap m dan N. Lebih lanjut, jika 𝑝 > ( 1−𝑝 𝑁 𝑝 ) . 1 2 maka 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) <

(81) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 67 Dalam realitanya, N biasa bernilai sangat besar, tentu tidak mungkin untuk mengabaikan peluang patogen kebal obat dalam kasus tersebut. Pada dasarnya, proses pengobatan akan dimulai ketika pasien mulai mengalami beberapa gejala. Ketika jumlah patogen, N cukup tinggi. Oleh karena itu, dalam kasus ini akan dibahas lebih detail saat N bernilai besar. Proses percabangan sederhana digunakan untuk memodelkan kemunculan patogen yang kebal obat dalam proses pengobatan. Sesuai dengan asumsi yang diberikan diawal, setiap patogen mati dengan peluang 1 − 𝑝 atau menghasilkan keturunan sebanyak dua dengan peluang p. Dimulai dengan N patogen yang sensitif obat dan tidak ada satupun di antaranya yang merupakan patogen kebal obat. Kesuksesan pengobatan dinyatakan jika semua patogen punah sebelum muncul patogen yang kebal obat. 1 Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi. Jika 𝑝 > , maka dalam 2 pengobatan, lebih memungkinkan patogen untuk membelah diri daripada mati. Hal itu karena, efek dari pengobatan adalah untuk mengecilkan p tetapi tidak cukup untuk memusnahkan beberapa bagian patogen yang ada. Sehingga peluang bahwa patogen yang tidak kebal obat dapat bertahan adalah kurang dari ( 1−𝑝 𝑁 𝑝 ) . Karena nilai N sangat besar, patogen yang kebal obat hampir muncul di beberapa bagian. 1 Pada kasus yang kedua, saat 𝑝 < . Dalam kasus ini, patogen lebih 2 cenderung untuk mati daripada membelah diri. Pada Gambar 4.1, dijelaskan plot dari grafik q (peluang tidak adanya patogen mutan pada pengobatan) sebagai fungsi dari ℎ = 𝑁𝜇 dalam kasus 𝑝 = 0,2. Dapat dilihat q menurun

(82) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 68 secara eksponensial dan mendekati 0 saat ℎ ≥ 10. Jika 𝑝 = 0,01 maka pengobatan yang diberikan sangat efisien. Bentuk dari grafik akan sama dengan Gambar 4.1 tetapi q mendekati 0 hanya untuk h ≥ 250. Gambar 4.1 Plot dari grafik q (peluang tidak adanya patogen kebal obat) sebagai fungsi dari ℎ = 𝑁𝜇 dalam kasus 𝑝 = 0,2. Hasil q sangat dipengaruhi oleh ℎ = 𝑁𝜇, grafik akan berbeda bergantung pada nilai 𝜇 tetap walaupun dengan N berbeda dan begitu pula sebaliknya. Untuk memberikan gambaran, diberikan Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.

(83) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 69 Gambar 4.2 Plot dari grafik q (peluang tidak adanya patogen kebal obat) sebagai fungsi dari ℎ = 𝑁𝜇 dalam kasus 𝑝 = 0,2 dengan nilai N berubah dan 𝜇 = 0.01. Pada Gambar 4.2 menunjukkan keadaan q saat nilai 𝜇 = 0.01 dengan nilai parameter yang lain sama dengan Gambar 4.1. Dapat dilihat bahwa grafik turun tetapi tidak secepat pada Gambar 4.1. Hal tersebut dikarenakan peluang mutn yang dimiliki tiap individu kecil, sehingga diperlukan patogen awal yang cukup besar untuk muncul patogen mutan. Untuk selanjutnya ditunjukkan Gambar 4.3 yaitu saat nilai 𝜇 = 0.7.

