Feedback

Pengembangan Pendekatan Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Persoalan Sumber Tunggal Periode Ganda

Informasi dokumen
PENGEMBANGAN PENDEKATAN BERBASIS KENDALA UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN SUMBER TUNGGAL PERIODE GANDA TESIS Oleh INDRYANI 097021058/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 Universitas Sumatera Utara PENGEMBANGAN PENDEKATAN BERBASIS KENDALA UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN SUMBER TUNGGAL PERIODE GANDA TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Oleh INDRYANI 097021058/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 Universitas Sumatera Utara Judul Tesis : PENGEMBANGAN PENDEKATAN BERBASIS KENDALA UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN SUMBER TUNGGAL PERIODE GANDA Nama Mahasiswa : Indryani Nomor Pokok : 097021058 Program Studi : Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Herman Mawengkang ) Ketua (Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota Ketua Program Studi, Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 15 Juni 2011 Universitas Sumatera Utara Telah diuji pada Tanggal 15 Juni 2011 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc 2. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si Universitas Sumatera Utara ABSTRAK Secara umum, masalah yang dihadapi perusahaan dalam distribusi logistik adalah waktu produksi, lokasi persediaan, dan penempatan gudang untuk pelanggan. Tesis ini akan membahas masalah sumber tunggal periode ganda dalam lingkungan yang dinamis sehingga memungkinkan untuk menangani pola permintaan dinamis dari pelanggan. Tujuannya untuk meminimumkan biaya dan meningkatkan efisiensi. Masalah dirumuskan sebagai convex assignment problem yang mengandung general assignment problem. Dari hasil penelitian diperoleh model persamaan deterministik untuk meminimumkan fungsi resiko pada persoalan sumber tunggal periode ganda. Kata kunci : Persoalan sumber tunggal periode ganda, General assignment problem, Convex assignment problem i Universitas Sumatera Utara ABSTRACT Generally, problems were faced by supplier in logistic distribution are timing of production, the location of inventories, and the assignment of costumers to warehouses. This paper consider multi period single sourcing problem in dynamic environment that allows to handle the dynamic demand patterns from costumers.The aim to minimize costs and increase efficiency. The problem is formulated as convex assignment problems clearly contains general assignment problem. The result of the research is deterministic equivalent model to minimize the risk function in multi period single sourcing problem. Keywords : Multi period single sourcing problem, General assignment problem, Convex assignment problem ii Universitas Sumatera Utara KATA PENGANTAR Puji syukur tak berhingga penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberi rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tesis yang berjudul ”Pengembangan Pendekatan Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Persoalan Sumber Tunggal Periode Ganda” Tujuan penulisan tesis ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan guna memperoleh gelar Magister Sains (MSi) pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Selesainya penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, oleh sebab itu sudah sepantasnya pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc ( CTM ), Sp.A( K ) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, Bapak Prof. Dr. Ir. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan dosen pembimbing tesis, Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Pascasarjana Matematika FMIPA USU dan dosen pembimbing tesis yang telah banyak memberi bimbingan dan bantuan kepada penulis sejak awal penulisan hingga selesai tesis ini, Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc dan Bapak Drs. Suwarno Arriswoyo, MSi selaku Dosen Pembanding, Suami tercinta Azhar Papilaya dan Ananda tersayang Faza Ariq Azhar dan seluruh keluarga atas pengertian, bantuan dan dorongan selama penulis menyelesaikan masa studi, iii Universitas Sumatera Utara Seluruh dosen di magister matematika USU yang telah banyak membagi ilmu dan pengalaman dan staf tata usaha yang telah banyak membantu, Keluarga besar SMA Harapan 2 Medan dan SMA Negeri 1 Bintang Bayu, Serdang Bedagai, Rekan-rekan mahasiswa pasca sarjana matematika edukator untuk semua kebersamaan selama