SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS PADA SUATU KOMUNITAS

Gratis

0
9
34
2 years ago
Preview
Full text

  

ABSTRAK

SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN PENYEBARAN PENYAKIT

TUBERCULOSIS PADA SUATU KOMUNITAS

Oleh

ADE IKE MARTA RIZKIA

  Pengobataan penyakit Tuberkulosis (TB) selalu diupayakan dan dikembangkan, begitu juga usaha-usaha untuk mencegah terkena penyakit TB. Dalam paper ini dibahas mengenai formulasi model matematika mengenai penyebaran penyakit TB.

  

Secara umum model matematika mengenai penyakit TB ini mempunyai dua jenis titik ekuilibrium

yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik kuilibrium endemik. Selanjutnya diselidiki kestabilan

titik dengan menggunakan teorema routh-hurtwiz. Pada titik ekulibrium endemik tidak bisa

  diselidiki dengan menggunakan teorema routh-hurtwiz, karena terlalu banyak parameter sehingga perhitungan menjadi kompleks, maka digunakan Basic Reproductive Number(R ).

  Karena terdapat kemungkinan terjadi endemik, dalam paper ini dibahas mengenai salah satu cara meminimalkan menyebarnya penyakit TB pada suatu komunitas.

  Tuberkulosis.

  Kata kunci: Model Matematika, Titik Ekuilibrium,

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial

  Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif tidak bebas terhadap variabel bebasnya.

  Contoh: = ( ), (2.1)

  ( ) = ( ) Adalah persamaan diferensial orde 1 (pertama) dan berderajad 1(satu). Penyelesaian dari persamaan diferensial ini adalah mencari fungsi y(x) yang memenuhi y’(x) = f(x) dan memenuhi syarat awal y(0) = c, dengan c sebuah konstan. Fungsi y(x) yang memenuhi kondisi tersebut dinamakan solusi persamaan diferensial.

  Definisi 2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial

  Diketahui Persamaan Diferensial Biasa berikut ini

  ) = ( , , , (2.2)

  : )

  = ( , , , Kumpulan Persamaan Diferensial Biasa dalam persamaan (2.2) yang mempunyai hubungan simultan disebut Sistem Persamaan Diferensial Biasa, dengan , , fungsi bernilai real dari t; , , , adalah derivatif fungsi , , terhadap t; , , adalah fungsi-fungsi bernilai real yang terdefinisi dalam ruang Euclide R berdimensi n + 1 (dinotasikan dalam ruang (t,x)). (Boyce dan DiPrima, 1977) Sistem PDB pada persmaan 2.2 dalam notasi vektor dapat dituliskan dalam bentuk

  = ( , ),

2.2 Martik Definisi 2.2.1 Matriks

  Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara terurut dalam barisan dan kolom yang membentuk persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

  = Bilangan yang terkandung dalam suatu matriks dinamakan unsur (elemen). Deretan-deretan horisontal bilangan pada matriks disebut baris, sedangkan deretan-deretan vertikal bilangan Unsur-unsur suatu matrik dilambangkan: a mn Dimana m menunjukkan baris, dan n menunjukkan kolom. Jadi a berarti unsur matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n.

  mn Definisi 2.2.2 Matriks Bujur Sangkar

  = Bilamana m = n adalah bujur sangkar dan akan disebut matriks bujur sangkar berordo n atau sebuah martiks bujur sangkar n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen-elemen a , a ,

  11

  22

  ……..,a nn disebut elemen diagonal. Jumlah elemen-elemen diagonal suatu matriks bujur sangkar A disebut trace A.

  (Ayres, Frank. 1974)

  Definisi 2.2.3 Determinan Matriks Bujur Sangkar

  Determinan matriks A berordo n x n, dinyatakan sebagai det(A), adalah suatu skalar yang diasosialisasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:

  ;

  det( ) ; + + + > 1 dengan

  = ( 1) det( ) ; = 1,2 .