(84) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 70 Gambar 4.3 Plot dari grafik q (peluang tidak adanya patogen kebal obat) sebagai fungsi dari ℎ = 𝑁𝜇 dalam kasus 𝑝 = 0,2 dengan nilai N berubah dan 𝜇 = 0.7. Gambar 4.3 menunjukkan keadaan q saat nilai 𝜇 = 0.7 dengan nilai parameter yang lain sama dengan Gambar 4.1 Pada Gambar 4.3 menunjukkan bahwa nilai q turun sangat cepat secara eksponensial. Hal itu dikarenakan nilai 𝜇 pada Gmabar 4.3 bernilai lebih besar dibanding sebelumnya. Sehingga dapat dilihat bahwa semakin besar nilai 𝜇 maka peluang tidak muncul patogen mutan semakin kecil. Misalkan 𝑍0 = 1 dan 𝑍1 merupakan jumlah keturunan dari patogen awal. Dengan asumsi yang sudah diberikan, dimiliki 𝑍1 = 0 atau 2. Misalkan 𝑍𝑛 merupakan keturunan dari patogen pada saat 𝑛 − 1 dimana 𝑛 ≥ 1. Diasumsikan jumlah dari keturunan dari patogen yang diberikan adalah

(85) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 71 independen secara stokastik dari keturunan tiap patogen berbeda. Misalkan f adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan. Untuk setiap s kita mempunyai 2 𝑓(𝑠) = ∑ ℙ(𝑍1 = 𝑘|𝑍0 = 1)𝑠 𝑘 = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑠 2 . 𝑘=0 Misalkan Z adalah jumlah patogen dalam pohon keluarga yang berasal dari satu patogen awal, yakni ∞ 𝑍 = ∑ 𝑍𝑛 . 𝑛=0 Untuk menghitung q yaitu peluang tidak adanya patogen yang kebal obat, kita membutuhkan bagian dari perhitungan Z. Sehingga perhitungan distribusi Z dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian menghitung q. Karena keturunan selalu bernilai genap dan dimulai dengan satu patogen awal, Z akan selalu bernilai ganjil. Misalkan F adalah fungsi pembangkit momen dari fungsi Z: ∞ 𝐹(𝑠) = ∑ ℙ(𝑍 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 0)𝑠 2𝑛−1 𝑛=1 untuk |𝑠| < 1, fungsi F merupakan penyelesaian dari persamaan berikut 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑓(𝐹(𝑠)) = 𝑠(1 − 𝑝 + 𝑝𝐹(𝑠)2 ). Untuk semua |𝑠| < 1, penyelesaian menggunakan persamaan kuadrat dalam 𝐹(𝑠) menghasilkan

(86) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 72 𝐹(𝑠) = 1 1 1−𝑝 −√ 2 2− 2𝑝𝑠 4𝑝 𝑠 𝑝 Kita memilih penyelesaian ini dari persamaan kuadrat karena F harus berhingga untuk s yang dekat dengan 0. Jadi, 𝐹(𝑠) = 1 (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)𝑠 2 ). 2𝑝𝑠 Menggunakan perluasan binomial, didapatkan 𝑛 1 − √1 − 𝑥 = ∑∞ untuk |𝑥| < 1 dengan 𝑛=1 𝑐𝑛 𝑥 untuk 𝑛 ≥ 1. 𝑐𝑛 = (2𝑛−2)! 22𝑛−1 𝑛!(𝑛−1)! Sehingga, ∞ ∞ 𝑛=1 𝑛=1 (2𝑛 − 2)! 1 ∑ 𝑐𝑛 (4𝑝(1 − 𝑝)𝑠 2 )𝑛 = ∑ (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 𝑠 2𝑛−1 . 𝐹(𝑠) = (𝑛 𝑛! − 1)! 2𝑝𝑠 Secara khusus, didapatkan untuk 𝑛 ≥ 1 ℙ(𝑍 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) = (2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)! Sekarang dilakukan perhitungan peluang dari patogen tanpa mutan dengan satu patogen awal, yakni ∞ 𝑞(1, 𝜇, 𝑝) = 𝔼((1 − 𝜇)𝑍−1 ) = ∑(1 − 𝜇)2𝑛−2 𝑛=1 Selanjutnya kita memperoleh (2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛 𝑝𝑛−1 . 𝑛! (𝑛 − 1)!

