Model optimasi pendistribusian logistik bencana alam

Gratis

0
7
100
3 years ago
Preview
Full text
    ABSTRACT ELLY ZUNARA. Optimization Model of Logistics Distribution in Natural Disaster. Supervised by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR Logistics distribution in emergency situations involves dispatching commodities (medical materials, specialized rescue equipment and rescue teams, food, etc.) to the affected areas. The optimization process is done by combining the optimal logistics distribution with vehicles scheduling, such that quantity and capacity loads of every vehicle is satisfied. At the end of logistics distribution process it is possible that there is unsatisfied demand in affected area. The minimization of unsatisfied demand can be regarded as an integer linear programming problem (ILP). The problem can be solved using branch and bound method. Optimal value is obtained using Lingo 8.0 Unlimited software. i       ABSTRAK ELLY ZUNARA. Model Optimasi Pendistribusian Logistik Bencana Alam. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR Perencanaan pendistribusian logistik di situasi darurat meliputi pengiriman komoditas (obat-obatan, material, relawan, perlengkapan khusus penolong, makanan dll.) ke daerah pusat bencana. Indikasinya adalah menggabungkan pendistribusian barang dengan penjadwalan kendaraan secara optimal yang sesuai dengan kuantitas dan kapasitas muat barang setiap kendaraan. Pada akhir proses pendistribusian barang bantuan, dimungkinkan terjadinya kekurangan komoditas atau permintaan yang tidak terpenuhi di daerah bencana. Masalah minimisasi permintaan yang tidak terpenuhi di setiap tempat yang terkena bencana alam tersebut dapat dipandang sebagai masalah pemrograman linear bilangan bulat (Integer Linear Programming). Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode branch-and-bound. Nilai optimal dapat diperoleh dari penggunaan software Lingo 8.0.   ii       I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bencana alam merupakan interupsi signifikan terhadap kegiatan operasional sehari-hari yang bersifat normal dan berkesinambungan. Interupsi ini dapat menyebabkan entitas yang tertimpa bencana kehilangan sumber-sumber daya sehingga mengalami disfungsi. Kondisi seperti ini tentunya akan menumbuhkan permintaan terhadap bantuan yang ditujukan kepada masyarakat di luar wilayah bencana. Dengan demikian, diperlukan sistem distribusi barang bantuan penanggulangan bencana yang sangat mendukung. Distribusi barang bantuan penanggulangan bencana alam berkaitan dengan masalah pengiriman barang bantuan dari pusat-pusat penampungan barang bantuan ke pusat-pusat penerimaan atau tujuan, dalam kasus ini adalah titik tempat terjadinya bencana. Karya ilmiah ini merupakan pengkajian dari masalah yang berhubungan dengan bencana alam yaitu pendistribusian logistik dan pengalokasian kendaraan untuk mendistribusikan logistik tersebut. Masalah ini telah dikaji oleh Ozdamar, Ekinci dan Kucukyazici. 2004 dalam jurnalnya yang berjudul Emergency logistic planning in natural disasters. Dalam karya ilmiah ini akan menentukan solusi optimal dari banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi di suatu daerah yang terkena bencana alam dengan menggunakan bantuan software LINGO 8.0. 1.2 Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk memodelkan masalah yang berkaitan dengan pendistribusian logistik bencana alam dan menyelesaikan masalah tersebut. .   II LANDASAN TEORI Metode pemecahan yang digunakan dalam masalah pendistribusian logistik bencana alam memerlukan definisi-definisi berikut ini.   2.1 Linear Programming Linear programming adalah kegiatan merencanakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Model linear programming (LP) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear. (Nash & Sofer 1996) Suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 1 (Bentuk Standar suatu LP) Suatu linear progamming dikatakan berbentuk standar jika dapat dituliskan sebagai: Minimumkan z = cTx terhadap Ax = b x ≥0 (1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n, yang disebut juga sebagai matriks kendala. (Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n × 1. 2.1.1 Solusi suatu Linear Programming Untuk menyelesaikan suatu masalah linear programming (LP), metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada LP (1), vektor x yang memenuhi kendala Ax=b disebut sebagai solusi dari LP (1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A= (B N), dengan B adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor x= B N , dengan xB adalah vektor variabel basis dan xN adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax=b dapat dinyatakan sebagai:         I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bencana alam merupakan interupsi signifikan terhadap kegiatan operasional sehari-hari yang bersifat normal dan berkesinambungan. Interupsi ini dapat menyebabkan entitas yang tertimpa bencana kehilangan sumber-sumber daya sehingga mengalami disfungsi. Kondisi seperti ini tentunya akan menumbuhkan permintaan terhadap bantuan yang ditujukan kepada masyarakat di luar wilayah bencana. Dengan demikian, diperlukan sistem distribusi barang bantuan penanggulangan bencana yang sangat mendukung. Distribusi barang bantuan penanggulangan bencana alam berkaitan dengan masalah pengiriman barang bantuan dari pusat-pusat penampungan barang bantuan ke pusat-pusat penerimaan atau tujuan, dalam kasus ini adalah titik tempat terjadinya bencana. Karya ilmiah ini merupakan pengkajian dari masalah yang berhubungan dengan bencana alam yaitu pendistribusian logistik dan pengalokasian kendaraan untuk mendistribusikan logistik tersebut. Masalah ini telah dikaji oleh Ozdamar, Ekinci dan Kucukyazici. 2004 dalam jurnalnya yang berjudul Emergency logistic planning in natural disasters. Dalam karya ilmiah ini akan menentukan solusi optimal dari banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi di suatu daerah yang terkena bencana alam dengan menggunakan bantuan software LINGO 8.0. 