Buku pegangan siswa matematika sma kelas 10 semester 1 kurikulum 2013 edisi revisi 2014

Gratis

8
71
228
2 years ago
Preview
Full text

EDISI REVISI 2014

  Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawahkoordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki,diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman.

1. Matematika — Studi dan Pengajaran

  Perlu kemampuan berpikir kriis-kreaif untuk menggunakan matemaika seperi uraian diatas: menentukan variabel dan parameter,mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membukikan rumusan matemaika suatu gagasan, membukikan kesetaraan antar beberapa rumusan matemaika, menyelesaikanmodel abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh. Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan peningnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matemaika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaranberkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matemaika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matemais dan menyelesaikannya,dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kriis, kreaif, telii, dan taat aturan.

2. Menunjukkan sikap bertanggung-jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan

  Sebagai contoh, konsep eksponendan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain – lain. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan – permasalahan yang diberikan pada bab ini.

1. Menemukan Konsep Eksponen

  r x53 = 4 r r x23 = 4 r = 2 = Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jamUntuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke3 persamaan r x = 10.000 sehingga 8x = 10.000. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.-x -x x x y f(x) = 3 f(x) = 2 f(x) = 2 f(x) = 3 6 4 2x 4 2 2 4 2 4 Gambar-1.2: Graik Fungsi Eksponensialx x –3 –2 –1 1 2 3 4f(x) = 2 -x f(x) = 2x f(x) = 2x f(x) = 3-x f(x) = 3 Latihan 1.1 Amati graik (Gambar-1.2) di atas.

2. Pangkat Bulat Negatif

1 Deinisi .2

  Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, dideinisikana a− m m 8 Alternatif Penyelesaianx y y − x( ) = =− =− = −344343 2 2 16 Deinisi 1.3 2( ) Contoh 1.1 Untuk lebih memahami deinisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut. 23 = 8 33 = 27 22 = 4 32 = 9 21 = 2 31 = 3 2 = 13 = 1 Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x -3 (y4 ).

3. Pangkat Nol Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a = 1

  = × × × ×a a a a m n − ( m n − ) faktor = m aa m-n Jadi = a , dengan m, n bilangan bulat positif dan m > n n a b) Kasus m = n m a m–n Jika m = n, maka = 1 = a = a .na Bukti:m m a a , sebab m = n n m = a a ...a a a × × × × a m faktor = ... 2 2 2= × ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2= × × × × × ( ) ( )33 dengan aktor aktor menggunakan Sifat-3 f f 2 2 2 2 2 2 2= ( × × × × × ) 3 36 faktor + 26= 2=3 2 × 3 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 4.

3 Contoh 1.4

  Buktikan bahwa jika a > 1 dan n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka n m a > a . Bukti: Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m > –n.

7 Nilai Angka Satuan

  =   Misalkanabilangan real dana ≠ 0, m, n bilangan bulat positif dideinisikana a m n n m Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan. Deinisi 1.4 Misalkan a bilangan real dan a≠ 0, m bilangan bulat positif, maka a m1 = p adalahbilangan real positif, sehinggap m = a.

5. Pangkat Pecahan

  Dengan demikian a a a a m n p n n m n p     =    11 a a a a a a a am n p n n m n p n n n     =    2  1 2 1 642 b.  3 −  ( )− − − − − untuk x = 1 2 dan y = 1 424222 2 x y x  × ×× (2y)2 ; untuk x = 2 dan y = 3d.

6. Bentuk Akar

  Alternatif Penyelesaian = ⇔ =3232 3 3 8 h b h ⇔ =3 3 64⇔ = × × = × h33 4 4 4 3 4⇔ = h 12 hn Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai a , dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bilangan rasional adalah a bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat

  Perhatikan untuk kasus di bawah ini13311331 + +31131× × = p p p p = p = p dan perhatikan juga bahwa333313 × × = p p p p = p , sehingga berdasarkan Deinisi 1.6 disimpulkan p . = 223322 Perhatikan bahwa p ´ p ´ p = p , sehingga berdasarkan sifat perkalian bilangan 3 berpangkat diperoleh:23  3 2 m n m × n p  = p Ingat, (p ) = p 2332   = p Diubah menjadi, p .

