Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik

 15  92  40  2017-01-18 05:19:22 Report infringing document
Informasi dokumen

FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK SKRIPSI

INDRI HAFSARI 090823018

FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK SKRIPSI

  Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

INDRI HAFSARI 090823018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011

  

PERSETUJUAN

Judul : FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-

PARAMETRIK Kategori : SKRIPSI Nama : INDRI HAFSARI Nomor Induk Mahasiswa : 090823018 Program Studi : S1 STATISTIKA EKSTENSI Departemen : MATEMATIKA

  

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juli 2011 Komisi Pembimbing: Pembimbing 2, pembimbing 1, Drs. Djakaria Sebayang, M.Si Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si NIP. 195112271985031002 NIP. 194604041971071001 diketahui/ disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP.19620901 198803 1 002

  

PERNYATAAN

FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK

SKRIPSI

  Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

  Medan, Juli 2011

  INDRI HAFSARI 090823018

  

PENGHARGAAN

  Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah serta karunia sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.

  Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan Program S1 Statistika Ekstensi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

  Sebagai salah satu perwujudan dari proses pendidikan kemahasiswaan, penyusunan skripsi ini disajikan berdasarkan pembahasan oleh penulis.

  Selama dalam penyusunan skripsi ini penulis telah banyak memperoleh bantuan dan bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini penulis mau mengucapkan terima kasih yang sebesar- besarnya kepada:

  1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing 1 pada penulisan skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.

  2. Bapak Drs. Djakaria Sebayang, M.Si selaku pembimbing 2 pada penulisan skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.

  3. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.

  4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.

  5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU.

  6. Bapak Drs. Pengarapan Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana Jurusan Progam S1Statistika Ekstensi.

  7. Kepada Ayahanda M. Jamil dan Ibunda Elfidarna serta adik-adik atas bimbingan moral dan materil yang telah diberikan.

  8. Seluruh staf pengajar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Khususnya Departemen Matematika Jurusan Statistika Ekstensi.

  9. Semua pihak yang terkait dalam penyelesaian skripsi ini.

  Sepenuhnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak terdapat kekurangan. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun, dimana saran dan kritik tersebut dapat dimanfaatkan untuk kemajuan ilmu pengetahuan pada saat ini dan yang akan datang.

  Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi pembaca dan penulis khususnya. Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih.

  Medan, Juli 2011 Penulis

  

ABSTRAK

  Statistik nonparametrik merupakan kumpulan metode untuk analisis data yang menawarkan sebuah pendekatan dengan cara-cara pengambilan keputusan. Ada beberapa metode dalam mengestimasi regresi nonparametrik salah satunya metode kernel. Metode kernel tersebut digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi bila sebuah data Y diberikan. Metode ini juga digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya. Metode kernel memiliki beberapa fungsi, diantaranya Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic dan lain-lain. Pemilihan bandwith dilakukan dengan cara meminimumkan bias dan varians. Dalam penelitian ini digunakan salah satu dari fungsi tersebut yaitu fungsi kernel Gaussian. Karena fungsi ini memiliki kemudahan dalam penggunaannya. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nonparametrik. Dari hasil penelitian yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. Dari hasil penelitian didapat SSE

  • 8 sebesar 3.23 x 10 . Pengestimasian dalam tulisan ini menggunakan excel.

  Kata kunci: Regresi nonparametrik, regresi kernel, solver.

  

ABSTRACT

  Nonparametric statistics is a collection of methods for data analysis offers an approach to ways of decision making. There are several methods in estimating the nonparametric regression kernel methods one of them. Kernel method is used to estimate the regression function when a data Y is given. This method is also used to estimate the regression function are difficult to predict its form. Kernel method has several functions, including Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic and others. The selection of bandwidth is done by minimizing bias and variance. This study used one of these functions is the Gaussian kernel function. Since this function has the ease of use. The data used in this study is nonparametric data. From the results of research can do is predict the results of calculations in other words just a hope. Research results obtained from the SSE at 3:23 x 10-8. Estimating in this paper using excel.

  Keywords: nonparametric regression, kernel regression, Solver.

DAFTAR ISI

  Halaman Persetujuan i

  Pernyataan ii

  Penghargaan iii

  Abstrak v

  Abstract vi

  Daftara Isi vii

  Daftar Tabel viii

  Daftar Gambar ix

  Bab I Pendahuluan

  1

  1.1 LatarBelakang

  1

  1.2 Perumusan Masalah

  2

  1.3 Tinjauan Pustaka

  2

  1.4 Tujuan Penelitian

  3

  1.5 Kontribusi Penelitian

  3

  1.6 Metode Penelitian

  4 Bab II Landasan Teori

  5

  2.1 Regresi Non-Parametrik

  5

  2.2 Rgresi Kernel

  7

  2.3 Fungsi Kernel

  8

  2.4 Pemilihan Bandwith

  12

  2.5 Solver

  13 Bab III Pembahasan

  15

  3.1 Pembahasan

  15 Bab IV Kesimpulan dan Saran

  26

  4.1 Kesimpulan

  26

  4.2 Saran

  26 Daftar Pustaka

  27

  

Daftar Tabel

  Halaman Tabel 1. Contoh data

  15 Tabel 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5)

  18 Tabel 3. Nilai kuadrat kesalahan

  20 Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver

  23

  

Daftar Gambar

  13 Gambar 9. Posisi perangkat solver

  23 Gambar 15. Kurva dengan nilai x, y dan estimasi y diketahui

  22 Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver

  22 Gambar 13. Tahapan kedua penggunaan MS Excel Solver

  18 Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver

  16 Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0

  14 Gambar 10. Grafik Gaussian kernel

  12 Gambar 8. Contoh kurva bandwith

  Halaman Gambar 1. Grafik Gaussian

  11 Gambar 7. Grafik Tri-cube

  11 Gambar 6. Grafik Epanechnikov

  10 Gambar 5. Grafik Spline

  10 Gambar 4. Grafik Multi quadratic

  9 Gambar 3. Grafik Quadratic

  9 Gambar 2. Grafik Norm

  25

  