1.2 Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk memodelkan masalah yang berkaitan dengan pendistribusian logistik bencana alam dan menyelesaikan masalah tersebut. .   II LANDASAN TEORI Metode pemecahan yang digunakan dalam masalah pendistribusian logistik bencana alam memerlukan definisi-definisi berikut ini.   2.1 Linear Programming Linear programming adalah kegiatan merencanakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Model linear programming (LP) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear. (Nash & Sofer 1996) Suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 1 (Bentuk Standar suatu LP) Suatu linear progamming dikatakan berbentuk standar jika dapat dituliskan sebagai: Minimumkan z = cTx terhadap Ax = b x ≥0 (1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n, yang disebut juga sebagai matriks kendala. (Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n × 1. 2.1.1 Solusi suatu Linear Programming Untuk menyelesaikan suatu masalah linear programming (LP), metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada LP (1), vektor x yang memenuhi kendala Ax=b disebut sebagai solusi dari LP (1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A= (B N), dengan B adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor x= B N , dengan xB adalah vektor variabel basis dan xN adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax=b dapat dinyatakan sebagai:     2    Ax= (2) =BxB+NxN =b. Karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2) xB dapat dinyatakan sebagai: (3) xB=B−1b − B−1NxN Definisi 2 (Solusi basis) Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika: 1. solusi tersebut memenuhi kendala pada LP, 2. kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol adalah bebas linear. (Nash & Sofer 1996) Definisi 3 (Solusi basis fisibel) Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x merupakan solusi basis dan x . Salah satu cara menentukan solusi basis fisibel awal . adalah dengan membuat xN (Nash & Sofer 1996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1 Misalkan diberikan linear berikut: Minimumkan z= − 2x1 − 3x2 terhadap − 2x1 + x2+ x3 = 4 − x1+ 2x2+ x4=11 x1+ x5 = 5 x1, x2, x3, x4, x5 programming (4) Dari LP tersebut didapatkan: , b= A= . Misalkan dipilih xB=(x3 x4 x5)T dan xN =(x1 x2)T maka matriks basisnya adalah B= . Dengan menggunakan mariks basis tersebut diperoleh: (5) xN=(0 0)T, xB=B−1b=(4 11 5)T   Solusi (5) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala LP (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5), yaitu B adalah bebas linear, yaitu kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. Definisi 4 (Daerah fisibel) Daerah fisibel suatu LP adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada LP tersebut. (Winston 2004) Definisi 5 (Solusi optimal) Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu LP adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimal suatu LP adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. (Winston 2004) 2.2 Integer Programming Integer programming (IP) adalah suatu model linear programming dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang yang harus integer maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0−1 IP. (Garfinkel & Nemhauser 1972) Definisi 6 (Linear programming relaksasi) LP-relaksasi merupakan masalah linear programming yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0−1 pada setiap variabelnya. (Winston 1995) Untuk masalah maksimisasi, nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif optimal dari IP, sedangkan untuk masalah minimisasi nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimal fungsi objektif IP. 2.3 Metode Branch and Bound Masalah integer programming dapat dipecahkan dengan metode branch and bound. Prinsip dasar metode branch and bound adalah 3    membagi daerah fisibel dari masalah LPrelaksasi dengan cara membuat subproblemsubproblem baru sehingga masalah integer programming terpecahkan. Daerah fisibel suatu linear programming adalah daerah yang memuat titik-titik yang memenuhi kendala linear masalah linear programming. Berikut ini adalah langkah-langkah dalam penyelesaian metode branch and bound untuk masalah maksimisasi: • Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari solusi IP yang optimum. Pada awalnya tetapkan z = −∞ dan i = 0. • Langkah 1 Subproblem LP(i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem LP(i) diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. 1. Jika LPi terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi IP yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan. 2. Jika LPi tidak terukur, lanjutkan ke Langkah 2 untuk melakukan pencabangan LPi. Menurut Winston (2004) LPi dikatakan terukur jika terdapat kondisi sebagai berikut: 1. Subproblem menghasilkan solusi takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal bagi IP 2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimal dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimal ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem menghasilkan solusi optimal untuk masalah IP. 3. Nilai fungsi objektif optimal untuk subproblem tersebut tidak melebihi (untuk masalah maksimisasi) batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi. • Langkah 2 Pilih satu variabel xj yang nilai optimumnya, yaitu xj*, tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LPi. Singkirkan bidang [xj*] < xj < [xj*]+1 dengan membuat dua bagian masalah LP yang berkaitan menjadi   dua batasan yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan yaitu: xj ≤ [xj*] dan xj ≥ [xj*]+1 dengan [xj*] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan xj*. Kembali ke Langkah 1. (Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman mengenai metode branch and bound diberikan contoh sebagai berikut: Contoh 1: Misalkan diberikan IP sebagai berikut: Maksimumkan z = 5x1 + 4x2 terhadap x1 + x2 ≤ 5 (6) 10x1 + 6x2 ≤ 45 x1, x2 ≥ 0 dan integer Solusi optimal PL-relaksasi dari masalah IP (6) adalah x1=3.75, x2=1.25, dan z =23.75 (lihat Lampiran 1). Jadi batas atas nilai optimal fungsi objektif masalah IP (6) adalah z= 23.75. Daerah fisibel PL-relaksasi masalah (6) ditunjukkan pada Gambar 1 (daerah yang diarsir) sedangkan titik-titik merupakan solusi fisibel masalah IP (6). x2 x1 Gambar 1 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (6).   Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang bernilai pecahan (noninteger). Karena x1= 3.75 dan x2=1.25 variabel bernilai pecahan maka dipilih salah satu variabel, misalkan x1, sebagai dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasi dari IP (6) diberi nama Subproblem 1 dan Subproblem 1 dicabangkan atas x1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu: • Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala x1 ≤ 3 • Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala x1 ≥ 4. 4    Daerah fisibel untuk kedua subproblem di atas diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2. x2 Subproblem 2 Subproblem 3 x1 Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 (x1 ≤ 3) dan Subproblem 3 (x1≥4). Setiap titik (solusi) fisibel dari IP (6) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan, misalkan dipilih Subproblem 3. Solusi optimal untuk Subproblem 3 ini adalah x1 = 4, x2 = 0.8333 dan z = 23.333, (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 3). Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 3 bukan solusi integer, maka Subproblem 3 dicabangkan atas x2 sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni: • Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala x2 ≥ 1; • Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala x2 ≤ 0. Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 2, 4 dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya dengan aturan LIFO (last in first out). Dengan aturan ini berarti dipilih Subproblem 4 atau Subproblem 5. Subproblem 4 takfisibel (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4) maka   subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal, yang tersisa adalah Subproblem 2 dan Subproblem 5. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5, yang kemudian menghasilkan solusi optimal x1=4.5, x2=0 dan z=22.5 (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 5). Karena x1=4.5 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan atas x1, sehingga diperoleh: • Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah kendala x1≥5 ; • Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah kendala x1≤4. Misalkan dipilih Subproblem 6. Ternyata Subproblem 6 ini juga takfisibel (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 6), sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal. Dengan demikian subproblem-subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 2 dan Subproblem 7. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 7. Subproblem ini kemudian menghasilkan solusi opimal x1=4, x2= 0, dan z= 20 (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 7). Dapat dilihat bahwa solusi optimal subproblem ini semuanya berupa integer, sehingga merupakan kandidat solusi untuk IP (6). Nilai z pada kandidat solusi ini merupakan batas bawah bagi nilai optimal IP. Penyelesaian Subproblem 2 menghasilkan solusi optimal x1= 3, x2= 2 dan z= 23 (lihat Lampiran 1 bagian 2). Batas bawah yang ditetapkan dari solusi optimal Subproblem 7 tidak lebih baik dari nilai solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 2. Dengan demikian, nilai solusi optimal Subproblem 2, yakni z = 23 menjadi batas bawah yang baru. Semua solusi optimal telah berupa integer dan tidak perlu dilakukan pencabangan kembali, sehingga solusi optimal dari Subproblem 2 merupakan solusi optimal IP (6), yakni x1= 3, x2= 2 dan z= 23. Pohon pencabangan yang menunjukkan proses penyelesaian masalah IP (6) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3. 5    t=1 Subproblem 1 x1=3.75, x2=1.25, dan z = 23.75 x1 ≤ 3 x1 ≥ 4 Subproblem 3 x1=4, x2=0.8333, dan z = 23.333 t=2 x2≤ 0 x2≥1 t=3 Subproblem 2 x1=3, x2=2, dan z = 23 batas bawah bagi IP( 6) atau Solusi Optimal t=7 Subproblem 4 Solusi takfisibel Subproblem 5 x1=4.5, x2=0, dan z = 22.5 t=4 x1≤4 x1≥5 t=5 Subproblem 6 Solusi takfisibel Subproblem 7 x1=4, x2=0, dan z = 20 batas bawah, Kandidat Solusi Optimal t=6 Gambar 3 Pencabangan yang dilakukan metode branch and bound untuk menentukan solusi IP dengan t menyatakan urutan penyelesaian subproblem.   2.4 Graf Definisi 7 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E), dengan V himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V, dinotasikan dengan G = (V, E). Elemen V dinamakan simpul atau vertex dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan dengan {i, j} , yakni sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan i, j ∈V . (Foulds 1992) Graf seperti pada Definisi 7 disebut juga graf takberarah. Ilustrasi graf takberarah dapat dilihat pada Gambar 4. G  1 2 Definisi 8 (Digraf) Graf berarah (directed graph/digraph) adalah pasangan terurut (V, A) dengan V himpunan takkosong dan berhingga, dan A adalah himpungan pasangan terurut dari elemen-elemen di V. Elemen-elemen dari A disebut arc (sisi berarah) dan dituliskan sebagai ( i , j ) , dengan i, j ∈V . (Foulds 1992) Ilustrasi graf berarah dapat dilihat pada gambar pada Gambar 5. G’ 1 2 4 3 5 4 3 5 Gambar 4 Graf G = (V, E). Graf pada Gambar 4 mempunyai himpunan simpul V = {1,2,3,4,5} dan himpunan sisi E = {{1,2},{1,4},{2,3},{3,4},{2,4},{3,5},{4,5}}.     