8. Operasi pada Bentuk Akar

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

  Contoh 1.7333331 1) 8 2 2 2 26 = = = =666612) 643 =3 2 = 2 = 2 =3 23 4 5 × 2 7 = 4 × 3) ( )( )1112 2 5 × 7 8 35 =  57  57353512× = × × 15 5 15 54) 3 5 5 5 3 5 5 5  =  = ( )    3   3 4 3 43= 5)3 4 5 4 54 2 3 24 3= 6)4 3 5 3 5 Latihan 1.4n n 1) Buktikan: jika a bilangan real dan a > 0, maka a = a. 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 1 1 − 2 1 3 − 4 1 2 − 3× × × − 1 2 1 2 − 3 4 3 4 2 3 3− − 1 1 4 5 99 100× × − 4 5 4 − 5 99 100 99 100 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100− − − − − + + + + + ...

3) Menyederhanakan bentuk p q pq

  Tentukan nilai a dan b dari 1 2 1 3 4 1 4 5 1 1 000 0001 000 001 . 2 2 2 2 + 2 + + + + ...

9. Menemukan Konsep Logaritma

  Hal ini dapatc dikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu a = b,dengan memisalkan a = (1 + 0,01), b = 104.060.401, dan c = t. 223 Selanjutnya cermati graik fungsi y = f(x) = log x, f(x) = – log x, f(x) = log x3 dan f(x) = – log x yang disajikan berikut.y2 y x = log3y = log x x 131y log x21 =y x = log Gambar 1.2 Graik Fungsi Logaritma Perhatikan graik fungsi di atas.

10. Sifat-sifat Logaritma

  log a = x ⇔ a = a sehingga x = 1 atau log a = 1 a y⇔ a 2. Misalkan P = log a22⇔ (log a) log a + log a = 6 + (log a) = 62 ⇔ P Jadi, nilai a yang memenuhi persamaan di atas adalah a = 0,001 atau a = 100.

4. Jika graik fungsi eksponen dicerminkan terhadap sumbu y = x, maka diperoleh graik fungsi logaritma

  Sama halnya dengan penemuankembali konsep eksponen dan logaritma melalui pemecahan masalah nyata, akan kita temukan konsep dan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan linier dari berbagaisituasi nyata kehidupan disekitar kita. Memiliki motivasi internal, kemampuan nilai – nilai mutlak bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa • menghadapi permasalahan pada kasuspercaya diri, dan sikap toleransi dalam persamaan dan pertidaksamaan linear di perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan kehidupan sehari-hari.menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

4. Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai nyata terkait dengan persamaan dan mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan pertidaksamaan linear nilai mutlak

  Menerapkan konsep nilai mutlak dalam dalam membangun konsep persamaan persamaan dan pertidaksamaan linier dalam dan pertidaksamaan linear nilai mutlak danmemecahkan masalah nyata. Membuat model matematika berupa persamaan hari.dan pertidaksamaan linear dua variabel yang • mengajak kerjasama tim dalam menemukan melibatkan nilai mutlak dari situasi nyata dan solusi suatu permasalahan.matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.

1. Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak

  Perhatikan sketsa berikut: Ke belakang 1 langkah Ke belakang 1 langkahKe depan 2 langkah Ke belakang 3 langkah Ke depan 2 langkah 1 2 3 4 Gambar 2.2 Sketsa lompatan Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi awal si anak. Deinisi 2.1Misalkan x bilangan real, nilai mutlak x, dituliskan │x│, dideinisikan ≥x jika x x =  − <x jika x ≥  x jika xf x ( ) x  = = Berikut ini, kita akan mencoba menggambar graik .

2. Persamaan Linear

  Jika persamaan (1) diselesaikan maka x x x 4 000 .x x x 4 000 1 000 .x = + + + − .0 − 2 2 6 36x = 3x + 3x – 24.000 + x – 8.000 + 6.0006x = 7x – 26.000 x = 26.000 Dengan demikian uang Andi mula-mula adalah Rp26.000,00. Model yang telah diperoleh, kita selesaikan sebagai berikut: 1 2⇔ x = 2c + 12 x – 4 = (x + c) 4 3 1 x = (x – 7) + 27 ⇔ 4x – 128= 0 5⇔ x = 32 Subsitusikan x = 32 ke x = 2c + 12 diperoleh 32 = 2c + 12 atau c = 10.

