MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI ERLANG SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Gratis

0
0
144
3 weeks ago
Preview
Full text
(1)PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI ERLANG SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh : Nama : Marcelina Novi Agustiarini NIM : 103114005 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014

(2) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ii

(3) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iii

(4) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iv

(5) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI HALAMAN PERSEMBAHAN: Kupersembahkan skripsi ini kepada:  Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang telah memberkati saya sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini  Ibu dan ayah yang selalu memberikan doa dan dukungan sehingga skripsi ini dapat selesai  Ibu Lusi yang selalu membimbing dan membantu saya dengan penuh kesabaran  Sahabat-sahabat dan semua orang yang selalu mendukung dan menyayangi saya  Semua mahasiswa Prodi Matematika yang sudah menjadi teman sekaligus keluarga bagi saya v

(6) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI vi

(7) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRAK Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima pelayanan.Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Oleh karena itu, perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan. Kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik-karakteristik dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Distribusi yang dapat mewakili kedatangan adalah distribusi Poisson. Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-karakteristiknya tetapi juga waktu pelayanan.Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak berhingga. Pada tulisan ini waktu pelayanannya berdistribusi Erlang. Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang sangat penting dalam analisis sistem antrian. Untuk menentukan jumlah pelayan yang optimal perlu adanya ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem meliputi rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata waktu menungggu dalam antrian.Dalam menentukan jumlah pelayan perlu mempertimbangkan model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu pelanggan untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah. Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati banyaknaya fase ada tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Jumlah pelayan hanya satu dan waktu tunggu masih lama sehingga belum optimal. Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada masing-masing tahap adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga dapat mengurangi waktu tunggu. vii

(8) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ABSTRACT Queue is a mutual process of waiting to receive services. A very long queues would be very detrimental for customers and servers. Therefore, it is necessary to determine the appropriate number of servants to the arrival rate. The characteristics customers is arrival can be studied. It can be represented by the distribution,that is the Poisson distribution. Not only arrival that can be studied its characteristics but also service time. The distributions may represent the service time are exponential distribution and Erlang distribution. In the queuing model of exponential distribution the number of phases is only one, where in the queuing model with Erlang distribution the number of phases in the model can be finite or infinite. In this paper, the service time distribution is Erlang. Determination of the optimal number of servants is very importance in the analysis of queuing systems. To determine the optimal number of servants, it is neededthe measure of system performance,which include average number of customers in the system, average number of customers in the queue, average of waiting time in the system, and average of waiting time in the queue. In determining the number of servants need to consider the cost model. If the number of waiters is added, the customer's waiting time will decrease. However, it will cause the costs to be spent to hire servants also increased. In the application of queuing in hospitals Gunung Jati there are three phases, namely: etiquette, packing, and checking. The number of servers is only one and waiting time is still long so it not optimal. By using the cost model, the number of servers of each step is two people. The addition of these servers can also reduce the waiting time. viii

(9) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah dilimpahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini penulis ajukan kepada yang terhormat panitia penguji Skripsi untuk melengkapi syarat untuk menempuh gelar sarjana pada Prodi Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Dalam penyusunannya penulis membutuhkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Bapak dan Ibu Agus Yulianto atas segala doa dan motivasi yang diberikan. 2. Ibu Lusia Krismiati Budiasih, M.Si, selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah membimbing dan membantu saya selama penyusunan skripsi ini. 3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S. Si, M. Si selaku dosen penguji yang membantu perbaikan skripsi ini. 4. Bapak dan Ibu Dosen yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma ini. 5. Segenap karyawan sekretariat FST, lab. GM, dan Perpustakaan Paingan atas pelayanan yang telah diberikan kepada penulis. 6. Sahabat-sahabat dalam perjalanan kuliah: Arga, Ayu, Yosi, Agnes, Roy, Marsel, Leni, Pandu, Tika, Ratri, Sari, Astri, dan Dini. 7. Semua mahasiswa Prodi Matematika atas semua pelajaran yang begitu berharga. 8. Serta bantuan dari semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari kekurangan skripsi ini, untuk itu saran serta kritik sangat diharapkan demi peningkatan kualitas skripsi ini. Dan akhirnya penulis ix

(10) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak. Yogyakarta, 25 Juli 2014 Penulis, Marcelina Novi Agustiarini x

(11) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..........................................................ii HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................................ iii PERNYATAAN KEASLIAN ....................................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................................v PERNYATAAN PUBLIKASI ....................................................................................... vi ABSTRAK ....................................................................................................................... vii ABSTRACT .................................................................................................................... viii KATA PENGANTAR .................................................................................................. ix-x DAFTAR ISI................................................................................................................ xi-xii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah........................................................................................ 1 B. Rumusan Masalah .................................................................................................. 3 C. Batasan Masalah .................................................................................................... 4 D. Tujuan Penulisan .................................................................................................... 5 E. Metode Penulisan ................................................................................................... 5 F. Manfaat Penulisan.................................................................................................. 5 G. Sistematika Penulisan ............................................................................................ 5 BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL KOLMOGOROV-SMIRNOV A. Peubah Acak .......................................................................................................... 8 xi

(12) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI B. Nilai Harapan ...................................................................................................... 15 C. Variansi ................................................................................................................ 18 D. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 19 E. Distribusi Poisson ............................................................................................... 21 F. Distribusi Gamma ............................................................................................... 23 G. Distribusi Eksponensial ..................................................................................... 32 H. Distribusi Erlang ................................................................................................. 34 I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 41 BAB IIIMODEL-MODEL ANTRIAN A. Unsur-unsur Dasar Antrian ................................................................................. 45 B. Peran Distribusi Poisson .................................................................................... 53 C. Peran Distribusi Erlang ....................................................................................... 60 D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal .......................................................... 62 E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda ............................................................. 88 F. Model Biaya ......................................................................................................... 99 BAB IVMODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD GUNUNG JATI CIREBON ..................................................................................................................... 108 BAB VPENUTUP A. Kesimpulan ......................................................................................................... 121 B. Saran ................................................................................................................... 123 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 124 Lampiran........................................................................................................................ 127 xii

(13) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI xiii

(14) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian. Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima pelayanan. Contoh antrian adalah antrian dalam pengambilan kartu ujian untuk para mahasiswa, antrian pembayaran uang kuliah, antrian pengambilan karcis parkir, dll. Dalam antrian, yang mengantri tidak hanya orang tetapi juga bisa berupa barang. Misalnya: antrian bahan mentah yang akan diproses dan dijadikan bahan produksi, antrian komoditi ekspor di pelabuhan, antrian mobil yang akan diperbaiki dalam sebuah bengkel, dll. Berikut adalah contoh nyata sebuah antrian orang (gambar kiri) dan antrian barang (gambar kanan). Terdapat faktor-faktor penting dalam sebuah antrian, yaitu pelanggan (customer) dan pelayan (server). Proses antrian biasanya adalah 1

(15) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pelanggan tiba di satu sarana pelayanan kemudian bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, pelayanan akan memilih pelanggan yang baru dan diulangi kembali proses tersebut dari awal. Antrian dapat terjadi karena kebutuhan akan pelayanan melebihi kapasitas yang disediakan. Kedatangan pelanggan tidak diketahui sebelumnya. Jika diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sehingga keharusan untuk menunggu tidak ada atau dengan kata lain tidak ada antrian. Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam sebuah antrian sangat tergantung pada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan. Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah hilangnya pelanggan. Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan. Kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah secara acak. Selain 2

(16) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI itu, kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristikkarakteristik dalam sebuah antrian dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Pada tulisan ini, distribusi kedatangan dapat diwakilkan dengan distribusi Poisson. Selain itu, waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat dipelajari karakteristiknya. Waktu pelayanan juga dapat terwakilkan dengan suatu distribusi seperti waktu antar kedatangan. Distribusi Erlang akan dipergunakan dalam tulisan ini untuk menyatakan waktu pelayanannya. Dengan demikian, distribusi Poisson dan distribusi Erlang dapat dipergunakan untuk menganilisa sebuah antrian. Dalam tulisan ini akan dipelajari karakteristik kinerja sebuah sistem antrian. Ukuran kinerja sistem dalam sebuah sistem meliputi ratarata jumlah pelanggan dalam sistem, rata-rata jumlah pelanggan menunggu dalam antrian, rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem, dan rata-rata yang dihabiskan pelanggan seorang pelanggan menunggu dalam antrian. Ukuran kinerja dalam sistem dapat dipergunakan untuk menghitung biaya optimal pada sebuah antrian. Biaya optimal berkaitan dengan laju pelayanan optimum. Secara umum model biaya berusaha menyeimbangkan biaya menunggu dan biaya kenaikan tingkat pelayanan. B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa saja yang mendasari sebuah antrian? 3

(17) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2. Bagaimana distribusi Poisson dapat dipergunakan dalam sebuah antrian? 3. Bagaimana distribusi Erlang dapat dipergunakan dalam sebuah antrian? 4. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Erlang? 5. Bagaimana mengoptimumkan biaya pada model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Erlang? C. BATASAN MASALAH 1. Model antrian yang dibahas adalah model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Erlang. 2. Model antrian yang dibahas adalah: a. ( ⁄ b. ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ ⁄ ) ) 3. Waktu pelayanan pada masing-masing tahap adalah sama dan berdistribusi eksponensial. 4. Model pengambilan keputusan yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah model keputusan dengan menggunakan model biaya. 4

(18) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI D. TUJUAN PENULISAN Penulisan ini bertujuan untuk membahas dasar-dasar sebuah antrian, peran distribusi Poisson dan Erlang dalam sebuah antrian serta mencari ukuran-ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Erlang. E. METODE PENULISAN Metode penulisan yang dipergunakan adalah metode studi pustaka, sehingga di dalam skripsi ini tidak ditemukan hal-hal yang baru. Jenisjenis sumber pustaka yang digunakan penulis tercantum dalam daftar pustaka. F. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah memberikan wawasan pengetahuan tentang model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Erlang. G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah 5

(19) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL KOLMOGOROV-SMIRNOV A. Peubah Acak B. Nilai Harapan C. Variansi D. Fungsi Pembangkit Momen E. Distribusi Poisson F. Distribusi Gamma G. Distribusi Eksponensial H. Distribusi Erlang I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov BAB III MODEL-MODEL ANTRIAN A. Unsur-unsur Dasar Antrian B. Peran Distribusi Poisson C. Peran Distribusi Erlang D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal 6

(20) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda F. Model Biaya BAB IV MODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD GUNUNG JATI CIREBON Contoh kasus penerapan model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Erlang. BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran 7

(21) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL KOLMOGOROV-SMIRNOV A. PEUBAH ACAK (VARIABEL RANDOM) Definisi 2.1 Percobaan Percobaan adalah suatu proses di mana pengamatan sengaja dibuat untuk memperoleh hasil. Definisi 2.2 Ruang Sampel Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S. Contoh 2.1: Ruang sampel S bagi percobaan pelemparan sekeping uang logam sebanyak 2 kali dapat ditulis sebagai: S = {AA, AG, GA, GG}, dengan G dan A masing-masing menyatakan “sisi gambar” dan “sisi angka”. Definisi 2.3 Probabilitas Probabilitas adalah suatu fungsi yang mengaitkan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dengan suatu bilangan real. Jika hasil suatu percobaan, maka probabilitas dari ( ). 8 kemungkinan dapat ditulis dengan notasi

(22) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.4 Peubah Acak Peubah acak adalah fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. Peubah acak dituliskan menggunakan huruf kapital dan nilainya dinotasikan dengan suatu huruf kecil. Misalkan peubah acak, nilai dari menyatakan suatu dinyatakan dengan . Contoh 2.2: Perhatikan Contoh 2.1, misalkan peubah acak menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul, maka peubah acak dapat dituliskan sebagai berikut: banyaknya sisi angka yang muncul pada pelemparan sekeping uang logam sebanyak 2 kali. Maka nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel. Bilangan-bilangan 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Definisi 2.5 Peubah Acak Diskrit Sebuah peubah acak dikatakan dsikrit jika himpunan nilainya adalah berhingga atau tak berhingga terbilang. Notasi ( ) menyatakan kemungkinan hasil suatu percobaan bernilai sama dengan x. Probabilitasnya dinyatakan dengan ( 9 ).

(23) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Contoh 2.3: Misalkan dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 2 kali dan merupakan banyaknya sisi angka yang muncul, maka semua kemungkinan nilai dan peluangnya dapat dicantumkan pada tabel berikut ini: Tabel 2.1 Peubah acak diskrit beserta semua kemungkinan nilai dan peluang 0 ( 1 2 ) Definisi 2.6 Fungsi Probabilitas Diskrit ( ) adalah suatu fungsi probabilitas suatu peubah acak diskrit Fungsi untuk setiap hasil 1. ( ) 2. ∑ 3. yang mungkin jika: ( ( ) ) ( ) Definisi 2.7 Peubah Acak Kontinu Jika nilai peubah acak interval-interval, maka adalah sebuah interval atau kumpulan dari disebut peubah acak kontinu. Peubah acak kontinu tidak dapat dituliskan dalam bentuk tabel seperti peubah acak diskrit. Untuk menyatakan kemungkinan hasil suatu 10

(24) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI percobaan, biasanya dituliskan menggunakan notasi seperti: atau atau atau Probabilitasnya dinyatakan dengan ( ) ( ). atau atau ( ) ( . ) Contoh 2.4: Sebuah peubah acak kontinu yang mengambil nilai antara mempunyai fungsi probabilitas ( ) Akan dicari ( ( ) ⁄ dan ( ) dan . ). ⁄ , maka ( ) . ⁄ ⁄ /( ) Definisi 2.8 Fungsi Probabilitas Kontinu Fungsi probalitas peubah acak kontinu, dikenal dengan nama fungsi densitas probabilitas (Probability Density Function / PDF ), untuk setiap hasil x yang mungkin jika: 1. ( ) 2. ∫ 3. ( ( ) ) ∫ ( ) Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit 11

(25) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Fungsi ( ) adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak diskrit X dan Y jika: 1. ( 2. ∑ ∑ 3. ( ) ( untuk setiap ( ) ) ( ) ) Untuk setiap A di bidang xy, ,( ) - ∑∑ ( ) Contoh 2.5: Dua buah kelereng diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 kelereng biru, 2 kelereng merah, dan 3 kelereng hijau. Misalkan merupakan banyaknya kelereng yang berwarna hijau yang terambil dan merupakan banyaknya kelereng merah yang terambil. Nilai ( ) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Sebagai contoh ( ) memperlihatkan bahwa probabilitas kelereng merah dan hijau yang terambil. Banyaknya semua kemungkinan hasil dari pengambilan 2 kelereng adalah ( ) . Banyaknya kemungkinan hasil pengambilan 1 kelereng merah dari 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau dari 3 kelereng hijau ( )( ) . Maka ( ) . Perhitungan probabilitas bersama yang lain dapat dituliskan dalam tabel berikut: Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama beserta semua kemungkinan nilai dan peluang 12

(26) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( total ) 0 1 2 baris 0 1 0 2 0 0 total kolom 1 Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu Fungsi ( dan jika: (1.) ( (2.) ∫ )adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak kontinu (3.) ,( ∫ ) ) ( , untuk setiap ( - ) ∫∫ ( Untuk setiap A di bidang xy. ) ) Definisi 2.11 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit ditulis dengan ( ). Fungsi distribusi kumulatif dari ( )dari peubah acak diskrit ( ) ( ) dengan fungsi probabilitas ( ) adalah: ∑ 13 ( ), untuk .

