Full text

(1)

TRIGONOMETRI

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin α =

Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :

1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B

Rumus Jumlah Fungsi :

Perkalian jumlah/selisih

1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih perkalian

(2)

Sudut-sudut istimewa :

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

II I

Sin + Semua + III IV

Tan + Cos +

Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:

Kuadrant I

Sin (900 - θ ) = cos θ Cos (900 - θ ) = sin θ

tan (900 - θ ) = cotan θ Kuadratn II :

Sin (1800

- θ ) = sin θ Cos (1800 - θ ) = -cos θ tan (1800

- θ ) = -tan θ

Kuadrant III : Sin (1800

+ θ ) = -sin θ Cos (1800

+ θ ) = -cos θ tan (1800 + θ ) = tan θ Kuadrant IV :

Sin (3600 - θ ) = -sin θ Cos (3600 - θ ) = cos θ tan (3600 - θ ) = -tan θ

Aturan sinus dan cosinus

C

b γ a

α

β A c B

aturan sinus

α sin

a =

β sin

b =

γ sin

c

Aturan cosinus

1. a2= b2+ c2 - 2bc cos α 2. b2= a2+ c2 - 2ac cos β 3. c2= a2+ b2 - 2ab cos γ

Luas Segitiga

Luas segitiga = 2 1

ab sin γ

= 2 1

ac sin β

= 2 1

bc sin α

α 0

0 30 0 45 0 60 0 90 0

Sin 0

2 1

2

1 2

2

1 3 1

Cos 1

2

1 3

2

1 2

2

1 0

Tan 0

3

1 3 1 3 ~

Kuadrant I α

Kuadrant II

0

180 -

α

Kuadrant III

0

180 +

α

Kuadrant IV

0

360 -

α

Sin + + - -

Cos + - - +

(3)

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

P(x,y) koordinat cartesius P(r,α0

) koordinat kutub

y α0

x P (x,y) → P (r, α0)

r = 2 2 y x +

0

α didapat dari tan α0 = x y

P (r, α0

) → P (x,y) x = r cos α0

; y = r sin α0

jadi , p (x,y) = p(r cos α0

, r sin α0

)

Nilai Maksimum dan Minimum

1. Jika y = k cos (x + n

π

) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ) = 1 sehingga (x + nπ)= 0

b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ) = -1 sehingga (x + n

π

)=

π

2. Jika y = k sin (x + n

π

) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n

π

) = 1 sehingga (x + n

π

)=

2 π

b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n

π

) = -1 sehingga (x + n

π

)=

2 3π

Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri

1. Persamaan

Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :

a. sin x = sin

α

, maka x1=

α

+ k. 0

360 x2= ( 0

180 -

α

) + k. 0

360 b. cos x = cos

α

, maka x1,2= ±

α

+ k.

0

360

c. tan x = tan α, maka x = α + k. 0

180

Persamaan umum trigonometri adalah :

a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x -

α

)

dengan k = a2+b2 : persamaan lengkapnya:

a cos x + b sin x = k cos (x -

α

) = c

α

didapat dari tan

α

= a b

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah :

c2

≤ a2

+ b2

2. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat

diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti :

(4)

Fungsi Trigonometri:

1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

.

Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π

d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2π) = sin x, k ∈ bilangan bulat

2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x

a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π

(5)

2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :

a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π

(6)

Contoh Soal :

Soal-soal UN2010 – UN2012

UN2010

Himpunan penyelesaiannya adalah

Jawabannya adalah D

UN2010

Jawabannya adalah D

(7)

- 2 1

{ 2 1

– cos(A-B)} = 4 1

2 1

– cos(A-B) = - 4 2

= - 2 1

2 1

+ 2 1

= cos(A-B)

cos(A-B) = 1

Jawabannya adalah E

UN2011

4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 00 ≤ ≤ 1800 adalah....

A. {450, 1200} C. {600, 1350} E. {600, 1800} B. {450, 1350} D. {600, 1200}

Jawab:

cos 2x + cos x = 0

cos 2x = cos2x - sin2x = cos2x – (1 - cos2x) = 2cos2x - 1

sehingga

cos 2x + cos x = 2cos2x - 1 + cos x = 0 (2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 cos x + 1 = 0 2 cos x = 1 cos x = -1

cos x = 2 1

x = 1800 (di kuadran ke-2) x = 600

Himpunan penyelesaiannya adalah 600 atau 1800 Jawabannya adalah E

UN2011

5. Nilai

= ...

A. - √3 B. − 12√3 C. − 13√3 D. √3 E. √3

Jawab:

cos A - cos B = - 2 sin 2 1

(A + B) sin 2 1

(A –B)

Sin A - sin B = 2 cos 2 1

(A + B) sin 2 1

(A –B)

=

=

= -

= -

=

√3

Jawabannya adalah E

UN2011

6. Diketahui (A+B) = dan Sin A Sin B = , Nilai dari cos (A- B) = …

A. -1 B. - C. D. E. 1

Jawab:

(A+B) = maka cos (A+B) = cos = Cos 600 =

cos (A+B) = CosA Cos B – Sin A Sin B

= CosA Cos B – CosA Cos B = + =

cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B = + = 1

(8)

UN2012

7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1; 0 < x < 2π adalah ....

A. { 0, π, π, 2π } C. { 0, π, π, π } E.

{ 0, π, π }

B. { 0, π, π, 2π } D. { 0, π, π }

Jawab:

cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – (1 – cos2x) = 2 cos2x - 1

cos2x -2cos x = -1

2 cos2x – 1 – 2 cos x + 1 = 0 2 cos2x – 2cos x = 0

cos2x – cos x = 0 cosx . (cosx – 1) = 0

cos x = 0 ; cos x = 1

cos x = cos cos x = cos 00

cos x = cos

α

, maka x1,2= ±

α

+ k. 3600

cos x = cos

1

x = + 0. 2π ; x2=- + 1. 2π = =

cos x = cos 00

1

x = 0 + 0. 2π ; x2= 0 + 1. 2π = 0 = 2π

karena intervalnya 0 < x < 2π,

maka nilai yang memenuhi adalah dan

Tidak ada jawaban

UN2012

8. Nilai dari sin 75° - sin165° adalah ....

A. √2 D. √2

B. √3 E. √6

C. √6

Jawab:

Sin A - sin B = 2 cos 2 1

(A + B) sin 2 1

(A –B)

sin 75° - sin165 = 2 cos 2 1

(750 + 1650) sin 2 1

(750 –1650)

= 2 cos 2 1

. 2400 sin 2 1

(-900)

= 2 cos 1200 sin (-450)

sin – = - sin cos – = cos tan – = tan

Cos (1800 - θ ) = - cos θ

= 2 cos (1800 – 600) . – sin 450 = - 2 cos 600. – sin 450 = 2. ½ . ½ √2 = ½ √2 Jawabannya D

UN2012

9. Diketahui α – β = dan sin α . sin β = dengan α dan β

merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = ...

A. 1 B. C. D. E. 0

Jawab:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= cos (α - β) - sin α sin β - sin α sin β = cos – ¼ - ¼

Gambar

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Download now (8 pages)