9358 12420 1 PB

Gratis

0
0
6
2 years ago
Preview
Full text

  MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

  

Abstract

  Berdasarkan penelitian Abou-Zaid (1991) yang melakukan fuzzyfikasi pada struktur near-ring diperoleh definisi fuzzy near-ring, fuzzy subnear-ring dan ideal fuzzy near-ring (S.Abdurrahman,dkk.2012). Dari definisi-definisi dan teorema-teorema yang ada diharapkan dalam penelitian ini akan didapatkan gambaran tentang hubungan ideal pada near-ring dan ideal fuzzy pada near-ring melalui sifat-sifat yang ada pada ideal fuzzy near-ring.

  Himpunan fuzzy merupakan salah satu ilmu dari matematika. Himpunan fuzzy diperkenalkan pertama kali oleh L.A.Zadeh (1965) sebagai perluasan dari himpunan klasik. Jika himpunan klasik mempunyai derajat keanggotaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai derajat keanggotaan yang terletak pada interval [0,1].

  Near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus berlaku pada near-ring. Operasi pertama pada sebarang near-ring tidak harus komutatif, sedangkan terhadap operasi pertama dan operasi kedua cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan. Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian tentang near-ring tidak hanya memuat pada strukturnya tetapi mulai dipadukan dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy.

  Matematika adalah suatu alat untuk berfikir secara logika, sehingga didalamnya terdapat penalaran- penalaran yang nantinya akan berguna untuk menyelesaikan masalah baik secara teori maupun secara nyata. Matematika dapat dibagi dalam berbagai rumpun, misalnya rumpun analisis, aljabar, dan statistik. Selanjutnya setiap rumpun akan dibagi menjadi beberapa bidang, misalnya rumpun aljabar terbagi dalam berbagai bidang, seperti aljabar linier elementer, aljabar abstrak, dan aljabar linier. Demikian pula dengan rumpun-rumpun lainnya. Beberapa rumpun dalam matematika memiliki keterkaitan konsep. Misal konsep near-ring pada bidang aljabar abstrak yang akan penulis gabungkan dengan konsep himpunan fuzzy.

  Keyword : near-ring, homomorphic, fuzzy subset, fuzzy ideals of near-ring . PENDAHULUAN

  � is fuzzy subnear-ring of near-ring and for any , , such that � = � + − , � . � , and �( + . − . ) �( ). In this paper will be studied character fuzzy ideals of near-ring , such that we get the relation between fuzzy ideals of near-ring and ideals of near-ring . We also study the homomorphic image and preimage of fuzzy ideals of near-ring .

  Let < , +, . > be near-ring and � is fuzzy subset of a near-ring if �: → 0,1 . Then � is said to be fuzzy ideals of near-ring if

  Kata kunci : near-ring, homomorfisma, subhimpunan fuzzy, ideal fuzzy pada near-ring .

  

IDEAL FUZZY PADA NEAR-RING

Dwi Ayu Anggraini

  . Kita juga mempelajari peta dan prapeta homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy di near-ring .

  . ) �( ). Dalam jurnal ini akan dibahas beberapa sifat ideal fuzzy pada near-ring , sehingga kita peroleh hubungan ideal fuzzy pada nearing dan ideal pada near-ring

  � dikatakan ideal fuzzy pada near-ring jika � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring dan untuk setiap , , berlaku : � = � + − , � . � , dan �( + . −

  Diberikan near-ring < , +, . > dan � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring jika �: → 0,1 . Kemudian

  

Abstrak

  Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : sulaimanraden@yahoo.com

  

Dr.Raden Sulaiman M.Si.

  Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : dwiayuanggraini55@gm

  Metode yang digunakan dalam menyusun makalah ini adalah metode kajian pustaka, yaitu demakalah teoritis mengenai objek yang akan dibahas dengan cara mencari, memahami, mendalami dan mengidentifikasi pengetahuan yang ada dalam kepustakaan (sumber buku bacaan, referensi, jurnal, atau hasil penelitian lain untuk menunjang penelitian). Adapun jurnal utama yang

  Definisi 8

  Definisi 7

  �( . ) min � , � untuk setiap , .