(27) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.12 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah acak Kontinu ditulis dengan ( ). Fungsi distribusi kumulatif dari ( )dari peubah acak kontinu adalah: ( ) ( ) dengan fungsi probabilitas kontinu ( ) ( ) ∫ , untuk . Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Kontinu Misalkan ( ) adalah fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu maka ( )dapatditentukan oleh: jika turunannya ada. ( ) ( ) , ( ) Definisi 2.14 Dua Peubah Acak yang Bebas Peubah acak dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika ( ) untuk semua kemungkinan nilai-nilai fungsi probabilitas dari peubah acak probabilitas dari peubah acak dan ( bersama dari peubah acak dan . Contoh 2.6: 14 ( ) ( ) dan , dengan dan ( ) merupakan ( ) merupakan fungsi ) merupakan fungsi probabilitas

(28) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Perhatikan Contoh 2.5, maka dapat diperlihatkan bahwa peubah acak dan tidak saling bebas. Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa ( ) , dan ( ) masing-masing adalah sebagai berikut: f (0,1)  ( 3 14 2 3 3 1 5    28 14 28 14 g (0)   f (0, y )  y 0 2 h(1)   f ( x,1)  x 0 3 3 3  0 14 14 7 f (0,1)  g (0)h(1) Maka dapat disimpulkan peubah acak dan tidak saling bebas. B. NILAI HARAPAN (MEAN / RATA-RATA) Definisi 2.15 Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit Jika adalah suatu peubah acak, yakni * probabilitas ( ), maka nilai harapan adalah: ( ) ∑ +, dengan fungsi ( ) Definisi 2.16 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Jika adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ), nilai harapan adalah: 15 )

(29) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ) ( ) ∫ Teorema 2.1 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Peubah Acak Jika dan merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari jumlah peubah acak tersebut adalah: ( ) ( ) ( ) Bukti: Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu: m n E ( X  Y )   ( xi  y j ) f (xi , y j ) i 1 j 1 m m n n   xi f (xi , y j )   y j f (xi , y j ) i 1 j 1 i 1 j 1  E ( X )  E (Y ) Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Peubah Acak Jika dan merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari selisih peubah acak tersebut adalah: ( ) Bukti: 16 ( ) ( )

(30) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu: m n E ( X  Y )   ( xi  y j ) f (xi , y j ) i 1 j 1 m m n n   xi f (xi , y j )   y j f (xi , y j ) i 1 j 1 i 1 j 1  E ( X )  E (Y ) Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Peubah Acak yang Saling Bebas Misalkan fungsi dari ) adalah adalah peubah acak yang saling bebas. ( dan dan ( , ( ) adalah fungsi dari ) ( )- , ( , maka )- , ( )- Bukti: Misalkan ( Hasil kali ( ) adalah fungsi probabilitas bersama dari ) ( ) adalah fungsi dari bebas maka menurut Definisi 2.16 menjadi: 17 dan . Jika dan dan . saling

(31) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI E g ( X 1 )h( X 2 )      g ( x ) h( x 1 2 ) f ( x1 , x 2 )dx 2 d x1         g ( x ) h( x 1 2 ) f1 ( x1 ) f 2 ( x 2 )dx 2 d x1        g ( x1 ) f1 ( x1 )   h( x 2 ) f 2 ( x 2 )dx 2  dx1        g ( x ) f ( x ) Eh( X )dx 1 1 1 2 1    E h( X 2 )  g ( x1 ) f1 ( x1 )dx1   E g ( X 1 )E h( X 2 ) C. VARIANSI Definisi 2.17 Variansi Peubah Acak Diskrit Jika adalah suatu peubah acak, * + , dengan fungsi probabilitas ( ) dan nilai harapan , maka variansi ∑( ) adalah: ( ) Definisi 2.18 Variansi Peubah Acak Kontinu Jika adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ) dan nilai harapan , maka variansi adalah: ∫ ( 18 ) ( )

(32) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Teorema 2.4 Variansi Peubah Acak Jika adalah suatu peubah acak, maka variansi ( adalah: ) Bukti: Untuk peubah acak diskrit:  2   ( x   ) 2 f ( x) x   ( x 2  2x   2 ) f ( x) x   x 2 f ( x)  2  xf ( x)  2  f ( x) x x (2.1) x Menurut Definisi 2.15, persamaan (2.1) menjadi:  2   x 2 f ( x)   2 x  E( X 2 )   2 Untuk peubah acak kontinu:   2   ( x   ) 2 f ( x)dx     ( x 2  2x   2 ) f ( x)dx         2 2  x f ( x)dx   2xf ( x)dx    f ( x)dx Menurut Definisi 2.16, persamaan (2.2) menjadi: 19 (2.2)

(33) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2   x 2 f ( x)dx   2   E( X 2 )   2 D. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Definisi 2.19 Momen keadalah ( Momen ke- dari peubah acak ) dan dinotasikan . Definisi 2.20 Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen ( ). ( ) untuk peubah acak adalah ( ) Definisi 2.21 Fungsi Pembangkit Momen Bersama adalah ( ) . ∑ + * Fungsi pembangkit momen bersama dari jika ada / Teorema 2.5 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Peubah Acak Misalkan fungsi ( ) ( ) adalah peubah acak yang saling bebas dengan pembangkit ( ) ( ) momen ( ). Jika ( ). 20 masing-masing maka adalah ( )

(34) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Bukti: Karena adalah peubah acak yang saling bebas maka menurut Teorema 2.3 dan Definisi 2.20 menjadi:     E e  E e  E e  ...  E e  mY (t )  E e t  X1  X 2 ... X n  tX 1  tX 2 ... tX n tX 1 tX n tX 2  m X1 (t )  m X 2 (t )  ...  m X n (t ) E. DISTRIBUSI POISSON Distribusi Poisson adalah salah satu distribusi peubah acak diskrit yang digunakan untuk menghitung jumlah kejadian khusus selama jangka waktu tertentu. Misalnya: jumlah dering telepon dalam kurun waktu 1 jam. Definisi 2.22 Distribusi Poisson Distribusi probabilitas bagi peubah acak Poisson , yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut: dengan ( ) ( ) untuk 1 2 merupakan rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan. Teorema 2.6 Nilai Harapan Distribusi Poisson Nilai harapan dari peubah acak diskrit 21 ( ) adalah:

(35) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ) Bukti: Misalkan . Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh persamaan, yaitu:  E( X )   x x 0 e   x x! e    x 1 x 1 ( x  1)!    Misalkan dan ∑ ( ) , maka diperoleh: e  y  y! y 0  E( X )    Teorema 2.7 Variansi Distribusi Poisson ( Variansi dari peubah acak diskrit ( ) ) adalah: Bukti: Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh persamaan, yaitu:  E ( X ( X  1))   x( x  1) x 0    x( x  1) x2 e   x x! e   x x! e   x2 x 1 ( x  2)!   2 22

(36) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Misalkan , maka diperoleh: e   y  2 y! y 0  E ( X ( X  1))   2  (2.3) Berdasarkan Teorema 2.1, Teorema 2.2, dan Teorema 2.4, maka persamaan (2.3) menjadi:  2  E( X 2 )   2  E( X 2 )  E( X )  E( X )   2  E ( X ( X  1))  E ( X )   2  2    2  F. DISTRIBUSI GAMMA Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika. Distribusi Gamma merupakan salah satu distribusi kontinu yang juga merupakan suatu keluarga distribusi. Beberapa distribusi merupakan distribusi khusus dari distribusi Gamma, seperti distribusi Eksponensial dan distribusi Erlang. Definisi 2.23 Fungsi Gamma Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut: ( ) ∫ 23

(37) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 2.24 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu: ( ) dengan parameter { ( ) dan ( ) . Teorema 2.8 Sifat-sifat Distribusi Gamma Di bawah ini terdapat beberapa sifat penting dari distribusi Gamma, yaitu: (1). ( ) (2). ( ) (3). ( ) ( ) ( ( ) untuk setiap bilangan bulat positif ) untuk setiap bilangan bulat positif dengan Bukti: (1). Menggunakan Definisi 2.23 dengan teknik pengintegralan kalkulus ∫ ∫ ( ) ∫ di ( ) mana , | maka diperoleh persamaan: 24 , , dan

(38) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI (k )  x k 1 (e  x  0  )    e  x (k  1) x k  2 dx 0  x k 1 (  k 1 x ex 1 ex  0  0  )    e  x (k  1) x k  2 dx 0     e  x (k  1) x k  2 dx 0  k 1 0 k 1      0    e  x (k  1) x k  2 dx e e 0    k 1 0 k 1  0    e  x (k  1) x k  2 dx  e e 0   0  0    e  x (k  1) x k  2 dx 0   (k  1)  e  x x k  2 dx 0   (k  1)  x k  2 e  x dx (2.4) 0 Untuk dan merupakan bilangan bulat positif maka persamaan (2.4) menurut Definisi 2.23 menjadi:  (k )  (k  1)  x k  2 e  x dx 0   (k  1)  x ( k 1) 1e  x dx 0  (k  1)(k  1) (2). Menurut Definisi 2.23 maka diperoleh persamaan: 25

(39) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI  (1)   x k 1e  x dx 0    x 11e  x dx 0    e  x dx 0  e  x  0  0  (1) 1 (3). Menurut persamaan (2.4) dan Definisi 2.23 diperoleh persamaan:  (k  1)  ((k  1)  1)  x ( k 1)  2 e  x dx 0   (k  2)  x ( k  2 ) 1e  x dx 0  (k  2)(k  2) (2.5) Berdasarkan Teorema 2.8(1), Teorema 2.8(2), dan persamaan (2.5) maka diperoleh persamaan baru, yaitu: (k )  (k  1)(k  1)  (k  1)(k  2)(k  2)  (k  1)(k  2)(k  3)(k  3)  (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  4)  (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  5)(k  5)  (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  5) ... (1)  (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  5) ... 1  (k  1)! 26

(40) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari Teorema 2.8(3) diperoleh bahwa ( ) 2.24 dapat dituliskan ulang menjadi: ( ) , maka Definisi Definisi 2.25 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu: ( ) dengan parameter {( ) dan . Teorema 2.9 Nilai Harapan Distribusi Gamma Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) ( ) adalah Bukti: Menurut Definisi 2.16, maka diperoleh persamaan, yaitu: ( ) Misalkan ∫ ( ) maka (2.6) maka persamaan (2.6) menjadi:  u E( X )   ( ) 0 k u du ( ) k 1 e u  (k  1)!   Menurut Definisi 2.23 maka persamaan (2.7) menjadi: 27 (2.7)

(41) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI  E( X )   0 k  1 k 11 (u )1 k 1 e u du (k  1)!  1  (u ) ( k 1) 1 e u du  (k  1)! 0  1 (k  1)  (k  1)! (2.8) Menurut Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.8) menjadi: 1 k!  (k  1)! 1  (k  1)!k  (k  1)! k  E( X )   Teorema 2.10 Momen ke-n distribusi Gamma Momen ke-n dari peubah acak kontinu ( Bukti: ) ( ) ( ( ) ) adalah Menurut Definisi 2.16 dan Definisi 2.19 diperoleh persamaan, yaitu:  E( X n )   x n 0 Misalkan maka k (k  1)! x k 1e x dx (2.9) , sehingga persamaan (2.9) menjadi: 28

(42) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI  E( X n )   0 k u du ( ) k 1 n e u (k  1)!     1 (u ) k 1 n e u du  (k  1)! 0 n  1  n (u ) ( k  n ) 1 e u du   (k  1)! 0 (2.10) Menurut Definisi 2.23, maka persamaan (2.10) menjadi: E( X n )  1  ( k  n)  (k  1)! n Teorema 2.11 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu adalah ( ) . ( / Bukti: Berdasarkan Definisi 2.16 dan Definisi 2.20, maka diperoleh persamaan: m X (t )  E (e tX )   k  x k 1 e x dx   e tx   (k )  0   0 k (k ) x  k 1 e  t   x  1    dx (2.11) 29 )

(43) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( Misalkan ( ) ) atau ( ) dengan , maka , sehingga persamaan (2.11) menjadi:      1 1   m X (t )    t  t   0  1     1          k 1 k (k ) y k 1e  y dy k     k k 1  y 1   y e dy    t   (k ) 0   1        k      1  1  k k 1  y y e dy  k  t   (k ) 0   1       k     1  1  y k 1e  y dy    t  (k ) 0  1           1     t   1       k  1  (k ) y k 1  y e dy 0 Berdasarkan Definisi 2.10(2) persamaan (2.12) menjadi: 30 (2.12)