Gambar 5 Graf G’= (V,A). Graf pada Gambar 5 memiliki himpunan simpul V ={1,2,3,4,5} dan himpunan sisi berarah A={(1,4),(1,2),(4,2),(2,3),(4,3),(3,5),(5,4)} 6    Definisi 9 (Graf Berbobot) Suatu graf G = (V,E) atau graf berarah D = (V,A) dikatakan berbobot jika terdapat fungsi w : E → ℜ atau l : A → ℜ (dengan ℜ himpunan bilangan real) yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau A. (Foulds 1992) D: 6  1  Gambar 6 Digraf berbobot D=(V,A). Fungsi w : A → ℜ untuk digraf berbobot D = (V, A) pada Gambar 6, dengan: w(1,2)=2; w(1,3)=4; w(2,3)=1; w(2,4)=4; w(2,5)=2; w(3,5)=3; w(5,4)=3; w(4,6)=2; w(5,6)=2 merupakan fungsi bobot pada digraf D. 2.5 Frekuensi pengiriman barang Frekuensi pengiriman barang (f) adalah ukuran banyaknya putaran ulang pengiriman barang dalam selang periode waktu (t) yang diberikan. Secara matematis rumus mencari , dengan kata lain frekuensi adalah f = misalnya bila waktu pengiriman barang dua periode maka frekuensi pengiriman adalah setengah. (Tipler 2001)     III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH   3.1 Deskripsi Masalah Terjadinya bencana alam akan menyebabkan entitas yang tertimpa bencana kehilangan sumber-sumber daya sehingga mengalami disfungsi. Kondisi seperti ini tentunya akan menimbulkan permintaan terhadap bantuan yang ditujukan kepada masyarakat di luar wilayah bencana. Untuk masyarakat di luar wilayah bencana, bencana alam akan menumbuhkan rasa simpati dan keinginan memberikan bantuan kepada korban bencana alam. Di dalam pendistribusian barang bantuan diperlukan sarana transportasi untuk mendistribusikan barang bantuan tersebut, sarana transportasi yang digunakan dapat berupa: transportasi darat, laut, udara dan kereta api. Banyaknya sarana transportasi yang tersedia di titik pasokan maupun di titik permintaan adalah berbeda. Selain itu kapasitas muat setiap sarana transportasi juga berbeda. Struktur model distribusi barang bantuan penanggulangan bencana alam terdiri atas beberapa komponen yang terlibat, yaitu titik pemasok, titik persinggahan, titik permintaan atau titik tujuan, dan titik tunggu. Deskripsi untuk setiap titik yang terlibat adalah sebagai berikut: 1. Titik pasokan adalah titik penampungan barang bantuan di titik tersebut maupun titik penampungan dari titik pasokan yang lain atau titik yang memiliki komoditas barang bantuan yang diperlukan dan kemudian akan didistribusikan dengan menggunakan sarana transportasi yang   tersedia di titik pasokan maupun titik permintaan. 2. Titik permintaan atau titik tujuan, yaitu titik yang memiliki sejumlah permintaan atau kebutuhan barang bantuan, yang akan dikirim oleh titik pasokan maupun titik persinggahan. 3. Titik persinggahan yaitu titik permintaan yang juga sekaligus berperan sebagai titik pasokan. Bila titik persinggahan dipasok sejumlah barang yang jumlahnya lebih besar dari jumlah kebutuhan, maka akan terdapat sejumlah kelebihan barang yang selanjutnya dapat dikirimkan ke titik permintaan yang lainnya. 4. Titik tunggu yaitu titik yang digunakan seolah-olah untuk menampung sementara komoditas yang dikirim lebih dari satu periode. Misalnya bila pengiriman barang memerlukan waktu selama tiga periode, maka di akhir periode t permintaan belum terpenuhi dan baru terpenuhi setelah pada periode t+3. Dalam proses penghitungan yang dilakukan, barang pasokan tersebut seolah-olah ditampung sementara di titik tunggu, dan akan menunggu di titik tunggu tersebut sampai tiga periode kemudian. 3.2 Formulasi Masalah Model di kasus ini melibatkan beberapa tempat yang berfungsi sebagai titik pasokan dan titik permintaan. Misalkan tempat A, B dan C terkena bencana alam sehingga membutuhkan barang bantuan dengan kata lain sebagai titik permintaan, sedangkan D, E, F 6    Definisi 9 (Graf Berbobot) Suatu graf G = (V,E) atau graf berarah D = (V,A) dikatakan berbobot jika terdapat fungsi w : E → ℜ atau l : A → ℜ (dengan ℜ himpunan bilangan real) yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau A. (Foulds 1992) D: 6  1  Gambar 6 Digraf berbobot D=(V,A). Fungsi w : A → ℜ untuk digraf berbobot D = (V, A) pada Gambar 6, dengan: w(1,2)=2; w(1,3)=4; w(2,3)=1; w(2,4)=4; w(2,5)=2; w(3,5)=3; w(5,4)=3; w(4,6)=2; w(5,6)=2 merupakan fungsi bobot pada digraf D. 2.5 Frekuensi pengiriman barang Frekuensi pengiriman barang (f) adalah ukuran banyaknya putaran ulang pengiriman barang dalam selang periode waktu (t) yang diberikan. Secara matematis rumus mencari , dengan kata lain frekuensi adalah f = misalnya bila waktu pengiriman barang dua periode maka frekuensi pengiriman adalah setengah. (Tipler 2001)     III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH   3.1 Deskripsi Masalah Terjadinya bencana alam akan menyebabkan entitas yang tertimpa bencana kehilangan sumber-sumber daya sehingga mengalami disfungsi. Kondisi seperti ini tentunya akan menimbulkan permintaan terhadap bantuan yang ditujukan kepada masyarakat di luar wilayah bencana. Untuk masyarakat di luar wilayah bencana, bencana alam akan menumbuhkan rasa simpati dan keinginan memberikan bantuan kepada korban bencana alam. Di dalam pendistribusian barang bantuan diperlukan sarana transportasi untuk mendistribusikan barang bantuan tersebut, sarana transportasi yang digunakan dapat berupa: transportasi darat, laut, udara dan kereta api. Banyaknya sarana transportasi yang tersedia di titik pasokan maupun di titik permintaan adalah berbeda. Selain itu kapasitas muat setiap sarana transportasi juga berbeda. Struktur model distribusi barang bantuan penanggulangan bencana alam terdiri atas beberapa komponen yang terlibat, yaitu titik pemasok, titik persinggahan, titik permintaan atau titik tujuan, dan titik tunggu. Deskripsi untuk setiap titik yang terlibat adalah sebagai berikut: 1. Titik pasokan adalah titik penampungan barang bantuan di titik tersebut maupun titik penampungan dari titik pasokan yang lain atau titik yang memiliki komoditas barang bantuan yang diperlukan dan kemudian akan didistribusikan dengan menggunakan sarana transportasi yang   tersedia di titik pasokan maupun titik permintaan. 2. Titik permintaan atau titik tujuan, yaitu titik yang memiliki sejumlah permintaan atau kebutuhan barang bantuan, yang akan dikirim oleh titik pasokan maupun titik persinggahan. 