  3.

  � − � untuk setiap , .

  2.

  �( + ) min⁡{� , � } untuk setiap , .

  1.

  Diberikan < , +, . > adalah suatu near-ring dan � adalah subhimpunan fuzzy di near-ring . Maka � disebut near-ring fuzzy di jika

  � = � jika dan hanya jika � = � , ⩝ [0,1].

  Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring . Subhimpunan fuzzy

  3.

  � ,⩝ , [0,1] .

  

  2. Jika maka �

  � ,⩝ [0,1].

  

  �( ) maka �

  

  • = . + . Jika near-ring memenuhi sifat ( i ) maka kita sebut near-ring kanan. Sebaliknya, jika near-ring memenuhi sifat ( ii ) maka kita sebut near-ring kiri.

  � di near-ring disebut subnear-ring fuzzy pada near-ring jika untuk setiap , berlaku :

  • � −

  Diberikan near-ring . Jika � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring , maka untuk setiap

  � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring . Maka subhimpunan level

  Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan

  Teorema 1

  �.

  Berikut dijelaskan sifat dari ideal fuzzy pada near- ring yang berhubungan dengan subhimpunan level � dari

  Sifat-sifat Ideal Fuzzy Pada Near-ring

  �(0 ) �( ) 2. � − = �

  1.

  Lemma 2

  1.

  � disebut ideal kiri fuzzy pada near-ring jika memenuhi syarat (1) dan (2). Sedangkan � disebut ideal kanan fuzzy pada near-ring jika memenuhi syarat (1) dan (3).

  � = � + − 2. � . � 3. � ( + . ) − ( . ) �( ) suatu

  1.

  , , berlaku :

  , � disebut ideal fuzzy pada near-ring jika untuk setiap

  Diberikan � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring

  PEMBAHASAN Definisi 9

  � − min � , � 2. � . min{� , � }

  Jika �( )

  � = { �|�( ) }.

  Diberikan sebarang �, � �(�), 1.

  Distributif kanan : + . = . + . ii.

   �.

  �

  < , +> disebut ideal di jika 1.

  Diberikan near-ring . Suatu subgrup normal � dari

  Definisi 2

  dengan operasi + dan . yang membentuk near-ring dinotasikan dengan < , +, . >.

  Distributif kiri : .

  3. Untuk setiap , , berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri i.

  � untuk setiap , dan untuk setiap � �. Subgrup normal

  < , . > merupakan semigrup.

  2.

  < , +> merupakan suatu grup (tidak harus komutatif)

  1.

  Suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu " + " dan " . " disebut near-ring, jika :

  KAJIAN PUSTAKA Definisi 1

  Dong Kim dan Hee Sik Kim,1996).

  MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

  2.

  � dari < , +> yang memenuhi (1) disebut ideal kiri di , sedangkan subgrup normal � di < , +> memenuhi (2) disebut ideal kanan di .

  [0,1] . Subhimpunan level di � dinotasikan dengan � yang didefinisikan dengan,

  Definisi 5

  Diberikan � �(�) dan

  Definisi 6

  3. Irisan dari dua subhimpunan fuzzy � dan � didefinisikan dengan � � = min {� , �( )},⩝ �.

   � jika � � ,⩝ �.

  �

  2.

  � = � jika � = � ,⩝ �.

  Diberikan sebarang �, � �(�), maka 1.

  � dinotasikan � � dan peta dari � dinotasikan dengan � � = {�( )| �}.

  Definisi 3

  � disebut subhimpunan fuzzy di � jika �: � → 0,1 . Selanjutnya himpunan semua subhimpunan fuzzy di

  Diberikan � adalah himpunan tidak kosong. Suatu fungsi

  Definisi 4

  � 2. � . = � ∗ �( )

  

  � + = �

  1.