(44) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI k    1      1 m X (t )   t  1   k    1    t   1    1  k t  1     Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma ( Variansi dari peubah acak kontinu ) adalah Bukti: Menggunakan Teorema 2.10 diperoleh persamaan: ( ) ( ) ( ) (2.13) Jika n = 2 maka persamaan (2.13) menjadi: E( X 2 )  1 (k  2)  (k  1)! 2 31 (2.14)

(45) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Menurut Teorema 2.8(1) dan Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.14) menjadi: E( X 2 )         1 ((k  2)  1)((k  2)  1)  (k  1)! 1 (k  1)(k  1) 2  (k  1)! 1 (k  1)((k  1)  1)! 2  (k  1)! 1 (k  1)k! 2  (k  1)! 1 (k  1)(k  1)!k 2  (k  1)! (k  1)k 2 2 (k 2  k ) 2 k2  2  k  (2.15) 2 Dari Teorema 2.4 persamaan (2.15) menjadi:  2  E ( X 2 )  2   k2  2  k  2 k  ( )2  k 2 G. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Banyak sekali masalah pengambilan keputusan yang menggunakan distribusi eksponensial dalam penyelesaiannya. Misalnya: selang waktu 32

(46) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI antar rusaknya suatu mesin, selang waktu antar kedatangan pelanggan ke suatu bank, dan sebagainya. Definisi 2.26 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai berikut: dengan parameter ( ) { adalah sebuah bilangan real, konstanta positif. Teorema 2.13 Nilai Harapan Distribusi Eksponensial Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) ( ) adalah Bukti: Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa diperoleh bahwa: kontinu ( ( ) . Dari Teorema 2.9 juga , sehingga nilai harapan dari peubah acak ) adalah: E( X )   k  1  Teorema 2.14 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial 33

(47) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( ) ) adalah / . Bukti: Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa ( ) juga diperoleh bahwa: . momen dari peubah acak kontinu m(t )  / 1 t (1  ) k . Dari Teorema 2.11 , sehingga fungsi pembangkit ( ) adalah:   1 t (1  )  H. DISTRIBUSI ERLANG Distribusi Erlang adalah salah satu distribusi kontinu yang merupakan distribusi khusus dari distribusi Gamma di mana parameter dari distribusi ini bernilai bilangan bulat positif. Distribusi Erlang dapat digambarkan sebagai jumlah dari peubah acak yang saling bebas dan semuanya berdistribusi Eksponensial dengan nilai harapan yang sama. 34

(48) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Grafik Distribusi Erlang 0.9 Variable k=1 k=2 k=3 k=4 0.8 0.7 0.6 f(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 x 3 4 Gambar 2.1 Grafik Distribusi Erlang Definisi 2.27 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Erlang Peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi Erlang dengan parameter skala , dan parameter , yaitu fungsi densitas probabilitasnya dapat diberikan oleh: dengan ( ) ( ( ) ) dan adalah bilangan bulat positif. Teorema 2.15 Nilai Harapan Distribusi Erlang Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) 35 ( ) adalah ( ), jika

(49) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Bukti: Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.9 juga diperoleh bahwa: ( ) ( Sehingga nilai harapan dari peubah acak kontinu E( X )  k 1  ks s ) adalah: Teorema 2.16 Momen ke-n distribusi Erlang ( Momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) ( ) ( ( ) ) adalah ) Bukti: Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.10 juga diperoleh bahwa: ( ) ( ) ( Sehingga momen ke-n dari peubah acak kontinu E( X n )  1  ( k  n) (ks ) (k  1)! n 36 ) ( ) adalah:

(50) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Teorema 2.17 Momen ke-2 distribusi Erlang ( Momen ke-2 dari peubah acak kontinu ( ) ) adalah Bukti: Dari Teorema 2.16 jika n = 2, maka persamaannya menjadi: E( X 2 )          1 (k  2) (k  1)! 1 ((k  2)  1)((k  2)  1) 2 ks  (k  1)! 1 (k  1)(k  1) 2 ks  (k  1)! 1 (k  1)((k  1)  1)! 2 ks  (k  1)! 1 (k  1)k! 2 ks  (k  1)! 1 (k  1)(k  1)!k 2 ks  (k  1)! 1 (k  1)k ks 2 1 (k 2  k ) 2 2 2 k s  1 1  2 2 2 2 s  ks  ks  2 Teorema 2.18 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Erlang Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( ) 37 . / ( ) adalah

(51) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Bukti: Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa juga diperoleh bahwa: ( ) / . , sehingga fungsi pembangkit ( momen dari peubah acak kontinu m X (t )  1  t   1   ks  . Dari Teorema 2.11 ) adalah: k Teorema 2.19 Variansi Distribusi Erlang ( Variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah ) Bukti: Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.12 juga diperoleh bahwa: Sehingga variansi dari peubah acak kontinu 2  k ks 2 38 ( ) adalah:

(52) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Teorema 2.20 Jika terdapat peubah acak dan mempunyai distribusi eksponensial dengan nilai harapan , maka mengikuti distribusi Erlang dengan parameter . Bukti: Diberikan dan maka akan dibuktikan Misalkan berdistribusi Erlang. peubah acak yang berdistribusi eksponensial dengan nilai harapan yang sama, yakni: E ( X 1 )  E ( X 2 )  ...  E ( X k ) atau 1 1 Karena  1 2  ...  1 k  (2.16) 1  berdistribusi eksponensial dengan nilai harapan yang sama, maka menurut Teorema 2.14 fungsi pembangkit momennya adalah ( ) . Misalkan didefinisikan / , maka berdasarkan Definisi 2.21 dan Teorema 2.5 diperoleh persamaan: 39

(53) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI m X (t )  m X 1 (t )  m X 2 (t )  ...  m X k (t )  1 1   ... 1 t  t t    1   1   1         1 1 1  ...   t  t t   1    1   1         1  k t  1     (2.17) Dari persamaan (2.17) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.11. Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa , maka persamaan (2.17) menjadi: m X (t )  1  t  1    ks  k (2.18) Dari persamaan (2.18) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen distribusi Erlang pada Teorema 2.18. Jadi, peubah-peubah acak yang saling bebas dan masing- masing berdistribusi Eksponensial, distribusi Erlang dengan parameter . 40 akan menghasilkan

(54) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov Uji sampel Kolmogorov-Smirnov adalah suatu uji goodness of fit (keserasian). Artinya, yang diperhatikan adalah tingkat kesesuian antara distribusi dari serangkaian sampel (skor yang diobservasi) dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Uji ini diperkenalkan pada tahun 1933 oleh matematikawan Rusia A. N. Kolmogorov. Uji ini menetapkan apakah secara logis nilai-nilai sampel dapat dianggap berasal dari suatu populasi dengan distribusi teoritis tertentu. Dalam uji ini, pengujian dilakukan pada dua buah fungsi distribusi kumulatif, yaitu fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan fungsi distribusi kumulatif yang diamati. Misalkan dengan mengambil sebuah sampel acak dari suatu fungsi distribusi ( ) yang belum diketahui. Akan dipastikan apakah dapat disimpulkan bahwa ( ) dengan ( ) untuk semua , ( ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan. Dimisalkan juga ( )adalah fungsi sebaran kumulatif dari suatu sampel acak yang diamati dengan N pengamatan. Dengan sembarang nilai yang mungkin, S N  X   yang sama atau kurang dari setiap harga , selisih antara k , k adalah jumlah pengamatan N . Dalam uji ini diharapkan bahwa untuk ( )mendekati ( ) dengan adalah ( ). Artinya, di bawah diharapkan ( )adalah kecil, dan ada dalam batas-batas kesalahan acak. Uji Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada penyimpangan(deviasi) terbesar. Nilai 41 ( ) ( ) terbesar dinamakan

(55) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI deviasi maksimum, dinyatakan dengan D = maksimum F0  X   S N  X  . Perlu diperhatikan bahwa signifikasi suatu nilai D tertentu D  adalah bergantung pada jumlah pengamatan (N). Untuk dan diterima sedangkan jika maka maka diterima dan ditolak ditolak. Langkah-langkah penghitungan uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov adalah: 1. Tentukan hipotesis terlebih dahulu. Dapat disesuaikan dengan kasus yang diamati, yaitu sebagai berikut: ( ) 2. Tetapkan tingkat signifikasi 3. Hitung ( ) dan 4. Hitung | ( ) 5. Carilah ( ) ( ) ( ) yang digunakan. ( ) dari nilai-nilai data yang diamati. ( )| dari setiap nilai yang diamati. 6. Carilah 7. Jika maka maka diterima dan ditolak dan diterima sedangkan ditolak. Untuk memudahkan penghitungan, uji sampel Kolmogorov-Smirnov dapat dilakukan dengan SPSS. Contohnya dapat dilihat dalam Contoh 2.8 berikut ini: Contoh 2.7: 42

(56) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Di bawah terdapat data suatu sampel acak. Apakah datanya berdistribusi Poisson? Tabel 2.3 Data Suatu Sampel Acak 1 4 1 1 3 5 2 2 2 2 2 3 Data Uji hipotesis: 1. H0 : data berdistribusi Poissson H1 :data tidak berdistribusi Poisson 2. Tingkat signifikasi ( ) 3. Daerah penolakan : Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak Asymp.Sig. (2-tailed)> maka H1 ditolak Tabel 2.4 Hasil SPSS One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Data N 13 Poisson Parametera,,b Mean Most Extreme Absolute .099 Differences Positive .098 43 2.3077 2

(57) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Negative Kolmogorov-Smirnov Z -.099 .359 Asymp. Sig. (2-tailed) 1.000 a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. 4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 1. Asymp. Sig. (2-tailed) = 1 = 0,05 Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson. 44

(58) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB III MODEL-MODEL ANTRIAN A. UNSUR-UNSUR DASAR MODEL ANTRIAN Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima pelayanan. Dalam proses antrian biasanya pelanggan tiba di satu sarana pelayanan kemudian bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, pelayan akan memilih pelanggan yang baru dan diulangi kembali proses tersebut dari awal. Dalam antrian terdapat beberapa unsur-unsur dasar, diantaranya sebagai berikut: 1. Distribusi Kedatangan Pada sistem antrian, distribusi kedatangan merupakan faktor penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan. Dalam distribusi kedatangan memuat waktu antar kedatangan yang berarti waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan. Waktu antar kedatangan diringkas dalam bentuk distribusi probabilitas, yang umumnya disebut distribusi kedatangan. Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi menjadi dua, yaitu: a. Kedatangan secara individu 45

(59) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Kedatangan secara individu merupakan situasi di mana pelanggan datang secara individu (sendiri). Contoh dari situasi ini adalah seorang nasabah bank yang datang ke bank untuk melakukan transaksi. b. Kedatangan secara berkelompok Kedatangan secara berkelompok merupakan situasi di mana para pelanggan datang secara berkelompok. Contoh dari situasi ini adalah sekelompok orang yang datang bersama-sama ke sebuah restoran. Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan pada suatu distribusi probabilitas tertentu yang sudah banyak dikenal, seperti distribusi Poisson, distribusi Eksponensial ataupun distribusi Erlang. 2. Distribusi waktu pelayanan Distribusi waktu pelayanan berkaitan dengan waktu yang dibutuhkan pelayan untuk melayani pelanggan dari awal mula datang sampai pelayanan selesai dilakukan. Pelayanan kepada pelanggan terbagi menjadi dua cara, yaitu: a. Pelayanan secara individual Pelayanan secara individual merupakan pelayanan di mana pelayan melayani pelanggan secara individu, misalnya pelayanan 46

(60) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI yang dilakukan oleh seorang tukang cukur kepada seorang pelanggannya. b. Pelayanan secara kelompok Pelayanan secara kelompok adalah pelayanan di mana pelayan melayani pelanggan secara berkelompok. Contoh dari pelayanan ini adalah pelayanan kepada beberapa pelanggan restoran yang datang secara bersamaan dan berada dalam satu meja yang sama. Dalam distribusi pelayanan diperlukan pola pelayanan yang dikenal dengan waktu pelayanan. Waktu pelayanan merupakan waktu yang dibutuhkan seorang pelayan untuk melayani satu pelanggan. Waktu pelayanan ini dapat bersifat deterministik, atau berupa variabel acak yang distribusi probabilitasnya dianggap telah diketahui seperti distribusi Poisson, distribusi Eksponensial ataupun distribusi Erlang. 3. Rancangan sarana pelayanan Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-pelayan dalam susunan saluran atau barisan (tunggal atau ganda) dan fase (tunggal atau ganda) yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau barisan menunjukkan jumlah jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah pelayan. Istilah fase berarti jumlah stasiun-stasiun 47

(61) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pelayanan yang tersusun secara seri, di mana para pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian, yaitu: a. Satu barisan dan satu fase pelayanan Satu barisan berarti hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Sedangkan satu fase pelayanan menunjukkan bahwa hanya ada satu pelayanan. Setelah menerima pelayanan, pelanggan keluar dari sistem. Contoh untuk model ini adalah seorang pelanggan tukang cukur yang mengantri di seorang tukang cukur, seorang yang mengantri di sebuah bilik ATM, dll. Datang Keluar S Gambar 3.1 Model antrian dengan satu barisan dan satu fase pelayanan Keterangan: S = pelayan (server) b. Satu barisan dan beberapa fase pelayanan Beberapa fase pelayanan menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh untuk model ini adalah proses pengisian teh botol dalam pabrik yang harus melalui beberapa tahap, yaitu pengisian botol → penyegelan → pencetakan 48