3. Pertidaksamaan Linier

  Dengan memisalkan harga seragam sekolah = x rupiah dan harga buku = y rupiah maka permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut:Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku dan mendapatkan uang kembalian mempunyai arti 2x + 3y < 250.000 ........................................................................(9)Dari masalah di atas, pertidaksamaan (5), (6), (7) , (8) dan (9) disebut pertidaksamaan linear. Deinisi 2.5Pertidaksamaan linear satu variabel adalah persamaan yang berbentukax + b < 0 dengan ∈ R a : koeisien x, a ≠ 0, aax + b ≤ 0 ∈ R) b : konstanta (b ax + b > 0x : variabel real ax + b ≥ 0 ∈ R) c : konstanta (c ax + by + c > 0x,y : variabel real ax + by + c ≥ 0 Sifat-2.2 Misal k adalah pertidaksamaan linear, maka: a.

4. Persamaan Linear Yang Melibatkan Nilai Mutlak

  Jika perubahan debit air tersebut bernilai q maka |x – p| = q, sehingga diperoleh x = p + q atau x = p – q. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x + − x − = Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan Deinisi 2.1 maka diperoleh,− ≥ 2 − 8 ≥   x 3 jika x 3 x jika x 4 8− = − = x 3  dan 2 x  sehingga x 3 jika x 3 x jika x 4  2 + − + < − 8 < a.

b. Untuk 3 ≤ x < 4 maka x – 3 – 2x + 8 = 5 ⇔ –x + 5 = 5

⇔ –x = 0⇔ x = 0 (tidak memenuhi karena x = 0 tidak berada pada domain 3 ≤ x < 4) c. Untuk x ⇔ 3x – 11 = 5≥ 4 maka x – 3 + 2x – 8 = 5 ⇔ 3x = 16⇔ x = 16/3 (memenuhi karena x = 16/3 berada pada domain x ≥ 4 ) 3 2 8− x − = + Jadi, penyelesaian x 5 adalah HP = {(2,16/3)}

5. Pertidaksamaan Linear Yang Melibatkan Nilai Mutlak

  Jikax = 0 adalahposisi awal tentara tersebut, maka pola lintasan peluru yang mengarah ke objek diperkirakanmemenuhi persamaan 2y – x – 0,66 = 0 denganx adalah jarak penembak dengan sasaran dan y adalah ketinggian peluru dari permukaan tanah. Dengan Deinisi 2.1 maka 0 025 0 02 0 025 0 020 025 0 02 0 8 0 8 , ,, , , , , ,x xx xx − = −− +   ≥ ≤ <jika jika  , − , ≤ , ≥ ≥ , 0 025 x 0 02 0 05 jika x 0 8, − , ≤ , ⇔ 0 025 x 0 02 0 05  Dengan menyelesaikan kedua pertidaksamaan maka: a.

b. Untuk 0 ≤ x < 0,8 maka –0,025x + 0,02 ≤ 0.05 atau x ≥ –1,2

  Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaian   2 HP x x x= ≤ − 4 atau ≥   3  Permasalahan di atas dapat diselidiki dengan memperlihatkan graik y = |2x + 1| dan graik y = |x + 3|, untuk setiap x ∈ R. Jika a ≠123 a = 0, maka diperoleh persamaan linear satu variabel dan jika a 0, a 0 dann1 ≠ ≠2 a = a = ...

1. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa

  Mendeskripsikan konsep sistem persamaan Matematika sebagai SPLDV atau SPLTV ataulinear dua variabel serta pertidaksamaan linear SPtLDV.dua variabel dan mampu menerapkan berbagai kebenaran jawabannya dalam pemecahan memperoleh solusi permasalahan yang 3. Membuat model matematika berupa SSPLDV, SPtLDV berdasarkan ciri-ciri yang ditemukanSPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan dengan bahasanya sendiri.matematika, serta menentukan jawab dan dalam kelompok yang heterogen.