3. Titik persinggahan yaitu titik permintaan yang juga sekaligus berperan sebagai titik pasokan. Bila titik persinggahan dipasok sejumlah barang yang jumlahnya lebih besar dari jumlah kebutuhan, maka akan terdapat sejumlah kelebihan barang yang selanjutnya dapat dikirimkan ke titik permintaan yang lainnya. 4. Titik tunggu yaitu titik yang digunakan seolah-olah untuk menampung sementara komoditas yang dikirim lebih dari satu periode. Misalnya bila pengiriman barang memerlukan waktu selama tiga periode, maka di akhir periode t permintaan belum terpenuhi dan baru terpenuhi setelah pada periode t+3. Dalam proses penghitungan yang dilakukan, barang pasokan tersebut seolah-olah ditampung sementara di titik tunggu, dan akan menunggu di titik tunggu tersebut sampai tiga periode kemudian. 3.2 Formulasi Masalah Model di kasus ini melibatkan beberapa tempat yang berfungsi sebagai titik pasokan dan titik permintaan. Misalkan tempat A, B dan C terkena bencana alam sehingga membutuhkan barang bantuan dengan kata lain sebagai titik permintaan, sedangkan D, E, F 7    sebagai tempat pasokan. Model yang dikembangkan dalam kasus ini bertujuan menggambarkan proses pendistribusian barang bantuan yang tersedia di tempat D, E, F dengan menggunakan sarana transportasi dan akses transportasi yang tersedia di titik A, B, C, D, E, F untuk memenuhi kebutuhan barang bantuan di titik A, B, C. Dalam kasus ini banyaknya barang bantuan yang dibutuhkan di titik A, B, C lebih besar daripada banyaknya barang bantuan yang terkumpul di titik D, E, F sehingga memungkinkan terjadinya kekurangan di titik A, B, C. Model ini bertujuan meminimumkan kekurangan barang bantuan di titik permintaan dan menentukan alokasi kendaraan yang dipakai untuk mendistribusikan barang bantuan di setiap titik. 3.3 Model Matematika Masalah pendistribusian logistik bencana alam dapat dinyatakan dalam model PILP (Pure 0−1 Integer Linear Programming). Tujuan utama dalam model pendistribusian logistik bencana alam ini adalah meminimumkan jumlah permintaan yang tidak terpenuhi untuk semua jenis komoditas pada seluruh titik permintaan selama waktu perencanaan. Misalkan T : lamanya waktu pendistribusian barang bantuan C : himpunan semua titik (pasokan dan permintaan) M : himpunan moda transportasi CD : himpunan titik permintaan logistik CS : himpunan titik pasokan logistik A : himpunan jenis komoditas Vm : himpunan tipe kendaraan untuk setiap moda transportasi m. topm : lama waktu yang direncanakan untuk pendistribusian komoditas dari titik o sampai di titik p menggunakan transportasi moda m; topm = 0 untuk yang tidak ada jaringan atau akses dari titik o ke titik p fopvm : frekuensi pengiriman komoditas dari titik o sampai di titik p menggunakan transportasi tipe v moda m dengan periode pengiriman kurang dari atau sama dengan satu periode, fopvm bernilai nol jika tidak ada jaringan atau akses dari titik o ke titik p. gopvm : frekuensi pengiriman komoditas dari titik o sampai di titik p menggunakan transportasi tipe v moda m dengan periode pengiriman lebih dari satu periode gopvm bernilai kurang dari satu, karena proses pengiriman lebih   daot : aovmt : ωa cvm : : Zaopvmt : Daot : Yopvmt : sopvmt : Saopvmt : dari satu periode, gopvm bernilai nol jika tidak ada jaringan atau akses dari titik o ke titik p. banyaknya komoditas tipe a yang diminta atau yang ditawarkan di titik o pada waktu t (unit) banyaknya kendaraan transportasi moda m yang tersedia di titik o pada waktu t (unit) berat dari komoditas a (kg) kapasitas muat transportasi tipe v moda m (kg). banyaknya komoditas tipe a yang dikirim dari titik o ke titik p menggunakan transportasi tipe v moda m pada waktu t (unit) banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi untuk komoditas tipe a di titik o pada waktu t (unit) banyaknya sarana transportasi tipe v, moda m yang tersedia dan dikirim dari titik o ke titik p pada waktu t (unit) banyaknya transportasi tipe v, moda m yang menunggu di titik o dan akan menuju ke titik p pada waktu t (unit) banyaknya komoditas tipe a yang dikirim dari titik o ke titik p menggunakan transportasi tipe v moda m dan menunggu di titik tunggu pada waktu t (unit). Fungsi Objektif Minimumkan ∑ ∑ ∑D aot a∈ A o∈CD t∈T Kendala 1. Kendala keseimbangan aliran barang pada titik permintaan dan titik persinggahan, yaitu banyaknya komoditas yang didistribusikan dari titik o harus sama dengan banyaknya komoditas yang diterima oleh titik p. ⎡ ∑ ∑ ⎢− ∑ Z v∈Vm m∈M ⎣ p∈C apovmt ⎤ + ∑ Zaopvmt + ∑ Saopvmt ⎥ p∈C p∈C ⎦ −Daot = daot (∀a ∈ A, o ∈ CD, t ∈T ) 2. Kendala keseimbangan aliran barang pada titik pasokan, yaitu banyaknya komoditas yang didistribusikan dari titik o harus lebih kecil atau sama dengan banyaknya komoditas yang tersedia oleh titik o. 8    ⎡ ∑ ∑ ⎢⎢− ∑Z apovmt + ∑Z v∈Vm m∈M ⎣ p∈C p∈C ≤ daot (∀a ∈ A, o ∈ CS, t ∈T ) aopvmt + ∑S p∈C ⎤ aopvmt ⎥ ⎥⎦ 3. Kendala kapasitas angkut sarana transportasi, yaitu kapasitas angkut dari kendaraan harus lebih besar atau sama dengan total berat komoditas yang akan didistribusikan. ∑Y v∈ V m opvmt ∑S v∈V m opvmt × c vm × f opvm ≥ ∑ω a Z aopvmt × cvm × g opvm ≥ ∑ω a Z aopvmt a∈ A a∈ A (∀{o, p} ∈ C , m ∈ M , t ∈ T )   4. 