(87) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 73 ∞ (2𝑛 − 2)! 1 (4(1 − 𝜇)2 (1 − 𝑝)𝑝)𝑛 , 𝑞(1, 𝜇, 𝑝) = ∑ 2𝑝(1 − 𝜇)2 22𝑛−1 𝑛! (𝑛 − 1)! 𝑛=1 yang memberikan ∞ 1 𝑞(1, 𝜇, 𝑝) = ∑ 𝑐𝑛 (4(1 − 𝜇)2 (1 − 𝑝)𝑝)𝑛 . 2𝑝(1 − 𝜇)2 𝑛=1 Sehingga pada akhirnya berlaku 𝑞(1, 𝜇, 𝑝) = 1 (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 ). 2𝑝(1 − 𝜇)2 Karena tiap patogen membelah diri secara independen dengan yang lainnya, dengan N patogen awal, didapatkan 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) = (𝑞(1, 𝜇, 𝑝)) 𝑁 𝑁 1 (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 )) . =( 2𝑝(1 − 𝜇)2 1 Akan dilihat sifat fungsi q berubah secara drastis bergantung 𝑝 < atau 2 1 𝑝> . 2 1 Pada 𝑝 < , yakni dalam kasus subkritikal. Untuk membentuk persamaan 2 yang lebih mudah dipahami, dilakukan pendekatan linear pada 𝜇. Untuk persamaan 𝑓(𝜇) = (1 − 𝜇)−2 , dengan 𝜇0 = 0. Rumus umum pendekatan linear: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ). Saat 𝜇0 = 0, 𝑓(𝜇0 ) = 1. Selanjutnya turunan pertama fungsi tersebut adalah 𝑓 ′ (𝜇) = 2 (𝜇−1)3 . Sehungga nilai

(88) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 74 𝑓 ′ (0) = 2. Oleh karena itu, pendekatan linear dari 𝑓(𝜇) = (1 − 𝜇)−2 = 1 + 2(𝜇 − 0) = 1 + 2𝜇. Perlu diingat bahwa pendekatan linear untuk (1 − 𝜇)−2 adalah 1 + 2𝜇 dan didapat √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 ~|1 − 2𝑝|√1 + 8𝑝(1 − 𝑝) 4𝑝(1 − 𝑝) 𝜇− 𝜇. (1 − 2𝑝) (1 − 2𝑝)2 Menggunakan perluasan binomial diperoleh 1 √1 + 𝑥~1 + 𝑥 2 dan didapatkan, √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 ~|1 − 2𝑝| (1 + dengan 𝑓~𝑔 berarti 4𝑝(1 − 𝑝) 𝜇) (1 − 2𝑝)2 𝑓(𝜇) − 𝑔(𝜇) = 0. 𝜇→0 𝜇 lim 1 Untuk 𝑝 < didapatkan 2 𝑞(1, 𝜇, 𝑝)~1 − Sehingga, 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝)~ (1 − 2𝑝 𝜇. 1 − 2𝑝 𝑁 2𝑝 2𝑝 𝜇) ~𝑒𝑥𝑝 (− 𝑁𝜇) 1 − 2𝑝 1 − 2𝑝 (4.1)