ini, Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Akhirnya, penulis berharap agar apa yang telah Bapak dan Ibu sumbangkan mendapatkan balasan dari Allah SWT. Dan, semoga tesis ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan. Amin. Medan, Juni 2011 Penulis, Indryani iv Universitas Sumatera Utara RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Medan pada tanggal 14 April 1983 dari pasangan Bapak Prabono (Alm) dan Sumiati, merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan di SD Negeri 106815di Marindal I, Deli Serdang pada tahun 1995, di SMP Negeri 22 Medan pada tahun 1998,dan di SMA Negeri 5 Medan pada tahun 2001. Pendidikan Tinggi penulis diselesaikan pada tahun 2006 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Medan dengan gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd). Riwayat pekerjaan formal penulis dimulai pada tahun 2006 sebagai guru di SMA Harapan 2 Medan dan SMK Panca Budi 2 Medan. Selanjutnya tahun 2009 memulai pengabdian sebagai pegawai negeri sipil di SMA Negeri 1 Bintang Bayu Kabupaten Serdang Bedagai sampai sekarang. Penulis menikah pada tahun 2007 dengan Azhar Papilaya dan dikaruniai seorang anak Faza Ariq Azhar pada tahun 2008. Pada tahun 2009 penulis mendapatkan beasiswa dari Pemerintah Provinsi Sumatera Utara dan Pemerintah Kota Medan atas rekomendasi dari SMA Harapan 2 Medan untuk melanjutkan studi pada Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. v Universitas Sumatera Utara DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK i ABSTRACT ii KATA PENGANTAR iii RIWAYAT HIDUP v DAFTAR ISI vi DAFTAR GAMBAR viii BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB 3 MANAJEMEN RANTAI SUPLAI 9 3.1 Distribusi dalam Lingkungan yang Dinamis 9 3.2 Koordinasi dalam Rantai Suplai 10 3.3 Model Dinamis untuk Mengevaluasi Desain Jaringan Logistik 13 3.4 Kelas Konveks Masalah Penugasan Berkapasitas 13 BAB 4 GENERALIZED ASSIGNMENT PROBLEM (GAP) 15 4.1 Pendahuluan 15 4.2 Model 16 4.3 Solusi Metode 17 vi Universitas Sumatera Utara 4.4 Relaksasi LP 17 BAB 5 MODEL MATEMATIKA UNTUK MPSSP 19 5.1 MPSSP 19 5.2 Convex Assignment Problem (Masalah Penugasan Cembung) 21 5.3 Model Persamaan Deterministik untuk Meminimumkan Fungsi Resiko 26 BAB 6 KESIMPULAN 29 DAFTAR PUSTAKA 30 vii Universitas Sumatera Utara DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 5.1 Jaringan produksi/ distribusi dan alokasinya (Ayuso, dkk. (2006) 19 5.2 Biaya persediaan 26 viii Universitas Sumatera Utara ABSTRAK Secara umum, masalah yang dihadapi perusahaan dalam distribusi logistik adalah waktu produksi, lokasi persediaan, dan penempatan gudang untuk pelanggan. Tesis ini akan membahas masalah sumber tunggal periode ganda dalam lingkungan yang dinamis sehingga memungkinkan untuk menangani pola permintaan dinamis dari pelanggan. Tujuannya untuk meminimumkan biaya dan meningkatkan efisiensi. Masalah dirumuskan sebagai convex assignment problem yang mengandung general assignment problem. Dari hasil penelitian diperoleh model persamaan deterministik untuk meminimumkan fungsi resiko pada persoalan sumber tunggal periode ganda. Kata kunci : Persoalan sumber tunggal periode ganda, General assignment problem, Convex assignment problem i Universitas Sumatera Utara ABSTRACT Generally, problems were faced by supplier in logistic distribution are timing of production, the location of inventories, and the assignment of costumers to warehouses. This paper consider multi period single sourcing problem in dynamic environment that allows to handle the dynamic demand patterns from costumers.The aim to minimize costs and increase efficiency. The problem is formulated as convex assignment problems clearly contains general assignment problem. The result of the research is deterministic equivalent model to minimize the risk function in multi period single sourcing problem. Keywords : Multi period single sourcing problem, General assignment problem, Convex assignment problem ii Universitas Sumatera Utara BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Perusahaan mengantarkan produknya ke pelanggan menggunakan jaringan distribusi logistik. Sebuah jaringan distribusi terdiri dari aliran produk dari produsen ke konsumen melalui titik-titik pemindahan, pusat distribusi (gudang), dan pengecer. Peranan jaringan distribusi dan manajemennya merupakan hal yang sangat penting bagi perusahaan untuk meningkatkan penjualan dan keuntungan. Dinamika lingkungan di mana rantai