  Diberikan near-ring dan . Fungsi �: → disebut homomorfisma near-ring jika untuk setiap , :

  � adalah ideal pada near-ring untuk setiap 0,1 , �(0 ) jika dan hanya jika � adalah ideal fuzzy pada near-ring .

  � bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan

  • min � , �

  ) , maka � � >

  − .

  ( � ( + ) .

  1

  Pilih =

  < �( ).

  − .

  � ( + ) .

  e) Akan ditunjukkan �( + . − . ) �( ) untuk setiap , , . Andaikan ada , , sedemikian hingga

  �( . ) �( ) untuk setiap , .

  � ideal pada near-ring untuk setiap [0,1] , sehingga pengandaian salah, seharusnya

  2

  • � . − .
  • � . − .
  • � − 0 0 � yang mengakibatkan

  < .

  � . � yang mengakibatkan

  ↔ � � > �

  � .

  ↔ � >

  � .

  > >

  ( � .

  2

  1

  < �( ) . Pilih =

  , .Andaikan ada , sedemikian hingga � .

  d) Akan ditunjukkan �( . ) �( ) untuk setiap

  �( ) �( + − ) untuk setiap , .

  � ideal pada near-ring untuk setiap [0,1], sehingga pengandaian salah, seharusnya

  > �

  � � dan

  < . Berdasarkan analisa di atas, maka

  • min � , �
  • − ) .
  • − ), maka
  • − � yang mengakibatkan

  − � dan � yang mengakibatkan

  � dan , berlaku �( + . − . ) dan

  �( + . − . ) �( ) Sehingga untuk setiap

  �( ) . Maka

  Misalkan � dan , sedemikian hingga

  � . 5)

  �( . ) dan .

  Sehingga untuk setiap � dan berlaku

  . Maka �( . ) �( )

  Misalkan � dan sedemikian hingga �( )

  � berlaku �( + − ) dan + − � . 4)

  �( ) Sehingga untuk setiap ,

  . Maka � + − =

  �( ) dan �( )

  3) Karena � ≠ ∅ maka ada , � sedemikian hingga

  � berlaku �( . ) dan . �

  � . min{� , � } min{ , } Sehingga untuk setiap ,

  �( ) . Maka

  Karena � ≠ ∅ maka ada , � sedemikian hingga �( ) dan

  − � . 2)

  , � berlaku �( − ) dan

  �( ) . � − min{� , � } min{ , } Sehingga untuk setiap

  Karena � ≠ ∅ maka ada , � sedemikian hingga �( ) dan

  0,1 dan �(0 ), � adalah ideal pada near-ring . 1)

  ( ←) Akan dibuktikan jika � adalah ideal fuzzy pada near- ring maka untuk setiap

  � adalah ideal pada near- ring maka � adalah ideal fuzzy pada near-ring .

  � ( + � . − . < �(�), untuk setiap , , � . Jadi terbukti bahwa jika

  � bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada near-ring untuk setiap [0,1] , sehingga pengandaian salah, seharusnya

  • − ) .
  • − ), maka
  • − >
  • − >
  • . − . � . Jadi berdasarkan analisis di atas

  � bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan

  > �

  � < . Berdasarkan analisis di atas, maka +

  .

  � .

  > >

  , maka min � , �

  � .

  2

  1

  < min{� , � } . Pilih =

  � .

  b) Akan ditunjukkan � . min{� , � } untuk setiap , . Andaikan ada , sedemikian hingga

  � , � } untuk setiap , .

  [0,1] sehingga pengandaian salah, seharusnya � − min{

  � yang mengakibatkan � bukan ideal pada near-ring near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada near-ring untuk setiap

  , � dan

  � >

  � > � − < . Berdasarkan analisis di atas, maka

  � − ↔ � >

  > >

  , maka min � , �

  � −

  2

  1

  Pilih =

  � − < min � , �

  a) Akan ditunjukkan � − min � , � untuk setiap , . Andaikan ada , sedemikian hingga

  Diberikan near-ring dan � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring .

  MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

  ↔ � >

  � − < .

  ↔ �

  ) > �(

  �

  ( �

  2

  1

  Pilih =

  � < �(

  ∗∗)Andaikan ada , sedemikian hingga

  �( ) �( + − ) untuk setiap , . (

  � ideal pada near-ring untuk setiap [0,1], sehingga pengandaian salah, seharusnya

  � bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan

  � dan

  ) < . Berdasarkan analisis di atas, maka

  ) ↔ �(

  Berdasarkan analisis di atas, maka , � dan

  �(

  �( ) > >

  ( �

  2

  1

  Pilih =

  , sedemikian hingga � > �(

  ( ∗) Andaikan ada

  c) Akan ditunjukkan �( ) = �( + − ), untuk setiap , .

  � . min{� , � } untuk setiap , .

  � ideal pada near-ring untuk setiap [0,1] sehingga pengandaian salah, seharusnya

  � yang mengakibatkan � bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan

  .

  � adalah ideal pada near-ring .

  • � ), maka �

  2014 MATHunesa (Volume 3 No 3)

  Karena � � = {0, } , maka kita peroleh �

  • Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan

  � adalah . sehingga

  − = 0 dan � = . subhimpunan fuzzy pada near-ring . Jika

  � adalah ideal .

  • pada near-ring , maka untuk setiap (0,1) , ada

  .

  − � dan �. Akibatnya �

  � bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal fuzzy pada near-ring sedemikian hingga

  � = �. ideal pada near-ring , sehingga pengandaian salah. Seharusnya

  �( + . − . ) �( ) untuk setiap

  Bukti : , , .

  Misalkan subhimpunan fuzzy � pada near-ring

  4) Akan dibuktikan � = �. didefinisikan dengan

  Berdasarkan definisi � maka

  , � ,dengan (0,1).

  � = |

  = { � = � � = 0 ,

  � � > }

  Akan ditunjukkan ada � ideal fuzzy pada near-ring

  = � = = � sedemikian hingga

  � = �.

  Jadi ada � ideal fuzzy pada near-ring sedemikian 1) .

  Ambil sebarang , hingga � = �.

  a) Jika , � , maka � = 0 dan � = 0 sehingga

  Teorema 3

   � − 0 = min⁡{� , � } Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan

  � adalah  � . 0 = min⁡{� , � } ideal fuzzy pada near-ring . Maka dua subhimpunan  � . 0 = �( )

  < level dan di adalah sama jika � � � dengan

  1

  2

  1

  2

  b) Jika , � , maka − � dan . � dan hanya jika tidak ada sedemikian sehingga sehingga .

  1

  2

  �( ) <  � − 0 = min � , �  � . 0 = min⁡{� , � }

  Bukti :

   � . 0 = �( ) → Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring dan

  c) Jika � dan � , maka � = dan

  = dengan < . Akan dibuktikan tidak ada � �

  1

  2

  1

  2

  � = 0 sehingga sedemikian sehingga .

  1 �( ) <

  2

   � − 0 = min � , � Andaikan ada sedemikian sehingga

  1

   � . 0 = min⁡{� , � } , maka dan sehingga

  �( ) <

  2 �( ) 1 � <

  2

   � . 0 = �( ) dan .

  � �

  1

  2 Jadi berdasarkan (a), (b), dan (c) maka Berdasarkan analisis di atas, maka .

  � ≠ �

  1

  2

   �( − ) min⁡{� , � } Kontradiksi dengan = , sehingga pengandaian

  � �

  1

  2

   �( . ) min⁡{� , � } salah. Seharusnya tidak ada sedemikian  �( . ) � sehingga .

  1

  2

  �( ) < 2)

  Akan dibuktikan � = �( + − ) untuk setiap (

  ←) Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring dan , . tidak ada sedemikian sehingga .