5. Banyaknya sarana transportasi yang mengirimkan barang ke titik-titik permintaan harus lebih kecil atau sama dengan banyaknya sarana transportasi yang tersedia di titik pasokan. ∑Y p∈c o p vm t + s o p vm t ≤ a o vm t (∀o ∈ C, v ∈Vm, m ∈ M , t ∈T ) Kendala ketaknegatifan Yopvmt ≥ 0 dan integer Zaopvmt ≥ 0 Daot ≥ 0 dan integer sopvmt ≥ 0 dan integer Kendala keseimbangan sarana transportasi, yaitu banyaknya kendaraan yang tiba atau masuk di titik o harus sama dengan kendaraan yang menunggu dan keluar dari titik o. ∑ Y povm t − s opvm t = ∑ Yopvm t p∈C p∈C (∀o ∈ C, v ∈Vm, m ∈ M , t ∈ T ) IV PENYELESAIAN MASALAH PENDISTRIBUSIAN LOGISTIK BENCANA ALAM Dalam permasalahan ini misalkan terjadi bencana letusan gunung Merapi. Bencana ini mengakibatkan kerusakan di setiap wilayah yang berdekatan dengan gunung Merapi. Wilayah yang terkena dampak letusan gunung Merapi antara lain kota Bantul, Sleman dan Yogyakarta. Bencana letusan gunung merapi menumbuhkan rasa simpati dari masyarakat di luar wilayah bencana untuk memberikan bantuan ke korban bencana. Daerah yang memberikan bantuan adalah kota Klaten, Solo dan Wonogiri. Masalah pendistribusian bantuan letusan gunung Merapi dapat dimodelkan sebagai berikut. Himpunan titik (kota) yang terlibat dalam pendistribusian barang (C) yaitu kota Bantul, Sleman, Yogyakarta, Klaten, Solo, Wonogiri. Himpunan barang atau komoditas yang didistribusikan (A) misalkan terdiri atas makanan dan obat-obatan. Enam kota yang ada dalam permasalahan ini memiliki karakteristik yang berbeda, yaitu ada titik (kota) yang kelebihan barang, dalam hal ini titik tersebut akan menjadi titik pasokan (CS) yaitu kota Klaten, Solo, Wonogiri. Dan ada titik (kota)   yang kekurangan barang (CD) yaitu kota Bantul, Sleman, dan Yogyakarta. Selain perbedaan karakteristik titik (kota), dalam kasus ini terdapat juga kendala mengenai banyaknya sarana transportasi yang tersedia di setiap titik (aomt). Setiap sarana transportasi memiliki kapasitas muatan (cvm) dan frekuensi pengiriman dari titik satu ke titik yang lain (fopvm). Dalam model ini menggunakan beberapa asumsi. Asumsi yang digunakan adalah: 1. banyaknya sarana transportasi yang tersedia di setiap titik (aomt) pada setiap periode adalah tetap, artinya banyaknya sarana transportasi yang tersedia di setiap titik pada periode I sama dengan banyaknya sarana transportasi yang tersedia di periode II, dan seterusnya sampai lama pendistribusian (T) (dalam kasus ini misalkan T=5 periode). 2. waktu pendistribusian barang bantuan (t) dimulai pada hari kelima karena pada hari kelima baru diketahui secara pasti berapa banyak barang yang dibutuhkan di daerah yang terkena bencana dan banyaknya barang bantuan yang terkumpul di daerah 8    ⎡ ∑ ∑ ⎢⎢− ∑Z apovmt + ∑Z v∈Vm m∈M ⎣ p∈C p∈C ≤ daot (∀a ∈ A, o ∈ CS, t ∈T ) aopvmt + ∑S p∈C ⎤ aopvmt ⎥ ⎥⎦ 3. Kendala kapasitas angkut sarana transportasi, yaitu kapasitas angkut dari kendaraan harus lebih besar atau sama dengan total berat komoditas yang akan didistribusikan. ∑Y v∈ V m opvmt ∑S v∈V m opvmt × c vm × f opvm ≥ ∑ω a Z aopvmt × cvm × g opvm ≥ ∑ω a Z aopvmt a∈ A a∈ A (∀{o, p} ∈ C , m ∈ M , t ∈ T )   4. 5. Banyaknya sarana transportasi yang mengirimkan barang ke titik-titik permintaan harus lebih kecil atau sama dengan banyaknya sarana transportasi yang tersedia di titik pasokan. ∑Y p∈c o p vm t + s o p vm t ≤ a o vm t (∀o ∈ C, v ∈Vm, m ∈ M , t ∈T ) Kendala ketaknegatifan Yopvmt ≥ 0 dan integer Zaopvmt ≥ 0 Daot ≥ 0 dan integer sopvmt ≥ 0 dan integer Kendala keseimbangan sarana transportasi, yaitu banyaknya kendaraan yang tiba atau masuk di titik o harus sama dengan kendaraan yang menunggu dan keluar dari titik o. ∑ Y povm t − s opvm t = ∑ Yopvm t p∈C p∈C (∀o ∈ C, v ∈Vm, m ∈ M , t ∈ T ) IV PENYELESAIAN MASALAH PENDISTRIBUSIAN LOGISTIK BENCANA ALAM Dalam permasalahan ini misalkan terjadi bencana letusan gunung Merapi. Bencana ini mengakibatkan kerusakan di setiap wilayah yang berdekatan dengan gunung Merapi. Wilayah yang terkena dampak letusan gunung Merapi antara lain kota Bantul, Sleman dan Yogyakarta. Bencana letusan gunung merapi menumbuhkan rasa simpati dari masyarakat di luar wilayah bencana untuk memberikan bantuan ke korban bencana. Daerah yang memberikan bantuan adalah kota Klaten, Solo dan Wonogiri. Masalah pendistribusian bantuan letusan gunung Merapi dapat dimodelkan sebagai berikut. Himpunan titik (kota) yang terlibat dalam pendistribusian barang (C) yaitu kota Bantul, Sleman, Yogyakarta, Klaten, Solo, Wonogiri. Himpunan barang atau komoditas yang didistribusikan (A) misalkan terdiri atas makanan dan obat-obatan. Enam kota yang ada dalam permasalahan ini memiliki karakteristik yang berbeda, yaitu ada titik (kota) yang kelebihan barang, dalam hal ini titik tersebut akan menjadi titik pasokan (CS) yaitu kota Klaten, Solo, Wonogiri. Dan ada titik (kota)   yang kekurangan barang (CD) yaitu kota Bantul, Sleman, dan Yogyakarta. Selain perbedaan karakteristik titik (kota), dalam kasus ini terdapat juga kendala mengenai banyaknya sarana transportasi yang tersedia di setiap titik (aomt). Setiap sarana transportasi memiliki kapasitas muatan (cvm) dan frekuensi pengiriman dari titik satu ke titik yang lain (fopvm). Dalam model ini menggunakan beberapa asumsi. Asumsi yang digunakan adalah: 1. banyaknya sarana transportasi yang tersedia di setiap titik (aomt) pada setiap periode adalah tetap, artinya banyaknya sarana transportasi yang tersedia di setiap titik pada periode I sama dengan banyaknya sarana transportasi yang tersedia di periode II, dan seterusnya sampai lama pendistribusian (T) (dalam kasus ini misalkan T=5 periode). 2. waktu pendistribusian barang bantuan (t) dimulai pada hari kelima karena pada hari kelima baru diketahui secara pasti berapa banyak barang yang dibutuhkan di daerah yang terkena bencana dan banyaknya barang bantuan yang terkumpul di daerah 9    pasokan, serta ketersediaan sarana transportasi untuk mendistribusikan barang bantuan di setiap titik. 