pasokan berkembang dan tuntutan untuk memperpendek masa siklus distribusi produk mewajibkan perusahaan merancang ulang jaringan distribusi logistik (Romeijn dan Morales (2001)). Beberapa masalah yang harus diperhatikan perusahaan adalah waktu produksi, lokasi persediaan, dan penempatan gudang untuk pelanggan. Keputusan yang diambil harus memperhatikan semua faktor dan dikoordinasikan dengan semua rantai pasokan demi terciptanya efisiensi. Koordinasi ini terutama diperlukan dalam lingkungan yang dinamis di mana pengaturan jaringan distribusi logistik kadang berubah secara signifikan dari perencanaan awal. Jaringan distribusi logistik diibaratkan terdiri dari satu set fasilitas, yang masing-masing terdiri dari satu pabrik produksi dengan sebuah gudang yang terhubung, dan satu set pelanggan. Masing-masing pabrik dengan kapasitas yang sudah diketahui dan terbatas. Dan setiap pelanggan ditempatkan atau dihubungkan ke fasilitas dengan perencanaan tertentu karena permintaan pelanggan biasanya membentuk pola musiman. Karena setiap gudang dihubungkan dengan pabrik tertentu, diasumsikan bahwa biaya transportasi antara pabrik dan gudang termasuk dalam biaya produksi, dan tidak ada transportasi antara sesama gudang. Keputusan yang dibuat harus memperhatikan i)Penempatan pelanggan untuk fasilitas dan ii)lokasi dan ukuran persediaan. Kedua hal tersebut harus dapat diatur dalam sebuah kebijakan di mana menempatkan pelanggan dengan fasilitas dengan memperhatikan lokasi dan jumlah persediaan harus dapat dioptimalkan sebagai fungsi penempatan pelanggan (Romeijn dan Morales (2001)). 1 Universitas Sumatera Utara 2 Masalah logistik di atas merupakan masalah sumber tunggal periode ganda (multi period single sourcing problem, MPSSP). MPPSP mampu menangani banyak variabel yang menjadi kendala atau pertimbangan dalam mengambil keputusan misalnya transportasi, persediaan, permintaan pasar, harga, dan lain-lain sehingga cocok untuk mengevaluasi kinerja jaringan distribusi logistik dalam lingkungan yang dinamis. Kebanyakan model yang diajukan selama ini mengandaikan lingkungan yang statis seperti pada Geoffrion dan Graves (1974), Banders dkk. (1986), dan Fleischmann (1993). Tetapi model tersebut hanya berlaku untuk situasi yang terbatas khususnya pola permintaan statis setiap saat. Keputusan produksi dan persediaan tidak dapat didukung dengan menggunakan model yang statis karena biasanya permintaan untuk sejumlah barang tertentu bersifat musiman. Sementara Duran (1987) mempelajari model dinamis untuk perencanaan produksi, pembotolan, dan distribusi bir, tetapi berfokus pada produksi, bukan dari proses dan distribusi. Chan, Muriel dan Simchi-Levi (1998) mempelajari masalah distribusi dinamis tak berkapasitas. Ayuso, dkk (2006) menyajikan algoritma untuk menyelesaikan MPSSP di bawah ketidakpastian dengan memperhatikan fungsi objektif resiko - rata-rata di mana didalamnya termasuk fungsi rata-rata dan fungsi peluang kelebihan berbobot. Resiko - rata-rata dari MPSSP memperhatikan penempatan setiap pelanggan ke fasilitas tertentu di awal perencanaan. Tesis ini akan membahas model yang dinamis sehingga memungkinkan untuk menangani pola permintaan dinamis dari pelanggan serta untuk mendukung keputusan persediaan secara eksplisit. Kendala-kendala yang ada dalam masalah jaringan distribusi logistik ditangani dengan baik dengan tujuan untuk meminimalkan biaya penempatan, penyediaan inventaris dan pemesanan yang belum terpenuhi. Biaya penempatan termasuk biaya produksi dan distribusi. Untuk dapat menangani banyak varian dalam masalah sumber tunggal periode ganda maka dilakukan dengan pendekatan berbasis kendala agar kendalakendala yang ada dapat ditangani dan diperoleh hasil yang optimal. Dengan menggunakan pendekatan solusi tunggal, diperkenalkan sebuah kelas umum dari Universitas Sumatera Utara 3 masalah penugasan konvek, yang memiliki sifat yaitu fungsi objektif dan daerah layak adalah konvek (cembung), dan keduanya terpisah dalam fasilitas. Kelas dari masalah penugasan konvek jelas berisi masalah penugasan umum yang biasa dikenal Generalized Assignment Problem (GAP). Salah satu varian dari masalah sumber tunggal periode ganda akan dibahas secara rinci dalam tulisan ini. Dalam varian ini setiap pabrik telah diketahui, terbatas, dan dalam waktu yang berbedabeda, berbagai kapasitas, setiap pelanggan perlu dilayani (ditempatkan) pada fasilitas yang unik melalui perencanaan yang baik, dan permintaan pelanggan menunjukkan pola musiman. Selain itu, akan ditambahkan pembahasan untuk meminimumkan fungsi resiko. 