ABSTRAK

  Statistik nonparametrik merupakan kumpulan metode untuk analisis data yang menawarkan sebuah pendekatan dengan cara-cara pengambilan keputusan. Ada beberapa metode dalam mengestimasi regresi nonparametrik salah satunya metode kernel. Metode kernel tersebut digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi bila sebuah data Y diberikan. Metode ini juga digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya. Metode kernel memiliki beberapa fungsi, diantaranya Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic dan lain-lain. Pemilihan bandwith dilakukan dengan cara meminimumkan bias dan varians. Dalam penelitian ini digunakan salah satu dari fungsi tersebut yaitu fungsi kernel Gaussian. Karena fungsi ini memiliki kemudahan dalam penggunaannya. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nonparametrik. Dari hasil penelitian yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. Dari hasil penelitian didapat SSE

  • 8 sebesar 3.23 x 10 . Pengestimasian dalam tulisan ini menggunakan excel.

  Kata kunci: Regresi nonparametrik, regresi kernel, solver.

  

ABSTRACT

  Nonparametric statistics is a collection of methods for data analysis offers an approach to ways of decision making. There are several methods in estimating the nonparametric regression kernel methods one of them. Kernel method is used to estimate the regression function when a data Y is given. This method is also used to estimate the regression function are difficult to predict its form. Kernel method has several functions, including Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic and others. The selection of bandwidth is done by minimizing bias and variance. This study used one of these functions is the Gaussian kernel function. Since this function has the ease of use. The data used in this study is nonparametric data. From the results of research can do is predict the results of calculations in other words just a hope. Research results obtained from the SSE at 3:23 x 10-8. Estimating in this paper using excel.

  Keywords: nonparametric regression, kernel regression, Solver.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

  Analisis regresi merupakan analisis dalam statistika yang sangat banyak digunakan untuk melihat hubungan antara Y variabel respon dengan X variabel-variabel prediktornya. Untuk sebuah sampel berukuran n data pengamatan (X

  1 , Y 1 ),…, (X n , Y n ), hubungan antara variabel-

  variabel tersebut dapat dinyatakan dengan m

  odel regresi Y = m(X) + ε. Dimana m adalah fungsi

  matematik yang disebut sebagai fungsi regresi yan g tidak diketahui dan ε adalah error.

  Ada beberapa metode pendekatan regresi nonparametrik diantaranya spline, kernel, k- nearest neigborhood dan lain-lain. Diantara metode-metode pendekatan tersebut, regresi nonparametrik dengan pendekatan spline dan kernel merupakan metode yang sering digunakan. Kedua metode tersebut memiliki keunggulan masing-masing. Pendekatan kernel memiliki bentuk yang lebih fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah disesuaikan. Sedangkan pendekatan spline dapat menyesuaikan diri secara efektif terhadap data tersebut, sehingga didapatkan hasil yang mendekati kebenaran.

  Statistika nonparametrik adalah suatu cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur- prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku. Misalnya syarat kenormalan suatu data, atau ragam yang sama, dan lain-lain. Tetapi cukup pada asumsi yang umum. Terdapat dua tipe utama prosedur statistik yang dianggap nonparametrik yaitu nonparametrik murni dan bebas sebaran.

  Berdasarkan uraian diatas, penulis mengambil judul “Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik”.

  1.2 Perumusan Masalah

  Sesuai dengan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya, maka masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana model fungsi kernel pada metode regresi nonparametrik.

  1.3 Tinjauan Pustaka

  Regresi kernel adalah teknik statistik nonparametrik untuk menaksir nilai ekspektasi bersyarat suatu variabel random. Nilai ekspektasi ini lazim dinotasikan E(Y|X) [7]. Tujuan regresi kernel adalah mendapatkan hubungan nonlinier antara X dengan Y. Ekspektasi bersyarat Y terhadap X dinyatakan sebagai berikut: E(Y|X) = m(X) atau = m(x) (1)

  yˆ

  Persamaan m(x) tidak dapat diwujudkan, tetapi dapat dihitung (Pada regresi linier,

  yˆ

  yˆ = X b). Penaksir respon, yaitu E(Y|X) = X b atau yˆ = m(x), dapat dihitung menggunakan formula sebagai berikut :

  

n

  1 − n K ( x X ) Y h i i

  −

i

  1

=

m ˆ ( x ) (2) h = n

  

1

n K ( x X ) h i

  − ∑

i

  1 =

  Keterangan: K adalah kernel h adalah bandwidth x adalah jangkauan X adalah nilai data X

  i

  Y i adalah nilai data Y

  ˆ ditentukan oleh fungsi kernel K dan lebar jendela h yang disebut Tingkat kemulusan m h parameter pemulus, tetapi pengaruh kernel K tidak sedominan parameter pemulus h. Nilai h kecil memberikan grafik yang kurang mulus sedangkan nilai h besar memberikan grafik yang sangat mulus [2].

  Dalam jurnal Suyono, Subanar [1] dan Suparti, Sudargo [2] menguraikan tentang model regresi Y = m(X) +

  ε dengan ε bebas random tidak terobservasi yang diasumsikan tidak

  berkorelasi dengan mean 0. Dalam regresi nonparametrik fungsi regresi m umumnya hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi yang berdimensi tak hingga.

  Terdapat beberapa macam teknik smoothing antara lain regressogram, barisan estimator ortogonal dan estimator kernel. Estimator kernel untuk fungsi regresi m diberikan pada persaman (2).