1. Menemukan Konsep Sistem Persamaan linear Dua Variabel

  Nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut:× x + y = 2 4 4x + 4y = 8× 4x + 2y = 7 1 4x + 2y = 7 – 1 12y = 1 ⇒ y = 6 2× x + y = 2 2 2x + 2y = 44x + 2y = 7 × 1 4x + 2y = 7 – 3 3 4⇒ x = 2 4 3 1 3    , . = += += +222 7 1 2 1 1 2 3 2 k xt yt 2 2 1 2 3 ⇒  == x y 3 2 42 3 2 1 4 (( ) ( ) =( ) ( ) 22= + 3 26 2 1 1 3 2 3 15 ( ) ( ) ((pernyataan benar)(pernyataan benar) 2(pernyataan benar) ( ) ( ) 2 4 mt2 t1 Perbandingan luas penampang atap bagian bawah dengan bagian tengah adalah 7 : 4.

2. Diberikan dua persamaan x = 3 dan

  Kedua persamaan linear tersebut mem-bentuk sistem persamaan linear dua variabel sebab kedua persamaan lineartersebut dapat dinyatakan dalam bentuk x + 0y = 3 dan 0x + y = –2 dan variabel x dan y pada kedua persaman memiliki nilai yang sama dan saling terkait. Karena FPB dari (21n + 4) dan (14n +3) adalah 1, maka bilangan (21n + 4) dan (14n ⇒ 7n (3s + 2t) + (4s + 3t) = 1Agar persamaan 7n (3s + 2t) + (4s + 3t) = 1 dipenuhi untuk setiap n, maka3s + 2t = 0 ........................................................................

2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

  ×3y + z = 40 15 45y + 15z = 60027y + 15z = 402 × 1 27y + 15z = 402 – 18y = 198⇒ y = 11 18y = 198⇒ x = 22 y = 11 dan x = 2y Dengan mensubtitusikan x = 22 dan y = 11 ke persamaan x + y + z = 40, diperoleh z = 7. (4)Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-3 dan 4 diperoleh8q + 8r = 1 × 42 336q + 336r = 42 ×42q – 42r = –1 8 336q – 336r = –8 – 672r = 50 50 Dari 672 r = 50 diperoleh r =672 50 50 34 r = disubtitusikan ke persamaan 8q + 8r = 1 diperoleh q = 672672 672 50 34 34 62 q = disubtitusikan ke persamaan 7p + 7q = 1 diperoleh p = 672 672672 672 Cek kebenaran nilai p, q, dan r pada persamaan (1), (2), dan (3).

3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

  Penggunaan yang lebih efektif dan eisien darikeempat metode tersebut dalam penyelesaian soal tergantung sistem persamaan linear yang diberikan, situasi masalah, dan waktu yang tersedia. Pada langkah penyelesaian Masalah 3.1 telah diperoleh sistem persamaan linear dua variabel x + y = 2 ....……………………………………………......

2) Apakah kamu masih ingat apa yang dimaksud gradien suatu garis lurus? 3) Ada berapa kemungkinan posisi dua garis dalam satu sumbu koordinat

  x + y = 2 Diperoleh titik-titik potong kurva x + y = 2 terhadap 2x sumbu koordinat, yaitu titik (0, 2) dan (2, 0). 4 2 Gambar 3.6 Graik persamaan linearBerdasarkan gambar graik x + y = 2 dan 4x + 2y = 7, kedua garis lurus tersebut 1 1 1 3 3 berpotongan pada sebuah titik, yaitu titik ( , ).

2) Metode Eliminasi

  x + y = 2 × 4 4x + 4y = 8× 4x + 2y = 7 1 4x + 2y = 7 – 1 12y = 1 ⇒ y = 6 2× x + y = 2 2 2x + 2y = 4× 4x + 2y = 7 1 4x + 2y = 7 – 3 3 4 2 4 3  1 3  , . (2)222 dengan a , a , b , b , c , dan c bilangan real, dan a dan b tidak keduanya nol;12121211 a dan b tidak keduanya nol.22 Sebelum kamu menyelesaikan masalah ini, apakah kamu memahami tujuanmasalah dipecahkan?

3) Metode Substitusi

  Alternatif Penyelesaian misalkan x = Aku; y = temanku, maka diperoleh3x + y = 5 ………………………. (1)2x + 3y = 8 ……………………… (2) ⇒ y = –3x + 53x + y = 5 substitusikan y = –3x + 5 ke persamaan (2), maka diperoleh2x + 3 (–3x + 5) = 82x – 9x + 15 = 8 x = 1 substitusikan x = 1 ke y = –3x + 5 , maka diperoleh y = –3(1) + 5 = 2.