(89) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 75 1 untuk semua 𝑝 < . 2 Setelah itu dapat ditentukan (1 − 𝑥)𝑁 ~exp(−𝑁𝑥) dengan x mendekati 0. Berdasarkan persamaan (4.1) didapatkan parameter kritis untuk pengobatan yang sukses adalah 𝑁𝜇. Semakin kecil 𝑁𝜇, semakin besar 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝), dan peluang tidak adanya patogen yang kebal obat semakin besar. Kebenaran model tersebut sudah terbukti dengan kasus nyata yang sudah terjadi. Contohnya dalam kasus penyakit HIV yang lebih baik pengobatan dilakukan di awal (nilai N lebih kecil) daripada pengobatan dilakukan terlambat (nilai N lebih besar). Kebenaran model tersebut juga ditemukan dalam keefektifan penggunaan tiga obat bersamaan ketimbang satu obat. Peluang 𝜇 dari kemunculan patogen yang kebal terhadap 3 obat akan lebih kecil dibanding peluang kemunculan patogen yang kebal terhadap 1 obat. Model tersebut juga menyatakan bahwa tidak begitu penting untuk memiliki kedua nilai N dan 𝜇 kecil. Tetapi, cukup memiliki nilai 𝑁𝜇 yang kecil. Untuk 𝑝 > 1 2 (kasus superkritikal), dilakukan pendekatan yang serupa tetapi yang lebih penting kita memiliki 1−𝑝 𝑁 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) ≤ ( ) 𝑝 yang dapat diperoleh secara langsung sebagai berikut. (4.2)

(90) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 76 Pertama perlu diingat 1−𝑝 𝑝 1 < 1 (untuk 𝑝 > ) dan N yang sangat besar. 2 Oleh karena itu, 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) akan bernilai sangat kecil dan menyebabkan patogen yang kebal obat akan muncul. Dalam kasus ini, model menyatakan bahwa pengobatan akan sia-sia. Pengobatan hanya akan mengakibatkan sesuatu yang buruk daripada tujuan awal untuk menyembuhkan. Pembuktian (4.2) diawali dengan satu patogen, peluang dari BGW akan punah adalah 1−𝑝 𝑝 . Dimulai dengan N patogen yang sensitif obat, agar patogen mutan tidak muncul perlu (tetapi tidak cukup) bahwa semua N secara independen punah. Jika satu BGW bertahan selamanya maka mutasi akan muncul (dalam BGW yang bertahan selamanya terdapat takhingga banyak kelahiran dan setiap individu memiliki peluang konstan 𝜇 > 0 untuk menjadi kebal obat). Oleh karena itu, kejadian “Patogen kebal obat tidak muncul” termasuk “Seluruh N punah.” Sehingga, peluang dari kejadian awal (𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝)) adalah kurang dari peluang kejadian kedua. Sekarang peluang bahwa N akan punah adalah ( 1−𝑝 𝑁 𝑝 ) . Persamaan (4.2) terbukti. Kesimpulan dari kasus ini adalah model yang didapatkan bisa memprediksi bahwa pengobatan harus dicoba hanya jika bisa dipastikan obat cukup manjur untuk memusnahkan semua patogen yang sensitif terhadap obat. Model juga dapat memprediksi bahwa parameter pokok dalam kasus ini adalah ℎ = 𝑁𝜇. Walaupun dengan obat yang sangat manjur, tidak menutup kemungkinan patogen yang kebal obat bisa muncul selama pengobatan jika ℎ = 𝑁𝜇 sangat besar.