2.3 Nilai Eigen dan Polinom Karakteristik Definisi 2.3.1 Persamaan Eigen dan Vektor Eigen

  Jika A(n x n), v adalah sebuah vektor n tak nol yang memenuhi persamaan; Av = λv disebut vektor eigen (eigenvector ) dari A, dan λ disebut nilai eigen (eigenvalue) yang bersesuaian dengan v. Polinomial karakteristik dari matriks A(nxn), adalah polinomial p(λ) = det (A - λ I). Persamaan karakteristik dari A adalah p(λ) = 0 atau det (A - λ I) = 0, dengan p adalah polinomial karakteristiknya.

  Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu sama lain.

  a) λ adalah nilai eigen dari A.

  b) Sistem persamaan (A - λ I)v = 0 mempunyai pemecahan yang tak trivial.

  c) Ada sebuah vektor tak nol v di dalam Rn sehingga Av = λ v.

  d) λ adalah pemecahan real dari persamaan karakteristik det (A - λ I) = 0.

  Definisi 2.3.2 Polinomial Karakteristik

  Bila P adalah sebuah polynomial dalam λ sedemikian sehingga ( ) = det( )

  = (

  = ( + + ) + ( ) ) + Maka P(λ) disebut polinomial karakteristik dari A dan persamaan P(λ) = 0 disebut persamaan karakteristik dari A

2.4 Definisi Titik Ekuilibrium

  Titik merupakan titik ekuilibrium untuk persamaan diferensial = ( , )

  Jika ( , ) = 0 ; untuk semua t

  Teorema 2.1 Kriteria Routh-Hurwitz

  • , mempunyai + + Semua akar polinom matriks A,

  ( ) = > 0, a > 0, a > bagian real negatif jika dan hanya jika memenuhi

  0, a > 0, untuk n ganjil dan > 0, untuk n genap, dengan = = ; = dan seterusnya.

  ; Lemma 2.1.1

  Diberikan matriks A 2x2

  (i) Trace (A) < 0 (ii) Det (A) > 0 Bukti: Misalkan = , sehingga diperoleh polynomial karakteristik:

  −

  | = − ( − + ) | = ) + (

  −

  Dengan demikian dari polinom karakteristik diperoleh

  • = 1, = − ( = − = det( ) = 0 ) = − ( ), dan

  Dengan menggunakan teorema ( Kriteria Routh Hurwitz) diperoleh:

  Δ = > 0

  (i)

  • = − ( = − ) > 0 ( ) > 0 ( ) < 0

    ( )

    − Δ > 0 Δ = =

  (ii)

  1 det( ) = − ( ) det( ) > 0 ⇔ det( ) > 0 –

  ,karena dari (i) ( ) > 0 (Hahn, 1967)

2.5 Basic Reproductive Number (R )

  Menganalisis kestabilan dengan menggunakan nilai eigen terkadang sulit untuk diperoleh, keseimbangan bebas penyakit stabil asimtotik secara global dan jika Ro>1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil, tetapi sistem memiliki titik kestabilan endemik dan stabil asimtotik secara lokal. ( Feng et al , 2001) Nilai Ro didefinisakan sebagai rata-rata jumlah infeksi kedua yang disebabkan oleh seorang individu infected selama masa hidup sebagai seorang individu infected Ketika Ro < 1, setiap individu infected akan menghasilkan kurang dari satu penderita baru sehingga penyakit akan hilang dan ketika Ro > 1 setiap individu infected akan menghasilkan lebih dari satu penderita baru dan menjadi epidemik. pada saat Ro = 1, suatu penyakit akan menjadi endemik, yang berarti bahwa penyebaran penyakit dalam suatu populasi berada pada laju yang konsisten, yaitu seorang penderita aktif akan menularkan penyakit tersebut kepada satu orang yang sehat. ( Trottier & Philippe, 2001)

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

  3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

  Penelitian ini dilakuakan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung pada semester genap tahun akademik 2011/2012.