  1 �( ) <

  2 Andaikan ada , sedemikian hingga Akan dibuktikan = dengan < .

  � �

  2

  • 1

  ) . Karena

  1

  2

  � − � � = {0, } , < �(

  Ambil sebarang , maka > yang � �

  2

  1

  maka kita peroleh =

  • mengakibatkan sehingga dengan sehingga

  2

  � = 0 dan � −

  • 1 adalah ideal pada near-ring maka kata lain  .

  � >

  1 �

  � dan − � . Karena �

  � subgrup � �

  2

  1

  • normal di sehingga

  − − − Selanjutnya, ambil sebarang , maka � �( )

  1

  [ ] dan diperoleh − � . Kontradiksi dengan . Karena dan tidak ada sedemikian

  1

  1

  �( ) � sehingga pengandaian salah, seharusnya sehingga , maka yang

  1 �( ) < 2 �( ) ≮

  2

  , . � �( + − ) untuk setiap mengakibatkan sehingga dengan

  �( )

  2 �

  2 Selanjutnya, andaikan ada , sedemikian kata lain  .

  � �

  1

  2

  hingga ) .Karena � − � � =

  • Berdasarkan analisis di atas, maka = dengan

  > �(

  � �

  1

  2

  {0, }, maka kita peroleh � −

  • < .

  = dan �

  1

  = 0 sehingga

  2 � dan − � .

  • Akibatnya � bukan subgrup normal di Kontradiksi Selanjutnya dijelaskan sifat dari keluarga ideal pada dengan

  � subgrup normal di sehingga pengandaian near-ring yang sama dengan keluarga semua salah. Seharusnya

  � �( + − ) untuk setiap subhimpunan level pada near-ring . , . Berdasarkan analisis di atas, maka

  � = �( + −

  Teorema 4 ) untuk setiap , .

  Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah

  3) Akan dibuktikan �( + . − . ) �( ) untuk ideal fuzzy pada near-ring . Jika

  � � = setiap , , . { , , < <

  1

  2

  1

  2

  … , }, dimana ⋯ < , maka keluarga Andaikan ada , , sedemikian hingga ideal { |1 } pada near-ring adalah keluarga

  � �

  � . ).

  . � − < �(

  • semua subhimpunan level di �.

  MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

  �( + . − . )) = �(�( + . − . )) =

  �(�

  

  � −

  

  � ) =

  � � = �( ) Diperoleh

  � + − = � ,⩝ , . 4)

  � . = �(� . ) =

  �(� ∗ � � � = �( ) Diperoleh

  � . � ,⩝ , . 5)

  �( �

  � . min � , � ,⩝ , . 3)

  

  � ∗ � −

  

  � ∗ � ) � � = �( )

  Diperoleh �( + . − . )) �( ),⩝ , , .

  Jadi berdasarkan analisis di atas � adalah ideal fuzzy pada near-ring

  .

  Definisi 11

  Diberikan < , +, . > dan < , +, . > adalah near- ring. Jika � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring dan didefinisikan

  �: → , maka subhimpuna fuzzy � pada near-ring didefinisikan dengan � = sup

  { �−1 }

  � + − = �(� + − ) =

  � , � Diperoleh

  Untuk semua disebut peta dari � di bawah �.

  

  �+1 .

  Jadi terbukti untuk setiap setiap [0,1] ada � {1,2, … , } sedemikian hingga � = �

  � .

  Berikut dijelaskan mengenai sifat homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy di near-ring .

  Definisi 10

  Misalkan < , +, . > dan < , +, . > adalah near- ring. Didefinisikan �: → , jika � adalah subhimpunan fuzzy pda near-ring maka subhimpunan fuzzy

  � = �

  

  � pada near-ring yang didefinisikan dengan � = �(� ) untuk setiap , disebut prapeta dari � di bawah �.

  Teorema 5

  Diberikan < , +, . > dan < ,

  , ∗> adalah near-ring dan

  �(� , � � = min

  �: → adalah homomorfisma near-ring. Prapeta homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy pada near-ring adalah ideal fuzzy pada near-ring .