(91) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 77 B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker Akan dicari model matematika sederhana berdasarkan hipotesis dua mutasi sukses untuk menghitung mutasi yang paling meningkatkan resiko kanker. Diasumsikan bahwa hanya sel punca yang rentan pada mutasi awal dan terdapat total dari D sel punca yang membelah selama masa hidupnya pada jaringan dengan peluang mutasi awal 𝜇1 setiap pembelahan sel. Model yang dibuat memprediksi bahwa jika 𝑙 = 𝜇1 𝐷 akan bernilai rendah bahkan di kasus yang sangat memungkinkan untuk maka mutasi resiko kanker rendah. Bagaimanapun juga, jika 𝜇1 𝐷 rendah maka peluang dari mutasi kedua tidak ada hubungannya dengan munculnya resiko kanker. Kanker sudah lama dipercaya merupakan mutasi somatik, hal tersebut telah diteliti oleh beberapa ilmuwan dunia. Mutasi somatik sendiri berarti mutasi yang terjadi pada sel somatik setelah pembuahan. Secara sederhana, mutasi somatik dapat diartikan sebagai adanya kelainan dalam suatu sel yang bukan disebabkan karena keturunan. Mutasi somatik tidak dapat diwariskan pada keturunan seseorang. Dalam tulisan ini akan dicari model stokastik sederhana dengan dasar hipotesis dua mutasi sukses untuk menghitung kemungkinan peran yang lebih besar mutasi sel dalam memunculkan risiko kanker selama hidup. Diasumsikan bahwa sel-sel yang rentan mengalami mutasi pertama sejumlah D yang tetap selama masa hidup jaringan dan bahwa ada peluang 𝜇1 per divisi menghasilkan sel dengan mutasi tipe 1. Dengan asumsi bahwa semua sel membelah diri secara independen, jumlah (acak) dari sel-sel mutasi tipe 1 yang dihasilkan selama masa hidup jaringan berdistribusi Poisson

(92) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 78 dengan parameter 𝑙 = 𝐷𝜇1 . Setelah sel tipe 1 muncul itu memulai proses percabangan. Lebih tepatnya, proses dimulai dengan satu sel tipe 1 dan setelah satu unit waktu sel dapat mati dengan peluang 1 − 𝑝1 atau membagi dalam dua sel tipe 1 dengan peluang 𝑝1. Generasi selanjutnya dari sel tipe 1 mengikuti aturan proses yang sama secara independen dari satu sama lain. Diasumsikan juga untuk kejadian dalam satu jaringan D didapatkan ℙ(tidak ada kanker) = (1 − 𝑝)𝐷 . Akan dihitung nilai p. Diberikan sebuah jaringan sel dengan 𝐴1 adalah kejadian terjadinya mutasi awal dan 𝐴2 adalah kejadian terjadinya mutasi kedua. Peluang dari kejadian 𝐴1 ∩ 𝐴2 adalah p. Sehingga, 𝑝 = ℙ(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) = ℙ(𝐴1 )ℙ(𝐴1 |𝐴2 ). Jumlah rata-rata sel keturunan per sel adalah 2𝑝1 . Diketahui bahwa proses percabangan bertahan selamanya dengan peluang positif jika dan hanya jika 1 persamaan 𝑝1 > 2. Diasumsikan juga bahwa pada setiap pembelahan sel mutasi 1 ada peluang μ2 untuk setiap sel keturunan yang menjadi mutasi 2. Oleh karena itu telah diketahui bahwa ℙ(𝐴1 ) = 𝜇1 dan ℙ(𝐴1 |𝐴2 ) adalah peluang bahwa muncul mutasi dalam proses BGW dimulai dengan satu individu dengan peluang mutasi 𝜇2 dan peluang pembelahan sel 𝑝1 . Sehingga dengan 𝑟(1, 𝜇2 , 𝑝1 ) = ℙ(𝐴1 |𝐴2 ) = 1 − 𝑟(1, 𝜇2 , 𝑝1 ) 1 (1 − √1 − 4𝑝1 (1 − 𝑝1 )(1 − 𝜇2 )2 ), 2𝑝1 (1 − 𝜇2 )2