  Kriteria pemilihan fungsi kernel yang baik berdasarkan pada resiko kernel minimum yang dapat diperoleh dari kernel optimal atau kernel-kernel dengan variansi minimum [3].

  Solver yang digunakan untuk membantu dalam hal perhitungan yang terdapat dalam program Microsoft Excel [4].

  1.4 Tujuan Penelitian

  Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui peranan model fungsi kernel pada metode regresi non-parametrik.

  1.5 Kontribusi Penelitian

  Hasil penelitian ini diharapkan dapat memperkaya dan menambah wawasan dalam bidang statistik, khususnya mengenai fungsi kernel pada metode regresi non-parametrik.

1.6 Metode Penelitian

  Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah: Melakukan studi literatur dari buku, jurnal dan artikel tentang fungsi kernel dan metode - regresi non-parametrik.

  Mendefinisikan fungsi kernel dalam bidang regresi non-parametrik. - Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh. -

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Regresi Non-Parametrik

  Statistik nonparametrik disebut juga statistik bebas sebaran. Statistik nonparametrik tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi. Statistik nonparametrik dapat digunakan pada data yang memiliki sebaran normal atau tidak. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal.

  Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Nama lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi.

  Analisa regresi adalah Analisis statistik yang mempelajari bagaimana membangun sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena yang lain. Analisa regresi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan. Regresi di samping digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk peramalan.

  Dalam banyak hal, pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik-teknik inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku. Dalam hal ini, teknik-teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi kebutuhan ini karena tetap valid walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsi- asumsi yang sangat umum. Penggunaan regresi nonparametrik dilandasi pada asumsi : a. contoh yang diambil bersifat acak dan kontinu .

  b. regresi (Y|X) bersifat linier.

  c. semua nilai Xi saling bebas.

  d. data diasumsikan tidak berdistribusi normal.

  Contoh regresi non parametrik adalah uji tanda (sign test), uji jenjang bertanda wilcoxon, metode theil, metode deret fourier, uji chi square dan lain-lain.

  Perbandingan statistik nonparametrik dan statistik parametrik. Kekurangan dan kelebihan setiap pemilihan prosedur pengujian data, apakah itu menggunakan nonparametrik atau parametrik memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Berikut adalah kelebihan dan kekurangan masing-masing prosedur :

  Kelebihan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah : 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan.

  2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah.

  3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim.

  4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal).

  Kekurangan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah :

  1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi.

  2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan.

  Prosedur nonparametrik digunakan sebaiknya : 1. Bila hipotesis yang diuji tidak melibatkan suatu parameter populasi.

  2. Bila data telah diukur menggunakan skala nominal atau ordinal.

  3. Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi.

  4. Bila penghitungan harus dilakukan secara manual.

  Menurut jenisnya data terdiri dari data kualitatif dan kuantitatif. Data kuantitatif adalah data yang diukur dalam suatu skala numerik (angka). Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi:

  1. Data interval yaitu data yang diukur dengan jarak diantara dua titik pada skala yang sudah diketahui.

  2. Data rasio yaitu data yang diukur dengan dengan suatu proporsi. Data kualitatif adalah data yang tidak dapat diukur dalam skala numerik. Namun dalam statistik semua data harus dalam bentuk angka, maka data kualitatif umumnya dikuantifikasi agar dapat diproses. Kuantifikasi dapat dilakukan dengan mengklasifikasi data dalam bentuk kategori. Data kualitatif dapat dibedaka menjadi: 1. Data nominal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori.

  2. Data ordinal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori, namun posisi data tidak sama derajatnya karena dinyatakan dalam skala peringkat.

2.2 Regresi Kernel

  Regresi kernel adalah teknik non-parametrik dalam statistik untuk memperkirakan ekspektasi bersyarat dari variabel acak. Tujuannya adalah untuk menemukan hubungan non- linear antara sepasang variabel acak X dan Y, untuk mendapatkan dan menggunakan bobot yang sesuai.

  Dalam setiap regresi nonparametrik, harapan bersyarat dari variabel Y relatif terhadap

  f ( x , y )

  variabel X dapat ditulis E(Y|X) = m(X) atau E(Y|X = x) = y dy . Dimana m adalah

  ∫ f ( x ) fungsi yang tidak diketahui. untuk mendapatkan dan menggunakan bobot yang sesuai. Untuk mengestimasi m sebagai rata-rata tertimbang secara lokal, menggunakan kernel sebagai fungsi pembobotan. Penaksir Nadaraya-Watson (2): Ada tiga macam estimasi kernel yaitu:

  1. Nadaraya-watson

  n

  1 − n K ( x X ) Y h i i

  − ∑ i

  1 = m ˆ ( x ) h = n

  1 − n K ( x X ) h i

  − ∑ i

  1 =

  2. Priestley-chao

  3. Gasser-Müller kernel

  x x i 1 i

  • Dimana S i

  ( )

  =

  2

2.3 Fungsi Kernel

  Pada [5], [6] menjelaskan fungsi kernel, dinotasikan K(t) merupakan suatu fungsi yang pada pemanfaatannya diberlakukan pada setiap titik data. Fungsi ini mempunyai tiga sifat, yaitu : a. K(t)

  ≥ untuk semua t

  ∞ b.