1.2 Perumusan Masalah Dalam masalah sumber tunggal periode ganda yang merupakan bagian dari masalah distribusi logistik, terdapat banyak kendala yang harus diperhatikan agar dapat diperoleh hasil yang optimum dengan meminimumkan biaya yang dikeluarkan. Rumusan masalah penelitian ini adalah apakah pengembangan pendekatan berbasis kendala mampu menyelesaikan persoalan sumber tunggal periode ganda? 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan pendekatan berbasis kendala untuk menyelesaikan persoalan sumber tunggal periode ganda sehingga biaya yang dikeluarkan menjadi minimum. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini membantu pengambilan keputusan yang tepat pada masalah sumber tunggal periode ganda dengan mengembangkan pendekatan berbasis kendala. Universitas Sumatera Utara 4 1.5 Metode Penelitian Metode penelitian yang dilakukan adalah bersifat literatur dengan mengumpulkan informasi dari referensi buku dan jurnal, atau dari penelitian sejenis yang pernah dilakukan sebelumnya. Bahasan dalam penelitian ini meliputi : 1. General Assignment Problem 2. Convex Assignment Problem untuk MPSSP 3. Model persamaan deterministik untuk meminimalkan fungsi resiko Universitas Sumatera Utara BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Masalah sumber tunggal periode ganda (multi-period single-sourcing problem (MPSSP)) adalah masalah menemukan penempatan/penugasan yang tepat, dari waktu ke waktu, dari pelanggan ke gudang sehingga setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu gudang di setiap periode, sesuai dengan keterbatasan kapasitas, sehingga total biaya transportasi dan persediaan diminimalkan (Romeijn dan Morales (1998)). MPSSP merupakan bagian dari masalah rantai suplai. Dalam MPSSP setiap titik permintaan dipenuhi oleh tepat satu sumber dengan memperhatikan kapasitasnya. Jaringan distribusi dianggap terdiri dari seperangkat fasilitas produksi dan penyimpanan, dan satu set pelanggan yang tidak mempunyai persediaan. Dengan memperhatikan kapasitas produksi, permintaan setiap pelanggan harus dihubungkan kepada fasilitas tunggal dalam setiap periode. Hal ini berhubungan dengan penempatan pelanggan untuk fasilitas, serta lokasi, waktu, dan ukuran persediaan. Diasumsikan bahwa setiap pabrik telah memiliki kapasitas yang telah diketahui dan terbatas dalam waktu yang berbeda-beda. Karena itu diasumsikan bahwa setiap gudang yang terhubung memiliki kapasitas pisik dan penyaluran yang tidak terbatas. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa kapasitas pisiknya cukup untuk mampu menyimpan akumulasi produksi dari pabrik-pabrik yang terhubung, bahkan jika pabrik memproduksi kapasitas penuh dalam setiap periode. Kapasitas penyaluran dari gudang juga cukup besar untuk mampu memenuhi berbagai kombinasi pelanggan yang dihubungkan dengan gudang tersebut. Jadi, setiap pelanggan perlu untuk ditempatkan ke fasilitas tertentu pada setiap periode. Romeijn dan Morales (2003) membahas acyclic case, di mana persediaan awal dan akhir adalah berubah-ubah, yang cocok untuk mengevaluasi strategi desain jaringan jangka panjang. Untuk mengurangi efek di awal dan akhir studi, periode perencanaan dilihat sebagai salah satu masa depan yang khas, yang akan berulang. Ini mengarah 5 Universitas Sumatera Utara 6 ke model siklik, di mana awal dan persediaan akhir adalah sama. (Romeijn dan Morales (2003)). Ferland, dkk. (1996) memperkenalkan kelas yang lebih umum dari masalah penugasan, dan menunjukkan penerapan pemrograman berorientasi objek dengan mengembangkan perangkat lunak berisi beberapa heuristik. Suatu kerangka kerja disajikan untuk memecahkan masalah strategis penempatan pengecer ke fasilitas dalam masalah sumber tunggal periode ganda lingkungan produk di bawah ketidakpastian dalam permintaan dari pengecer dan biaya produksi, persediaan, backlogging dan distribusi produk. Ayuso, dkk (2006) membahas model Stochastic Integer Programming (SIP) untuk meminimumkan fungsi resiko pada MPSSP. Tujuannya untuk meminimumkan fungsi yang terdiri dari biaya penempatan, penyediaan persediaan, dan backlogging dan fungsi atau pene- rimaan per unit, pada kasus minimasi cj menunjukkan biaya per unit. bi = Jumlah sumber daya ke-i(i = 1, 2, . . . m) yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit, berarti terdapat m jenis sumber daya. aij = Jumlah sumber daya