(62) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI kode produksi dan tanggal kadaluarsa → penempatan botol dalam kotak → kontrol produksi. datang S S S S keluar Gambar 3.2 Model antrian dengan satu barisan dan beberapa fase pelayanan c. Beberapa barisan dan satu fase pelayanan Beberapa barisan terjadi jika dua atau lebih pelayan melayani antrian tunggal. Contoh dari proses pelayanan seperti ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket. S S datang keluar S S Gambar 3.3 Model antrian dengan beberapa barisan dan satu fase pelayanan d. Beberapa barisan dan beberapa fase pelayanan Bebrapa barisan dan beberapa fase pelayanan berarti setiap sistem mempunyai beberapa pelayan pada setiap tahap, sehingga lebih dari 49

(63) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI satu pelanggan dapat dilayani pada suatu waktu. Contoh dari proses pelayanan seperti ini adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran dimana setiap tahap dilayani lebih dari satu pelayan. datang S S S S S S S S S S S S keluar Gambar 3.4 Model antrian dengan beberapa barisan dan beberapa fase pelayanan 4. Peraturan pelayanan Peraturan pelayanan merupakan pedoman keputusan yang digunakan untuk menyeleksi pelanggan yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu. Terdapat beberapa cara dalam menyeleksi antrian, diantaranya sebagai berikut: a. First come firts serve (FCFS) First come firts serve merupakan salah satu peraturan pelayanan yang berarti pelanggan yang datang pertama dilayani pertama, misalnya seseorang yang mengantri untuk membeli karcis di loket gedung bioskop. 50

(64) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI b. Last come first serve (LCFS) Last come first serve adalah peraturan pelayanan yang mempunyai arti pelanggan yang datang terakhir akan dilayani pertama. Contoh dari peraturan pelayanan ini adalah bongkar pasang barang di dalam truk dimana barang yang dikeluarkan dari truk terlebih dahulu adalah barang yang dimasukkan ke dalam truk terakhir. c. Service in random order (SIRO) Service in random order adalah peraturan pelayanan yang mempunyai arti bahwa pelayanannya dilakukan secara acak, misalnya pengambilan kertas undian. Dalam pengambilan kertas undian, pelayan bebas memilih secara acak. d. Priority Priority merupakan peraturan pelayanan yang berarti pelayanannya didasarkan pada prioritas tertentu, misalnya pelayanan kepada pasien yang kondisinya kritis. 5. Ukuran antrian Ukuran antrian adalah panjang antrian yang dapat dilayani. Ada dua macam ukuran antrian, yaitu: a. Antrian terbatas Hanya sejumlah pelanggan tertentu yang diijinkan, kemungkinan karena terbatasnya suatu ruang. Setelah antrian 51

(65) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI memenuhi kapsitas (ukuran), pelanggan yang baru tiba tidak dapat masuk ke dalam antrian. Misalnya, antrian mobil yang akan dicuci ditempat pencucian hanya terbatas. Hal ini dikarenakan ruang untuk mobil di tempat pencucian mobil tersebut terbatas. b. Antrian tidak terbatas Pelanggan yang diijinkan memasuki antrian tidak terbatas jumlahnya. Misalnya: pelanggan yang datang di tempat pengisian bensin jumlahnya tidak dibatasi berapapun boleh mengantri untuk membeli. 6. Sumber pemanggilan Sumber pemanggilan berkaitan dengan sifat sumber yang meminta pelayanan. Sumber pemanggilan terdiri dari dua faktor, yaitu: a. Terbatas Dalam sumber pemanggilan terbatas memiliki arti bahwa pelanggan yang akan memperoleh pelayanan sifat sumbernya terbatas. Misalnya, pada sistem antrian pembayaran sks hanya terbatas untuk mahasiswa. b. Tidak terbatas Dalam sumber pemanggilan tidak terbatas memiliki arti bahwa pelanggan yang datang untuk memperoleh pelayanan tidak terbatas. Misalnya, pada antrian pembelian bensin di pom bensin siapapun tentu saja boleh mengantri. 52

(66) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 7. Perilaku manusia Model-model antrian yang mewakili situasi di mana manusia mengambil peran sebagai pelanggan atau pelayan harus dirancang untuk memperhitungkan pengaruh dari perilaku yang dilakukan manusia. Pelayan yang berupa manusia dapat mempercepat layu pelayanan ketuka jalur antrian memanjang. Sedangkan pelanggan yang berupa manusia juga dapat berpindah dari satu jalur antrian ke jalur lainnya dengan harapan dapat mengurangi waktu menunggu. Masih terdapat ciri-ciri perilaku manusia lainnya dalam situasi antrian seharihari. Dalam situasi antrian biasanya terdapat dua asumsi yang sering dipergunakan, yaitu: a. Pelanggan antri secara berurutan b. Kecepatan pelayanan yang dilakukan pelayan dianggap sama untuk setiap pelanggan B. PERAN DISTRIBUSI POISSON Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan. Kedatangan 53

(67) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik-karakteristik kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah sebagai berikut: a. Dalam sebuah antrian, banyaknya kedatangan yang tiba pada interval tertentu tidak mempengaruhi banyaknya kedatangan pada interval yang lainnya. Misalnya banyaknya kedatangan yang tiba antara pukul 18.00-18.10 tidak mempengaruhi banyaknya kedatangan yang tiba antara 18.1518.25. b. Probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama waktu lebih kecil dibanding probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama waktu . Misalnya probabilitas ada satu kedatangan selama 30 menit kurang dari probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama 45 menit. c. Dalam sebuah antrian, kedatangan dalam selang waktu yang singkat terkadang ada terkadang tidak ada kedatangan. Oleh karena itu, kedatangan pelanggan lebih dari satu dalam selang waktu yang singkat dapat diabaikan. Misalnya dalam selang waktu 1 menit terkadang ada kedatangan terkadang tidak ada kedatangan, jika ada hanya 1 orang saja maka kedatangan lebih dari satu pelanggan diabaikan. Karakteristik-karakteristik di atas dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Distribusi yang dapat mewakili adalah distribusi Poisson karena 54

(68) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI karakteristik-karakteristik tersebut juga mirip dengan karakteristikkarakteristik yang dimiliki oleh distribusi Poisson. Karakteristikkarakteristik dari distribusi Poisson adalah sebagai berikut: a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu yang terpisah. b. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang sangat singkat sebanding dengan panjang selang waktu tersebut. c. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan dalam selang waktu yang singkat dapat diabaikan. Karena karakteristik-karakteristik dalam sebuah antrian dapat terwakilkan oleh distribusi Poisson maka model antrian dalam tulisan ini kedatangan dalam antrian mengikuti proses Poisson. Kedatangan mengikuti proses Poisson artinya banyaknya pelanggan yang datang untuk memperoleh pelayanan sampai pada waktu tertentu mengikuti distribusi Poisson. Misalkan ( ) adalah banyaknya kedatangan sampai waktu . Kedatangan dapat terjadi dalam interval ( pertama terjadi pada . Dalam hal ini . Kedatangan kedua terjadi pada ( ) untuk ( ) -. Misalkan kedatangan dan sehingga ( ) ( ) untuk dan . Kedatangan selanjutnya dilanjutkan dengan cara yang sama. Bila dilihat adalah panjang waktu terjadinya 55

(69) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI kedatangan setelah kedatangan ke- . Panjang selang ini dinamakan waktu antar kedatangan. Definisi 3.1 Proses Poisson * ( ) 1. ( ) + adalah suatu proses Poisson dengan laju 2. Untuk setiap , Poisson dengan rata-rata ( ( ) ) (s) adalah suatu peubah acak 3. Banyaknya kedatangan dalam interval ( - saling bebas dengan banyaknya kedatangan yang terjadi sampai waktu dan , nilai dimana ( ) jika memenuhi: atau untuk ( ) saling bebas dengan nilai ( ) Dalam sebuah sistem antrian tidak hanya mempertimbangkan proses kedatangannya saja, melainkan juga mempertimbangkan proses kepergian. Di bawah ini merupakan gambar yang dinamakan diagram transisi antrian Poisson yang memenuhi kondisi Steady-State. 56

(70) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Gambar 3.5. Diagram transisi antrian Poisson Kondisi Steady-State merupakan kondisi di mana rata-rata laju arus masuk sama dengan rata-rata laju arus keluar. Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan : Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan n: Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan ( ) = laju arus keluar dari keadaan ( Sehingga didapatkan persamaan: * ( ) n 1 2 Persamaan di atas dinamakan probabilitas Steady-State dari dalam sistem. 57 pelanggan

(71) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Definisi 3.2 Probabilitas ada kedatangan selama waktu didefinisikan sebagai: dengan * + * ( ) merupakan rata-rata kedatangan. + ( ) Contoh 3.1: Panggilan telepon mengikuti suatu proses Poisson dengan laju 20 / jam. Tentukan peluang bahwa 15 panggilan telepon terjadi pada satu jam pertama. Penyelesaian: Yang dimaksud adalah * ( ) +. Karena panggilan telepon mengikuti proses Poisson maka peluang tersebut berdasarkan Definisi 3.2 dapat dituliskan sebagai berikut: * ( ) ( + ) Contoh 3.2: Perhatikan Contoh 3.1. tentukan peluang terdapat 5 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 10 panggilan pada setengah jam kedua. 58

(72) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Penyelesaian: Yang diminta * ( adalah ) ( ) ( ) +.Karena banyaknya kedatangan pada proses Poisson memiliki sifat saling bebas, maka * ( ) * ( ( ) Mengingat * ( ( ) ) ( + * ( ) ) + +, sehingga: * ( ) + * ( ) + ( ) berdistribusi Poisson dengan laju 20 / jam, maka: ) ( ) ( ( ) ) ( + ) Teorema 3.1 Waktu Antar Kedatangan Waktu-waktu antar kedatangan dari suatu proses Poisson adalah saling bebas, semuanya berdistribusi eksponensial dengan parameter . Bukti: Misalkan kedatangan-kedatangan terjadi di waktu-waktu Misalkan . merupakan waktu antara dibukanya sistem hingga kedatangan pertama atau ditulis dengan , sehingga menunjukkan waktu antara kedatangan ke. Sehingga barisan * + dengan waktu antar kedatangan. Akan ditunjukkan Untuk merupakan barisan dari berdistribusi eksponensial. yakni jika tidak ada kedatangan selama , maka; 59 hingga

(73) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI * + * ( ) + dengan ( ) adalah banyaknya kedatangan sampai waktu , sehinggamenurut Definisi 3.2 : * + * ( ) Maka fungsi distribusi kumulatif dari + adalah: F (t )  P( X 1  t )  1  P( X 1  t )  1  e  t untuk t  0 Karena menurut Definisi 2.11 fungsi probabilitas ( ) adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatif ( ), maka fungsi probabilitas dari dapat diperoleh dengan cara berikut ini: dF (t ) dt d (1  e t )  dt  t  e untuk t  0 f (t )  Jadi, berdistribusi eksponensial dengan parameter sehingga dapat disimpulkan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial. C. PERAN DISTRIBUSI ERLANG Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristikkarakteristiknya. Waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat dipelajari karakteristiknya. Misalkan pada sebuah antrian pada saat belum ada pembeli, kemudian pada 60 ada pembeli datang. Pada pembeli

(74) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI kedua datang, dan seterusnya. Rentang dari sampai pembeli pertama muncul dapat dikatakan sebagai waktu menunggu pembeli pertama. Lama menunggu sampai pembeli kedua datang dapat ditentukan dengan +( ). Secara rekursif dapat dicari waktu menunggu sampai pada pembeli ke- dengan cara berikut ini: +( Jika ) ) ( ( ) merupakan waktu antar kedatangan pembeli dan pembeli ke- , maka waktu tunggu sampai pembeli ke- dapat dituliskan dengan cara berikut ini: Definisi 3.3 Waktu Tunggu Waktu tunggu sampai kedatangan ke- Karena parameter dengan dengan laju kedatangan adalah berdistribusi eksponensial dengan maka menurut Teorema 2.20 berdistribusi Erlang. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Erlang menurut Definisi 2.27 adalah: dengan ( ) ( ( ) ) merupakan banyaknya tahap atau fase dan merupakan rata-rata waktu pelayanan. 61

(75) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI D. MODEL ANTRIAN DENGAN PELAYAN TUNGGAL 1. Notasi Kendall-Lee Notasi yang sesuai untuk meringkaskan karakteristik dari antrian dibakukan dalam suatu notasi yaitu notasi Kendall-Lee. Notasi tersebut dibakukakn dalam format berikut ini: Keterangan: ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ⁄ ) a = distribusi kedatangan b = distribusi waktu pelayanan c d = jumlah pelayan paralel ( e = jumlah maksimum yang diijinkan dalam sistem (dalam antrian + = peraturan pelayanan ) dalam pelayanan) = ukuran sumber pemanggilan f Notasi yang disimbolkan a dan b dapat diganti dengan kode berikut ini: i. ii. iii. M Markov atau kedatangan berdistribusi Poisson bila waktu pelayanan berdistribusi Erlang dengan parameter MMarkov atau waktu pelayanan berdistribusi eksponensial Secara umum, kedatangan pelanggan tidak diketahui, karena jika diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan dan tidak 62

(76) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI akan terjadi proses antrian. Secara intuitif, semakin lama seorang pelanggan menunggu semakin kecil presentase waktu sarana tersebut tidak dipergunakan, dan sebaliknya. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah untuk mengurangi waktu pelangga maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah, dan sebaliknya. Karena hal tersebut perlu adanya beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem. Kinerja menurut KBBI adalah kemampuan kerja. Pada tulisan ini yang dimaksudkan kinerja adalah ukuran kemampuan sistem. Di bawah ini merupakan ukuran-ukuran kinerja pada antrian, yaitu: Ls = rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem Lq = rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian Ws = rata-rata waktu menunggu dalam sistem Wq = rata-rata waktu menungggu dalam antrian 2. Model antrian dengan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial Pada bagian ini akan dibahas ukuran-ukuran dasar dari kinerja dengan model antrian ( ⁄ ⁄ ). Model tersebut merupakan model antrian dengan waktu kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, dan banyaknya pelayan adalah satu. Peraturan pelayanannya adalah umum ( ) dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat FCFS, LCFS, SIRO, atau prosedur apapun yang dapat digunakan oleh pelayan tersebut untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian. Jumlah 63