  K ( t ) = 1

  ∫ − ∞

  c. K(-t) = K(t) untuk semua t (sifat simetri) Kriteria pemilihan fungsi kernel yang baik berdasarkan pada resiko kernel minimum yang dapat diperoleh dari kernel optimal atau kernel-kernel dengan variansi minimum. Berikut diberikan 7 macam fungsi kernel:

  1. Gaussian 2

   x X  − ( )

  K x , X exp = − 2

  α ( )

  2

  α  

  5

  α =

  Gambar 1. Grafik Gaussian

  2. Norm

  x

  X

  X β

  • K x , , = −

  α β ( ) α

  2 , 2 ,

  5 α = β =

  Gambar 2. Grafik Norm

  3. Quadratic

  • − − =
  • 2 , ,

      ( ) ( ) β α

      β α

      X x X x K 5 ,

      5 = = β α

      Gambar 3. Grafik Quadratic

      4. Muti Quadratic

    • − =
    • 2 2 2

        ( ) ( ) γ α

        β α −

           

        ,

        X x X x K 5 , 4 ,

        5 , = = = γ β α

        Gambar 4. Grafik Multi Quadratic

        5. Spline , ifx X

        = β  

        K x ,

        X = 2

        α ( )  x Xx X −  − ( ) ( )  

        − β ln , otherwise +   α α  

        

        1 , 250 = =

        α β

        2 Gambar 5. Grafik Spline

        6. Epanechnikov 3  x X   −  2 x X

        − ( )

         1  , if 1

        − ≤ 2 4   α α 

            K x ,

        X =

        α ( )  , otherwise 

        5

        α =

        Gambar 6. Grafik Epanechnikov

        7. Tri-cube 3 x X

         x X  −  −  

         1 , if 1 − ≤  

        α α   

          K x ,

        X =

        α ( )  , otherwise 

        5

        α =

        Gambar 7. Grafik Tri-cube

      2.4 Pemilihan Bandwidth

        Memilih bandwidth yang sesuai (parameter smoothing) adalah bagian penting dari regresi nonparametrik. Untuk mendapatkan bandwidth yang tepat maka harus ditemukan keseimbangan antara varians dan bias. Formula untuk bias asimtotik dan varians dari prediksi saat menggunakan estimasi Nadaraya-Watson (2).

        Telah diketahui secara umum, bahwa permasalahan utama pada kernel smoothing bukan terletak pada pemilihan kernel tetapi pada pemilihan bandwidth. Pemilihan bandwidth optimum lebih ditekankan pada penyeimbangan antara bias dan varians. Satu perumusan masalah yang dapat memperlihatkan hubungan antara bias dan varians adalah mean square error – MSE karena itu dengan meminimumkan MSE maka permasalah antara bias dan varians di atas dapat diminimumkan juga. n

        1 2 ˆ

        MSE = ( y y )

        − ∑ n i 1

        =

        (3) Bandwidth dari kernel adalah parameter bebas yang menunjukkan pengaruh yang kuat pada perkiraan yang dihasilkan. Untuk menggambarkan efeknya, lihat gambar dibawah ini disimulasikan dari pengambilan sampel acak yang berdistribusi normal standar. Gambar 8. Contoh kurva bandwith Kurva abu-abu menyatakan kepadatan normal dengan mean 0 dan varians 1. Sebagai perbandingan, kurva merah undersmoothed (tidak mulus) karena mengandung terlalu banyak data palsu yang timbul dari menggunakan bandwidth h = 0,05 yang terlalu kecil. Kurva hijau oversmoothed (terlalu mulus) karena menggunakan bandwidth h = 2 mengaburkan banyak struktur yang mendasarinya. Kurva hitam dianggap optimal karena mendekati data sebenarnya. Kriteria optimalitas yang paling umum digunakan untuk pemilihan parameter ini adalah kesalahan kuadrat rata-rata. Jika bandwidth tidak tetap tetapi bervariasi tergantung pada estimasi atau sampel, ini menghasilkan metode yang sangat kuat yang dikenal sebagai estimasi kernel bandwidth yang adaptif.

      2.5 Solver

        Solver merupakan salah satu perangkat tambahan (add-ins) yang digunakan untuk memecahkan kasus yang rumit yang terdapat dalam program aplikasi Microsoft Excel. Perangkat solver memungkinkan dalam menghitung nilai yang dibutuhkan untuk mencapai hasil yang terdapat pada satu sel atau sederetan sel (range). Dengan kata lain, solver dapat menangani masalah yang melibatkan banyak sel variabel dan membantu mencari kombinasi variabel untuk meminimalkan atau memaksimalkan nilai satu sel target. Solver memungkinkan untuk mendefinisikan sendiri suatu batasan atau kendala yang harus dipenuhi agar pemecahan masalah dianggap benar.

        Solver merupakan perangkat atau vasilitas tambahan (add-ins) yang belum tentu ada pada program excel setelah menginstal Microsoft office. Perangkat ini dapat diperiksa pada grup analisis dalam ribbon data seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

        Gambar 9. Posisi perangkat solver

      BAB III PEMBAHASAN

      3.1 Pembahasan

        Regresi kernel adalah teknik estimasi sesuai dengan data yang dimiliki. Diberikan suatu data, ingin dicari fungsi regresi seperti fungsi yang paling sesuai dengan data yang dimiliki di titik- titik data. Mungkin juga ingin menginterpolasi dan memperkiraan sedikit di luar data tersebut.

        Ide regresi kernel adalah menempatkan satu set fungsi tertimbang identik yang disebut kernel lokal untuk setiap titik data pengamatan. Kernel akan menetapkan bobot untuk setiap lokasi berdasarkan jarak dari titik data.

        Jika diberikan data sebagai berikut: Table 1. Contoh data

        1

        2

        3

        4

        5

        1

        1.2

        3.2

        4

        5.1

        23

        17

        12

        27

        8 Dari data tersebut ingin didapatkan kurva-fitting fungsi untuk data. Ada banyak cara untuk melakukan kurva regresi dan kernel hanyalah salah satunya.

        Dalam regresi kernel, apa yang harus dilakukan adalah untuk meletakkan sebuah kernel (semacam fungsi benjolan) untuk setiap titik data X. Grafik berikut menunjukkan Gaussian kernel berada di pusat setiap X.