(93) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 79 yang telah dihitung di Bab 3. Diingat kembali bahwa 𝑟(1, 𝜇2 , 𝑝1 ) adalah peluang tidak terjadinya mutasi dalam proses BGW dengan peluang mutasi 𝜇 dan peluang pembelahan p. Jadi 1 − 𝑟(1, 𝜇2 , 𝑝1 ) adalah peluang bahwa mutasi muncul. Jadi, 𝑝 = 𝜇1 (1 − 𝑟(1, 𝜇2 , 𝑝1 )). Apabila 𝑆(𝑝1 , 𝜇2 ) = 1 − 𝑟(1, 𝜇2 , 𝑝1 ), maka ℙ(tidak ada kanker) = (1 − 𝑝)𝐷 ~ exp(−𝑝𝐷) = exp(−𝑙𝑆(𝑝1 , 𝜇2 )) dengan 𝑙 = 𝜇1 𝐷 dan p mendekati nilai 0. Persamaan tersebut menunjukan bahwa 𝜇1 dan 𝐷 penting hanya dalam bentuk perkaliannya yaitu l. Bagaimanapun juga, parameter l akan menilai apakah nilai 𝑝1dan 𝜇2 penting atau tidak. Selanjutnya akan dipelajari lebih lanjut alasannya. Saat nilai l kecil. Perlu diingat 𝑆(𝑝1 , 𝜇2 ) adalah peluang dan bernilai pada [0,1] untuk semua 𝑝1 dan 𝜇2 . Sehingga, 𝑆(𝑝1 , 𝜇2 ) ≤ 𝑙 dan ℙ(tidak ada kanker) ≥ exp(−𝑙)~1 − 𝑙, dimana menggunakan pendekatan menghasilkan nilai l yang mendekati 0. Resiko kanker bernilai l. Parameter 𝑝1 dan 𝜇2 hampir tidak berpengaruh dengan hasilnya. Hal tersebut disebabkan karena jika nilai l kecil maka mutasi pertama tidak mungkin terjadi semasa hidup dalam suatu jaringan. Jika mutasi pertama tidak terjadi, maka berlaku juga untuk mutasi kedua yang muncul setelah mutasi pertama.

(94) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 80 Jika l besar, maka akan lebih mudah diduga bahwa mutasi pertama akan muncul selama masa hidup dalam suatu jaringan. Kemunculan mutasi kedua dipengaruhi oleh 𝑝1, sedangkan nilai 𝜇2 tidak begitu berpengaruh. Dengan asumsi bahwa proses percabangan yang dimulai oleh sel-sel tipe 1 yang berbeda adalah independen satu sama lain, didapatkan bahwa jumlah proses percabangan tipe 1 yang akhirnya melahirkan setidaknya satu sel tipe 2 juga berdistribusi Poisson dengan rata-rata 𝐷μ1 𝑆 (𝑝1, μ2 ) = 𝑙𝑆 (𝑝1, μ2 ). Oleh karena itu, kemungkinan muncul sel kanker selama masa hidup suatu jaringan tertentu 𝑅(𝑙, 𝑝1 , 𝜇2 ) = 1 − exp(−𝑙𝑆(𝑝1 , 𝜇2 )). Gambar 4.4 Plot R yang dipengaruhi oleh 𝑝1. Gambar 4.4 menunjukkan nilai R yang dipengaruhi oleh 𝑝1. Untuk mendapatkan nilai 𝑝1 dipengaruhi juga oleh nilai l. Saat nilai l kecil maka 1 peluang terjadi dua kali mutasi juga kecil. Saat l besar dan nilai 𝑝1 > maka 2

(95) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 81 R akan naik karena peluang terjadi mutasi sel kanker menjadi lebih besar. Jika nilai l besar maka parameter krusial adalah 𝑝1 . Mutasi yang tidak menguntungkan atau normal akan menurunkan resiko kanker secara dramatis, mutasi yang normal atau tidak menguntungkan yang dimaksudkan adalah saat 𝑝1 ≤ 0,5. Untuk 𝑝1 ≤ 0,5 parameter 𝜇2 menjadi sangat penting. Contohnya seperti pada Gambar 4.4 yang merupakan plot dari resiko kanker R dari dua mutasi kanker sebagai fungsi dari 𝑝1 untuk 𝑙 = 100 dan 𝜇2 = 10−6 . Gambar 4.5 Plot nilai R dengan nilai 𝜇2 yang berbeda.