i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit j. Berdasarkan uraian di atas dapat disusun bentuk umum model program linear berikut: 10 Maksimumkan (minimumkan) Zj = n j=1 cj xj Dengan kendala, n aijxij(≤, =, ≥)bi j=1 Untuk semua i(i = 1, 2, 3, . . . m), bi ≥ 0 dan Xj ≥ 0 Penyelesaian program linear memerlukan asumsi-asumsi tertentu yang harus dipenuhi. Menurut Dantzig (1963), asumsi yang harus dipenuhi adalah: a) Jika vektor x = (x1, x2, . . . , xn) bernilai positif dan faktor pembatas AX = b juga bernilai positif, maka pemecahan problem linear yaitu solusi layak (feasibel solution) dapat diperoleh. b) Problem linear dapat diselesaikan dengan baik, kalau koefisien aij tidak bernilai negatif; atau dengan kata lain semua koefisien adalah positif. c) Semua faktor pembatas merupakan fungsi linear atau F (x) = linear function atau aijxij = b1 d) Dengan demikian maka fungsi tujuannya juga merupakan fungsi linear, jadi: cjxj = F (x) fungsi linear Rumusan pernyataan di atas, dapat disimpulkan tiga hal sebagai berikut: 1. Bahwa dalam program linear harus ada fungsi tujuan (yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus fungsi z yaitu sesuatu yang dimaksimumkan atau diminimumkan; c adalah cost coefficient dan x adalah aktivitas. 2. Bahwa dalam program linear harus ada kendala yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus, dimana a = koefisien input-output dan b = jumlah sumberdaya yang tersedia. 3. Bahwa semua nilai x adalah positif atau sama dengan nol. Atau dengan kata lain, tidak boleh ada nilai x yang negatif. Dengan demikian besarnya nilai koefisien input-output tidak boleh negatif. Setiap problem program linear mempunyai ciri: 11 a. Solusi optimum tidak akan terjadi, bila didapatkan hubungan dengan nilainilai negatif dari variabel x b. Suatu solusi nonnegatif menghasilkan nilai finite pada objective function dengan kendala: Facility Location Problem (FLP) membahas masalah menemukan satu fasilitas baru sedemikian rupa sehingga biaya diminimalkan. Krarup dan Pruzan (1983) mengemukakan masalah lokasi fasilitas mempertimbangkan situasi dimana komoditasnya dipasok dan dipilih dari satu lokasi potensial, untuk memenuhi per- mintaan klien. Ada biaya tetap untuk pembukaan fasilitas dan biaya transportasi untuk memasok komoditi atau produk dari lokasi potensial untuk klien. Keputusan yang diambil berusaha untuk mengkombinasi biaya minimum dalam hal membuka lokasi fasilitas. CFLP mempertimbangkan situasi dimana fasilitas memiliki kapa- sitas yang disajikan dalam unit permintaan dan juga mengasumsikan bahwa setiap klien dapat dilayani dari lokasi berbeda. Oleh Sridharan (1995), CFLP dirumuskan sebagai: mn n min cijcij + fjyj i=1j=1 j=1 dengan kendala: m aixij ≤ bj i=1 m xij=1 j=1 Xij − yj ≤ Xij ∈ {0, 1} yj ∈ {0, 1} ∀i ∀i ∀i, ∀j ∀i, ∀j ∀j (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) 12 Fungsi tujuan adalah meminimumkan biaya membuka fasilitas dan biaya membangun fasilitas. Kendala (3.1) disebut sebagai kapasitas kendala atau kendala fasilitas. Kendala (3.2) memastikan bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh fasilitas tertentu yang tidak melebihi kapasitasnya. Kendala (3.3) disebut sebagai kendala permintaan atau kendala pelanggan. Kendala (3.4) memastikan bahwa setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu fasilitas. Kendala (3.5) memastikan bahwa tugas yang dibuat hanya untuk membuka fasilitas. Diberbagai kegiatan yang menghasilkan nilai dalam bentuk produk dan jasa, Stadtler dan Kilger (2002) mengemukakan dalam rantai pasokan, berbagai jenis keputusan harus dibuat dan terkoordinasi. Keputusan ini diklasifikasikan ke dalam tingkat strategis dan operasional sesuai dengan jangka waktu. Sebuah keputusan strategis yang berkaitan dengan struktur distribusi dari rantai suplai termasuk lokasi sarana dan mengalokasikan pelanggan, disebut masalah lokasi fasilitas. Pada tingkat operasional, keputusan pada arus transportasi dan tingkat persediaan dilakukan dengan mempertimbangkan pelanggan, biaya transportasi, biaya persediaan dan faktor lainnya. Gambar 3.1 menunjukkan distribusi dari rantai suplai yang diulang selama dua periode waktu. Tanda panah menunjukkan jalur transportasi yang tersedia untuk produk yang berbeda dari rantai suplai. Dalam Gambar 3.1, relokasi fasilitas bertahap serta perluasan kapasitas dan pengurangan dapat terjadi sepanjang waktu. Behmardi dan Lee (2008) menyajikan sifat kompleks dari masalah lokasi fasilitas