4) Metode Eliminasi dan Substitusi

  (3) Tentunya kamu dengan mudah memahami bahwa a = 1 a = 1 a = 75123 b = 1 b = –2 b = 120123 c = 1 c = 0 c = 150123 d = 40 d = 0 d = 4020.123 Oleh karena itu, nilai x, y, dan z ditentukan sebagai berikut. x +1 y − 2 a) x – y = 3 4 5x – 3y = 19 2 3 1 2 2x − y − b) 3x – 2y = 1= 7 + 3 6 c) 2x – y = 0 1 1 7x + 2y = 0 e) = 6 – 3y 1x d) 4x – 1/2 y = 3 1 2 12x + 7y = 26 2x 3 2 y 2.

2 X

  Jika a + b + c = 0 dengan a, b, c= 5 ≠ 0, + – 3 1y x z maka tentukan nilai2 Tentukan nilai x + y + z 1 1 1 1 1 1       a b c b c c a a a         tiga variabel, a x + b y + c z = d1111 14. Nilai-nilai a, b, dan c memenuhi persamaan-persamaan berikut a x + b y + c z = d2222 25ab ab 15bc 15 bc 5 ac 5 ac 1 1 1 1 a x + b y + c z = d3333 = , = –1, dan = – .a a b b b c b c a a c c 2 3 Tentukan syarat yang harus dipenuhi c sistem supaya memiliki solusi Hitunglah nilai (a – b) .tunggal, memiliki banyak solusi, 15.dan tidak memiliki solusi!

4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

  Untuk garis x + y = 125, jika y = 0 maka x = 125 jika x = 0 maka y = 125Maka gari x + y = 125 memotong sumbu y di titik (0,125) dan memotong sumbu x di titik (125, 0). Tafsiran geometris dari penyelesaian suatu sistem persamaan linear, diberikan sistem persamaan dengan 2 persamaan dan 2 variabel adalah sebagai berikut: a x + b y = c dan a x + b y = c , dengan a , a , b , b , c , c bilangan real, dengan111222121212 a dan b tidak keduanya nol dan a dan b tidak keduanya nol.1122 Graik persamaan-persamaan ini merupakan garis, misal garis g1 dan garis g2 .

1. Menemukan Konsep Matriks

   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 →Susunan an  → baris ke-1→ baris ke-2→ baris ke-3→ baris ke-m kolom ke-nkolom ke-3 kolom ke-2kolom ke-1  1 1 1 1 1 2 8 4 1 3 9 27 1 4 16  Jadi, matriks A berordo 4 × 4 yang dimaksud adalah: A 4 ×4 == ! Alternatif PenyelesaianMatriks A 4 ×4 = a a a aa a a a a a a aa a a a a ij bilangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j, i = 1, 2,3, .., m; j = 1, 2, 3, …, n A m ×n : m menyatakan banyak baris matriks A.n menyatakan banyak kolom matriks A.

2. Jenis-Jenis Matriks

  Contoh 4.1 di atas menyajikan beberapa variasi ordo matriks yang merepre- sentasikan umur anggota keluarga Teguh. Secara detail, berikut ini akan disajikanjenis-jenis matriks.

a. Matriks Baris

  a a a a Diagonal Samping matriks H1214  1113  a a a a21222324   H 4 4 = 4 ×4  a a a a 313233334  a a a a414344  42 Diagonal Utama matriks H Diagonal utama suatu matriks meliputi semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. 1   1  = 4 4   1  1  1   1 ×3   1  1 2 2   1  Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas.

g. Matriks Nol

Jika semua elemen suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:      , atau=     0 maka disebut matriks nol. ,

3. Transpos Matriks

  Relasi yang dimaksud dalam hal ini adalah “perubahanposisi elemen matriks”, atau disebut transpos matriks, yang diberi simbol B t sebagai Perubahan yang dimaksud dalam hal ini adalah, setiap elemen baris ke-1 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-1 pada matriks Bt , setiap elemen baris ke-2 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-2 pada matriks Bt , demikian seterusnya, hingga semua elemen baris pada matriks matriks B menjadi elemen kolom pada matriks Bt . Misalnya, jika matriks awal berordo m 4 6 6 2, maka 3 12 4 4 5 7 5 9 3 2 14 1 8 4 Contoh 4.2 9 5 3  =  S S t 12, maka transpos matriks S adalah 6 5 3 20 7 5 10 15 5 3 2  a.