(77) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI maksimum yang diijinkan dalam sistem adalah tak hingga. Begitu pula dengan sumber yang menghasilkan para pelanggan yang datang memiliki kapasitas tak hingga. Ukuran-ukuran dasar ( ⁄ ⁄ dari kinerja dengan model antrian ) adalah: (3.1) ( ) (3.2) ( ) (3.3) (3.4) Penurunan mengenai ukuran-ukuran kinerja pada model antrian ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ) dapat dilihat pada buku Operations Research an Introduction (Hamdy A. Taha, 2007:573). Contoh 3.3: Dalam sebuah sarana jasa pembersihan mobil, mobil-mobil tiba sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 4 mobil / jam. Waktu untuk membersihkan mobil konstan untuk semua mobil mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit / mobil. Sarana pelayanan ini 64

(78) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI tidak dapat menangani lebih dari satu mobil setiap saat. Bagaimana analisis ukuran-ukuran kinerjanya? Penyelesaian: Mobil-mobil tiba sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 4 mobil / jam itu berarti laju kedatangannya (λ) adalah 4 mobil / jam. Karena waktu untuk membersihkan mobil konstan untuk semua mobil mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit / mobil maka: laju pelayanannya() mobil jam menit mobil Model ini merupakan model antrian ( ⁄ ⁄ ) ( Permasalahan di sini adalah ⁄ ). menentukan kinerjanya. Ukuran-ukuran kinerja meliputi , , ukuran-ukuran , dan . a) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) menggunakan persamaan (3.1), yaitu: . / mobil / jam Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) adalah 1,33 mobil / jam atau dalam 3 jam terdapat 4 mobil yang mengantri. b) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( menggunakan persamaan (3.2), yaitu: 65 )

(79) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ) ( ) jam 20 menit Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 20 menit. c) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) menggunakan persamaan (3.3), yaitu: ( ) ( ) jam 30 menit Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) adalah 30 menit. d) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) menggunakan persmaan (3.4), yaitu: mobil Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) adalah 2 mobil / jam. 3. Model antrian dengan waktu pelayanan berdistribusi Erlang Pada bagian sebelumnya telah dibahas ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi eksponensial. Setelah ini akan dibahas ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi Erlang. Jika 66

(80) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pada model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak berhingga.Tetapi,model antrian berdistribusi Erlang tidak memberikan ekspresi analitis yang dapat ditelusuri untuk probabilitas . Sebaliknya, hasil-hasil dari model ini hanya memberikan ukuranukuran dasar dari kinerja. Pada bagian ini akan diperlihatkan ukuran-ukuran dasar dari kinerja seperti Ls, Lq, Ws, dan Wq secara umum. Sistem adalah pengamatan yang dilakukan selama waktu Misalkan banyaknya pelanggan yang datang pada waktu adalah . . Jumlah pelanggan keseluruhan yang datang selama waktu didefinisikan sebagai berikut ini: ∑ Sedangkan pelanggan keseluruhan yang selesai pelayanan dan pergi pada waktu adalah . Jumlah banyaknya pelanggan yang selesai pelayanan kemudian pergi selama waktu sebagai berikut ini: ∑ 67 didefinisikan

(81) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Kondisi antrian biasanya diasumsikan setelah waktu untuk setiap banyaknya pelanggan yang telah dilayani dan . Gambar 3.6 berikut mengilustrasikan waktu kedatangan pelanggan dan lama waktu pelayanan, dengan menyatakan lamanya waktu yang dihabiskan pelanggan dalam sistem. Pelanggan ke- Waktu Gambar 3.6. Banyaknya Kedatangan dan Waktu Pelayanan Dari Gambar 3.6 dapat dilihat bahwa pelanggan ke- datang pada dan selesai pelayanan pada pelayanan sehingga lama waktu . Langkah pertama adalah menghitung bagian yang diarsir secara horizontal (waktu keseluruhan) dan vertikal (banyaknya pelanggan keseluruhan). 68

(82) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Secara horizontal nilai bagian yang diarsir ( )dapat didefinisikan sebagai berikut: ) ∑( Nilai-nilai dari secara horizontal dapat dituliskan dalam tabel berikut ini: Tabel 3.1 Luas daerah secara horizontal 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 0 1 2 2 0 2 4 2 0 4 2 2 4 5 3 2 7 4 3 7 6 2 3 9 7 2 9 7 2 2 11 9 2 11 8 2 2 13 11 2 13 Jumlah banyaknya pelanggan dalam sistem ( )pada waktu adalah 69

(83) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) juga dapat didefinisikan sebagai berikut: T Ls   L t t 1 T VA T V A  Ls T (3.6) Selanjutnya adalah menghitung secara vertikal. Jumlah banyaknya pelanggan adalah . Nilai bagian yang diarsir ( )dapat didefinisikan sebagai berikut: ∑ Nilai-nilai dari secara vertikal dapat dituliskan dalam tabel berikut ini: Tabel 3.2 Luas daerah secara vertikal 1 2 70 2

(84) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2 2 4 3 3 7 4 3 10 5 2 12 6 1 13 Rata-rata lama menunggu dalam sistem ( C Ws   W j 1 ) adalah j C VA C V A  Ws C (3.7) Rata-rata kedatangan didefinisikan sebagai banyaknya pelanggan selama waktu dan dituliskan sebagai berikut: (3.8) Berdasarkan persamaan (3.6), persamaan (3.7), dan persamaan (3.8) maka terdapat sebuah persamaan baru, yaitu: 71

(85) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI VA  VA Ls T  Ws C Ws C T C  Ws T  W s Ls  Ls Ls Misalkan (3.9) merupakan lama waktu pelanggan untuk menunggu dalam antrian dan merupakan lama waktu menunggu dalam sistem, maka didapatkan sebuah persamaan: (3.10) dimana merupakan lama waktu pelayanan. , , dan merupakan peubah acak. Jika merupakan rata-rata waktu menungggu dalam antrian maka dapat dituliskan menjadi: ( ) dan jika (3.11) merupakan rata-rata waktu menunggu dalam sistem maka dapat dituliskan juga menjadi: ( ) 72 (3.12)

(86) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari persamaan persamaan (3.10), (3.11), (3.12), dan Teorema 2.1 dapat dituliskan sebuah persamaan, yaitu: E (Ts )  E (Tq  S )  E (Tq )  E ( S ) Misalkan (3.13)  Wq  E ( S ) Ws merupakan suatu peubah acak yang berdistribusi eksponensial atau Erlang, maka persamaan (3.13) akan menjadi: Ws W q 1 s (3.14) Karena banyaknya tahap hanya satu ( menjadi: Ws Misalkan W q ) maka persamaan (3.14) 1  (3.15) merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian dan merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam sistem, maka didapatkan sebuah persamaan: (3.16) 73

(87) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI dimana merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang sedangg dilayani. , , dan merupakan peubah acak. Rata-rata banyaknya pelanggan yang sedang dilayani ( )dapat ( ) (3.17) didefiniskan sebaga berikut: Dari persamaan (3.9), persamaan (3.13), persamaan (3.16), dan persamaan (3.17) didapatkan sebuah persamaan baru, yaitu: W s  Wq  E ( S ) Ls   Wq  E ( S ) Ls  Wq  E ( S ) Ls  E ( S )  Wq Ls  L p  Wq Lq   W q (3.18) Persamaan (3.9) dan persamaan (3.18) sering dikenal dengan istilah Little’s Formula. Teorema 3.2 Rumus Pollaczek-Khintchine Misalkan merupakan suatu peubah acak maka rata-rata waktu menunggu dalam antrian dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut: 74

(88) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ( ) ) dengan λ merupakan rata-rata kedatangan pelanggan di sebuah sarana pelayanan dan  merupakan , dengan merupakan rata-rata waktu pelayanan. Bukti: Waktu pelayanan seorang pelanggan harus menunggu untuk dilayani dapat dituliskan dengan cara berikut ini:   rata - rata      rata - rata    rata - rata  banyaknya   rata - rata           waktu menunggu     waktu  pelanggan     sisa waktu   dalam antrian    pelayanan dalam    pelayanan          antrian      Jika dituliskan dengan simbol maka persamaan di atas menjadi: ( ) ( ) (3.19) dengan merupakan lama waktu pelayanan kepada pelanggan. Tingkat kesibukan pelayan didapatkan dari rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem dikurangi rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian. Dari persamaan (3.9) dan persamaan (3.17) didapatkan persamaan baru, yaitu: 75

(89) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Ls  Lq  Ws  Wq   (Ws  Wq ) (3.20) Dengan menggunakan persamaan (3.15) dan persamaan (3.20), maka diperoleh: L s  Lq   1      (3.21) Probabilitas pelayan sibuk saat pelanggan datang sama dengan tingkat kesibukan pelayan. Oleh karena itu, jika dituliskan dengan simbol maka akan menjadi: r(pelayan sibuk) (3.22) Dengan menggunakan persamaan (3.9) maka didapatkan persamaan: Lq   W q  E (Tq )   ( E (Ts )  E ( S ))   (Ws  E ( S ))  W s  E ( S )  Ls  E ( S ) atau 76

(90) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lq  Ls  E (S ) (3.23) Bila persamaan (3.21) disubstitsikan ke persamaan (3.23), maka persamaannya menjadi:   E (S ) (3.24) Dengan demikian tingkat kesibukan pelayan dapat ditentukan dengan persamaan (3.24). Dari persamaan (3.9), persamaan (3.22) dan persamaan (3.24) maka persamaan (3.19) menjadi suatu persamaan baru, yaitu: Wq  Wq E ( S )  E ( R )  Wq E ( S )  E ( R )  Wq   E ( R ) Wq  Wq   E ( R ) (1   )Wq  E ( R ) Wq  E ( R) (1   ) (3.25) ( ) Time 77 ( )

(91) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Gambar 3.7. Waktu Pelayanan Misalkan merupakan waktu menunggu (dalam antrian) untuk pelanggan . merupakan banyaknya pelanggan dalam antrian dan merupakan sisa waktu pelayanan oleh pelanggan . Gambar 3.7 akan membantu memahami konsep sisa waktu pelayanan. Gambar tersebut menunjukkan sisa waktu dalam antrian. merupakan sisa waktu pada saat . pelanggan . Jika pada waktu didefinisikan ( ) adalah waktu pelayanan dari di mana sistem sedang kosong maka ( ) sebagai banyaknya pelanggan yang telah dilayani dan keluar dari sistem pada waktu . Rata-rata sisa waktu pada interval , sumbu - adalah rata-rata nilai pada dalam interval. Luas wilayah kurva dibagi dengan diberikan oleh: t 1 1 M (t ) 1 2 R t dt ( )   Si t 0 t i 1 2 M (t ) S2 1 M (t ) i 1 i  2 t M (t ) Andaikan limit-limit yang besangkutan ada, maka persamaan menjadi: 78

(92) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI M (t ) S2 lim 1 t 1 lim M (t ) lim i 1 i R(t )dt  t   t 0 2 t   t t   M (t ) (3.26) Selanjutnya diasumsikan bahwa sistem adalah periodik maka rata-rata waktu dapat digantikan dengan rata-rata dari limit yang bersangkutan dan definisinya adalah: Rata-rata sisa waktu = ( ) , - Jika rata-rata waktu adalah rata-rata jarak yang ditetapkan, maka: ( ) ∫ ( ) (3.27) Karena sistem adalah lossless (tidak ada pelanggan yang pergi) maka jika banyaknya pelanggan tidak selalu bertambah, banyaknya antrian cenderung sama dengan limitnya. Dapat dikatakan tingkat kepergian harus sama dengan rata-rata kedatangan sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut: ( ) (3.28) Berdasarkan persamaan (3.27) dan (3.28) didapatkan persamaan baru, yaitu: 79

(93) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI M (t ) S2 lim 1 t 1 lim M (t ) lim i 1 i R(t )dt  t   t 0 2 t   t t   M (t ) E ( R)    1 E S 2 2 (3.29) Dari persamaan (3.25), menggunakan persamaan (3.29) diperoleh: Wq  E ( R) (1   ) E ( S 2 )  2 (1   )  E ( S 2 ) 2(1   ) Teorema 3.3 Ukuran-Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Tunggal Jika merupakan rata-rata laju kedatangan, pelayanan, dan merupakan rata-rata laju merupakan banyaknya fase maka ukuran-ukuran kinerja dengan waktu pelayanan distribusi Erlang adalah sebagai berikut: 1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( ( ( ) ) adalah: ) 2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( 80 ) adalah:

(94) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ( ) ) 3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ( ) ( ( ) ) adalah: ) 4. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) adalah: ( ) ( ( ) ) Bukti: 1. Berdasarkan Teorema 3.2 dan Teorema 2.17, maka didapatkan persamaan: Wq  E ( S 2 ) 2(1   )  1 1   k 2     2(1   )    2   (k  1)   2   k    2(1   )   (k  1)    2k 2      (k  1)  2k      81

(95) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2. Berdasarkan persamaan (3.9), Teorema 3.2 dan Teorema 2.17, maka didapatkan persamaan: Lq   W q  2 E ( S 2 ) 2(1   )  1   1   k 2   2(1   ) 2  2  (k  1)   2   k  2  2(1      )  2 (k  1)    2k 2     2 (k  1) 2k     3. Berdasarkan persamaan (3.15) dan Teorema 3.3(1), maka didapatkan persamaan: W s  Wq  1   (k  1) 1  2k       (k  1)  2     2k      4. Berdasarkan persamaan (3.18) dan Teorema 3.3(3), maka didapatkan persamaan: 82

