Feedback

Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik

Informasi dokumen
FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK SKRIPSI INDRI HAFSARI 090823018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 Universitas Sumatera Utara FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains INDRI HAFSARI 090823018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 Universitas Sumatera Utara PERSETUJUAN Judul Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas : FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NONPARAMETRIK : SKRIPSI : INDRI HAFSARI : 090823018 : S1 STATISTIKA EKSTENSI : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juli 2011 Komisi Pembimbing: Pembimbing 2, pembimbing 1, Drs. Djakaria Sebayang, M.Si NIP. 195112271985031002 Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si NIP. 194604041971071001 diketahui/ disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP.19620901 198803 1 002 Universitas Sumatera Utara PERNYATAAN FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2011 INDRI HAFSARI 090823018 Universitas Sumatera Utara PENGHARGAAN Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah serta karunia sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu. Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan Program S1 Statistika Ekstensi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Sebagai salah satu perwujudan dari proses pendidikan kemahasiswaan, penyusunan skripsi ini disajikan berdasarkan pembahasan oleh penulis. Selama dalam penyusunan skripsi ini penulis telah banyak memperoleh bantuan dan bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini penulis mau mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing 1 pada penulisan skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini. 2. Bapak Drs. Djakaria Sebayang, M.Si selaku pembimbing 2 pada penulisan skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini. 3. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dalam penyelesaian skripsi ini. 4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU. 5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU. 6. Bapak Drs. Pengarapan Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana Jurusan Progam S1Statistika Ekstensi. 7. Kepada Ayahanda M. Jamil dan Ibunda Elfidarna serta adik-adik atas bimbingan moral dan materil yang telah diberikan. 8. Seluruh staf pengajar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Khususnya Departemen Matematika Jurusan Statistika Ekstensi. 9. Semua pihak yang terkait dalam penyelesaian skripsi ini. Universitas Sumatera Utara Sepenuhnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak terdapat kekurangan. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun, dimana saran dan kritik tersebut dapat dimanfaatkan untuk kemajuan ilmu pengetahuan pada saat ini dan yang akan datang. Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi pembaca dan penulis khususnya. Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih. Medan, Juli 2011 Penulis Universitas Sumatera Utara ABSTRAK Statistik nonparametrik merupakan kumpulan metode untuk analisis data yang menawarkan sebuah pendekatan dengan cara-cara pengambilan keputusan. Ada beberapa metode dalam mengestimasi regresi nonparametrik salah satunya metode kernel. Metode kernel tersebut digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi bila sebuah data Y diberikan. Metode ini juga digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya. Metode kernel memiliki beberapa fungsi, diantaranya Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic dan lain-lain. Pemilihan bandwith dilakukan dengan cara meminimumkan bias dan varians. Dalam penelitian ini digunakan salah satu dari fungsi tersebut yaitu fungsi kernel Gaussian. Karena fungsi ini memiliki kemudahan dalam penggunaannya. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nonparametrik. Dari hasil penelitian yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. Dari hasil penelitian didapat SSE sebesar 3.23 x 10-8. Pengestimasian dalam tulisan ini menggunakan excel. Kata kunci: Regresi nonparametrik, regresi kernel, solver. Universitas Sumatera Utara ABSTRACT Nonparametric statistics is a collection of methods for data analysis offers an approach to ways of decision making. There are several methods in estimating the nonparametric regression kernel methods one of them. Kernel method is used to estimate the regression function when a data Y is given. This method is also used to estimate the regression function are difficult to predict its form. Kernel method has several functions, including Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic and others. The selection of bandwidth is done by minimizing bias and variance. This study used one of these functions is the Gaussian kernel function. Since this function has the ease of use. The data used in this study is nonparametric data. From the results of research can do is predict the results of calculations in other words just a hope. Research results obtained from the SSE at 3:23 x 10-8. Estimating in this paper using excel. Keywords: nonparametric regression, kernel regression, Solver. Universitas Sumatera Utara DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftara Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Bab I Pendahuluan 1.1 LatarBelakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tinjauan Pustaka 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Kontribusi Penelitian 1.6 Metode Penelitian i ii iii v vi vii viii ix 1 1 2 2 3 3 4 Bab II Landasan Teori 2.1 Regresi Non-Parametrik 2.2 Rgresi Kernel 2.3 Fungsi Kernel 2.4 Pemilihan Bandwith 2.5 Solver 5 5 7 8 12 13 Bab III Pembahasan 3.1 Pembahasan 15 15 Bab IV Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran 26 26 26 Daftar Pustaka 27 Universitas Sumatera Utara Daftar Tabel Halaman Tabel 1. Contoh data Tabel 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5) Tabel 3. Nilai kuadrat kesalahan Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver 15 18 20 23 Universitas Sumatera Utara Daftar Gambar Halaman Gambar 1. Grafik Gaussian Gambar 2. Grafik Norm Gambar 3. Grafik Quadratic Gambar 4. Grafik Multi quadratic Gambar 5. Grafik Spline Gambar 6. Grafik Epanechnikov Gambar 7. Grafik Tri-cube Gambar 8. Contoh kurva bandwith Gambar 9. Posisi perangkat solver Gambar 10. Grafik Gaussian kernel Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0 Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver Gambar 13. Tahapan kedua penggunaan MS Excel Solver Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver Gambar 15. Kurva dengan nilai x, y dan estimasi y diketahui 9 9 10 10 11 11 12 13 14 16 18 22 22 23 25 Universitas Sumatera Utara ABSTRAK Statistik nonparametrik merupakan kumpulan metode untuk analisis data yang menawarkan sebuah pendekatan dengan cara-cara pengambilan keputusan. Ada beberapa metode dalam mengestimasi regresi nonparametrik salah satunya metode kernel. Metode kernel tersebut digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi bila sebuah data Y diberikan. Metode ini juga digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya. Metode kernel memiliki beberapa fungsi, diantaranya Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic dan lain-lain. Pemilihan bandwith dilakukan dengan cara meminimumkan bias dan varians. Dalam penelitian ini digunakan salah satu dari fungsi tersebut yaitu fungsi kernel Gaussian. Karena fungsi ini memiliki kemudahan dalam penggunaannya. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nonparametrik. Dari hasil penelitian yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. Dari hasil penelitian didapat SSE sebesar 3.23 x 10-8. Pengestimasian dalam tulisan ini menggunakan excel. Kata kunci: Regresi nonparametrik, regresi kernel, solver. Universitas Sumatera Utara ABSTRACT Nonparametric statistics is a collection of methods for data analysis offers an approach to ways of decision making. There are several methods in estimating the nonparametric regression kernel methods one of them. Kernel method is used to estimate the regression function when a data Y is given. This method is also used to estimate the regression function are difficult to predict its form. Kernel method has several functions, including Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic and others. The selection of bandwidth is done by minimizing bias and variance. This study used one of these functions is the Gaussian kernel function. Since this function has the ease of use. The data used in this study is nonparametric data. From the results of research can do is predict the results of calculations in other words just a hope. Research results obtained from the SSE at 3:23 x 10-8. Estimating in this paper using excel. Keywords: nonparametric regression, kernel regression, Solver. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis regresi merupakan analisis dalam statistika yang sangat banyak digunakan untuk melihat hubungan antara Y variabel respon dengan X variabel-variabel prediktornya. Untuk sebuah sampel berukuran n data pengamatan (X1, Y1), , (Xn, Yn), hubungan antara variabelvariabel tersebut dapat dinyatakan dengan model regresi Y = m(X) + ε. Dimana m adalah fungsi matematik yang disebut sebagai fungsi regresi yang tidak diketahui dan ε adalah error. Ada beberapa metode pendekatan regresi nonparametrik diantaranya spline, kernel, knearest neigborhood dan lain-lain. Diantara metode-metode pendekatan tersebut, regresi nonparametrik dengan pendekatan spline dan kernel merupakan metode yang sering digunakan. Kedua metode tersebut memiliki keunggulan masing-masing. Pendekatan kernel memiliki bentuk yang lebih fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah disesuaikan. Sedangkan pendekatan spline dapat menyesuaikan diri secara efektif terhadap data tersebut, sehingga didapatkan hasil yang mendekati kebenaran. Statistika nonparametrik adalah suatu cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedurprosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku. Misalnya syarat kenormalan suatu data, atau ragam yang sama, dan lain-lain. Tetapi cukup pada asumsi yang umum. Terdapat dua tipe utama prosedur statistik yang dianggap nonparametrik yaitu nonparametrik murni dan bebas sebaran. Berdasarkan uraian diatas, penulis mengambil judul “Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik”. Universitas Sumatera Utara 1.2 Perumusan Masalah Sesuai dengan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya, maka masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana model fungsi kernel pada metode regresi nonparametrik. 1.3 Tinjauan Pustaka Regresi kernel adalah teknik statistik nonparametrik untuk menaksir nilai ekspektasi bersyarat suatu variabel random. Nilai ekspektasi ini lazim dinotasikan E(Y|X) [7]. Tujuan regresi kernel adalah mendapatkan hubungan nonlinier antara X dengan Y. Ekspektasi bersyarat Y terhadap X dinyatakan sebagai berikut: E(Y|X) = m(X) atau yˆ = m(x) (1) Persamaan m(x) tidak dapat diwujudkan, tetapi yˆ dapat dihitung (Pada regresi linier, E(Y|X) = X b atau yˆ = X b). Penaksir respon, yaitu yˆ = m(x), dapat dihitung menggunakan formula sebagai berikut : mˆ h ( x) = n −1 n ∑K n i =1 n −1 h ∑K i =1 ( x − X i )Yi h (x − X i ) (2) Keterangan: K adalah kernel h adalah bandwidth x adalah jangkauan Xi adalah nilai data X Yi adalah nilai data Y Universitas Sumatera Utara Tingkat kemulusan mˆ h ditentukan oleh fungsi kernel K dan lebar jendela h yang disebut parameter pemulus, tetapi pengaruh kernel K tidak sedominan parameter pemulus h. Nilai h kecil memberikan grafik yang kurang mulus sedangkan nilai h besar memberikan grafik yang sangat mulus [2]. Dalam jurnal Suyono, Subanar [1] dan Suparti, Sudargo [2] menguraikan tentang model regresi Y = m(X) + ε dengan ε bebas random tidak terobservasi yang diasumsikan tidak berkorelasi dengan mean 0. Dalam regresi nonparametrik fungsi regresi m umumnya hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi yang berdimensi tak hingga. Terdapat beberapa macam teknik smoothing antara lain regressogram, barisan estimator ortogonal dan estimator kernel. Estimator kernel untuk fungsi regresi m diberikan pada persaman (2). Kriteria pemilihan fungsi kernel yang baik berdasarkan pada resiko kernel minimum yang dapat diperoleh dari kernel optimal atau kernel-kernel dengan variansi minimum [3]. Solver yang digunakan untuk membantu dalam hal perhitungan yang terdapat dalam program Microsoft Excel [4]. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui peranan model fungsi kernel pada metode regresi non-parametrik. 