        Gambar 10. Grafik Gaussian kernel Dengan menempatkan kernel pada data asli X i , sekarang dapat memperpanjang nilai data asli X i menjadi nilai yang jauh lebih kecil dari x pada langkah kecil tertentu x. Sebagai contoh, gunakan x = 0,1. Untuk titik data pertama X

        1 = 1, kita dapat melihat nilai kernel pada setiap langkah x kecil.

        Rumus Fungsi Kernel Gaussian (4)

        Keteranagan: x = jangkauan X = nilai data X Y = nilai data Y

        α = konstanta Penggunaan fungsi kernel Gaussian dikarenakan fungsi ini yang lebih mudah dalam penggunaanya. Sedangkan fungsi spline, epanechnikov dan tri-cube memerlukan syarat dalam pengerjaannya setelah itu perhitungan bisa dilanjutkan.

        Dalam contoh ini, notasi titik data pengamatan (X, Y), sedangkan estimasi dan titik domain sampling dinotasikan dengan (x, y). Dalam contoh sederhana ini hanya memiliki 5 titik data tetapi dapat membuat titik sampling sebanyak yang diinginkan dengan menetapkan sampling rate x.

        Diasumsikan bahwa lebar kernel ,

        5 , maka kernel dapat dihitung sebagai berikut: α = dan seterusnya.

        Prosedur yang sama dapat dilakukan untuk semua titik data X i . Sebagai titik data telah memiliki jangkauan X i dari 1 sampai 5.1, dapat memperpanjang domain x antara 0 dan 6. Maka nilai estimasi Y j sebesar nilai domain X j yang diberikan oleh rumus regresi kernel juga disebut Nadaraya-Watson kernel.

        n

        1 −

      n K ( x

      X ) Y h i i

        − ∑ i

        

      1

      =

        ˆ m ( x ) h

        = n

        1 − n K ( x X ) hi

        

      i

        

      1

      =

        Para nominator dari rumus regresi kernel adalah array jumlah produk kernel dan berat, sedangkan penyebutnya adalah jumlah nilai kernel di domain X untuk semua titik data X .

        j i Gambar berikut menunjukkan formulasi fungsi excel y diperkirakan menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0 Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0. Table 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5).

        X k(x.X1) k(x,X2) k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y 0.13534 0.0561348 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.1 0.19790 0.0889216 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.2 0.27804 0.1353353 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.3 0.37531 0.1978987 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.4 0.48675 0.2780373 0.0000002 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5 0.60653 0.3753111 0.0000005 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.6 0.72615 0.4867523 0.0000013 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.7 0.83527 0.6065307 0.0000037 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.8 0.92312 0.7261490 0.0000099 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.9 0.98020 0.8352702 0.0000254 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1 1.00000 0.9231163 0.0000625 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.1 0.98020 0.9801987 0.0001477 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.2 0.92312 1.0000000 0.0003355 0.0000002 0.0000000 1.0000000 1.3 0.83527 0.9801987 0.0007318 0.0000005 0.0000000 1.0000000 1.4 0.72615 0.9231163 0.0015338 0.0000013 0.0000000 1.0000000 1.5 0.60653 0.8352702 0.0030887 0.0000037 0.0000000 1.0000000 1.6 0.48675 0.7261490 0.0059760 0.0000099 0.0000000 1.0000000 1.7 0.37531 0.6065307 0.0111090 0.0000254 0.0000000 1.0000000 1.8 0.27804 0.4867523 0.0198411 0.0000625 0.0000000 1.0000000 1.9 0.19790 0.3753111 0.0340475 0.0001477 0.0000000 1.0000000 2 0.13534 0.2780373 0.0561348 0.0003355 0.0000000 1.0000000 2.1 0.08892 0.1978987 0.0889216 0.0007318 0.0000000 1.0000000 2.2 0.05613 0.1353353 0.1353353 0.0015338 0.0000000 1.0000000 2.3 0.03405 0.0889216 0.1978987 0.0030887 0.0000002 1.0000000 2.4 0.01984 0.0561348 0.2780373 0.0059760 0.0000005 1.0000000 2.5 0.01111 0.0340475 0.3753111 0.0111090 0.0000013 1.0000000 2.6 0.00598 0.0198411 0.4867523 0.0198411 0.0000037 1.0000000 2.7 0.00309 0.0111090 0.6065307 0.0340475 0.0000099 1.0000000

        2.8 0.00153 0.0059760 0.7261490 0.0561348 0.0000254 1.0000000 2.9 0.00073 0.0030887 0.8352702 0.0889216 0.0000625 1.0000000 3 0.00034 0.0015338 0.9231163 0.1353353 0.0001477 1.0000000 3.1 0.00015 0.0007318 0.9801987 0.1978987 0.0003355 1.0000000

        3.2 0.00006 0.0003355 1.0000000 0.2780373 0.0007318 1.0000000 3.3 0.00003 0.0001477 0.9801987 0.3753111 0.0015338 1.0000000 3.4 0.00001 0.0000625 0.9231163 0.4867523 0.0030887 1.0000000 3.5 0.00000 0.0000254 0.8352702 0.6065307 0.0059760 1.0000000 3.6 0.00000 0.0000099 0.7261490 0.7261490 0.0111090 1.0000000 3.7 0.00000 0.0000037 0.6065307 0.8352702 0.0198411 1.0000000 3.8 0.00000 0.0000013 0.4867523 0.9231163 0.0340475 1.0000000 3.9 0.00000 0.0000005 0.3753111 0.9801987 0.0561348 1.0000000