  3.2 Metode Penelitian

  Metode yang dilakukan dalam penelittian ini adalah sebagai berikut: 1. Menentukan asumsi pada model.

  2. Menetukan parameter-parameter yang digunakan dalam model dan mendiskripsikan arti dari parameter-parameter tersebut.

  3. Menentukan formulasi model matematika.

  4. Menentukan titik ekulibrium dari model

  5. Menyelidiki kestabilan titik ekulibrium dengan menggunakan teorema kriteria Routh- Hutwitz

  6. Apabila langkah (5) terdapat kesulitan, maka gunakan R untuk menyelidiki kestabilan titik ekulibrium.

  7. Menentukan syarat cukup meminimalkan penyebaran penyakit TB.

  1.1 Proses Penyebaran Penyakit TBC

  Penyebaran penyakit TB dapat dipelajari melalui skema berikut:

  S L

  I Gambar 4.1 Diagram Transfer Model Matematika Penyakit TB

  Dimana dalam model ini, populasi total (N) dibagi menjadi 3 kelas yaitu:

  S ( Susceptible) jumlah individu yang rentan terhadap TB

  (laten) jumlah individu yang terdeteksi TB

  L

I ( Infected) menyatakan jumlah individu yang terinfeksi ( telah menjadi TB aktif)

  1.2 Asumsi Yang Digunakan Dalam Model

  Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model adalah:

  1. Jumlah populasi konstan

  2. Individu susceptible hanya akan terinfeksi TB apabila terjadi kontak langsung dengan individu infected

  3. Setiap individu susceptible berkemungkinan terserang penyakit TB 4. Setiap individu yang lahir dan imigran yang datang pasti dalam keadaan sehat.

4.3 Parameter dan Deskripsi Parameter

  Parameter-parameter yang digunakan dalam model = Pertambahan populasi kelas rentan karena adanya kelahiran dan imigrasi

  = Laju kematian alami = Laju kontak langsung antar individu

  = Laju individu infected menginfeksi individu-individu suceptible = Laju perpindahan individu laten menjadi infected

  = Laju perpindahan individu laten menjadi suceptible = Laju perpindahan individu infected menjadi suceptible

  = Laju kematian disebabkan oleh penyakit TB = Total populasi

  = Luas area Dari gambar 4.1 diperoleh model matematika penyebaran TB sebagai berikut

  • = (4.1) = ( + + ) (4.2)

  = (4.3) ( + + )

  0, 0, Dengan A menyatakan total area yang ditempati populasi tertentu dan N =S+L +I menyatakan jumlah populasi.

4.5 Kondisi Meminimalkan Penyebaran Penyakit TB

  Berdasarkan sistem (4.1) (4.2) (4.3) diperoleh 2 jenis titik ekulibrium yaitu ekuilibrium bebas penyakit dan ekulibrium enemik. Kedua titik tersebut akan dibahas dalam lemma sebagai berikut.

  Lemma 1

  Jika I = 0 (artinya tidak ada individu yang terinveksi dan menularkan TB kepada individu = , 0,0 lain) maka sistem mempunyai titik ekuilibribium bebas penyakit,

  = , 0,0 dengan menggunakan Selanjutnya akan diselidiki kestabilan titik ekuilibrium

  = ( + + )

  ( + + ) Matriks jacobian di sekitar titik ekulibrium E adalah

  ( + + ) = 0

  ( + + ) Polynomial karakteristik dari matriks di atas adalah

  − = 0 − −

  • − ( + ) −
  • − ( + ) &mi
  • − ( + ) − (− − )
  • − ( + ) −

  Misal

  • − ( + ) =
  • − ( + )

  Dari matriks M diperoleh

  ( ) = − ( + ) − ( + ) < 0 + +

  Dan det( ) = ( + )( + ) > 0 + +

  Jadi, menurut lemma nilai eigen matriks M bernilai negatif. Dengan demikian semua nilai eigen matriks bernilai negatif. Akibatnya titik ekuilibrium bebas penyakit (E ) stabil.