1.5 Kontribusi Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat memperkaya dan menambah wawasan dalam bidang statistik, khususnya mengenai fungsi kernel pada metode regresi non-parametrik. Universitas Sumatera Utara 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah: - Melakukan studi literatur dari buku, jurnal dan artikel tentang fungsi kernel dan metode regresi non-parametrik. - Mendefinisikan fungsi kernel dalam bidang regresi non-parametrik. - Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh. Universitas Sumatera Utara BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Regresi Non-Parametrik Statistik nonparametrik disebut juga statistik bebas sebaran. Statistik nonparametrik tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi. Statistik nonparametrik dapat digunakan pada data yang memiliki sebaran normal atau tidak. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Nama lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi. Analisa regresi adalah Analisis statistik yang mempelajari bagaimana membangun sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena yang lain. Analisa regresi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan. Regresi di samping digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk peramalan. Dalam banyak hal, pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik-teknik inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku. Dalam hal ini, teknik-teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi kebutuhan ini karena tetap valid Universitas Sumatera Utara walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsiasumsi yang sangat umum. Penggunaan regresi nonparametrik dilandasi pada asumsi : a. contoh yang diambil bersifat acak dan kontinu . b. regresi (Y|X) bersifat linier. c. semua nilai Xi saling bebas. d. data diasumsikan tidak berdistribusi normal. Contoh regresi non parametrik adalah uji tanda (sign test), uji jenjang bertanda wilcoxon, metode theil, metode deret fourier, uji chi square dan lain-lain. Perbandingan statistik nonparametrik dan statistik parametrik. Kekurangan dan kelebihan setiap pemilihan prosedur pengujian data, apakah itu menggunakan nonparametrik atau parametrik memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Berikut adalah kelebihan dan kekurangan masing-masing prosedur : Kelebihan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah : 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan. 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah. 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim. 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal). Kekurangan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah : 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi. 2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan. Prosedur nonparametrik digunakan sebaiknya : 1. Bila hipotesis yang diuji tidak melibatkan suatu parameter populasi. Universitas Sumatera Utara 2. Bila data telah diukur menggunakan skala nominal atau ordinal. 3. Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi. 4. Bila penghitungan harus dilakukan secara manual. Menurut jenisnya data terdiri dari data kualitatif dan kuantitatif. Data kuantitatif adalah data yang diukur dalam suatu skala numerik (angka). Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi: 1. Data interval yaitu data yang diukur dengan jarak diantara dua titik pada skala yang sudah diketahui. 2. Data rasio yaitu data yang diukur dengan dengan suatu proporsi. Data kualitatif adalah data yang tidak dapat diukur dalam skala numerik. Namun dalam statistik semua data harus dalam bentuk angka, maka data kualitatif dan Y sudah dibuat logaritmanya terlebih dahulu, untuk (d), (e), (g) tetap masih X. Universitas Sumatera Utara Regresi-regresi bentuk (a) dan (b) merupakan hal khusus dari bentuk (c) masing-masing untuk k = 2 dan k = 3. Bentuk-bentuk ini tidak dapat dibuat linier seperti untuk (d), (e), (f) dan (g). 