        4 0.00000 0.0000002 0.2780373 1.0000000 0.0889216 1.0000000 4.1 0.00000 0.0000000 0.1978987 0.9801987 0.1353353 1.0000000 4.2 0.00000 0.0000000 0.1353353 0.9231163 0.1978987 1.0000000 4.3 0.00000 0.0000000 0.0889216 0.8352702 0.2780373 1.0000000 4.4 0.00000 0.0000000 0.0561348 0.7261490 0.3753111 1.0000000 4.5 0.00000 0.0000000 0.0340475 0.6065307 0.4867523 1.0000000 4.6 0.00000 0.0000000 0.0198411 0.4867523 0.6065307 1.0000000 4.7 0.00000 0.0000000 0.0111090 0.3753111 0.7261490 1.0000000 4.8 0.00000 0.0000000 0.0059760 0.2780373 0.8352702 1.0000000 4.9 0.00000 0.0000000 0.0030887 0.1978987 0.9231163 1.0000000

        5 0.00000 0.0000000 0.0015338 0.1353353 0.9801987 1.0000000 5.1 0.00000 0.0000000 0.0007318 0.0889216 1.0000000 1.0000000 5.2 0.00000 0.0000000 0.0003355 0.0561348 0.9801987 1.0000000 5.3 0.00000 0.0000000 0.0001477 0.0340475 0.9231163 1.0000000 5.4 0.00000 0.0000000 0.0000625 0.0198411 0.8352702 1.0000000 5.5 0.00000 0.0000000 0.0000254 0.0111090 0.7261490 1.0000000 5.6 0.00000 0.0000000 0.0000099 0.0059760 0.6065307 1.0000000 5.7 0.00000 0.0000000 0.0000037 0.0030887 0.4867523 1.0000000 5.8 0.00000 0.0000000 0.0000013 0.0015338 0.3753111 1.0000000 5.9 0.00000 0.0000000 0.0000005 0.0007318 0.2780373 1.0000000

        6 0.00000 0.0000000 0.0000002 0.0003355 0.1978987 1.0000000

        Pada awalnya semua nilai bobot adalah satu, sehingga semua estimasi y juga satu seperti yang diilustrasikan pada tabel diatas. kemudian menghitung kuadrat kesalahan dari estimasi y dibandingkan dengan data asli Y i . Table 3. Nilai kuadrat kesalahan.

        

      X k(x.X1) k(x,X2) k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y Y sq.error

      0.13534 0.0561348 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.1 0.19790 0.0889216 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.2 0.27804 0.1353353 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.3 0.37531 0.1978987 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.4 0.48675 0.2780373 0.0000002 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5 0.60653 0.3753111 0.0000005 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.6 0.72615 0.4867523 0.0000013 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.7 0.83527 0.6065307 0.0000037 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.8 0.92312 0.7261490 0.0000099 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.9 0.98020 0.8352702 0.0000254 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1 1.00000 0.9231163 0.0000625 0.0000000 0.0000000 1.0000000

        23 484 1.1 0.98020 0.9801987 0.0001477 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.2 0.92312 1.0000000 0.0003355 0.0000002 0.0000000 1.0000000 17 256 1.3 0.83527 0.9801987 0.0007318 0.0000005 0.0000000 1.0000000 1.4 0.72615 0.9231163 0.0015338 0.0000013 0.0000000 1.0000000 1.5 0.60653 0.8352702 0.0030887 0.0000037 0.0000000 1.0000000 1.6 0.48675 0.7261490 0.0059760 0.0000099 0.0000000 1.0000000 1.7 0.37531 0.6065307 0.0111090 0.0000254 0.0000000 1.0000000 1.8 0.27804 0.4867523 0.0198411 0.0000625 0.0000000 1.0000000 1.9 0.19790 0.3753111 0.0340475 0.0001477 0.0000000 1.0000000

        2 0.13534 0.2780373 0.0561348 0.0003355 0.0000000 1.0000000 2.1 0.08892 0.1978987 0.0889216 0.0007318 0.0000000 1.0000000 2.2 0.05613 0.1353353 0.1353353 0.0015338 0.0000000 1.0000000 2.3 0.03405 0.0889216 0.1978987 0.0030887 0.0000002 1.0000000 2.4 0.01984 0.0561348 0.2780373 0.0059760 0.0000005 1.0000000 2.5 0.01111 0.0340475 0.3753111 0.0111090 0.0000013 1.0000000 2.6 0.00598 0.0198411 0.4867523 0.0198411 0.0000037 1.0000000 2.7 0.00309 0.0111090 0.6065307 0.0340475 0.0000099 1.0000000 2.8 0.00153 0.0059760 0.7261490 0.0561348 0.0000254 1.0000000 2.9 0.00073 0.0030887 0.8352702 0.0889216 0.0000625 1.0000000

        3 0.00034 0.0015338 0.9231163 0.1353353 0.0001477 1.0000000 3.1 0.00015 0.0007318 0.9801987 0.1978987 0.0003355 1.0000000 3.2 0.00006 0.0003355 1.0000000 0.2780373 0.0007318 1.0000000 12 121 3.3 0.00003 0.0001477 0.9801987 0.3753111 0.0015338 1.0000000 3.4 0.00001 0.0000625 0.9231163 0.4867523 0.0030887 1.0000000 3.5 0.00000 0.0000254 0.8352702 0.6065307 0.0059760 1.0000000 3.6 0.00000 0.0000099 0.7261490 0.7261490 0.0111090 1.0000000 3.7 0.00000 0.0000037 0.6065307 0.8352702 0.0198411 1.0000000 3.8 0.00000 0.0000013 0.4867523 0.9231163 0.0340475 1.0000000

        3.9 0.00000 0.0000005 0.3753111 0.9801987 0.0561348 1.0000000 4 0.00000 0.0000002 0.2780373 1.0000000 0.0889216 1.0000000 27 676 4.1 0.00000 0.0000000 0.1978987 0.9801987 0.1353353 1.0000000