  Untuk titik ekuilibrium endemik, jika I≠0 (artinya terdapat individu yang menginfeksi dan menularkan TB kepada individu lain), maka sistem mempunyai titik ekulibrium endemik,

  ∗ ∗ ∗ = ( , , )

  Jika ruas kanan dari masing-masing persamaan pada sistem dibuat sama dengan nol, serta diasumsikan terdapat individu yang terinveksi (I≠0) maka persamaan menjadi:

  = + + − − = 0 (4.4)

  • = − ( + ) = 0 (4.5) = + − ( + ) = 0 (4.6)

  Maka dari persamaan (4.4) diperoleh

  • = − − = 0
  • =
  • = +

  ∗ = = (4.7)

  • ( )
dari persamaan (4.5) diperoleh

  • = − ( + ) = 0
  • = ( + )

  ∗ = = (4.8)

  • ) ( +

  dari persamaan (4.6) diperoleh

  • = − ( + ) = 0 )
  • = ( +

  ∗ = = (4.9) )

  ( + +

  Jadi titik ekulibrium endemik ( ) adalah

  ∗ ∗ ∗ = ( , , ) = , ,

  • ( )
  • ) ) ( +

  ( +

  Matriks jacobian yang terbentuk adalah

  

− −

  ∗ ∗ =

  • − ( + )
  • − ( + )

  Matriks jacobian di sekitar titik ekuilibrium E

  1 adalah ∗ − −

  ∗ ∗ =

  • − ( + )
  • − ( + )

  Polynomial karakteristik dari matriks di atas adalah

  − = 0 ∗

  − − − ∗

  • − ( + ) −
  • − ( + ) −

  Diperoleh persamaan karakteristik polynomial yang terbentuk

  = 0 + + − (4.10) +

  Dengan

  ∗

  • = − − − + ( + ) ) + ( +

  ∗ ) = − − − ( − − ) − ( − − )( − − − ( − − −

  )( − ) + ∗ ∗ ∗

  ) = − − ( − − )( − − ) + − ( − −

  Nilai eigen dalam persamaan ini sulit diperoleh, karena terlalu banyak parameter yang ada sehingga perhitungan menjadi kompleks.

  Kekuatan penyebaran suatu penyakit dapat diukur dengan suatu nilai yang disebut Basic

  

Reproductive Number(R ). Dapat juga digunakan untuk menguji titik ekuilibrium persamaan

di atas.

  • = − − (4.1) )
  • = − ( + (
  • = − ( + ) (4.3)

  Misal :

  = = P adalah jumlah individu susceptible terhadap luas area Q adalah jumlah individu laten terhadap luas area R adalah jumlah individu infected terhadap luas area

  • = − − (4.11) )
  • = − ( + (4.12) = − ( + ) + (4.13)

  ∗

( )

  • , , ) = − ( + = 0 ) + = ( + = ) ( + +

  ∗ ∗

  • ( , ( ), ) = − ( + ) ) + ( +

  ∗ ∗ (

  dengan menggunakan turunan parsial terhadap R pada , ( ), ) serta memisalkan

  =

  matriks diperoleh :

  • = − ( + )

    ) + ( +

Misal H=M-D dengan M ≥ 0 dan D ≤ 0 sebuah matriks diagonal, maka

  = + = ( + ) ) ( + + , = ( )

  Dari bentuk di atas, R sebagai nilai eigen dominan pada diperoleh:

  = ) + ) ( + + ( + = ) ( + + ( + ) +

  Dengan adalah periode efektif menginfeksi

  ( )

  adalah laju individu laten yang diproduksi oleh individu infected selama periode

  ( )

  menginfeksi adalah peluang kelangsungan hidup dari tingkat laten ke tingkat infected.