(96) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 82 Gambar 4.6 Plot untuk menunjukkan bahwa parameter 𝜇2 hampir tidak relevan untuk nilai rendah l. Pada Gambar 4.6 menunjukkan bahwa saat nilai l kecil, parameter 𝜇2 tidak begitu memengaruhi. Secara sederhana, nilai l akan memengaruhi muncul mutan sel kanker. Lebih lanjut, dapat dilihat Gambar 4.7 yang menunjukkan peran 𝜇2 saat nilai l besar.

(97) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 83 Gambar 4.7 Plot dari resiko kanker R dari dua mutasi kanker sebagai fungsi dari 𝑝1 untuk 𝑙 = 100 dan 𝜇2 = 10−6 . Berdasarkan Gambar 4.7 dapat dilihat untuk nilai l yang besar, berpeluang untuk terjadi dua kali mutasi yang akan menyebabkan sel kanker terjadi. Nilai 𝜇2 menjadi berpengaruh terutama di saat nilai 𝑝1 ≤ 0,5. Model menunjukkan bahwa bahkan jika sel-sel yang bermutasi berlipat ganda secara eksponensial, dua mutasi kanker memiliki risiko rendah asalkan 𝑙 = 𝜇1 𝐷 kecil. Selain itu, untuk risiko l kecil kanker, dalam model ini, tidak tergantung pada peluang mutasi kedua 𝜇2 . Jika diasumsikan bahwa hanya sel induk yang rentan terhadap mutasi pertama maka 𝑙 = 𝜇1 𝐷 mewakili rata-rata mutasi pertama untuk divisi D sel induk. Model dapat memprediksi bahwa strategi yang baik untuk mencegah kanker adalah bila l rendah. Untuk l rendah, risiko kanker rendah bahkan jika mutasi pertama menguntungkan

(98) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 84 1 untuk terjadinya kanker (yaitu, persamaan 𝑝 > 2) dan jika tingkat mutasi kedua 𝜇2 tinggi. Dalam penerapannya dalam perhitungan peluang munculnya sel kanker, saat l bernilai besar resiko kanker bergantung pada mutasi pertama . Jika mutasi pertama tidak menguntungkan atau netral maka risiko kanker akan turun secara drastis.

(99) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Proses stokastik percabangan BGW dapat digunakan dalam penerapan di bidang biologi. Dalam skripsi ini telah dipelajari proses percabangan BGW dan sifat-sifat dasarnya, secara khusus telah ditentukan distribusi total keturunan suatu individu. Selanjutnya dicari distribusi total keturunan dalam kasus khusus, yaitu individu awal tunggal yang menghasilkan keturunan sebanyak dua dari generasi pertama. Perhitungan dalam kasus khusus tersebut mengarah dalam pembahasan penerapan di bidang biologi yang telah dibahas. Kemudian dicari juga peluang muncul mutan dalam suatu populasi. Terakhir dicari total keturunan kemungkinan mencapai takhingga. Dalam skripsi dibahas mengenai dua penerapan yaitu pada mutasi patogen yang kebal obat dan mutasi sel kanker dalam suatu jaringan. Permasalahan dalam bidang biologi tidak dibahas terlalu detail, tetapi dilihat model matematika dari proses stokastik percabangan BGW yang dapat diterapkan di kedua kasus tersebut. Pada kasus patogen yang kebal obat menghasilkan perhitungan peluang dari pemberantasan patogen sebelum patogen yang kebal obat atau patogen mutan muncul. Sedangkan dalam kasus mutasi sel kanker dicari model awal yang dapat memperkirakan kemungkinan peran yang lebih besar dalam mutasi sel punca dan menyebabkan munculnya sel kanker. Pada hasil pembahasan perhitungan peluang patogen mutan tidak muncul selama pengobatan didapatkan model proses percabangan BGW sebagai berikut, 85