        4.2 0.00000 0.0000000 0.1353353 0.9231163 0.1978987 1.0000000 4.3 0.00000 0.0000000 0.0889216 0.8352702 0.2780373 1.0000000 4.4 0.00000 0.0000000 0.0561348 0.7261490 0.3753111 1.0000000 4.5 0.00000 0.0000000 0.0340475 0.6065307 0.4867523 1.0000000 4.6 0.00000 0.0000000 0.0198411 0.4867523 0.6065307 1.0000000 4.7 0.00000 0.0000000 0.0111090 0.3753111 0.7261490 1.0000000 4.8 0.00000 0.0000000 0.0059760 0.2780373 0.8352702 1.0000000 4.9 0.00000 0.0000000 0.0030887 0.1978987 0.9231163 1.0000000

        5 0.00000 0.0000000 0.0015338 0.1353353 0.9801987 1.0000000 5.1 0.00000 0.0000000 0.0007318 0.0889216 1.0000000 1.0000000

        8

        49 5.2 0.00000 0.0000000 0.0003355 0.0561348 0.9801987 1.0000000 5.3 0.00000 0.0000000 0.0001477 0.0340475 0.9231163 1.0000000 5.4 0.00000 0.0000000 0.0000625 0.0198411 0.8352702 1.0000000 5.5 0.00000 0.0000000 0.0000254 0.0111090 0.7261490 1.0000000 5.6 0.00000 0.0000000 0.0000099 0.0059760 0.6065307 1.0000000 5.7 0.00000 0.0000000 0.0000037 0.0030887 0.4867523 1.0000000 5.8 0.00000 0.0000000 0.0000013 0.0015338 0.3753111 1.0000000 5.9 0.00000 0.0000000 0.0000005 0.0007318 0.2780373 1.0000000 6 0.00000 0.0000000 0.0000002 0.0003355 0.1978987 1.0000000

        1586

        Dalam perhitungan diatas jumlah SSE = 1586. Sekarang siap untuk solusi. Untuk menemukan solusi akan digunakan MS Excel Solver.

        Periksa menu Tools. Jika tidak ada menu pemecah, berarti perlu menginstal Solver tersebut. Untuk menginstal Solver, pilih menu Tools-Add-Ins ... dan memeriksa Solver Add-in dan klik tombol OK. Ditunjukkan pada gambar berikut.

        Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver.

        Jika Solver sudah tersedia, klik menu Tools-bahwa Solver ... dan akan muncul dialog parameter pemecah sebagai berikut.

        Gambar 13. Tahapan kedua penggunaan MS Excel Solver. Ingin mencari bobot untuk setiap kernel yang meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat. Mengatur sel target dari jumlah square error (SSE) sama dengan Min dengan mengubah sel-sel array. Lalu klik tombol Memecahkan dan klik tombol OK.

        Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver.

        12

        17

        2.08E-08 1.1 0.98020 0.9801987 0.0001477 0.0000000 0.0000000 20.0001701 1.2 0.92312 1.0000000 0.0003355 0.0000002 0.0000000 17.0001058

        23

        1 1.00000 0.9231163 0.0000625 0.0000000 0.0000000 22.9998556

        0.2 0.27804 0.1353353 0.0000000 0.0000000 0.0000000 45.8989354 0.3 0.37531 0.1978987 0.0000000 0.0000000 0.0000000 43.2202139 0.4 0.48675 0.2780373 0.0000002 0.0000000 0.0000000 40.4743685 0.5 0.60653 0.3753111 0.0000005 0.0000000 0.0000000 37.6679416 0.6 0.72615 0.4867523 0.0000013 0.0000000 0.0000000 34.8081596 0.7 0.83527 0.6065307 0.0000037 0.0000000 0.0000000 31.9028686 0.8 0.92312 0.7261490 0.0000099 0.0000000 0.0000000 28.9604520 0.9 0.98020 0.8352702 0.0000254 0.0000000 0.0000000 25.9897320

        8 Weight 95.0204691 -55.01797 5.674117 34.8308959 5.61585368 X k(x.X1) k(x,X2) k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y Y sq.error 0.13534 0.0561348 0.0000000 0.0000000 0.0000000 51.0325324 0.1 0.19790 0.0889216 0.0000000 0.0000000 0.0000000 48.5047234

        27

        17

        Ketika mendapatkan array bobot baru sebagai solusi, secara otomatis mengatasi regresi dengan menghitung nilai-nilai y. Berikut diperlihatkan pada tabel menunjukkan bahwa jumlah kesalahan nol ( ). Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver

        23

        5.1 Y

        4

        3.2

        1.2

        1

        X

        1.12E-08 1.3 0.83527 0.9801987 0.0007318 0.0000005 0.0000000 14.0091280

        1.4 0.72615 0.9231163 0.0015338 0.0000013 0.0000000 11.0369386 1.5 0.60653 0.8352702 0.0030887 0.0000037 0.0000000 8.0944465 1.6 0.48675 0.7261490 0.0059760 0.0000099 0.0000000 5.1969007 1.7 0.37531 0.6065307 0.0111090 0.0000254 0.0000000 2.3727356 1.8 0.27804 0.4867523 0.0198411 0.0000625 0.0000000 -0.3136616 1.9 0.19790 0.3753111 0.0340475 0.0001477 0.0000000 -2.7100406

        2 0.13534 0.2780373 0.0561348 0.0003355 0.0000000 -4.4849598 2.1 0.08892 0.1978987 0.0889216 0.0007318 0.0000000 -5.0695961 2.2 0.05613 0.1353353 0.1353353 0.0015338 0.0000000 -3.9306566 2.3 0.03405 0.0889216 0.1978987 0.0030887 0.0000002 -1.3168362 2.4 0.01984 0.0561348 0.2780373 0.0059760 0.0000005 1.6185422 2.5 0.01111 0.0340475 0.3753111 0.0111090 0.0000013 3.9363998 2.6 0.00598 0.0198411 0.4867523 0.0198411 0.0000037 5.5017710 2.7 0.00309 0.0111090 0.6065307 0.0340475 0.0000099 6.5819724 2.8 0.00153 0.0059760 0.7261490 0.0561348 0.0000254 7.4606660 2.9 0.00073 0.0030887 0.8352702 0.0889216 0.0000625 8.3361733