  ( )

  Jika R < 1, titik ekuilibrium bebas penyakit (E ) stabil. Dapat dikatakan bahwa setiap individu infected hanya menghasilkan kurang dari satu penderita baru.

  Jika R > 1, titik ekuilibrium bebas penyakit (E ) tidak stabil, tetapi titik ekulibrium endemik (E ) stabil. Maka setiap individu infected akan menghasilkan lebih dari satu penderita baru.

1 Oleh karena itu, terdapat kemungkinan terjadi endemik untuk penyakit TB. Maka berikut

  Dalam hal ini, populasi kelas L dan kelas I berkurang, yaitu pada saat

  < 0 < 0

  Sehingga persamaan (4.2) menjadi

  • = − ( + ) < 0 (4.14)

  Dan persamaan (4.3) menjadi

  = + − ( + (4.15) ) < 0

  Dari pertidaksamaan (4.14) diperoleh

  • < ( + ) < (4.16) ) +

    ( +

  Kemudian dari pertidaksamaan (4.15) diperoleh

  • − ( + ) < 0 ) + < ( + < (4.17) ) +

  ( + Jadi berdasarkan pertidaksamaan (4.15) dan (4.16) mengakibatkan

  < < ) + + ) ( +

) ( + ( +

  • Atau

  <

  • ) + ( + ) ( +

  Artinya, untuk meminimalisir terjadinya endemik TB, total area yang dihuni oleh populasi tertentu(A) harus lebih besar dari kemungkinan hidup individu dari tingkat laten ke dalam tingkat infected serta lebih besar dari laju individu yang terinfeksi selama individu

  ( )

  tersebut berada dalam masa menginfeksi atau masa inkubasi

  ( )

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

  5.1 Kesimpulan

  Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan <

  ) ( + ) ( + + +

  Artinya total area (A) yang dihuni oleh populasi tertentu harus lebih besar dari kemungkinan hidup individu dari tingkat laten ke dalam tingkat infected serta lebih besar dari laju

  ( )

  individu yang terinfeksi selama individu tersebut berada dalam masa menginfeksi atau masa inkubasi

  ( )

  1.2 Saran

  Penelitian ini dapat dilanjutkan mengenai model penyebaran penyakit TB dengan menambahkan parameter recovered serta menambahkan asumsi-asumsi yang ada.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

  Tuberculosis (TB) merupakan penyakit menular, dan merupakan salah satu penyebab kematian pendudukn di negara-negara berkembang. Penyakit ini ditularkan oleh

  

Mycobacterium Tuberculosis. Bakteri ini biasanya menyerang paru-paru, gejala penderita TB

  diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, berat badan menurun, demam, kedinginan, dan kelelahan.

  Berdasarkan data dari WHO tahun 1993, didapatkan fakta bahwa sepertiga penduduk bumi telah terserang penyakit TB. Sekitar 8 juta orang yang terserang kematian 3 juta orang per tahun. Diperkirakan dalam tahun 2002—2020 akan ada 1 milyar manusia terinfeksi, sekitar 5—10% berkembang menjadi penyakit dan 40% yang terkena penyakit TB berakhir dengan kematian.

  Dengan penduduk lebih dari 200 juta jiwa, Indonesia menempati urutan ketiga setelah Cina dan India. TB sebagai penyebab kematian utama setelah penyakit jantung dan saluran pernapasan. TB menyebar melalui udara dan ditularkan melalui batuk atau bersin, dengan perantara ludah atau dahak penderita yang mengandung basil tuberculosis. Pada waktu penderita batuk, bersin atau berbicara dengan orang lain, butiran-butiran air ludah beterbangan di udara dan terhisap oleh orang yang sehat dan masuk kedalam parunya yang kemudian menyebabkan

  Dalam hal ini pemodelan matematika memiliki peranan sangat penting dalam membantu merumuskan fenomena penyebaran penyakit. Dengan banyaknya kendala dilapangan, pemodelan matematika dapat mensimulasikan berbagai pengendalian epidemik suatu penyakit, memilih strategi untuk mencapai target optimum, serta memberi pilihan yang realistis dalam mengendalikan penyebaran penyakit. Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata.

  Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu.

  Dalam paper ini akan dibahas formulasi model matematika TB selanjutnya ditentukan titik ekuilibrium model, kemudian dicari syarat cukup yang sebaiknya dipenuhi untuk meminimalkan penyebaran penyakit TB.

  1.2 Tujuan Penelitian

  Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Membentuk model matematika untuk memahami pola penyebaran penyakit TB.

  2. Menentukan titik ekuilibrium penyakit TB.

  3. Menyelidiki kestabilan titik ekuilibrium penyebaran penyakit TB.

  4. Menentukan syarat cukup untuk meminimalkan penyebaran penyakit TB

  1.3 Manfaat Penelitian

  a. Manfaat bagi Penulis Untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang telah dipelajari dalam mengkaji permasalahan tentang analisis dari sistem persamaan diferensial

  • Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang model matematika dari salah satu model dalam matematika epidemologi,
  • Membantu pihak terkait dalam memahami penyebaran penyakit TB dan memudahkan untuk merumuskan suatu pengambilan kebijakan dalam mengendalikan laju penyebaran penyakit TB.

  

SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN

PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS PADA SUATU KOMUNITAS

Oleh

ADE IKE MARTA RIZKIA

  

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

  

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

  

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2012

  

SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN

PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS PADA SUATU KOMUNITAS

( Skripsi )

  

Oleh

ADE IKE MARTA RIZKIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

  

2012

RIWAYAT HIDUP

  Penulis dilahirkan di Padang Cermin, Desa Tambangan pada tanggal 20 Maret 1988, sebagai anak tunggal dari Bapak Helmi Z. dan Ibu Iriana, S.Pd. Mengenyam pendidikan tingkat dasar di SDN 1 Tambangan Padang Cermin lulus tahun 2000. Kemudian melanjutkan ke SMPN 2 Padang Cermin lulus tahun 2003. Selanjutnya tingkat atas di SMAN 3 Bandar Lampung lulus tahun 2006.

  Tahun 2006, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Uneversitas Lampung melalui jalur SPMB. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif di organisasi internal dan eksternal kampus yakni Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA), Tim Kerja Dakwah Sekolah (TKS) SMAN 3 Bandar Lampung, Forum Kerjasama Alumni Rohis (FKAR) Bandar Lampung. Pada tahun 2010 penulis melakukan kerja praktek di PT. Takaful Indonesia.

KATA PENGANTAR

  Alhamdulillahirobbil ‘alamin. Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT, Sang Kholik yang berkehendak atas segala sesuatu, sehingga dengan kehendak dan kuasaNya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Sesungguhnya Dialah yang patut kita minta pertolongan, Dialah yang menghendaki terjadinya sesuatu. Sholawat serta salam senantiasa tercurah kepada suri teladan yang terbaik yaitu Nabi Muhammad SAW, oleh karena perjuangan Beliaulah Penulis dapat merasakan indahnya islam dan ukhuwah islamiyah.

  Penulisan karya ilmiah ini merupakan syarat Penulis untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Lampung. Proses penulisan skipsi ini tidak terlepas dari hambatan dan cobaan- cobaan. Baik dari dalam diri sendiri ataupun dari luar. Penulisan karya ilmiah ini tidak bisa dilepaskan dari bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Dalam kesempatan ini, penulis tidak dapat melupakan dan mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M. Si. Selaku Pembimbing I, yang sangat baik, sabar dalam membimbing, pemberi motivasi terbesar untuk penyelesaian skripsi ini.

  2. Bapak Amanto, S. Si, M. Si, selaku pembimbing II sekaligus sekretaris jurusan yang sabar dan sangat baik memberikan masukan dan saran serta motivasi dalam penyelesaian skripsi dan kehidupan.

  3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Unila dan sekaligus pembahas yang banyak memberikan ilmu dan masukan.