dinamis, sebagian besar penelitiannya mempertimbangkan beberapa asumsi untuk menyederhanakan masalah. Salah satu asumsi dalam studi yang dilakukan adalah relokasi dan rekonfigurasi fasilitas berkapasitas. Relokasi fasilitas atau mengubah kapasitas akan membutuhkan waktu dan sumber daya, yang menyebabkan tidak tersedianya fasilitas atau kapasitas penuh. Behmardi dan Lee (2008) menggambarkan masalah lokasi fasilitas sebagai berikut: 13 Gambar 3.1 Rantai pasokan dinamis Ketidaktersediaan dari konfigurasi ulang dapat menyebabkan beberapa permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini menyebabkan kekurangan biaya dan ketidaktersediaan kapasitas yang tergantung pada waktu dan akan berbeda di setiap lokasi fasilitas. Penentuan lokasi fasilitas berhubungan dengan persoalan transportasi. Hal ini membuat penulis perlu mendalami teori dasar aplikasi pemrograman linear pada persoalan transportasi. Persoalan transportasi dapat dinyatakan dalam contoh pengangkutan beberapa m lokasi sebagai lokasi asal mula barang yang diangkut ke tempat lain. Sebagai ilustrasi dapat ditunjukkan n lokasi tujuan dimana semua komoditas (barang) harus diangkut dengan lokasi m sebagai tempat asal, dengan biaya transportasi untuk satu unit barang dari tempat asal i menuju tujuan j yang dinyatakan dengan cij, untuk cij untuk i = 1, 2, 3, . . . , m dan j = 1, 2, 3, . . . , n. Terdapat juga unit barang ai, yang tersedia pada tempat asal, i. Untuk i = 1, 2, 3, . . . , m dan juga tempat tujuan j yang membutuhkan bj unit barang dengan j = 1, 2, 3, . . . , n. Dengan demikian persoalan transportasi membutuhkan uraian strategi pengangkutan untuk berapa banyak unit barang yang harus diangkut dari tempat asal i ke tempat tujuan j untuk semua ij dengan meminimumkan total biaya transportasi dengan mempertimbangkan semua keterbatasan dan kebutuhan tempat tujuan. Demikian juga nilai optimal jumlah variabel yang harus diuraikan 14 melalui mxn sebagai pernyataan setiap barang dari tempat asal yang akan diangkut menuju ke setiap lokasi tujuan. Dalam hal ini, xij = jumlah unit barang yang akan diangkut dari tempat asal i ke tempat lokasi tujuan j. Dengan demikian formulasinya dapat dinyatakan dengan: Fungsi Objektif: mn z = min cij cij i=1j=1 dengan kendala: n xij ≤ ai, untuki = 1, 2, 3, . . . m j=1 m xij ≥ bi, untukj = 1, 2, 3, . . . n i=1 dan xij ≥ 0 Keterangan: cij = biaya transportasi dari asal i ke tujuan j xij = jumlah unit barang asal i ke tujuan j ai = jumlah unit barang yang tersedia dari asal i bj = jumlah unit barang yang dibutuhkan tujuan j Persoalan dapat dinyatakan mempunyai solusi optimal bila suplai paling sedikit sama dengan permintaan, yaitu: mn ai ≥ bj i=1 j=1 Formula ini menyatakan jumlah unit barang yang tersedia di i melebihi jumlah unit barang yang dibutuhkan di j. Selanjutnya dinyatakan juga komoditas yang ada dan yang akan diangkut tidak dalam bagian-bagian yang terpisah dan dapat diangkut dari berbagai tempat asal menuju berbagai tempat lokasi fasilitas. Barang yang akan diangkut dapat berupa orang, peralatan medis dan obatobatan atau komoditas lain. Fokusnya adalah bagaimana menempatkan gudang dan mendistribusikan komoditas kepada pelanggan. 15 Masalah lokasi fasilitas berkapasitas terdiri dari pemilihan beberapa fasilitas untuk tetap terbuka di antara satu sekumpulan lokasi potensial untuk meminimumkan biaya melayani klien. Setiap fasilitas mempunyai satu kapasitas layanan yang ditentukan. Biaya distribusi terdiri dari dua macam: biaya permintaan dari setiap klien, dan biaya membuka fasilitas. Satu masalah dirumuskan, dimana fasilitas harus terbuka sedemikian rupa sehingga bersama-sama, dapat melayani keseluruhan permintaan pelanggan. Oleh karena itu, pembuat keputusan memastikan keseluruhan kapasitas tersedia. 3.2 Metode Berbasis Kendala Aktif Metode berbasis kendala aktif dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dalam penelitian ini dilakukan dengan menggunakan model relaksasi lagrangean, model determenistik, model batasan ketidakpastian serta pencarian dan pengalokasian lokasi. Kendala-kendala yang ada antara lain, permintaan yang tidak pasti sesuai dengan kebutuhan, ketersediaan bahan, pengangkutan, lokasi, jarak pendistribusian, dan waktu. yang diringkas sebagai berikut: 36 Universitas Sumatera Utara 1. Langkah Pertama, menyelesaikan masalah yang mengabaikan syarat integral. 2. Langkah Kedua, menghasilkan solusi kelayakan bilangan bulat (sub-optimal ) menggunakan pembulatan heuristik dari solusi kontinu. 