3. Permintaan yang tidak terpenuhi dan barang yang tidak terdistribusikan di setiap periode akan diakumulasikan di periode berikutnya. Gambar 7 menjelaskan bahwa akses yang tersedia di setiap kota berbeda. Setiap kota memiliki akses untuk keluar ke kota lain dan juga akses untuk masuk ke kota tersebut. Misalkan akses dari kota Bantul menuju kota Sleman dan sebaliknya adalah memakai moda kereta api dan udara sedangkan dari kota Sleman menuju Klaten dan sebaliknya menggunakan moda darat dan udara. Himpunan moda transportasi (M) yang digunakan dalam proses pendistribusian barang bantuan adalah transportasi darat dan kereta api. Di dalam moda transportasi (M) terdapat tipe kendaraan untuk setiap moda (Vm). Dalam kasus ini transportasi moda darat menggunakan tiga tipe kendaraan sedangkan moda kereta api menggunakan satu tipe kendaraan. Klaten 4 keterangan: jalur darat jalur kereta api Sleman 2 Yogyakarta 1 3 Titik Pasokan Bantul 6 Wonogiri Titik Permintaan 5 Solo Titik (C) 1 2 3 4 5 6 Kota Bantul Sleman Yogyakarta Klaten Solo Wonogiri (BTL) (SLM) (JOG) (KLT) (SOL) (WNG) Gambar 7 Model distribusi barang bantuan. Untuk mengetahui banyaknya barang yang diminta dan ditawarkan oleh setiap titik (kota) di setiap periode sebelum proses pendistribusian atau sebelum diakumulasikan ke periode berikutnya dapat dilihat di Tabel 1. Tabel 1 Banyaknya barang yang diminta dan ditawarkan oleh setiap titik di setiap periode Komoditas Periode (Kota) I II III IV V Makanan (BTL) −100 −200 −100 −100 −100 Makanan (SLM) −400 −400 −350 −300 −300 Makanan (JOG) −100 −150 −150 −200 −200 Makanan (KLT) 200 200 250 300 250 Makanan (SOL) 150 200 100 100 200 Makanan (WNG) 300 250 250 200 250 Obat-obatan (BTL) −250 −175 −200 −200 −200 Obat-obatan (SLM) −250 −200 −200 −150 −100 Obat-obatan (JOG) −100 −125 −150 −200 −100 Obat-obatan (KLT) 100 200 150 150 150 Obat-obatan (SOL) 150 200 200 200 150 Obat-obatan (WNG) 200 200 200 250 100 Keterangan: tanda (−) berarti titik tersebut kekurangan barang. Berat komoditas (ωa) 3 ton untuk makanan dan 2 ton untuk obat-obatan per unit barang.   10    Dari Tabel 1 dapat diperoleh banyaknya komoditas yang tersedia (daot) di setiap titik, baik titik penawaran maupun titik permintaan, pada setiap periode waktu sebelum proses pendistribusian. Data ketersediaan sarana transportasi (aomt) dan frekuensi pengangkutan antarkota (fopvm) untuk setiap jenis sarana transportasi di setiap periode untuk uji coba model dapat dilihat di Lampiran 2. Dari studi kasus, notasi yang digunakan adalah sebagai berikut: a ∈ A maka a = 1 untuk obat-obatan a = 2 untuk makanan o ∈ CD maka o = 1 untuk Kota Bantul o = 2 untuk Kota Sleman o = 3 untuk Kota Yogyakarta o ∈ CS maka o = 4 untuk Kota Klaten o = 5 untuk Kota Solo o = 6 untuk Kota Wonogiri v ∈ Vm maka v = 1 untuk kendaraan tipe 1 v = 2 untuk kendaraan tipe 2 v = 3 untuk kendaraan tipe 3 m ∈ M maka m = 1 untuk moda darat m = 2 untuk moda kereta api. Fungsi objektifnya adalah 2 meminimumkan 3 5 ∑∑∑ D aot terhadap kendala sebagai berikut: 1. Kendala keseimbangan aliran barang pada titik permintaan dan titik persinggahan, yaitu banyaknya komoditas yang didistribusikan dari titik o harus sama dengan banyaknya komoditas yang diterima oleh titik p. 2. Kendala keseimbangan aliran barang pada titik pasokan, yaitu banyaknya komoditas yang didistribusikan dari titik o harus lebih kecil atau sama dengan banyaknya komoditas yang tersedia oleh titik o. Data komoditas di setiap kota (titik) pada periode I Kuantitas Awal (unit) Kota Makanan Obat-obatan −100 −250 Bantul −400 −250 Sleman −100 −100 Yogyakarta 200 100 Klaten 150 150 Solo 300 200 Wonogiri   3. Kendala kapasitas angkut sarana transportasi, yaitu kapasitas angkut dari kendaraan harus lebih besar atau sama dengan total berat komoditas yang akan didistribusikan. 3 2 v =1 a =1 3 2 v =1 a =1 ∑ Yopvmt × cvm × fopvm ≥ ∑ ωa Zaopvmt ∑ Sopvmt × cvm × gopvm ≥ ∑ ωa Zaopvmt (∀{o, p} ∈ C , m ∈ M , t ∈ T )   4. Kendala keseimbangan sarana transportasi, yaitu banyaknya kendaraan yang tiba atau masuk di titik o harus sama dengan kendaraan yang menunggu dan keluar dari titik o. ∑ 6 Ypovmt − sopvmt = p =1 ∑Y opvmt p =1 (∀o ∈ C, v ∈ Vm, m ∈ M , t ∈ T ) 5. Banyaknya sarana transportasi yang mengirimkan barang ke titik-titik permintaan harus lebih kecil atau sama dengan banyaknya sarana transportasi yang ⎤ tersedia di titik pasokan. Saopvmt ⎥ 3 3 ⎡ 6 Z apovmt Z aopvmt − + + ⎢ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ v =1 m =1 ⎣ p =4 p =1 p =1 ⎦ − Daot = daot (∀a ∈ A, o ∈ CD, t ∈ T ) 2 2 6 a =1 o =1 t =1 3 3 3 ⎡ 6 ⎤ − + + Z Z Saopvmt ⎥ apovmt aopvmt ⎢ ∑ ∑∑ ∑ ∑ v =1 m =1 ⎣ p = 4 p =1 p =1 ⎦ ≤ daot (∀a ∈ A, o ∈ CS, t ∈ T ) 3 6 ∑Y opvmt + sopvmt ≤ aovmt p =1 (∀o ∈ C, v ∈ Vm, m ∈ M , t ∈ T ) Hasil dari uji coba model dengan menggunakan LINGO 8.0 beserta input data di Lampiran 2 pada periode I dapat dilihat di Lampiran 4 dan Gambar 8. 11    Bantul Klaten −100 −250 2 100 0 −25 200 100 100 0 0 2 1 125 Solo 100 Sleman 100 2 −400 −250 150 150 3 125 2 0 −25 47 0 1 Yogyakarta 25 1 297 100 10 Wonogiri −100 −100 6 300 200 0 100 3 0 Gambar 8 Ilustrasi pendistribusian barang bantuan pada periode I.   Keterangan: : truk tipe 1 : truk tipe 2 : truk tipe 3 : kereta api 80 100 : 80 unit makanan 100 unit obat-obatan x y : kuantitas awal barang bantuan atau kuantitas sebelum proses pendistribusian x y : kuantitas akhir barang bantuan atau kuantitas sesudah proses pendistribusian untuk titik pasokan, x unit makanan dan y unit obat-obatan untuk titik pasokan, x unit makanan dan y unit obat-obatan                       x                        : kuantitas awal barang bantuan atau kuantitas sebelum proses pendistribusian   y untuk titik permintaan, x unit makanan dan y unit obat-obatan x y   : kuantitas awal barang bantuan atau kuantitas sesudah proses pendistribusian untuk titik permintaan, x unit makanan dan y unit obat-obatan. 