4. Kesamaan Dua Matriks

  Gedung Gedung Gedung Gedung 6A 5A 5B 6BJ Gedung Gedung Gedung Gedung 7A 4A 4B 7BA Gedung Gedung Gedung Gedung 8A 3A 3B 8BL Gedung Gedung Gedung Gedung 9A 2A A 2B 9BGedung Gedung Gedung Gedung N 10A 1A 1B 10BBlok A Blok B Gerbang Utama Gambar 4.6 Denah komplek ruko Dari denah di atas dapat dicermati bahwa Blok A sama dengan Blok B, karena banyak Ruko di Blok A sama dengan banyak Ruko di Blok B. Deinisi 4.2Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika: i.

ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B, =

  Contoh 4.4 Jika diberikan persamaan matriks berikut ini 2 4 5 16 2 3 1 1 10 4 2232 x y b t a y− a b  = + ( )  loglog  maka hitunglah nilai: (a.b)- 2x + y. 4 Contoh 4.3 Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi hubungan P t = Q, bila P a bd a c Q b a c =−  =− −    2 4 3 2 2 7 2 5 3 4 3 6 7 dan .

a. Operasi Hitung pada Matriks 1) Penjumlahan Dua Matriks

  1  =  7 3 1 5 5 1 3 6 7 3 5 6 5 1 3 6 7 3 1 5 5 1 3 =  = T 3   Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita terapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Demikian jugahalnya untuk matriks identitas 3 1 5 5 1 3 6 7 3 1 = = 1  =   5 5 1 3 6 7 3 1 5 5  × 3 juga. T O  = 1, , maka 3 5 1, , 1 1 8 4 2 2 2 10 1 8 P Q 1 Matriks O dalam hal ini adalah matriks nol berordo 3× 3, karena matriks tersebut akan dijumlahkan dengan matriks T berordo 3 8 2 2 5 3 1 4 2 10  =     Contoh 4.5 6 .

2) Pengurangan Dua Matriks

  Sedangkan matriks 17 5 7 11 13 3 2 8 10 12 6 4 2 Alternatif Penyelesaian Z berordo 3 9 6 1 11 1 11 1 1 1 9 7 5 3 1 8 10 12 4 × 3. Pengurangan matriks L)  7 7 5 3 1 X = b) Diketahui matriks-matriks X, Y, dan Z sebagai berikut: 4 11 5 9  5 3 2  − =−   DiskusiOperasi penjumlahan dikatakan bersifat komutatif jikaa + b = b + a, untuk setiap a, b bilangan real.

3) Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks

  A, bila matriks C berordo m × n denganelemen-elemennya ditentukan oleh:cij 10 2 1 5 4 3 2  = H H a) Jika , maka 2H = 4 . 2  =  2 ×× × 2 2 2 32 4 2 5 2 1 =× ×× × Contoh 4.7 Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A + (–B), (–B) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks B.

b) Jika L

  3 1 ( ) ( )   3× − 12 × × − 1 3 3 1 3 2 1 L × × ×× × × aka 1= 18 3 1 24 3 1 3 3 72 3 1 1 1 6 8 10. 4 4 4 3 60 4 3 48 4 3 4 3 1 4 48 × × × =× × × × 4 60 1 72= 6  12  =   + 72 60 48 36 24 54 9 45 36 27 18 9 18 15 12 1 P dan Q merupakan duamatriks berordo sama, dan c adalah bilangan real, maka c .

4) Perkalian Dua Matriks

  7 8 3  2      5 5 6 2 Secara langsung, jika matriks C = dikalikan D = maka dapat 3 × 3   3 × 1   dituliskan sebagai berikut:   15  4 5 2    7 8 3  2   7 2 8 5 3 15   99   .( ) .( ) .( )        × 5 6 .( ) + .( ) .( )               2 5 = 5 2 6 5 2 15 = + + 70 (dalam satuan juta). Uji Kompetensi 4.2 1 1 4 5  t dan 2, , , 1 4 5 3 2 1 2 3 2 = 6 4 2  =   =− − C D 6, , 4 2 5 2 [ ] tF 2 8    = − −  −  p q r s 14 15 8 7 6 5 3 5 dan 7.