        3 0.00034 0.0015338 0.9231163 0.1353353 0.0001477 9.3355307 3.1 0.00015 0.0007318 0.9801987 0.1978987 0.0003355 10.5403893 3.2 0.00006 0.0003355 1.0000000 0.2780373 0.0007318 11.9999955

        12

        2.04E-11 3.3 0.00003 0.0001477 0.9801987 0.3753111 0.0015338 13.7318405 3.4 0.00001 0.0000625 0.9231163 0.4867523 0.0030887 15.7156892 3.5 0.00000 0.0000254 0.8352702 0.6065307 0.0059760 17.8877159 3.6 0.00000 0.0000099 0.7261490 0.7261490 0.0111090 20.1409556 3.7 0.00000 0.0000037 0.6065307 0.8352702 0.0198411 22.3350907 3.8 0.00000 0.0000013 0.4867523 0.9231163 0.0340475 24.3130259 3.9 0.00000 0.0000005 0.3753111 0.9801987 0.0561348 25.9172663

        4 0.00000 0.0000002 0.2780373 1.0000000 0.0889216 26.9999856

        27

        2.06E-10 4.1 0.00000 0.0000000 0.1978987 0.9801987 0.1353353 27.4274570 4.2 0.00000 0.0000000 0.1353353 0.9231163 0.1978987 27.0881821 4.3 0.00000 0.0000000 0.0889216 0.8352702 0.2780373 25.9178364 4.4 0.00000 0.0000000 0.0561348 0.7261490 0.3753111 23.9450164 4.5 0.00000 0.0000000 0.0340475 0.6065307 0.4867523 21.3360037 4.6 0.00000 0.0000000 0.0198411 0.4867523 0.6065307 18.3921873 4.7 0.00000 0.0000000 0.0111090 0.3753111 0.7261490 15.4717597 4.8 0.00000 0.0000000 0.0059760 0.2780373 0.8352702 12.8733710 4.9 0.00000 0.0000000 0.0030887 0.1978987 0.9231163 10.7593280

        5 0.00000 0.0000000 0.0015338 0.1353353 0.9801987 9.1554020 5.1 0.00000 0.0000000 0.0007318 0.0889216 1.0000000 7.9999984

        8

        2.57E-12 5.2 0.00000 0.0000000 0.0003355 0.0561348 0.9801987 7.1978429 5.3 0.00000 0.0000000 0.0001477 0.0340475 0.9231163 6.6549161 5.4 0.00000 0.0000000 0.0000625 0.0198411 0.8352702 6.2936832

        5.5 0.00000 0.0000000 0.0000254 0.0111090 0.7261490 6.0560525 5.6 0.00000 0.0000000 0.0000099 0.0059760 0.6065307 5.9008914 5.7 0.00000 0.0000000 0.0000037 0.0030887 0.4867523 5.8000696 5.8 0.00000 0.0000000 0.0000013 0.0015338 0.3753111 5.7347627 5.9 0.00000 0.0000000 0.0000005 0.0007318 0.2780373 5.6925467 6 0.00000 0.0000000 0.0000002 0.0003355 0.1978987 5.6652930

        3.23E-08

        Gambar 15. Kurva dengan nilai x, y dan estimasi y diketahui

      BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

        4.1 Kesimpulan

        Dari hasil pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:

        1. Untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya dapat digunakan metode kernel. Permasalahan utama pada kernel bukan pada pemilihan kernel tetapi pada pemilihan bandwith.

        2. Dari hasil pembahasan yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan.

        3. Dalam perhitungan bobot menggunakan alat bantu yang berupa solver yang tersedia di dalam Microsoft Excel.

        4. Dari hasil perhitungan didapat nilai SSE = 1586. Sedangkan untuk bobotnya adalah 95.0204691, -55.01797, 5.674117, 34.8308959 dan 5.61585368. Dengan didapatnya nilai bobot maka nilai SSE pun berubah yaitu 3.23E-08.

        4.2 Saran

        Metode kernel adalah metode yang membutuhkan ketelitian dalam pengerjaannya sehingga diperoleh kemudahan dan dapat mendalami serta memahami dalam menganalisnya.

        Daftar Pustaka [1] Suyono, Subanar. 1998. Perbandingan regresi parametrik dan regresi nonparametrik.

        Universitas Gajah Mada. [2] Suparti, Sudargo. 2005. Estimasi fungsi regresi menggunakan metode deret fourier.

        Semarang. [3] Laome, Lilis. 2010. Perbandingan model regresi nonparametrik dengan regresi spilne dan kernel. Universitas Haluoleo Kendari.

        [4] Arifin, Johar. 2008. Statistik bisnis terapan dengan Microsoft excel 2007. Jakarta [5] http:/// wikipedia/Kernel_%28statistics%29.htm , 15-2-2011 [6] http:// /Kernel.htm-kardi teknomo, 26-1-2011 [7] http:/// /Jurnal regresi kernel untuk pemula, 1-2-2011

Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik Latar Belakang Perumusan Masalah Tinjauan Pustaka Pemilihan Bandwidth Solver PENDAHULUAN Regresi Kernel Fungsi Kernel Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Regresi Non-Parametrik
Dokumen baru
Aktifitas terbaru
Penulis
Dokumen yang terkait
Upload teratas

Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parame..

Gratis

Feedback