(96) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Ls  Ws    (k  1)  2    2      2 (1  k )  2     2k     Contoh 3.4: Perhatikan Contoh 3.3. Sarana pelayanannya tidak dapat menangani lebih dari satu mobil setiap saat ini berarti fasenya hanya 1 ( ). Pada bagian ini Contoh 3.1 akan dikerjakan ulang dengan waktu pelayanan menggunakan distribusi Erlang, sehingga model antrian menjadi ( ⁄ ⁄ ) ( a) Penentuan ⁄ ). rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) menggunakan Teorema 3.3(2), yaitu: ( ( ) ) ( ) ( mobil / jam ) Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) adalah 1,33 mobil / jam atau dalam 3 jam terdapat 4 mobil yang mengantri. b) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) menggunakan Teorema 3.3(1), yaitu: ( ( ) ) ( ( ) ) jam Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( menit. 83 20 menit ) adalah 20

(97) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI c) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) menggunakan Teorema 3.3(3), yaitu: ( ) ( ( jam ) ) ( ) 30 menit ( Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( d) Penentuan rata-rata banyaknya mobil ( ) ) ) adalah 30 menit. dalam sistem ( ) menggunakan Teorema 3.3(4), yaitu: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) mobil / jam Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) adalah 2 mobil / jam. Pada saat fasenya satu maka antrian dengan distribusi Erlang hasilnya akan sama dengan distribusi eksponensial. Contoh 3.5: Perbaikan suatu mesin bubut memerlukan 4 tahapan. Waktu yang diperlukan untuk melaksanakan setiap tahapan mengikuti distribusi eksponensial dengan suatu rata-rata sebesar 10 menit dan independen 84

(98) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI atau bebas terhadap tahapan lainnya. Kerusakan mesin mengikuti proses Poisson dengan rata-rata terjadi 3 kerusakan per jam. Apabila hanya ada 1 tenaga mekanis dalam bengkel, berapa rata-rata waktu menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki? Penyelesaian: Karena mesin bubut memerlukan 4 tahapan dalam perbaikan mesin, maka banyak fasenya adalah 4 atau antriannya menjadi ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ dan model ). Waktu yang diperlukan untuk melaksanakan setiap tahapan adalah 10 menit. Berati laju pelayanannya () adalah : laju pelayanannya() tahapan menit tahapan jam Sedangkan dalam 1 jam terjadi 3 kerusakan mesin. Itu berarti laju kerusakan mesin adalah: ( ) kerusakan jam Rata-rata waktu menanggur dari mesin yang rusak dapat diperoleh dengan mencari rata-rata waktu mengantri mesin bubut dalam sistem ( ). Permasalahan yang terjadi adalah menentukan rata-rata waktu menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki. 85

(99) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Rata-rata waktu mengantri mesin bubut dalam sistem ( menggunakan persamaan (3.21) adalah: ( ) ( ( jam ) ) 47 5 menit ( ) ( ( ) ) ) Jadi, rata-rata waktu menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki adalah 47,5 menit. Contoh 3.6: Seorang penjahit memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel pakaian. Kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan sebanyak 1 orang setiap 2 hari. Secara rata-rata berapa lama seorang langganan diharapkan menunggu untuk dilayani dalam antrian? Penyelesaian: Penjahit memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel pakaian. Banyaknya tahapan dalam menjahit jumlahnya tidak tentu sehingga fase yang diperlukan penjahit dalam menjahit 1 stel pakaian diasumsikan menjadi( ⁄ ⁄ ) ( 1 dan ⁄ model antriannya ). Laju pelayanannya () adalah 1 stel / hari. Rata-rata kedatangan sebanyak 1 orang setiap 2 hari maka laju kedatangannya (λ) adalah 86

(100) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI orang 2 hari laju kedatangan( ) orang hari Rata-rata seorang pelanggan menunggu untuk dilayani dalam antrian ( ) menggunakan persamaan (3.19) adalah ( ( ) ) ( ( ) ) hari Jadi, rata-rata seorang pelanggan menunggu untuk dilayani dalam antrian ( ) adalah 1 hari. Contoh 3.7: Perhatikan Contoh 3.6 apabila jam kerja penjahit hanya mulai pukul 09.00-18.00 atau 9 jam dan untuk menjahit 1 stel pakaian butuh waktu 10 jam. Apabila seorang pelanggan memasukkan 1 stel pakaian hari Senin pukul 09.00, pada hari apa dan jam berapa pakaian tersebut diperkirakan selesai dijahit? Penyelesaian: Dari contoh sebelumnya didapatkan rata-rata seorang pelanggan menunggu adalah 1 hari. Dalam hal ini 1 hari adalah 1 jam kerja atau 9 jam. Jadi, apabila seorang pelanggan memasukkan pakaian pukul 09.00 pada hari Senin maka pakaian tersebut baru mulai dijahit pada hari Selasa pukul 9.00. Untuk menjahit 1 stel pakaian butuh waktu 10 jam. Berarti pakaian tersebut selesai dijahit pada pukul 10.00 hari Rabu. 87

(101) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Jadi, apabila seorang pelanggan memasukkan 1 stel pakaian hari Senin pukul 09.00, pakaian tersebut diperkirakan selesai dijahit pada hari Rabu pukul 10.00. E. MODEL ANTRIAN DENGAN PELAYAN GANDA Pada bagian sebelumnya telah dibahas ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi Erlang dengan pelayan tunggal. Setelah ini akan dibahas ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi Erlang dengan pelayan ganda. Teorema 3.4 Ukuran-Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Ganda Jika merupakan rata-rata laju kedatangan, pelayanan, merupakan rata-rata laju merupakan banyaknya fase, dan merupakan banyaknya pelayan maka ukuran-ukuran kinerja dengan waktu pelayanan distribusi Erlang adalah sebagai berikut: 1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( Wq  ) adalah:   (k  1)    2k  s s     2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( Lq  ) adalah:  2 (k  1)    2k  s s     88

(102) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( Ws  ) adalah:  1 (k  1)     2k  s s     s 4. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) adalah: Ls    2 (k  1)    2k  s s     s Bukti: Perlu diingat bahwa dalam ( ) merupakan probabilitas ada fase dalam sistem pada waktu . Misalkan probabilitas ada pelanggan dalam sistem pada waktu ( ( ) adalah probabilitas ada dan dan ( pelanggan ). ) adalah ( ) pelanggan dalam sistem secara berturut-turut. Persamaan probabilitas Steady-State dituliskan sebagai berikut:  (  ks ) Pn (t )t  ksPn 1 (t )t  Pn  k (t )t  0; n  0  P0 (t )t  ksP1 (t )t  0; n  0 dengan meruapakan rata-rata kedatangan dan (3.30) meruapakan rata-rata pelayanan. Jika Pn (t )t   n maka persamaan (3.30) dapat dituliskan sebagai berikut:  (  ks ) n  ks n1   nk  0; n  0 89 (3.31)

(103) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI   0  ks 1  0; n  0 Misalkan (3.32) maka persamaan (3.31) dan (3.32) menjadi:  ( ks  ks ) n  ks n1  ks nk  0; n  0 (3.33)  ks 0  ks 1  0; n  0 (3.34) Apabila persamaan (3.33) dan (3.34) masing-masing dibagi dengan ks maka persamaannya menjadi:  (   1) n   n 1   nk  0; n  0 (   1) n   n 1   nk ; n  1 (3.35) dan   0   1  0; n  0  1   0 ; n  0 (3.36) Misalkan: ( ) ∑ y Apabila persamaan (3.35) dikalikan dengan ∑ menjadi: 90 (3.37) maka persamaannya

(104) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI    n 1 n 1 n 1 (   1)  n y n   y n n1    y n n k (3.38) Apabila kedua ruas pada persamaan (3.38) ditambahkan dengan maka persamaannya menjadi:    n 1 n 1 n 1 (   1)  n y n   1   1   y n n1    y n nk (3.39) Dari persamaan (3.36) dan (3.39) didapatkan persamaan baru, yaitu;    n 1 n 1 (   1)  n y n   0   0   y n n 1    y n n  k n 1     (   1)  0    n y n    0    y n n  k   0   y n n 1  n 1 n 1   n 1          (   1)   n y n    0    y n n  k   0   y n n 1  n 1   n 1   n 0    y n 1 n 1    (   1)   n y n    0    y n n  k   0    y  n 1   n 0  n 1  1    (   1)   n y n    0    y n n  k   y n 1 n 1  y  n 0 nk  n 0   Karena maka untuk (3.40) , diperoleh dengan cara berikut;  1    (   1)   n y n    0    y m k  m   y i  i ; n  k  m; n  1  i y  i 1 nm0  n 0    1    (   1)   n y n    0  y k  y m m   y i  i   0  y  i 0 nm0    n 0 Berdasarkan persamaan (3.37) maka persamaan (3.41) menjadi: 91 (3.41)

(105) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 1 G ( y)   0  y 1 1 (   1)G ( y )   0  y k G ( y )  G ( y )   0 y y 1 1 (   1)G ( y )  y k G ( y )  G ( y )   0   0 y y (   1)G ( y )   0  y k G ( y )  (   1) yG ( y )  y k 1G ( y )  G ( y )  y 0   0 G ( y )((   1) y  y k 1  1)   0 ( y  1) G ( y )( y  y  y k 1  1)   0 ( y  1) G ( y )( y (1  y k )  ( y  1))   0 ( y  1) G( y)   0 ( y  1) ( y (1  y k )  ( y  1))  0 ( y  1) G( y)   y (1  y k )   1 ( y  1)   y 1 G( y)  G( y)  0  y (1  y k )    1  y 1  0  y (1  y k )  1   1  y   1 G( y)   0 ; | y | 1  y (1  y k )   1  1  y   Persamaan (3.42) merupakan . dari deret Geometri dengan / sehingga apabila dideretkan persamaannya menjadi: 92 (3.42) dan

(106) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 1 yk G ( y )  1  ( y )   1 y 2 2 1 yk    ( y ) 3   1 y  1 yk   0  ( y )  n 0  1 y  n    3    ...  n (3.43) Oleh karena itu berdasarkan persamaan (3.43) maka:  G ( y )   0  ( y ) n (1  y  y 2  ...  y k 1 ) n n 0    0   n ( y  y 2  ...  y k ) n n 0 Misalkan (3.44) maka persamaan (3.44) menjadi:  G ( y )   0   n ( y  y 2  ...  y k ) n n 0  G (1)   0   n (1  12  ...  1k ) n n 0    0   nk n n 0  1     0   1  k  Pada persamaan (3.37) apabila (3.45) maka persamaannya menjadi:  G (1)    n n 0 (3.46) Karena  n merupakan fungsi probabilitas maka menurut Definisi 2.6 menjadi: 93

(107) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI  G(1)    n  1 n 0 (3.47) Oleh karena itu, persamaan (3.45) menjadi;  1   1   0   1  k   0  1  k (3.48) Berdasarkan persamaan (3.48) maka persamaan (3.44) menjadi: 1 yk G ( y )  (1  k ) ( y )  n 0  1 y     n   n   (1  k ) ( y ) n 1  y k (1  y )  n n n 0 (3.49) Menggunakan rumus Binomial Newton maka persamaan (3.49) menjadi:       G ( y )  (1  k ) ( y ) n  (1) z n C z y zk   n i 1Ci y i  ; (1) 2i  1 n 0    i 0  z 0     n n zn n  i 1      y k Ci y i  zk  n  ( 1 )   n  (1) C z n 0 n 0  z 0 i 0   Apabila pada persamaan (3.50) kedua ruas dibagi dengan ∑ peramaannya menjadi:   n  (1  k )  n (1) z n C z ni 1Ci n 0 94 (3.50) maka

(108) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI (3.51) Rata-rata banyaknya fase dalam sistem dapat dituliskan dalam persamaan berikut: ( ) ∑ (3.52) Untuk menentukan rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem maka perlu mempertimbangkan persamaan (3.35). Dengan mengalikan kedua ruas dengan ∑ pada persamaan (3.35) maka terdapat persamaan baru, yaitu:    n 1 n 1 n 1    n 1 nk n 1 (1   ) n 2 n    n 2 n  k   n 2 n 1 (1   ) n 2 n    n 2 n  k   n 2 n 1 Jika dan (3.53) maka persamaan (3.53) ruas kanannya menjadi: 95

(109) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI    n 1 m 0 m 1 (1   ) n 2 n    (m  k ) 2  m   (m  1) 2  m      (m  k ) 2  m   (m  1) 2  m  0  m 0  m  0        (m  k ) 2  (m  1) 2  m   0 m0       (m 2  k 2  2mk )  (m 2  1  2m)  m   0 m0       m 2  m 2  (2 mk  2m)  ( k 2  1)  m   0 m0      m 2   1  2m( k  1)  ( k 2  1)  m   0 m0    m 0 m 0 m 0   m 0 m 0    1 m 2  m  2(1  k )  m n  ( k 2  1)   m   0    1 m 2  m  2(1  k )  m m  ( k 2  1)   0  2(1  k )  m m  ( k 2  1)   0 m 0 ( k 2  1)   0  m m  2(1  k ) m 0    n n  n 0 ( k 2  1)   0 2(1  k ) (3.54) Berdasarkan persamaan (3.54) dan persamaan (3.49) maka persamaan (3.52) menjadi: Ls ( k )  ( k 2  1)   0 2(1  k )  ( k 2  1)  (1  k ) 2(1  k )  ( k 2  k ) 2(1  k ) 96 (3.55)

(110) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Jika    maka persamaan (3.55) menjadi: ks ( k 2  k ) 2(1  k ) k (k  1)  2(1  k ) k (k  1)   2 (1  k ) Ls ( k )       ks  k (k  1)   2      1   k   ks           ks  k (k  1)   2  s        s   s       k (k  1)    s   2  ks  s    (k  1)      2  s    Rata-rata banyaknya fase . berikut ini: (3.56) ( )/ dalam antrian diperoleh dengan cara ( ) ( ) Berdasarkan persamaan (3.56) maka persamaan (3.57) menjadi: 97 (3.57)