3. Langkah Ketiga, membagi himpunan I dari variabel bilangan bulat menjadi himpunan I1 pada batas-batasnya yang nonbasic pada solusi yang kontinu dan himpunan I2. I = I1 + I2. 4. Langkah Keempat, melakukan pencarian pada fungsi objektif, mempertahankan variabel nonbasic I1 dan memungkinkan perubahan diskrit pada nilai variabel I2. 5. Langkah Kelima, pada solusi yang diperoleh pada Langkah Keempat, periksa harga penurunan dari variabel I1. Jika ada yang harus dilepaskan dari batas-batasnya, tambahkan mereka ke himpunan I2 dan ulangi dari langkah Keempat, jika tidak, maka berhenti. Ringkasan diatas memberikan struktur pengembangan strategi khusus untuk masalah kelas tertentu. Sebagai contoh, pembulatan heuristik pada Langkah 2 dapat disesuaikan dengan kendala-kendala yang sesuai dengan sifatnya, dan langkah 5 dapat melakukan penambahan satu variabel sekaligus kehimpunan I2. Pada level praktis, implementasi dari prosedur membutuhkan pilihan dari beberapa level toleransi pada batas-batas variabel dan juga ketidaklayakan bi- 37 Universitas Sumatera Utara langan bulatnya. Pencarian pada langkah 4 dipengaruhi oleh beberapa pertimbangan, seperti langkah diskrit pada variabel bilangan bulat super-basic yang hanya muncul jika semua bilangan bulat basic tersisa dalam toleransi khusus dari kelayakan bilangan bulat. Pada umumnya, selain struktur kendala mempertahankan kelayakan bilangan bulat pada variabel basic bilangan bulat untuk perubahan diskrit pada super-basic, bilangan bulat pada himpunan I2 harus dibuat super-basic. Hal ini dapat diperoleh selama ini diasumsikan bahwa himpunan variabel slack yang lengkap termasuk dalam masalah. 4.3 Menguatkan Model LP-Relaksasi Untuk memecahkan PCLP dengan menggunakan model sebelumnya, pendekatan alami dengan menggunakan Pemrograman Linier. Untuk mengakhirinya, sangat bermanfaat untuk mencari pertidaksamaan yang valid seperti pertidaksamaan yang diselesaikan oleh semua persamaan yang sesuai meskipun tidak memerlukan formulasi integer, membantu mengurangi celah antara nilai model LP-relaxation yang optimal dan nilai persamaan program integer yang optimal. Pada bagian ini akan ditampilkan beberapa kelompok dari pertidaksamaan yang valid untuk PCLP. Kekuatan LP-relaxation yang pertama model (4.1) - (4.12) diperoleh dari persamaan sederhana dibawah ini: zij ≤ yj untuk semua i ∈ I, j ∈ J. (4.13) 38 Universitas Sumatera Utara Yang memberlakukan pelanggan i ∈ I tidak dapat ditunjuk sebagai penempatan j ∈ J jika j buka terbuka. Persamaan (4.13) mempengaruhi persamaan (4.3) saat qj ≥ |I| seperti saat pemecahan contoh PCLP tak berkapasitas. Kegunaan lain dari anggota persamaan, dihubungkan ke path inequalities yang diajukan dalam Fischetti, Salaze dan Toth [6] dan chain barrier constraints yang ditampilkan Laporte, Nobert dan Arpin [11], seperti dibawah ini, untuk tiap Q ⊆ J,i, i ⊆ I dan path dari i ke i′, pertidaksamaan x(P ) + zij + zi′j ≤ |I| + 1, j∈Q j∈/Q (4.14) adalah valid bagi PCLP. Sebenarnya, pertidaksamaan ini berisi persamaan (4.8) yang muncul saat P = {|i, I′|}, dan mereka menyatakan bahwa sebuah rute tidak dapat memperoleh pelanggan yang terlayani oleh penempatan yang berbe- da. Untuk tiap S ⊆ V ,i ∈ S I,i′ ∈ IS, pertidaksamaannya: x(δ(S)) ≥ 2n zij + zi′ j j ∈J \S j ∈J ∩S (4.15) Adalah valid bagi PCLP. Pertidaksamaan ini mempengaruhi S untuk ter- hubung ke komplemennya setidaknya dua edge untuk tiap pelanggan S yang ditunjuk pada penempatan S. Ini mudah dilihat bahwa persamaan ini lebih kuat dibanding persamaan (4.6). Terakhir, anggota dari pertidaksamaan valid lainnya bagi PCLP diberikan: x (E (H)) + x(T ) ≤ |H ∩ I| + yj + yj + (|T ∩ E1| − 1) /2 (4.16) j ∈H ∩J j ∈J r Untuk tiap H ⊂ V dan memenuhi: 39 Universitas Sumatera Utara 1. {i, j} ∩ {k, l} = untuk [i, j], [k, l]T dan [i, j] = [k, l] 2. |T ∩ E1| ≥ 3 dan ganjil Dan dimana JT menampilkan penempatan yang bertetangga dengan edge pada T. Pertidaksamaan ini merupakan varian dari 2-matching constraints klasik bagi TSP. Ini dapat diperoleh dengan menambahkan derajat persamaan (4.4) bagi semua vertex H I, derajat persamaan (4.5) bagi semua vertex H ∩ J dan menuju kendala xii′ ≤ 1 untuk semua [i, i′] ∈ T ∩ E1, xij ≤ 2yj untuk semua [i, j] ∈ T \E1. Dibagi 2 dan terakhir diputar ke bawah semua koefisien ke integer yang terdekat. 