1 I

  dengan matriks I merupakan matriks [ ]  1 J G =, = , 1 × 3.  identitas berordo 3   3 15.    4 4 2   1    y2 G G I   1    dan1 = = a)  x     Matriks manakah yang dapat  3 1  dikalikan dengan matriks G?

11. Untuk setiap matriks A dan B adalah × 2

  Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k adalah sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemen-elemen k kalielemen-elemen dari matriks semula. Mendeskripsikan daerah asal, daerah kawan, • berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki dan dan daerah hasil suatu relasi antara dua mengaplikasikan konsep relasi dan fungsihimpunan yang disajikan dalam berbagai dalam memecahkan masalah otentik; 3.

B. PETA KONSEP MASALAH OTENTIK HIMPUNAN

Diagram VennHimpunan Dinyatakan Pasangan RELASIdengan BerurutanDiagram Kartesius Jika 1) Setiap anggota domain berpasangan dengan anggotakodomain 2) Setiap anggota domain berpasangan dengan tepat satuanggota kodomain

DAERAH ASAL DAERAH FUNGSI KAWAN DAERAH HASIL

1. Menemukan Konsep Relasi

  Tono • Doli •Beni • Siti • Tedy • Felix Merek A Meliani Merek C Abdul Merek D Kelompok Siswa Merek Handphone Gambar 5.2 Kelompok siswa dan merek handpone Perhatikan kedua gambar di atas, dari Gambar 5.1 dapat ditemukan beberapa hal karena ada garis panah yang menghubungkan kelompok siswa dengan kelompokgrup band, dengan aturan menghubungkan adalah: ‘Grup band favorit’. Pada gambar5.2 kita tidak dapat menemukan hubungan antara kelompok siswa dengan merek handpone yang ada karena tidak ada garis panah yang menghubungkan antarakelompok siswa dengan kelompok merek handpone.

1) Udin ikut pertandingan tenis lapangan dan bola voli, Joko ikut pertandingan

  60 7 12 <t ≤ 24 50 6 10 <t ≤ 12 40 5 8 <t ≤ 10 30 4 6 <t ≤ 8 20 3 4 <t ≤ 6 10 2 2 <t ≤ 4 No Lama waktu (t) (Dalam satuan jam) Biaya Parkir (p) (Dalam satuan ribu rupiah)1 0 <t ≤ 2 Gambar 5.7 Biaya parkir per jam ≤ 24}Daerah kawan adalah: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70}Daerah hasil adalah: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70}Berdasarkan contoh-contoh di atas, ditemukan deinisi daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil sebagai berikut. A B 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e Berdasarkan diagram di atas dapat disimpulkan bahwa banyak anggota himpunan× 5 = 25 buah pasangan berurutan anggota himpunan A dan himpunan B sebanyak 5pasangan.

2. Sifat-Sifat Relasi Perhatikan contoh berikut

  Dari relasi ini diperoleh bahwa: ♦ Domain R adalah: {1, 2, 3} dan range R adalah: {1, 2, 3, 4}.domain R berpasangan dengan dirinya sendiri atau 1 berpasangan dengan 1.♦ 1 ∈ Pasangan terurut (1,1) ∈ R.domain R berpasangan dengan dirinya sendiri atau 2 berpasangan dengan 2.♦ 2 ∈ R. Dari relasi ini diketahui bahwa:♦ Domain P adalah: {3, 4, 5} dan range P adalah: {3, 4}.domain P berpasangan dengan dirinya sendiri atau 3 berpasangan dengan 3.♦ 3 ∈ Pasangan terurut (3,3) ∈ P.domain P berpasangan dengan dirinya sendiri atau 4 berpasangan dengan 4.♦ 4 ∈ Pasangan terurut (4,4) ∈ P.domain P tidak berpasangan dengan dirinya sendiri atau 5 tidak berpasangan ♦ 5 ∈ dengan 5.