(111) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lq ( k )  (k  1)    1   2  s    s   (k  1)     2  s s     (3.58) Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( dengan cara berikut ini: ( ) ) dapat ditentukan (rata rata banyaknya fase dalam pelayan) (3.59) Menggunakan persamaan (3.56) maka persamaan (3.59) menjadi:  (k  1)    (k  1)   1     Lq   2 s  k  2  s     2 (k  1)     2k  s s     (3.60) Rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( (3.18) yaitu: Wq  ) menggunakan persamaan Lq    1 (k  1)  2   2k  s s        (k  1)     2k  s s     98 (3.61)

(112) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( (3.14) yaitu: W s  Wq   ) menggunakan persamaan 1 s  1  (k  1)    2k  s s     s (3.62) Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) menggunakan persamaan (3.9) yaitu: Ls  W s    2 (k  1)    2k  s s     s F. MODEL BIAYA Pada bagian ini akan diperlihatkan model biaya pada sebuah antrian. Model biaya ini berkaitan dengan penentuann laju pelayanan optimum. Secara umum model biaya mencoba menyeimbangkan dua biaya yang saling bertentangan. 1. Biaya dari kenaikan tingkat pelayanan 2. Biaya dari keterlambatan dalam penawaran pelayanan (biaya menunggu) Dua jenis biaya di atas saling bertentangan karena menaikkan salah satunya akan mengakibatkan penurunan yang lainnya. Apabila jumlah 99

(113) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI pelayan ditambah maka waktu pelanggan untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah. Sangat sulit menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit waktu. Namun, biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha atau biaya turunnya produktivitas bagi para pelanggan. Biaya optimal dapat ditentukan dengan mencari jumlah pelayan dengan biaya total yang paling minimum. Misalkan ( atau ) menyatakan tingkat pelayanan, model biaya dapat distuliskan sebagai berikut: biaya yang diperkirakan untuk pengoperasian sarana tersebut ( per satuan aktu ) total biaya yang ) ( diperkirakan per satuan aktu biaya tunggu yang ( ) diperkirakan per satuan aktu Jika dituliskan dengan simbol, persamannya menjadi: ( ) ( ) ( ) (3.63) Dengan kata lain, biaya optimal dapat dicari dengan meminimumkan ( ) ( ) ( ). Bentuk sederhana dari EOC dan EWC, yaitu: 100

(114) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI biaya yang diperkirakan untuk pengoperasian sarana tersebut ( per satuan aktu ) biaya ( satuan aktu per unit ) ( lama * atau ( ) dan biaya tunggu yang ( ) diperkirakan per satuan aktu (3.64) ( atau ) ( ( ) ) (3.65) Berdasarkan persamaan (3.64) dan (3.65) maka persamaan (3.63) menjadi: ( ) (3.66) Untuk mencari jumlah pelayan optimum, dalam hal ini Didefiniskan untuk memperoleh . pelayan optimum maka harus memenuhi kondisi berikut ini: ( ) ( ) dan 101 (3.67)

(115) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ) ( ) (3.68) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.63) ke persamaan (3.67) maka persamaannya menjadi: ETC (c  1)  ETC (c) EOC (c  1)  EWC (c  1)  EOC (c)  EWC (c) (3.69) Berdasarkan persamaan (3.66) maka persamaan (3.69) menjadi: C1 (c  1)  C 2 Ls (c  1)  C1c  C 2 Ls (c) C1 C (c  1)  Ls (c  1)  1 c  Ls (c) C2 C2 C1 C (c  1)  1 c  Ls (c)  Ls (c  1) C2 C2 C1 (c  1  c)  Ls (c)  Ls (c  1) C2 C1 (1)  Ls (c)  Ls (c  1) C2 C1  Ls (c  1)  Ls (c) C2 (3.70) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.63) ke persamaan (3.68) maka persamaannya menjadi: ETC (c)  ETC (c  1) EOC (c)  EWC (c)  EOC (c  1)  EWC (c  1) 102 (3.71)

(116) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Berdasarkan persamaan (3.66) maka persamaan (3.71) menjadi: C1 (c)  C 2 Ls (c)  C1 (c  1)  C 2 Ls (c  1) C C1 (c)  Ls (c)  1 (c  1)  Ls (c  1) C2 C2 C C1 (c)  1 (c  1)  Ls (c  1)  Ls (c) C2 C2 C1 (c  c  1)  Ls (c  1)  Ls (c) C2 C1 (1)  Ls (c  1)  Ls (c) C2 C1  Ls (c)  Ls (c  1) C2 (3.72) Dari persamaan (3.70) dan (3.72) diperoleh persamaan baru, yaitu: ( ) ( ( ) ) ( ) (3.73) Persamaan (3.73) menunjukkan bahwa sistem dalam keadaan stabil yaitu keadaan dimana biaya menunggu dan biaya pelayanan seimbang. Contoh 3.8: Perusahaan percetakan X sedang mempertimbangkan untuk membeli sebuah mesin cetak berkecepatan tinggi. Empat model dengan spesifikasinya dituliskan dalam tabel di bawah ini: Tabel 3.3 Spesifikasi perusahaan percetakan X 103

(117) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI biaya Jenis operasi kecepatan (Rp/jam) (lembar/menit) 1 150.00 30 2 200.00 36 3 240.000 50 4 270.000 66 Mesin Pekerjaan tiba di perusahaan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 4 pekerjann setiap 24 jam. Ukuran pekerjaan adalah acak tetapi rata-rata 10.000 lembar per pekerjaan. Perjanjian dengan pelanggan merinci biaya penalty dari keterlambatan pengiriman Rp 800.000 per pekerjaan per hari. Jenis mesin mana yang harus dipilih perusahaan X? Laju pelayanan optimum dapat diperoleh dengan membandingkan biaya total yang bersesuaian. Dengan diketahui laju kedatangan (λ) 4 pekerjaan setiap 24 jam, maka langkah pertama adalah mencari laju pelayanan dari masing-masing jenis mesin. Laju pelayanan dari masingmasing jenis mesin dituliskan dalam tabel berikut ini: Tabel 3.4 Laju Pelayanan Mesin Perusahaan Percetakan X Jenis  Kecepatan Ls Mesin (lembar/hari) (pekerjaan/hari) 104

(118) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 1 43200 4.32 4 12.5 2 51840 5.18 4 3.39 3 72000 7.2 4 1.25 4 95040 9.5 4 0.73 Penentuan biaya total berkaitan dengan masing-masing jenis mesin. Dengan menggunakan satu hari 24 jam untuk mewakili unit waktu dan misalkan i menyatakan jenis model ( ), maka total biaya yang diperkirakan per hari dengan mesin i adalah: ETC (24)  EOC (24)  EWC (24)  C1i .24  C 2 Lsi Karena Contoh 3.6 merupakan model antrian (M / M / 1) : (GD / maka untuk mencari / ) menggunakan persamaan 3.4. Total biaya yang diperkirakan per hari dengan mesin i juga dituliskan dalam tabel di bawah ini: Tabel 3.5 Total biaya yang duperkirakan perusahaan percetakan X Jenis Mesin EOC (Rp) EWC (Rp) ETC (Rp) 1 3.600.000 10.000.000 13.600.000 105

(119) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2 4.800.000 2.712.000 7.512.000 3 5.760.000 1.000.000 6.760.000 4 6.480.000 584.000 7.064.000 Karena total biaya yang diperkirakan per hari terendah dicapai oleh mesin ke-3 maka perusahaan X harusnya memilih mesin ke-3. Contoh 3.9: Dalam sebuah toko roti, pelanggan tiba sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 17,5 pelanggan / jam. Waktu untuk melayani pelanggan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10 pelanggan / jam. Biaya penambahan seorang pelayan baru diperkirakan Rp 10.000 / jam. Biaya tambahan produksi yang diperkirakan Rp 50.000 / jam. Apakah toko tersebut harus menambah pegawai baru untuk melayani pelanggannya? Penyelesaian: Berati laju pelayanannya () adalah : 10 pelanggan / jam Sedangkan laju kedatangannya ( ) adalah: 17,5 pelanggan / jam dan sehingga Tabel 3.6 Waktu Menunggu dalam Sistem dan Rata-rata Banyaknya Pelanggan dalam Sistem 106

(120) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Pelayan ( ) 1 -2,33 2 7,47 3 2,22 4 1,84 5 1,77 6 1,75 Tabel 3.7 Perhitungan Jumlah Pelayan Optimum Pelayan ( ) 1 ( ) - ( ) ( ) - ( 2 - 5,25 3 5,25 0,38 4 0,38 0,07 5 0,07 0,01 Dari tabel 3.7 terihat bahwa ) . Jadi seharusnya jumlah pelayan optimum pada kasus di atas adalah 4 pelayan. 107

(121) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB IV MODEL ANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD GUNUNG JATI CIREBON Pada bab ini akan dibahas suatu masalah real yang memiliki situasi antrian dengan beberapa fase. Tujuan pada bab ini adalah untuk melakukan analisis terhadap ukuran-ukuran kinerja sistem yang selanjutnya akan dipergunakan untuk menentukan jumlah pelayan optimum yang dapat menyeimbangkan biaya dan waktu tunggu. Rumah Sakit sebagai sarana pelayanan kesehatan yang semula hanya melaksanakan upaya penyembuhan dan pemulihan, kini juga melaksanakan upaya peningkatan mutu terhadap Rumah Sakit itu sendiri. Rumah Sakit yang akan dijadikan obyek dalam permasalahan ini adalah Rumah Sakit Umum Daerah Gunung Jati Cirebon. Data dari Rumah Sakit ini diperoleh dari Tesis Mahasiswa Universitas Indonesia yaitu Seno Soebagio Surjaningrat. Masalah pokok yag dihadapi Rumah Sakit tersebut diantaranya adalah layanan yang diberikan pada umunya kurang memuaskan bagi masyarakat dan bagi pihak rumah sakit sendiri adalah keterbatasan dana untuk menambah fasilitas. Salah satu instalasi yang menyerap biaya operasional besar adalah Instalasi Farmasi. Tugas Instalasi Farmasi Rumah Sakit adalah merencanakan, mengatur, dan melayani kebutuhan bahan farmasi. Bagian terdepan dari Instalasi Farmasi adalah apotek. Apotek berhubungan langsung dengan fungsi pelayanan terhadap pasien. Pasien mendapatkan pelayanan di bagian apotek melalui proses 108

(122) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI antrian. Sebelum mendapatkan pelayanan di apotek, pasien juga sudah melalui berbagai antrian mulai dari pada saat datang pada bagian pendaftaran, di bagian poliklinik, ataupun bagian penunjang medis lain seperti laboratorium, radiologi, dll. Hal ini bisa menimbulkan rasa jenuh maupun stres bagi pasien karena harus menghabiskan waktu yang begitu lama pada suau proses pengobatan yang dibutuhkannya. Pasien ataupun keluarga pasien tidak sabar meluangkan waktu ke apotek karena kelelahan dengan pelayanan yang mereka alami sebelumnya. Selain itu, mereka juga merasa putus asa melihat pelayanan apotek yang biasanya antrianya sangat panjang. Akibatnya, mereka memilih untuk meninggalkan apotek rumah sakit dan mencari apotek lain yang lebih sedikit atau bahkan tidak ada antriannya sama sekali. Keadaan ini tentu sangat merugikan bagi pihak rumah sakit. Karena hal tersebut perlu adanya gambaran tentang karakteristik dalam sistem antrian dan mencari model terbaik untuk pelayanan resep obat dalam apotek tersebut. Di bawah ini merupakan alur resep pada apotek RSUD Gunung Jati Cirebon: Resep Etiket Pengemasan Pengecekan Obat jadi Gambar 4.1 Alur Resep pada Apotek RSUD Gunung Jati Cirebon Keterangan alur resep pada apotek RSUD Gunung Jati Cirebon: 1. Resep 109

(123) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Resep obat yang ditulis oleh dokter dan dipergunakan untuk mengambil obat di apotek. 2. Etiket Pemberian etiket obat sesuai dengan permintaan yang tertera dalam resep yang kemudian diberikan ke pasien untuk kemudian dilanjutkan dan diberikan ke bagian pengemasan obat. 3. Pengemasan Pengemasan obat dimana obat sesuai resep dicari dan dikemas sesuai etiket. 4. Pengecekan Pengecekan akhir untuk mengetahui kesesuaian antara resep, etiket, dan obat yang akan diberikan. Selain itu, di bagian ini dibuat kwitansi resep ataupun salinan resep apabila dibutuhkan oleh pasien. 5. Obat jadi Obat siap diserahkan kepada pasien. Data kedatangan resep dan pelayanan resep ke dalam antrian pada RSUD Gunung Jati Cirebon dapat dilihat pada lampiran 1. Selanjutnya adalah mencari rata-rata kedatangan resep. Data rata-rata kedatangan resep dapat dilihat pada lampiran 2. Sebelum melakukan penghitungan ukuran-ukuran kinerja maka terlebih dahulu data pada lampiran 2 diuji distribusinya. Data pada lampiran 2 akan diuji apakah datanya berdistribusi Poisson. 110

(124) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 1. H0 : data berdistribusi Poissson H1 :data tidak berdistribusi Poisson 2. Tingkat signifikasi ( ) 3. Daerah penolakan : Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak. Tabel 4.1 Hasil SPSS Jarak Antar Kedatangan One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Datang N 3 Poisson Parameter a,,b Most Extreme Differences Mean 8.6667 Absolute .369 Positive .369 Negative -.364 Kolmogorov-Smirnov Z .639 Asymp. Sig. (2-tailed) .809 a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. 4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,809. Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,809 = 0,05 Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson. 111