2.1.3.1 Model Eksponen Perkiraan untuk model ini, yang persamaannya: Yˆ = ab X (2.12) Keterangan: Y = variabel tak bebas X = variabel bebas a, b = konstanta atau penduga ternyata dapat dikembalikan kepada model linier yang diambil logaritmanya, dalam logaritma persamaannya menjadi : log Yˆ = log a + (log b) X (2.13) diambil Ŷ = log Ŷ, a´= log a dan b´ = log b, diperoleh model: Yˆ = a ′ + b ′X a´ dan b´ dapat dihitung dan selanjutnya karena a´ = log a dan b´ = log b, a dan b juga dapat dihitung. Langsung di dalam logaritma, a dan b dapat dicari dari rumus: log a = ∑ log Y − (log b ) ∑ X  i a      i a (2.14) log b = n(∑ X i log Yi ) − (∑ X i )(∑ log Yi ) n∑ X i2 − (∑ X i ) 2 Universitas Sumatera Utara Model eksponen dalam rumus (2.12) sering pula disebut model pertumbuhan karena sering banyak digunakan dalam menganalisis data sebagai hasil pengamatan mengenai fenomena yang sifatnya tumbuh. Dalam hal ini model persamaannya menjadi: Yˆ = ae bX (2.15) Keterangan: Ŷ = variabel tak bebas X = variabel bebas a, b = konstanta atau penduga e = bilangan pokok logaritma asli atau logaritma Napier harganya hingga empat empat desimal adalah e = 2,7183 . sekarang harus diambil logaritma Napier dan bukan logaritma biasa. Persamaannya (2.15) sekarang menjadi: ln Yˆ = ln a + bX (2.16) Ini linier dalam X dan lnY sehingga a dan b dapat dicari seperti biasa. Daftar logaritma Napier tidak tersedia, dapat digunakan daftar logaritma biasa, persamaan (2.16) dalam rumus menjadi: log Yˆ = log a + 0,4343bX (2.17) 2.1.4 Regresi Nonlinier Ganda Universitas Sumatera Utara Dalam subbab 2.1.2 telah dibahas seperlunya regresi linier ganda dengan k buah (k ≥ 2) variabel bebas X 1, X2, .,Xk, diregresikan terhadap variabel respon Y dalam bentuk linier ganda yang ditaksir berbentuk: Yˆ = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + . + bk X k Keterangan: Y = variabel tak bebas X 1 , X 2 ,. X k = variabel bebas b0 , b1 , b2 ,.bk = parameter regresi Jika hanya ada dua variabel bebas X1 dan X2, maka regresinya terhadap Y dalam bentuk kuadratik adalah: 2 Yˆ = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + .b3 X 1X 2 + b4 X 1 + b5 X 22 Suatu regresi yang dinamakan regresi nonlinier ganda, tepatnya regresi kuadratik ganda. Dengan meninjau sepintas tentang regresi nonlinier ganda bersifat multiplikatif. Model multiplikatif yang paling sederhana untuk dua variabel bebas X1 dan X2 misalnya adalah: Yˆ = aX 1b X 2C Keterangan: Y = variabel tak bebas X = variabel bebas a, b, c = konstanta atau penduga Universitas Sumatera Utara Sebagai taksiran terhadap model regresi dalam populasinya. Pada dasarnya, model nonlinier ini dapat dikembalikan pada model linier dengan jalan mengambil logaritma ke dua ruas persamaan. Hasilnya menjadi: log Yˆ = log a + b log X 1 + c log X 2 Berbentuk model linier ganda dalam log X1, log X2 dan log Y. Model eksponen untuk regresi nonlinier ganda dengan dua variabel bebas, diambil: Yˆ = e b0 +b1 X 1 +b2 X 2 Keterangan: Y X1, X 2 = variabel tak bebas = variabel bebas b0 , b1 , b2 = parameter regresi Dapat dikembalikan pada bentuk linier ganda dengan mengambil logaritma asli (ln) pada ke dua ruas persamaan. Bentuknya menjadi: ln Yˆ = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 Selanjutnya diselesaikan dengan cara regresi linier ganda menggunakan variabel bebas aslinya sedangkan variabel dependennya dalam bentuk logaritma asli dari variabel Y, ialah ln Y. Model lain yang juga non linier ganda untuk dua prediktor tetapi dapat dikembalikan pada bentuk linier ganda adalah model kebalikan, berbentuk: Yˆ = 1 b0 + b1 X 1 + b2 X 2 Universitas Sumatera Utara Keterangan: Y = variabel tak bebas X1, X 2 = variabel bebas b0 , b1 , b2 = parameter regresi Dengan mengambil kebalikan ke dua ruas persamaan ini, kita peroleh: 1 = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 Yˆ Linier dalam X1, X2 dan 1/Y. Ini berarti model dapat diselesaikan dengan cara seperti menyelesaikan regresi linier ganda menggunakan data asli X1 dan X2 dan variabel dependennya bukan Y tetapi 1/Y. Tentu saja masih ada model lain yang non linier ganda dan juga model-model tersebut dapat diperluas untuk tiga, empat, dan seterusnya variabel bebas. Penyelesaiannya, diusahakan dikembalikan pada bentuk linier ganda dengan menggunakan transformasi yang sesuai. 