  4. Bapak Prof. Dr. Suharso, M.Si, selaku Dekan Fakultas Matemaika dan Ilmu Pengetahuan Alam Unila.

  6. Papa dan Mama tersayang yang selalu memberikan nasihat, motivasi, semangat, kasih sayang serta do’a yang tak pernah henti bagi keberhasilan ku. Sehingga akhirnya berhasil menyelesaikan program Strata 1 jurusan Matematika FMIPA Unila. Semoga bisa memberikan kebahagiaan ditengah jerih payah papa dan mama selama ini.

  7. Azmy Rahman Arif, S.H, imamku di rumah, belahan jiwaku pelita harapanku. Suami tercinta. Terima kasih atas segala pengorbanan dan didikan darimu.

  8. Sahabat-sahabatku

  9. Serta teman-teman COSMIX dan semua anak Jurusan Matematika FMIPA Unila Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat bermanfaat dan berguna bagi kita semua.

  Amiin. Bandar Lampung, Juli 2012 Ade Ike Marta Rizkia

  

Motto

Bacalah dengan nama Tuhanmu yang menciptakan. Dia telah

menciptakan manusia dari segunmpal darah. Bacalah, dan

Tuhanmulah Yang Maha Pemurah. Yang mengajar dengan

Qalam. Dialah yang mengajar manusia segala yang belum

diketahui (Q.S Al- Alaq 1-5).

  

Barang siapa menempuh suatu jalan untuk menuntut ilmu maka Allah memudahkan

jalannya menuju Surga. Sesungguhnya para Malaikat membentangkan sayapnya

untuk orang yang menuntut ilmu karena ridha atas apa yang mereka lakukan. Dan

sesungguhnya orang yang berilmu benar-benar dimintakan ampun oleh penghuni langit

dan bumi, bahkan oleh ikan-ikan yang berada di dalam air ((HR. Tirmidzi))

Beruntunglah bagi orang-orang yang selalu memperbaharui terus semangatnya dalam

setiap perputaran waktu. Menjaga niatnya untuk tetap dalam kebaikan, dan selalu

menghadirkan ﷲ dalam setiap gerakan langkahnya (Ade Ike Marta Rizkia)

  MENGESAHKAN

  1. Tim Penguji ………..

  Ketua : Agus Sutrisno, S. Si, M. Si.

  ………..

  Sekretaris : Amanto, S. Si, M. Si Penguji ………. Bukan Pembimbing : Drs. Tiryono Ruby, Ph. D.

  2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

  Prof. Dr. Suharso, Ph. D

  NIP 19690530 199512 1 001 Tanggal Lulus Ujian Skripsi : 13 Juli 2012

  Halaman Persembahan

K hbbbbbetulusan serta kerendahan hati kupersembahkan karya sederhana

ini sebagai bukti dan kasihku kepada :

  Teristimewa untuk Papa dan Mama yang selalu memberikan cinta, kasih sayang, dukungan kesabaran dan doa yang tulus dan ikhlas dalam setiap sujudmu.

  

Suamiku tercinta Azmy Rahman Arif, S.H. Imam yang selalu membimbing setiap

langkahku, membantu dalam stiap kesulitan, Cahaya hidupku

Serta Anakku Ahmad Farih Abdurrahman Diaz, pelita harapan hidup rumah

tanggaku. Judul Skripsi : SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN

  PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS PADA SUATU KOMUNITAS

  Nama Mahasiswa : Ade Ike Marta Rizkia Nomor Induk Mahasiswa : 0617031021 Program Studi : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

  MENYETUJUI Komisi Pembimbing Agus Sutrisno, S.Si., M. Si. Amanto, M. Si

  NIP 19700831 199903 1 002 NIP 19730314 200012 1 002

  MENGETAHUI

  Ketua Jurusan Matematika Tiryono Ruby, Ph.D.

  NIP 19620704 198803 1 002

Dokumen baru