3. Menemukan Konsep Fungsi

1) Jika kelima sahabat itu dibuat dalam satu himpunan misalnya

  Jika f memetakan suatu elemen x A ke suatu y B dikatakan bahwa y adalah ∈ ∈ peta x oleh fungsi f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x) dan x disebut prapeta y, dengan demikian dapat ditulis menjadi: f : x → y, dibaca: fungsi f memetakan x ke y, sedemikian hingga y = f(x). Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan (1) dan (2) diperoleh: − = − 3 p q = − 3 4 p q− − = 6 − 4 p p p = 2 Substitusi nilai p = 2 ke persamaan –3 = p – qSehingga diperoleh: Contoh 5.152 x + Diketahui fungsi f dengan rumus f(x) = 6 .

6 Ditanya: domain f

  Domain fungsi f memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila2x + 6 ≥ 0,2x ≥ –6 ↔ x ≥ –3. DiskusiDiskusikan dengan temanmu: Berdasarkan Contoh 5.15:a) Mengapa fungsi f memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real apabila 2x b) Apakah f terdeinisi untuk 2x + 6 < 0?

c) Apakah x = -4 memiliki pasangan? Mengapa?

  Jawab: f(x+1) = 2f(x) untuk x = 1, maka f(1+1) = 2f(1) f(2) = 2.f(1) = 2.4 = 8f(3) = 2.f(2) = 2.8 = 16 f(4) = 2.f(3) = 2.16 = 32karena f(4) = 32, maka pasangan x = 4 adalah 32. Jawab: 2y = 2 x − 6 ⇔ (2x – 6)(y) = x + 2 (kedua ruas dikalikan 2x – 6)⇔ 2xy – 6y = x + 2⇔ 2xy – x = 6y + 2⇔ x(2y – 1) = 6y + 2 2y ⇔ x =(kedua ruas dibagi 2y – 1) 2 1y − 6 2y 2 1y − Diskusikan dengan temanmu: Berdasarkan Contoh 5.17: a) Jika →f : x y, apakah x = 3 memiliki pasangan anggota himpunan bilanganreal?

1. Menemukan Pola Barisan dan Deret

  × 10 suku = 30 suku690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 × 10 × 30 = 1800 suku adalah 6Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan 1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. = 62 = 6 1 42 1 42 1 52 = ⇔ 1 199002 1 19900 42 1 30 1 20 12 n n 1 6 1 2 1 ⇔ n2 5 1 30 1 1 6 1 6 1 1 = 2 22 = 1 1 22 1 Suku ke Nilai Polau1 Tabel 6.4 Pola Barisan 2 1 1 1 30 1 42 = 4 1 20 20 12 1 32 = 3 1 12 1 , , , , , , ...

2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika

  Pada sub-bab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisan dan deret bilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsepbarisan dan deret aritmetika.

a. Barisan Aritmetika

  u , u , u , u , u , …, u1234 5 n Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh u = a1 u = u + 1.b21 u = u + b = u + 2.b321 u = u + b = u + 3.b431 u = u + b = u + 4.b541 … u = u + (n – 1)b n1 Sifat-6.1 Jika u , u , u , u , u , …, u merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus1234 5 n suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut. n15 u = 1 + (15 – 1).1 = 1515 b) 4, 1, – 2, – 5, – 8, …Diketahui: u = a = 4, u = 1, u = –2, u = –5 ….1234 b = u – u = u – u = u – u = –3.213243 Karena u = a + (n – 1)b, maka u = a + (18 – 1)b.

b. Deret Aritmetika

  Perhatikan pola berikut: n 40( 80 ) × 2 + 2 4( 40 160 ) × + 2240 6( 40 ) × + 2 8( 40 320 + ) × • s = 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 = = 1440.8 2 Jadi, untuk menghitung jumlah 80 suku pertama, dilakukan dengan pola di atas, s = 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 + 360 + 400 + … + 3160 + 320080 80( 40 3200 ) + × = = 129.000. (2) n Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2), diperoleh:2s = 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + … + 2a + (n – 1)b n2s = n (2a + (n – 1)b) n 1 n a n b 2 1 s = ( )n −( ) Sifat-6.2s = u + u + u + u + u + … + u + u merupakan jumlah n suku pertama n1234 5 n–1 n barisan aritmetika, n n s = (2a + (n – 1)b) = (u + u )n 1 n 2 2 Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9!

Dokumen baru