2.2 Metode Kuadrat Terkecil Metode kuadrat terkecil, yang lebih kenal dengan nama least-squares method adalah salah satu metode pendekatan yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: a) Regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam pemodelan) b) Analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model) Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan karekteristik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation Universitas Sumatera Utara interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karekteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problemproblem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti sesatansesatan percobaan. Andi Supangat (2008) Metode Ordinary Least Square (OLS) atau sering juga dikatakan sebagai metode kuadrat terkecil (least square) pada dasarnya merupakan anggapan-anggapan tertentu, anggapan-anggapan pada metode kuadrat terkecil adalah dimaksudkan sebagai pembentukan model Normal Hesse, yang digunakan untuk menentukan perhitungan besaran intercept dan koefisiensi regresi sampel atau besaran a dan b pada model regresi linier y = a + bx. Begitu pun tentunya pada model-model regresi lainnya, seperti pada model linier multiple, model kudaratis, model semi, model eksponensial. Metode kuadrat terkecil selain untuk menentukan nilai-nilai intercept dan koefisien regresi, juga berguna untuk membuat pendugaan interval serta menguji hipotesis regresi populasi. Berikut diungkapkan beberapa anggapan penting metode kuadrat terkecil, di antaranya: a. Nilai rata-rata dari tingkat kesalahan (error) atau nilai ekspektasi (expected value) dari setiap nilai x sama dengan nol. Anggapan ini dinyatakan seperti pada Gambar 2.5, bahwa untuk setiap x, misalkan x1, x2, dan x3 terdapat beberapa nilai y. nilai Y tersebut terdapat di bawah dan di atas garis regesi, namun nilai rata-rata dari y berada di titik tengah, yaitu pada garis regresi. Karena kurva bersifat simentris, maka nilai di bawah garis regresi sama dengan nilai di atas regresi, sehingga nilai harapan dari Ei untuk setiap x dari x1, samapai xi sama dengan nol. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.2 Nilai rata-rata dari tingkat kesalahan (error) atau nilai ekspektasi (expected value) dari setiap nilai x sama dengan nol b. Nilai error dari Ei dan Ej dikatakan sebagai covarian yang saling independent (tidak berhubungan), dan oleh karena antara Ei dan Ej tidak ada hubungan, maka dapat diartikan bahwa nilai cov (Ei , Ej) = 0, dimana i≠ j. berdasarkan uraian di atas, dalam setiap nilai xi akan didapati tingkat kesalahan (error) sebesar Ei demikian pun halnya dengan nilai xj akan didapati tingkat kesalahan (error) sebesar Ej. c. Varians ( σ 2 ) dari error bernilai: Var (Ei / E j ) = E (ei − e j ) = σ 2 . Perhatikan pada 2 gambar sebelumnya, nilai Ei ( yang dilambangkan dengan tanda titik) untuk setiap x yaitu x1, x2, dan x3 tersebar secara tetap sebesar nilai variannya ( σ 2 ). Nilai E terbesar di bawah kurva normal sejauh satu standar deviasi dibawah garis reegresi dan satu standar deviasi di atas garis regresinya. d. Variabel bebas x tidak berhubungan dengan besarnya nilai E (error), untuk kenyataan ini di tuliskan sebagai Covarian atau Cov(Ei , xi ) = 0 . dengan demikian model regresinya ditulis: yˆ = a + b xi + ei , terlihat dari model tersebut bahwa nilai xi dan Ei secara nyata tidak saling mempengaruhi, namun demikian kedua variabel tersebut mempengaruhi variabel y. seandainya antara variabel xi dan variabel Ei saling mempengaruhi, maka pengaruh masing-masing variabel tersebut tidak akan dapat dipisahkan. Secara luas model regresi di atas dapat diartikan, bahwa faktor Universitas Sumatera Utara yang mempengaruhi y selain x adalah faktor e, maka oleh karenanya variansi dari Ei dan xi saling terpisah atau tidak berhubungan (tidak berkorelasi). e. Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008 Tengku Rosmawaty : Penilaian Indeks Lingkungan Pada Pabrik Kelapa Sawit (PKS) Dengan Metode , 2004 USU Repository © 2008
Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik Latar Belakang Perumusan Masalah Tinjauan Pustaka Pemilihan Bandwidth Solver PENDAHULUAN Regresi Kernel Fungsi Kernel Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Regresi Non-Parametrik
Dokumen baru
Aktifitas terbaru
Penulis
Dokumen yang terkait
Upload teratas

Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik

Gratis