(125) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Karena datanya berdistribusi Poisson maka dapat disimpulkan bahwa kedatangan berdistribusi Poisson. Pada bagian selanjutnya akan ditunjukkan bahwa waktu pelayanan pada lampiran 3 berdistribusi eksponensial. Pengujian dilakukan pada masing-masing tahap. Untuk waktu pelayanan bagian etiket 1. H0 : data berdistribusi eksponensial H1 :data tidak berdistribusi eksponensial 2. Tingkat signifikasi ( ) 3. Daerah penolakan : Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak. Tabel 4.2 Hasil SPSS Etiket One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test ETIKET N Exponential 24 Mean 6.9583 parameter.a,,b Most Extreme Absolute .142 Differences Positive .074 112

(126) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Negative -.142 Kolmogorov-Smirnov Z .695 Asymp. Sig. (2-tailed) .719 a. Test Distribution is Exponential. b. Calculated from data. 4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,719. Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,719 = 0,05 Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial. Untuk waktu pelayanan bagian kemas 1. H0 H1 : data berdistribusi eksponensial :data tidak berdistribusi eksponensial 2. Tingkat signifikasi ( ) 3. Daerah penolakan : Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak. Tabel 4.3 Hasil SPSS Pengemasan 113

(127) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test KEMAS N 20 Exponential parameter.a,,b Mean Most Extreme Differences Absolute .299 Positive .140 Negative -.299 Kolmogorov-Smirnov Z 7.0000 1.335 Asymp. Sig. (2-tailed) .057 a. Test Distribution is Exponential. b. Calculated from data. 4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,057. Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,057 = 0,05 Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial. Untuk waktu pelayanan bagian pengecekan 1. H0 H1 : data berdistribusi eksponensial :data tidak berdistribusi eksponensial 2. Tingkat signifikasi ( ) 3. Daerah penolakan : 114

(128) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak. Tabel 4.4 Hasil SPSS Pengecekan One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test PENGECEKAN N 24 Exponential Mean 6.8750 parameter.a,,b Most Extreme Absolute .233 Differences Positive .104 Negative -.233 Kolmogorov-Smirnov Z 1.140 Asymp. Sig. (2-tailed) .148 a. Test Distribution is Exponential. b. Calculated from data. 4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,148. Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,148 = 0,05 Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial. 115

(129) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari pengujian yang dilakukan pada masing-masing tahap etiket, pengemasan, dan pengecekan datanya berdistribusi eksponensial semua. Hal ini berarti waktu pelayanan berdistribusi eksponensial. Dengan demikian telah terbukti jika waktu antar kedatngan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanannya berdistribusi eksponensial. Dari permasalahan yang telah dipaparkan di depan dikethui bahwa tahap pelayanan resep terdiri dari 3 tahap , yaitu etiket, pengemasan, dan penecekan, sehingga didapatkan . Dari tabel di atas diperoleh rata-rata kedatangan resep setiap 7 menit sekali, sehingga laju kedatangan ( ) resep ⁄jam 26 resep 3 jam Sedangkan waktu yang diperlukan untuk melakukan masing-masing tahapan ratarata sebesar 6 menit, sehingga laju pelayanan ( ) 1 resep 6 menit 10 resep ⁄jam Pada awal permasalahan juga sudah dijelaskan bahwa akan dicari gambaran tentang karakteristik dalam sistem antrian. Gambaran tentang karakteristik meliputi ukuran-ukuran kinerja. Pada bagian selanjutnya akan dicari ukuran-ukuran kinerja pada antrian resep tersebut. Selanjutnya dicari ukuran-ukuran kinerja, yaitu: 1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( 116 ) adalah:

(130) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ( ) ( ( ( ) ) Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( 2. Rata-rata banyaknya resep dalam antrian ( ( ( ( ) ) ) adalah 0,4 jam. ) adalah: ) ( ( ) Jadi, rata-rata banyaknya resep dalam antrian ( 3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ( ) ( ( ) ( ) ) ) ) adalah 3,43 resep. ) adalah: ( ( Jadi, rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) ) ) adalah 0,43 jam. 4. Rata-rata banyaknya resep dalam sistem ( ) adalah: ( ) ( ( ) ) Jadi, rata-rata banyaknya resep dalam sistem ( ) adalah 3,71 resep. 117

(131) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari ukuran-ukuran kinerja di atas terlihat bahwa waktu menunggu dalam antrian maupun waktu menunggu dalam sistem sangat lama. Hal ini tentu tidak baik untuk Rumah sakit apabila pasien pindah ke apotek lain. Langkah selanjutnya adalah menghitung ukuran-ukran kinerja sistem apabila jumlah pelayan ditambah. Berikut ini adalah ukuran-ukuran kenrjanya yang meliputi ratarata waktu menunggu dalam sistem dan rata-rata banyaknya resep dalam sistem , yaitu: Tabel 4.5 Waktu Menunggu dalam Sistem dan Rata-rata Banyaknya Resep dalam Sistem Pelayan ( ) 1 0,43 3,71 2 0,075 0,6 3 0,042 0,3 4 0,029 0,2 Diasumsikan rata-rata pendapatan kerja karyawan tiap bulan adalah Rp 1.500.00,00. Diasumsikan juga rata-rata kerja adalah 30 hari/ bulan dan rata-rata waktu kerja adalah 7 jam kerja. Sehinngga diperoleh: Rata-rata pendapatan karyawan / jam ( ) ( ) . Biaya menunggu yang dimaksud dalam kasus ini adalah biaya yang dikeluarkan pihak rumah sakit yang besarnya Rp 7142,86 / jam. 118

(132) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Rincian biaya penambahan seorang karyawan: Gaji karyawan baru : Rp 1.000.000,00. Sehinngga rata-rata biaya / jam untuk 1 karyawan baru adalah ( ) . ( ) Maka diperoleh: Untuk memperoleh jumlah pelayan optimum yang mengoptimalkan biaya maka harus memenuhi kondisi padapersamaan(3.71), yaitu: ( ) ( ( ) ) ( ) Penentuan jumlah pelayan dapat dilihat dalam perhitungan pada tabel berikut ini: Tabel 4.6 Perhitungan Jumlah Pelayan Optimum Pelayan ( ) 1 ( ) ( 3,11 ) ( ) - 2 0,3 3,11 3 0,1 0,3 119 ( )

(133) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Dari tabel 4.8 terihat bahwa . Jadi seharusnya jumlah pelayan optimum pada kasus di atas adalah 2 pelayan. 120

(134) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian. Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima pelayanan. Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah hilangnya pelanggan. Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan. Kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya.Karakteristik-karakteristik kedatangan dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Distribusi yang dapat mewakili adalah distribusi Poisson karena karakteristik-karakteristik tersebut juga mirip dengan karakteristik-karakteristik yang dimiliki oleh distribusi Poisson. 121

(135) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristikkarakteristiknya. Waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat dipelajari karakteristiknya. Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak berhingga.Pada tulisan ini waktu pelayanannya berdistribusi Erlang. Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang sangat penting dalam analisis sistem antrian. Kelebihan jumlah pelayan tentu akan menambah biaya operasional. Sedangkan kekurangan pelayan akan mengakibatkan hilangnya pelanggan. Sehingga jumlah pelayan yang optimal adalah hal yang sangat penting, terlebih untuk menyeimbangkan biaya. Untuk menentukan jumlah pelayan yang optimal perlu adanya ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem meliputi ratarata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata waktu menungggu dalam antrian. Dalam menentukan jumlah pelayan perlu mempertimbangkan model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu pelanggan untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan 122

(136) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah. Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati banyaknaya fase ada tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Waktu pelayanan pada masing-masing fase sama sehingga waktu pelayanannya berdistribusi Erlang. Jumlah pelayan yang diperoleh belum optimal dan waktu tunggu masih lama. Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada masing-masing tahap adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga dapat mengurangi waktu tunggu. B. Saran Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan untuk penyempurnaan antara lain yaitu model-model antrian dalam tulisan ini hanya mencakup model antrian dengan waktu pelayanan yang sama pada masing-masing tahap. Model antrian dengan waktu pelayanan yang berbeda pada masingmasing tahap memungkinkan untuk dipelajari lebih lanjut. 123

(137) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR PUSTAKA Bain, Lee J. & Max Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Second edition. Canada: Nelson Education, Ltd. Bronson, Richard. 1983. Teori dan Soal-soal Operations Research. Jakarta: Erlangga. Bronson, Richard. 2005. Probability and Statistics for Engineers. Seventh edition. United State: Pearson Education, Inc. Daniel, Wayne W. 1990. Applied Nonparametric Statistics. Second edition. Canada: Thomson Learning, Inc. Dennis D., William Mendenhall III, & Richard L. Scheaffer. 2008. Mathematical Statistics with Aplication. Seventh edition. United State: Thomson Learning, Inc. Ekpenyong, Emmanuel John & N. Sunday Udoh. Analysis of Multi-Server Single Queue System with Multiple Phases. The Journals of Operational Research Society. Vol. VII. No. 2. pp305-314. Gross, Donald, John F. Shortle, James M. Thompson, & Carl M. Harris. 2008. Fundamental of Queueing Theory. Fourth Edition. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Hamdy, A. Taha. 2007. Operation Research : An Introduction. Eighth edition. New Jersey: Pearson Education, Inc. 124

(138) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Hillier, Frederick S. & Gerald J. Liberman. 2001. Introduction to Operation Research. Seventh edition. New York: McGraw – Hill, Inc. Hines, William W. & Douglas C. Montgomery. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Edisi Kedua. Jakarta: UI-Press. H., Rieske & Sapto W. I. 2003. Proses Stokastik. Bandung: ITB. Papoulis, Anthanasios. 1992. Probabilitas Variabel Random dan Proses Stokastik. Edisi Kedua. Yogyakarta: UGM-Press. Subagyo P. , M. Asri, & Hani Handoko. 1992. Riset Operasi. Edisi kedua. Yogyakarta: BPFE. Supranto, J. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Edisi pertama. Jakarta: UI – Press. Tjims, Henk C. 2003. A First Course in Stochastic Models. England: John Wiley & Sons, Ltd. Walpole, R. E. 1990. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. Jakarta: Gramedia. Walpole, R. E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, & Keying Ye. 2012. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Ninth edition. Boston: Pearson Education, Inc. 125

(139) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 1 waktu tiba resep pelanggan Obat keetiket Pengemasan Pengecekan jadi 1 9:24 9:25 9:28 9:36 2 9:35 9:36 9:39 9:44 3 9:41 9:42 9:45 9:46 4 10:00 10:01 10:05 10:13 5 10:05 10:06 10:09 10:16 6 10:09 10:12 10:19 10:21 7 10:25 10:30 10:32 10:35 8 10:35 10:38 10:41 10:47 9 10:39 10:42 10:46 11:00 10 10:45 10:56 11:11 11:18 11 10:50 11:06 11:16 11:20 12 10:55 11:07 11:17 11:23 13 11:00 11:18 11:26 11:40 14 11:05 11:24 11:32 11:41 15 11:23 11:36 11:40 11:42 16 11:29 11:35 11:43 11:45 17 11:40 11:48 11:55 12:00 18 11:42 11:52 12:06 12:12 126

(140) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 19 11:56 11:59 12:09 12:24 20 12:00 12:07 12:17 12:25 21 12:04 12:10 12:19 12:23 22 12:11 12:15 12:21 12:26 23 12:18 12:28 12:34 12:38 24 12:25 12:30 12:35 12:55 127

(141) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran 2 jam ke- Datang 1 9 2 8 3 9 128

(142) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Lampiran Tabel 4.3 Waktu Pelayanan Resep waktu tiba resep waktu pelayanan resep obat pelanggan ke- etiket pengemasan Pengecekan jadi etiket pengemasan 1 9:24 9:25 9:28 9:36 0:01 0:03 0:08 2 9:35 9:36 9:39 9:44 0:01 0:03 0:05 3 9:41 9:42 9:45 9:46 0:01 0:03 0:01 4 10:00 10:01 10:05 10:13 0:01 0:04 0:08 5 10:05 10:06 10:09 10:16 0:01 0:03 0:07 6 10:09 10:12 10:19 10:21 0:03 0:07 0:02 7 10:25 10:30 10:32 10:35 0:05 0:02 0:03 8 10:35 10:38 10:41 10:47 0:03 0:03 0:06 129 pengecekan

(143) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 9 10:39 10:42 10:46 11:00 0:03 0:04 0:14 10 10:45 10:56 11:11 11:18 0:11 0:15 0:07 11 10:50 11:06 11:16 11:20 0:16 0:10 0:04 12 10:55 11:07 11:17 11:23 0:12 0:10 0:06 13 11:00 11:18 11:26 11:40 0:18 0:08 0:14 14 11:05 11:24 11:32 11:41 0:19 0:08 0:09 15 11:23 11:36 11:40 11:42 0:13 0:04 0:02 16 11:29 11:35 11:43 11:45 0:06 0:08 0:02 17 11:40 11:48 11:55 12:00 0:08 0:07 0:05 18 11:42 11:52 12:06 12:12 0:10 0:14 0:06 19 11:56 11:59 12:09 12:24 0:03 0:10 0:15 20 12:00 12:07 12:17 12:25 0:07 0:10 0:08 21 12:04 12:10 12:19 12:23 0:06 0:09 0:04 130

(144) PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 22 12:11 12:15 12:21 12:26 0:04 0:06 0:05 23 12:18 12:28 12:34 12:38 0:10 0:06 0:04 24 12:25 12:30 12:35 12:55 0:05 0:05 0:20 rata-rata 0:06 0:06 0:06 131

(145)

Dokumen baru

Download (144 Halaman)
Gratis

Tags

Dokumen yang terkait

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
82
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Ilmu Komputer
0
0
158
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
165
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
176
SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Ilmu Komputer
0
0
111
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Ekonomi Program Studi Akuntansi
0
0
100
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si.) Program Studi Fisika
0
0
59
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Ilmu Komputer
0
0
242
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si.) Program Studi Ilmu Komputer
0
0
174
GEOMETRI KABUR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
121
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
0
0
91
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
92
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
187
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
148
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Psikologi Program Studi Psikologi
0
0
159
Show more