(100) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 86 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) = (𝑞(1, 𝜇, 𝑝)) 𝑁 1 =( (1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2 )) 2𝑝(1 − 𝜇)2 𝑁 dimana nilai q bergantung pada p. Berdasarkan model tersebut diperoleh bahwa parameter untuk suksesnya pengobatan adalah 𝑁𝜇. Jika nilai 𝑁𝜇 kecil maka 𝑞(𝑁, 𝜇, 𝑝) besar. Di lain pihak, model matematis yang didapatkan dalam perhitungan pelu- ang munculnya sel kanker dalam suatu jaringan adalah sebagai berikut, ℙ(muncul kanker) = 1 − (1 − 𝑝)𝐷 ~ 1 − exp(−𝑝𝐷) = 1 − exp(−𝑙𝑆(𝑝1 , 𝜇2 )) dengan nilai yang bergantung pada l. Menurut model yang telah didapatkan, parameter yang mempengaruhi peluang munculnya sel kanker ada pada 𝑙 = 𝜇1 𝐷. B. Saran Proses stokastik sendiri memiliki penerapan yang luas di berbagai bidang, misal: fisika, biologi, ekonomi, dll. Pembaca bisa mengambil fokus penerapan di salah satu bidang ilmu tersebut. Penerapan proses stokastik percabangan dalam bidang biologi masih banyak yang belum dibicarakan dalam skripsi ini, misalnya dalam kasus peluang penyebaran penyakit, peluang munculnya mutasi sel kanker dalam proses pengobatan. Saran dari penulis bagi pembaca yang berminat mengerjakan tugas akhir dengan dasar teori yang mirip dapat mencari dan melengkapi model matematika yang dapat mencari peluang munculnya mutasi dengan menambah atau mengubah asumsi awal dari mas-

(101) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 87 ing-masing kasus. Pembaca juga dapat mengembangkan model matematika yang sama tetapi dengan tujuan model yang berbeda.

(102) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR PUSTAKA Allen, Linda J. S. (2011). An Introduction to Stochastic Processes with Aplications to Biology. London: A Chapman & Hall Book. Bhattacharya, Rabi N. (2009). Stochastic Processes with Applications. Philadelphia: SIAM. Castaneda, Liliana Blanco, dkk. (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Hoboken: John Wiley and Sons, Inc. Fifendy, Mades. (2017). Mikrobiologi. Jakarta: Prenada Media. Georgii, Hans-Otto, Ortgiese, Marcel, and Baake, Ellen. (2013). Stochastic: Introduction to Probability and Statistics. Belin: Walter de Gruyter. Jones, Peter W. and Smith, Peter. (2010). Stochastic Processes An Introduction. London: A Chapman & Hall Book. Kifli, Buchori dan Usman, Mustofa. (1986). Pengantar Teori Peluang dan Proses Stochastic Terhingga. Bandung: Sinar Baru. Mazza, Christian and Benaim, Michel. (2014). Stochastic Dynamics for Systems Biology. Boca Raton: CRC Press. Praptono. (1986). Pengantar Proses Stokastik I; 1-5. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud. Saefudin, Asep dkk. (2009). Statistika Dasar. Jakarta: PT Grasindo. Schinazi, B. Rinaldo. (2006). A Stochastic Model for Cancer Risk. Genetics, 174: 545-547. 88

(103) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 89 Schinazi, B. Rinaldo. (2006). The Probability of Treatment Induced Drug Resistance. Acta Biotheoretica, 54: 13-19. Schinazi, B. Rinaldo. (2014). Classical and Spatial Stochastic Processes. New York: Springer. Sell, Stewart. (2013). Stem Cells Handbook Second Edition. New York: Springer.

(104)

Dokumen baru

Download (103 Halaman)
Gratis

Tags

Dokumen yang terkait

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
82
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Ilmu Komputer
0
0
158
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
176
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Ekonomi Program Studi Akuntansi
0
0
81
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
130
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
121
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Ilmu Komputer
0
0
234
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Ilmu Komputer
0
0
242
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
100
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
1
148
GEOMETRI KABUR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
121
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
91
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
103
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
0
0
229
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
0
0
218
Show more