  Bukti:

  Akan dibuktikan bahwa � adalah prapeta � di bawah �. Ambil sebarang , , maka berlaku 1)

  � − = �(� − ) =

  � � −

  

  � min{ �(� ), � � )

  = min � , �

  Diperoleh � − min � , � ,⩝ , .

  2) � . = � � .

  = �(� ∗ � ) min{

  { � }

  Definisi 12

  �+1

  { �−1( )}

  �

  

  −

   = sup {

  �−1( ′ −′ )}

  { � }

  �( − ) min

  � , � = min{ sup

  { �−1( )}

  { �( )} , sup

  { �( )}}

  { �−1 }

  = min ⁡{� , � }

  Sehingga diperoleh �

  

  −

  ′ ′

  min �

  

  , �

  

  , ⩝

  

  { � }. Maka kita peroleh 1.

  � = sup

  Subhimpunan fuzzy � pada near-ring dikatakan mempunyai sifat sup properti jika

  −1

  ⩝

   , ada

  sedemikian hingga � = sup {� }

  Teorema 6

  Diberikan < , +, . > , < ,  , ∗> adalah near-ring dan

  �: → adalah homomorfisma near-ring. Peta homomorfisma pada ideal fuzzy pada near-ring dengan sifat sup properti adalah ideal fuzzy pada near-ring .

  Bukti :

  Akan dibuktikan bahwa � adalah ideal fuzzy pada near-ring . Misalkan

  , ,

  . Karena � mempunyai sifat sup properti maka ada

  { �

  (

  { �( )},

  )},

  { �

  −1

  }, dan {

  �

  −1

  ( )} sedemikian hingga � = sup {

  �−1 }

  { � },

  � = sup

  { �−1 }

  , maka � = �

  �

  Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring ,

  1

  �

  �

  atau �

  1 

  �

  2 

  …

  

  � . Berdasarkan definisi

  �

  = { | �( )

  �

  1

  } , { �

  �

  |1 �

  } adalah keluarga ideal pada near-ring near-ring , dan �

  1 

  �

  2 

  …

  

  � maka �

  �+1 

  1 � − 1 sehingga menurut Lemma 2.2.1

  Misalkan [0,1] dan � (�). 1)

  |1 � } adalah keluarga ideal pada near-ring .

  � � = {

  1

  ,

  2

  , … , } , dimana

  1

  <

  2

  < ⋯ < dan

  { �

  �

  Akan dibuktikan untuk setiap [0,1] ada

  dengan

  � {1,2,

  … , } sedemikian hingga � = �

  � .

  Karena

  1

  <

  2

  < ⋯ < maka

  �

  <

  �+1

  1 = .

  Jika <

  

  , maka �( ) ≮

  � = {

  1

  ,

  2

  , … , }. Jadi, tidak ada sedemikian hingga

  � <

  �+1 .

  Selanjutnya, �( ) dan tidak ada sedemikian hingga

  � <

  �+1

  �+1

  2

  yang mengakibatkan �( )

  �+1

  , yaitu �

  �+1

  sehingga �

  

  �

  �+1 .

  Karena �

  �+1 

  � dan �

  , … , } . Kontradiksi dengan

  ,

  1

  �+1

  , maka menurut Lemma 2.2.1 �

  1  � .

  Karena �

  1

  = dan �

  1 

  � , maka � = �

  1 .

  2) Jika

  �

  < <

  dengan

  1

  1 � − 1 , maka menurut Lemma 2.9.1

  �

  �+1  � .

  Selanjutnya, ambil sebarang � maka �( ) .

  Andaikan ada sedemikian hingga � <

  �+1

  , maka

  �

  < � <

  �+1

  . Akibatnya, � � = { ,

  , .

  ′ ′

  = �(

  

  ) Sehingga diperoleh

  �

  

  

  ∗

  

  −

  ∗

  { �−1 }

  

  �

  

  , ⩝

  

  ,

  

  ,

   .

  { �( )}

  ) = sup

  PENUTUP Simpulan

  

  

  ), ⩝

  

  ,

   .