40 Universitas Sumatera Utara BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari persoalan penempatan lokasi Depo yang sederhana (skala kecil) bisa diselesaikan dengan metode Branch and Bound, tetapi apabila persoalannya dalam skala besar, metode Branch and Bound tidak begitu efektif, sehingga untuk menyelesaikan persoalan tersebut digunakan metode pendekatan layak sekitar (metode eksak dan metode heuristik) yang dapat menghasilkan penyelesaian yang optimal . 5.2 Saran Penyelesaian pada tesis ini adalah merupakan penggunaan metode secara teoritis, diajukan kepada yang berminat pada bidang ini bisa melanjutkan dengan menggunakan komputasi secara nyata. 41 Universitas Sumatera Utara DAFTAR PUSTAKA M. Albareda, I.A. Diaz, & E. Fernandez. (2002) ”A Compact Model and Tight Bounds For a Combined Location Routing Problem”, Optimization Days, Montreal. A. Billionnet, S. Elloumi, & L. Gruoz Djerbi. (2002) ”Designing radio-mobile access networks based on SDH rings”, Technical Report 325, CEDRIC. A. Caprara & M. Fischetti.(1997) ”Branch and cut algorithms”. In M. Dell Amico, F. Maffioli, S. Martello(editors), Annotated bibliographies in Combinatorial Optimization, John Wiley & Sons. G. Cornuegols, G.L Nemhauser, & L.A Wosley. (1990) ”The Uncapacitated Facility Location Problem”. In P.B. Mirchandani, R.L. Francis(eds), Discrete Location Theory, John Wiley & Sons. M. Fischetti, G. Romanin Jacur, J.J. Salazar. (2003) ”Optimization of the Interconecting Network of a UMTS Radio Mobile Telephone System”, European Journal of Operational Research 144(1998)56-57. M. Fischetti, J.J. Salazar, P. Toth. (1998) ”Solving the Orienteering Problem Through Branch-and-cut”. INFORMS Journal on Computing 10, 133-148. E. Gourdin, M. Labbe, H. Yaman. (2002) ”Telecommunication and Location”. In Z. Drezner, H.W. Hamacher(editors), Facility Location: Applications adn Theory, Springer. P.H.Hansen, B. hegedahl, S. Hjortkjaer, & B. Obel. (1994) ”A Heuristic solution to the warehouse location-routing problem”, European Journal of Operational Research 25, 111-127. 42 Universitas Sumatera Utara G. Laporte. (1992) ”The Vehicle Routing Problem: An overview of exact and approximate algorithms”, European Journal of Operational Research 59 (1992) 345-358. M.W. Padberg, G. Rinaldi. (1991) ”A branch-and-cut algorithm for the resolution of large-scale symmetric traveling salesman problems”, SIAM Review 33, 60-100. P. Toth & D. Vigo(editors).(2001)”‘The Vehicle Routing problem”, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. L.A. Wosley. (1998) ”Integer Programming”, Wiley-Interscience. Arya, V., Garg, N., Khandekar R., Meyerson, A., Munagala. K., Pandit V., (2004), Local Saerch Heuristics for k-median and Facilty Location Problems, Society for Industrial and Applied Mathematics, 544-562. C., W., Chen, D., Y., Sha. (2001), A new approach to the multiple objective facilty layout problem, Journal of Integrated Manufacturing Systems, 59-66. Chuang, P., T., A QFD. (2002), Approach for Distribution Location Model, International Journal of Quality and Realibility Management, Volume 19,No.8/9, 1037-1054. Hoffman, J. And Schniederjans, M., (1994), ”A two-stage model for structuring global facilty site selection decisisons”, International Journal of Operations & Production Management, Volume 14, No. 4, 79-96. Jayaraman and Vaidyanathan, (1998), ”Transportation, facilty location and 43 Universitas Sumatera Utara inventory issues in distribution network design”, An investigation; International Journal of Operations & Productions management, Volume 18 No. 5, pp. 471-494. Kumral M. (2004), ”Optimal Location of a mine facilty by genetic algorithms”, Mining Technology, Trans. Inst. Min. Metall. June, Volume 113, pp. 83. Laporte G., Revelle C. S., (1996), The Plant Location problem: new models and search prospecht, Operations Research Journal, Vol 44. No. 6, 147-151. Ozsoy FA, Lable. M. Bourdin. E. (2008). Analytical and Emperical Comparation of integer progamming formulation for a partitionaring. Hub LocationRouting Problem. Technical Report of Universite Libae de Brixells, Belgium Verter, V., and Dincer, C. (1995), Facilty location and capacity acquidition:an integrated approach. Naval Research Logistics, Volume 42, 1141-1160. 44 Universitas Sumatera Utara
Pengembangan Pendekatan Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Persoalan Sumber Tunggal Periode Ganda
Aktifitas terbaru
Penulis
Dokumen yang terkait
Upload teratas

Pengembangan Pendekatan Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Persoalan Sumber Tunggal Periode Ganda

Gratis