12    Gambar 8 menunjukkan arus distribusi barang yang berasal dari daerah pasokan, yaitu Klaten, Solo, dan Wonogiri ke daerah permintaan, yaitu Bantul, Sleman, dan Yogyakarta pada periode I. Misalkan, kota Sleman sebagai kota permintaan membutuhkan barang bantuan sebanyak 400 unit makanan dan 250 unit obat-obatan. Sedangkan untuk kota Bantul membutuhkan 100 unit makanan dan 250 obat-obatan. Dalam proses pendistribusian barang bantuan, kota Wonogiri mengirimkan barang bantuan sebanyak 297 unit makanan menggunakan enam unit truk tipe 1 ke kota Sleman. Selain kota Wonogiri, kota Solo dan kota Klaten juga mengirimkan barang bantuan ke kota Sleman. Kota Solo mengirimkan barang bantuan sebanyak 125 unit obat-obatan dan tiga unit makanan menggunakan dua unit truk tipe 1 ke kota Sleman. Kota Klaten mengirimkan barang bantuan ke kota Sleman sebanyak seratus unit makanan dan seratus unit obat-obatan menggunakan dua unit truk tipe 1 dan satu unit kereta api. Setelah kota Wonogiri, Solo, dan Klaten mengirimkan barang bantuan pada periode I, kuantitas permintaan barang bantuan yang ada di kota Sleman menjadi 0 unit makanan dan masih membutuhkan 25 unit obat-obatan. Artinya kebutuhan kota Sleman terhadap makanan telah terpenuhi, sedangkan permintaan yang tidak terpenuhi terhadap obat-obatan di kota Sleman akan diakumulasikan di periode II. Kota Bantul mendapatkan bantuan dari kota Klaten sebanyak 100 unit makanan yang dikirim menggunakan truk tipe 2 sebanyak dua unit dalam dua kali pengiriman. Kota Bantul juga mendapat bantuan 225 unit obat-obatan dengan rincian 125 unit obat-obatan dikirim menggunakan sepuluh unit truk tipe 3 dan seratus unit obat-obatan dikirim menggunakan satu unit kereta api. Setelah proses pendistribusian pada periode I kota Bantul masih membutuhkan bantuan berupa obatobatan sebanyak 25 unit. Banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi pada periode I di kota Sleman selanjutnya akan diakumulasikan pada permintaan di periode II. Data awal komoditas di periode II diperoleh dengan cara mengakumulasi data kuantitas akhir dari periode I dengan data yang ada di Tabel 1 periode II yang dapat dijelaskan pada Tabel 2. Data awal komoditas semua periode pendistribusian dapat dilihat di Lampiran 2. Untuk gambar proses pendistribusian barang bantuan pada periode II sampai periode V dapat dilihat di Lampiran 3. Tabel 2 Data komoditas di setiap kota (titik) pada periode II Kuantitas Akhir Data Tabel 1 periode II periode I (unit) (unit) Kota Makan an Obatobatan Makanan −200 Bantul BTL 0 −25 −400 Sleman SLM 0 −25 −150 Yogyakarta JOG 0 −100 200 Klaten KLT 0 0 200 Solo SOL 47 0 250 Wonogiri WNG 3 0 Keterangan: tanda (−) berarti titik tersebut kekurangan barang. Setelah proses penghitungan dilakukan dengan cara serupa untuk setiap periode sampai periode V, kuantitas akhir setiap periode pendistribusian barang bantuan dapat diketahui (lihat Lampiran 4). Dari data kuantitas akhir, dapat diketahui kota-kota yang kekurangan   Obatobatan −175 −200 −125 200 200 200 Kuantitas awal periode II (unit) Makanan −200 −400 −150 200 247 253 Obatobatan −200 −225 −225 200 200 200 barang bantuan beserta banyaknya barang bantuan yang tidak terpenuhi di titik permintaan di setiap periode. Banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi per kota untuk setiap jenis komoditas dapat dilihat di Tabel 3. 13    Tabel 3 Banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi per kota untuk setiap jenis komoditas Banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi (Unit) Periode Kota Jumlah Makanan Obat-obatan A B Bantul BTL 0 25 25 1 Sleman SLM 0 25 25 Yogyakarta JOG 0 100 100 TOTAL 0 150 150 Bantul BTL 0 0 0 2 Sleman SLM 50 50 100 Yogyakarta JOG 0 0 0 TOTAL 50 50 100 Bantul BTL 0 0 0 3 Sleman SLM 50 50 100 Yogyakarta JOG 0 0 0 TOTAL 50 50 100 Bantul BTL 32 0 32 4 Sleman SLM 18 0 18 Yogyakarta JOG 0 0 0 TOTAL 50 0 50 Bantul BTL 0 0 0 5 Sleman SLM 0 0 0 Yogyakarta JOG 0 0 0 TOTAL 0 0 0 Dengan menggunakan input data yang ada di Tabel 1 dan dengan menggunakan LINGO 8.0 yang ada di Lampiran 4, diperoleh hasil seperti yang tampak pada Tabel 3. Berdasarkan tabel tersebut dapat dilihat bahwa banyaknya permintaan yang tidak terpenuhi untuk setiap kota yang terkena bencana mengalami penurunan, hal ini disebabkan karena banyaknya bantuan yang terkumpul di daerah luar bencana yang kemudian disalurkan ke daerah bencana mengalami peningkatan,   sedangkan kebutuhan para korban bencana alam mengalami penurunan. Pada periode V seluruh kebutuhan para korban bencana alam telah terpenuhi. Dari hasil uji coba model dengan menggunakan progam LINGO 8.0, selain mendapatkan hasil jumlah permintaan yang tidak terpenuhi untuk setiap kota yang memerlukan barang bantuan, juga akan didapatkan hasil pengalokasian sarana transportasi di setiap kota.       V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Masalah pendistribusian logistik pada waktu bencana alam ini merupakan aplikasi model vehicle routing and scheduling problem (VRSP) yang bertujuan meminimumkan jumlah permintaan yang tidak terpenuhi di setiap tempat yang terkena bencana alam di setiap periodenya. Model ini juga bertujuan mengetahui sarana transportasi yang dialokasikan di setiap titik. Model pendistribusian logistik bencana alam ini dapat diselesaikan dengan menggunakan progam LINGO 8.0. Dari hasil uji coba model menggunakan progam LINGO 8.0, bahwa jumlah permintaan yang tidak terpenuhi mengalami peningkatan di setiap periodenya. Hal ini disebabkan karena jumlah permintaan yang tidak terpenuhi di periode sebelumnya akan diakumulasikan di periode selanjutnya. 5.2 Saran Pada karya ilmiah ini data yang digunakan adalah data hipotetik. Saran untuk penulisan karya ilmiah selanjutnya adalah menggunakan data sebenarnya di lapangan misalnya kasus bencana Gunung Merapi di Jogja dan Jawa Tengah. Dengan begitu, model ini membantu instansi, dalam hal ini pemerintah, dalam pendistribusian logistik dan pengalokasian sarana transportasi jika terjadi bencana di suatu daerah. Selain itu, dalam masalah ini perlu adanya pengembangan seperti penambahan banyaknya komoditas yang disalurkan. DAFTAR PUSTAKA Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. Springer-Verlag, New York. Garfinkel RS & Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. John Willey & Sons, New York. Taha HA. 1996. Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Daniel Wirajaya. Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research. Nash SG & Sofer A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill, New York. Tipler PA. 2001. Fisika untuk Sa

Dokumen baru