  5.

  �

  

  

  ∗

  − . �(

  

  −

  ′ ′

  ∗

  

  = sup

  { �−1( ′ ′)}

  { �( )}

  � ( + ) .

  Jadi berdasarkan analisis di atas, � adalah ideal fuzzy pada near-ring .

  Berdasarkan hasil pembahasan pada BAB III dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :

  

  1. DAFTAR PUSTAKA

  < ⋯ <

  , maka keluarga ideal { �

  �

  |1 �

  } pada near-ring adalah keluarga semua subhimpunan level di �.

  Pada jurnal ini juga dibahas mengenai peta dan prapeta ideal fuzzy pada near-ring, yaitu jika diberikan < , +, . > dan < ,  ,

  ∗> adalah near-ring dan �: → adalah homomorfisma near-ring. Prapeta homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy pada near-ring adalah ideal fuzzy pada near-ring . Dan peta homomorfisma pada ideal fuzzy pada near-ring dengan sifat sup properti adalah ideal fuzzy pada near-ring .

  Saran

  Penulisan jurnal hanya membahas ideal fuzzy near- ring, karena keterbatasan pengetahuan penulis, pembaca yang berminat dapat melanjutkan penulisan tentang ideal fuzzy pada near-ring dengan menambahkan teori lain yang berkaitan dengan ideal fuzzy near-ring.

  Abdurrahman,S.dkk.2012. Ideal Fuzzy Near-ring. Jurnal matematika dan Terapan:Univ. Lampung Mangkurat Bartle,Robert G, dan Sherbert,Donal R.2000.Introduction

  <

  to Real Analysis Third edition.Amerika:John Wiley and Sons,Inc.

  Fraleigh,Jonh B.1982. A First Course in Abstract

  Algebra. Publishing Company: Addison-Wesley Gallian,Joseph.A.2008.Contemporary Abstract Algebra.

  University Of Minnesota Duluth Herstein.I.N.1995. Abstract Algebra. Library of

  Cataloging in Publication Data Kandasamy.W.B.V.2002. Smarandache near-rings. American Research Press Rehoboth Kandasamy.W.B.V.2003. Smarandache fuzzy algebra. American Research Press Rehoboth

  Kim, Seung Dong dan Hee Sik Kim.1996. On Fuzzy

  Ideals Of Near-rings. Bull.KoreanMath Masriyah. 2007. Pengantar Dasar Matematika.

  Surabaya:Unesa University Press Sukahar dan Kusrini.2001. Struktur Aljabar I.

  Surabaya:Unesa University Press Zimmermann. H.J. 1992. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Second, Revised Edition.

  2

  1

  1. Dalam struktur aljabar fuzzy terdapat suatu kelas dari ideal fuzzy near-ring. Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan

  1

  � adalah subhimpunan fuzzy pada near- ring . Maka � disebut ideal fuzzy pada near-ring jika untuk setiap , , berlaku :

   � − min � , �  � . min{� , � }  � = � + −  � . �  �( + . − . ) �( ) 2. Ada beberapa sifat yang berlaku pada ideal fuzzy di near-ring , yaitu :

   Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring . Maka subhimpunan level � adalah ideal pada untuk setiap

  0,1 , �(0 ) jika dan hanya jika � adalah ideal fuzzy pada near-ring .  Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah ideal fuzzy pada near-ring . Maka dua subhimpunan level

  �

  1

  dan �

  2

  di � dengan

  <

  , … , } ,dimana

  2

  adalah sama jika dan hanya jika tidak ada sedemikian sehingga

  1

  �( ) <

  2 .

   Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah ideal fuzzy pada near-ring . Jika � � = {

  1

  ,

  2

  �(

  ∗

  MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

  

  

  , �

  

  , ⩝

  

  ,

   3.

  �

  

  

  

  −

  ′ ′

  = sup

  { �−1 ′ ′ }

  { �( )}

  �(

  ) =

  �( )

  = sup

  min �

  ∗

  { �( )}

  � , � = min{ sup

  2.

  �

  

  ∗

  

  = sup

  { �−1 }

  { �( )}

  �( . ) min

  { �−1 }

  

  { � } , sup

  { �−1( )}

  { � }

  = min ⁡{�

  

  , �(

  

  ) Sehingga diperoleh

  �

  { �−1 }

  = �

  

  { �−1( )}

  

  ,

   .

  4.

  �

  

  ∗

  

  = sup

  { � }

  

  �( . )

  �( )

  = sup

  { �−1( )}

  { � }

  = �(

  

  ) Sehingga diperoleh

  �

  ,⩝

  = �

  

  { �−1

  Dan �

  

  = sup

  { �−1 }

  { � }

  = �(

  ) =

  �(

  ) = sup

  ′ ′ }

  ′ ′

  { �( )} = �

  

  

  −

  ′ ′

  Sehingga diperoleh �

  

  

  −

  Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.

Dokumen baru

Dokumen yang terkait

KARAKTERISASI EKSTRAK DAUN KEMBANG BULAN (Tithonia diversifolia) SEBAGAI BAHAN BAKU OBAT TRADISIONAL
0
3
15
INCREASING STUDENTS` VOCABULARY ACHIEVEMENT THROUGH DIRECT METHOD AT THE FIRST GRADE OF SMP NEGERI 2 GADING REJO
0
12
51
Daun Ki Pahit (Tithonia diversifolia) sebagai Sumber Antibakteri dan Antioksidan
0
5
34
EFEKTIVITAS BERBAGAI KUALITAS SERESAH DARI Tithonia diversifolia, Tephrosia candida, DAN Kaempferia galanga TERHADAP PENGHAMBATAN POTENSIAL NITRIFIKASI DAN POPULASI BAKTERI NITRIFIKASI DI ALFISOLS, JUMANTONO
2
7
75
PENGARUH EKSTRA DAUN KEMBANG BULAN (TITHONIA DIVERSIFOLIA (HEMSLEY) A. GRAY) TERHADAP MORTALITAS LARVA NYAMUK.
4
19
19
UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR TOLAK PELURU DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA BERBENTUK SUDUT 45 DERAJAT PADA SISWA KELAS X SMA NEGERI 4 KISARAN TAHUN AJARAN 2013/2014.
0
2
25
EFEKTIVITAS EKSTRAK DAUN SUREN ( Toona sureni ) DAN DAUN TITHONIA ( Tithonia diversifolia ) DALAM PENGENDALIAN HAMA BUAH KAKAO
0
1
33
ASUHAN KEPERAWATAN PADA Ny.Y POST OPERASI SECTIO CAESAREA DENGAN INDIKASI FETALDISTRES DI BANGSAL MAWAR 3 RSUD dr.MOEWARDI SURAKARTA.
0
1
6
DEIXIS : USES AND REASONS OF THEIR USING IN OPERA VAN JAVA.
0
0
21
PENGARUH INKUBASI DAN DOSIS Tithonia diversifolia TERHADAP FRAKSI FOSFOR TANAH SAWAH INTENSIFIKASI.
0
1
1
Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Audit Report Lag pada Perusahaan Property & Real State dan Financial yang Terdaftar di BEI (Periode 2011-2012).
1
5
23
STUDI EVALUASI KAPASITAS PERALATAN UNLOADING KKW UNTUK MEMENUHI TARGET PRODUKSI (Studi Kasus Departemen Pengantongan Teluk Bayar PT.Semen Padang).
0
1
9
Sistem informasi penilaian pencapaian kompetensi peserta didik SMK kurikulum 2013 berbasis web PHP : studi kasus SMK Pangudi Luhur Muntilan.
0
1
120
Hiraukan Kode Etik Demi Rating.
0
0
1
Uji Toksisitas Sub Kronik Produk Monosodium Pada Sel Ginjal Tikus Putih Jantan - Ubaya Repository
0
0
1
Show more